Chuyên đề sử dụng định lí mê nê la us để giải một số bài toán tính tỉ số và diện tích tam giác

PHẦN 1: ĐỊNH LÝ MÊNÊLAUSTrên các đường thẳng BC, CA, AB của ΔABC lấy tương ứng các điểm ABC lấy tương ứng các điểm A1, B1, và C1 Không trùng với đỉnh nào của tam giác... PHẦN 2: MỘT SỐ B

GV: §µo v¨n TiÕn

LỜI MỞ ĐẦU

Trong quá trình giải các bài toán hình học như bài toán về diện tích hay bài toán về tỷ số giữa các đoạn thẳng hay tỷ số giữa diện tích các hình đôi khi ta gặp các bài toán rất phức tạp mà nếu giải bằng phương pháp thông thường thì ta gần như bế tắc song nếu giải bằng cách sử dụng định lý Mênêlaus thì bài toán đó trở nên đơn giản vô cùng.

Vậy định lý Mênêlaus là gì? Cách sử dụng nó ra sao? Đó

là vấn đề mà hôm nay tôi muốn đưa ra để trao đổi với các bạn.

PHẦN 1: ĐỊNH LÝ MÊNÊLAUS

Trên các đường thẳng BC, CA, AB của ΔABC lấy tương ứng các điểm ABC lấy tương ứng các điểm

A1, B1, và C1 (Không trùng với đỉnh nào của tam giác)

Chứng minh rằng: Điều kiện cần và đủ để 3 điểm A1, B1 ,C1 thẳng

hàng là:

A1B B1C C1A

A1C B1A C1B

C B

A1

C1

B1 A

CHỨNG MINH ĐIỀU KIỆN CẦN

K

H I

A1

C1

B1

Qua các đỉnh A, B, C của ΔABC lấy tương ứng các điểm ABC kẻ các đường vuông góc AH, BI, và CK với đường thẳng A1B1C1

Rõ ràng ta có AH // BI // CK

Khi đó ta có:

gt

kl

ΔABC lấy tương ứng các điểm ABC

A1BC; B1AC; C1AB

A1B B1C C1A

A1C B1A C1B

A1, B1 ,C1 thẳng hàng thì

Chứng minh

A1B B1C C1A

A1C B1A C1B

= BI CK AH

CK AH BI

C A

B

CHỨNG MINH ĐIỀU KIỆN ĐỦ

A1B B1C C1A

A1C B1A C1B

H I

C B

A1

C1

B”1

A

gt

kl

Trong 3 điểm A1, B1, C1 có ít

nhất 1điểm nằm ngoài ΔABC lấy tương ứng các điểm ABC

Chứng minh

A1, B1 ,C1 thẳng hàng

Giả sử A1C1 cắt AC tại B’1

Thế thì theo định lý Mênêlaus ta có:

A1B B’1C C1A

A1C B’1A C1B

= 1.Mà A1B B1C C1A

A1C B1A C1B

= 1 Do đó: B’1C

B’1A =

B1C

B1A Thế mà trên đoạn thẳng AC chỉ có duy nhất 1 điểm chia trong nó theo một tỷ số cho trước nên B’1 ≡ B1

Hay A1, B1 ,C1 thẳng hàng

PHẦN 2: MỘT SỐ BÀI TOÁN ÁP DỤNG

Bài 1: Trong ΔABC lấy tương ứng các điểm ABC đường phân giác AD chia cạnh BC theo tỷ số 1: 2

Hỏi đường trung tuyến CE chia đường phân giác đó theo tỷ số nào?

A

B

C D

E

K

Giải:

Gọi {K} = AD∩CE theo đầu bài ta có:

Áp dụng định lý Mênêlaus vào ΔABC lấy tương ứng các điểm ADB

với cát tuyến CKE ta có: .

CD

BD =

2 1

Ta cần tính AK

KD = ?

