Cấu trúc phô trương của một lớp toán tử phi tuyến compact

3 LI CM N Lun c thc hin v hon thnh di s hng dn tn tỡnh v chu ỏo ca PGS TS Nguyn Ph Hy, ngi thy ó hng dn v ch bo cho tỏc gi nhng kin thc v kinh nghim quý bỏu hc v nghiờn cu khoa hc Tỏc gi xin by t lũng kớnh trng v bit n sõu sc ti PGS TS Nguyn Ph Hy Tỏc gi xin chõn thnh cm n Ban Giỏm hiu, Phũng Sau i hc, cỏc thy, cụ T Gii tớch ca Khoa Toỏn Trng i hc S phm H Ni ó to iu kin thun li thi gian tỏc gi hc v nghiờn cu ti trng Tỏc gi xin trõn trng cm n S GD T tnh Vnh Phỳc, Phũng Giỏo dc huyn Sụng Lụ, Trng THCS Cao Phong, c Bỏc huyn Sụng Lụ, tnh Vnh Phỳc ó to iu kin thun li tỏc gi hc v hon thnh lun Do iu kin thi gian v kh nng bn thõn cũn cú hn, nờn lun khú trỏnh nhng thiu sút Kớnh mong cỏc thy, cụ cựng cỏc bn c nhn xột v gúp ý kin lun c hon thin v cú ý ngha thc tin cao hn H Ni, thỏng nm 2010 Tỏc gi Nguyn c Thnh LI CAM OAN Trong quỏ trỡnh nghiờn cu lun vn: Cu trỳc ph dng ca mt lp toỏn t phi tuyn compact ó giỳp tỏc gi hiu sõu hn b mụn Gii tớch c bit l cu trỳc khụng gian sp th t v na sp th t, v cu trỳc ph ca mt s lp toỏn t phi tuyn Qua ú cng giỳp tỏc gi bc u lm quen vi cụng tỏc nghiờn cu khoa hc Tỏc gi xin cam oan lun c hỡnh thnh s c gng tỡm tũi, nghiờn cu ca bn thõn tỏc gi, di s ch bo ca PGS TS Nguyn Ph Hy cng nh cỏc thy, cụ Phũng Sau i hc, T Gii tớch ca Khoa Toỏn Trng i hc S phm H Ni Trong nghiờn cu lun vn, tỏc gi ó tham kho v k tha cỏc thnh qu khoa hc, nghiờn cu ca cỏc hc viờn Cao hc, cỏc thy, cụ giỏo vi s trõn trng v bit n H Ni, thỏng nm 2010 Tỏc gi Nguyn c Thnh MC LC Trang M u Chng 1: Mt s kin thc chun b 1.1 Khỏi nim khụng gian Banach thc 1.1.1 Cỏc nh ngha 1.1.2 Mt s tớnh cht n gin 10 1.1.3 Mt s khụng gian Banach thc 11 1.2 Khỏi nim ph ca toỏn t tuyn tớnh b chn khụng gian Banach thc 16 1.2.1 Cỏc nh ngha 16 1.2.2 Mt s nh lớ v ph ca toỏn t tuyn tớnh b chn 17 1.2.3 Ph ca mt s toỏn t tuyn tớnh 20 1.3 Khụng gian Banach thc na sp th t 24 1.3.1 Khỏi nim nún khụng gian Banach thc 24 1.3.2 Quan h sp th t khụng gian Banach thc 25 1.3.3 Mt s nh lớ v nún 26 1.3.4 Khụng gian Eu 30 1.3.5 Mt s khụng gian Banach thc na sp th t 32 Chng 2: Toỏn t u0_lừm v toỏn t lừm chớnh quy 36 2.1 Toỏn t u0_lừm 36 2.1.1 nh ngha toỏn t u0_lừm v cỏc nh ngha liờn quan 36 2.1.2 Mt s toỏn t u0_lừm 36 2.1.3 im bt ng ca toỏn t u0_lừm 38 2.2 Toỏn t lừm chớnh quy 2.2.1 nh ngha toỏn t lừm chớnh quy v cỏc nh ngha liờn quan 2.2.2 Mt s toỏn t lừm chớnh quy 42 2.2.3 im bt ng ca toỏn t lừm chớnh quy Chng 3: Cu trỳc ph dng ca mt lp toỏn t phi tuyn 42 compact 42 3.1 Cỏc nh ngha 44 3.1.1 nh ngha toỏn t