Phương pháp hàm phạt cho bài toán bất đẳng thức biến phân

Bậ GIO DệC V TRìNG O TO I HC VINH U XUN LìèNG PHìèNG PHP HM PHT CHO BI TON BT NG THC BIN PHN LUN N TIN S TON HC VINH - 2010 i Bậ GIO DệC V TRìNG O TO I HC VINH U XUN LìèNG PHìèNG PHP HM PHT CHO BI TON BT NG THC BIN PHN LUN N TIN S TON HC Chuyản ng nh: ToĂn giÊi tẵch M số: 62 46 01 01 NGìI HìẻNG DN KHOA HC GS TSKH L DễNG MìU PGS TS TRN VN N VINH - 2010 MệC LệC Mửc lửc Lới cam oan i iv Lới cÊm ỡn M Ưu Lẵ chồn ã t i 2 Mửc ẵch nghiản cựu ối tữủng nghiản cựu PhÔm vi nghiản cựu Phữỡng phĂp nghiản cựu 6 ị nghắa khoa hồc v thỹc tiạn 7 Tờng quan v cĐu trúc luên Ăn H m phÔt cho b i toĂn bĐt ng thực bián phƠn 11 1.1 CĂc kát quÊ vã sỹ tỗn tÔi v tẵnh nhĐt nghiằm cừa b i toĂn bĐt ng thực bián phƠn 12 1.2 Php chiáu v mối quan hằ vợi bĐt ng thực bián phƠn 13 1.3 Phữỡng phĂp chiáu 17 1.4 Phữỡng phĂp h m phÔt ii 19 iii 1.5 Phữỡng phĂp kát hủp phÔt-chiáu giÊi b i toĂn bĐt ng thực bián phƠn 22 1.6 Vẵ dử 25 Kát luên Chữỡng H m phÔt cho b i toĂn bĐt ng thực bián phƠn vector yáu 35 36 2.1 iãu kiằn cho sỹ tỗn tÔi nghiằm cừa b i toĂn bĐt ng thực bián phƠn vector yáu 38 2.2 B i toĂn phÔt 39 2.3 CĂc nh lỵ hởi tử 44 Kát luên Chữỡng H m phÔt cho b i toĂn tối ữu a mửc tiảu 50 51 3.1 iãu kiằn cho sỹ tỗn tÔi nghiằm cừa b i toĂn tối ữu a mửc tiảu 52 3.2 B i toĂn phÔt 54 3.3 CĂc nh lỵ hởi tử 55 Kát luên Chữỡng 61 Kát luên v kián ngh Kát luên Kián ngh 62 62 62 Danh mửc cổng trẳnh khoa hồc cừa nghiản cựu sinh liản quan án luên Ăn T i liằu tham khÊo 63 63 iv LI CAM OAN Tổi xin cam oan Ơy l cổng trẳnh nghiản cựu cừa riảng tổi, cĂc kát quÊ trẳnh b y luên Ăn l ho n to n trung thỹc, ữủc cĂc ỗng tĂc giÊ cho php sỷ dửng v luên Ăn ho n to n khổng trũng lp vợi bĐt kẳ t i liằu n o khĂc XuƠn Lữỡng LI CM èN Luên Ăn ữủc ho n th nh dữợi sỹ hữợng dăn cừa GS TSKH Lả Dụng Mữu v PGS TS TrƯn Vôn n TĂc giÊ xin b y tọ lỏng biát ỡn sƠu s-c nhĐt tợi cĂc ThƯy, nhỳng ngữới  tên tẳnh hữợng dăn, giúp ù tĂc giÊ cÊ quĂ trẳnh hồc têp, nghiản cựu v viát bÊn luên Ăn n y TĂc giÊ cụng xin chƠn th nh cÊm ỡn LÂnh Ôo trữớng Ôi hồc Vinh, l Ânh Ôo khoa ToĂn hồc, Khoa Sau Ôi hồc Trữớng Ôi hồc Vinh; LÂnh Ôo Viằn ToĂn hồc, têp th GS v cĂc ThƯy, Cổ cừa Trữớng Ôi hồc Vinh v Viằn ToĂn hồc  ởng viản giúp ù tÔo nhiãu iãu kiằn thuên lủi thới gian tĂc giÊ hồc têp v nghiản cựu TĂc giÊ xin gỷi lới cÊm ỡn tợi cĂc nh khoa hồc v cĂc ThƯy, Cổ thuởc Tờ GiÊi tẵch cừa Khoa ToĂn hồc Trữớng Ôi hồc Vinh  d nh thới gian ồc luên Ăn v cho nhỳng ỵ kián nhên xt quỵ bĂu TĂc giÊ xin gỷi lới cÊm ỡn tợi Trữớng Cao ng Sữ phÔm QuÊng Ninh v Khoa Tỹ nhiản thuởc Trữớng Cao ng Sữ phÔm QuÊng Ninh, ngữới thƠn v bÔn b vẳ nhỳng gõp ỵ, ừng hở v ởng viản vã tinh thƯn cụng nhữ vêt chĐt cho tĂc giÊ XuƠn Lữỡng Mé U Lẵ chồn ã t i 1.1 Lỵ thuyát bĐt ng thực bián phƠn ới v o nhỳng nôm 60 ([50, 20, 32]), l mởt cổng cử mÔnh v thống nhĐt nghiản cựu cĂc b i toĂn cƠn bơng Cho án nay, nhỳng b i toĂn ữủc quy vã cĂc b i toĂn bĐt ng thực bián phƠn gỗm cõ: b i toĂn cƠn bơng mÔng giao thổng (Traffic Network Equilibrium Problem) v b i toĂn gƯn vợi nõ l b i toĂn cƠn bơng giĂ khổng gian (Spatial Price Equilibrium Problem) (tham khÊo chng hÔn [8, 47, 9, 42, 41]), cĂc b i toĂn cƠn bơng t i chẵnh (Financial Equilibrium Problem), cƠn bơng nhêp cữ (Migration Equilibrium Prob-lem), hằ thống mổi trữớng (Environmental Network Problem) v mÔng kián thực (Knowledge Network Problem) ([11, 25, 26, 10, 40, 41, 