Phát triển bài toán dãy các phân số có quy luật thành bài toán bất đẳng thức trong bồi dưỡng học sinh giỏi toán 6

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA LỤCTẠO NÔNG CỐNG PHÒNG GIÁO DỤCMỤC VÀ ĐÀO A Mở đầu I/ Lí chọn đề tài II/ Mục đích nghiên cứu III/ Đối tượng nghiên cứu IV/ Phương pháp nghiên cứu B Nội dung SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM I/ Cơ sở lý luận SKKN II/ Thực trạng vấn đề trước áp dụng SKKN Thực trạng qua khảo sát thực tế PHÁT TRIỂN BÀI TOÁN DÃY CÁC PHÂN SỐ CÓ QUY LUẬT Thực trạng đối THÀNH với nghiên cứuTOÁN khoa học BÀI BẤT ĐẲNG THỨC TRONG III/ Giải vấn đề BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN Vấn đề đặt Giải pháp đề xuất IV/ Hiệu SKKN hoạt động giáo dục , với thân, đồng nghiệp nhà trường Người thực : Lê Thị Thạo Quá trình thực Kết C Kết luận, kiến nghị I/ Kết luận Chức vụ : Giáo Viên Đơn vị công tác : Trường THCS Trần Phú SKKN thuộc lĩnh vực Toán học II/ Kiến nghị Tài liệu tham khảo Phụ lục NÔNG CỐNG, NĂM 2016 Mục lục I/ Phần mở đầu 1, lí chọn đề tài 2, Mục đích nghiên cứu 3, Đối tượng phạm vi nghiên cứu 4, Phương pháp nghiên cứu II/ Phần nội dung 1, Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm 2, Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 3, Các giải pháp giải vấn đề 4, Hiệu sáng kiến kinh nghiệm III/ Phần kết luận kiến nghị 1, Kết luận 2, Kiến nghị Trang Trang Trang Trang Trang Trang Trang Trang 18 Trang 19 Trang19 A MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài : a Những vấn đề chung: Trong nghiệp Công nghiệp hóa – đại hóa đất nước, đào tạo đội ngũ người chủ cho tương lai việc làm mang tính chiến lược Đảng nhà nước ta Do bồi dưỡng hệ học sinh giỏi thời kì vấn đề cấp thiết mang tính lâu dài Thông qua giáo dục đào tạo hệ trẻ có đầy đủ phẩm chất lực, trở thành người phát triển toàn diện với tư sắc bén, lập luận chặt chẽ, linh hoạt nhanh nhẹn Và không khác giáo dục giữ vai trò định trình bền bĩ , Thông qua , Học sinh tiếp thu kiến thức vững chắc, có hệ thống, có khả vận dụng vào sống, tạo niềm tin, tính cách, thói quen, hứng thú, tình cảm… cho học sinh, giúp học sinh phát triển trí tuệ, hoàn thiện nhân cách, b Thực tiễn giáo dục: Qua thực tế giảng dạy, đặc biệt năm học 2015-2016 này, giao nhiệm vụ bồi dưỡng học sinh giỏi toán 6, Trong nhiều chuyên đề bồi dưỡng chương trình số học 6, chuyên đề dãy phân số viết theo quy luật chuyên đề bất đẳng thức hai chuyên đề khó, nhiều thời gian công sức để nắm bắt làm tập cách trọn vẹn, thân cố gắng để truyền tải kiến thức đến học sinh xác nhất, khoa học nhất, đơn giản dễ hiểu nhất, phần em chăm trình tiếp thu, xây dựng nhiệt tình giải tập, đặc biệt trình tìm tòi phát triển toán Nhưng thực tế cho thấy, việc giải toán bất đẳng thức mà vế viết dạng dãy phân số viết theo quy luật khiến cho em học sinh lúng túng, nhiều thời gian để xác định dạng, nhiều công sức để giải giải chưa trọn vẹn, chưa lấy điểm tối đa Một thực tế khác cho thấy tài liệu biên soạn chuyên đề dãy phân số viết theo quy luật bất đẳng thức có nhiều phổ biến, đa số viết rời rạc hai chuyên đề, chưa đào sâu chuyên đề không kết nối mối quan hệ chặt chẽ chúng, đặc biệt không giúp học sinh thấy từ toán dãy phân số viết theo quy luật ta dễ dàng phát triển thành toán bất