Chuyên đề sử dụng định lí mê nê la us để giải một số bài toán tính tỉ số và diện tích tam giác

GV: §µo v¨n TiÕn LỜI MỞ ĐẦU Trong quá trình giải các bài toán hình học như bài toán về diện tích hay bài toán về tỷ số giữa các đoạn thẳng hay tỷ số giữa diện tích các hình đôi khi ta gặp các bài toán rất phức tạp mà nếu giải bằng phương pháp thông thường thì ta gần như bế tắc song nếu giải bằng cách sử dụng định lý Mênêlaus thì bài toán đó trở nên đơn giản vô cùng. Vậy định lý Mênêlaus là gì? Cách sử dụng nó ra sao? Đó là vấn đề mà hôm nay tôi muốn đưa ra để trao đổi với các bạn. PHẦN 1: ĐỊNH LÝ MÊNÊLAUS Trên các đường thẳng BC, CA, AB của ΔABC lấy tương ứng các điểm A 1 , B 1 , và C 1 (Không trùng với đỉnh nào của tam giác). Chứng minh rằng: Điều kiện cần và đủ để 3 điểm A 1 , B 1 ,C 1 thẳng hàng là: A 1 B B 1 C C 1 A A 1 C B 1 A C 1 B . . = 1 C B A 1 C 1 B 1 A CHỨNG MINH ĐIỀU KIỆN CẦN K H I A 1 C 1 B 1 Qua các đỉnh A, B, C của ΔABC kẻ các đường vuông góc AH, BI, và CK với đường thẳng A 1 B 1 C 1 . Rõ ràng ta có AH // BI // CK. Khi đó ta có: gt kl ΔABC. A 1 ∈BC; B 1 ∈AC; C 1 ∈AB A 1 B B 1 C C 1 A A 1 C B 1 A C 1 B . . = 1 A 1 , B 1 ,C 1 thẳng hàng thì Chứng minh A 1 B B 1 C C 1 A A 1 C B 1 A C 1 B . . = BI CK AH CK AH BI . . = 1 C A B CHỨNG MINH ĐIỀU KIỆN ĐỦ A 1 B B 1 C C 1 A A 1 C B 1 A C 1 B . . = 1 K H I C B A 1 C 1 B” 1 A gt kl Trong 3 điểm A 1 , B 1 , C 1 có ít nhất 1điểm nằm ngoài ΔABC Chứng minh A 1 , B 1 ,C 1 thẳng hàng Giả sử A 1 C 1 cắt AC tại B’ 1 . Thế thì theo định lý Mênêlaus ta có: A 1 B B’ 1 C C 1 A A 1 C B’ 1 A C 1 B . . = 1.Mà A 1 B B 1 C C 1 A A 1 C B 1 A C 1 B . . = 1. Do đó: B’ 1 C B’ 1 A = B 1 C B 1 A Thế mà trên đoạn thẳng AC chỉ có duy nhất 1 điểm chia trong nó theo một tỷ số cho trước nên B’ 1 ≡ B 1 . Hay A 1 , B 1 ,C 1 thẳng hàng PHẦN 2: MỘT SỐ BÀI TOÁN ÁP DỤNG Bài 1: Trong ΔABC đường phân giác AD chia cạnh BC theo tỷ số 1: 2. Hỏi đường trung tuyến CE chia đường phân giác đó theo tỷ số nào? A B C D E K Giải: Gọi {K} = AD∩CE theo đầu bài ta có: Áp dụng định lý Mênêlaus vào ΔADB với cát tuyến CKE ta có: . CD BD = 2 1 Ta cần tính AK KD = ? CD EB KA BD EA KD . . = 1 (1) Vì DC DB = 2 1 = ⇒ DC DC + DB = 2 2 + 1 2 3 hay CD CB = 2 3 (vì EA = EB) 2 3 = 1 . . 1 KA KD Vậy trung tuyến CE chia phân giác AD theo tỷ số 3 2 AK KD 3 2 ⇒ =Thay vào (1) ta có: Bài 2: Trên trung tuyến AD của tam giác ABC lấy điểm K sao cho AK=3.KD. Gọi {P} = BK∩AC. Tính tỷ số diện tích của ΔABP và ΔBCP. Giải: Vì ΔABP và ΔCBP có chung đường cao nên: Áp dụng định lý Mênêlaus vào ΔADC với cát tuyến BKP ta có: AK BD PC KD BC PA . . = 1 3 1 = 1 . . PC PA ⇒ 1 2 = PC PA ⇒ 2 3 S ABP S CBP = 3 2 ⇒ PHẦN 2: MỘT SỐ BÀI TOÁN ÁP DỤNG A B CD P K = PA PC ⇒ 3 2 S ABP S CBP = AP CP (2 tam giác chung đường cao) PHẦN 2: MỘT SỐ BÀI TOÁN ÁP DỤNG Giải: B A C I K Q Vì ΔABC và ΔQBC có chung cạnh đáy BC do đó S ABC S QBC = AH QG Áp dụng định lý Mênêlaus vào ΔAIB với cát tuyến CQK ta có: AQ CI KB QI CB KA . . = 1 ⇔ AQ 2 2 QI 3 1 . . = 1 = AQ QI 3 4 Vì ⇒ = AQ + QI QI 3 + 4 4 ⇒ = AI QI 7 4 ⇒ S ABC S QBC = 7 4 . Vậy S ABC = 7 4 (đvdt) Bài 3: Cho ΔABC. Trên AB lấy K sao cho , trên BC lấy điểm I sao cho . Gọi {Q} = AI∩CK. Tính S ABC biết S ΔQBC = 1 (đvdt) = AK KB 1 2 = CI IB 2 1 AI QI = 7 4 = ⇒ S ABC = 7 4 S QBC 7 4 = . 