Phương pháp lặp banach cho bài toán bất đẳng thức biến phân .pdf
Trang 1đạihọcthái nguyên
trường đạihọc khoahọc
-PhanThế Nghĩa
cho BàI TOáN BấT ĐẳNG THứC BIếN PHÂN
luậnvăn thạcsĩtoán họcứng dụng
Thái Nguyên-2009
Trang 2đạihọcthái nguyên
trường đạihọc khoahọc
-PhanThế Nghĩa
cho BàI TOáN BấT ĐẳNG THứC BIếN PHÂN
Chuyên ngành:Toán ứng dụng
Mã số:60.46.36
luậnvăn thạcsĩtoán họcứng dụng
NGUờIHướNGDẫN KHOAHọC: TS.PHạMNGọC ANH
Thái Nguyên-2009
Trang 31
Trang 4Chương1.Bài toánBấtđẳng thứcbiếnphân
1.3. Sự tồntại nghiệm của bài toán VI 18Chương2.Phương pháplặpBanachgiải bàitoán(VI)
đơn điệumạnh
2.1. Tính không giãn của ánh xạ nghiệm 23
Chương3.Phương pháplặpBanachgiải bàitoán
đồng bức
3.1. Tính không giãn của ánh xạ nghiệm 30
3.3. Kết quả tính toán thửnghiệm
3.3.1 Mô hình cân bằng bán độc quyền 38
3.3.2 Kết quả tính toán thử nghiệm 43
Trang 5Lời cảm ơn
Bản luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học-Đại học
Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn của TS Phạm Ngọc Anh Tác giả xin bày tỏ
lòng kính trọng vàbiết ơn sâusắc tới thầy về sự tận tình hướng dẫn trong suốt
thời gian tác giả làm luận văn.
tác giảthườngxuyênnhậnđược sựquantâmgiúpđỡvàđónggópnhữngýkiến
quý báu của PGS TS Lê Thị Thanh Nhàn, TS Nguyễn Thị Thu Thủy và các
thầy cáccô trong trường Đạihọc Khoa học-Đại họcThái Nguyên Từđáy lòng
mình, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơnsâu sắc đến các thầy các cô.
Tác giả xinbày tỏ lòng biết ơntớicác thầy, các cô khoaKhoa học Cơ bản,
Ban Chấp Hành Đoàn trường Cao đẳng Công nghiệp Thái Nguyên đã đã tạo
điều kiện giúp đỡ tác giả trong thời gian làm cao học.
Xin chânthànhcảm ơnanh chịem họcviêncaohọc vàbạn bèđồngnghiệp
gần xađã traođổi, độngviên vàkhíchlệ tácgiả trongquá trìnhhọctập, nghiên
cứu vàlàm luận văn.
Luận văn sẽ không hoàn thành được nếu không có sự thông cảm, giúp đỡ
của những người thân trong gia đình tác giả Đâylà món quà tinh thần, tác giả
xin kính tặng gia đình thân yêu của mình với tấm lòng biết ơn chân thành và
sâu sắc.
Tác giả
Trang 6Một số ký hiệu và chữ viết tắt
R n không gian Euclide n-chiều
|β| trị tuyệt đối của số thực β
argmin{f (x) | x ∈ C} tập các điểm cực tiểu của hàm f trên CA T
ma trận chuyển vị của ma trận A
Trang 7Lời nói đầu
Theo Harkervà Pang, bài toán bất đẳng thức biến phânđược giới thiệu lần
đầu tiên vào năm 1966 bởi Hartman và Stampacchia Những nghiên cứu đầu
toán điều khiển tối ưu và các bài toán biên có dạng của phương trình đạo hàm
riêng Bài toán biến phân trong không gian vô hạn chiều và các ứng dụng của
nó được giới thiệu trong cuốn sách "An introduction to variational inequalities
and their application" của Kinderlehrer và Stampacchia xuất bản năm 1980 và
trong cuốn sách "Variational and quasivariational inequalities: Application to
free boundary problems" của Baiocchi và Capelo xuất bản năm 1984.