CD EB KA

BD EA KD = 1 (1)

Vì DC

DB =

2

DC

DC + DB =

2

2 + 1

2

3 hay

CD

CB =

2 3 (vì EA = EB)

2 3

= 1

.1 KA

KD Vậy trung tuyến CE chia phân giác AD theo tỷ số 3

2

AK KD

3 2

Thay vào (1) ta có:

Bài 2: Trên trung tuyến AD của tam giác ABC lấy điểm K sao cho

AK=3.KD Gọi {P} = BK∩AC Tính tỷ số diện tích của ΔABC lấy tương ứng các điểm ABP và ΔABC lấy tương ứng các điểm BCP

Giải:

Vì ΔABC lấy tương ứng các điểm ABP và ΔABC lấy tương ứng các điểm CBP có chung đường cao nên:

Áp dụng định lý Mênêlaus vào ΔABC lấy tương ứng các điểm ADC với cát tuyến BKP ta có:

AK BD PC

KD BC PA

1

= 1

PC

PA



1 2

=

PC PA



2 3

SABP

SCBP =

3 2



PHẦN 2: MỘT SỐ BÀI TOÁN ÁP DỤNG

A

B

C D

P K

=

PA

PC



3 2

SABP

SCBP =

AP

CP (2 tam giác chung đường cao)

PHẦN 2: MỘT SỐ BÀI TOÁN ÁP DỤNG

Giải:

B

A

C I

K

Q

Vì ΔABC lấy tương ứng các điểm ABC và ΔABC lấy tương ứng các điểm QBC có chung cạnh đáy BC do đó

SABC

SQBC =

AH QG

Áp dụng định lý Mênêlaus vào ΔABC lấy tương ứng các điểm AIB với cát tuyến CQK ta có:

AQ CI KB

QI CB KA

= 1  AQ 2 2

QI 3 1 = 1

=

AQ

QI

3 4

Vì  AQ + QI =

QI

3 + 4

AI QI

7 4

 SABC

SQBC =

7

7

4 (đvdt)

Bài 3: Cho ΔABC lấy tương ứng các điểm ABC Trên AB lấy K sao cho , trên BC lấy điểm I

sao cho Gọi {Q} = AI∩CK Tính SABC biết SΔABC lấy tương ứng các điểm QBC = 1 (đvdt)

=

AK KB

1 2

=

CI IB

2 1

AI QI

=

7 4

=

 SABC = 7

4 SQBC

7 4

= 1

H G

PHẦN 2: MỘT SỐ BÀI TOÁN ÁP DỤNG

Bài 4: CMR: Trong tam giác cân: trung điểm cạnh đáy, giao điểm của

đường phân giác một góc kề với cạnh đáy và cạnh đối diện, giao điểm của đường phân giác ngoài của góc còn lại kề cạnh đáy với đường thẳng chứa cạnh đối diện là 3 điểm thẳng hàng A

B’

C’

A’

PHẦN 2: MỘT SỐ BÀI TOÁN ÁP DỤNG

Gọi A’ là trung điểm cạnh BC, BB’ là phân giác ABC,

CC’ là phân giác ngoài đỉnh C của ΔABC lấy tương ứng các điểm ABC cân tại A

Ta phải chứng minh: C’, A’, B’ thẳng hàng

+ Vì CC’ là phân giác ngoài đỉnh C nên theo tính chất

đường phân giác ta có: C’B =

C’A

CB CA

+ BB’ là phân giác của ABC nên AB’ =

B’C

AB BC

Do A’ là trung điểm của BC nên A’B = 1

A’C

Từ đó ta có: C’B AB’ A’C

C’A B’C A’B

= CB AB A’C

CA BC A’B = 1 (Vì AB = CA)

Do đó theo định lý đảo của định lý Mênêlaus thì C’, A’, B’ thẳng hàng

A

B’

C’

A’

PHẦN 2: MỘT SỐ BÀI TOÁN ÁP DỤNG

Bài 5: Cho ΔABC lấy tương ứng các điểm ABC Trên cạnh AB lấy C’ sao cho AC’ = C’B; Trên cạnh

BC lấy A’ sao cho , trên cạnh AC lấy B’ sao cho AA’, BB’, CC’ cắt nhau tại M, N, P Biết diện tích ΔABC lấy tương ứng các điểm ABC là S Tính diện tích