compact 3.1.2 nh ngha toỏn t compact n iu 46 3.2 Vecto riờng dng v giỏ tr riờng dng 46 3.2.1 nh ngha vecto riờng dng v giỏ tr riờng dng 46 3.2.2 nh ngha toỏn t dng nghiờm ngt 47 3.2.3 Mt s tớnh cht n gin v vecto riờng dng v giỏ tr riờng 48 dng 48 3.3 Cu trỳc ph dng ca toỏn t lừm chớnh quy hon ton liờn 48 tc Kt lun 48 Ti liu tham kho 50 M U Lý chn ti Nhiu ca toỏn hc, vt lớ, k thut dn n vic gii phng trỡnh: Ax x y khụng gian nh chun X, ú A l toỏn t tuyn tớnh, l s thc hay s phc, y cho trc thuc X, x l phn t phi tỡm Ni dung ch yu ca bi toỏn ny l vic nghiờn cu ph ca toỏn t A Vic nghiờn cu ph ca toỏn t c nờu v gii quyt t u th k 20, gn lin vi tờn tui ca nhng nh khoa hc ni ting nh Hilbert, Banach, Frờsờ Mt nhng hng ln phỏt trin lớ thuyt ph l lớ thuyt khai trin theo cỏc vecto riờng ca mt toỏn t hoc mt h hu hn cỏc toỏn t Vn ny c nghiờn cu v gii quyt vo nhng nm 40, 50 ca th k 20, gn lin vi tờn tui ca nhng nh khoa hc ni ting nh: Krein, Beredanxki, Rudin, Iụxida T nhng nm 70 ca th k 20 lớ thuyt khai trin theo vecto riờng c phỏt trin cho mt h vụ hn cỏc toỏn t liờn hp, ú hỡnh thnh lớ thuyt toỏn t tuyn tớnh khụng gian vụ hn bin Cụng khai phỏ v phỏt trin lớ thuyt mi ny thuc v Vin s Beredanxki v cỏc hc trũ ca ụng Nc ta, thi gian ny, tỏc gi Nguyn Ph Hy cng ó cú nhng úng gúp ỏng k vo lý thuyt ph ca toỏn t theo hng mi ny Tuy nhiờn vic ng dng ca lý thuyt ph vo cỏc ngnh k cn nh: Phng trỡnh vi phõn v tớch phõn, xỏc sut thng kờ toỏn, ng lc hc, iu khin, lý thuyt trũ chi, toỏn kinh t, thỡ cỏc toỏn t A núi trờn thng khụng phi l tuyn tớnh, ú lý thuyt Phng trỡnh phi tuyn i t nn múng cho lý thuyt mi ny l nh toỏn hc Hunggari Banach K n phi núi ti lý thuyt nghim dng ca cỏc Phng trỡnh toỏn t phi tuyn cỏc cụng trỡnh ca nh toỏn hc Xụ vit ni ting Kraxnụxenxki v cỏc hc trũ ca ụng Cỏc nh toỏn hc ó ln lt xột cỏc toỏn t khỏc nh: toỏn t n iu, toỏn t o c, toỏn t cc tr, toỏn t cú o hm Frờsờ hay o hm tim cn, toỏn t lừm, Theo hng nghiờn cu ú, c s hng dn, giỳp ca PGS TS Nguyn Ph Hy tụi mun i nghiờn cu, tỡm hiu v cu trỳc ph ca mt lp toỏn t phi tuyn compact v mt vi ng dng ca nú toỏn ph thụng Vỡ vy tụi chn ti: cu trỳc ph dng ca mt lp toỏn t phi tuyn Mc ớch nghiờn cu ti ny nhm nghiờn cu mt cỏch h thng v ph dng ca mt lp toỏn t phi tuyn compact v mt vi ng dng Nhim v nghiờn cu ti lm rừ cỏc khỏi nim khụng gian Banach thc na sp th t, cu trỳc ph dng ca lp toỏn t phi tuyn lừm chớnh quy hon ton liờn tc tỏc dng khụng gian Banach thc na sp th t i tng v phm vi nghiờn cu ti trung nghiờn cu v cu trỳc ph dng ca toỏn t lừm chớnh quy hon ton liờn tc, dng lý thuyt ny