SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC AMGM VÀ SCHUR ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC TRONG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI

Trong bộ môn Toán học ở trường phổ thông thì chuyên đề Bất đẳng thức đượcxem là một trong những chuyên đề khó và hấp dẫn đối với nhiều người học. Nóiđến bất đẳng thức chúng ta thường quan tâm đến bất đẳng thức đại số mà ở đó cónhiều kỹ thuật để khai thác và chứng minh. Như chúng ta đã biết bất đẳng thứcSchur là một bất đẳng thức mạnh và có nhiều ứng dụng, tuy nhiên nó vẫn còn kháxa lạ với nhiều học sinh. Qua bài viết này, tôi muốn giới thiệu cho các bạn việc sửdụng bất đẳng thức Schur và kết hợp với bất đẳng thức quen thuộc AMGM đểgiải một số bài toán bất đẳng thức, đặc biệt là trong các đề thi chọn học sinh giỏi.

Sử dụng bất đẳng thức AM-GM Schur để giải số toán bất đẳng thức SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC AM-GM VÀ SCHUR ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC TRONG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI A LỜI NĨI ĐẦU: Trong mơn Tốn học trường phổ thơng chun đề Bất đẳng thức xem chuyên đề khó hấp dẫn nhiều người học Nói đến bất đẳng thức thường quan tâm đến bất đẳng thức đại số mà có nhiều kỹ thuật để khai thác chứng minh Như biết bất đẳng thức Schur bất đẳng thức mạnh có nhiều ứng dụng, nhiên xa lạ với nhiều học sinh Qua viết này, muốn giới thiệu cho bạn việc sử dụng bất đẳng thức Schur kết hợp với bất đẳng thức quen thuộc AM-GM để giải số toán bất đẳng thức, đặc biệt đề thi chọn học sinh giỏi B NỘI DUNG: Trước tiên xin giới thiệu số kiến thức liên quan đến bất đẳng thức AM-GM bất đẳng thức Schur I BẤT ĐẲNG THỨC AM-GM: Các đại lượng trung bình số khơng âm:  Cho n số không âm a1, a2 , a3 , , an ta có: a  a  a3   an A trung bình cộng n số a1, a2 , a3 , , an n G  n a1a2a3 an trung bình nhân n số a1, a2 , a3 , , an a12  a2  a32  an trung bình tồn phương n số Q n a1, a2 , a3 , , an n trung bình điều hòa n số dương H 1 1      a1 a2 a3 an a1, a2 , a3 , , an Ta có bất đẳng thức Q  A  G  H Dấu “=” xảy a1  a2  a3   an Chú ý: A, G, Q, H theo thứ tự viết tắt từ arithmetic mean (trung bình Nguyễn Văn Dung – Trường THPT Trần Phú Sử dụng bất đẳng thức AM-GM Schur để giải số toán bất đẳng thức cộng), geometric mean (trung bình nhân), quadratic mean (trung bình tồn phương) harmonic mean (trung bình điều hòa) Bất đẳng thức AM-GM: Theo phần ta có mối liên hệ đại lượng trung bình số khơng âm: Q  A  G  H Trong đó, bất đẳng thức A  G thường sử dụng gọi bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân hay bất đẳng thức AM-GM (gọi tắt bất đẳng