Phương pháp tối ưu hóa giải bài toán cân bằng thông qua bất đẳng thức biến phân

Header Page of 126 B GIO DC V O TO I HC NNG HUNH TễN GIANG TUYấN PHNG PHP TI U HểA GII BI TON CN BNG THễNG QUA BT NG THC BIN PHN Chuyờn ngnh: PHNG PHP TON S CP Mó s: 60 46 40 TểM TT LUN VN THC S KHOA HC NNG, 2011 Footer Page of 126 Header Page of 126 Cụng trỡnh c hon thnh ti I HC NNG Ngi hng dn khoa hc: TS HONG QUANG TUYN Phn bin 1: TS Lờ Hi Trung Phn bin 2: GS.TSKH Nguyn Vn Mu Lun c bo v trc Hi ng chm Lun tt nghip Thc s Khoa hc hp ti i hc Nng vo ngy 28 thỏng nm 2011 * Cú th tỡm hiu lun ti: - Trung tõm Thụng tin - Hc liu, i hc Nng - Th vin trng i hc S phm, i hc Nng Footer Page of 126 Header Page of 126 M u Lớ chn ti Bt ng thc núi chung v bt ng thc bin phõn núi riờng cú vai trũ quan trng toỏn hc, c bit l toỏn ti u Nhng nghiờn cu u tiờn v bt ng thc bin phõn u liờn quan ti vic gii cỏc bi toỏn bin phõn, bi toỏn iu khin ti u v cỏc bi toỏn biờn cú dng ca phng trỡnh o hm riờng Nm 1979 Michael J Smith a bi toỏn cõn bng mng giao thụng v nm 1980 Defermos ch rng: im cõn bng ca bi toỏn ny l nghim ca bi toỏn bt ng thc bin phõn T ú bi toỏn bt ng thc bin phõn c phỏt trin v tr thnh cụng c hu hiu nghiờn cu v gii cỏc bi toỏn cõn bng kinh t, ti, lý thuyt trũ chi v nhiu bi toỏn khỏc Gn õy, bi toỏn bt ng thc bin phõn, s tn ti v nht nghim v ng dng ca bt ng thc bin phõn gii cỏc bi toỏn cõn bng, cng l mt ti c nhiu ngi quan tõm nghiờn cu vỡ vai trũ ca nú lý thuyt toỏn hc v cỏc ng dng thc t Bi nhng lý trờn m tụi chn ti: Phng phỏp ti u húa gii bi toỏn cõn bng thụng qua bt ng thc bin phõn Mc ớch nghiờn cu Tỡm hiu, nghiờn cu mt s mụ hỡnh cõn bng, bt ng thc bin phõn, s tn ti v nht nghim, phng phỏp gii c bn Footer Page of 126 Header Page of 126 v ng dng ca bt ng thc bin phõn gii bi toỏn cõn bng i tng v phm vi nghiờn cu Chỳng ta xem xột mt s lý thuyt v Bt ng thc bin phõn, v mt s bi toỏn tiờu biu ỏp dng bt ng thc bin phõn nh mụ hỡnh cõn bng kinh t Cassel - Wald, mụ hỡnh th trng cnh tranh khụng hon ho, mụ hỡnh cõn bng mng v cõn bng di trỳ Phng phỏp nghiờn cu Nghiờn cu cỏc ti liu t giỏo viờn hng dn Tỡm tũi, thu thp ti liu, sỏch t th vin, Internet t ú kho cu, sp xp hỡnh thnh ni dung ti í ngha khoa hc ti s l mt ti liu tham kho b ớch cho nhng mun tỡm hiu v cỏc dng mụ hỡnh cõn bng tuyn tớnh v phi tuyn, bt ng thc bin phõn v mt s phng phỏp tỡm im cõn bng Cu trỳc lun Ngoi phn m u v kt lun, lun c chia thnh chng Chng 1: Cỏc mụ hỡnh cõn bng Trỡnh by s lc v cỏc mụ hỡnh cõn bng nh: mụ hỡnh cõn Footer Page of 126 Header Page of 126 bng tuyn tớnh, mụ hỡnh cõn bng tuyn tớnh ng, mụ hỡnh cõn bng kinh t Cassel - Wald, mụ hỡnh th trng cnh tranh khụng hon ho, mụ hỡnh cõn bng mng v cõn bng di trỳ Ngoi lm c s cho cỏc chng sau, cỏc nh lý, b thng dựng cng c gii thiu chng ny Chng 2: Bt ng thc bin phõn v mt s bi toỏn ng dng Trỡnh by cỏc kin thc c bn v bt ng thc bin phõn, mt s nh lý v s tn ti nghim ca bt ng thc bin phõn v cỏch chuyn cỏc mụ hỡnh cõn bng chng sang dng bt ng thc bin phõn Chng 3: Cỏc phng phỏp ti u húa tỡm im cõn bng Trỡnh by phng phỏp chiu tỡm im cõn bng cho mt s bi toỏn bt ng thc bin phõn chng 2, phng phỏp chun húa v phng phỏp lp trc tip cho bt ng thc bin phõn n iu Footer Page of 126 Header Page of 126 Chng Cỏc mụ hỡnh cõn bng 1.1 Mụ hỡnh cõn bng tuyn tớnh 1.1.1 Mụ hỡnh cõn bng tuyn tớnh Phõn tớch mụ hỡnh u vo - u l vic nghiờn cu quan h v lng gia cỏc thnh phn khỏc ca mt nn kinh t Mụ hỡnh u vo - u thng dựng tớnh toỏn v lp k hoch phỏt trin kinh t quc gia Theo cỏch tip cn ny, nn kinh t c chia lm n khu vc sn xut, mi khu vc sn xut mt mt hng nht nh Trong mt thi gian xỏc nh, nu khu vc th i sn xut xi n v mt hng, thỡ khu vc th j s dng yij n v ca xi lm nguyờn liu cho mt n v sn phm th j v yi n v cũn li c dựng nh l mt hng tiờu dựng (khụng dựng lm nguyờn liu) cho chớnh khu vc i Do ú, chỳng ta cú th a phng trỡnh cõn bng n gin mt khong thi gian xỏc nh cho mi mt hng: n xi = yij + yi , i = 1, , n j=1 Chia u vo bi u ra, chỳng ta cú c h s u vo - u ra: yij aij = xj Footer Page of 126 Header Page of 126 biu th t trng s lng cỏc mt hng th i c dựng sn xut mt n v sn phm mt hng th j Vn hn ch ca mụ hỡnh phõn tớch u vo - u ny l vic gi thit h s aij khụng i, ngha l khụng tớnh n cỏc ci tin k thut kinh t Nhng h s ny c dựng d bỏo v a k hoch khong thi gian tip theo Gi s s lng yi hng tiờu dựng (khụng dựng lm nguyờn liu cho mt hng khỏc) ca khu vc i l bit c v c mụ t bi vect y = (y1, , yn)T v h s aij khụng i Bi toỏn t l phi tỡm giỏ tr s lng u x = (x1, , xn)T ca n khu vc sn xut tha yờu cu tiờu dựng mi khu vc, tc l phi tỡm x Rn cho: n xi aij xj = yi v xi 0, i = 1, , n (1.1) j=1 Tng ng vi (I A)x = y, x0 (1.2) ú I l ma trn n v vuụng cp n, A l ma trn h s aij , vuụng cp n Phng trỡnh (1.2) th hin s cõn bng tuyn tớnh sn xut v tiờu dựng Chỳng ta thu c h cỏc phng trỡnh tuyn tớnh vi cỏc rng buc khụng õm Cỏc phng trỡnh tuyn tớnh (1.1) cú th c xem nh l iu kin cõn bng gia s cung cp xi n v yờu cu aij xj + yi cho mi mt hng th i j=1 1.1.2 Mụ hỡnh cõn bng tuyn tớnh ng Trong phn trc, chỳng ta xem xột mụ hỡnh kinh t mt thi kỡ nht nh Tuy nhiờn, chỳng ta cng cú th kim tra c cỏch hot ng ca nn kinh t mt thi gian tng i di, nú Footer Page of 126 Header Page of 126 phự hp cho mt mụ hỡnh vi vụ hn cỏc thi kỡ n gin húa, ta chn mụ hỡnh vi thi gian riờng bit Mt ln na, chỳng ta tỡm iu kin a n mt nn lao ng n nh hoc cõn bng cho c h thng u tiờn chỳng ta xem xột s m rng ca mụ hỡnh u vo - u c mụ t phn 1.1.1 Trong mụ hỡnh, nn kinh t c chia thnh n khu vc sn phm thc s, mi khu vc sn xut mt mt hng ng nht Ta gi aij l s lng mt hng th i sn xut mt n v mt hng th j, v h s ny l khụng i Ngha l khụng cú s thay i ỏng k k thut sn xut Mụ hỡnh tnh u vo - u c a (1.1) v c vit li nh sau: Vi y = (y1, , yn)T l nhu cu tiờu dựng cui, tỡm vect u x = (x1, , xn)T cho (I A)x = y, x0 (1.10) vi I l ma trn n v cp n, A = (aij )nìn Trong phn 1.1.1, mt s iu kin , cho ta s tn ti nghim khụng