29]) Phữỡng phĂp h m phÔt l mởt cĂc phữỡng phĂp quan trồng giÊi cĂc b i toĂn bĐt ng thực bián phƠn (tham khÊo chng hÔn [38, 23, 39, 1, 51]) Nhớ v o phữỡng phĂp n y, mởt b i toĂn vợi miãn r ng buởc phực tÔp cõ th ữủc chuyn vã mởt dÂy cĂc b i toĂn khổng r ng buởc hoc vợi r ng buởc ỡn giÊn hỡn Trong õ, phữỡng phĂp chiáu l mởt lợp phữỡng phĂp ỡn giÊn v hiằu quÊ, c biằt ối vợi cĂc b i toĂn thọa mÂn iãu kiằn ỡn iằu Nhữủc im nhĐt cừa phữỡng phĂp n y l ta phÊi tẵnh hẳnh chiáu cừa mởt im lản mởt miãn lỗi bĐt ký, v õ l mởt b i toĂn rĐt khõ trữớng hủp tờng quĂt, m miãn õ khổng cõ hẳnh dÔng c biằt Do õ, kát hủp phữỡng phĂp h m phÔt v phữỡng phĂp chiáu s kh-c phửc ữủc nhữủc im n y cừa phữỡng phĂp chiáu 1.2 KhĂi niằm bĐt ng thực bián phƠn vector ữủc giợi thiằu bi Giannessi [16] Tứ õ tợi nay, ngữới ta  tẳm ữủc nhiãu ựng dửng cừa b i toĂn bĐt ng thực bián phƠn vector (Vector Variational Inequality Problem, viát t-t l VVIP) v b i toĂn bĐt ng thực bián phƠn vector yáu (Weak Vector Variational Inequality Problem, viát t-t l WVVIP) b i toĂn tối ữu a mửc tiảu (Multiobjective Optimization Problem, viát t-t l MOP) (tham khÊo chng hÔn [16, 2, 4, 53, 18], b i toĂn xĐp x vector (Vector Approximation Problem) ([54]), v b i toĂn cƠn bơng giao thổng vector (Vector Traffic Equilibrium Problem) ([55]) Sỹ tỗn tÔi nghiằm cừa b i toĂn bĐt ng thực bián phƠn vector yáu cụng ữủc nghiản cựu nhiãu cổng trẳnh (tham khÊo chng hÔn [6, 4, 3, 31, 12]) cõ th ựng dửng b i toĂn bĐt ng thực bián phƠn vector yáu v o thỹc tiạn, ỏi họi phÊi cõ cĂc thuêt toĂn giÊi số hiằu quÊ cho b i toĂn n y Tuy nhiản, theo hiu biát cừa chúng tổi, cho tợi ch cõ mởt v i cổng trẳnh nghiản cựu vã cĂc thuêt toĂn giÊi b i toĂn bĐt ng thực bián phƠn vector yáu ([18, 19]) Tứ rĐt lƠu, phữỡng phĂp h m phÔt  ữủc Ăp dửng giÊi cĂc b i toĂn tối ữu v cĂc b i toĂn bĐt ng thực bián phƠn dÔng thữớng, ữa mởt b i toĂn vợi miãn r ng buởc phực tÔp vã mởt dÂy cĂc b i toĂn cõ r ng buởc ỡn giÊn hỡn hoc khổng cõ r ng buởc Tuy nhiản, cho tợi chữa cõ bĐt cự cổng trẳnh n o nghiản cựu Ăp dửng phữỡng phĂp n y cho b i toĂn bĐt ng thực bián phƠn vector yáu m chúng tổi ữủc biát 1.3 KhĂi niằm nghiằm tối ữu Pareto (m luên Ăn n y chúng tổi gồi l nghiằm Pareto) cừa b i toĂn tối ữu a mửc tiảu xuĐt hiằn Ưu tiản cĂc cổng trẳnh cừa Edgeworth [13] v Pareto [44] Mởt im x ữủc gồi l nghiằm Pareto cừa b i toĂn tối ữu a mửc tiảu vợi h m mửc tiảu f = (f1; : : : ; fk) (k mửc tiảu) náu khổng cõ mởt im n o khĂc tốt hỡn im õ, nghắa l khổng tỗn tÔi mởt im y 6= x cho f i(y) fi(x) vợi mồi i = 1; : : : ; k, v f j(y) < fj(x) vợi mởt ch số j n o õ im x ữủc gồi l nghiằm Pareto yáu cừa b i toĂn tối ữu a mửc tiảu náu khổng cõ mởt im n o khĂc tốt hỡn im õ xt trản tĐt cÊ cĂc mửc tiảu, nghắa l khổng tỗn tÔi y cho fi(y) < fi(x) vợi mồi i = 1; : : : ; k B i toĂn tối ữu a mửc tiảu cõ ựng dửng rởng rÂi rĐt nhiãu lắnh vỹc, cÊ khoa hồc v cuởc sống Lỵ thuyát tối ữu a mửc tiảu ữủc sỷ dửng b i toĂn xĐp x vector (Vector Approximation Problem), lỵ thuyát trỏ chỡi (Game Theory), cĂc b i toĂn quÊn lỵ v hoÔch nh t i nguyản (Resource Planning and Management), lỵ thuyát phúc lủi (Welfare Theory), cĂc b i toĂn k thuêt nhữ iãu khin phi cỡ, cĂc hằ thống cỡ khẵ chẵnh xĂc, v.v (tham khÊo chng hÔn [48, 49, 33, 24]) Phữỡng phĂp h m phÔt Ăp dửng cho b i toĂn tối ữu a mửc tiảu  ữủc nghiản cựu mởt v i cổng trẳnh gƯn Ơy (tham khÊo [52, 21, 22, 34]) Trong [34], Liu v Feng