Phương pháp hàm phạt cho bài toán bất đẳng thức biến phân

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH ĐẬU XUÂN LƯƠNG PHƯƠNG PHÁP HÀM PHẠT CHO BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC VINH - 2010 i BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH ĐẬU XUÂN LƯƠNG PHƯƠNG PHÁP HÀM PHẠT CHO BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 62 46 01 01 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS TSKH LÊ DŨNG MƯU PGS TS TRẦN VĂN ÂN VINH - 2010 MỤC LỤC Mục lục i Lời cam đoan iv Lời cảm ơn Mở đầu Lí chọn đề tài 2 Mục đích nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu Phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu 6 Ý nghĩa khoa học thực tiễn 7 Tổng quan cấu trúc luận án Hàm phạt cho toán bất đẳng thức biến phân 1.1 11 Các kết tồn tính nghiệm toán bất đẳng thức biến phân 12 1.2 Phép chiếu mối quan hệ với bất đẳng thức biến phân 13 1.3 Phương pháp chiếu 17 1.4 Phương pháp hàm phạt 19 ii iii 1.5 Phương pháp kết hợp phạt-chiếu giải toán bất đẳng thức biến phân 22 Ví dụ 25 Kết luận Chương 35 1.6 Hàm phạt cho toán bất đẳng thức biến phân vector yếu 36 2.1 Điều kiện đủ cho tồn nghiệm toán bất đẳng thức biến phân vector yếu 38 2.2 Bài toán phạt 39 2.3 Các định lý hội tụ 44 Kết luận Chương 50 Hàm phạt cho toán tối ưu đa mục tiêu 3.1 51 Điều kiện đủ cho tồn nghiệm toán tối ưu đa mục tiêu 52 3.2 Bài toán phạt 54 3.3 Các định lý hội tụ 55 Kết luận Chương 61 Kết luận kiến nghị 62 Kết luận 62 Kiến nghị 62 Danh mục công trình khoa học nghiên cứu sinh liên quan đến luận án 63 Tài liệu tham khảo 63 iv LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan công trình nghiên cứu riêng tôi, kết trình bày luận án hoàn toàn trung thực, đồng tác giả cho phép sử dụng luận án hoàn toàn không trùng lặp với tài liệu khác Đậu Xuân Lương LỜI CẢM ƠN Luận án hoàn thành hướng dẫn GS TSKH Lê Dũng Mưu PGS TS Trần Văn Ân Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy, người tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tác giả trình học tập, nghiên cứu viết luận án Tác giả xin chân thành cảm ơn Lãnh đạo trường Đại học Vinh, lãnh đạo khoa Toán học, Khoa Sau đại học – Trường Đại học Vinh; Lãnh đạo Viện Toán học, tập thể GS Thầy, Cô Trường Đại học Vinh Viện Toán học động viên giúp đỡ tạo nhiều điều kiện thuận lợi thời gian tác giả học tập nghiên cứu Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới nhà khoa học Thầy, Cô thuộc Tổ Giải tích Khoa Toán học – Trường Đại học Vinh dành thời gian đọc luận án cho ý kiến nhận xét quý báu Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới Trường Cao Đẳng Sư phạm Quảng Ninh Khoa Tự nhiên thuộc Trường Cao Đẳng Sư phạm Quảng Ninh, người thân bạn bè góp ý, ủng hộ động viên tinh thần vật chất cho tác giả Đậu Xuân Lương MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài 1.1 Lý thuyết bất đẳng thức biến phân đời vào năm 60 ([50, 20, 32]), công cụ mạnh thống để nghiên cứu toán cân Cho đến