thức A-G) Cách gọi tên phổ biến nước ngoài, nước Âu, Mỹ Cách chứng minh hay tiếng dùng nhiều nhiều toán bất đẳng thức Nội dung bất đẳng thức sau: a1  a2  a3   an n Với n số không âm a1, a2 , a3 , , an ta có:  a1a2 a3 an n Dấu “=” xảy  a1  a2  a3   an  Hệ quả: Ta có số bất đẳng thức quen thuộc hệ bất đẳng thức AM-GM sau: a  b  2 2  2ab a  b  2ab  a  b  Dấu “=” xảy  a = b a  b  c  2 2 2  ab  bc  ca a  b  c  ab  bc  ca  a  b  c  Dấu “=” xảy  a = b = c a b  2 (ab > 0) Dấu “=” xảy  a = b b a hay a   (a > 0) Dấu “=” xảy  a = a 1 1 n2       a1 a2 a3 an a1  a2  a3   an 1 1 1        n2 an   a1 a2 a3  a1  a2  a3   an   hay  a1, a2 , a3 , , an   Dấu “=” xảy  a1  a2  a3   an Chú ý:  Bất đẳng thức Cauchy thật lại bất đẳng thức sau:  a2  b2  x2  y    ax  by 2 hay viết a  b2  x  y   ax  by Nguyễn Văn Dung – Trường THPT Trần Phú Sử dụng bất đẳng thức AM-GM Schur để giải số toán bất đẳng thức a b  ) x y Bất đẳng thức với số thực (a; b) (x; y) Mở rộng ta thu kết với n số thực  a1, a2 , , an   b1, b2 , , bn  sau: Dấu “=” xảy  ax  by x, y khác a  a22   an2  b12  b22   bn2    a1b1  a2b2   anbn  a 2  a22   an2  b12  b22   bn2   a1b1  a2b2   anbn a1  kb1 a  kb  Dấu “=” xảy    an  kbn  Bất đẳng thức Cauchy nêu có nhiều tên gọi khác bất đẳng thức Bunyakovsky (Bu-nhi-a-cốp-xki) hay bất đẳng thức Schwarz (Sờ-vác) tên dài Cauchy - Bunyakovsky - Schwarz Nhiều tài liệu Việt Nam lại viết theo kiểu ngược lại, tức Bunyakovsky - Cauchy Schwarz, bất đẳng thức viết tắt BCS II BẤT ĐẲNG THỨC SCHUR: Với số thực dương a, b, c k  R  ta ln có a k (a  b)(a  c)  bk (b  c)(b  a)  c k (c  a)(c  b)  Dấu đẳng thức xảy a = b = c hai số chúng số lại khơng Khi k số nguyên dương chẵn, bất đẳng thức với số thực a, b c Hai trường hợp quen thuộc sử dụng nhiều k=1 k=2: a(a  b)(a  c)  b(b  c)(b  a)  c(c  a)(c  b)  (i) a (a  b)(a  c)  b2 (b  c)(b  a)  c (c  a)(c  b)  (ii) III SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC AM-GM VÀ SCHUR ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC: VÍ DỤ Chứng minh bất đẳng thức sau với số dương a, b, c 1 1 1 (*)      a b c ab bc ca Lời giải: Áp dụng hệ bất đẳng thức AM-GM ta có: Nguyễn Văn Dung – Trường THPT Trần Phú Sử dụng bất đẳng thức AM-GM Schur để giải số toán bất đẳng thức 2 1       1         a b c  a   b   c  ab bc ca 1 Dấu “=” xảy     a  b  c a b c Nhận xét: Chúng ta mở rộng bất đẳng thức (*) cách nhân hai vế bất đẳng thức (*) với abc  , ta có bất đẳng thức 1 1 mới: abc      a  b  c Và giả thiết cho thêm kiện a b c a  b  c  có bất đẳng thức “đẹp” sau: 1 1 Cứ tiếp tục vậy, tìm tòi nhiều tốn    a b c abc mới, hay hơn, tổng quát hơn… Đây cách suy nghĩ toán giúp ta nắm