nghiản cựu nghiằm Pareto yáu cừa b i toĂn MOP(D; f) sỷ dửng mởt h m phÔt mụ Liu v Feng  chựng minh rơng náu x l mởt im giợi hÔn cừa mởt dÂy cĂc nghiằm Pareto yáu cừa cĂc b i toĂn phÔt v x chĐp nhên ữủc (nghắa l x D), thẳ x l mởt nghiằm Pareto yáu cừa b i toĂn ban Ưu Nhữ vêy, cĂc nh lỵ hởi tử cừa hồ dỹa trản giÊ thiát rơng im giợi hÔn x cừa dÂy cĂc nghiằm Pareto yáu cừa cĂc b i toĂn phÔt nơm miãn r ng buởc D GiÊ thiát n y l mởt im bĐt lủi cĂch tiáp cên b i toĂn tối ữu a mửc tiảu vợi h m phÔt mụ cừa Liu v Feng Tứ õ nÊy sinh yảu cƯu phÊi cõ mởt mổ hẳnh h m phÔt cho cĂc kát quÊ hởi tử tốt hỡn, kh-c phửc ữủc nhữủc im cừa mổ hẳnh ã xuĐt [34] Vợi cĂc lẵ nảu trản, chúng tổi chồn ã t i Phữỡng phĂp h m phÔt cho b i toĂn bĐt ng thực bián phƠn l m ã t i luên Ăn tián sắ ã t i têp trung nghiản cựu nhỳng vĐn ã sau (1) Kát hủp phữỡng phĂp h m phÔt v phữỡng phĂp chiáu cõ mởt thuêt toĂn ho n chnh giÊi cĂc b i toĂn bĐt ng thực bián phƠn dÔng VIP(D; f), vợi D lỗi õng khĂc rộng v f ỡn iằu, liản tửc Lipschitz Bơng cĂch n y, ta kh-c phửc ữủc tr ngÔi lợn nhĐt cừa phữỡng phĂp chiáu l sỹ khõ khôn tẵnh toĂn hẳnh chiáu cừa mởt im lản mởt miãn lỗi bĐt ký (2) p dửng phữỡng phĂp h m phÔt chuyn mởt b i toĂn bĐt ng thực bián phƠn vector yáu vợi r ng buởc trản mởt miãn D lỗi õng bĐt ký vã mởt dÂy cĂc b i toĂn bĐt ng thực bián phƠn vector yáu vợi miãn r ng buởc K D ỡn giÊn hỡn, gồi l cĂc b i toĂn phÔt Ta cõ th chồn k K = R , nghắa l cĂc b i toĂn phÔt s khổng cõ r ng buởc (3) p dửng phữỡng phĂp h m phÔt chuyn mởt b i toĂn tối ữu a mửc tiảu vợi r ng buởc trản mởt miãn D lỗi õng bĐt ký vã mởt dÂy cĂc b i toĂn tối ữu a mửc tiảu vợi miãn r ng buởc K D ỡn giÊn hỡn, gồi l k cĂc b i toĂn phÔt Ta cõ th chồn K = R , nghắa l cĂc b i toĂn phÔt s khổng cõ r ng buởc Bơng cĂch sỷ dửng h m phÔt ngo i, chúng tổi thu ữủc cĂc kát quÊ hởi tử tốt hỡn so vợi cĂc kát quÊ nảu [34] Ngo i ra, chúng tổi cỏn ch iãu kiằn cĂc b i toĂn phÔt ãu cõ nghiằm Pareto yáu, ỗng thới dÂy cĂc nghiằm õ cõ ẵt nhĐt mởt im giợi hÔn v õ chẵnh l mởt nghiằm cừa b i toĂn ban Ưu Mửc ẵch nghiản cựu Luên Ăn nhơm mửc ẵch nghiản cựu Ăp dửng phữỡng phĂp h m phÔt cho b i toĂn bĐt ng thực bián phƠn, b i toĂn bĐt ng thực bián phƠn vector yáu v b i toĂn tối ữu a mửc tiảu, õ b i toĂn cuối mởt số trữớng hủp c biằt l tữỡng ữỡng vợi b i toĂn bĐt ng thực bián phƠn vector yáu Qua õ, luên Ăn ữa nhỳng thuêt toĂn mợi cho cĂc b i toĂn vứa nảu trản 58 K khổng b chn v tỗn tÔi a D cho lim hrfi(y); y > 0; i = 1; : : : ; r: kyk!+1; y2K (n) (n) GiÊ sỷ x S(tn) vợi mồi n N Khi õ dÂy x n cõ ẵt nhĐt mởt im giợi hÔn v mội im giợi hÔn cừa dÂy n y l mởt nghiằm Pareto yáu cừa MOP(D; f) Chựng minh Trữợc hát ỵ rơng theo Bờ ã 3.2.1, ta cõ S(tn) 6= ? Do Náu õ dÂy x(n) n nảu nh lỵ luổn tỗn tÔi (n) K cụng b chn Do õ theo nguyản K b chn thẳ dÂy x n lỵ Bolzano-Weierstrass, dÂy n y s cõ ẵt nhĐt mởt im giợi hÔn Khng nh rơng im giợi hÔn n y l mởt nghiằm Pareto yáu cừa MOP(D; f) ữủc suy trỹc tiáp tứ nh lỵ 3.3.2 BƠy giớ giÊ sỷ rơng K khổng b chn v tỗn tÔi a D cho y + ;y K hrf (y); y > 0; i = 1; : : : ; r: i lim k k! Ta ch cƯn chựng tọ rơng dÂy l hẳnh cƯu õng nhọ nhĐt cừa x(n)k n b chn l Vợi t > 0, gồi B(t) tƠm tÔi gốc tồa cho vợi mồi R y 2= B(t) v vợi mồi i = 1; : : : ; r, ta cõ (t) rfi (y); y a > 0; hay nõi cĂch khĂc rfi(y); y Vẳ a) + t rP (y); y a > 0: kyk lợn, v t rP (y); y rfi(y); y a a) > t(P (y) P (a)) 0; 59 ta suy B(t) cõ bĂn kẵnh hỳu hÔn