MUC LUG
trang
Mở đầu 22c à 3 Chương 1 Kiến thức cơ sở 5
1.1 Một số kiến thức cơ sở về xác suất 5
1.1.1 Định nghĩa . 222k 5
1.1.2 Các tính chất nhàn 6
1.2 Bài tốn quy hoạch tuyến tính nguyên_ 7 1.2.1 Bài toấn e tent e nent e eens 7
1.2.2 Tinh chat 2.2.0.6 ccc cece cece cece ees 8
1.3 Các phương pháp truyền thống giải bài tốn quy hoạch nguyên 8 1.3.1 Phân rã Bender ằằ 8
1.3.2 Phương pháp cắt 222222 cà 10
1.3.3 Phương pháp nhánh và cận 11 1.4 Bài tốn quy hoạch nguyên ngẫu nhiên hai giai đoạn 14 1.4.1 Bài tốn quy hoạch tuyến tính nguyên ngẫu nhiên hai giai đoạn 14
1.4.2 Cách tiếp cận giải 22222 à 16
Chương 2 Thuật tốn nhánh và cắt giải bài tốn lập kế hoạch sản xuất cĩ biến động ngẫu nhiên với biến phạt giai đoạn hai nguyên 19
2.1 Bài tốn lập kế hoạch sản xuất 19 2.1.1 Bài tOấn cQQnn n ng HH kh kh kh và 19
2.1.2 Mơ hình tốn học tổng quát và các giả thiết ban đầu 21
Trang 22.3 Thuật tốn nhánh và cắt 31 2.3.1 Phép phan nhanh va tinh can 31 2.3.2 Thuật tốn 22222 na 36 2.3.3 Sự hội tụ của thuật tốn 37
Kết luận Ốc 39
Trang 3MỞ ĐẦU
Bài tốn lập kế hoạch sản xuất, với thơng tin ổn định, đã được nghiên
cứu trong lớp các bài tốn quy hoạch tuyến tính Tuy nhiên, trong thực tế
sản xuất, thơng tin của đữ liệu thường biến động ngẫu nhiên Trong trường
hợp như vậy, ta cĩ bài tốn quy hoạch tuyến tính ngẫu nhiên Ngày nay, đã cĩ nhiều cơng trình nghiên cứu lớp các bài tốn như vậy và sự ra đời của
bộ mơn quy hoạch ngẫu nhiên (Stochastic Programming) song song với sự
phát triển của Lý thuyết điều khiến
Tiếp cận với một số cơng trình khoa học về quy hoạch ngẫu nhiên,
chúng tơi chú ý tới kết quả của tác giả Lewis Ntaimo và Suvrajeet Sen [5], A Branch-and-Cut Algorithm for Two-Stage Stochastic Mixed-Binary
Programs with Continuous First-Stage Variables, cong b6 nam 2006, lam
cơ sở lý luận cho việc nghiên cứu mơ hình thực tế lập kế hoạch sản xuất
cĩ biến động ngẫu nhiên
Đĩ cũng là lý do chúng tơi chọn đề tài nghiên cứu: "Sử dựng biến phạt nguyên giải một lớp bai todn lập kế hoạch sửn xuất cĩ biến
động ngẫu nhiên "
Trong giai đoạn hai, nghiên cứu bài tốn quy hoạch ngẫu nhiên, người
ta thường đưa ra vectơ phạt và biến phạt nhằm thay đổi tính bất định của thơng tin ảnh hưởng tới bài tốn Thơng thường biến phạt ở giai đoạn hai
liên tục Nội dung của Luận văn mà chúng tơi đề cập tới liên quan tới mơ
hình thực tế, địi hỏi biến phạt nguyên
Nội dung của luận văn bao gồm hai chương:
Chương 1 Kiến thức cơ sở Trong chương này, chúng tơi trình bày
Trang 4phương pháp truyền thống giải bài tốn quy hoạch nguyên, bài tốn quy hoạch nguyên ngẫu nhiên hai giai đoạn Chương này được xem như phần
kiến thức chuẩn bị để thuận lợi cho việc trình bày chương hai
Chương 2 Thuật tốn nhánh và cắt giải bài tốn lập kế hoạch sản xuất cĩ biến động ngẫu nhiên với biến phạt giai đoạn hai nguyên Đây là nội dung chính của luận văn Trong chương này, trước