đẳng thức từ dạng đơn giản phức tạp Xuất phát từ thực tế đó, mạnh dạn viết sáng kiến kinh nghiệm với đề tài: “ phát triển toán dãy phân số viết theo quy luật thành toán bất đẳng thức bồi dưỡng HSG lớp “ nhằm giúp cho trình bồi dưỡng học sinh người giáo viên dễ dàng trình học tập, nghiên cứu học sinh đạt kết cao nhất, đồng thời tài liệu tham khảo, trao đổi, giao lưu với bạn bè, đồng nghiệp khác Mục đích nghiên cứu: Mục đích viêc nghiên cứu đề tài làm sáng tỏ mối quan hệ toán dãy phân số viết theo quy luật bất đẳng thức, phát triển toán dãy phân số viết theo quy luật thành toán bất đẳng thức, hình thành kĩ nhận dạng giải toán bất đẳng thức mà vế viết dạng dãy phân số viết theo quy luật cách hiệu Đối tượng nghiên cứu: - Nghiên cứu trình làm học sinh, làm học sinh bất đẳng thức mà vế viết dạng dãy phân số viết theo quy luật - Nghiên cứu kỹ giải toán bất đẳng thức mà vế viết dạng dãy phân số viết theo quy luật đề thi học sinh giỏi toán - Nghiên cứu kĩ phát triển toán dãy phân số viết theo quy luật thành toán bất đẳng thức học sinh, khả xử lí toán bất đẳng thức dạng Phương pháp nghiên cứu: a Phương pháp nghiên cứu xây dựng sở lí thuyết: Đọc tài liệu tham khảo để thu thập thông tin liên quan đến phương pháp giải toán dãy phân số viết theo quy luật bất đẳng thức + Sách nâng cao phát triển toán tập tác giả Vũ Hữu Bình + Sách nâng cao chuyên đề toán tác giả Nguyễn Ngọc Đạm –Vũ Dương Thụy + Các chuyên đề toán dãy phân số viết theo quy luật bất đẳng thức mạng Internet b Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin: + Nghiên cứu giải học sinh, đối chiếu kết quả, đáp án qua nhiều làm khác phân tích tổng hợp + Thường xuyên trò chuyện với học sinh: Đặt câu hỏi có liên quan đến toán dãy phân số viết theo quy luật bất đẳng thức : em có hứng thú làm toán dạng không? Các em có nhận dạng không, giải dạng toán em thường gặp rắc rối gì? Hoặc sau giải toán thấy kết khác với đáp án, em có biết sai đâu không? Do đâu không? c Phương pháp thống kê, xử lí số liệu: + Thống kê nguyên nhân dẫn đến sai sót trình làm học sinh + Tìm hiểu toán bất đẳng thức phát triển từ toán dãy phân số viết theo quy luật nào? Giải theo hướng nào? + Xử lí nguyên nhân dẫn đến không nhận dạng toán, giải sai, hoàn thiện định hướng phát triển thành toán B NỘI DUNG Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm: Trong trình bồi dưỡng học sinh giỏi toán 6, giải toán chuyên đề dãy phân số viết theo quy luật bất đẳng thức việc làm tránh khỏi, việc nhận mối quan hệ chúng để phát triển toán dãy phân số viết theo quy luật thành toán bất đẳng thức tất yếu để em giải tập bất đẳng thức cách dễ dàng, hiệu “Phát triển toán dãy phân số viết theo quy luật thành toán bất đẳng thức quan trọng học sinh, có số học sinh tự lực giải toán bất đẳng thức theo yêu cầu đặt toán Tuy nhiên nhiều học sinh chưa nắm bắt cách giải dạng toán giải sai không nhận dạng phát triển từ toán dãy phân số viết theo quy luật Vì việc đưa đề tài “ phát triển toán dãy phân số viết theo quy luật thành toán bất đẳng thức” giúp học sinh nhận dạng toán rèn kĩ giải toán bất đẳng thức, để phát triển kỹ giải toán giải cách thành thạo vấn đề cần quan tâm để học sinh Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm : a Thực trạng qua khảo sát thực