Điểm bất động của một lớp toán tử phi tuyến (K,Uo) - Lõm chính quy đều

B® GIÁO DUC VÀ ĐÀO TAO TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I NGUYEN TH± LIfiU ĐIEM BAT Đ®NG CÚA LéP TOÁN TÚ PHI TUYEN (K, u0) - LÕM CHNH QUY LUắN VN THAC S TON HOC H NđI - 2011 NGUYEN TH± LIfiU ĐIEM BAT Đ®NG CÚA M®T LéP TỐN TÚ PHI TUYEN (K, u0) - LÕM CHÍNH QUY Chun ngành: TỐN GIÁI TÍCH Mã so: 60 46 01 LU¾N VĂN THAC SĨ TỐN HOC Ngưài hưáng dan: PGS - TS - GVCC Nguyen Phn Hy HÀ N®I - 2011 LèI CÁM ƠN Lu¾n văn đưoc thnc hi¾n hồn thành tai trưòng Đai hoc Sư pham H Nđi 2, dúi sn húng dan nhiắt tỡnh cna Phó giáo sư - Tien sĩ - Giáng viên cao cap Nguyen Phu Hy, ngưòi thay hưóng dan truyen cho tác giá nhung kinh nghi¾m quý báu hoc v nghiờn cỳu khoa hoc Thay luụn đng viên khích l¾ đe tác giá vươn lên hoc t¾p vưot qua nhung khó khăn chun mơn Tác giá xin bày tó lòng biet ơn, lòng kính sâu sac nhat đoi vói thay Tác giá xin chân thành cám ơn ban giám hi¾u trưòng Đai hoc Sư pham Hà N®i 2, phòng Sau đai hoc, khoa Tốn to Giái tích q thay tao moi đieu ki¾n thu¾n loi cho tác giá ket thúc tot đep chương trình cao hoc hồn thành lu¾n văn tot nghi¾p Tác giá xin trân cám ơn ban giám hi¾u trưòng THPT Ngơ Sĩ Liên - Bac Giang, to Toán - Tin, đong nghi¾p gia đình tao moi đieu ki¾n giúp đõ đe tác giá an tâm hoc t¾p hồn thnh tot luắn H Nđi, thỏng 12 nm 2011 Tác giá Nguyen Th% Li¾u LèI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan Lu¾n văn cơng trình nghiên cúu cna riêng tơi dưói sn hưóng dan trnc tiep cna PGS - TS - GVCC Nguyen Phu Hy Trong trình nghiên cúu, ke thùa thành khoa hoc cna nhà khoa hoc vói sn trân biet ơn Hà N®i, tháng 12 năm 2011 Tác giá Nguyen Th% Li¾u Mnc lnc Má đau v Chương M®t so kien thNc chuan b% 1.1 Không gian đ%nh chuan thnc .1 1.1.1 Các đ%nh nghĩa .1 1.1.2 M®t so khơng gian đ%nh chuan thnc 1.2 Không gian Banach thnc núa sap thú tn 14 1.2.1 Nón khơng gian đ%nh chuan thnc 14 1.2.2 Quan h¾ thú tn khơng gian E 15 1.2.3 Không gian Banach thnc núa sap thú tn 22 1.2.4 Không gian Eu0 .23 1.2.5 M®t so khơng gian Banach thnc núa sap thú tn 27 Chương Toán