ΔABC lấy tương ứng các điểm MNP theo S

=

BA’

A’C

1

CB’

B’A

1 3

A

B’

C’

A’

N M

P

PHẦN 2: MỘT SỐ BÀI TOÁN ÁP DỤNG

Ta có SMNP = SABC – (SAMB + SBNC + SCPA) (1)

Áp dụng định lý Mênêlaus vào ΔABC lấy tương ứng các điểm AA’C với cát tuyến BMB’ ta có:

Mà SAMB và

SAA’B =

AM AA’ SAA’B =

1 3

S 3

SABC =

AM BA’ B’C

MA’ BC B’A

= 1  AM 1 1

MA’ 3 3

= 1  AM

MA’ = 9  AM

AA’ =

9 10

Do đó: SAMB

SAA’B =

9

10 hay SAMB =

9 10

S 3

SAA’B = 9

10

= 3S

10

(2)

Lập luận tương tự ta có: ΔABC lấy tương ứng các điểm BB’A với cát tuyến CNC’ ta có

BN CB’ C’A NB’ CA C’B

= 1  BN 1

NB’ 4

1 = 1  BN

NB’ = 4

A

B’

C’

A’

N M

P

PHẦN 2: MỘT SỐ BÀI TOÁN ÁP DỤNG

BB’ =

4

5 

SBNC

SBB’C =

4 5

 SBNC = 4

5 SBB’C =

4 5

S 4

S 5

Áp dụng Mênêlaus vào ΔABC lấy tương ứng các điểm CC’B với

cát tuyến APA’ ta có:

CP AC’ A’B

PC’ AB A’C

PC’ = 4

CP 1 PC’ 2

CP CC’ =

4

5

 SCPA = 4

5 SCC’A =

4 5

S 2

2S 5

 SCPA

SCC’A =

4 5

Thay (2), (3), (4) vào (1) ta được:

SMNP = S – ( ) = S - 3S

10

S

5

2S

5

10 =

S 10 Vậy SMNP = S

10

A

B’

C’

A’

N M

P

BÀI TẬP LUYỆN TẬP

Bài 1: Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a Trên BC lấy E sao cho

BE=EC, trên AC lấy D sao cho AD = Lấy điểm F nằm giữa D và C

Gọi {M} = BF∩DE Biết SABMD = S23 ABC Tính MF theo a

72

a 8

Bài 2: Cho ΔABC lấy tương ứng các điểm ABC Lấy E, F trên cạnh BC, ,

Trên A, B lấy D sao cho Hỏi AE chia DF theo tỷ số nào?

BF FC

4 1

=

BE EC

1 3

= AD

DB

3 2

=

Bài 3: Cho tam giác đều ABC trên AB, BC, và AC lấy thứ tự các điểm M, N,

P sao cho 1

2 BM;

2 CN;

2 AP

CP = AM∩CM = {A1}; CM∩BP = {C1}; AN∩BP = {B1}

a, Chứng minh: ΔABC lấy tương ứng các điểm A1B1C1 là tam giác đều?

b, Biết diện tích ΔABC lấy tương ứng các điểm ABC bằng S Tính diện tích ΔABC lấy tương ứng các điểm A1B1C1?

BÀI TẬP LUYỆN TẬP

AM BN CP 1

MB NC PA 4

Bài 4:

Trên các cạnh của ΔABC lấy tương ứng các điểm ABC lấy các điểm MNP sao cho

Tính tỷ số diện tích giữa tam giác giới hạn bởi các đường thẳng AN, BP và

CM với diện tích ΔABC lấy tương ứng các điểm ABC

Bài 5: Cho tứ giác ABCD Hai đường thẳng song song với các đường chéo

AC cắt BA, BC tại G và H, cắt DA và DC tại E và F

CMR: GE, BH, HF đồng quy

Bài 6: Cho ΔABC lấy tương ứng các điểm ABC Gọi E là trung điểm của AC Lấy D  BC sao cho

1

2 BC.

BD = Lấy G  AE sao cho Tính S1 MNEG theo SABC

2 AE.

AG =