tế Từ học kì II năm học 2015-2016 phân công bồi dưỡng học sinh giỏi môn toán lớp 6, chuẩn bị cho kì thi học sinh giỏi cấp huyện vào tháng năm 1016 Thông qua khảo sát kiểm tra toán em đội dự tuyển thu kết sau: Toàn đội có 11 em , Trong đó: + em làm hoàn chỉnh + em tính kết phần biểu thức viết dạng dãy phân số viết theo quy luật dùng kết để lập luận chứng minh toán bất đẳng thức mà đề yêu cầu + em để chứng minh toán bất đẳng thức dạng cần tính vế bất đẳng thức mà biểu thức viết dạng dãy phân số viết theo quy luật sau dùng kết để chứng minh + em lại không xác định yêu cầu toán b Thực trạng nghiên cứu Trong trình trao đổi, bồi dưỡng học sinh qua trình khảo sát làm thực tế em tìm số sai sót thường mắc phải HS giải toán bất đẳng thức là: - Không nhận dạng toán - Không phân tích đề phân tích sai đề - Nhận dạng phân tích đề thực giải sai - Viết sai dấu chiều bất đẳng thức làm Các giải pháp giải vấn đề: a Vấn đề đặt ra: Chính từ thực trạng nói trên, nhằm nâng cao kỹ giải toán bất đẳng thức mà vế dãy phân số viết theo quy luật, thân thấy cần phát triển toán dãy phân số viết theo quy luật thành toán bất đẳng thức lý luận tập cụ thể Để rèn kỹ nâng cao chất lượng giải toán bất đẳng thức đòi hỏi học sinh phải hiểu rõ vấn đề sau: - Bất đẳng thức cho có vế dãy phân số viết theo quy luật nào? - Tính giá trị dãy phân số viết theo quy luật nào? - Dùng kết dãy phân số viết theo quy luật tính để lập luận chứng minh bất đẳng thức theo yêu cầu nào? - Từ dãy phân số viết theo quy luật bất đẳng thức vừa chứng minh ta phát triển thành toán bất đẳng thức khác nữa? b Giải pháp : Qua trình tham khảo tài liệu chuyên đề thực tế bồi dưỡng học sinh giỏi, hướng dẫn học sinh “ phát triển toán dãy phân số viết theo quy luật thành toán bất đẳng thức” cụ thể sau : Dạng 1) Với toán dãy phân số theo quy luật với tử 1, mẫu lũy thừa số với số mũ số tự nhiên (*) Xuất phát từ dạng toán dãy phân số theo quy luật với tử 1, mẫu lũy thừa số với số mũ số tự nhiên liên tiếp ta có toán Bài 1) Cho A = 1 1 + + +…+ 19 + 20 2 2 a, Tính giá trị biểu thức A : Ta có: 1 + + 3+ 2 A= ⇒ 2A = + 1 + + 2 … + + 1 ( 1) 19 + 2 20 1 18 + 219 (2) Trừ vế với vế đẳng thức (2) cho đẳng thức ( 1) ta được: A= Vậy A = b, 20 20 Từ ta phát triển thành toán chứng minh bất đẳng thức : Chứng minh A = 1 1 + + +…+ 19 + 20 < 2 2 Thật vậy, từ kết ta thấy : 1 < 20 > nên 2 20 Vậy A < (*) Phát triển toán thành toán dãy phân số theo quy luật với tử khác 1, mẫu lũy thừa số với số mũ số tự nhiên liên tiếp ta có toán 3 3 + + +…+ 99 + 100 4 4 Bài 2) Cho C = a, Tính giá trị biểu thức C : Ta có: C = = ⇒ 4C = 3 3 + + + … + 99 + 100 4 4 1 1 3( + + + … + 99 + 100 ) 4 4 1 1 3( + + +… + 98 + 99 ) 4 4 (1) (2) Trừ vế với vế đẳng thức (2) cho đẳng thức (1) ta được: 3 1 - 100 ⇒ C = - 100 4 4 1 Vậy C = - 100 Từ ta phát triển thành toán chứng minh bất đẳng thức: 4 3 3 b , Chứng minh : C = + + +…+ 99 + 100 < 4 4 4 1 1 Thật vậy, từ kết ta thấy : 100 > ⇒ - 100 < Vậy C < 4 4 3C = (*) Phát triển thành toán dãy phân số theo quy luật với tử 1, mẫu lũy thừa số với số mũ số tự nhiên chẵn liên tiếp Bài 3) Cho D = 1 1 + + +…+ 98 + 100 3 3 a, Tính giá trị biểu thức D : Ta có: 1 1 1 + + + … + 96 + 98 + 100 3 3 3 1 1 ⇒ D = 1+ + + + … + 96 + 98 3 3 D = (1) (2) Trừ vế với vế đẳng