hết chúng tơi trình bày mơ hình thực tế bài tốn lập kế hoạch sản xuất cĩ biến động ngẫu nhiên với biến phạt giai đoạn hai nguyên Từ đĩ khái
quát hố, thiết lập dạng bài tốn quy hoạch nguyên ngẫu nhiên hỗn hợp cĩ ràng buộc ngẫu nhiên tuyến tính Trên cơ sở đĩ chúng tơi xem xét các
tính chất của nĩ và đưa ra thuật tốn nhánh-và-cắt giải bài tốn
Luận văn được thực hiện và hồn thành tại trường Đại học Vĩnh, dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS TS Trần Xuân Sinh Chúng tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới thầy về sự hướng dẫn tận tâm của thầy trong
suốt thời gian học tập và nghiên cứu
Nhân dịp này, chúng tơi xin gửi lời cảm ơn tới PGS TS Nguyễn Văn Quang, PGS TS Phan Ditc Thanh, TS Nguyễn Trung Hồ, các thầy cơ
giáo trong Hội đồng chấm luận văn, khoa Tốn, khoa Sau Đại học, trường
Dai hoc Vinh Dồng thời, xin bày tỏ lịng biết ơn về sự giúp đỡ, tạo điều kiện cho chúng tơi học tập, cơng tác của trường THPT Nam Đần II Cũng nhân dịp này, cho phép tơi gửi lời cảm ơn tới gia đình và bạn bè, đã quan tâm, gĩp ý, giúp đỡ và tạo điều kiện để thực hiện luận văn nay
Mặc dù đã cố gắng song luận văn khơng thể tránh khỏi những sai sĩt Chúng tơi mong nhận được những đĩng gĩp của quý thầy cơ giáo và các
bạn để luận văn được hồn thiện hơn
Vnh, tháng 12 năm 2011 a ose
Trang 5KIẾN THỨC CƠ SỞ
1.1 Một số kiến thức cơ sở về xác suất 1.1.1 Định nghĩa
1.1.1.1 ø-đại số
Giả sử © là một tập tuỳ ý khác rỗng Ký hiệu ?(©) là tập hợp gồm tat cả các tập con của 2
Lép A C P(Q) được gọi là mét dai 86 néu:
Al) QEA,
A2) AEASA=(O\AJEA,
A3) A,BE AS AUBEA (hoa ANB Ee A)
Lép F Cc P(Q) được gọi là ø -đạ¿ số nếu nĩ là đại số và ngồi ra cĩ
A4) Nếu A¿ € Z,Vn — 1,2, thì
ox x
|) Ai € F (hoac la (} Ai € F)
n=l n=1
1.1.1.2 Khơng gian đo và độ đo xác suất
Cap (Q,F) được gọi là một khơng gian đo, trong đĩ Ơ là tập bất kỳ
khác rỗng, Z là một ø - đại số các tập con của 2
Giả stt (Q, F) 1a một khơng gian đo Một ánh xạ P: Z —¬ R được gọi
là độ đo xác suất trên 7 nếu: Al) P(A) > 0, véi moi A € F A2) P(Q) =1
A3) Néu A, € F,Vn = 1,2, ,/ A;N A; =0,i A j thi
Trang 6Giả sử O là tập bất kỳ khác rỗng, Z là một ø - đại số các tập con của Q, TP là độ đo xác suất trên Z Khi đĩ bộ ba (O, Z,P) được gọi là khơng
giưn xác suất
Tap © được gọi là khơng gian biến cố sơ cấp
ơ - đại số Z được gọi là ø-đại số các biến cố Mỗi A € Z được gọi là một biến cố
Khơng gian xác suất (O,.Z,P) được gọi là khớng gian xác suất đầu đủ nếu mọi tập con của biến cố cĩ xác suất khơng đều là biến cĩ
1.1.1.4 Phần tử ngẫu nhiên
Giả sử (O Z) và (#, €) là hai khơng gian đo IKhi đĩ ánh xạ X : 9 —¬ Ƒ
được gọi là đo được hay phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trong J nếu
X7!(A) € F véi moi AEE
1.1.1.5 Kỳ vọng của phần tử ngẫu nhiên