vững kiến thức, cách rèn luyện tư duy, từ hình thành thói quen học tốn tốt VÍ DỤ Chứng minh a, b, c  ta có bất đẳng thức sau: a b c    (**) bc ca ab Lời giải: a b c a bc bca ca b      3 Ta có: bc ca ab bc ca ab 1    a  b  c   3 bc ca a b 1     b  c    c  a    a  b     3 bc ca ab Áp dụng hệ bất đẳng thức AM-GM ta có: a b c    9   bc ca ab 2 Dấu “=” xảy  b  c  c  a  a  b  a  b  c VÍ DỤ Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh: 1 1 1      a a bc bc a c  a b a b c b  a  b  c b  c  a  c  a  b   abc Lời giải: Nguyễn Văn Dung – Trường THPT Trần Phú Sử dụng bất đẳng thức AM-GM Schur để giải số toán bất đẳng thức 1 a Áp dụng hệ bất đẳng thức AM-GM:    x, y  0 x y x y 1    (1) a  b  c b  c  a  a  b  c   b  c  a  b 1 1 Tương tự (2),     (3) a bc c  a b a bc a c  a b c Cộng vế ba bất đẳng thức (1), (2), (3) ta có đccm a  b  c  b  c  a  Dấu “=” xảy  a  b  c  c  a  b  a  b  c b  c  a  c  a  b   Tam giác tam giác b Áp dụng hệ bất đẳng thức AM-GM:  a  b   2ab hay a  b  4ab (với a, b), ta có:   2  a  b  c    b  c  a     a  b  c  b  c  a   4b   a  b  c  b  c  a   b   a  b  c  b  c  a  Một cách tương tự, ta chứng minh được: a   a  b  c  c  a  b  c2   b  c  a  c  a  b  a, b, c  a  b  c   Do a, b, c độ dài ba cạnh tam giác nên  b  c  a  c  a  b  Vì vế ba bất đẳng thức dương nên nhân vế với vế ba bất đẳng thức ta thu được:  abc    a  b  c  b  c  a  c  a  b  (*) Do ta có bất đẳng thức cần chứng minh a  b  c  b  c  a  Dấu “=” xảy  a  b  c  c  a  b  a  b  c b  c  a  c  a  b   Tam giác tam giác 2 VÍ DỤ Cho số dương a, b, c, d thỏa mãn điều kiện 1 1     Chứng minh abcd  1 a 1 b 1 c 1 d 81 Nguyễn Văn Dung – Trường THPT Trần Phú Sử dụng bất đẳng thức AM-GM Schur để giải số toán bất đẳng thức Lời giải: Ta nhận = + + nên ta biến đổi điều kiện đề sau: 1 1    3 1 a 1 b 1 c 1 d 1         1    1    1   1 a  1 b   1 c   1 d  b c d b c d     33   1 a 1 b 1 c 1 d 1 b 1 c 1 d a c d a c d Tương tự, ta có:     33   1 b 1 a 1 c 1 d 1 a 1 c 1 d a b d a b d     33   1 c 1 a 1 b 1 d 1 a 1 b 1 d a b c a b c     33   1 d 1 a 1 b 1 c 1 a 1 b 1 c Nhân vế với vế bốn bất đẳng thức trên, ta có đccm Dấu “=” xảy  a  b  c  d  Nhận xét: Bằng việc linh hoạt phép biến đổi, cộng thêm sử dụng bất đẳng  thức AM-GM, ta có lời giải “nhanh, gọn, đẹp” Tuy nhiên, câu hỏi đặt cho sau giải, là, liệu bất đẳng thức có dạng tổng qt hay khơng, gì? Nếu có, ta phải chứng minh nào? Câu trả lời có Bất đẳng thức tổng quát sau: Với n số dương a1, a2 , a3 , , an  n  3 , thỏa mãn điều kiện 1 1       n  , chứng minh rằng:  a1  a2  a3  an a1a2a3 an  Các bạn chứng minh tương tự ví dụ n  n  1 VÍ DỤ Chứng minh với x, y, z  , ta có: x3 y