Cấu trúc phô trương của một lớp toán tử phi tuyến compact

3 LỜI CẢM ƠN Luận văn được thực hiện và hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình và chu đáo của PGS. TS Nguyễn Phụ Hy, người thầy đã hướng dẫn và chỉ bảo cho tác giả những kiến thức và kinh nghiệm quý báu trong học tập và nghiên cứu khoa học. Tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới PGS. TS Nguyễn Phụ Hy. Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, Phòng Sau đại học, các thầy, cô trong Tổ Giải tích của Khoa Toán Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã tạo điều kiện thuận lợi trong thời gian tác giả học tập và nghiên cứu tại trường. Tác giả xin trân trọng cảm ơn Sở GD – ĐT tỉnh Vĩnh Phúc, Phòng Giáo dục huyện Sông Lô, Trường THCS Cao Phong, Đức Bác huyện Sông Lô, tỉnh Vĩnh Phúc đã tạo điều kiện thuận lợi để tác giả học tập và hoàn thành luận văn. Do điều kiện thời gian và khả năng bản thân còn có hạn, nên luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót. Kính mong các thầy, cô cùng các bạn đọc nhận xét và góp ý kiến để luận văn được hoàn thiện và có ý nghĩa thực tiễn cao hơn. Hà Nội, tháng 9 năm 2010 Tác giả Nguyễn Đức Thịnh 4 LỜI CAM ĐOAN Trong quá trình nghiên cứu luận văn: “ Cấu trúc phổ dương của một lớp toán tử phi tuyến compact ” đã giúp tác giả hiểu sâu hơn bộ môn Giải tích. Đặc biệt là cấu trúc không gian sắp thứ tự và nửa sắp thứ tự, về cấu trúc phổ của một số lớp toán tử phi tuyến. Qua đó cũng giúp tác giả bước đầu làm quen với công tác nghiên cứu khoa học. Tác giả xin cam đoan luận văn được hình thành do sự cố gắng tìm tòi, nghiên cứu của bản thân tác giả, dưới sự chỉ bảo của PGS. TS Nguyễn Phụ Hy cũng như các thầy, cô Phòng Sau đại học, Tổ Giải tích của Khoa Toán Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2. Trong khi nghiên cứu luận văn, tác giả đã tham khảo và kế thừa các thành quả khoa học, nghiên cứu của các học viên Cao học, các thầy, cô giáo với sự trân trọng và biết ơn. Hà Nội, tháng 9 năm 2010 Tác giả Nguyễn Đức Thịnh 5 MỤC LỤC Trang Mở đầu Chương 1 : Một số kiến thức chuẩn bị ………………………… 1.1. Khái niệm không gian Banach thực …………………………… 1.1.1. Các định nghĩa ………………………………………………. 1.1.2. Một số tính chất đơn giản …………………………………… 1.1.3. Một số không gian Banach thực…………………………… 1.2. Khái niệm phổ của toán tử tuyến tính bị chặn trong không gian Banach thực ……………………………………………………… 1.2.1. Các định nghĩa……………………………………………… 1.2.2. Một số định lí về phổ của toán tử tuyến tính bị chặn………… 1.2.3. Phổ của một số toán tử tuyến tính……………………………. 1.3. Không gian Banach thực nửa sắp thứ tự……………………… 1.3.1. Khái niệm nón trong không gian Banach thực………………. 1.3.2. Quan hệ sắp thứ tự trong không gian Banach thực …………. 1.3.3. Một số định lí về nón ……………………………………… 1.3.4. Không gian 0 u E ………………………………………………. 1.3.5. Một số không gian Banach thực nửa sắp thứ tự……………… Chương 2: Toán tử u 0 _lõm và toán tử lõm chính quy …………. 2.1. Toán tử u 0 _lõm ………………………………………………… 2.1.1. Định nghĩa toán tử u 0 _lõm và các định nghĩa liên quan…… 2.1.2. Một số toán tử u 0 _lõm ………………………………………. 2.1.3. Điểm bất động của toán tử u 0 _lõm …………………………. 2.2. Toán tử lõm chính quy…………………………………………. 