thức (2) cho đẳng thức (1) ta được: 8D = 1- 100 ⇒ D = (1- ) :8 100 ) : Từ ta phát triển thành toán chứng minh bất đẳng thức 1 1 1 b, Chứng minh rằng: D = + + +…+ 98 + 100 < 3 3 1 1 Thật vậy, từ kết ta thấy : 100 > nên 1- 100 < ⇒ (1- 100 ) :8 < 3 Vậy D < Vậy D = (1- 100 (*) Ta phát triển thành toán dãy phân số theo quy luật với tử khác 1, mẫu lũy thừa số với số mũ số tự nhiên chẵn liên tiếp toán Bài 4) Cho E = 4 4 + + + … + 48 + 5 5 550 a, Tính giá trị biểu thức E : Ta có: 1 1 ) + + + … + 48 + 5 5 550 1 1 ⇒ E = 4(1 + + + … + 46 + 48 ) 5 5 E = 4( (1) (2) Trừ vế với vế đẳng thức (2) cho đẳng thức (1) ta 1 4(1 − 50 ) (1 − 50 ) ⇒ 24E = 4(1- 50 ) E = = 5 24 1 − 50 Vậy E = Từ ta phát triển thành toán chứng minh bất đẳng thức : 1 1 1 b, Chứng minh rằng: E = + + +…+ 48 + 50 < 5 5 1 1 − 50 ⇒ ⇒ Thật vậy, từ kết ta thấy : 50 > 1- 50 < < 5 Vậy E < (*) Phát triển thành toán dãy phân số theo quy luật với tử 1, mẫu lũy thừa số với số mũ số tự nhiên lẻ liên tiếp ta có toán Bài 5) Cho G = 1 1 + + +…+ 197 + 199 5 5 a, Tính giá trị biểu thức G : Ta có: 1 1 + + + … + 197 + 199 5 5 1 1 ⇒ 52 G = + + + … + 195 + 197 5 5 G = (1) (2) Trừ vế với vế đẳng thức (2) cho đẳng thức (1) ta được: 1 1 − 199 ⇒ 24G = - 199 G= 5 5 24 1 − Vậy G = 5199 Từ ta phát triển thành toán chứng minh bất đẳng thức 24 1 1 1 b, Chứng minh rằng: G = + + +…+ 197 + 199 < 120 5 5 1 1 1 − 199 ⇒ ⇒ Thật vậy, từ kết ta thấy : 199 > - 199 < < 5 5 120 24 Vậy G < 120 (*) Ta phát triển thành toán dãy phân số theo quy luật với tử 1, mẫu lũy thừa số với số mũ số tự nhiên liên tiếp đan xen dấu phép tính để toán 1 1 1 - + - + … + 49 - 50 3 3 3 Bài 6) Cho K = a, Tính giá trị biểu thức K : Ta có: 1 1 - + - +…+ 3 3 1 1 ⇒ 3K = + - + … + 48 3 3 K = 1 49 350 49 (1) (2) Cộng vế với vế đẳng thức (2) đẳng thức ( 1) ta có: ⇒ 4K = - 50 Vậy K = 1− ⇒K = 350 1− 350 Từ ta phát triển thành toán chứng minh bất đẳng thức : b, Chứng minh rằng: K = 1 1 1 - + - +…+ 49 - 50 < 3 3 1 1 − 50 ⇒ ⇒ Thật vậy, từ kết ta thấy : 50 > - 50 < < 3 Vậy K < Dạng : Với toán dãy phân số theo quy luật với tử 1, mẫu tích số tự nhiên (*) Với phân số có tử 1, mẫu tích số tự nhiên liên tiếp ta có toán Bài ) Cho A = a, 1 1 + + + + 1.2 2.3 3.4 19.20 Tính giá trị biểu thức A : 1 1 + + + + 1.2 2.3 3.4 19.20 1 1 1 1 = (1- ) + ( - ) + ( - ) + … + ( - ) + ( ) 2 3 18 19 19 20 1 1 1 = + (- + ) + ( - + ) + … + (+ )2 3 19 19 20 =1Từ ta phát triển thành toán chứng minh bất đẳng thức: 20 1 1 b, Chứng minh rằng: A = + + + + < 1.2 2.3 3.4 19.20 Ta có : A = Thật vậy, từ kết ta thấy : 1 > nên < Vậy A < 20 20 (+) Bỏ số hạng tổng A ta có toán bất đẳng thức mới: 1 1 + + + + < 2.3 3.4 5.6 19.20 1 1 Ta có: A1 = + + + + + 2.3 3.4 5.6 18.19 19.20 1 1 1 1 = - + - + - +…+ ( - ) + ( 3 18 19 19 1 1 1 = + ( - + ) + ( - + ) + … + (+ 3 4 19 1 = 20 1 1 Ta thấy : >0 ⇒ < Vậy A1 < 20 20 2 Chứng minh rằng: A1 = )] 20 1 )19 20 (+) Bỏ hai số hạng đầu tổng A ta có toán bất đẳng thức: 1 1 1 + + +…+ + < 3.4 4.5 5.6 18.19 19.20 1 < 20 Chứng minh rằng: A2 = Ta có : A2 = (*) Với phân số có tử khác 1, mẫu tích số tự nhiên liên tiếp ta có toán Bài 2) Cho B = a, 2 2 + + +…+ + 1.2 2.3 3.4 18.19 19.20 Tính giá trị biểu thức B : 1 1 + + +…+ + ) 1.2 2.3 3.4 18.19 19.20 1 1 1 1 = 2[(1- ) + ( - ) + ( - ) + … + ( - ) + ( )] 2 