tN (K, u0) - lõm quy .42 2.1 Tốn tú (K, u0) - lõm 42 2.1.1 Các đ%nh nghĩa 42 2.1.2 M®t so tính chat đơn gián ve tốn tú (K, u0) - lõm 43 2.1.3 Ví du ve tốn tú (K, u0) - lõm 48 2.2 Toán tú (K u0) - lõm quy .52 2.2.1 Đ%nh nghĩa 52 2.2.2 M®t so tính chat đơn gián ve tốn tú (K, u0) - lõm quy 52 2.2.3 Ví du ve tốn tú (K, u0) - lõm quy 56 iii iv Chương SN ton tai điem bat đ®ng cúa tốn tN (K, u0) lõm quy 59 3.1 M®t so đ%nh lí ve sn ton tai điem bat đ®ng cna tốn tú (K, u 0) - lõm quy 59 3.2 Ví du áp dung 66 Ket lu¾n 68 Má đau Lí chon đe tài Nhieu van đe cna toán hoc, v¾t lí, ky thu¾t dan đen vi¾c xét phương trình: Ax − x = (1) A m®t tốn tú tác đ®ng m®t khơng gian hàm đó, x phan tú phái tìm Phan tú x thố mãn (1) goi điem bat đ®ng cna tốn tú A Ngưòi đ¾t nen móng cho vi¾c nghiên cúu điem bat đ®ng cna tốn tú A nhà tốn hoc ngưòi Balan Stefan Banach vói ngun lí noi tieng: ngun lí ánh xa co (cơng bo năm 1922) Tiep đen có nhieu nhà tốn hoc có cơng trình nghiên cúu ve điem bat đ®ng cna tốn tú khơng gian hàm Nhà tốn hoc Nga noi tieng M.A.Kraxnơxelxki nghiên cúu lóp tốn tú phi tuyen - Tốn tú lõm (1956) ve điem bat đ®ng vectơ riêng; Sau giáo sư tien sĩ khoa hoc I.A.Baxtin mó r®ng ket q cho lóp tốn tú phi tuyen (K, u0) lõm (1984) Các lóp tốn tú có chung tính chat u0 - đo đưoc Tính chat u0 – đo đưoc đ%nh nghĩa toán tú lõm khien cho vi¾c úng dung ket g¾p khó khăn Tuy nhiên ton tai nhung lóp tốn tú phi tuyen khơng có tính chat u0 – đo đưoc, có nhung tính chat tốn tú lõm M®t nhung lóp tốn tú the lóp tốn tú lõm quy v vi Năm 1987, báo đăng tap chí Tốn hoc, t¾p XV, so 1, 27 - 32, PGS - TS Nguyen Phu Hy xây dnng khái ni¾m tốn tú lõm quy sn mó r®ng đ%nh lí quan ve điem bat đ®ng đoi vói tốn tú lõm cho tốn tú lõm quy Vói mong muon mó r®ng ket q tương úng đoi vói tốn tú lõm quy cho lóp tốn tú phi tuyen (K, u0) – lõm quy, tơi chon đe tài: “Điem bat đ®ng cúa m®t láp tốn tN phi tuyen (K, u0) - lõm quy” Mnc đích nghiên cNu Luắn iem bat đng cỳa mđt lỏp toỏn tN phi tuyen (K, u0) - lõm quy” nham đưa đưoc m®t so tính chat ve tốn tú (K, u0) - lõm quy sn ton tai điem bat đng