Giả sử X : QO — # là phần tử ngẫu nhiên, phần tử EX € F goi la kỳ uợng của phần tử ngẫu nhiên X nêu với moi f € FZ* ta cĩ ƒ(EX) =
B(s(X)) ER
1.1.1.6 Phương sai của phần tử ngẫu nhiên
Giả sử X : O — F là phần tử ngẫu nhiên Khi đĩ số 2X = E||X—IEX [2 (nếu tồn tại) gọi là phương sai của phần tử ngẫu nhiên X
1.1.2 Các tính chất
1.1.2.1 Tính chất của kỳ vọng
Giả sử X,Y là các phần tử ngẫu nhiên, £ là đại lượng ngẫu nhiên cùng xác định trên khơng gian xác suất (O, 7 P), a€ IR,œ € Ƒ Khi đĩ nếu tồn
tại EX, EY, E£ thì
a) Tồn tại I(X + Y) và E(X ! Y) =EX + EY
Trang 7d) Néu P(X =a) =1 thi EX =a
e) Nếu X và Y độc lập thì E(€X) = E£.EX
f) V6i moi ánh xạ tuyến tính 7: # — E’ (F’ la khơng gian Banach
khả ly) thì tồn tại E[7(X)] va E[7(X)] = TIE(X)]
1.1.2.2 Tính chất của phương sai
Giả sử X là phần tử ngẫu nhiên, £ là đại lượng ngẫu nhiên cùng xác
định trên khơng gian xác suất (O, Z, PP), ø €lR,a € EF Khi đĩ ta cĩ
a) D(aX)= a?DX
b) D(a€) = lla| ý
c) DX =0 <=> X = EX (h.c.c)
1.2 Bài tốn quy hoạch tuyến tính nguyên 1.2.1 Bài tốn
Bài tốn quy hoạch tuyến tính nguyên cĩ dạng
n
min(max){ f(x) = » cx} (1.1)
j=l
bà a#j(S,>.=) bị, ¡ = 1.2 ,1m với điều kiện z;>0,7—=1,2 ,m
j € D; CZ,
trong đĩ 7 = 1,2, ,k,k < n
Nếu k = n ta cĩ bài tốn quy hoạch nguyên tồn phần Trong trường hợp ngược lại (k < ®), ta cĩ bà¿ tốn quy hoạch nguyên hỗn, hợp
Hàm ƒ(+) được gọi là hàm mục tiêu Các điều kiện của bài tốn gọi là
điều kiện buộc Điểm z — (z;) € Z thoả mãn các điều kiện của bài tốn
Trang 81.2.2 Tính chất của bài tốn quy hoạch nguyên
Nếu lấy bao lồi của các điểm nguyên, ký hiệu là coA/, thì bài tốn min{ f(a) : a € coll}
là bài tốn quy hoạch tuyến tính, cĩ phương án cực biên là các điểm
nguyên Từ đĩ cho thấy:
+ Nếu bài tốn quy hoạch tuyến tính cĩ phương án tối ưu thì tồn tại phương án cực biên (đỉnh) tối ưu
L Tập phương án của bài tốn quy hoạch tuyến tính là tập lồi đa diện
cĩ hữu hạn điểm cực biên (hữu hạn đỉnh)
+ Phương ấn + — (z;) là cực biên khi và chỉ khi tương ứng với z; > 0, là hệ vectd cột A; = (øi;.đs/, , &„j), của ma trận 4 = (a¡;), độc lập
tuyến tính
1.3 Các phương pháp truyền thống giải bài tốn quy hoạch tuyến
tính nguyên
1.3.1 Phan ra Benders
1.3.1.1 Ý tưởng cơ bản của phương pháp phân rã Benders Xét bài tốn quy hoạch tuyến tính nguyên hỗn hợp
minfc’s + d’y:x € H:y € RY (x,y) e S},
trong đĩ c€IR?,dcIR1,zc Z?;
lH—={xz:u<S+z<t;uu€ Z?}:
s=({(z.u) CIR”'*: 1z + By < Ch
Benders phân rã bài tốn đã cho thành các bài tốn nhỏ
Bài tốn (I) xét với biến ¿ liên tục thuộc # C R1
Trang 9Để giải bài tốn (1) cĩ thể sử dụng các phương pháp trong lý thuyết quy
hoạch tuyến tính (chẳng hạn phương pháp đơn hình) Dể giải bài tốn (TT) - là bài tốn quy hoạch nguyên tồn phần - cĩ thể giải bằng các phương pháp của lý thuyết quy hoạch nguyên (chẳng hạn phương pháp cắt, phương pháp nhánh và cận, phương pháp nhánh và cắt, .)