2.2.1. Định nghĩa toán tử lõm chính quy và các định nghĩa liên quan…………………………………………………………… 9 9 9 10 11 16 16 17 20 24 24 25 26 30 32 36 36 36 36 38 6 2.2.2. Một số toán tử lõm chính quy……………………………… 2.2.3. Điểm bất động của toán tử lõm chính quy…………………… Chương 3: Cấu trúc phổ dương của một lớp toán tử phi tuyến compact ……………………………………………………………. 3.1. Các định nghĩa…………………………………………………. 3.1.1. Định nghĩa toán tử compact…………………………………. 3.1.2. Định nghĩa toán tử compact đơn điệu……………………… 3.2. Vecto riêng dương và giá trị riêng dương……………………… 3.2.1. Định nghĩa vecto riêng dương và giá trị riêng dương……… 3.2.2. Định nghĩa toán tử dương nghiêm ngặt……………………… 3.2.3. Một số tính chất đơn giản về vecto riêng dương và giá trị riêng dương…………………………………………………………. 3.3. Cấu trúc phổ dương của toán tử lõm chính quy hoàn toàn liên tục…………………………………………………………………… Kết luận Tài liệu tham khảo 42 42 42 44 46 46 46 47 48 48 48 48 50 7 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Nhiều vấn đề của toán học, vật lí, kỹ thuật dẫn đến việc giải phương trình: Ax x y    trong không gian định chuẩn X, trong đó A là toán tử tuyến tính,  là số thực hay số phức, y cho trước thuộc X, x là phần tử phải tìm. Nội dung chủ yếu của bài toán này là việc nghiên cứu phổ của toán tử A. Việc nghiên cứu phổ của toán tử được nêu ra và giải quyết từ đầu thế kỷ 20, gắn liền với tên tuổi của những nhà khoa học nổi tiếng như Hilbert, Banach, Frêsê… Một trong những hướng lớn phát triển lí thuyết phổ là lí thuyết khai triển theo các vecto riêng của một toán tử hoặc một họ hữu hạn các toán tử. Vấn đề này được nghiên cứu và giải quyết vào những năm 40, 50 của thế kỷ 20, gắn liền với tên tuổi của những nhà khoa học nổi tiếng như: Krein, Beredanxki, Rudin, Iôxida…. Từ những năm 70 của thế kỷ 20 lí thuyết khai triển theo vecto riêng được phát triển cho một hệ vô hạn các toán tử liên hợp, do đó hình thành lí thuyết toán tử tuyến tính trong không gian vô hạn biến. Công khai phá và phát triển lí thuyết mới này thuộc về Viện sĩ Beredanxki và các học trò của ông. Nước ta, trong thời gian này, tác giả Nguyễn Phụ Hy cũng đã có những đóng góp đáng kể vào lý thuyết phổ của toán tử theo hướng mới này. Tuy nhiên việc ứng dụng của lý thuyết phổ vào các ngành kế cận như: Phương trình vi phân và tích phân, xác suất thống kê toán, động lực học, điều khiển, lý thuyết trò chơi, toán kinh tế, … thì các toán tử A nói trên thường không phải là tuyến tính, do đó lý thuyết Phương trình phi tuyến ra đời. Đặt nền móng cho lý thuyết mới này là nhà toán học Hunggari Banach. Kế đến phải nói tới lý thuyết nghiệm dương của các Phương trình toán tử phi tuyến trong các công trình của nhà toán học Xô viết nổi tiếng Kraxnôxenxki và các học trò của ông. Các nhà toán học đã lần lượt xét các toán tử khác nhau như: toán tử đơn điệu, toán tử đo được, toán tử cực trị, toán tử có đạo hàm Frêsê hay đạo hàm tiệm cận, toán tử lõm, … 8 Theo hướng nghiên cứu đó, được sự hướng dẫn, giúp đỡ của PGS. TS Nguyễn Phụ Hy tôi muốn đi nghiên cứu, tìm hiểu về cấu trúc phổ của một lớp toán tử phi tuyến compact và một vài ứng dụng của nó trong toán phổ thông. Vì vậy tôi chọn đề tài: “ cấu trúc phổ dương của một lớp toán tử phi tuyến “. 