z    x yz yz zx xy Lời giải: Trước tiên, ta chứng minh bất đẳng thức phụ: x4  y  z  xyz  x  y  z  (1) Nguyễn Văn Dung – Trường THPT Trần Phú Sử dụng bất đẳng thức AM-GM Schur để giải số toán bất đẳng thức Thật vậy, áp dụng hệ bất đẳng thức AM-GM, ta có: 2 x  y  z  x y  y z  z x   xy    yz    zx   xy yz  yz.zx  zx.xy  xyz  x  y  z  Dấu “=” xảy  x  y  z Vì xyz  nên nhân hai vế bất đẳng thức (1) với  ta có: xyz x  y  z xyz  x  y  z  x3 y z      x y z xyz xyz yz zx xy Dấu “=” xảy  x  y  z VÍ DỤ Đề thi Việt Nam, 1996 Cho a, b, c số thực dương thoả mãn ab  bc  ca  abc  Chứng minh a  b  c  ab  bc  ca Lời giải: Ta chứng minh phương pháp phản chứng Giả sử tồn số dương a, b, c cho ab  bc  ca  abc  a  b  c  ab  bc  ca Khi đó, ta có: abc 1 ab  bc  ca , dẫn đến  ( ab  bc  ca ).1  abc.1  ( ab  bc  ca ).( abc abc )  abc.( ) ab  bc  ca ab  bc  ca ( a  b  c )2 abc   abc.( ) ab  bc  ca ab  bc  ca abc( a  b  c )3 Từ đây, ta tìm 2( ab  bc  ca )  ( a  b  c )  ( ab  bc  ca )2 2 Nhưng mà theo bất đẳng thức Schur bậc dạng phân thức 2( ab  bc  ca )  ( a2  b2  c2 )  9abc Điều dẫn đến abc 9abc abc( a  b  c )3  a  b  c ( ab  bc  ca )2 Suy abc  9( ab  bc  ca )2  ( a  b  c )4 (mâu thuẫn ta ln có ( a  b  c )2  3( ab  bc  ca ) theo AM-GM Bởi vậy, ta có a  b  c  ( ab  bc  ca ) với a, b, c>0 thoả mãn giả thiết Nguyễn Văn Dung – Trường THPT Trần Phú Sử dụng bất đẳng thức AM-GM Schur để giải số toán bất đẳng thức Điều chứng tỏ a  b  c  ab  bc  ca (Đpcm) VÍ DỤ Đề thi VMO 2015 Cho số thực a, b, c  Chứng minh 3(a  b2  c2 )  (a  b  c)( ab  bc  ca )  (a  b)2  (b  c)2  (c  a)2  (a  b  c)2 Lời giải: Ta đặt x  a , y= b , z= c nhân tung hết Khi bất đẳng thức cần chứng minh viết lại dạng: x  xyz  x   xy( x  y )  4 x y (1) Đến ta sử dụng bất đẳng thức Schur bậc 4: x2 ( x  y )( x  z )  y ( y  z )( y  x )  z 2( z  x )( z  y )  Dạng khai triển là: x  xyz  x   xy( x  y ) (2) Ta dùng (2) để đánh giá (1) Ta thấy (2) có dấu x  y  z x  y, z  (cùng hoán vị) tương ứng với trường hợp đẳng thức (1) Sau đánh giá, ta cần xét bất đẳng thức: 2 xy( x2  y )  4 x y  xy( x  y )  2 x y Và hệ trực tiếp bất đẳng thức AM-GM:  xy( x  y )  ( xy.2xy ) 2 x y VÍ DỤ Đề thi APMO 2004 Cho số thực dương a, b, c Chứng minh rằng: ( a  )( b2  )( c  )  9( ab  bc  ca ) Lời giải: Lời giải 1: Khai triển bất đẳng thức trên, ta cần chứng minh: a 2b2c2  2( a 2b2  b2c  c 2a )  4( a  b2  c )   9( ab  bc  ca ) Ta có: i) a2  b2  c2  ab  bc  ca ii) ( a 2b2  1)  ( b2c  1)  ( c 2a  1)  2( ab  bc  ca ) 9abc  4( ab  bc  ca )  ( a  b  c )2 iii) a 2b2c    3 a 2b2c  abc Nguyễn Văn Dung – Trường THPT Trần Phú Sử dụng bất đẳng thức AM-GM Schur để giải số toán bất đẳng thức (theo BDT Schur) Áp dụng BDT trên, ta có: ( a 2b 2c  )  2( a 2b  b 2c  c a  )  4( a  b  c )  2( ab  bc  ca )  4( ab  bc  ca )  3( a  b  c )  9( ab  bc  ca ) (Đpcm) Lời giải 2: Sử dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có: ( a  )( b  )( c  )  9( ab  bc  ca )  4( a  b  c )  2(( a 2b  )  ( b 2c  )  ( c a  ))  ( a 2b 2c  )   9( ab  bc  ca )  4( a  b2  c )  4( ab  bc  ca )  2abc   9( ab  bc  ca )  a  b2  c  2abc   2( ab  bc  ca ) Bất đẳng thức cuối quen thuộc, ta có đpcm VÍ DỤ VMO 2002- Trần Nam Dũng Chứng minh với a, b, c  , ta có: 2( a2  b2  c2 )  abc   5( a  b  c ) Lời giải: Sử dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có: 12( a  b2  c )  6abc  48  30( a  b  c )  12( a  b2  c )  3( 2abc  1)  45  5.2.3( a  b  c )  12( a  b  c )  a 2b 2c  45  5(( a  b  c )2  ) 27  7( a  b  c )   10( ab  bc  ca ) abc Mặt khác sử dụng bất đẳng thức Schur, ta có:  4( ab  bc  ca )  ( a  b  c )2  2( ab  bc  ca )  ( a  b  c ) abc Do 27  10( ab  bc  ca ) abc  7( a  b  c )  6( ab  bc  ca )  3( a  b  c )  10( ab  bc  ca )  7( a  b  c )  4( a  b  c  ab  bc  ca )  Bất đẳng thức chứng minh Nguyễn Văn Dung – Trường THPT Trần Phú Sử dụng bất đẳng thức AM-GM Schur để giải số toán bất đẳng thức 10 VÍ DỤ 10 Moldova TST 2005: Chứng minh a, b, c số thực dương a4  b4  c4  thì: 1   1  ab  bc  ca Lời giải: Quy đồng mẫu số khai triển, ta cần chứng minh: 49  8( ab  bc  ca )  ( a  b  c )abc  64  16( ab  bc  ca )  4( a  b  c )abc  a 2b c  16  3( a  b  c )abc  a 2b2c  8( ab  bc  ca ) Áp dụng bất đẳng thức Schur giả thiết a4  b4  c4  , ta có: ( a3  b3  c3  3abc )( a  b  c )  ( ab( a  b )  bc( b  c )  ca( c  a ))( a  b  c )   3abc )( a  b  c )  ( ab  bc )2  ( bc  ca )2  ( ca  ab )2 Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có: ( ab  bc )2  ( bc  ca )2  ( ca  ab )2  12  8( ab  bc  ca )  15  3abc( a  b  c )  8( ab  bc  ca ) Mặt khác ta lại có:  a 2b2c Vậy ta có đpcm 11 VÍ DỤ 11 Vasile Cirtoaje: Cho a, b, c số thực không âm thỏa mãn ab  bc  ca  Chứng minh rằng: a3  b3  c3  7abc  10 Lời giải: Áp dụng BDT Schur, ta có: a3  b3  c3  3abc  ab( a  b )  bc( b  c )  ca( c  a )  a3  b3  c3  6abc  ( ab  bc  ca )( a  b  c )  pq  p p( 4q  p ) p( 12  p )  r  9 Ta cần chứng minh: p( 12  p ) 3p   10 ( p  ) ( 16  p )  3(  p )    0 Bất đẳng thức cuối hiển nhiên nên ta có đpcm Đẳng thức xảy a  b  c  Nguyễn Văn Dung – Trường THPT Trần Phú 10 Sử dụng bất đẳng thức AM-GM Schur để giải số toán bất đẳng thức IV SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC TRÊN ĐỂ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC:  x  y  1 VÍ DỤ 12 Cho bốn số thực x, y, z, t thỏa mãn điều kiện  2  z  t  Tìm