Năm 1979 Michael J Smith đưa ra bài toán cân bằng mạng giao thông và
năm 1980 Defermos chỉ ra rằng: Điểm cần bằng của bài toán này là nghiệm
của bài toán bất đẳng thức biến phân Từ đó bài toán bất đẳng thức biến phân
được phát triển và trở thành một công cụ hữu hiệu để nghiên cứu và giải các
bài toán cân bằng trong kinh tế tài chính, vận tải, lý thuyết trò chơi và nhiều
bài toán khác (xem [7]).
Bài toán bất đẳng thức biến phân có quan hệ mật thiết với các bài toán tối
ưu khác Bài toán bù phi tuyến, xuất hiện vào năm 1964 trong luận án tiến sĩ
của Cottle, là một trường hợp đặc biệt của bài toán bất đẳng thức biến phân
(xem [5]) Gần đây, bài toán bất đẳng thức biến phân cũng là một đề tài được
nhiều người quan tâm nghiên cứu vì vai trò của nó trong lý thuyết toán học và
trong các ứng dụng thực tế (xem [5, 7]).
Mộttrongcáchướngnghiêncứuquantrọngcủabàitoán bấtđẳngthứcbiến
phân là việc xây dựng các phương pháp giải Thông thường các phương pháp
giải được chia thành các loại sau: Loại thứ nhất là các phương pháp chuyển
bài toán về hệ phương trìnhvà dùng cácphương pháp thông dụng như phương
pháp Newton, phương pháp điểm trong để giải hệ phương trình này Loại thứ
hai là phương pháp có tính chất kiểuđơn điệu Điểnhình của phương phápnày
là các phương pháp gradient sau này được tổng quát bởi Cohen thành nguyên
Trang 8lýbài toánphụ(xem [5]),phương phápđiểmgần kềcủaRockafellar(xem [3]),
phương pháp hiệuchỉnh Tikhonov(xem [5]), Các phươngpháp này kháhiệu
quả, dễ thực thi trên máy tính nhưng các điều kiện hội tụ chỉ được đảm bảo
dưới các giả thiết khác nhau về tính chất đơn điệu Loại thứ ba là các phương
pháp được dựa trên kỹ thuật hàm chắn (xem [5]) Nội dung chính của phương
pháp này là chuyển bài toán bất đẳng thức biến phânvềcực tiểu của hàm chắn
và sau đó sử dụng kỹ thuật tối ưu trơn hoặc không trơn để tìm cực tiểu của
hàm chắn Phươngpháp này có thể giải được các bài toán với các giả thiết rất
nhẹ Tuy nhiên, tốc độ hội tụ của thuật toán được đề xuất là chậm (xem [5]).
Loại thứtưlà cácphương pháp dựatrên cáchtiếp cậnđiểm bất động.Nội dung
chính của phương pháp này là chuyển bài toán bất đẳng thức biến phân về tìm
điểm bất động của ánh xạ nghiệm.
Luận văn này trìnhbày phương pháp giải bài toán bất đẳng thức biến phân
thông qua tìm điểm bất động của ánh xạ nghiệm được viết trong bài báo "P.
N Anh, L D Muu, V H Nguyen and J J Strodiot (2005), On the
contrac-tion and nonexpansiveness properties of the marginal mapping in generalized
variational inequalities involving cocoercive operators, in: Generalized
Con-vexity and Generalized Monotonicity and Applications Eds A Eberhard, N.
Hadjisavvas and D T Luc, Springer, pp 89-111".
Ngoài lời nói đầu và phần tài liệu tham khảo, luận văn được chia làm ba
chương Chương 1 có tiêu đề là "bài toán bất đẳng thức biến phân" Chương
này nhắc lại các kiến thức cơ bản về bài toán bất đẳng thức biến phân, các ví
dụ, các kiến thức liên quan và các ứng dụng của bài toán bất đẳng thức biến
phân Chương 2 gồm hai phần cơ bản: Phần thứ nhất trình bày mối quan hệ
giữa nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân và ánh xạ nghiệm Phần
thứ hai chỉ raánh xạ nghiệm là co khihàm giá là đơn điệu mạnh và Lipschitz.