Tiáp theo, ta chựng minh rơng S(t) B(t) Thêt vêy, giÊ sỷ phÊn chựng rơng tỗn tÔi y S(t)nB(t) Khi õ theo nh nghắa cừa B(t), vợi mồi i = 1; : : : ; r ta cõ (t) rfi (y); y a > 0; hay nõi mởt cĂch tữỡng ữỡng, (t) rfi (y); a y < 0; i = 1; : : : ; r: (t) ) ) Theo nh Do õ y khổng phÊi l mởt nghiằm cừa WVVIP(K; (f lỵ 3.1.2, ta suy rơng y 2= S(t), mƠu thuăn Do vêy S(t) B(t) Mt khĂc, vợi t0 > t, ta cõ B(t 0) B(t) Thêt vêy, vợi mồi y = B(t) v vợi mồi i = 1; : : : ; r, ta cõ ko theo rfi(y); y a) + t rP (y); y a > 0; rfi(y); y a) + t rP (y); y a > 0; vẳ (3.3) rP (y); y a P (y) P (a) 0: Theo nh nghắa, B(t ) l hẳnh cƯu õng nhọ nhĐt cho vợi mồi y 2= B(t ), bĐt ng thực (3.3) thọa mÂn vợi mồi i = 1; : : : ; r Do õ B(t ) l mởt têp cừa B(t) Cuối cũng, vẳ ftngn ỡn iằu tông, ta cõ B(t1) B(t2)B(tn) Do õ vợi mồi n N ta cõ (n) x chn S(tn) B(tn) B(t1): n Vẳ bĂn kẵnh cừa B(t ) l hỳu hÔn, ta kát luên rơng dÂy b x(n) 60 3.3.4 Vẵ dử Xt T D = fx = (x1; x2) R : x2 x1 0; x2 + x 1 0g: Hẳnh 3.1: Miãn r ng buởc D LĐy P theo (2.3) P (x) = [maxf0; x2 x1 0; = >(x2 1g] + [maxf0; x2 + x 1g]2 x D; x1 1) ; > > > > x x (I); 1) ; x 1) + ( x2 + x1 (II); > (x2 < >( > 2 x2 + x1 x 1) ; > > > > : Cho f(x) = (f1(x); f2(x)), õ x f1(x) = f2(x) = e + x 2 2 x1 + x1 x =2 + x1x2 + 2e x x1 + 2 + 1: 2x2; (III): Dạ thĐy f nh nghắa nhữ trản l lỗi v khÊ vi trản R2 LĐy K = R2 v a = D Khi õ ta cõ y2=2 hrf1(y); yi = (y1 + y2) + y2e 2 y1 hrf2(y); yi = 2y1 + y2 + y1e 2y2; y1; 61 hin nhiản l cĂc số dữỡng kyk ! +1 Do õ, theo nh lỵ 3.3.3 mởt dÂy bĐt ký cĂc nghiằm Pareto yáu cừa cĂc b i toĂn phÔt MOP(K; (t ) f n ), n = 1; 2; : : : s cõ ẵt nhĐt mởt im giợi hÔn v mồi im giợi hÔn cừa dÂy õ l mởt nghiằm Pareto yáu cừa MOP(D; f) Kát luên Chữỡng Trong chữỡng n y, luên Ăn  giÊi quyát ữủc nhỳng vĐn ã sau - Nghiản cựu mối quan hằ giỳa têp cĂc nghiằm Pareto yáu cừa b i toĂn tối ữu a mửc tiảu ban Ưu v cĂc têp nghiằm Pareto yáu cừa cĂc b i toĂn phÔt tữỡng ựng - Chựng minh ữủc rơng náu miãn D l lỗi õng, Ănh xÔ f lỗi, khÊ vi v thọa mÂn tẵnh chĐt bực, thẳ cĂc b i toĂn phÔt ãu cõ nghiằm Pareto yáu Hỡn nỳa, bĐt ký dÂy nghiằm Pareto yáu n o cừa cĂc b i toĂn phÔt ãu b chn, õ cõ ẵt nhĐt mởt im giợi hÔn v õ chẵnh l mởt nghiằm Pareto yáu cừa b i toĂn tối ữu a mửc tiảu ban Ưu nh lỵ 3.3.2 chựng minh rơng mởt im giợi hÔn bĐt ký cừa dÂy cĂc nghiằm Pareto yáu cừa cĂc b i toĂn phÔt l mởt nghiằm Pareto yáu cừa b i toĂn ban Ưu, ch cƯn giÊ thiát vã tẵnh liản tửc cừa h m mửc tiảu f Ta khổng yảu cƯu f lỗi hoc khÊ vi nh lỵ n y Tuy nhiản, nh lỵ 3.3.3 ỏi họi nhỳng tẵnh chĐt õ cừa f Mởt v i cổng trẳnh gƯn Ơy  nghiản cựu nghiằm Pareto yáu cừa b i toĂn tối ữu a mửc tiảu vợi cĂc giÊ thiát ữủc giÊm nhà cho f, chng hÔn, f khổng lỗi v khổng khÊ vi (tham khÊo [27, 30, 46]) Dỹa trản nhỳng kát quÊ n y, ta cụng cõ th giÊm nhà cĂc giÊ thiát t lản h m f nảu nh lỵ 3.3.3 62 KT LUN V KIN NGH Kát luên Luên Ăn nghiản cựu phữỡng phĂp h m phÔt Ăp dửng cho b i toĂn bĐt ng thực bián phƠn, b i toĂn bĐt ng thực bián phƠn vector yáu v b i toĂn tối ữu a mửc tiảu Kát quÊ chẵnh cừa luên Ăn nhữ sau ữa thuêt toĂn kát hủp hai phữỡng phĂp h m phÔt v phữỡng phĂp chiáu giÊi b i toĂn bĐt ng thực bián phƠn Thuêt toĂn kát hủp  kh-c phửc ữủc nhữủc im cỡ bÊn cừa phữỡng phĂp chiáu l sỹ khõ khôn tẵnh hẳnh chiáu cừa mởt im lản mởt miãn lỗi bĐt ký v tên dửng ữủc ữu im cừa thuêt toĂn n y l khối lữủng tẵnh toĂn nhọ, thuêt toĂn ỡn giÊn Thuêt toĂn ữủc minh hồa bi cĂc vẵ dử trữớng hủp hai chiãu v nhiãu chiãu, kát quÊ giÊi số cừa cĂc vẵ dử ữủc phƠn tẵch v so sĂnh XƠy dỹng mổ hẳnh h m phÔt giÊi b i toĂn bĐt ng thực bián phƠn vector yáu Chựng minh ữủc cĂc kát quÊ hởi tử cỡ bÊn cừa phữỡng phĂp Nghiản cựu Ăp dửng phữỡng phĂp h m phÔt tẳm nghiằm Pareto yáu cừa b i toĂn tối ữu a mửc tiảu Chựng minh ữủc cĂc kát quÊ hởi tử cỡ bÊn cừa phữỡng phĂp CÊi tián cĂc kát quÊ nảu [34] Kát quÊ chẵnh cừa luên Ăn ữủc cổng bố [37], [35] v [36] Kián ngh Thới gian tợi, chúng tổi mong muốn tiáp tửc nghiản cựu nhỳng vĐn ã sau Nghiản cựu thảm vã tẵnh hiằu quÊ v tốc hởi tử cừa thuêt toĂn 63 kát hủp phữỡng phĂp h m phÔt v phữỡng phĂp chiáu cho b i toĂn bĐt ng thực bián phƠn GiÊm nhà cĂc giÊ thiát nảu cĂc iãu kiằn  thiát lêp Chữỡng v Chữỡng Trữợc hát l nghiản cựu k hỡn cĂc iãu kiằn n y trữớng hủp h m mửc tiảu l khổng trỡn v khổng ỡn iằu Nghiản cựu m rởng phữỡng phĂp h m phÔt cho cĂc dÔng tờng quĂt hỡn cừa b i toĂn bĐt ng thực bián phƠn vector DANH MệC CặNG TRNH KHOA HC CếA NGHIN CU SINH LIN QUAN N LUN N XuƠn Lữỡng (2003), nh xÔ tỹ bực v ựng dửng v o bĐt ng thực bián phƠn, Thổng bĂo khoa hồc CĂc ng nh khoa hồc tỹ nhiản, Trữớng Ôi hồc Vinh D X Luong and L D Muu (2010), Combining the projection meth-ods and the penalty function method to solve the variational inequal-ities with monotone mappings , Int J Optim Theory Methods Appl., 2(2), pp 124 137 D X Luong (2010), Penalty functions for the vector variational inequality problem , submitted to Acta Mathematica Vietnamica for publication D X Luong and T V An (2010), Penalty functions for the mul-tiobjective optimization problem , J Math Sci Adv Appl., 6(1), pp 177 192 TI LIU THAM KHO [1] Alber Y I (1995), The penalty method for variational inequalities with nonsmooth unbounded operators in banach space , Numer Funct Anal Optim., 16(9&10), 1111 1125 [2] Chen G Y (1988), Vector variational inequality and vector opti-mization , Lecture Notes in Econom and Math Systems, 285, 408 416 [3] Chen G Y (1992), Existence of solutions for a vector variational inequality: An extension of the HartmanStampacchia theorem , J Optim Theory Appl., 74, 445 456 [4] Chen G Y and Craven B D (1990), A vector variational inequality and optimization over an efficient set , ZOR-Meth Models Oper Res., 34, 12 [5] Chen G Y and Craven B D (1994), Existence and continuity of solutions for vector optimization , J Optim Theory Appl., 81(3), 459 468 [6] Chen G Y and Yang X Q (1990), The vector complementary prob-lem and its equivalences with the weak minimal element in ordered spaces , J Math Anal Appl., 153, 136 158 [7] Cominetti R and Dussault J P (1994), Stable exponentialpenalty algorithm with superlinear convergence , J Optim Theory Appl., 83(2), 285 309 64 65 [8] Dafermos S C (1980), Traffic equilibria and variational inequali-ties , Transportation Science, 14(1), 42 54 [9] Dafermos S C (1990), Exchange price equilibria and variational inequalities , Math Program., 46, 391 402 [10] Dafermos S C (1990), Exchange price equilibria and variational inequalities , Math Program., 46(3), 391 402 [11] Dafermos S C and McKelvey S C (1992), Partitionable variational inequalities with applications to network and economic equilibria , J Optim Theory Appl., 73(2), 243 268 [12] Daniilidis A and Hadjisavvas N (1996), Existence theorems for vector variational inequalities , Bull Austral Math Soc., 54, 473 481 [13] Edgeworth F Y (1881), Mathematical Psychics, Kegan Paul, Lon-don, England [14] Evans J P and Gould F J (1974), An existence theorem for penalty function theory , SIAM J Control., 12, 505 516 [15] Facchiney F and Pang J.