thụng qua mt s vớ d Lun gm phn m u, ba chng, kt lun v ti liu tham kho Chng 1: Mt s kin thc chun b Chng 2: Toỏn t u0_lừm v toỏn t lừm chớnh quy Chng 3: Cu trỳc ph dng ca mt lp toỏn t phi tuyn compact Phng phỏp nghiờn cu Nghiờn cu ti liu Phỏt trin nhng lý thuyt liờn quan Xõy dng gi thuyt khoa hc, chng minh Xõy dng cỏc vớ d c th Gi thuyt khoa hc Lun nghiờn cu sõu v cu trỳc ph dng ca mt lp toỏn t phi tuyn compact, nõng nú thnh ti nghiờn cu v xut cỏc ng dng ca nú gii quyt cỏc lý thuyt, thc tin v ph ca toỏn t phi tuyn cng nh v lý thuyt phng trỡnh Vỡ mc ớch nghiờn cu, hc hi, lun s l ti liu tham kho hu ớch cho sinh viờn, hc viờn cao hc, ngi yờu thớch toỏn v ngi quan tõm ti lý thuyt, ng dng ph ca toỏn t v phng trỡnh 10 Chương 1: số kiến thức chuẩn bị 1.1 Khái niệm không gian Banach thực 1.1.1 Các định nghĩa Định nghĩa 1.1.1 Ta gọi l không gian định chuẩn ( hay không gian tuyến tính định chuẩn) mt không gian tuyến tính (hay khụng gian vecto) X trường P với ánh xạ: || || : X R x || x || c chuẩn, thoả mãn tiên đề sau: C1, ( x X) || x || 0, || x || = x = 0; C2, ( x X) ( P) || x || = | | || x ||; C3, ( x, y X) || x+y || || x || + || y || Ta kí hiệu không gian định chuẩn ( X, || || ) X Định nghĩa 1.1.2 Dãy điểm (xn) không gian định chuẩn X gọi hội tụ tới điểm x X, lim || x n x || = Kí hiệu lim xn = x n n Định nghĩa 1.1.3 Dãy điểm ( xn ) không gian định chuẩn X gọi dãy lim n , m x n x m = Định nghĩa 1.1.4 Không gian định chuẩn X gọi không gian Banach, dãy X hội tụ Không gian Banach X gọi không gian Banach thực X không gian tuyn tớnh trường số thực ( P = R ) nh ngha 1.1.5 Tp M X c gi l li, nu: 11 x1 , x2 M , R : x1 (1 ) x2 M Tp rng c coi l li nh ngha 1.1.6 Tp X0 gi l khụng gian nh chun ca khụng gian nh chun X, nu X0 l khụng gian tuyn tớnh ca khụng gian X v chun xỏc nh trờn X0 l chun xỏc nh trờn X Nu X0 ng thi l úng khụng gian X, thỡ X0 gi l khụng gian nh chun úng ca khụng gian X 1.1.2 Một số tính chất đơn giản (+) Nu dóy im (xn) hi t ti x, thỡ dóy chun (|| xn || ) hi t ti || x || (+) Nu dóy im (xn) hi t khụng gian nh chun X, thỡ dóy chun tng ng ( ||xn || ) b chn (+) Nu dóy im (xn) hi t ti x, dóy im (yn) hi t ti y khụng gian nh chun X, dóy s n hi t ti thỡ: xn + yn x + y ( n ) , n xn x ( n ) nh lớ 1.1.1 Nu X0 l khụng gian nh chun úng ca khụng gian nh chun X v X0 X, thỡ vi s dng cho trc tựy ý, tn ti phn t x X, || x || = 1, cho d( x, X0) = inf || x y || yX Chng minh Vỡ X0 X, nờn tn ti phn t z X \ X0 t: d ( z, X ) inf || z y || yX (1.1.1) Rừ rng Tht vy, nu , thỡ tn ti dóy im ( yn ) X cho lim || z yn || , vỡ X0 úng nờn z X , iu ny mõu thun vi tớnh cht ca n phn t z X \ X0 Mõu thun ú chng t Gi s l s tựy ý thuc 12 khong (0;1) Theo nh ngha cn di ỳng, vi s a = , tn ti phn t ya X cho || z ya || a t x z ya , thỡ || x || = v ta cú y X || z ya || || x y || z ya y || z ( ya || z ya || y ) || || z ya || || z ya || || z ya || a nh lý c chng minh 1.1.3 Một số không gian Banach thực Ví dụ 1.1.1 Tập hợp số thực không gian Banach thc với chuẩn: || x || = | x |, x R Thật vậy, nh ó bit, s thc R l mt khụng gian tuyn tớnh thc i vi mi s thc x thỡ || x || = | x | (1.1) Nh cỏc tớnh cht v giỏ tr tuyt i ca s thc, ta cú: +/ x R, || x || | x | v || x || | x | x +/ x R, R, || x || | x | | | | x | | | || x || +/ x, y R, || x y || | x y | | x | | y | || x || || y || Vy cụng thc (1.1) cho mt chun trờn R Khụng gian nh chun tng ng ký hiu l R1 Khụng gian R1 l mt khụng gian Banach, iu ny cú c l tiờu chun Cauchy v s hi t ca dóy s thc Ví dụ 1.1.2 Xột khụng gian tuyn tớnh thc R n x ( x1 , x2 , , xn ) : xi R, i 1, 2, , n , n N , n Vi bt k x ( x1 , x2 , , xn ) R n ta t: n || x || i x i (1.2) 48 Chương 3: cấu trúc phổ dương lớp toán tử phi tuyến compact 3.1 Các định nghĩa 3.1.1 Định nghĩa toán tử compact Cho hai không gian Banach thực E F, toán tử A ánh xạ tập M E vào không gian F Toán tử A gọi toán tử compact, toán tử A ánh xạ dãy (xn) M bị chặn theo chuẩn không gian E thành tập compact tương đối không gian F Toán tử A gọi toán tử hoàn toàn liên tục, A toán tử liên tục compact Toán tử A gọi toán tử lừm chớnh quy hoàn toàn liên tục, A toán tử lừm chớnh quy v hon ton liên tục Ví dụ 3.1.1 Xột toỏn t A : R R x Ax = x D thy A l toỏn t liờn tc Gi s ( xn ) R+ l dóy b chn M : | xn | M , n N Ax n = xn M , n N Suy dóy ( Axn ) b chn Do ú (Axn) l compact tng i ( theo bổ đề Bonxanô- Vâyestat ) Do dóy (xn) l tựy ý nờn A l toỏn t compact Vy A l toỏn t hon ton liờn tc Hn na theo vớ d 2.2.1 ta cú A l toỏn t lừm chớnh quy Do ú A c gi l toỏn t lừm chớnh quy hon ton liờn tc Ví dụ 3.1.2 Xột : 49 A : Rn Rn x ( | x1 |; | x2 |; ; n | xn |) D thy A l toỏn t liờn tc Gi s ( xk )k R n l dóy b chn M : | xk | M , k 1, 2, n | xki |2 M , k 1, 2, | xki | M , k 1, 2,3 , i 1, 2, , n i Suy vi mi i c nh, i = 1,2, , n, dóy ( xk )k1 b chn Do ú dóy i (i xki ) k b chn, i=1, 2,n, nờn tn ti dóy (i xki )j hi t Do ú dóy j ( Axk ) k tn ti dóy hi t hay ( Axk ) k l tõp compact tng i Do dóy (xn) l tựy ý nờn A l toỏn t compact Vy A l toỏn t hon ton liờn tc Hn na theo vớ d 2.2.2 ta cú A l toỏn t lừm chớnh quy Do ú A c gi l toỏn t lừm chớnh quy hon ton liờn tc 3.1.2 Định nghĩa toán tử compact đơn điệu Cho không