Chương 3 trình bày phương pháp lặp Banach cho ánh xạ đồng bức và một vài
tính toán ứng dụng của thuật toán được đề xuất Khi đó, ánh xạ nghiệm chỉ là
không giãn và việc tìm điểm bất động của ánh xạ không giãn được tìm theo
kiểu điểm bất động của Nadler.
Trang 9Ta nhắc lại một số kiến thức cơ bản của giải tích lồi sẽ được dùng cho các
chương tiếp theo.
Định nghĩa 1.1 • Tập con C ⊂ R n
được gọi là tập lồi, nếu
λx + (1 − λ)y ∈ C ∀x, y ∈ C, λ ∈ (0, 1).• Tập con C ⊂ R n
được gọi là nón, nếu
λx ∈ C ∀x ∈ C, λ ≥ 0.• Cho C ⊂ R n
là một tập lồi và x ∈ C, nón pháp tuyếnngoài của C tại x, kýhiệu N C (x), được xác định bởi công thức
N C (x) := {w ∈ R n : hw, y − xi ≤ 0 ∀y ∈ C}.
Cho C ⊂ R n
là một tập lồi, ánh xạ f : C → R n
Khi đó,
Trang 10Định nghĩa 1.2 • Miền hữu hiệu của f, ký hiệu dom f, được xác định bởi
domf := {x ∈ R n : f (x) < +∞}.• f được gọi là chính thường, nếu
domf 6= ∅, f (x) > −∞ ∀x ∈ C.• f được gọi là hàm lồi trên C, nếu
f (λx 1 + (1 − λ)x 2 ) ≤ λf (x 1 ) + (1 − λ)f (x 2 ) ∀x 1 , x 2 ∈ C, λ ∈ [0, 1].• f được gọi là hàm lồi chặt trên C, nếu
f (λx 1 + (1 − λ)x 2 ) < λf (x 1 ) + (1 − λ)f (x 2 ) ∀x 1 6= x 2 ∈ C, λ ∈ (0, 1).• f được gọi là hàm lồi mạnh với hệ số β > 0 trên C, nếu ∀x 1 6= x 2 ∈ C, λ ∈(0, 1), ta có
Khi đó, f được gọi là khả dưới vi phântrên C, nếu ∂f (x) 6= ∅ ∀x ∈ C.
Ví dụ 1.1 Cho C là một tập lồi khác rỗng của không gian R n Xét hàm chỉtrên tập C
δ(x) :=
Trang 11{w ∈ R n : ||w|| = 1, hw, xi = ||x||} nếu x 6= 0,¯
trong đó B(0, 1)¯ là hình cầu đóng, tâm tại 0 và bán kính 1.
Thật vậy, ta xét các trường hợp sau:
Trường hợp 1 Với x 6= 0, ta cần chứng minh
suy ra
Trang 12Mặt khác
||λz + x|| − ||x|| ≥ hw, λz + x − xi = hw, λzi ∀λ > 0, z ∈ R n
Suy ra
||z +xλ|| −
1.2 Phátbiểu bài toánvà ví dụ
"Bài toánbất đẳng thức biến phân" là một trong những bài toán được quan
tâm nhiềutrongtoán họcnóichungvàđặcbiệt trongngànhtốiưutính toánnói
riêng Luận văn này sẽ trình bày một phương pháp giải bài toán bất đẳng thức
biến phân trong không gian hữu hạn chiều Chương này bao gồm việc nhắc lại
các kiến thức cơ bản nhất về bài toán bất đẳng thức biến phânsẽ được sử dụng
cho các chương sau Bài toán bất đẳng thức biến phân trong không gian hữu
hạn chiều có thể được phát biểu như sau:
Cho C là một tập con lồi, đóng khác rỗng của không gian Euclideann-chiều R n, F : C → R n
là ánh xạ liên tục Bài toán bất đẳng thức biến phân
Trang 13(viết tắt là: VI) là bài toán tìm điểm x ∗ ∈ C, sao cho:
Tập nghiệm của VI ký hiệu là S ∗.