cna lúp toỏn tỳ ú Nhiắm nghiên cNu Vói muc đích nêu ó trên, nhung nhi¾m vu nghiên cúu cna lu¾n văn là: + Nghiên cúu m®t so tính chat ve tốn tú (K, u0) - lõm quy + Nghiên cúu sn ton tai điem bat đ®ng cna tốn tú (K, u0) - lõm chớnh quy + Vắn dung mđt so ket quỏ nghiên cúu vào m®t so khơng gian đ %nh chuan thnc cu the Đoi tưang pham vi nghiên cNu +) Đoi tưong nghiên cúu: Toán tú (K, u0) - lõm quy +) Pham vi nghiên cúu: - Tính chat điem bat đ®ng cna tốn tú (K, u0) - lõm quy; vii - Sn ton tai điem bat đ®ng cna tốn tú (K, u0) - lõm quy; - Vắn dung mđt so ket quỏ nghiờn cỳu vào m®t so khơng gian đ%nh chuan thnc cu the Phương pháp nghiên cNu - Sú dung phương pháp nghiên cúu tài li¾u - V¾n dung (hay áp dung) m®t so ket q nghiên cúu vào m®t so khơng gian đ%nh chuan thnc cu the DN kien đóng góp mái - Xây dnng khái ni¾m tốn tú (K, u0)– lõm quy ví du - Trình bày mđt cỏch hắ thong cỏc tớnh chat cna toỏn tỳ (K, u0) – lõm quy - M®t so đieu kiắn ton tai iem bat đng cna toỏn tỳ (K, u0) – lõm quy - V¾n dung ket q đat đưoc m®t so khơng gian đ %nh chuan thnc cu the Chương M®t so kien thNc chuan b% 1.1 Không gian đ%nh chuan thNc 1.1.1 Các đ%nh nghĩa Đ%nh nghĩa 1.1.1 Cho không gian tuyen tính thnc E M®t chuan E m®t ánh xa tù E vào R, kí hi¾u "."(đoc chuan), thóa mãn đieu ki¾n sau: i,∀x ∈ E, "x" ≥ 0, "x" = chí x = θ (θ phan tú không không gian E); ii,∀x ∈ E, ∀α ∈ R, "αx" = |α| "x"; iii,∀x, y ∈ E, "x + y" ≤ "x" + "y" (bat thúc tam giác) Đ%nh nghĩa 1.1.2 Khơng gian tuyen tính thnc E vói m®t chuan goi m®t khơng gian đ%nh chuan thnc, kí hi¾u (E, ".") hay E Đ%nh nghĩa 1.1.3 Cho không gian đ%nh chuan E Dãy điem ∞ {xn}n= ⊂ E goi h®i tu đen x ∈ E neu lim "xn − x" = 0, n →∞ hay ∀ε > 0, ∃n0 ∈ N cho ∀n ≥ n0, "xn − x" < ε ∗ Dna vào đ%nh nghĩa ta de dàng chúng minh đưoc m®t so tính chat sau: Suy Atx − tAy = √ t− t √ y ≥ √ t − t u0 ≥ √ λ √ u √ t−t u √ λ √ max u0 s∈[0;1] √ t−t > ta có Ax − tAy ≥ δu0 Vói δ = δ (x, y, t) √ λ = √ max u0 s∈[0;1] Như v¾y, toán tú A toán tú (K, u0) - lõm quy Chương SN ton tai điem bat đ®ng cúa tốn tN (K, u0) - lõm quy 3.1 M®t so đ%nh lí ve sN ton tai điem bat đ®ng cúa tốn tN (K, u0) - lõm quy Đ%nh lí 3.1.1 Giá sú A tốn tú (K, u0) - lõm quy x0 m®t phan tú thu®c K (u0) Neu dãy x0, x1, , xn, đó, xn = Axn−1 (n = 1, 2, ), tăng ton tai phan tú K (u0 ) Ax¯ = x¯ x¯ = sup (xn ) Chúng minh Vì x¯ = sup xn nên x¯ ≥ xn Mà A tốn tú đơn đi¾u nên Axn ≤ Ax¯ M¾t khác {xn } dãy tăng nên xn ≤ xn+1 = Axn Do xn ≤ Ax¯, n = 1, 2, Suy sup (xn ) = x¯ ≤ Ax¯ (3.1) Vói moi n = 1, 2, ta xét ánh xa hn : R → E t ›→ xn − tx¯ Khi ánh xa hn liên tuc phép c®ng hai vectơ phép nhân m®t vectơ vói m®t so khơng gian đ%nh chuan E liên tuc Xét t¾p In = {t ∈ R : xn − tx¯ ≥ θ} = {t ∈ R : xn − tx¯ ∈ K} = n −1 h (K) Do K t¾p đóng E ánh xa hn liên tuc nên hn−1 (K) t¾p đóng 59 60 R Suy In t¾p đóng R Vói moi t ∈ I ta có t ≤ Th¾t v¾y, giá sú t > , t = + a, a > Khi ta có xn − tx¯ = xn − (1 + a) x¯ = xn − x¯ − ax¯ ≥ θ, suy xn − x¯ − ax¯ ∈ K Mà x¯ ≥ xn nên x¯ − xn ≥ θ hay x¯ − xn ∈ K Do K m®t nón nên ta có xn − x¯ − ax¯ + x¯ − xn = −ax¯ ∈ K ( vơ lí) V¾y t ≤ 1, hay In b% ch¾n R Do ton tai tn = max {t ∈ R : xn − tx¯ ≥ θ}, tn ≤ Hơn nua, tn > xn , x¯ ∈ K (u0 ) nên ton tai α, β > cho αu0 ≤ xn ≤ βu0, αu0 ≤ x¯ ≤ βu0 suy xn ≥ αu0 α β = V¾y < tn ≤ .βu0 ≥ α x hay xn − x¯ ≥ θ Do ¯ β β tn ≥ α α > β M¾t khác dãy so {tn } tăng, xn−1 − tn−1 x¯ ≥ θ ⇔ xn−1 ≥ tn−1 x¯, A tốn tú đơn đi¾u nên Axn−1 ≥ Atn−1 x¯ ≥ tn−1 Ax¯ ⇒ xn ≥ tn−1 x¯ hay xn − tn−1 x¯ ≥ θ tn ≥ tn−1 Vì v¾y ton tai tn = t ∈ (0; 1] lim n →∞ Giá sú t ∈ (0; 1), nhò tính chat ii) cna tốn tú A ta có Atx¯ > tAx¯ ≥ tx¯ ⇒ Atx¯ − tx¯ > θ Nhò tính chat iii) cna tốn tú A x¯ > θta có ∃δ > : A (Atx¯) − tAx¯ ≥ δu0 hay A2 tx¯ − tAx¯ ≥ δu0 x¯ Vì x¯ ∈ K (u0 ) nên ton tai β1 > cho x¯ ≤ β1 u0 , suy β1 u0 ≥ Chon γ = δ ta có u0 β1 ≥ t γt δ 61 x¯ A2 tx¯ ≥ tAx¯ + δu0 ≥ tx¯ + γtx¯ = t (1 + γ) x¯ xn+2 = A2 xn ≥ A2 tn x¯ = n t tx¯ A2 t tn ≥ Do ≥ t tn A2 tx¯ t t (1 + γ) x¯ = (1 + γ) tn x¯ Suy tn+2 ≥ (1 + γ) tn, (n = 1, 2, ) k t1 Đ¾c bi¾t t2k+1 ≥ (1 + γ) t2k−1 ≥ · · · ≥ (1 > 0, (k = 1, 2, ) + γ) Suy lim t k→∞ 2k+1 lim tn = = +∞, mâu thuan vói đieu giá sú t < Vì v¾y n→∞ M¾t khác nhò tính chat ii) sau nhò