3 18 19 19 20 1 1 1 = 2[1 + (- + ) + ( - + ) + … + (+ )] 2 3 19 19 20 1 = 2(1- ) = 220 10 Vậy B = Từ ta phát triển thành toán chứng minh bất đẳng thức : 10 2 2 b, Chứng minh B = + + +…+ + < 1.2 2.3 3.4 18.19 19.20 1 Thật vậy, từ kết ta thấy : >0 ⇒ 2< Vậy B < 10 10 Ta có: B = 2( (+) Bỏ số hạng tổng B ta có toán bất đẳng thức: 2 2 + +…+ + < 2.3 3.4 18.19 19.20 2 2 B1 = + +…+ + 2.3 3.4 18.19 19.20 Chứng minh rằng: Ta có : B1 = 10 1 1 + +…+ + ) 2.3 3.4 18.19 19.20 1 1 1 1 = 2[( - ) + ( - ) +…+ ( - ) + ( )] 3 18 19 19 20 1 1 1 = 2[ + ( - + ) +…+ (+ )] 3 19 19 20 1 = 2( - ) = 20 10 1 > nên < Vậy B1 < 10 10 = 2( Ta thấy : (+) Bỏ hai số hạng tổng B ta có toán bất đẳng thức: Chứng minh rằng: B2 = 2 2 + +…+ + < 3.4 18.19 19.20 4.5 (*) Phát triển mẫu phân số dãy ta có toán với tử 1, mẫu tích số tự nhiên chẵn liên tiếp ta có toán Bài 3) Cho C = a, 1 1 + +…+ + 2.4 4.6 16.18 18.20 Tính giá trị biểu thức C : 1 1 + +…+ + 2.4 4.6 16.18 18.20 1 1 ⇒ 2C = 2( + +…+ + ) 2.4 4.6 16.18 18.20 1 1 1 1 = ( - )+( - )+…+( - )+( ) 4 16 18 18 20 1 = 20 1 1 ⇒ C =( ):2 = 20 40 1 Vậy C = Từ ta phát triển thành toán chứng minh bất đẳng thức: 40 1 1 b, Chứng minh rằng: C = + +…+ + < 2.4 4.6 16.18 18.20 1 1 Thật vậy, từ kết ta thấy : >0 ⇒ < Vậy C < 40 40 4 C = (+) Bỏ số hạng tổng C ta có toán bất đẳng thức sau: Chứng minh : C1 = 1 1 + + +…+ + < 4.6 16.18 18.20 6.8 8.10 Ta có : 1 1 + + +…+ + 4.6 16.18 18.20 6.8 8.10 1 1 ⇒ 2C1 = 2( + + +… + + ) 4.6 16.18 18.20 6.8 8.10 1 1 1 1 1 = ( - )+( - )+( - )+ …+ ( - )+( ) 6 16 18 18 20 10 C1 = 11 1 ⇒ C1 = ( 20 1 Ta thấy : > nên 40 = 1 1 ):2 = 20 40 1 < Vậy C1 < 40 8 (+) Bỏ hai số hạng tổng C ta có toán bất đẳng thức Chứng minh rằng: C2 = 1 1 + +…+ + < 6.8 8.10 16.18 18.20 12 (*) Phát triển mẫu phân số dãy ta có toán với tử khác 1, mẫu tích số tự nhiên lẻ liên tiếp ta có toán Bài 4) Cho D = 2 2 + + +…+ + 1.3 3.5 5.7 17.19 19.21 a, Tính giá trị biểu thức D : Ta có : 2 2 + + +…+ + 1.3 3.5 5.7 17.19 19.21 1 1 1 =1- + - +…+ + 3 17 19 19 21 =121 Vậy D = - Từ ta phát triển thành toán chứng minh bất đẳng thức: 21 2 2 b, Chứng minh rằng: D = + + +…+ + 0 ⇒ 121 < Vậy D < 21 (*) Phát triển dấu phân số dãy ta có toán Bài ) Cho E = a, 1 1 -…1.2 2.3 3.4 18.19 19.20 Tính giá trị biểu thức E : 1 1 -…1.2 2.3 3.4 18.19 19.20 1 1 E = (-1)( + + +…+ + ) 1.2 2.3 3.4 18.19 19.20 1 1 1 1 = (-1) [(1- ) + ( - ) + ( - ) +…+ ( - ) + ( ) 2 3 18 19 19 20 1 1 1 = (-1)[1+(- + ) + ( - + ) +…+ (+ )] 2 3 19 19 20 1 = (-1)(1- ) = -1+ 20 20 Vậy E = -1 + Từ ta phát triển thành toán chứng minh bất đẳng thức: 20 1 1 1 b, Chứng minh rằng: E = -…< 1.2 2.3 3.4 18.19 19.20 20 E =- 12 Thật vậy, từ kết ta thấy : -1+ = 20 1 -1< 20 20 Vậy E < 20 (*) Phát triển mẫu phân số dãy với tử 1, mẫu tích ba số tự nhiên liên tiếp ta có toán 1 1 + +…+ + 1.2.3 2.3.4 97.98.99 98.99.100 Bài 6) Cho F = a, Ta có : Tính giá trị biểu thức F : 1 1 + +…+ + 1.2.3 2.3.4 97.98.99 98.99.100 1 1 1 = ( + +…+ ) 1.2 2.3 2.3 3.4 98.99 99.100 1 1 = ( )= 1.2 99.100 2.99.100 F = Từ ta phát triển thành toán chứng minh bất đẳng thức: 1 1 + +…+ + < 1.2.3 2.3.4 97.98.99 98.99.100 1 1 Thật vậy, từ kết ta thấy : >0 ⇒ < 2.99.100 2.99.100 Vậy F < b, Chứng minh rằng: F = Dạng 3) Đây toán chứng minh bất đẳng thức sở dãy có quy luật (*) Với phân số