Định nghĩa 1.3 Cho C là tập lồi, đóng trong R n, và cho F : C → R n
là một
ánh xạ Khi đó, F được gọi là:(a) đơn điệu trên C, nếu:
Ta nhắclại kết quả tương đương sau:
Nhận xét 1.1 Cho C là một tập lồi và F : C → R n là một ánh xạ khả vi liêntục trên tậpmở chứa C Khi đó,
i) F đơn điệu trên C khi và chỉ khi ∇F (x)là nửa xác định dương trên C hay
hy, ∇F (x)yi ≥ 0 ∀y ∈ C.
ii) F đơn điệuchặt trên C khi và chỉ khi ∇F (x)là xác định dương trênC hay
hy, ∇F (x)yi > 0 ∀y ∈ C, y 6= 0.
iii) F đơn điệu mạnh trên C khi và chỉ khi ∇F (x) là xác định dương đều trên
C hay tồn tại β > 0 sao cho
hy, ∇F (x)yi > β||y||2 ∀y ∈ C, y 6= 0.
Trang 14Các ví dụ dưới đây cho ta thấy được cách tiếp cận của bài toán bất đẳng
TH1: Nếu x 0 ∈ (a, b), theo định lý Fermat, ta có f 0 (x 0 ) = 0.TH2: Nếu x 0 = a, f 0 (x 0 ) = lim
f(x)−f (x0)x−x0 ≥ 0.
TH2: Nếu x 0 = b, f 0 (x 0 ) = lim
f(x)−f (x0)x−x0 ≤ 0.Kết hợp lại, ta có thể viết: x 0 là nghiệm của bài toán
f 0 (x 0 ).(x − x 0 ) ≥ 0 ∀x ∈ C.
Như vậy x 0 là nghiệmcủa bàitoán bất đẳng thứcbiến phânVI vớiF = f 0 trên
C = [a, b].
Bây giờ, ta xét ví dụ tổng quát hơn
Ví dụ 1.4 Cho f (x) là một hàm thực khả vi trên tập mở chứa C ⊆ IRn
Trang 15x∈C f (x)
khi và chỉ khi x 0 lànghiệm của bàitoán bất đẳng thức VIvới F (x) := ∇f (x).
Chứng minh Điều kiện cần được suy ra từ Mệnh đề 1.1 Do f là hàm lồitrên C, nên
Ví dụ 1.5 (Bài toán bù, ký hiệu CP)
Cho C = R n+ và F : C → R n Bài toán được đặt ra là: Tìm điểm x 0 ∈ C
sao cho
F (x 0 ) ∈ C,hF (x 0 ), x 0 i = 0.
Mệnh đề 1.3 x 0 ∈ C = R n
+ là nghiệm của bài toán bù CP khi và chỉ khi x 0
là nghiệm của bài toán VI hay
hF (x0), x − x0i ≥ 0 ∀x ∈ C.
Trang 16Chứng minh (⇒) Giả sử x 0 là nghiệm của bài toán bù CP hay
vào bất đẳng thức biến phân, ta có
Dưới đây ta xét hai ví dụ thực tế của bài toán VI.
Ví dụ 1.6 Bài toán cân bằng mạng giao thông
Xét một mạng giao thông được cho bởimột mạng luồng hữu hạn Gọi
•N: tập hợp các nút của mạng.
•A: làtập hợp các cạnh (mỗi cạnh được gọi là một đoạn đường).