tính chat i) cna tốn tú A ta có tn Ax¯ < Atn x¯ ≤ Axn = xn+1 ≤ x¯, n = 1, 2, Cho n → ∞ ta đưoc Ax¯ ≤ x¯ (3.2) Tù (3.1) (3.2) suy Ax¯ = x¯ Đ%nh lí 3.1.2 Cho tốn tú A : E → E thóa mãn đieu ki¾n sau: i, A tốn tú (K, u0) - lõm quy; ii, Ton tai λ > cho ∀y ∈ K (u0) ta có Ay ≥ λu0 (A đưoc goi b% ch¾n dưói bói u0 K (u0)); iii, Ton tai y0 ∈ K (u0) cho dãy {yn} vói yn = Ayn−1 (n = 1, 2, ) giám ton tai phan y¯ = inf (yn ) K (u0 ) tú Khi Ay¯ = y¯ Chúng minh Vì y¯ = inf yn nên y¯ ≤ yn , ∀n ∈ N A tốn tú đơn đi¾u dãy {yn} giám nên Ay¯ ≤ Ayn = yn+1 ≤ yn , ∀n ∈ N Suy Ay¯ ≤ inf yn = y¯ (3.3) Vói moi n = 1, 2, ta xét ánh xa hn : R → E t ›→ ty¯ − yn Khi ánh xa hn liên tuc phép c®ng hai vectơ phép nhân m®t vectơ vói m®t so khơng gian đ%nh chuan E liên tuc Xét t¾p In = {t ∈ R : ty¯ − yn ≥ θ} = {t ∈ R : ty¯ − yn ∈ nK} = h−1 (K) Do K t¾p đóng E ánh xa hn liên tuc nên hn−1 (K) t¾p đóng R Suy In t¾p đóng R In b% ch¾n dưói R vì,∀t ∈ In ta có ty¯ ≥ yn ≥ y¯, ∀n ∈ N Do (t − 1) y¯ ≥ θ Vì y¯ ∈ K (u0 ) suy t − ≥ hay t ≥ Ta có In t¾p đóng b% ch¾n dưói bói R nên ton tai tn = {t ∈ R : ty¯ − yn ≥ θ}, tn ≥ 1, ∀n ∈ N M¾t khác dãy so {tn} giám vì, tn ≥ nên < ≤ suy tn 1 y¯ ≥ Ay¯ 1tn y¯ Ayn Atn y¯ yn+1, ∀n ∈ N =A t t t = tn ≥ n n ≥ hay n tn y¯ − yn+1 ≥ θ Suy tn+1 ≤ tn Vì v¾y ton tai tn = t ∈ [1; +∞) lim n→∞ Giá sú t ∈ (1; +∞), ∈ (0; 1) t Vì t > 1, y¯ ∈ K (u0 ) nên ty¯ ∈ K (u0 ) Nhò đieu ki¾n ii) cna tốn tú A ta có Aty¯ ≥ λu0 Ta lai có Ay¯ = A nên ty¯ > t Aty¯ t Aty¯ < tAy¯ ≤ ty¯ Do y¯ ∈ K (u0 ) nên ton tai α, β > cho αu0 ≤ y¯ ≤ βu0 Suy λu0 ≤ Aty¯ < tAy¯ ≤ ty¯ ≤ tβu0 Vì v¾y Aty¯ ∈ K (u0 ) ∈ (0; 1) A tốn tú (K, u0) - lõm quy nên t y¯ ≥ Ay¯ = y > ¯ A Aty¯ t t Suy y¯ Aty¯≥ θ t − Ta có y¯, Aty¯ ∈ K (u0 ) , ∈ (0; 1) A toán tú (K, u0 ) - lõm t quy nên Do t ∃δ = δ (t, y¯) > : Ay¯ ty¯ ≥ δu0 hay − A t A ty¯ ≤ Ay¯ − δu0 ≤ y¯ t − δu0 y¯ Vì y¯ ∈ K (u0 ) nên ton tai β1 > cho y¯ ≤ β1 u0 , suy β1 u0 ≥ δ β1 Chon γ = > ta có u0 ≥ γ δ y¯ t A2 ty¯ ≤ y¯ − γy¯ = (1 − γ) y¯ Suy A2 ty¯ ≤ t (1 − γ) y¯ t Vì {tn} dãy giám b% ch¾n dưói bói lim tn = t nên < < n →∞ tn Khi 2 t A ty¯ = A > t tn y¯ A2 tn y¯ t n hay tn tn A2 tn y¯ A ty¯ < tn (1 − γ) y¯ < t Do yn+2 = A2 yn ≤ A2 tn y¯ < tn (1 − γ) y¯, Suy < − γ < tn (1 − γ) y¯ − yn+2 > θ Vì v¾y tn+2 ≤ (1 − γ) tn, (n = 1, 2, ) k Đ¾c bi¾t t2k+1 ≤ (1 − γ) t2k−1 ≤ · · · ≤ (1 t1 > 0, (k = 1, 2, ) − γ) Suy lim t2k+1 = 0, mâu thuan vói đieu giá sú t > Vì v¾y t = n k→∞ lim n→∞ M¾t khác A - tốn tú (K, u0) - lõm quy nên ta có yn 1 Ay¯ ≥ A > y¯, n = 1, 2, y Ayn n+1 tn t = t ≥ tn n Cho n → ∞ ta đưoc n Ay¯ ≥ y¯ (3.4) Tù (3.3) (3.4) suy Ay¯ = y¯ Đ%nh lí 3.1.3 Giá sú A toán tú (K, u0) - lõm quy x0 ∈ K (u0) cho x0 ≤ Ax0 Neu dãy xn = Axn−1, (n = 1, 2, ) có điem giói han x¯ ∈ K (u0 ) Ax¯ = x¯ Chúng minh Dãy {xn } chúa dãy {xnk } h®i tu tói x¯ ∈ K (u0 ) Tù đieu ki¾n x0 ≤ Ax0 ta có x0 ≤ x1 Giá sú xk ≤ xk+1, ∀k = 1, 2, ta can chúng minh xk+1 ≤ xk+2 Ta có xk ≤ xk+1, ∀k = 1, 2, A tốn tú đơn đi¾u K nên Axk ≤ Axk+1, ∀k = 1, 2, Suy xk+1 ≤ xk+2, ∀k = 1, 2, V¾y theo quy nap tốn hoc ta có xn ≤ xn+1, ∀n = 1, 2, hay dãy {xn} dãy tăng Hien nhiên, vói n = 1, 2, n < nk ta có xn ≤ xnk Cho k → ∞ ta đưoc xn ≤ x¯, (n = 1, 2, ) Neu có phan tú y ∈ E cho y ≥ xn, (n = 1, 2, ) y ≥ xnk , (k = 1, 2, ) nên y ≥ x¯ Do x¯ = sup xn Vì v¾y đieu ki¾n cna đ%nh lí 3.1.3 thóa mãn đieu ki¾n cna đ %nh lí 3.1.1, nên theo đ%nh lí 3.1.1 ta có Ax¯ = x¯ Đ%nh lí 3.1.4 Giá sú A tốn tú (K, u0) - lõm quy, b% ch¾n dưói bói u0 K (u0) ton tai y0 ∈ K (u0) cho y0 ≥ Ay0 Neu dãy yn = Ayn−1, (n = 1, 2, ) có điem giói y¯ ∈ K (u ) Ay¯ = y¯ han Chúng minh Dãy {yn } chúa dãy {ynk } h®i tu tói y¯ ∈ K (u0 ) Tù đieu ki¾n y0 ≥ Ay0 tính đơn đi¾u cna tốn tú A suy dãy {yn} giám Hien nhiên, vói n = 1, 2, n < nk ta có yn ≥ ynk Cho k → ∞ ta đưoc yn ≥ y¯, (n = 1, 2, ) Neu có phan tú z ∈ E cho z ≥ yn, (n = 1, 2, ) z ≥ ynk , (k = 1, 2, ) nên z ≥ y¯ Do y¯ = inf yn Vì v¾y đieu ki¾n cna đ%nh lí 3.1.4 thóa mãn đieu ki¾n cna đ %nh lí 3.1.2, nên theo đ%nh lí 3.1.2 ta có Ay¯ = y¯ 3.2 Ví dn áp dnng Ví dn 3.1 Trong C[0;1], ta có K = x = x (s) ∈ C[0;1] : x (s) ≥ 0, ∀s ∈ [0; 1] Chon u0 ∈ C[0;1] cho u0 (s) = 1, ∀s ∈ [0; 1] theo muc 1.2.5.2 ta có K (u0) = x = x (s) ∈ C[0;1] : x (s) > 0, ∀s ∈ [0; 1] , Xét toán tú A xác đ%nh bói Ax (s) = | x (s)|, ∀s ∈ [0; 1] Theo muc 2.2.3 ta có A tốn tú (K, u0) - lõm quy Chon x0 ∈ K (u0) cho max x0 ≤ s∈[0;1] √ x0 = (x0)2 , 1 √ x2 = Ax1 = x1 = (x1)2 = (x0)4 , x1 = Ax0 = 1 √ xn = Axn−1 = xn−1 = (xn−1)2 = (xn0)2 ta đưoc dãy {xn} xác đ%nh bói xn = (x0)2n , ∀n ∈ N Ta có dãy {xn} tăng vì, < x0 (s) ≤ max x0 (s) < 1, ∀s ∈ [0; 1] Suy > s∈[0;1] 2n 2n+1 , ∀n ∈ N (x0 (s))2n ≤ (x0 (s)) 2n+1 , ∀s ∈ [0; 1] , ∀n ∈ N 1 n Vì v¾y (x0)2 ≤ (x0)2n+1 , ∀n ∈ N hay xn ≤ xn+1, ∀n ∈ N     h®i tu tói 1, Vói moi s ∈ [0; 1] co đ%nh ta có n (x0 (s)) dãy so     dãy hàm (x0 (s))2n  h®i tu điem tói hàm x (s) = 1, ∀s ∈ [0; 1]   Theo tính chat cna dãy hàm không giám, không âm liên tuc [0; 1] h®i tu điem tói hàm liên tuc [0; 1] h®i tu đeu [0; 1],   dãy hàm (x (s)) 2n  h®i tu đeu tói hàm x (s) = 1, ∀s ∈ [0; 1]   [0; 1]  Suy dãy  n (x0)2   có giói han hàm x (s) = 1∀s ∈ [0; 1]  K (u0) Khi đieu ki¾n cna đ%nh lí 3.1.3 đưoc thóa mãn, nên tốn tú A có điem bat đ®ng K (u0) x (s) = 1, ∀s ∈ [0; 1] Ket lu¾n Q trình nghiên cúu đat đưoc nhung ket sau: • Xây dnng khái ni¾m tốn tú (K, u0) - lõm chớnh quy v vớ du Trỡnh by hắ thong tính chat cna tốn tú (K, u0) - lõm quy Mđt so ieu kiắn ton tai iem bat đng cna toỏn tỳ (K, u0) lừm chớnh quy Vắn dung ket quỏ at oc mđt so khụng gian đ%nh chuan thnc cu the Do thòi gian có han, bán lu¾n văn khơng tránh khói nhung thieu sót Tác giá rat mong nh¾n đưoc sn đóng góp cna q thay ban đe đe lu¾n văn đưoc hồn thi¾n hơn.Tơi xin chân thành cám ơn! 68 ... nghiên cúu: Toán tú (K, u0) - lõm quy +) Pham vi nghiên cúu: - Tính chat điem bat đ®ng cna tốn tú (K, u0) - lõm quy; vii - Sn ton tai điem bat đ®ng cna tốn tú (K, u0) - lõm quy; - Vắn dung mđt... u0) - lõm 48 2.2 Toán tú (K u0) - lõm quy .52 2.2.1 Đ%nh nghĩa 52 2.2.2 M®t so tính chat đơn gián ve tốn tú (K, u0) - lõm quy 52 2.2.3 Ví du ve tốn tú (K, u0) - lõm quy. .. phi tuyen (K, u0) - lõm quy Mnc đích nghiên cNu Lu¾n văn “Điem bat đ®ng cúa m®t láp tốn tN phi tuyen (K, u0) - lõm quy nham đưa đưoc m®t so tính chat ve tốn tú (K, u0) - lõm quy sn ton tai điem