dãy có tử 1, mẫu lũy thừa bậc hai số tự nhiên liên tiếp ta có toán Bài 1) Chứng minh rằng: A = 1 1 1 + + …+ + < 99 100 Ta có: 1 1 < = = 5.5 4.5 1 1 < = = 6.6 5.6 1 1 < = = 7.7 6.7 6 - ……………………… 1 1 < = = 99 99.99 99 98.99 98 1 1 < = = 100.100 99 100 100 99.100` Cộng vế với vế bất đẳng thức chiều ta A= 1 1 1 1 1 1 - + - +…+ + + + …+ + < 99 99 100 99 100 5 98 1 1 = < Vậy A < 100 4 13 (+) Bỏ số hạng tổng A ta có toán chứng minh bất đẳng thức: Chứng minh rằng: A1 = 1 1 + …+ + < 99 100 Ta thấy: 1 = 6.6 1 = 7.7 1 = 5.6 1 < = 6.7 < ……………………………… 1 1 < = = 98 99 99 99.99 98.99 1 1 < = = 100 100.100 99.100 99 100 Cộng vế với vế bất đẳng thức chiều ta được: A1 = 1 1 1 1 1 1 - + - +…+ + + …+ + < 6 98 99 99 100 99 100 1 1 = < Vậy A1 < 100 5 (+) Bỏ hai số hạng tổng A ta có toán bất đẳng thức mới: 1 1 1 + + +…+ + < 99 100 1 A2 = < 100 Chứng minh rằng: B2 = Ta thấy: Vậy A2 < (*) Phát triển mẫu phân số dãy ta có toán với tử khác 1, mẫu lũy thừa bậc hai số tự nhiên liên tiếp ta có toán 2 2 2 + +…+ < + 100 99 2 +…+ + 100 99 1 +…+ + ) 100 99 Bài 2) Chứng minh rằng: B = Ta có: 2 + 1 = 2( + B = Ta thấy: 1 1 < = = 6.6 5.6 1 1 < = = 7.7 6.7 ………………………… 1 1 < = = 98 99 99 99.99 98.99 1 1 < = = 100 100.100 99.100 99 100 Cộng vế với vế bất đẳng thức chiều ta được: 14 B = 2( 1 1 1 1 1 1 - + - +…+ + ) + +…+ ) < 2( + 100 6 98 99 99 99 100 1 2 = 2( )= < Vậy B < 100 50 5 (*) Phát triển mẫu phân số dãy ta có toán với tử 1, mẫu lũy thừa bậc hai số tự nhiên liên tiếp, phân số mang dấu trừ ta có toán 1 1 > -1 2 - … 212 20 1 - 2- … - - 21 20 1 + +…+ + ) = - K 21 20 Bài 3) Chứng minh rằng: 1 2 32 1 ⇒ G = -( + 2 Ta có: G = - G = - Ta thấy : 1 1 < = 12 = 2.2 1.2 1 1 = < = 32 3.3 2.3 1 1 < = = 20.20 19.20 19 20 20 1 1 < = = 21 21.21 20.21 20 21 Cộng vế với vế bất đẳng thức chiều ta : 1 1 1 1 1 1 )+( - )+… +( )+ ( ) ) < (12 + + +…+ + 21 2 19 20 20 21 20 = 121 1 ⇒ -K > Hay K < - 1( nhân hai vế bất đẳng thức với -1) 21 21 ⇒ G = -K > - > -1 Vậy G > -1 21 K=( (*) Phát triển mẫu phân số dãy ta có toán với tử 1, mẫu lũy thừa bậc ba số tự nhiên liên tiếp ta có toán Bài 4) Chứng minh : C = 1 1 1 + + +…+ + < 4 99 100 Ta thấy: 1 1 1 < = ( - ) = 2.2.2 1.2.3 1.2 2.3 1 1 1 < = ( - ) = 3.3.3 2.3.4 2.3 3.4 1 1 1 < = ( - ) = 4.4.4 3.4.5 3.4 4.5 ……………………………… 15 1 1 1 < = ( ) = 99.99.99 98.99.100 98.99 99.100 99 1 1 1 < = ( ) = 99.100 100.101 100 100.100.100 99.100.101 Cộng vế với vế bất đẳng thức chiều ta được: 1 1 + + +…+ + 99 100 1 1 1 1 1 1 < ( - ) + ( - ) + + ( )+ ( ) 1.2 2.3 98.99 99.100 99.100 100.101 2.3 3.4 1 1 1 ⇒ C< ( + +…+ ) 1.2 2.3 2.3 3.4 99.100 100.101 1 1 1 ⇒C < ( )= < Vậy C < 1.2 100.101 100.101.2 4 C = (+) Bỏ số hạng tổng C ta có toán bất đẳng thức Chứng minh : C1 = 1 1 < + +…+ + 100 12 99 Ta thấy: 1 1 1 < = ( - ) = 3.3.3 2.3.4 2.3 3.4 1 1 1 < = ( - ) = 4.4.4 3.4.5 3.4 4.5 ………………………………… 1 1 1 < = ( ) = 99.99.99 98.99.100 98.99 99.100 99 1 1 1 < = ( ) = 99.100.101 99.100 100.101 100 100.100.100 Cộng vế với vế bất đẳng thức chiều ta được: 1 1 1 1 ( +…+ ) < + +…+ + 100 2.3 3.4 99.100 100.101 99 1 1 1 = ( )= < 2.3 100.101 12 100.101.2 12 Vậy C1 < 12 C1 = (+) Bỏ hai số hạng tổng C ta có toán bất đẳng thức 1 1 < + …+ + 100 24 99 1 1 1 = ( )= < Vậy C2 < 3.4 100.101 24 100.101.2 24 24 Chứng minh : C2 = Ta thấy: C2 (*) Phát triển phân số dãy với tử 1, mẫu lũy thừa bậc bốn số tự nhiên liên tiếp ta có toán Bài 5) Chứng minh : D = 1 1 1 + + +…+ + < 199 200 18 Ta thấy : 16 1 1 1 < = ( ) = 1.2.3.4 1.2.3 2.3.4 4.4.4.4 1 1 1 < = ( ) = 5.5.5.5 2.3.4.5 2.3.4 3.4.5 1 1 1 < = ( = 200 200.200.200.200 197.198.199.200 197.198.199 198.199.200 ) Cộng vế với vế bất đẳng thức chiều ta : 1 1 + + + … + + 199 200 1 1 1 < ( + + + ) 1.2.3 2.3.4 197.198.199 2.3.4 3.4.5 198.199.200 1 1 1 = ( )= < Vậy D < 1.2.3 198.199.200 18 198.199.200.3 18 18 D = (+) Bỏ số hạng tổng D ta có toán bất đẳng thức Chứng minh : D1 = 1 1 + < + +…+ 199 200 72 Ta thấy: 1 1 1 < = ( ) = 5.5.5.5 2.3.4.5 2.3.4 3.4.5 1 1 1 < = ( ) = 6.6.6.6 3.4.5 4.5.6 3.4.5.6 …………………………… 1 1 < = ( 200.200.200.200 197.198.199.200 197.198.199 198.199.200 ) Cộng vế với vế bất đẳng thức chiều ta được: 1 1 + + +…+ 199 200 1 1 1 < ( + + + ) 2.3.4 3.4.5 3.4.5 4.5.6 197.198.199 198.199.200 1 1 1 = ( )= < 2.3.4 198.199.200 72 198.199.200.3 72 Vậy D1 < 72 D1 = (+) Bỏ hai số hạng tổng D ta có toán bất đẳng thức 1 1 + +…+ + 199 200 1 + +…+ + 199 200 1 1 1 ( + + + ) 3.4.5 4.5.6 4.5.6 5.6.7 197.198.199 198.199.200 1 1 1 ( )= - < 3.4.5 198.199.200 180 198.199.200 180 Chứng minh : D2 = Ta thấy: D2 = 64 < = 17 Vậy D2 < 180 (*) Phát triển phân số dãy với tử khác 1, mẫu lũy thừa bậc bốn số tự nhiên liên tiếp ta có toán Bài 6) Chứng minh : S = 3 3 + + +…+ + < 99 100 Ta thấy: 3 1 < = = 4.4.4.4 1.2.3.4 1.2.3 2.3.4 3 1 < = = 5.5.5.5 2.3.4.5 2.3.4 3.4.5 ………………………………… 3 = 100 100.100.100.100 < 97.98.99.100 = 1 97.98.99 98.99.100 Cộng vế với vế bất đẳng thức chiều ta 3 3 + + + … + + 99 100 1 1 1 < + + + 1.2.3 2.3.4 2.3.4 3.4.5 97.98.99 98.99.100 1 = < 1.2.3 98.99.100 Vậy S < S = (+) Bỏ số hạng S ta có toán bất đẳng thức : Chứng minh : S = 3 3 + +…+ + < 99 100 24 Ta thấy: 3 1 < = = 5.5.5.5 2.3.4.5 2.3.4 3.4.5 3 1 < = = 6.6.6.6 3.4.5.6 3.4.5 4.5.6 3 = 100 100.100.100.100 < 97.98.99.100 = 1 97.98.99 98.99.100 Cộng vế với vế bất đẳng thức chiều ta : 3 3 + + … + + 99 100 1 1 1 < + + + 2.3.4 3.4.5 3.4.5 4.5.6 97.98.99 98.99.100 1 1 = = < 24 98.99.100 24 2.3.4 98.99.100 Vậy S < 24 S1 = 18 Từ ta phát triển thành nhiều toán bất đẳng thức mà vế dãy phân số viết theo quy luật, giới hạn đề tài chưa thể trình bày hết Hiệu sáng kiến kinh nghiệm: a Hiệu đề tài đến chất lượng giáo dục: Qua trình bồi dưỡng học sinh giỏi lớp phát triển toán dãy phân số viết theo quy luật thành toán bất đẳng thức vận dụng để giải toán bất đẳng thức đề thi học sinh giỏi toán nhận thấy: - Từng học sinh phát triển toán dãy phân số viết theo quy luật thành toán bất đẳng thức cách thành thục, thực giải tập bất đẳng thức cách dễ dàng với thái độ hứng thú có hiệu - Học sinh biết phát triển toán dãy phân số viết theo quy luật thành toán bất đẳng thức cách linh hoạt Hệ thống tập em đưa đa dạng, phong phú đầy sáng tạo Tham khảo hệ thống tập mà em phát triển khiến có nhiều trải nghiệm bất ngờ thú vị - Ngoài tạo hội để học sinh giải tập phát triển thành viên đội, từ đưa nhận xét tính xác, khả phát triển bài, ưu nhược cách phát triển, từ thấy sáng tạo mỗi thành viên, tăng cường khả rèn luyện cho thân tinh thần học hỏi lẫn học tập b Kết thực tế: Qua thực tế bồi dưỡng chuyên đề phát triển toán dãy phân số viết theo