tm thng ca h ny cho mt giỏ tr khụng õm tựy ý ca nhu cu tiờu dựng cui Trong mụ hỡnh ng, chỳng ta xột bi toỏn tn ti mt mc ca u ra, nú bao gm c yờu cu cụng nghip thay cho (1.10) Núi cỏch khỏc, bi toỏn phự hp tỡm mt vect u x cho: (I A)x 0, 1.2 x0 (1.11) Mụ hỡnh cõn bng phi tuyn 1.2.1 Mụ hỡnh cõn bng kinh t Cassel - Wald Mụ hỡnh cõn bng kinh t Cassel - Wald l mụ hỡnh mụ t h thng kinh t, phõn phi n mt hng v m nhõn t thc s (nguyờn liu chớnh) ca sn phm Trong ú, ck l n giỏ ca mt hng th Footer Page of 126 Header Page of 126 k, bi l tng lng hng ca nhõn t th i v aij l lng tiờu th mt hng th i theo yờu cu sn xut mt n v mt hng th j Ta t c = (c1, , cn)T , b = (b1, , bm)T , A = (aij )mìn Vi xj l u ca mt hng th j, pi l n giỏ ca nhõn t th i, x = (x1, , xn)T v p = (p1, , pm)T Vect b l c nh, nhng vect c thỡ khụng c nh, ngha l tn ti ỏnh x c : Rn+ Rn+ iu ny cú ngha l giỏ c l c lp vi u Cp (x, p) l cõn bng nu tha cỏc mi quan h sau: x 0, p 0; AT p c(x) 0, b Ax 0; (x)T [AT p c(x)] = 0, (1.14) (p)T [b Ax] = 1.2.2 Mụ hỡnh th trng cnh tranh khụng hon ho Bõy gi chỳng ta xột bi toỏn tỡm th trng cõn bng cho trng hp ca mt s ớt hóng sn xut Ngha l hot ng ca mi hóng riờng l cú th lm thay i trng thỏi ca c h thng Trong mụ hỡnh th trng c quyn c in, tha nhn rng cú n hóng cung cp cựng mt loi sn phm v n giỏ p ph thuc vo s lng , ngha l p = p() l hm ngc ca nhu cu Núi cỏch khỏc, p() l n giỏ m ngi tiờu dựng s mua mt s lng Chi phớ hi(xi) tng ng vi tng chi phớ cụng ty th i cho xi sn phm Nu mi hóng th i cung cp xi n v sn phm, thỡ tng s cung cp cho th trng c xỏc nh nh sau: x = n i=1 Footer Page of 126 xi Header Page 10 of 126 v li nhun ca cụng ty th i c xỏc nh bi fi(x) = xip(x) hi(xi) vi x = (x1, , xn)T D nhiờn, mi mc u l khụng õm, ngha l xi vi i = i, , n Mi cụng ty luụn c kim c li nhun ln nht bng cỏch la chn mc sn xut tng ng Tuy nhiờn, li nhun ca mi cụng ty l c lp vi u ca tt c cỏc cụng ty, li nhun ca chỳng cú th khỏc Chỳng ta cú th xột bi toỏn ny nh mt trũ chi bt hp tỏc ca n ngi chi, vi ngi chi th i cú chin lc R+ v hm li ớch fi(x) Do ú, nh ngha nghim cho cu trỳc th trng ny, chỳng ta s dng khỏi nim cõn bng Nash cho trũ chi bt hp tỏc Theo nh ngha, mt vect mc u khụng õm x = (x1 , , xn)T c gi l mt gii phỏp cõn bng Nash cho th trng c quyn, xi ti a húa hm li nhun fi ca cụng ty th i, cỏc cụng ty khỏc sn xut s lng xj , j = i, vi i = 1, , n iu ny cú ngha l nu x = (x1 , , xn)T l mt nghim cõn bng Nash, thỡ xi phi l mt nghim ti u ca bi toỏn max {xip(xi + i) hi(xi)}, xi vi i = n (1.16) xj vi i = 1, , n j=1,j=i 1.2.3 Mụ hỡnh cõn bng mng Cỏc bi toỏn cõn bng lung giao thụng v truyn thụng tng i mi nhng l lnh vc phỏt trin rt nhanh cỏc ng dng bt ng thc bin phõn Bn cht ca cỏc bi toỏn ny ch yu c xỏc nh trờn th c nh hng, mi cung ca nú c liờn kt vi mt s lung (vớ d nh lung giao thụng) v mt s loi phớ tn (nh thi gian di chuyn, thi gian trỡ hoón, hoc chi Footer Page 10 of 126 Header Page 12 of 126 10 õm Cp th hai ca bt ng thc (1.20) ngha l s khỏc ca chi phớ thp nht ti hai im khụng th vt quỏ chi phớ lung trờn cung tng ng v nhu cu lung ti thiu khụng th vt quỏ s chờnh lch gia lung v lung vo Cp th ba ca cỏc quan h (1.20) ngha l lung dng trờn mi cung (tng ng, chi phớ dng nh nht ti mi nỳt) suy ng thc chui cỏc iu kin phớa trờn Do ú, nu cn phi cõn bng lung ti mi nỳt: l xla = dli, xa aA i aA+ i thỡ ngi ta phi m bo n nh chi phớ chuyn 1.2.4 Mụ hỡnh cõn bng di trỳ Bõy gi ta xột mt mụ hỡnh cõn bng di trỳ Mụ hỡnh ny bao gm mt cỏc im N, vi mi i N, bi l mt ban u c nh ti v trớ i Vi hij l trng s ca dũng di trỳ t v trớ u i n ớch j, v t xi l mt hin ti ti v trớ i Chỳng ta cú th liờn kt vi mi v trớ i tớnh tin ớch ui v vi mi cp v trớ i, j chi phớ cij t x = {xi | i N} v h = {hij | i, j N, i = j}, thỡ hp cú th nh ngha nh sau: { H = (x, h) h 0, hij bi, j=i xi = bi + hji j=i } hij , i N j=i Ta thy H b chn Tht vy, t rng buc h 0, hij bi, j=i Footer Page 12 of 126 (1.28) Header Page 13 of 126 11 nhng lung h l b chn Do ú, mt xi = bi + hji hij , i N, j=i j=i l b chn nờn H b chn Quy lut (1.28) phn ỏnh s bo ton ca cỏc dũng v ngn cn chui di trỳ Rừ rng, dũng di trỳ l khụng õm iu kin khụng õm cho mụ hỡnh di trỳ vụ hng l phc hn mụ hỡnh cõn bng mng Gi s rng tớnh tin ớch ph thuc vo mt , ngha l ui = ui(x), v chi phớ di trỳ ph thuc vo dũng di trỳ, ngha l cij = cij (h) Chỳng ta núi rng cp (x, h) H l cõn bng nu = nu h > 0, ij (1.29) ui(x ) uj (x ) + cij (h ) + ài nu h = 0; ij i, j N v his = bi, nu s=i ài his < bi, = nu (1.30) s=i vi mi i N Tp cỏc iu kin cõn bng (1.29), (1.30) cú th c vit li tng ng vi bt dng thc bin phõn: Tỡm mt cp (x, h) cho (xi xi)ui(x) iN + i,jN,i=j Footer Page 13 of 126 (hij hij )cij (h) 0, (x, h) H (1.31) Header Page 14 of 126 12 Chng Bt ng thc bin phõn v mt s bi toỏn ỏp dng 2.1 Lý thuyt c s 2.1.1 Bt ng thc bin phõn Cho X khỏc rng, l con, úng, li ca khụng gian Euclide E hu hn chiu, cho ỏnh x liờn tc G : X E Bi toỏn bt ng thc bin phõn l bi toỏn tỡm mt im x X tha món: (x x)T G(x) 0, x X (2.1) xem Hỡnh 2.1 t X l nghim ca bi toỏn bt ng thc bin phõn x X x + G(x ) x Hỡnh 2.1: Hỡnh minh nh ngha bt ng thc bin phõn Footer Page 14 of 126 Header Page 15 of 126 13 2.1.2 S tn ti v nht nghim Hu ht cỏc kt qu tn ti nghim ca bi toỏn bt ng thc bin phõn u c gii quyt bng cỏch s dng lý thuyt im bt ng Mnh 2.1.5 ([6]) Cho X l li, compact v khỏc rng Mi ỏnh x liờn tc T i t X n chớnh nú u cú im bt ng Bõy gi, ta xột mt s tớnh cht ca ỏnh x chiu Cho mt im x v X l ca E, gi X (x) l hỡnh chiu ca x trờn X: X (x) X, x X (x) = x y yX Mnh 2.1.6 ([4]) Gi s Y l mt khỏc rng, úng, li, E, v x l mt im tựy ý E Thỡ: (i) Tn ti nht hỡnh chiu p = Y (x) ca x trờn Y (ii) Mt im p Y l hỡnh chiu ca x trờn Y nu v ch nu (p x)T (y p) y Y (2.6) (iii) Mt ỏnh x chiu Y (.) l khụng m rng v (x x)T [Y (x) Y (x)] Y (x) Y (x)2 (2.7) x, x E Mnh 2.1.7 ([4]) Cho X khỏc rng, l úng v li ca khụng gian Euclide hu hn chiu E Mt im x X l nghim ca bt ng thc bin phõn (2.1) nu v ch nu