nay, toán quy toán bất đẳng thức biến phân gồm có: toán cân mạng giao thông (Traffic Network Equilibrium Problem) toán gần với toán cân giá không gian (Spatial Price Equilibrium Problem) (tham khảo chẳng hạn [8, 47, 9, 42, 41]), toán cân tài (Financial Equilibrium Problem), cân nhập cư (Migration Equilibrium Problem), hệ thống môi trường (Environmental Network Problem) mạng kiến thức (Knowledge Network Problem) ([11, 25, 26, 10, 40, 41, 29]) Phương pháp hàm phạt phương pháp quan trọng để giải toán bất đẳng thức biến phân (tham khảo chẳng hạn [38, 23, 39, 1, 51]) Nhờ vào phương pháp này, toán với miền ràng buộc phức tạp chuyển dãy toán không ràng buộc với ràng buộc đơn giản Trong đó, phương pháp chiếu lớp phương pháp đơn giản hiệu quả, đặc biệt toán thỏa mãn điều kiện đơn điệu Nhược điểm phương pháp ta phải tính hình chiếu điểm lên miền lồi bất kỳ, toán khó trường hợp tổng quát, mà miền hình dạng đặc biệt Do đó, kết hợp phương pháp hàm phạt phương pháp chiếu khắc phục nhược điểm phương pháp chiếu 1.2 Khái niệm bất đẳng thức biến phân vector giới thiệu Giannessi [16] Từ tới nay, người ta tìm nhiều ứng dụng toán bất đẳng thức biến phân vector (Vector Variational Inequality Problem, viết tắt VVIP) toán bất đẳng thức biến phân vector yếu (Weak Vector Variational Inequality Problem, viết tắt WVVIP) toán tối ưu đa mục tiêu (Multiobjective Optimization Problem, viết tắt MOP) (tham khảo chẳng hạn [16, 2, 4, 53, 18], toán xấp xỉ vector (Vector Approximation Problem) ([54]), toán cân giao thông vector (Vector Traffic Equilibrium Problem) ([55]) Sự tồn nghiệm toán bất đẳng thức biến phân vector yếu nghiên cứu nhiều công trình (tham khảo chẳng hạn [6, 4, 3, 31, 12]) Để ứng dụng toán bất đẳng thức biến phân vector yếu vào thực tiễn, đòi hỏi phải có thuật toán giải số hiệu cho toán Tuy nhiên, theo hiểu biết chúng tôi, có vài công trình nghiên cứu thuật toán để giải toán bất đẳng thức biến phân vector yếu ([18, 19]) Từ lâu, phương pháp hàm phạt áp dụng để giải toán tối ưu toán bất đẳng thức biến phân dạng thường, đưa toán với miền ràng buộc phức tạp dãy toán có ràng buộc đơn giản ràng buộc Tuy nhiên, chưa có công trình nghiên cứu áp dụng phương pháp cho toán bất đẳng thức biến phân vector yếu mà biết 1.3 Khái niệm nghiệm tối ưu Pareto (mà luận án gọi nghiệm Pareto) toán tối ưu đa mục tiêu xuất công trình Edgeworth [13] Pareto [44] Một điểm x gọi nghiệm Pareto toán tối ưu đa mục tiêu với hàm mục tiêu f = (f1 , , fk ) (k mục tiêu) điểm khác tốt điểm đó, nghĩa không tồn điểm y = x cho fi (y) ≤ fi (x) với i = 1, , k, fj (y) < fj (x) với số j Điểm x gọi nghiệm Pareto yếu toán tối ưu đa mục tiêu điểm khác tốt điểm xét tất mục tiêu, nghĩa không tồn y cho fi (y) < fi (x) với i = 1, , k Bài toán tối ưu đa mục tiêu có ứng dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực, khoa học sống Lý thuyết tối ưu đa mục tiêu sử dụng toán xấp xỉ vector (Vector Approximation Problem), lý thuyết trò chơi (Game