quy luật thành toán bất đẳng thức thấy em giải toán bất đẳng thức mà vế toán dãy phân số viết theo quy luật cách thành thạo đặc biệt qua kì thi học sinh giỏi huyện vừa tất em giải tốt toán này, góp phần nâng điểm thi rõ rệt mang lại kết tốt 19 C KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 1/ Kết luận: Qua trình giảng dạy, nhận thấy việc phát triển toán dãy phân số viết theo quy luật thành toán bất đẳng thức có vị trí quan trọng bồi dưỡng học sinh giỏi Trong vận dụng đề tài, học sinh phải huy động thao tác tư khác như: Phân tích, So sánh, tổng hợp, khái quát hóa,… để giải vấn đề Vì học sinh có hội rèn luyện, phát triển tư lo gic toán học Nên nói việc phát triển toán dãy phân số viết theo quy luật thành toán bất đẳng thức đề tài có hiệu để rèn luyện phát triển tư duy, khả độc lập suy nghĩ giải vấn đề đặt ra, rèn tính kiên trì, cẩn thận học sinh Phát triển toán dãy phân số viết theo quy luật thành toán bất đẳng thức chuyên đề khó, nên bồi dưỡng cho học sinh người giáo viên cần lưu ý: - Lựa chọn hệ thống toán dãy phân số viết theo quy luật thật cho nội dung thể đơn giản Bài tập lựa chọn phải tập điển hình, có nội dung rõ ràng có mục đích cụ thể Giúp học sinh dễ dàng phát triển toán dãy phân số viết theo quy luật thành toán bất đẳng thức học sinh có khả giải toán có nội dung tương tự khác - GV trình bồi dưỡng cần rèn cho học sinh thói quen phân tích tỉ mỉ toán dãy phân số viết theo quy luật tránh cho học sinh phát triển toán theo kiểu áp dụng máy móc, theo kiểu dò tìm mà không hiểu chất, lập luận chặt chẽ - Khi bồi dưỡng học sinh ban đầu tiếp cận chuyên đề này, để học sinh tránh sai sót tối đa người giáo viên cần trình bày giải cách nên yêu cầu học sinh giảm bớt làm tắt trình tính toán số hạng dãy hay tính nhẩm gây sai sót Đề tài áp dụng có hiệu cho bồi dưỡng học sinh giỏi lớp môn toán Trong thời gian tiếp theo, tiếp tục áp dụng đề tài giảng dạy năm học tới nghiên cứu chỉnh sửa thêm Đề tài áp dụng bồi dưỡng học sinh giỏi toán 7, 8, 2/ Kiến nghị Đề tài ”phát triển toán dãy phân số viết theo quy luật thành toán bất đẳng thức ”là đề tài áp dụng cho bồi dưỡng cho học sinh giỏi lớp nói riêng cho học sinh giỏi THCS nói chung, mong muốn chia sẻ cho bạn bè đồng nghiệp gần xa làm tài liệu bồi dưỡng Đồng thời dịp giao lưu học hỏi nâng cao trình độ thân, rút kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi năm để đạt kết cao 20 Trong trình viết không tránh khỏi sai sót mong tiếp thu ý kiến đóng góp người Tôi xin chân thành cảm ơn ! Tôi xin cam đoan SKKN tự viết, không chép người khác, sai xin chịu hoàn toàn trách nhiệm! Nông cống, Ngày / / 2016 Người thực : Lê Thị Thạo 21 ... quy luật thành toán bất đẳng thức tất yếu để em giải tập bất đẳng thức cách dễ dàng, hiệu Phát triển toán dãy phân số viết theo quy luật thành toán bất đẳng thức quan trọng học sinh, có số học. .. trình bồi dưỡng học sinh giỏi lớp phát triển toán dãy phân số viết theo quy luật thành toán bất đẳng thức vận dụng để giải toán bất đẳng thức đề thi học sinh giỏi toán nhận thấy: - Từng học sinh phát. .. hệ toán dãy phân số viết theo quy luật bất đẳng thức, phát triển toán dãy phân số viết theo quy luật thành toán bất đẳng thức, hình thành kĩ nhận dạng giải toán bất đẳng thức mà vế viết dạng dãy