x = X [x G(x)] (2.8) vi > Bõy gi ta thit lp s tn ti nghim cho bt ng thc bin phõn (2.1) Footer Page 15 of 126 Header Page 16 of 126 14 nh lý 2.1.2 ([4]) Cho X khỏc rng, l li v compact ca khụng gian Euclide hu hn chiu E v G : X E l ỏnh x liờn tc, ú bt ng thc bin phõn (2.1) cú nghim cú s tn ti nghim trờn khụng b chn, ta s dng cỏc thờm mt s iu kin nh lý 2.1.3 ([4]) Cho X khỏc rng, l li v úng ca khụng gian Euclide hu hn chiu E v G : X E l ỏnh x liờn tc Gi s rng tn ti mt b chn, khỏc rng Y ca X cho vi mi x X\Y , cú y Y vi (x y)T G(x) > Khi ú bt ng thc bin phõn (2.1) cú nghim Trong trng hp tng quỏt, bt ng thc bin phõn cú th cú nhiu hn mt nghim Bõy gi ta xột iu kin bt ng thc bin phõn cú nht nghim Mnh 2.1.8 ([4]) Nu G l n iu cht, thỡ bt ng thc bin phõn (2.1) cú nhiu nht mt nghim Ta xột tớnh n iu mnh cho s tn ti v nht nghim ca bt ng thc bin phõn (2.1) nh lý 2.1.4 ([4]) Cho X khỏc rng, l li v úng ca khụng gian Euclide hu hn chiu E v G : X E l ỏnh x liờn tc v n iu mnh Thỡ bt ng thc bin phõn (2.1) cú mt nghim nht Theo nh lý 2.1.1 v Mnh 2.1.3, tớnh cht trờn a iu kin tn ti v nht nghim cho bi toỏn ti u (2.5) vi f kh vi v li cht (mnh) Bõy gi ta xột trng hp f khụng kh vi Mnh 2.1.9 ([4]) Cho X khỏc rng, l li v úng ca khụng gian Euclide hu hn chiu E (i) Nu f : X R l li cht, thỡ (2.5) cú nhiu nht mt nghim Footer Page 16 of 126 Header Page 17 of 126 15 (ii) Nu f : X R l li mnh v liờn tc, thỡ (2.5) cú nht nghim 2.2 Chuyn cỏc mụ hỡnh cõn bng sang dng bt ng thc bin phõn 2.2.1 Mụ hỡnh cõn bng Cassel - Wald Ta xột mụ hỡnh cõn bng Cassel - Wald ó c mụ t phn 1.2.1 H thng kinh t phõn phi n mt hng v m loi nguyờn liu chớnh (nhõn t thc s ca sn phm) Trong ú, ck l n giỏ ca mt hng th k, bi l tng lng hng th i v aij l t giỏ tiờu th mt hng th i theo yờu cu sn xut mt n v mt hng th j, xj l u ca mt hng th j Ta t c = (c1, , cn)T , x = (x1, , xn)T , b = (b1, , bm)T , A = (aij )mìn, v tha nhn giỏ c c lp vi u ngha l tn ti ỏnh x c : Rn+ Rn+ Khi ú (xem (2.4)), im cõn bng ca bi toỏn bt ng thc bin phõn l: Tỡm x D cho (x x)T c(x) 0, x D; (2.9) vi D = {x Rn|Ax b, x 0}; Ngha l u ti u mang li li nhun ln nht tha cỏc iu kin ti nguyờn giỏ c l c nh vi cỏc u Ta thy, (2.9) l trng hp c bit ca bt ng thc bin phõn (2.1) Ngoi D l li v úng Nờn D khỏc rng nu A v b ch cha cỏc giỏ tr khụng õm Nu A v b ch gm cỏc giỏ tr khụng õm v cú mt ct khỏc khụng thỡ D b chn Tht vy, ta cú D = {x Rn|Ax b, x 0}, Footer Page 17 of 126 Header Page 18 of 126 16 vi mi j cú i cho aij > Nờn ) b 1( i xj bi aik xk aij aij k=j ú D b chn Lỳc ú D l khỏc rng, li v compact Theo nh lý 2.1.1, bt ng thc bin phõn (2.1) l gii c nu c liờn tc Chỳng ta cú th vit li iu kin ti u cho (2.9) di dng mt h cỏc bt ng thc bin phõn: Tỡm x v p cho (x x)T c(x) + (Ax Ax)T p (p p)T (b Ax) x 0; (2.10) p vi p = (p1, , pm)T l vect n giỏ 2.2.2 Mụ hỡnh th trng cnh tranh khụng hon ho Ta xột mụ hỡnh th trng cnh tranh khụng hon ho ó c núi n phn 1.2.2 Nú mụ t th trng c quyn bao gm n cụng