-S (2003), Finite Dimensional Variational Inequalities and Complementarity Problems, Springer Series in Op-erations Research and Financial Engineering [16] Giannessi F (1980), Theorems of alternative, quadratic programs and complementary problems , 151 186, in Variational inequality and complementary problems, edited by Cottle R W., Giannessi F and Eds J.-L Lions, Wiley, New York [17] Giannessi F (2000), Vector Variational Inequalities and Vector Equilibria, Kluwer Academic Publishers [18] Goh C J and Yang X Q (1999), Vector equilibrium problem and vector optimization , European J Oper Res., 116(3), 615 628 66 [19] Goh C J and Yang X Q (2000), Scalarization methods for vector variational inequality , in Vector variational inequalities and vector equilibria, edited by Giannessi F., Kluwer Acadamic Publishers [20] Hartman P and Stampacchia G (1966), On some nonlinear elliptic differential functional equations , Acta Mathematica, 115, 153 188 [21] Huang X Q and Yang X Q (2002), Nonlinear Lagrangian for mul-tiobjective optimization and applications to duality and exact penal-ization , SIAM J Optim., 13(3), 675 692 [22] Huang X Q., Yang X Q and Teo K L (2006), Convergence analysis of a class of penalty methods for vector optimization problems with cone constraints , J Global Optim., 36(4), 637 652 [23] Ito K and Kunisch K (1990), An augmented Lagrangian technique for variational inequalities , Appl Math Optim., 21(1), 223 241 [24] Jahn J (2004), Vector Optimization: Theory, Applications, and Extensions, Springer Verlag, New York [25] Jofre A., Rockafellar R T and Wets R J-B (2005), A varia- tional inequality scheme for determining an economic equilibrium , in Variational Analysis and Applications, edited by Giannessi F and Maugeri A., Kluwer Acadamic Publishers [26] Jofr A., Rockafellar R T and Wets R J-B (2007), Variational Inequalities and Economic Equilibrium , Math Oper Res., 32(1), 32 50 [27] Kazmi K R (1996), Existence of solutions for vector optimization , Appl Math Lett., 9, 19 22 67 [28] Konnov I V (2001), Combined relaxation methods for variational inequalities , Lecture Notes in Economics and mathematical Sys-tems, 495 [29] Konnov I V (2007), Equilibium Models and Variational Inequali-ties, Elsevier B V., Amsterdam [30] Lee G M and Kim D S (1994), Existence of Solutions for vector optimization problems , J Optim Theory Appl., 81(3), 459 468 [31] Lee G M., Kim D S., Lee B S and Cho S J (1993), Generalized vector variational inequalities and fuzzy extensions , Appl Math Lett., 6, 47 51 [32] Lions J L and Stampacchia G (1967), Variational inequalities , Comm Pure Appl Math., 20, 493 519 [33] Liu G P., Yang J B and Whidborne J F (2002), Multiobjective Op-timization and Control, Research Studies Press Ltd, Baldock United Kingdom [34] Liu S and Feng E (2010), The exponential penalty function method for multiobjective programming problems , Optim Methods Softw., 25(5), 667 675 [35] Luong D X (2010), Penalty functions for the vector variational inequality problem , Submitted to Acta Mathematica Vietnamica for publication [36] Luong D X and An T V (2010), Penalty functions for the mul-tiobjective optimization