Cấu trúc tập nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân Affine

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN QUANG NGỌC CẤU TRÚC TẬP NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN AFFINE Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60 46 36 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS TẠ DUY PHƢỢNG Thái Nguyên - 2011 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn MỤC LỤC Trang Lời nói đầu 3-4 Chƣơng Bất đẳng thức biến phân §1 Bất đẳng thức biến phân toán liên quan 1.1 Bất đẳng thức biến phân 1.2 Bài toán tối ưu mục tiêu 1.2.1 Tối ưu hàm biến 1.2.2 Tối ưu hàm nhiều biến 1.3 Phương trình suy rộng 15 1.3.1 Hệ phương trình (hệ phương trình  n ) 15 1.3.2 Phương trình suy rộng 16 1.4 Bài toán bù 17 1.5 Phép chiếu 20 1.6 Điểm bất động 23 §2 Tồn nghiệm toán bất đẳng thức biến phân 24 §3 Bất đẳng thức biến phân véctơ 28 §4 Tính liên thông tập nghiệm toán bất đẳng thức biến phân véctơ 33 Chƣơng Bất đẳng thức biến phân affine 36 §1 Bất đẳng thức biến phân affine 36 1.1 Bất đẳng thức biến phân affine………………………………………… 36 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1.2 Bất đẳng thức biến phân véctơ affine………………………… ……… 39 1.3 Bất đẳng thức biến phân véctơ affine yếu…………………….…… … 40 1.4 Bất đẳng thức biến phân affine phụ thuộc tham số…………………… 40 §2 Tính bị chặn tính liên thông tập nghiệm tập nghiệm yếu toán bất đẳng thức biến phân vectơ affine……………………… ……… 42 §3 Bài toán tối ưu đa mục tiêu phân thức tuyến tính toán tối ưu đa mục tiêu toàn phương lồi …… 55 3.1 Bài toán tối ưu véctơ…………………………………………………… 55 3.2 Bài toán tối ưu vectơ phân thức tuyến tính (LFVOP) 57 3.3 Bài toán tối ưu véctơ hàm toàn phương lồi (QVOP)……………… … 68 §4 Một số ví dụ tính tập nghiệm toán tối ưu đa mục tiêu phân thức tuyến tính 70 4.1 Thí dụ 1…………………………………………………………… … 70 4.2 Thí dụ 2………………………………………………………………… 72 4.3 Thí dụ 3………………………………………………………………… 75 4.4 Thí dụ 4………………………………………………………………… 78 4.5 Thí dụ 5………………………………………………………………… 81 4.6 Thí dụ 6………………………………………………………………… 84 4.7 Thí dụ 7………………………………………………………………… 88 Kết luận 94 Tài liệu tham khảo 95 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn LỜI NÓI ĐẦU Bản thân bất đẳng thức biến phân đối tượng toán học nghiên cứu độc lập Hơn nữa, bất đẳng thức biến phân chứa đựng có liên quan đến nhiều toán khác toán học thực tế (bài toán tối ưu, toán bù, toán cân bằng, hệ phương trình suy rộng, ), thu hút quan tâm nhiều nhà toán học giới Việt Nam chục năm qua Một vấn đề cần trả lời nghiên cứu bất đẳng thức biến phân vấn đề tồn nghiệm tính chất tập nghiệm (tính đóng, tính compact, tính liên thông, tính co rút, tính ổn định tập nghiệm theo tham số, ) Một lớp toán bất đẳng thức biến phân nghiên cứu nhiều lớp toán bất đẳng thức biến phân affine Tuy lớp toán bất đẳng thức biến phân đơn giản nhất, bất đẳng thức biến phân affine lớp toán có cấu trúc đặc thù chứa số lớp toán quan trọng (tối ưu véc tơ hàm phân thức tuyến tính, tối ưu hàm toàn phương, ) Nghiên cứu bất đẳng thức biến phân affine làm sáng tỏ nhiều vấn đề bất đẳng thức biến phân tổng quát Luận văn cố gắng trình bày số khái niệm kết liên quan đến tồn tính chất tập nghiệm bất đẳng thức biến phân, đặc biệt bất đẳng thức biến phân affine Luận văn gồm hai Chương Mục Chương trình bày toán bất đẳng thức biến phân toán liên quan Mục Chương trình bày tồn nghiệm toán bất đẳng thức biến phân Mục Chương trình bày