ty cung cp mt loi sn phm ng nht v a mt trũ chi bt hp tỏc, vi ngi chi th i cú chin lc R+ v hm li nhun fi(x) = xip(x) hi(xi), (2.11) vi x = (x1, , xn), xi l s cung cp ca cụng ty th i, hi : R+ R l hm chi phớ, p : R+ R l hm n giỏ ca th trng, v n x = xi l tng cung cp cho th trng i=1 Bi toỏn ny c quy v bi toỏn bt ng thc bin phõn tng ng vi gi thuyt tng quỏt Nu hm li nhun fi ca cụng ty th i l lừm theo xi vi i = 1, , n tha iu kin ny ta gi s rng hm chi phớ hi l li, hm n giỏ p khụng tng, v hm Footer Page 18 of 126 Header Page 19 of 126 17 li tc cụng nghip à() = p() lừm trờn R+ Vi nhng iu kin kh vi trờn hm p v hi, bt ng thc bin phõn (2.1) cú ỏnh x chi phớ G : Rn+ Rn c xỏc nh nh sau Gi(x) = h(xi) p(x) xip(x), i = 1, , n (2.12) S tn ti v nht nghim khỏc cho bi toỏn cõn bng c quyn c xỏc nh bi tớnh cht n iu ca ỏnh x G Nu tn ti cn trờn v cn di ca mc u ra, thỡ chin lc ca mi ngi chi th i l on [i, i] vi i < i + vi i = 1, , n, bi toỏn cõn bng tng ng vi bt ng thc bin phõn (2.1) 2.2.3 Mụ hỡnh cõn bng mng Bõy gi ta xột cỏc ng dng ca bt ng thc bin phõn cho mụ hỡnh cõn bng mng ó c mụ t phn 1.2.3 Theo nh ngha, nghim x X xỏc nh bt ng thc bin phõn: Fl (f )(fl fl) 0, f = Bx, x X, (2.13) lA vi f = Bx, X= { Xw = x Xw , wW } xp = dw , xp 0, p Pw , w W , (2.14) pPw f = (fl )l A l vect giỏ tr lung, x = (xp)pPw ,wW l vect cỏc lung ng, B l ma trn liờn thụng cung ng, A l cỏc cung mng giao thụng, W l cỏc cp im u - im ớch, Pw l cỏc ng ni cp w, dw l yờu cu giao thụng cho cp ny Fl xỏc nh chi phớ cho cung l, nú ph thuc vo s phõn b Footer Page 19 of 126 Header Page 20 of 126 18 ca cỏc lung Thỡ (2.13) cú th c vit li nh sau: Gp(x)(xp xp ) wW pPw = (x x)T [B T F (Bx)] x X (2.15) 2.2.4 Mụ hỡnh cõn bng di trỳ Bõy gi, ta xột mụ hỡnh cõn bng di trỳ (1.28) Mụ hỡnh di trỳ (1.28), (1.31) cng l trng hp c bit ca bt ng thc bin phõn (2.1) Ngoi ra, X ca nú l khỏc rng, li v úng nhng b chn Khi ú s tn ti nghim ca bi toỏn ny cú th c suy t nh lý 2.1.2 vi tớnh liờn tc ca hm li nhun v hm chi phớ di trỳ Bõy gi ta ch s tng ng gia (1.28), (1.31) v (1.28) (1.30) t Mnh 2.1.7 Ta vit li (1.28), (1.31) nh sau: Tỡm mt cp (x, h) H cho (xi xi)ui(x) iN + (hij hij )cij (h) 0, (x, h) H, i,jN,i=j vi { H= (x, h) h 0, hij bi, j=i xi = bi + j=i hji } hij , i N j=i x = {xi | i N} v h = {hij | i, j N, i = j}, v N l cỏc im Footer Page 20 of 126 Header Page 21 of 126 19 Chng Cỏc phng phỏp ti u húa tỡm im cõn bng 3.1 Phng phỏp chiu Chỳng ta xột bi toỏn bt ng thc bin phõn (2.1) vi X khỏc rng, l con, úng, li ca khụng gian Euclide hu hn chiu E, cho ỏnh x liờn tc G:XE Nh trc õy, ta t X l nghim ca bi toỏn Theo phng phỏp chiu thụng thng, dóy lp c xõy dng s tng quan vi quy lut: xk+1 = X [xk k G(xk )], k > (3.1) vi xk l im lp hin hnh, x0 X v X (.) l ỏnh x chiu trờn X Theo Mnh 2.1.6 thỡ dóy lp (3.1) l xỏc nh tt, ngoi ra, xk+1 l nghim nht ca bt ng thc bin phõn sau: Tỡm xk+1 Xsao cho k+1 xk )] 0, x X (x xk+1)T [G(xk ) + k (x Footer Page 21 of 126 (3.2) Header