1.3.1.2 Ví dụ
Chúng ta xét bài tốn quy hoạch nguyên hỗn hợp
min{cfz + d’y: x € H;ục R1,(z,) € 5},
trong đĩ c€ R?,dc R!,z c Z?:
HE={z:u<z<t;u,0C ZP}:
S={(œ.g) €lR?ˆ?: A»+ Bụ < Œ}
l<ý hiệu Œ là hình hộp nào đĩ chứa H Xét bai tốn
min{cfz + dỶụ : z 6 G;u € R†, (+,ø) € 5S,z+ nguyên} (P(G))
Ký hiệu X(G) là miền ràng buộc và ƒ(G) là giá trị hàm mục tiêu tối ưu
của bài tốn P(G)
Với mỗi số thực A cố định, ta xét bài tốn nới lỏng (Q(A, G)), sinh ra từ
bài tốn 7(G), bằng cách đưa vào biến phụ £ € R? như sau:
min{AcTt + (1—A)cTa +d7y: t,x € Gry ERY, (t,y) € S,a nguyên)
Khi đĩ, sử dụng phương pháp phân rã Bender, các tác giả tách ra 2 bài
tốn quy hoạch tham số A, bài tốn @¡(A, G) gồm các biến liên tục £, y và
bài tốn thứ 2 Q»(A, Œ), gồm biến nguyên z, như sau:
min{Acft+df:t€ M;ụclR?,(t,)€S]}; (Q¡(ÀA,G))
Trang 10Từ đĩ các tác giả đã sử dụng lý thuyết quy hoạch tham số giải bài tốn
Q:(A.6) và đưa ra cách tính mới nhằm xác định cận trong phương pháp
nhánh và cận giải bài tốn Qs(A, G)
1.3.2 Phương pháp cắt giải bài tốn quy hoạch nguyên
1.3.2.1 Nhát cắt hợp cách Nội dung của phương pháp là: Bỏ qua điều
kiện nguyên, giải bài tốn quy hoạch tuyến tính bằng phương pháp đơn
hình được phương án tối wu 2
Nếu zJ nguyên (7 = 1, ) thì + là phương án tối u cần tìm Nếu ngược lại, bổ sung vào bài tốn quy hoạch tuyến tính điều kiện
n
L(a) = Sodje; <e (1.2)
j=l
L(x) phai thoa man hai tinh chat:
+ «) khong thoa man (1.2)
+ Mọi phương án nguyên đều thoả mãn (1.2)
Điều kiện (1.2) như vậy được gọi là nhát cắt hợp cách
Người ta đã đưa ra nhiều nhát cắt hợp cách giải bài tốn quy hoạch nguyên cĩ hiệu quả Sau đây ta trình bày thuật tốn với nhát cắt Gomory
1.3.2.2 Nhát cắt Gomory Gia stt x = (z$, z9, , x0, „0 , 0) là phương
án tối ưu của bài tốn quy hoạch tuyến tính tương ứng, tồn tại +? chưa nguyên Ký hiệu [z£] và {z£} là phần nguyên và phần thập phân của zÿ
Khi đĩ nhát cắt sau đây là hợp cách
n
(z}— 3) {wej}x; < 0 (1.3)
j=m+1
trong đĩ z¡; là toa độ thit i cla vect A; trong co sé cha x (c&e phan tit
của vect 4; trong bảng đơn hình của z9) Nhát cắt (1.3) được gọi là nháf
Trang 111.3.3 Phương pháp nhánh và cận giải bài tốn quy hoạch
nguyên
1.3.3.1 Ý tưởng của phương pháp
Thực hiện phân nhánh để chia tập phương án A/ thành những phần
nhỏ dần Trên mỗi phần nhỏ của tập À7, xác định cận của hàm mục tiêu Từ đĩ loại bỏ dần những phần khơng cĩ khả năng chứa nghiệm Như vậy,
cơng việc chính của phương pháp là tìm cách phân nhánh, tính cận và lựa chọn loại bỏ sao cho sau hữu hạn bước lặp cĩ được câu trả lời của bài tốn Nhiệm vụ của phương pháp nhánh và cận là thực hiện "phân