gian Banach thực, nửa thứ tự E với nón K E Toán tử A dương, đơn điệu nón K, ánh xạ E vào Toán tử A gọi compact đơn điệu, dãy đơn điệu bị chặn theo chuẩn (xn) K dãy ảnh (Axn) compact tương đối 3.2 Vecto riêng dương giá trị riêng dương 3.2.1 Định nghĩa vecto riêng dương giá trị riêng dương Cho không gian Banach thực E nửa thứ tự nhờ nón K E, toán tử A ánh xạ không gian E vào Vecto x K \ { } gọi vecto riêng dương toán tử A R ; cho Ax = x Khi số gọi giá trị riêng dương toán tử A tương ứng với vecto riêng x 3.2.2 Định nghĩa toán tử dương nghiêm ngặt 50 Cho không gian Banach thực E nửa thứ tự nhờ nón K E, toán tử A ánh xạ không gian E vào Toán tử A gọi dương nghiêm ngặt nón K, A toán tử dương A K \ K \ 3.2.3 Một số tính chất đơn giản vecto riêng dương Định lí 3.2.1 Giả sử toán tử dương nghiêm ngặt A: E E Nếu x K \ cho Ax = x > Chứng minh Theo giả thiết toán tử A dương nghiêm ngặt Ax = x, x > nên x > , > Định lí 3.2.2 Giả sử A toán tử lõm quy dương nghiêm ngặt nón K Nếu x K \ { }, y K \ { } x y cho Ax = x, Ay = y, phần tử x, y không thông ước với Chứng minh Theo định lí 3.2.1, > Ta có A toán tử lõm quy dương nghiêm ngặt nón K Theo giả thiết: Ax = x; động khác không toán tử Ay = y, x y nghĩa x y điểm bất A Do x y không thông ước với Định lí 3.2.3 Giả sử A toán tử lõm quy dương nghiêm ngặt nón K Nếu x K \ { }, y K \ { } x y cho Ax = x, Ay = y, x _ đo y < x Chứng minh y 51 Theo định lí 3.2.1, > 0, > Dễ thấy x y Giả sử x - y K Nhờ tính chất x _ đo y, cho y x Kí hiệu số nhỏ cho: y x Đối với phần tử y số t0 = 01 ( 0;1 ) tìm số c > cho: At0y ( 1+c )t0 Ay = ( 1+c )t0 y Nên: x = Suy c Trong x Ax c t0 At0 y ( 1+c ) t0 y x y ( mâu thuẫn với tính chất ) (1 c) Định lí 3.2.4 Giả sử A toán tử lõm quy tồn phần tử x K \ { }, y K \ { } cho x Ax, Ay y Nếu x y_đo x y Chứng minh Giả sử y - x K Nhờ tính y_đo x nên tìm số > cho x y Theo chứng minh định lí 3.2.3, tồn số nhỏ > cho x y > Nhờ tính lõm quy toán tử A tìm số c > cho: At0x (1+c) t0 Ax (1+c) t0x, t0 = 01 ( 0;1 ) Theo điều kiện định lí: y Ay At0x ( 1+c ) t0x ( A đơn điệu, y t0x ) Suy ra: (1 c) y ( mâu thuẫn tính y , c c t0 chất ) Vậy y - x K hay y x 3.3 Cấu trúc phổ dương toán tử lõm quy hoàn toàn liên tục Cho không gian Banach thực E nửa thứ tự nhờ nón chuẩn K E, toán tử lõm quy hoàn toàn liên tục A: E E Kí hiệu S+(A) tập hợp tất giá 52 trị riêng dương toán tử A gọi phổ dương toán tử A, W+ tập hợp tất vecto riêng dương A Gi s u0 K\ { } v AK K(u0), ny kớ hiu W + l hp tt c cỏc vecto riờng dng thuc K(u0) v S ( A) l ph u0 u0 dng ca A tng ng vi vecto riờng dng thuc W + u0 Định