Page 22 of 126 20 xk x + G(x) X xk+1 x x Hỡnh 3.1: Hỡnh minh phng phỏp chiu ng dng ca phng phỏp chiu n bt ng thc bin phõn Chỳng ta xột mụ hỡnh bi toỏn bt ng thc bin phõn: Tỡm x X cho (x x)T G(x) x X, (3.9) vi X khỏc rng, l con, úng, li Rn, G : X Rn l ỏnh x liờn tc Ta xột phộp chiu trờn X Cỏc mụ hỡnh mụ hỡnh cõn bng nh mụ hỡnh Cassel - Wald (1.14), mụ hỡnh th trng c quyn bờn bỏn (1.10), mụ hỡnh cõn bng mng (1.21) v mụ hỡnh cõn bng di trỳ (1.29), u quy v bi toỏn bt ng thc biờn phõn (3.9) Ngoi ra, ỏnh x chi phớ G cú tớnh n iu Do ú, chỳng ta cú th ng dng phng phỏp chiu (3.1) tỡm nghim ca chỳng Ta xột mụ hỡnh Cassel - Wald (1.14), vi x l vect u ca hng húa, v G(x) = c(x), c(x) l vect n giỏ ti x Do ú, tớnh n iu ca c(x) cho ta s hi t ca phng phỏp chiu T ú X c nh ngha vi rng buc tuyn tớnh X = {x Rn | Ax b, x 0}, Footer Page 22 of 126 Header Page 23 of 126 21 nh lý v s hi t ca phng phỏp chiu cn tớnh cht n iu mnh ca G Trong trng hp tng quỏt, nu G ch n iu, chỳng ta nờn dựng phng phỏp khỏc c mụ t phn sau Theo nh lý 3.1.4, tớnh n iu cú th c thay bi tớnh kh tớch Chng hn, nu G chộo, ngha l, G(x) = (G(x1), G(x2), , G(xn))T , (3.10) hoc G l ỏnh x affine vi ma trn i xng, ngha l G(x) = Ax + b, vi A l ma trn vuụng i xng cp n (3.11) Chỳng ta xột cụng thc lung ng ca mụ hỡnh cõn bng mng (2.13), (2.14) Nú cú th c vit li tng ng vi bt ng thc bin phõn (3.9), vi G(x) = B T F (Bx), (3.12) ú B l ma trn liờn thuc cung - ng, x l vect lung ng, F (y) l vect giỏ tr ca dũng chi phớ ph thuc vo cỏc cung lung y, X l khỏc rng, li, compact 3.2 Phng phỏp chun húa Trong phn 3.1, phng phỏp chiu khụng m bo s hi t cho nghim ca bt ng thc bin phõn ỏnh x chi phớ ch cú tớnh n iu, nhng khụng cú tớnh n iu mnh, nờn khụng tha mt s mụ hỡnh cõn bng Ngoi ra, ỏnh x chi phớ tng ng khụng kh tớch Do ú, chỳng ta a mt phng phỏp lp cho trng hp n iu tng quỏt Chỳng ta xột bt ng thc bin phõn sau: Tỡm mt im x X cho: (x x)T G(x) 0, x X (3.13) Footer Page 23 of 126 Header Page 24 of 126 22 vi X khỏc rng, l con, úng, li Rn, G : X Rn l ỏnh x n iu liờn tc Nh trc õy, ta t X l nghim ca bi toỏn Trc tiờn, chỳng ta xột phng phỏp chun húa, phng phỏp ny s thay bt ng thc bin phõn n iu ban u bi mt dóy cỏc bt ng thc bin phõn ph vi tớnh n iu mnh Phng phỏp chun húa ph bin v n gin nht A.N.Tikhonov xõy dng Phng phỏp ny bao gm vic thay th bt ng thc bin phõn (3.13) bi mt dóy cỏc bt ng thc bin phõn ph ca nú cú dng: Tỡm x X cho: (x x)T [G(x) + x] 0, x X (3.14) vi > l tham s 3.3 Phng phỏp lp trc tip Trong phn ny, chỳng ta xột phng phỏp lp nghim cho bt ng thc bin phõn (3.13) vi ỏnh x chi phớ G n iu v liờn tc Phng phỏp ny da trờn s thay i phng phỏp tỡm trc tip gii quyt bi toỏn bt ng thc bin phõn dng (3.13) ta cú mt phng phỏp khỏc gi l phng phỏp ngoi suy Dóy lp ca nú c cho nh sau: xk+1 = X [xk k G(y k )], y k = X [xk k G(xk )], k > (3.16) Tớnh cht hi t ca phng phỏp (3.16) cho bt ng thc bin phõn n iu (3.13) da trờn gúc gia G(y k ) v x xk cú th nhn vi