SKKN 2010 sử DỤNG HÌNH học để GIẢI một vài bài TOÁN đại số

Chun đề Đại số hình học Đào chí Thanh CVP SỬ DỤNG HÌNH HỌC ĐỂ GIẢI MỘT VÀI BÀI TỐN ĐẠI SỐ Để giải tốn thơng thường ta hay gắn tốn vào dạng tập đó, sau sử dụng kiến thức biết dạng tốn đó.Nếu tốn phân mơn đại số ta thường nghĩ đến phương pháp đai số để giải Từ đó, ta giải tốn Song để ý kỹ số tốn đại số giải phương pháp hình học cách giải sáng Để làm rõ thêm vấn đề này, tơi có vài ví dụ sau 1.Hệ phương trình Ví dụ : Tìm ba số dương x; y ; z thoã mãn: �x2  xy  y2  �2 �y  zy  z  �z2  xz  x2  36 � Nhìn vào biểu thức vế trái ta thấy giống công thức A cô sin tam giác.Trong tam giác ABC Xét điểm O △ ABC cho : x = OA > y = OB >0; z = OC > góc OA,OB = 1200 ( OC,OB) = 1200 (OA,OC) = x 1200 hình vẽ ( O điêm Tolicelli) Theo ĐL cosin Ta có : AC2 = x2 + z2 + xz = 36 hay AC = AB2 = x2 + y2 + xy = hay AB = BC2 = y2 + z2 + yz = hay BC = Nhưng AC > AB + BC nên không tồn x,y, z dương thoả O z mãn ĐK tốn y Ví dụ : Giải hệ phương trình sau : C 3xy  10y  � B � � 2 2 � (x  2)  (y  4)  (x  5)  (y  8)  Xét điểm A( 2;4) ;B(5;8) , M(x;y) MA = (x  2)2  (y  4)2 MB  (x  5)2  (y  8)2 Rõ ràng với ba điểm A,B,M tuỳ ý ta có MA + MB �AB = x y  � 4x  3y   Dầu x  y 4x  3y   � Vậy ta có hệ : � giải hệ ta có : nghiệm hệ x = 3,5; y = 3xy  10y  � Ví dụ : (AN NINH -1999) Giải hệ phương trình  x  x  y   x  y  x  y   y 18   x  x  y   x  y  x  y   y 2 8  x  y Giải: Ta có hệ tương dương với   x   y  10 r r r r xét véc tơ a = (x;3) ; b = (y;3) ;khi a + b = (x + y; 6) r r r r mà ∣ a ∣ + ∣ b ∣ �∣ a + b ∣ � x   y  10 dấu xảy x = y = Chun đề Đại số hình học Đào chí Thanh CVP Vậy hệ có nghiệm (4;4) Ví dụ : (Olimpic 30 – - 2000) Cho x, y ,z dương thoả mãn � 3x2  3xy  y2  75 �2 y  3z2  63 Tìm giá trị : S = xy +2yz + 3zx � � z2  xz  x2  48 � Xét △ OAB ;△ OBC; OCA có OA = z ; OB = y ; OC = x ; góc AOB = 900; BOC = 1500; COA = 1200 △ ABC có AB ; BC  ; AC  Lại có S△ OAB + S△ OAC +S△ OCB = S△ CAB Nên S = xy +2yz +3zx = 60 Ví dụ : (Olimpic Liên xô 1984) Cho x, y ,z dương thoả mãn �2 y2 x  xy   25 � �2 �y Tìm giá trị : S = xy +2yz + 3zx �  z  16 �3 � z2  xz  x2  � � Làm VD ta có S = 24 Ví dụ : Tìm a để hệ sau có số nghiệm nhiều  x   y  1   x  y a Giải : Ta thấy a < hay a = hệ vơ nghiệm Khi a > Thì phương trình đầu hệ biểu diễn hình vng ABCD phương trình sau đường tròn tâm O bán kính a Qua đồ thị ta thấy hệ có nhiều nghiệm D E A C B -5 -2 a   x  y  x 0 Ví dụ 7: Cho hệ phương trình :   x  ay  a 0 OH < R < OD hay Gọi (x1;y1);(x2;y2) nghiệm hệ phương trình Chứng minh � (x2 – x1 )2 + (y2 – y1 )2 Giải Ta thấy hệ phương trình có dạng  phương trình đấu đường tròn tâm I(1/2 ; 0); R = ½  phương trình sau đường thẳng ln qua điểm A(0;1) -5 -2 -4 Chuyên đề Đại số hình học Đào chí Thanh CVP  Để hệ có nghiệm phân biệt khoảng cách từ tâm đến đường thẳng nhỏ R hay 0 xét △ ACD; CDB có CD = x ; CA = 3;CB = góc � ACD = 450; � BCD = 450 hình vẽ theo ĐL cơsin ta có AD = x  3x  ; BD = x  4x  16 A Trong △ ABD AD + DB �AB Hay x  3x   x  4x  16 �5 Dấu D đoạn AB Ví dụ 11 : Chứng minh : với x Ta có D E D x C 4x  x(1  5)    4x  2x(1  5)  �1  ta thấy sin180 = 1 (Dễ dàng c/m) B Chuyên đề Đại số hình học Đào chí Thanh Ta nghĩ đến tam giác có cạnh liên quan đến giá trị CVP 1 = cos 360 Xét △ ABC có BC =1; AB =AC = y, � BAC = � BCA = 720 y2 = y2 + – 2y 1 y = 1 Đặt CD = x ; theo ĐL cosin tam giác BCD; ACD ta có BD = � 1 � 1 � 1 � 2  x  2x � � � � � � � �   4x  x(1  5) � � � � � 1 � 2 AD =  x  2x � � � �  4x  2x(1  5) � � Dễ thấy BD + AD �AB 1 1   4x  x(1  5) +  4x  2x(1  5) � Hay 2 B D y y Bài Tập1 Tìm ĐK ba số dương a,b,c để hệ phương trình �x2  xy  y2  a2 �2 2 �y  zy  z  b có nghiệm dương �z2  xz  x2  c2 � C Khi xác định nghiệm phương trình Bài 2: Cho x, y ,z dương thoả mãn : � x2  y2  16 �2 y  z  48 Tính tổng S = xy + yz � � y2  xz � Bài tập 3: Chứng minh x  5x  25  x  12x  144 �13 x  8x  64  x  15x  225 �17 (1) (2) a  ax  x  x  xb  b � a  b (3) (    450 ) x  3x   x  4x  16 �5 (  300 ;   600 ) x  2ax cos   a  x  bx cos   b � a  b Bài tập :Tìm gía trị nhỏ S = Với ĐK : x – y – = (Đ/s : (    900 ) x  y  (x  4)2  (y  3) 37 ) A ... (y2 – y1 )2 Giải Ta thấy hệ phương trình có dạng  phương trình đấu đường tròn tâm I(1/2 ; 0); R = ½  phương trình sau đường thẳng ln qua điểm A(0;1) -5 -2 -4 Chuyên đề Đại số hình học Đào chí... ta có S = 24 Ví dụ : Tìm a để hệ sau có số nghiệm nhiều  x   y  1   x  y a Giải : Ta thấy a < hay a = hệ vơ nghiệm Khi a > Thì phương trình đầu hệ biểu diễn hình vng ABCD phương trình...Chun đề Đại số hình học Đào chí Thanh CVP Vậy hệ có nghiệm (4;4) Ví dụ : (Olimpic 30 – - 2000) Cho x, y ,z dương