Theory), toán quản lý hoạch định tài nguyên (Resource Planning and Management), lý thuyết phúc lợi (Welfare Theory), toán kỹ thuật điều khiển phi cơ, hệ thống khí xác, v.v (tham khảo chẳng hạn [48, 49, 33, 24]) Phương pháp hàm phạt áp dụng cho toán tối ưu đa mục tiêu nghiên cứu vài công trình gần (tham khảo [52, 21, 22, 34]) Trong [34], Liu Feng nghiên cứu nghiệm Pareto yếu toán MOP(D, f ) sử dụng hàm phạt mũ Liu Feng chứng minh x điểm giới hạn dãy nghiệm Pareto yếu toán phạt x chấp nhận (nghĩa x ∈ D), x nghiệm Pareto yếu toán ban đầu Như vậy, định lý hội tụ họ dựa giả thiết điểm giới hạn x dãy nghiệm Pareto yếu toán phạt nằm miền ràng buộc D Giả thiết điểm bất lợi cách tiếp cận toán tối ưu đa mục tiêu với hàm phạt mũ Liu Feng Từ nảy sinh yêu cầu phải có mô hình hàm phạt cho kết hội tụ tốt hơn, khắc phục nhược điểm mô hình đề xuất [34] Với lí nêu trên, chọn đề tài “Phương pháp hàm phạt cho toán bất đẳng thức biến phân” làm đề tài luận án tiến sĩ Đề tài tập trung nghiên cứu vấn đề sau (1) Kết hợp phương pháp hàm phạt phương pháp chiếu để có thuật toán hoàn chỉnh giải toán bất đẳng thức biến phân dạng VIP(D, f ), với D lồi đóng khác rỗng f đơn điệu, liên tục Lipschitz Bằng cách này, ta khắc phục trở ngại lớn phương pháp chiếu khó khăn tính toán hình chiếu điểm lên miền lồi (2) Áp dụng phương pháp hàm phạt để chuyển toán bất đẳng thức biến phân vector yếu với ràng buộc miền D lồi đóng dãy toán bất đẳng thức biến phân vector yếu với miền ràng buộc K ⊃ D đơn giản hơn, gọi toán phạt Ta chọn K = Rk , nghĩa toán phạt ràng buộc (3) Áp dụng phương pháp hàm phạt để chuyển toán tối ưu đa mục tiêu với ràng buộc miền D lồi đóng dãy toán tối ưu đa mục tiêu với miền ràng buộc K ⊃ D đơn giản hơn, gọi toán phạt Ta chọn K = Rk , nghĩa toán phạt ràng buộc Bằng cách sử dụng hàm phạt ngoài, thu kết hội tụ tốt so với kết nêu [34] Ngoài ra, điều kiện đủ để toán phạt có nghiệm Pareto yếu, đồng thời dãy nghiệm có điểm giới hạn nghiệm toán ban đầu Mục đích nghiên cứu Luận án nhằm mục đích nghiên cứu áp dụng phương pháp hàm phạt cho toán bất đẳng thức biến phân, toán bất đẳng thức biến phân vector yếu toán tối ưu đa mục tiêu, toán cuối số trường hợp đặc biệt tương đương với toán bất đẳng thức biến phân vector yếu Qua đó, luận án đưa thuật toán cho toán vừa nêu data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read ... hạn nghiệm toán ban đầu Mục đích nghiên cứu Luận án nhằm mục đích nghiên cứu áp dụng phương pháp hàm phạt cho toán bất đẳng thức biến phân, toán bất đẳng thức biến phân vector yếu toán tối ưu... tài Phương pháp hàm phạt cho toán bất đẳng thức biến phân làm đề tài luận án tiến sĩ Đề tài tập trung nghiên cứu vấn đề sau (1) Kết hợp phương pháp hàm phạt phương pháp chiếu để có thuật toán. .. toán bất đẳng thức biến phân vector yếu ([18, 19]) Từ lâu, phương pháp hàm phạt áp dụng để giải toán tối ưu toán bất đẳng thức biến phân dạng thường, đưa toán với miền ràng buộc phức tạp dãy toán