nhánh" "tính cận" và "loại bỏ" sao cho quá trình hội tụ về nghiệm cần
tìm
a) Phân nhánh
Việc phân nhánh được thực hiện bằng cách chia tập phương án ă thành
các tập con M,, Mo, ., Mr sao cho k M=|JM MM; = 90, (i 45) i=l b) Tính cận
Ham số +(44) gọi là cận dưới của hàm ƒ(+) trên 44 nếu +(44) thoả mãn
hai điều kiện:
+) +(49) < min f(x), Va € A
+) y(A;) > y(Ag) néu Ay C Ay CM
Từ đĩ ta cĩ
+(M,) > +(M),Vi = 1.2, E
Đồng thời
Trang 12Do đĩ nếu f(x*) = y(M,) thi z* là phương án tối tru cần tìm c) Lựa chọn và loại bỏ + Lựa chọn: Giả sử k M=(JM i=l va MAM; = 9,1 49 Khi d6 +(M;) = miny7(M;),i = 1, 2, ,k, tức là 3(M,) < +(M,),Vi = 1,2, , k, nên +(M;) < min{ƒ(z) :Vz € M}
Ta hy vọng A/; chứa phương án tối ưu Vì vậy cĩ thể chọn A/; để phân
nhánh
+ Loại bỏ: Việc loại bổ nhằm thu gọn bài tốn, giảm bớt bộ nhớ Tiêu
chuẩn để loại bỏ là: Giả sử ở bước &, biết được phương án # mà
J() < ƒ(z)
với mọi phương án + đã biết Lúc này ta nĩi # là phương an ky luc, f(z)
là gid tri ky lue
Nếu cĩ M; mà +(M;) > ƒ(Z) thì Af; bị loại bỏ (chú ¥ rang néu Mj; = 0 thì AM; cũng bị loại bỏ)
1.3.3.2 Thuật tốn nhánh và cận của Land-IDoig Xét bài tốn
Trang 13Ký hiệu tập phương 4n cua bai toan (1.2 1A D, véi gid thiét D hitu han Xét bài tốn quy hoạch tuyến tính
min{cfz : Az=b,z> 0} (1.3)
Goi M 1a tap phương án của bài tốn quy hoạch tuyến tính (1.3) (bỏ qua điều kiện nguyên)
Bước chuẩn bị Dặt 7; là bài tốn (1.3) với A7; = M Ký hiệu 7 = {P,} là họ các bài tốn đang xét
Giải bài tốn quy hoạch tuyến tính ›, ta được phương án tối ưu z* Nếu z” thoả mãn điều kiện nguyên thì z là phương án tối ưu cần tìm
Ngược lại, đặt cận dưới của bài tốn 2 cĩ thêm điều kiện nguyên là
f(a") va P = {Po}
Lúc này nếu cĩ được phương án # € /) thì đặt cận dưới ƒ* = ƒ(®), trái
lại thì đặt ƒ' = +00
Bước k (k — 1,2 )
a) Nếu 7 = Ú, thì thuật tốn kết thúc
Khi đĩ nếu ƒ7 < œ thì z là phương án tối ưu cần tìm
Ngược lại, bài tốn khơng cĩ phương án tối ưu
b) Nếu 7 zZ 9, chọn ; là bài tốn cĩ cận dưới nhỏ nhất trong 7 Gọi
Af* là tập phương án và z#) là phương án tối ưu của bài tốn quy hoạch
tuyến tính tương ứng
b.1 Giả sử +” chưa nguyên Chia A/# thành hai tập Äf? và Af2 với
MỊ = {xz€ MỲ: +; < [x}|}; Mỹ = {z 6 MP: zị > |[x}| + 1}
R6 rang M* = MEU ME va ME = MEO ME — Ú
Trang 14Cĩ thể xẩy ra:
+ Phat hién ra MF = 0,1 = 1 hoac 2 Loại bĩ ÄM⁄# tương ứng
+ Tim được phương án tối ưu x thoa man điều kiện nguyên Nếu
