Nghiệm cơ bản của một số toán tử vi phân tuyến tính

B® GIÁO DUC VÀ ĐÀO TAO TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I MAI THE QUỲNH NGHIfi CƠ BÁN CA MđT SO TON T VI PHN PHI TUYEN LUắN VĂN THAC SY TỐN HOC Hà N®i-2012 B® GIÁO DUC VÀ ĐÀO TAO TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I MAI THE QUỲNH NGHIfi CƠ BÁN CÚA M®T SO TỐN TÚ VI PHÂN PHI TUYEN Chun ngành: Tốn giái tích Mã so: 60 46 01 02 LU¾N VĂN THAC SY TOÁN HOC Ngưài hưáng dan khoa hoc: TS Tran Văn Bang LèI CÁM ƠN Lu¾n văn đưoc thnc hi¾n hồn thành tai trưòng Đai hoc Sư pham Hà N®i dưói sn hưóng dan cna Tien sĩ Tran Văn Bang Thay hưóng dan truyen cho tác giá nhung kinh nghi¾m quý báu hoc t¾p nghiên cúu khoa hoc Thay ln đ®ng viên khích l¾ đe tác giá vươn lên hoc t¾p, tn tin vưot qua nhung khó khăn chun mơn Tác giá xin bày tó lòng biet ơn, lòng kính sâu sac nhat đoi vói Thay Tác giá xin chân thành cám ơn Ban giám hi¾u trưòng Đai hoc Sư pham Hà N®i 2, phòng Sau đai hoc, khoa Tốn to Giái tích q thay cô trang b% cho tác giá kien thúc tao moi đieu ki¾n thu¾n loi cho tác giá ket thúc tot đep chương trình Cao hoc hồn thành lu¾n văn tot nghi¾p Tác giá xin trân cám ơn, UBND Huy¾n Sơn Dương, tính Tun Quang, Phòng GD&ĐT Sơn Dương, tao đieu ki¾n giúp đõ đe tác giá an tâm hoc t¾p hồn thành tot khóa hoc Tác giá xin bày tó lòng biet ơn tói gia đình, ngưòi thân đ®ng viên tao đieu ki¾n đe tác giá hồn thành lu¾n văn Hà N®i, tháng 12 năm 2012 Tác giá Mai The Quỳnh LèI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan Lu¾n văn cơng trình nghiên cúu cna riêng tơi dưói sn hưóng dan trnc tiep cna Tien sĩ Tran Văn Bang Trong q trình nghiên cúu, tơi ke thùa thành khoa hoc cna nhà khoa hoc vói sn trân biet ơn Hà N®i, tháng 12 năm 2012 Tác giá Mai The Quỳnh Mnc lnc Kien thNc chuan b% 1.1 Các kí hi¾u bán 1.2 Mđt so hm ắc biắt 1.2.1 Hàm Gamma (Tích phân Euler loai 2) 1.2.2 Hàm Beta (Tích phân Euler loai 1) 1.2.3 Hàm Bessel hàm Hankel Hàm suy r®ng 1.3 1.3.1 Đao hàm cna hàm suy r®ng 11 1.3.2 Tích trnc tiep .15 1.3.3 Hàm suy rđng tng chắm 16 1.3.4 Tích ch¾p 17 1.3.5 Đai so tích ch¾p + 19 Dr 1.4 Bien đoi Fourier .19 1.5 Bien đoi Laplace 23 1.6 Nghi¾m bán cna tốn tú vi phân tuyen tính 26 1.6.1 Tốn tú tích ch¾p 26 1.6.2 Toán tú vi phân tuyen tính vói h¾ so hang 28 1.6.3 Tốn tú vi phân khơng dùng 30 Nghiắm c bỏn cỳa mđt so toỏn tN vi phân phi tuyen 34 2.1 Tốn tú tuyen tính vói h¾ so bien thiên .34 iii 2.1.1 Toán tú Fokker –Planck 34 