toán bất đẳng thức biến phân véctơ Mục Chương 1trình bày tính liên thông tập nghiệm toán bất đẳng thức biến phân véctơ Chương trình bày hai lớp bất đẳng thức biến phân affine cụ thể Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mục Trình bày định nghĩa số định lý toán bất đẳng thức biến phân affine,véctơ affine,véctơ affine yếu bất đẳng thức biến phân affine phụ thuộc tham số Mục Nói tính bị chặn liên thông tập nghiệm tập nghiệm yếu toán bất đẳng thức biến phân véctơ affine Mục Trình bày toán tối ưu đa mục tiêu phân thức tuyến tính toán tối ưu đa mục tiêu toàn phương lồi Mục Tính toán số thí dụ cho toán tối ưu đa mục tiêu phân thức tuyến tính cách đưa toán bất đẳng thức biến phân affine Các thí dụ [8] , [11] [16] tập nghiệm toán bất đẳng thức biến phân affine tính toán chi tiết trình bày tường minh Một số thí dụ trước tính toán dựa theo điều kiện cần đủ tối ưu (tiêu chuẩn Malivert) toán tối ưu đa mục tiêu hàm phân thức tuyến tính Ở trình bày tính toán theo điều kiện cần đủ để điểm nghiệm toán bất đẳng thức biến phân affine Luận văn hoàn thành trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, hướng dẫn PGS.TS Tạ Duy Phượng- Viện Toán học Thông qua luận văn, xin bày tỏ lòng biết ơn tới Thầy hướng dẫn, người tận tình bảo giúp đỡ hoàn thành luận văn Tôi xin cảm ơn Khoa sau đại học, Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên, tập thể lớp Cao học Toán K2, bạn bè, đồng nghiệp quan tâm giúp đỡ trình thực luận văn Và cuối cùng, xin cảm ơn Gia đình, vợ giúp đỡ, động viên khích lệ nhiều thời gian nghiên cứu học tập Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn CHƢƠNG I BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN §1 BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN 1.1 Bất đẳng thức biến phân Định nghĩa 1.1 Cho F :  n   n ánh xạ từ  n vào  n K tập  n Bài toán bất đẳng thức biến phân (variational inequality, viết tắt VI) phát biểu sau Tìm x  K cho F  x  , x  x  0, x  K (1.1) Bất đẳng thức (1.1) thường viết dạng F  x  T  x  x   0, x  K , (1.1’) a, b kí hiệu tích vô hướng hai véctơ a b không gian  n , AT xT chuyển vị ma trận A véctơ x Ta qui uớc véctơ x   n véctơ cột Bài toán bất đẳng thức biến phân xác định ánh xạ F tập K , vậy, cần làm rõ, ta kí hiệu toán bất đẳng thức biến phân VI  F , K  Các điểm x  K thỏa mãn (1.1) gọi nghiệm bất đẳng thức biến phân (1.1) hay điểm dừng ánh xạ F Tập tất điểm x  K thỏa mãn (1.1) gọi tập nghiệm bất đẳng thức biến phân (1.1) Tập tất nghiệm bất đẳng thức biến phân kí hiệu Sol  VI  Sol  VI  F , K       Kí hiệu  n  x   n ; x  Khi  n  x   n ; x  Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn   Vậy bất đẳng thức F x , x  x  0, x  K viết dạng F ( x ), x  x    \ 0 Ngôn ngữ bất đẳng thức biến phân thuận tiện, thống nhiều toán, thí dụ, toán tối ưu, toán cân bằng, phương trình suy rộng… Dưới xét mối liên quan toán bất đẳng thức biến phân toán khác 1.2 Bài toán tối ƣu mục tiêu 1.2.1 Tối ƣu hàm biến Trước tiên ta xét hàm biến nhận giá trị  Cho f :  a; b   hàm số khả vi  a; b, nghĩa tồn đạo hàm điểm x0   a; b  tồn đạo hàm từ bên phải f (a ) : lim f ( x) tồn đạo xa hàm từ bên trái f (a ) : lim f ( x) xa Điểm x  gọi điểm cực tiểu (điểm tối ưu) f f ( x )  f ( x) x a;b Kí hiệu f ( x) giá trị cực tiểu hàm số f  a; b x a ;b  Khi theo điều kiện cần cực trị Fermat ta có  Nếu x   a; b  f ( x )   Nếu x  a f (a )   Nếu x   b f (b )  Cả ba trường hợp viết gọn lại