giá trị lớn biểu thức: P  Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức:  a  b   a  b P  x  z 2  x  z   y  t 2  x  z   y  t 2 a  b   a  b  đẳng thức   a  b2  , ta có:   y  t  x  z   y t 2 2   x  z    y  t    x  z    y  t        x  z    y  t    2.2  x  y  z  t  (vì x  y  z  t  )  2.2.2  2 Dấu “=” xảy  x  y  z  t   2 2 VÍ DỤ 13 Tìm giá trị nhỏ biểu thức Vậy Max P  2  x  y  z  t   a b c   với a, b, c  a  b  c   b2  c  a Lời giải: a a  ab2  ab2 ab2 ab2 ab  a a a Ta có: 2 1 b 1 b 1 b 2b b bc c ca b , c Tương tự 2 1 c 1 a Cộng vế với vế ba bất đẳng thức ta có: a  b  c a b c ab  bc  ca 3         b2  c  a 2 2 Dấu “=” xảy  a  b  c  b c   a     a  b  c 1 Vậy Min  2  1 b 1 c 1 a  Nguyễn Văn Dung – Trường THPT Trần Phú 11 Sử dụng bất đẳng thức AM-GM Schur để giải số tốn bất đẳng thức VÍ DỤ 14 Cho a, b, c số thực dương có tích Tìm giá trị nhỏ a  b2  c b2  c  a c  a  b2 biểu thức: H    c a b Lời giải: Ta có:  a b2 b2 c   b2 c c a   c a a b2  2H                     a  b  c  c a a a a b b  b b c c   c a b2 b2 c b2 c c a c2 a a b2 4 4    4    4     2a  b  c c c a a a a b b b b c c   a  b  c   2.3 abc  Do H  Dấu “=” xảy  a  b  c  Vậy Min H   a  b  c  C KẾT LUẬN: Qua nghiên cứu thấy sử dụng bất đẳng thức AM-GM bất đẳng thức Schur phương pháp mạnh hiệu cho việc chứng minh bất đẳng thức Phương pháp phương pháp quen thuộc với em học sinh gặp nhiều toán bất đẳng thức nên giáo viên cần dạy kỹ cho em nắm ứng dụng cách vận dụng hiệu giải toán bất đẳng thức Bài viết khoảng thời gian ngắn, xem xét kỹ khó tránh khỏi thiếu sót Rất mong ý kiến đóng góp q thầy cho viết thêm phong phú hữu ích Nguyễn Văn Dung – Trường THPT Trần Phú 12 Sử dụng bất đẳng thức AM-GM Schur để giải số toán bất đẳng thức D TÀI LIỆU THAM KHẢO: Võ Quốc Bá Cần – Bất đẳng thức tuyển chọn; bất đẳng thức từ thi giải toán Phạm Kim Hùng – Sáng tạo Bất đẳng thức Trần Nam Dũng (chủ biên), Nguyễn Tất Thu, lời giải bình luận đề thi VMO 2015 Internet Nguyễn Văn Dung – Trường THPT Trần Phú 13 ... 12 Sử dụng bất đẳng thức AM-GM Schur để giải số toán bất đẳng thức D TÀI LIỆU THAM KHẢO: Võ Quốc Bá Cần – Bất đẳng thức tuyển chọn; bất đẳng thức từ thi giải toán Phạm Kim Hùng – Sáng tạo Bất đẳng. .. 0 Bất đẳng thức cuối hiển nhiên nên ta có đpcm Đẳng thức xảy a  b  c  Nguyễn Văn Dung – Trường THPT Trần Phú 10 Sử dụng bất đẳng thức AM-GM Schur để giải số toán bất đẳng thức IV SỬ DỤNG BẤT... III SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC AM-GM VÀ SCHUR ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC: VÍ DỤ Chứng minh bất đẳng thức sau với số dương a, b, c 1 1 1 (*)      a b c ab bc ca Lời giải: Áp dụng hệ bất đẳng thức