2. Mục đích nghiên cứu Đề tài này nhằm nghiên cứu một cách hệ thống về phổ dương của một lớp toán tử phi tuyến compact và một vài ứng dụng. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Đề tài làm rõ các khái niệm trong không gian Banach thực nửa sắp thứ tự, cấu trúc phổ dương của lớp toán tử phi tuyến lõm chính quy hoàn toàn liên tục tác dụng trong không gian Banach thực nửa sắp thứ tự. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Đề tài tập trung nghiên cứu về cấu trúc phổ dương của toán tử lõm chính quy hoàn toàn liên tục, vận dụng lý thuyết này thông qua một số ví dụ. Luận văn gồm phần mở đầu, ba chương, kết luận và tài liệu tham khảo. Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị Chương 2: Toán tử u 0 _lõm và toán tử lõm chính quy Chương 3: Cấu trúc phổ dương của một lớp toán tử phi tuyến compact 5. Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu tài liệu. Phát triển những lý thuyết liên quan. Xây dựng giả thuyết khoa học, chứng minh. Xây dựng các ví dụ cụ thể. 6. Giả thuyết khoa học Luận văn nghiên cứu sâu về cấu trúc phổ dương của một lớp toán tử phi tuyến compact, nâng nó thành đề tài nghiên cứu và đề xuất các ứng dụng của nó trong giải quyết các vấn đề lý thuyết, thực tiễn về phổ của toán tử phi tuyến cũng như về lý thuyết phương trình. 9 Vì mục đích nghiên cứu, học hỏi, luận văn sẽ là tài liệu tham khảo hữu ích cho sinh viên, học viên cao học, người yêu thích toán và người quan tâm tới lý thuyết, ứng dụng phổ của toán tử và phương trình. 10 Chơng 1: một số kiến thức chuẩn bị 1.1. Khái niệm không gian Banach thực 1.1.1. Các định nghĩa Định nghĩa 1.1.1 Ta gọi l không gian định chuẩn ( hay không gian tuyến tính định chuẩn) mt không gian tuyến tính (hay khụng gian vecto) X trên trờng P cùng với một ánh xạ: || . || : X R x || x || c là chuẩn, thoả mãn các tiên đề sau: C1, ( x X) || x || 0, || x || = 0 x = 0; C2, ( x X) ( P) || x || = | | || x ||; C3, ( x, y X) || x+y || || x || + || y ||. Ta kí hiệu không gian định chuẩn là ( X, || . || ) hoặc X. Định nghĩa 1.1.2 Dãy điểm (x n ) của không gian định chuẩn X gọi là hội tụ tới điểm x X, nếu ||||lim xx n n = 0. Kí hiệu n n x lim = x. Định nghĩa 1.1.3 Dãy điểm ( x n ) trong không gian định chuẩn X gọi là dãy cơ bản nếu mn mn xx , lim = 0. Định nghĩa 1.1.4 Không gian định chuẩn X gọi là không gian Banach, nếu mọi dãy cơ bản trong X đều hội tụ. Không gian Banach X gọi là không gian Banach thực nếu X là không gian tuyn tớnh trên trờng số thực ( P = R ). nh ngha 1.1.5 Tp M X c gi l tp li, nu: 11 1 2 1 2 , , : 0 1 (1 ) x x M R x x M               Tập rỗng  được coi là tập lồi. Định nghĩa 1.1.6 Tập X 0   gọi là không gian định chuẩn con của không gian định chuẩn X, nếu X 0 là không gian tuyến tính con của không gian X và chuẩn xác định trên X 0 là chuẩn xác định trên X. Nếu X 0 đồng thời là tập đóng trong không gian X, thì X 0 gọi là không gian định chuẩn con đóng của không gian X. 1.1.2. Mét sè tÝnh chÊt ®¬n gi¶n. (+) Nếu dãy điểm (x n ) hội tụ tới x, thì dãy chuẩn (|| x n || ) hội tụ tới || x ||. (+) Nếu dãy điểm (x n ) hội tụ trong không gian định chuẩn X, thì dãy chuẩn tương ứng ( ||x n || ) bị chặn. (+) Nếu dãy điểm (x n ) hội tụ tới x, dãy điểm (y n ) hội tụ tới y trong không gian định chuẩn