sau Mệnh đề 1.1 Điểm x  điểm cực tiểu f  a; b Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn   f ( x ) x  x  0, x   a; b  Thí dụ 1.1 Cho hàm số y  f ( x)  x2  x  a) Tìm f ( x) x[ 2;2]  1  4 Trên đoạn [2;2] f ( x)  f      x[ 2;2] 25  1 f       4 b) Tìm f ( x) x[1;5] Trên đoạn [1;5] f ( x)  f (1)  f  1   x[1;5] c) Tìm f ( x) x[ 4;1] Trên đoạn [4; 1] f ( x)  f (1)  2 f   1  3  x[ 4;1] 1.2.2 Tối ƣu hàm nhiều biến Cho f : K   ánh xạ từ tập K   n vào  , f ( x)  f ( x1, , xn ) Xét toán tối ưu: Tìm  f ( x) : x  K (1.2) Định nghĩa 1.2 Nếu điểm x  K gọi điểm cực tiểu địa phương toán tối ưu (1.1) tồn lân cận U ( x ) điểm x cho f ( x )  f ( x) với x  K  U ( x ) Giả sử f  x   f  x1, x2 , , xn  có đạo hàm riêng  f ( x) f ( x) f ( x)  f ( x )   , , ,  x2 xn   x1 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn theo biến điểm x  K   n Đặt F  x  : f ( x) Khi với x  K f ( x)  n hay F : K   n Mệnh đề 1.2 Giả sử K   n tập lồi, đóng, khác rỗng Nếu x  K điểm cực tiểu địa phương toán tối ưu (1.2) K   F x , x  x  0, x  K (1.3) Điều kiện (1.3) gọi điều kiện cần cực trị toán tối ưu (1.2) Chứng minh Giả sử x  K điểm cực tiểu địa phương f Lấy điểm x K, x  x Do K tập lồi nên đoạn thẳng  x; x  nằm K , tức   xt : x  t x  x  K t   0;1 Đặt u : 0;1  K hàm số xác định t  u  t   xt Với x cố định ta xét hàm số  : 0;1   xác định   t    t   f  u  t   f  xt   f x  t  x  x  Khi  hàm hợp hai hàm khả vi f u nên  hàm khả vi 0;1 f đạt cực tiểu x   đạt cực tiểu t  Theo điều kiện cần cực tiểu cho toán tối ưu hàm biến ta có  '  0   gradf  x  x  x   0, x  K Đặt F  x  : gradf  x   f  x  Khi x  K điểm cực tiểu f F  x  , x  x  0, x  K Mệnh đề chứng minh xong Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Nhận xét 1.1 Như vậy, tập điểm dừng toán tối ưu (1.2) nghiệm toán bất đẳng thức biến phân (1.1) Hơn nữa, theo Mệnh đề đây, f  x  hàm lồi K ta có điều ngược lại Mệnh đề 1.3 Cho K tập lồi, đóng, khác rỗng  n Nếu f  x  hàm lồi khả vi K x  K nghiệm toán bất đẳng thức biến phân (1.1) x  nghiệm toán tối ưu (1.2) Chứng minh Vì f  x  hàm lồi K nên ta có f  x   f  x   f ( x )T  x  x  , x  K Vì x  K nghiệm toán bất đẳng thức biến phân (1.1) nên ta có f ( x )T  x  x   0, x  K   Suy f  x   f x , x  K hay x  nghiệm toán tối ưu (1.2) Như vậy, trường hợp f  x  hàm lồi khả vi K toán bất đẳng thức biến phân (1.1) toán tối ưu (1.2) tương đương Dưới ta xét câu hỏi: Với điều kiện toán bất đẳng thức biến phân (1.1) đưa toán tối ưu (1.2)? Kí hiệu M  n, n  tập hợp ma trận vuông cấp n Trước tiên ta đưa vào định nghĩa sau Định nghĩa 1.3 Ma trận A  M  n, n  gọi nửa xác định dương  n thỏa mãn điều kiện x  Ax  với x   n Định nghĩa 1.4 Ma trận A  M  n, n  gọi ma trận xác định dương  n thoả mãn điều kiện sau Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read ... định tập nghiệm theo tham số, ) Một lớp toán bất đẳng thức biến phân nghiên cứu nhiều lớp toán bất đẳng thức biến phân affine Tuy lớp toán bất đẳng thức biến phân đơn giản nhất, bất đẳng thức biến. .. lý toán bất đẳng thức biến phân affine, véctơ affine, véctơ affine yếu bất đẳng thức biến phân affine phụ thuộc tham số Mục Nói tính bị chặn liên thông tập nghiệm tập nghiệm yếu toán bất đẳng thức. .. I BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN §1 BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN 1.1 Bất đẳng thức biến phân Định nghĩa 1.1 Cho F :  n   n ánh xạ từ  n vào  n K tập  n Bài toán bất đẳng thức