Trang 17Giả sử O ⊆ N, D ⊆ N sao cho O ∩ D = ∅ Mỗi phần tử của O được gọi làđiểm nguồn, còn mỗi phần tử của D được gọi là điểm đích Mỗi điểm nguồnvà điểm đích được nối với nhau bởi một tập hợp liên tiếp các cạnh (được gọi
là một tuyếnđường) Ký hiệu:
•f i
a là mật độ giao thông của phương tiện i trên đoạn đường a ∈ A Đặt f làvéc tơ có các thành phần là f i
a với i ∈ I và a ∈ A (I là tập hợp các phươngtiện giaothông.
w là mật độ giao thông của phương tiện i ∈ I trêntuyến w ∈ O ì D.
Giả sử trong mạng trên, phương trình cân bằng sau được thoả mãn
d iw =X
trongđó,P w kýhiệutậphợpcáctuyếnđườngcủaw = (O, D)(nốiđiểmnguồn
O và điểm đíchD) Theophươngtrình (2.18),thìnhu cầusử dụng loại phươngtiện i trên tuyến đường w bằng đúng tổng mật độ giao thông của phương tiệnđótrênmọi tuyếnđườngnốiđiểm nguồnvà điểmđích củatuyếnđường đó.Khi
1 nếu a ∈ p,0 nếu a /∈ p.
Trang 18Với mỗi tuyến đường p nối một điểm nguồn và một điểm đích, đặt
a (i ∈ I, a ∈ O ì D) Một cặp (d ∗ , f ∗ ) thoả mãn các điềukiện (2.18) và (2.21) được gọi là điểm cân bằng của mạng giao thông nếu
c ip (f ∗ ) =
λ i
w (d ∗ ) khi x ip > 0,> λ i
w (d ∗ ) khi x ip = 0,
với mỗi i ∈ I và mỗi tuyến đường p Theo định nghĩa này, tại điểm cân bằngđối với mọi loại phương tiện giao thông và mọi tuyến đường, chi phí sẽ thấp
nhất khi có lưulượng giao thông trên tuyến đó Trái lại, chi phí sẽ không phải
Ví dụ 1.7 Bài toán kinh tế bán độc quyền
Giả sử có n công ty cùng sản xuất một loại sản phẩm và lợi nhuận pi củamỗi công ty i phụ thuộc vào tổng số lượng sản phẩm của tất cả các công ty
Trang 19trong đó p(P n
j=1 x j ) là giá của một đơn vị sản phẩm, phụ thuộc vào tổng sảnphẩm, còn hàm chi phí của mỗi công ty i chỉ phụ thuộc vào mức độ sản xuấtcủa công ty đó.
Đặt U i ⊂ IR, (i = 1, , n) là tập chiến lược của công ty i Lẽ dĩ nhiên,mỗi công ty cần xácđịnh cho mìnhmột mức độsảnxuất để đạtđượclợi nhuận
cao nhất Tuy nhiên, trongtrường hợp tổngquát,việctất cảcác côngty đềucó
lợi nhuận cực đạilà khó có thể được Vì vậy người ta dùng đến khái niệm cân
Một điểm x ∗ = (x ∗1 , , x ∗n ) ∈ U := U 1 ì ì U n được gọi là điểm cânbằng Nash nếu
f i (x ∗1 , , x ∗i−1 , y i , x ∗i+1 , , x ∗n ) 6 f i (x ∗1 , , x ∗n ) ∀y i ∈ U i , ∀i = 1, , n.
Trong mô hình cân bằng Cournot cổ điển, hàm chi phí và hàm lợi nhuận của
mỗi công ty là affine có dạng
p i (σ) ≡ p(σ) = α 0 − βσ, α 0 ≥ 0, β > 0, với σ =P ni=1 x i ,h i (x i ) = à i x i + ξ i , à i ≥ 0, ξ i ≥ 0 (i = 1, , n).
Ta đặt
A =
, ˜A =
0 β β β
β β β 0
Tìm điểm x ∈ U sao cho
h ˜Ax + à − α, y − xi + yTAy − xTAx ≥ 0 ∀y ∈ U.