lí 3.3.1 Giao W + với biên tập mở bất kỳ, bị chặn, chứa phần tử khụng u0 E khác rỗng Hơn nữa, W + chứa điểm giới hạn khác u Chứng minh Giả sử G tập mở, bị chặn tùy ý chứa phần tử khụng E, biên miền G Với x K ta đặt: Anx = Ax + u0 n ( n = 1; 2; 3; ) Các toán tử An ( n = 1; 2; 3; ) dương hoàn toàn liên tục Từ x K u0 u u > suy Anx - = Ax > => Anx > n n n n = 1; 2; 3; ) => inf || An x || > x K ( ( n = 1; 2; 3; .) Thật vậy, giả sử n N* cho inf || An x || = => ( xn ) K : || x K m An(xm)|| Khi || An(xm)|| = || Axm + u0 || n m ( điều vô lí ) Ta chứng minh với n N* toán tử An có vecto riêng K Giả sử toán tử An vecto riêng K Khi đó, ( n ) x K t 0; || An x tx || n (3.3.1) Tht vy, gi s ( 3.3.1 ) khụng xy ra, vi mi k N * , xk K , tk [ 0; + ) cho: || An xk tk xk || < k 53 Kí hiệu r1 inf || x || , R1 sup || x || x x r2 inf || An x ||; , R2 sup || An x || x K x K Hiển nhiên số r1, R1, r2, R2 [ 0; + ) và: tk tk xk xk An xk An xk tk xk xk An xk An xk tk xk xk < tk k 1R r1 r1 k R2 An xk An xk tk xk xk k r R1 R1 k r2 Từ bất đẳng thức từ tính hoàn toàn liên tục toán tử A suy ra, tồn dãy t t ki k r R hội tụ tới t0 ; tồn dãy R1 r1 A x A x hội tụ tới v0 Khi dãy x x hội tụ tới x n ki n k ki || xki x0 || || xki k v0 , vì: t0 1 1 An xki || || An xki v0 || || ( )v0 || tki tki tki t0 1 1 || An xki v0 || || v0 || | | kitki tki tki t0 Chuyển qua giới hạn bt đẳng thức: An xki tki xki , ki i = 1, 2, 3, Ta Anx0 = t0x0, mâu thuẫn với (3.3.1) Vì vậy, nu toán tử An K vecto riêng, thỡ: inf x K ,t || An x tx || n 54 n Trong tập compact tương đối An( K ) lấy _ lưới hữu hạn gồm m phần tử y1; y2; y3; ; ym ( m N* ) Trên tập An( K ) xác định toán tử Pn: m y i Pn y i i m , y An( K ) y i 11 i y n y yi , 0, y yi y yi n n i = 1; 2; 3; ; m Hiển nhiên, toán tử Pn liên tục, Pny thuộc bao lồi n _ lưới y1; y2; y3; ; ym với y An( K ) Nên Pn y y n , y An ( K ) , Pn toán tử chiếu An( K ) lên không gian ( bao tuyến tính phần tử y1; y2; y3; ; ym ) Do đó, t 0, x K ta có: Pn An x tx An x tx An x Pn An x n Suy ra, toán tử PnAn vecto riêng K tương ứng với giá trị riêng dương Tập giá trị toán tử PnAn chứa không gian hữu hạn chiều E1 E, E1 bao tuyến tính điểm y1; y2; y3; ; ym Kí hiệu K1 K E1 K1 nón không gian E1 Kí hiệu G1 G E1 , biên G1 Hiển nhiên, PnAn xác định K1 E1 Nên PnAn có vecto riêng K1 Mâu thuẫn 55 Vì khẳng định toán tử An có vecto riêng xn K tương ứng với giá trị riêng dương n 0; chứng minh An xn Axn u0 n xn n ( n 1, 2, 3, ) (2) Theo giả thiết, tập G mở, bị chặn chứa phần tử không gian E, nên x R cho: r x R, r 0, Thật vậy: G x r 0, x x B x, G Giả sử