problem , J Math Sci Adv Appl., 6(1), 177 192 [37] Luong D X and Muu L D (2010), Combining the projection methods and the penalty function method to solve the variational inequal- 68 ities with monotone mappings , Int J Optim Theory Methods Appl., 2(2), 124 137 [38] Muu L D (1989), An augmented penalty function method for solv-ing a class of variational inequalities , U.S.S.R Comput Math and Math Phys., 26(6), 117 122 [39] Muu L D (1992), On a Lagrangian penalty function method for nonlinear programming problems , Appl Math Optim., 25(1), [40] Nagurney A (1989), Migration Equilibrium and Variational Inequal-ities , Econom Lett., 31(1), 109 112 [41] Nagurney A (1999), Network Economics: A Variational Inequality Approach, Edition 2, Springer Series in Advances in Computational Economics [42] Nagurney A and Dafermos S C (1984), General spatial economic equilibrium problem , Oper Res., 32, 1069 1086 [43] Nguyen V H and Strodiot J J (1979), On the convergence rate for a penalty function method of exponential type , J Optim Theory Appl., 27(4), 495 508 [44] Pareto V (1906), Manual of Political Economy, Societa Editrice Libraria, Milano, Italy [45] Rockafellar R T (1970), Convex Analysis, Princeton Univ Press, Princeton, New Jersey [46] Santos L B., Ruiz-Garzon G., Rojas-Medar M A and Rufian-Lizana A (2008), Existence of weakly efficient solutions in nonsmooth vector optimization , Appl Math Comput., 200(2), 547 556 [47] Smith M J (1979), The existence, uniqueness and stability of traffic equilibria , Transportation Science, 13B, 295 304 69 [48] Stadler W (1979), A survey of multicriteria optimization or the vector maximum problem, part I: 1776 1960 , J Optim Theory Appl., 29(1), 52 [49] Stadler W (1988), Multicriteria Optimization in Engineering and in the Sciences, Springer Verlag, New York [50] Stampacchia G (1964), Formes bilineares coercives sur les ensembles convexes , Comptes Rendus Academie Sciences Paris, 258, 4413 4416 [51] Tang Y C and Liu L W (2010), The penalty method for a new system of generalized variational inequlities , Int J Math Math Sci., 25(2010), [52] White D J (2002), Multiobjective programming and penalty func-tions , J Optim Theory Appl., 13(3), 675 692 [53] Yang X Q (1993), Vector complimentary and minimal element problems , J Optim Theory Appl., 77, 483 495 [54] Yang X Q (1993), Vector variational inequality and its duality , Nonlinear Anal., 21(11), 869 877 [55] Yang X Q and Goh C J (1997), On vector variational inequality: applications to vector traffic equilibria , J Optim Theory Appl., 95, 431 443 [56] Zangwill W I (1969), Nonlinear Programming: A Unified Approach, Prentice Hall, Englewood Cliffs, NJ [...]... viằc tẵnh hẳnh chiáu cừa mởt im lản mởt miãn lỗi bĐt ký Trong chữỡng thự hai, chúng tổi nghiản cựu phữỡng phĂp h m phÔt Ăp dửng cho bĐt ng thực bián phƠn vector yáu, sỷ dửng cĂc k thuêt chựng minh truyãn thống trong lỵ thuyát h m phÔt cho b i toĂn bĐt ng thực bián phƠn v cho b i toĂn tối ữu chựng minh tẵnh hởi tử cừa thuêt toĂn im khĂc vợi cĂc cổng trẳnh nghiản cựu vã b i toĂn bĐt ng thực bián phƠn... ng thực bián phƠn dÔng thữớng v dÔng vector yáu v b i toĂn tối ữu a mửc tiảu Luên Ăn l t i liằu tham khÊo cho sinh viản, hồc viản cao hồc v nghiản cựu sinh chuyản ng nh ToĂn giÊi tẵch Tờng quan v cĐu trúc luên Ăn 7 7.1 Tờng quan luên Ăn Trong luên Ăn n y, chúng tổi nghiản cựu phữỡng phĂp