X, dãy số   n  hội tụ tới  thì: x n + y n  x + y ( n   ) , n  x n   x ( n   ). Định lí 1.1.1 Nếu X 0 là không gian định chuẩn con đóng của không gian định chuẩn X và X 0  X, thì với số dương  cho trước tùy ý, tồn tại phần tử x  X, || x || = 1, sao cho d( x, X 0 ) = 0 inf || || 1 y X x y      . Chứng minh Vì X 0  X, nên tồn tại phần tử z  X \ X 0 . Đặt: 0 0 ( , ) inf || || y X d z X z y      (1.1.1) Rõ ràng 0   . Thật vậy, nếu 0   , thì tồn tại dãy điểm 0 ( ) n y X sao cho lim || || 0 n n z y    , vì X 0 đóng nên 0 z X , điều này mâu thuẫn với tính chất của phần tử z  X \ X 0 . Mâu thuẫn đó chứng tỏ 0   . Giả sử  là số tùy ý thuộc 12 khoảng (0;1). Theo định nghĩa cận dưới đúng, với số a = 0 1     , tồn tại phần tử 0 a y X sao cho || || a z y a       . Đặt || || a a z y x z y    , thì || x || = 1 và ta có 0 y X  1 || || || ( || || ) || || || || || 1 || || 1 a a a a a a z y x y y z y z y y z y z y z y a                            Định lý được chứng minh. 1.1.3. Mét sè kh«ng gian Banach thùc VÝ dô 1.1.1 TËp hîp c¸c sè thùc lµ kh«ng gian Banach thực víi chuÈn: || x || = | x |,  x  R ThËt vËy, như đã biết, tập số thực R là một không gian tuyến tính thực. Đối với mỗi số thực x thì || x || = | x | (1.1) Nhờ các tính chất về giá trị tuyệt đối của số thực, ta có: +/ , || || | | 0 x R x x     và || || | | 0 0 x x x     . +/ , , || || | | | |.| | | |.|| ||x R R x x x x             . +/ , , || || | | | | | | || || || ||x y R x y x y x y x y         Vậy công thức (1.1) cho một chuẩn trên R. Không gian định chuẩn tương ứng ký hiệu là R 1 . Không gian R 1 là một không gian Banach, điều này có được là do tiêu chuẩn Cauchy về sự hội tụ của dãy số thực. VÝ dô 1.1.2 Xét không gian tuyến tính thực   1 2 ( , , , ) : , 1,2, , , n n i R x x x x x R i n      ,n N 2 n  . Với bất kỳ 1 2 ( , , , ) n n x x x x R  ta đặt: 2 1 || || n i i x x    (1.2) [...]... không gian định chuẩn Y gọi là toán tử compact nếu A ánh xạ tập bị chặn bất kỳ trong X thành tập compact tương đối trong Y 1.2.2 Một số định lý về phổ của toán tử tuyến tính bị chặn Định lí 1.2.1 20 Cho các toán tử tuyến tính bị chặn A, B tác dụng trong không gian Banach X sao cho toán tử A có toán tử ngược A-1 bị chặn và toán tử B có: || B || < 1 Khi đó toán tử A+ B có toán tử ngược bị chặn || A1 || Chứng... ) của toán tử A, nếu không là giá trị chính quy của toán tử A Tập hợp tất cả các giá trị phổ của toán tử A gọi là phổ của toán tử A, kớ hiu l (A) Định nghĩa 1.2.4 Cho không gian định chuẩn X, tập M X được gọi là compact nếu mọi dãy vô hạn trong M đều tồn tại dãy con hội tụ tới một phần tử thuộc M Tập M X được gọi là compact tương đối nếu bao đóng M của tập M là compact Định nghĩa 1.2.5 Toán tử tuyến. .. ny 37 Chương 2: toán tử u0 _ lõm và toán tử lõm chính quy 2.1 Toán tử u0 _lõm 2.1.1 Định nghĩa toán tử u0 _ lõm và các định nghĩa liên quan Cho E là không gian Banach thực nửa sắp thứ tự nhờ nón K, u0 K\ { } Toán tử A tác dụng trong không gian E M là một tập hợp con nào đó của E Định nghĩa 2.1.1 Toán tử A gọi là toán tử dương trên M, nếu AM K Định nghĩa 2.1.2 Toán tử A gọi là toán tử đơn điệu trên... trên gọi là chuẩn của toán tử A, kí hiệu l ||A|| Định nghĩa 1.2.3 Cho X là không gian định chuẩn, xét