Trang 201.3 Sự tồn tại nghiệm củabài toánVI
Sự tồn tại nghiệm của bài toán VI phụ thuộc vào hàm giá F và miền ràngbuộc C Trong mục này, ta chỉ xét hàm F là liên lục trên tập mở chứa C vàmiền ràng buộc C là một tập lồi đóng trong không gian Rn.
Trang 21§Þnh nghÜa 1.4 Cho C ⊆ R n Mét ¸nh x¹ F : C → R n ®îc gäi lµ cã ®iÒukiÖn bøc trªnC, nÕu tån t¹ix ∗ ∈ C sao cho
hF (x0), y − x0i ≥ 0 ∀y ∈ C0.
Trang 22Từ x ∗ ∈ C 0 suy ra
hF (x 0 ), x ∗ − x 0 i ≥ 0.
Kết hợp điều này với bất đẳng thức 1.6, ta có ||x 0 || 6= R hay ||x 0 || < R Khiđó, tồn tại ∈ (0, 1) saocho x := x 0 + (1 − )x ∗ ∈ C 0 Thayx
vào bài toán
bất đẳng thức biến phânVI, ta nhận được
Trang 242
Trang 25Chương 2
giải bài toán (VI) đơn điệu mạnh
Như ta đã biết, phương pháp lặp theo nguyên lý ánh xạ co Banach là một
kết quả nổitiếng và là phương pháp cơ bản,rất hiệuquả để tính điểmbất động
của một ánhxạ co Nguyênlý nàysauđóđược mởrộngNadler(xem [2], Định
lý 14).
Trong chương này, chúng ta sẽ dùng cách tiếp cận điểm bất động theo
phương pháp lặp của nguyên lý ánh xạ co Banach để giải bài toán bất đẳng
thức biến phân VI được định nghĩa ở Chương1 Ta sẽ xét trường hợp khi F làánh xạ đơn điệu mạnh.
Các thuật toán thu được ở chương này khá đơn giản so với các thuật toán
giải bài toán bất đẳng thức biến phân ở [5] Cách tiếp cận này còn cho phép
đánh giá được tốc độhội tụ của thuật toán một cáchđơn giản nhờ vào nguyên
lý ánh xạ co Banach.
Để tiện theo dõi việc trình bày phương pháp giải bài toán bất đẳng thức
biến phânVI bằng nguyên lý ánh xạ co Banach, ta nhắc lại một số định nghĩa
Trang 26Tuy nhiên, một khó khăn của bài toán này là trong trường hợp tổng quát,hàm
g 1 có thể không khả vi Để giải quyết khó khăn này, Fukushima đã đề xuấthàm chắn mới có dạng
g 2 (x) = max{−1
2hy − x, G(y − x)i − hF (x), y − xi | y ∈ C}, (2.8)trong đó, G là một ma trận đối xứng,xác định dương.
Cũng như đối với hàm chắn g 1, ta có g 2 (x) ≥ 0 với mọi x ∈ C và bài toán VIcó thể được viếtdưới dạng bài toán tối ưu
Hàm g 2 được xác định bởi công thức (2.8) là khả vi trên C với F là hàm khảvi Khi đó, có thể dùng phương pháp tối ưu để giải bài toán VI thông qua việc
giải bài toán trơn (2.8).
Dựa vào cáchxây dựng các hàm chắn ởtrên, với mỗi x ∈ C, đặt y = h(x)
là nghiệm duy nhất của bài toán qui hoạch lồi mạnh
2hy − x, G(y − x)i + hF (x), y − xi | y ∈ C}, (2.10)trong đó G là một ma trận đối xứng, xác định dương Do C khác rỗng, lồi,đóng và hàm mục tiêu của bài toán (2.10) lồi mạnh, nửa liên tục dưới trên C,nên h(x)được xác định và duy nhất.
Kết quả sau đây chỉ ra rằng điểm x∗ là nghiệmcủa bài toán VI khi và chỉkhi x∗ là điểm bất động của ánh xạ h.