h m phÔt cho b i toĂn bĐt ng thực bián phƠn (dÔng thữớng), b i toĂn bĐt ng thực bián phƠn vector v b i toĂn liản quan... ữủc cổng bố trong [35] Trong Chữỡng 3, chúng tổi Ăp dửng phữỡng phĂp h m phÔt cho b i toĂn tối ữu a mửc tiảu MOP(D; f) Sỷ dửng cĂc kát quÊ vã sỹ tỗn tÔi nghiằm Pareto yáu cừa b i toĂn tối ữu a mửc tiảu ([30]) v sỹ tỗn tÔi nghiằm cừa b i toĂn bĐt ng thực bián phƠn vector yáu ([6]), trong Bờ ã 3.2.1 chúng tổi ữa ra iãu kiằn ừ cho sỹ tỗn tÔi nghiằm cừa cĂc (t) b i toĂn phÔt MOP(K; f ) vợi t > 0 CĂc kát... phữỡng phĂp h m phÔt Ăp dửng cho b i toĂn bĐt ng thực bián phƠn vector yáu, bao gỗm 3 mửc Mửc 2.1 trẳnh b y cĂc kát quÊ cƯn dũng vã sỹ tỗn tÔi nghiằm cừa b i toĂn bĐt ng thực bián phƠn vector yáu, Mửc 2.2 trẳnh b y vã b i toĂn phÔt v iãu kiằn cõ nghiằm cừa b i toĂn phÔt, Mửc 2.3 trẳnh b y cĂc nh lỵ hởi tử cừa phữỡng phĂp Chữỡng 3 trẳnh b y vã phữỡng phĂp h m phÔt Ăp dửng cho b i toĂn tối ữu a mửc tiảu,... nghiằm cừa b i toĂn phÔt, Mửc 3.3 trẳnh b y cĂc nh lỵ hởi tử cừa phữỡng phĂp 11 CHìèNG 1 HM PHT CHO BI TON BT NG THC BIN PHN n n n GiÊ sỷ D R l mởt têp lỗi õng khĂc rộng v f : R ! R l mởt Ănh xÔ n bĐt ký Kỵ hiằu h ; i l tẵch vổ hữợng trản R Xt b i toĂn bĐt ng thực bián phƠn sau Ơy VIP(D; f) : Tẳm x 2 D; sao cho hf(x); y xi 0; vợi mồi y 2 D: Têp nghiằm cừa VIP(D; f) ữủc kẵ hiằu l S Têp D ữủc gồi l miãn... hf(x) f(y); x yi 0; 8x; y 2 D; (ii) ỡn iằu ngt trản D náu hf(x) f(y); x yi > 0; 8x; y 2 D v x 6= y; (iii) ỡn iằu mÔnh trản D náu tỗn tÔi hơng số > 0 sao cho 2 hf(x) f(y); x yi jjx yjj ; 8x; y 2 D; (iv) liản tửc Lipschitz trản D náu tỗn tÔi hơng số L > 0 sao cho jjf(x) f(y)jj Ljjx yjj; 8x; y 2 D; (v) giÊ ỡn iằu trản D tữỡng ựng vợi S náu S 6= ? v 8x 2 S : hf(y); y xi 0; 8y 2 D: Mởt thẵ dử in hẳnh cừa Ănh... tữỡng ựng vợi chuân Euclide cừa x tợi D Náu tỗn tÔi y 2 D sao cho d(D; x) = jjx yjj thẳ y ữủc gồi l hẳnh chiáu vuổng gõc hay hẳnh chiáu Euclide cừa x lản D (gồi t-t l hẳnh chiáu cừa x lản D), v ữủc kỵ hiằu bi PD(x) Mằnh ã sau mổ tÊ mối quan hằ giỳa php chiáu v têp nghiằm S cừa b i toĂn bĐt ng thực bián phƠn 1.2.2 Mằnh n ã ([15], Mửc 12.1.1) Cho D õng khĂc rộng v > 0 bĐt ký ta cõ n R l mởt têp con lỗi... [38] n Cho D l mởt têp con lỗi õng khĂc rộng cừa R , K l mởt têp con n cừa R chựa D Ta s xƠy dỹng mởt h m lỗi khÊ vi P : K ! R thọa m Ân P (x) 0()x 2 D: (1.3) H m P thọa mÂn (1.3) ữủc gồi l h m phÔt cừa D Mởt h m P thọa mÂn (1.3) cỏn ữủc gồi l h m thững-phÔt, hay cỏn gồi l h m phÔt kiu Lagrange KhĂc vợi h m phÔt im ngo i thổng thữớng ỏi họi phÊi triằt tiảu trản miãn r ng buởc D, h m thững-phÔt cho php... thĐy rơng f l ỡn iằu vợi mồi t > 0 náu f l ỡn iằu Ta xt b i toĂn bĐt ng thực bián phƠn ựng vợi tham số phÔt t, kỵ hiằu (t) VIP(K; f ) : Tẳm x (t) (t) (t) (t) 2 K sao cho hf (x ); x x i 0 ; 8x 2 K; trong õ K D l mởt têp lỗi õng bao D sao cho hẳnh chiáu cừa mởt n im bĐt ký cừa R lản K cõ th ữủc xĂc nh dạ d ng, thêm chẵ l bi mởt cổng thực hin (vẵ dử K l mởt hẳnh hởp, mởt hẳnh cƯu hay mởt khổng gian con)... cụng ỡn iằu v liản tửc Lipschitz, cho nản ta cõ th sỷ dửng phữỡng (t) phĂp chiáu hai lƯn giÊi VIP(K; f ) Thuêt toĂn kát hủp ữủc mổ tÊ chi tiát dữợi Ơy Thuêt toĂn 3 XƠy dỹng mởt têp lỗi õng K D cõ hẳnh dÔng c biằt (chng hÔn, hẳnh hởp, hẳnh cƯu, hoc khổng gian con) v mởt h m phÔt lỗi P thọa mÂn cĂc iãu kiằn trong Bờ ã 1.4.1 LĐy mởt số dữỡng tũy ỵ t0 > 0 Chồn "k > 0, sao cho "k ! 0 khi k ! 1 t a = 0, b