phương trình: ( A- I )x = y; y X l phn t ó cho, x X l phn t cn tỡm, P, I là toán tử đồng nhất Nếu tồn tại toán tử R =( A- I )-1 là toán tử ngược của toán tử A = A- I thì R được gọi là toán tử giải Số P gọi là giá trị chính quy ( hay điểm chính quy) của toán tử A, nếu toán tử R xác định và bị... động duy nhất x0 X của toán tử C sao cho: x0 = Cx0 = A-1y - A-1Bx0 => y = ( A+B )x0 nhưng mọi nghiệm x* của phưong trình ( A+B )x = y đều là điểm bất động của toán tử C, nên x* = x0 Vì vậy, y X phương trình ( A+B )x = y bao giờ cũng có nghiệm duy nhất trên không gian X, nghĩa là toán tử A + B có toán tử ngược xác định trên toàn không gian X Theo nguyên lí ánh xạ mở Banach, toán tử ngược ( A+B )-1... được chứng minh Hệ quả 1.2.1 Số 0 P là giá trị chính quy của toán tử A, thì mọi số P thỏa mãn điều kiện: | 0 | < 1 1 || A 0 I || đều là giá trị chính quy của A Định lí 1.2.2 Cho A là toán tử tuyến tính bị chặn tác dụng trong không gian Banach X và số P thoả mãn điều kiện: | | > || A || Khi đó là giá trị chính quy của toán tử A và toán tử giải R có biểu diễn dạng: R = (A- I)-1 = 1 Ak ... 2.1.3 Toán tử A gọi là toán tử u0 _ đo được trên nón K nếu x K \ { } tồn tại các số thực x 0, x 0 sao cho u0 Ax u0 Ta thấy nếu A là u0 _ đo được thì Ax K(u0), x K \ { } Định nghĩa 2.1.4 Toỏn t A gi l lừm trờn nún K, nu: i, Toỏn t A dng, n iu v u0_o c trờn nún K; ii, x K \ { }, t (0;1), Atx > tAx Định nghĩa 2.1.5 Toán tử A được gọi là toán tử u0 _ lõm, nếu: i, A là toán tử lừm... Vy lp l mt khụng gian Banach thc 1.2 Khái niệm phổ của toán tử tuyến tính bị chặn trong không gian Banach thực 1.2.1 Các định nghĩa Định nghĩa 1.2.1 Cho hai không gian tuyến tính X, Y nh xạ A từ X vào Y gọi là tuyến tính, nếu ánh xạ A thoả mãn các điều kiện: 1, ( x, x* X) A( x + x*) = Ax + Ax*; 2, ( x X) ( R) Ax = Ax Định nghĩa 1.2.2 19 Toán tử tuyến A từ không gian định chuẩn X vào không gian... A yq q y p z p yq z q y p yq z q z p 1 2 Trong đó yq + zq - zp Xp-1 Bất đẳng thức trên mâu thuẫn với tính compact của toán tử A Vì vậy, chỉ có hữu hạn vecto riêng độc lập tuyến tính tương ứng với giá trị riêng mà Định lí được chứng minh 1.2.4 Phổ của một số toán tử Ví dụ 1.2.1 Xột A : R n R m (m n) , xỏc nh bi ma trn: 23 1 0 0 2 0 0 0 0 m Khi ú, vi mi y ... t ( 0; 1 ), = ( x, t ) > 0 sao cho Atx (1+ ) tAx 2.1.2 Một số toán tử u0 _ lõm Ví dụ 2.1.1 Xét toán tử A : R R x | x |k , 0 k 1 Xét nón K = [ 0; ), u0 K\{0} = ( 0; ) 38 (+) x 0 | x |k x k 0 A( x) K Do x tùy ý nên A(K) K Vậy A là toán tử dương trờn K (+) x, y K , x y | x |k x k y k | y |k hay Ax Ay Vậy A là toán tử đơn điệu trên nón K (+) Với u0 K \ 0 , x K \ 0 ta chọn: . tài: “ cấu trúc phổ dương của một lớp toán tử phi tuyến “. 2. Mục đích nghiên cứu Đề tài này nhằm nghiên cứu một cách hệ thống về phổ dương của một lớp toán tử phi tuyến compact và một vài. 38 6 2.2.2. Một số toán tử lõm chính quy……………………………… 2.2.3. Điểm bất động của toán tử lõm chính quy…………………… Chương 3: Cấu trúc phổ dương của một lớp toán tử phi tuyến compact …………………………………………………………… Cấu trúc phổ dương của một lớp toán tử phi tuyến compact ” đã giúp tác giả hiểu sâu hơn bộ môn Giải tích. Đặc biệt là cấu trúc không gian sắp thứ tự và nửa sắp thứ tự, về cấu trúc phổ của một