mt s x X , t ú phng phỏp lp (3.16), vi s la chn c bc k phự hp, thỡ hi t n mt nghim ca bt ng Footer Page 24 of 126 Header Page 25 of 126 23 thc bin phõn (3.13) Phng phỏp gradient m rng gm nhng c bc ging cho cỏc bc (3.16) Chng hn, ta cú th t k = (0, 1/L), vi L l hng s Lipschitz ca G Bõy gi chỳng ta xột cỏch khỏc a n s hi t gi l phng phỏp ni lng Trong phng phỏp ny, phn u tiờn ca mi bc l tỡm tham s ca siờu phng tỏch cht s lp ny v nghim X , phn hai bao gm thc hin phộp chiu trờn siờu phng v trờn thc hin c, nu cn Kt qu, chỳng ta thu c s n iu gim khong cỏch n cỏc nghim Phn u ca bc lp cú th l c s chớnh cho bc lp ca phng phỏp ni lng nht, nhng bõy gi chỳng ta xột bc lp hỡnh chiu c s n gin nht Thut toỏn ni lng chp nhn Chn mt im x0 X, s (0, 1), (0, 1), (0, 2), > 0, v t k = Bc (bc ph): Tớnh z k = X [xk G(xk )] v t pk = z k xk Nu pk = 0, dng Nu pk = 0, tỡm s nguyờn nh nht, khụng õm m cho: (pk )T G(xk + mpk ) (pk )T G(xk ) (3.17) t k = m, y k = xk + k pk Nu G(y k ) = 0, dng Bc (bc lp chớnh): t g k = G(y k ), wk = (g k )T (xk y k ), xk+1 = X [xk (wk /g k 2)g k ], (3.18) k = k + v quay tr li bc Theo s mụ t ny, thut toỏn tỡm mt nghim ca bt ng thc bin phõn trng hp kt thỳc hu hn Footer Page 25 of 126 Header Page 26 of 126 24 Kt lun Lun "Phng phỏp ti u húa gii bi toỏn cõn bng thụng qua bt ng thc bin phõn" ó thc hin c cỏc sau: - a mt s mụ hỡnh cõn bng nh: mụ hỡnh cõn bng bng tuyn tớnh, mụ hỡnh cõn bng tuyn tớnh ng, mụ hỡnh cõn bng kinh t Cassel - Wald, mụ hỡnh th trng cnh tranh khụng hon ho, mụ hỡnh cõn bng mng v cõn bng di trỳ - Lý thuyt v bt ng thc bin phõn, s tn ti v nht nghim - a mt s phng phỏp ti u húa tỡm im cõn bng: phng phỏp chiu, phng phỏp chun húa, phng phỏp lp trc tip Trong quỏ trỡnh thc hin ti, chỳng tụi cũn nhn thy mt s hng m cn nghiờn cu tip nh sau: - Nghiờn cu bi toỏn bự phi tuyn, l mt trng hp c bit ca bi toỏn bt ng thc bin phõn - p dng phng phỏp chiu cho h cỏc bt ng thc bin phõn Nhng lun xut hin vo nhng nm gn õy nờn i vi tỏc gi cũn l nhng rt mi m Do ú, quỏ trỡnh thc hin lun ny, chỳng tụi ch yu thc hin vic c hiu, trỡnh by sp xp li cỏc kt qu ó cú theo tng chng mc t c bn n chuyờn sõu Cú th núi lun l bc u tỏc gi lm quen vi cỏc kin thc chuyờn ngnh ca lnh vc toỏn ti u Cho nờn thi gian ti, nu cú iu kin, tỏc gi xin tip tc tip cn v nghiờn cu ti ny mt cỏch sõu hn Footer Page 26 of 126 ... phân nói riêng có vai trò quan trọng toán học, đặc biệt toán tối ưu Những nghiên cứu bất đẳng thức biến phân liên quan tới việc giải toán biến phân, toán điều khiển tối ưu toán biên có dạng phương. .. nghiệm bất đẳng thức biến phân cách chuyển mô hình cân chương sang dạng bất đẳng thức biến phân Chương 3: Các phương pháp tối ưu hóa tìm điểm cân Trình bày phương pháp chiếu tìm điểm cân cho số toán. .. hảo, mô hình cân mạng cân di trú - Lý thuyết bất đẳng thức biến phân, tồn nghiệm - Đưa số phương pháp tối ưu hóa tìm điểm cân bằng: phương pháp chiếu, phương pháp chuẩn hóa, phương pháp lặp trực