2.1.2 Toán tú Klein-Gordon 35 2.1.3 Phương trình đi¾n báo .36 2.1.4 Toán tú Dirac 37 2.2 Toán tú phi tuyen 38 2.2.1 Toán tú p−Laplace 39 2.2.2 Toán tú tna Hyperbolic: .39 Tài li¾u tham kháo 42 BÁNG KÍ HIfiU N T¾p so tn nhiên R T¾p so thnc C T¾p so phúc R+ T¾p so thnc không âm Rd Không gian Eculidean d chieu A Bao đóng cna t¾p A As s− lân c¾n cna t¾p A B(x0, r) Hình cau mó tâm x0 bán kính r Cp(Ω) p C∞(Ω) Lóp hàm liên tuc vói đao hàm mien Ω đen cap Lóp hàm vi vô han Ω (Ω) C∞ d R p C (Ω) Dα Lóp hàm vi vô han D = D(Rd) Không gian hàm thú Rd có giá compact T¾p cna hàm Cp(Ω) có giá compact Đao hàm riêng cap α Dr = Dr(Rd) Không gian cna tat cá hàm suy r®ng Rd r Dr ) tri¾t tiêu vói t < Lóp hàm suy r®ng D + (R F Phép bien đoi Fourier F−1 Phép bien đoi Fourier ngưoc Γ(s) Hàm Gamma B(p, q) Hàm Beta v H1, Iv Hàm Hankel có b¾c v Jv Hàm Bessel loai b¾c v Yv Hàm Bessel loai b¾c v Kv Hàm Bessel đieu loai b¾c v L(D) L∗ Tốn tú vi phân tuyen tính Tốn tú liên hop Hàm Bessel đieu loai b¾c v L Bien đoi Laplace Lf (t) = f (s) L−1 ∂ L D, ∂t Bien đoi Laplace ngưoc P Hàm, P = S(x0, r) M¾t biên cna hình cau B(x0, r) Sd(1) Di¾n tích m¾t cna hình cau đơn v% Rd S Không gian hàm giám nhanh Rd Sr(Rd) Tắp cỏc hm suy rđng tng chắm trờn Rd [f (x0)] Hàm bưóc nháy f tai x0 u∗(x, ξ) Nghi¾m bán Ψ(xo, α) spinor Γ Γ± Biên parabolic; Biên cna mien Ω Các nón khú tương lai δ(x, ξ) Hàm Delta Dirac Ω Mien Rd A(x) Hm ắc trng cna mđt A ∂ gradient (= 2grad = ˆi + ˆj + ˆk ) ∂ 2 ∂x ∂y ∂z ∂ ∂ Laplace, ∂x2 + ∂y2 + ∂z24 2 ∇ ∇ =4 Tốn tú vi phân khơng dùng x d dx ln| x| ∇ Toán tú song đieu hòa (∇ = ∇ x Qc Tích ch¾p Tốn tú sóng , = ∂2 ) − c2 ∇ ∂t2 Q Tốn tú sóng vói c = 1, Ket thúc chúng minh vii Lý chon đe tài Lý thuyet hàm suy r®ng (phân bo) có vai trò ngày quan trong vi¾c nghiên cúu phương trình đao hàm riêng Năm 1975, F E Browder phát bieu “Khi xét úng dnng cúa giái tích hàm đoi vói phương trình đao hàm riêng giái tích chuoi Fourier, lý thuyet hm suy rđng ó noi bắt lờn nh mđt búc ngoắt ỏng chỳ ý Nhung tien đe cho sn phát trien cna lý thuyet hàm suy r®ng như: phép tính tốn tú cna Heaviside, đao hàm suy rđng, nghiắm suy rđng cna phng trỡnh vi phõn, bien đoi Fourier tong quát, hàm delta Dirac m®t so hàm đ¾c bi¾t khác, dòng de Rham, đưoc biet tù trưóc năm 1950, thòi điem cuon sách chuyên kháo đau tiên ve lí thuyet hàm suy r®ng đưoc xuat bán bói L Schawrtz Tù nhà tốn hoc nhà v¾t lý bat đau sú dung hàm suy r®ng (các hàm tong quát) vi¾c