y B x, , suy ra: x x y y y R x Suy ra: r xn R, n K, n 1, 2,3 Khi đó: n An xn xn Axn u0 n sup Ax u0 xn x K M , n = 1, 2, 3, r Vì A K K u0 nên cho Au0 u0 tính chất lõm quy toán tử A ta có: Atu0 tAu0 tu0 , t 0;1 Kí hiệu N1 tập hợp tất số tự nhiên n cho xn u0 , N2 = N \ N1 Với n N1 ta có: u0 Axn Au0 u0 n r Rn n xn n r n N1 n xn An xn Axn n R n N1 Tiếp theo ta chứng minh n , n N Thật vậy, giả sử n0 N Kí hiệu t0 số lớn cho: xn t0u0 , t0 tồn vì: n0 56 An0 xn0 n0 xn0 Axn0 u0 u0 n0 Axn0 n0 xn0 xn0 u0 n0 1 u0 n0 n0 Rõ ràng t0 > nên: xn0 t0u0 u0 Axn0 t u0 n0 n0 u0 Au t At0u0 n0 n0 00 u0 n0n0 1 At u n 0 u0 n0n0 xn0 t0u0 u0 n0n0 xn0 t0 n0n0 u0 Mâu thuẫn với tính chất t0 Vì n , (n N ) a R Do n , d n 1, 2, Nhờ tính chất compact toán tử A coi n xn n d 0, u0 Axn x K , ( n ) n n Chuyển qua giới hạn (2) ta được: Ax = x => W Cuối ta chứng minh W + tập đóng Giả sử: W , Avn nvn , u0 n 1,2,3, (3) v n Nhờ tính chất liên tục toán tử A ta được: 57 n Avn Av v n Chuyển qua giới hạn (3) ta được: Av v nghĩa v W Định lí 3.3.2 lim sup S ( A), u0 xWu+0 , x S ( A) u0 Chứng minh Lấy giá trị tùy ý S ( A) tồn x W + cho Ax x Khi u0 với S ( A), ta có x W + u0 inf xWu+0 , u0 u0 Ax x Theo định lí 3.3.1, x x nên: x Từ suy khẳng định định lí Định lí 3.3.3 sup S ( A) S ( A) u0 u0 Chứng minh Giả sử S ( A) u0 tử A x Wu Ax x Hiển nhiên, toán + 0 0 0 toán tử lõm quy hoàn toàn liên tục Khi đó, S ( A), x W + cho Ax = x x0 x inf x Điều không u0 u0 xWu+0 thể có định lí 3.3.1 Định lí 3.3.4 S ( A) ; u0 Chứng minh lim , sup S ( A) xWu+0 , x u0 58 Theo định lí 3.3.2, lim + xWu , x hiển nhiên Theo định lí 3.3.1 với tập mở G bất kỳ, bị chặn, chứa phần tử E với biên ta có W+ u0 Giả sử ; cho phương trình x Ax nghiệm khác không nón K Khi phân hoạch tập số thực ; thành hai phần Kí hiệu J1 phần chứa , mút ( ), kí hiệu J2 phần chứa Kí hiệu W1 tập nghiệm khác không phương trình: x Ax (5) tương ứng với J1 ; W2 tập nghiệm lại phương trình (5) phần tử E Khi đó: W + W1 W2 , W1 W2 u0 Thật vậy, giả sử: x W + : x u0 Ax J1 ; \ J1 x W1 x W2 x W1 W2 Giả sử x W1 W2 x Vì: W1 J1 , ; \ J1 : x 1 Ax 1 Ax Ax Ax x Vô lí Hơn W1 W2 tập đóng Thật vậy, giả sử xn W1 , xn x Khi n cho xn với lim n J1 Do n n Axn Do A liên tục nên lim Axn Ax x n Ax , x W1 hay W1 tập đóng Tương tự W2 tập đóng Do W1 W2 W1, W2 đóng nên: d (W1 , W2 ) inf xW1 , yW2 x y (6) 59 Kí hiệu V tập mở, bị chặn đó, hợp hình cầu mở bán kính tâm điểm thuộc W2, biên V Hiển nhiên, W2 Do (6) nên W1 Do phương trình (5) vô nghiệm, mâu thuẫn với định lí 3.3.1 Vy ; S ( A) u Định lí 3.3.5 S ( A) ; , u0 Chứng minh Lấy hai phần tử tùy