1 H G PHẦN 2: MỘT SỐ BÀI TOÁN ÁP DỤNG Bài 4: CMR: Trong tam giác cân: trung điểm cạnh đáy, giao điểm của đường phân giác một góc kề với cạnh đáy và cạnh đối diện, giao điểm của đường phân giác ngoài của góc còn lại kề cạnh đáy với đường thẳng chứa cạnh đối diện là 3 điểm thẳng hàng. A B C B’ C’ A’ [...]... Do đó theo định lý đảo của định lý Mênêlaus thì C’, A’, B’ thẳng hàng PHẦN 2: MỘT SỐ BÀI TOÁN ÁP DỤNG Bài 5: Cho ΔABC Trên cạnh AB lấy C’ sao cho AC’ = C’B; Trên cạnh BA’ 1 CB’ 1 = = BC lấy A’ sao cho , trên cạnh AC lấy B’ sao cho A’C 2 B’A 3 AA’, BB’, CC’ cắt nhau tại M, N, P Biết diện tích ΔABC là S Tính diện tích ΔMNP theo S A C’ P M B A’ N B’ C PHẦN 2: MỘT SỐ BÀI TOÁN ÁP DỤNG A Giải: Bài 5: Ta... b, Biết diện tích ΔABC bằng S Tính diện tích ΔA1B1C1? BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài 4: AM BN CP 1 = Trên các cạnh của ΔABC lấy các điểm MNP sao cho MB NC PA 4 Tính tỷ số diện tích giữa tam giác giới hạn bởi các đường thẳng AN, BP và CM với diện tích ΔABC Bài 5: Cho tứ giác ABCD Hai đường thẳng song song với các đường chéo AC cắt BA, BC tại G và H, cắt DA và DC tại E và F CMR: GE, BH, HF đồng quy Bài 6: Cho...PHẦN 2: MỘT SỐ BÀI TOÁN ÁP DỤNG Bài 4: A Giải: Gọi A’ là trung điểm cạnh BC, BB’ là phân giác ABC, B’ CC’ là phân giác ngoài đỉnh C của ΔABC cân tại A B Ta phải chứng minh: C’, A’, B’ thẳng hàng + Vì CC’ là phân giác ngoài đỉnh C nên theo tính chất CB C’B đường phân giác ta có: = CA AB’ AB C’A + BB’ là phân giác của ABC nên = BC A’B B’C Do A’ là trung điểm của BC nên =1 C A’ C’ A’C CB... AA’ và SAA’B = 1 3 S SABC = C’ 3 P M B N B’ C A’ Áp dụng định lý Mênêlaus vào ΔAA’C với cát tuyến BMB’ ta có: AM BA’ B’C AM 1 1 AM AM 9 =1 ⇒ =1 ⇒ =9 ⇒ = MA’ BC B’A MA’ 3 3 MA’ AA’ 10 SAMB 9 9 9 S 3S Do đó: = hay SAMB = SAA’B = = (2) 10 10 10 3 SAA’B Lập luận tương tự ta có: ΔBB’A với cát tuyến CNC’ ta có 10 BN NB’ CB’ CA C’A C’B =1 ⇒ BN NB’ 1 4 1=1 ⇒ BN NB’ =4 PHẦN 2: MỘT SỐ BÀI TOÁN ÁP DỤNG Bài. .. giữa D và C 23 Gọi {M} = BF∩DE Biết SABMD = SABC Tính MF theo a 72 BE 1 BF 4 = = Bài 2: Cho ΔABC Lấy E, F trên cạnh BC, , EC 3 FC 1 AD 3 = Trên A, B lấy D sao cho Hỏi AE chia DF theo tỷ số nào? DB 2 Bài 3: Cho tam giác đều ABC trên AB, BC, và AC lấy thứ tự các điểm M, N, 1 1 1 AM = BM; BN = CN; CP = AP P sao cho 2 2 2 AM∩CM = {A1}; CM∩BP = {C1}; AN∩BP = {B1} a, Chứng minh: ΔA1B1C1 là tam giác đều?... = SBB’C = = 5 5 4 5 Áp dụng Mênêlaus vào ΔCC’B với = A 4 5 (3) C’ P N M B B’ cát tuyến APA’ ta có: A’ CP AC’ A’B CP 1 CP CP 4 1 = 1⇒ =1 ⇒ =4 ⇒ = PC’ AB A’C PC’ 2 PC’ CC’ 5 2 SCPA 4 4 4 S 2S ⇒ = ⇒ SCPA = SCC’A = = (4) 5 5 5 2 5 SCC’A Thay (2), (3), (4) vào (1) ta được: SMNP = S – ( Vậy SMNP = S 10 3S 10 + S 5 + 2S 5 )=S- 9S 10 = S 10 C BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài 1: Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a... song với các đường chéo AC cắt BA, BC tại G và H, cắt DA và DC tại E và F CMR: GE, BH, HF đồng quy Bài 6: Cho ΔABC Gọi E là trung điểm của AC Lấy D ∈ BC sao cho 1 1 BD = BC Lấy G ∈ AE sao cho AG = AE Tính SMNEG theo SABC 2 2