nghiên cúu tốn cna tốn hoc úng dung v¾t lý lí thuyet Sn đòi cna lý thuyet hàm suy r®ng có ý nghĩa to lón đoi vói vi¾c nghiên cúu tốn cna phương trình đao hàm riêng tuyen tính Nó tao mđt c sú toỏn hoc chắt che, hắ thong, ay n e xõy dnng khỏi niắm nghiắm c bỏn, mđt ket noi quan giua khái ni¾m hàm delta Dirac hàm Green Sn ton tai nghi¾m bán cna tốn tú vi phân tuyen tính vói h¾ so hang bat kỳ đưoc thiet l¾p bói Malgrange-Ehrenpreis Tuy nhiên vi¾c tìm nghi¾m bán cu the đoi vói tùng toán tú lai van đe khác Chúng ta biet rang nghi¾m bán cna tốn tú tuyen tính cap hai bán, bao gom: toán tú Laplace, toán tú truyen nhi¾t, tốn tú truyen sóng đưoc trình bày hau het giáo trình ve phương trình đao hàm riêng Vói m®t so tốn tú vi phân tuyen tính vói h¾ so bien thiên, có the sú dung phép bien đoi thích hop đe đưa ve tốn tú tuyen tính bán, sú dung cơng thúc nghi¾m bán biet cna tốn tú tuyen tính đe nh¾n đưoc nghi¾m bán cho chúng Vói m®t so tốn tú phi tuyen can có cách tiep c¾n đ¾c bi¾t dna cau trúc cna phương trình đe tìm nghi¾m dang đ¾c bi¾t, tù xây dnng nghi¾m bán Vói lý mong muon đưoc tìm hieu kĩ ve nhung thành tnu cna nhà tốn hoc, nhà v¾t lý ve hi¾n tưong tn nhiên, đưoc sn đ%nh hưóng hưóng dan cna TS Tran Văn Bang, chon đe ti: Nghiắm c bỏn cớa mđt so toỏn t vi phân phi tuyen” làm đe tài lu¾n văn tot nghi¾p thac sĩ ngành Tốn giái tích Mnc đích nghiên cNu Tìm hieu nhung úng dung cna lý thuyet hàm suy rđng viắc xõy dnng nghiắm c bỏn cna m®t so tốn tú vi phân tuyen tính phi tuyen xuat hi¾n V¾t lý tốn tú: Fokker -Planck; Klein - Gordon Nhi¾m nghiên cNu Vói muc đích nghiên cúu ó trên, nhi¾m vu nghiên cúu cna lu¾n là: văn - Các ket bán ve lý thuyet hàm suy r®ng; - Nghiắm c bỏn cna mđt so toỏn tỳ tuyen tính; - M®t so tốn tú vi phân phi tuyen Đoi tưang pham vi nghiên cNu -Các ket quỏ cna lớ thuyet hm suy rđng; -Nghiắm c bỏn cna tốn tú vi phân tuyen tính phi tuyen ... tú vi phân tuyen tính 26 1.6.1 Tốn tú tích ch¾p 26 1.6.2 Tốn tú vi phân tuyen tính vói h¾ so hang 28 1.6.3 Toán tú vi phân không dùng 30 Nghiắm c bỏn cỳa mđt so toán tN vi. .. cna mđt so tốn tú tuyen tính; - M®t so tốn tú vi phân phi tuyen Đoi tưang pham vi nghiên cNu -Các ket q cna lí thuyet hàm suy r®ng; -Nghi¾m bán cna tốn tú vi phân tuyen tính phi tuyen 5 Phương... vi phân phi tuyen 34 2.1 Toán tú tuyen tính vói h¾ so bien thiên .34 iii 2.1.1 Toán tú Fokker –Planck 34 2.1.2 Toán tú Klein-Gordon 35 2.1.3 Phương trình đi¾n báo .36 2.1.4 Toán