ý , S ( A), Ta chứng minh 1; u S ( A) u0 Thật vậy, giả sử: Ax1 x1 , Ax2 x2 , x1; x2 W + Theo định lí 3.2.3, x2 < x1 Nên 1; x2 Ta có toán tử A2 Ax2 u0 Ax2 ; x1 1 Ax1 Ax1 A toán tử lõm quy hoàn toàn liên tục, y0 x2 A2 x2 A2 y0 Từ tính hoàn toàn liên tục toán tử A x2 Ax2 , suy dãy xn = A2xn-1 ( n = 3, 4, 5, ) tăng compact tương đối Do đó, tồn dãy xn xn hội tụ tới x k Hiển nhiên, xn xn k (n nk , n 2,3, 4, ) Cho qua giới hạn bất đẳng thức k ta xn x , n 2,3, 4, xnk x , k 1, 2,3, Ta lấy hai phần tử tùy ý z xn , (n 2,3, 4, ) , đặc biệt z xn , (k 1, 2,3, ) k Cho qua giới hạn bất đẳng thức k ta z x , nghĩa x sup( xn ) Rõ ràng nên x K (u0 ) theo định lí 2.2.1 x A2 x Ax x S ( A) u0 Đặt sup S ( A), inf S ( A) Theo định lớ 3.3.3, S ( A) u0 u0 u0 ta có: 60 Ta chứng minh S ( A) u0 Vì ; S ( A) u nh lớ 3.3.6 S+(A) l m Chng minh Ta cú W + {x W + : ( , > 0) v0 x v0 }, v0 K \ { } Vỡ quan h u0 thụng c cú tớnh cht phn x, bc cu v i xng, nờn quan h ú phõn hoch W+ thnh cỏc lp ụi mt khụng giao nhau, cho hai phn t thuc cựng mt lp thỡ thụng c vi Kớ hiu cỏc lp tng ng l: Wu+ , Wv+ , , cũn Su ( A), Sv ( A), l hp cỏc giỏ tr riờng dng tng ng vi cỏc vecto riờng dng ca cỏc lp Wu+ , Wv+ , Hin nhiờn, S ( A) + Su ( A) uW Theo nh lớ 3.3.5, Su ( A) ( u , u ) ú u inf Su ( A), u sup Su ( A) Vỡ vy S+(A) l m 61 KT LUN Sau nghiờn cu v tỡm hiu k v cu trỳc ph dng ca toỏn t lừm chớnh quy hon ton liờn tc v xut mt vi ng dng ca nú lý thuyt ph ca toỏn t núi chung v toỏn ph thụng núi riờng, lun ó t c nhng kt qu sau: Lm rừ c cu trỳc ph dng ca mt lp toỏn t phi tuyn khụng gian Banach thc na sp th t, ú l lp toỏn t lừm chớnh quy hon ton liờn tc Tỡm hiu v xut mt s vớ d ng dng v cu trỳc ph, im bt ng ca mt s lp toỏn t phi tuyn (+) ng dng gii quyt nhng lý thuyt (+) Mt s vớ d ng dng Mc dự rt c gng, nhng thi gian v kh nng bn thõn cú hn, nờn lun khú trỏnh thiu sút Kớnh mong cỏc thy giỏo, cụ giỏo cựng cỏc bn c nhn xột, úng gúp ý kin lun c hon thin hn, cú ý ngha lý thuyt v thc tin cao hn Mt ln na cho phộp tỏc gi c by t lũng bit n sõu sc ca mỡnh ti cỏc thy giỏo, cụ giỏo Khoa toỏn, cỏc thy cụ Phũng Sau i hc Trng i hc S phm H Ni 2, c bit l thy Nguyn Ph Hy ngi ó tn tỡnh dỡu dt tỏc gi thi gian hon thnh lun ny 62 TI LIU THAM KHO TING VIT [1] Nguyn Ph Hy (1987), Cỏc vecto riờng ca toỏn t lừm chớnh quy, Tp toỏn hc, 15 (s 2), (17-23) [2] Nguyn Ph Hy (1991), Mt s nh lớ v nún khụng gian nh chun, Thụng tin Khoa hc HSP H Ni 2, (s 2), (2-8) [3] Nguyn Ph Hy (2006), Gii tớch hm, NXB Khoa hc v k thut, H Ni [4] Nguyn Xuõn Liờm (2005), Hm thc v gii tớch hm (Gii tớch hin i), NXB Giỏo dc