+ là phương án kỷ lục thì loại bỏ những M} tương ứng cĩ cận dưới
+(M})> ƒ(œ() Coi + là phương án kỷ lục mới Kết thúc bài tốn ĐỀ
+ Tìm được phương án tối ưu #f, (¡ = 1,2), nhưng chưa thoả mãn điều kiện nguyên Lấy ƒ(z#) làm cận dưới của hàm mục tiêu bài tốn Đ* cĩ thêm điều kiện nguyên Đưa A/# tham gia vào bài tốn để tiếp tục phân nhánh Đặt
?:=PU{P*)
b.3 Loại bỏ khỏi Ð tất cả các bài tốn cĩ cận dưới lớn hơn hoặc bằng
giá trị kỷ lục Đặt
P:=P\ {PF}, trở lại bước & :— k + 1
Vi D hữu hạn nên thuật tốn Land - Doig cũng hữu hạn
1.4 Bài tốn quy hoạch nguyên ngẫu nhiên hai giai đoạn
Như chúng ta đã nĩi trong mục 1.1, việc xem xét lớp bài tốn quy hoạch rời rạc cĩ thể chuyển về lớp đại diện là quy hoạch nguyên Trong mục này, chúng ta sẽ xét tới bài tốn quy hoạch tuyến tính nguyên ngẫu nhiên 2
giai đoạn
1.4.1 Bài tốn quy hoạch tuyến tính nguyên ngẫu nhiên
Bài tốn quy hoạch tuyến tính nguyên ngẫu nhiên hai giai đoạn (TWwo- Stage Stochastic Integer Linear Progamming) được xét tới như sau:
Cho bài tốn quy hoạch tuyến tính nguyên ngẫu nhiên
Trang 15trong dé c 1A ma trận cấp ø x 1: z là ma tran c4p n x 1; b 1A ma tran hệ so cap m x 1: A la ma trận hệ số cấp mm x n: hla ma tran cap p x 1 va T
là ma tran cap p x n, cdc phan tit cia cdc ma tran h va T 1a cdc bién ngau nhiên cĩ phân phối xác suất đã biết
Giả sử h hồn tồn chưa biết, nhưng biết hàm phân phối của nĩ, với
kỳ vọng hữu hạn IEh Rõ ràng khơng thể xác định z+ từ các phương trình Tx = h Su khác nhau giữa Tz và h cũng chính là một biến ngẫu nhiên cĩ
hàm phân phối phụ thuộc vào z Ta phải "trả giá" cho sự phụ thuộc này
Do vậy, bài tốn của ta là quyết định làm cực tiểu hàm cTz và cần cĩ mức
phạt cho sự khác nhau phải trả giá đĩ
1Xỹ thuật hai bước là nhằm chuyển bài tốn (SILP) về một bài tốn tất
định theo giá trị kỳ vọng tương ứng Quá trình giải bài tốn (SILP) gồm hai bước:
Bước thứ nhất: Chọn vectơ x khong âm nào đĩ thoả mãn những điều
kiện nhất định đã biết nào đĩ
Bước thứ hai: Chúng ta bổ sung độ lệch giữa 7+ và h bởi một ma trận
bổ sung W và một biến phạt thoả mãn Wy =h-Tx
Do thơng tin khong day du, ta dat d 1A vecto phat va di tim gid tri nhd nhất của dy véi diéu kién bổ sung độ lệch
Ww=h— Tz, > 0 và z > U
Giả sử ở bước 1 ta đã biết ø*, ta tìm từ bài tốn
min dy (PILP)
Tx +Wy=h
với điều kiện
Trang 16Đây là giai đoạn hai của bài tốn quy hoạch tuyến tính nguyên ngẫu nhiên 1.4.2 Cách tiếp cận giải bài tốn quy hoạch tuyến tính nguyên
ngẫu nhiên 2 giai đoạn
Bài tốn (SI7,P) cĩ thể viết thành bài tốn
min{efz + Emind’y} (TP)
z y
Ax =b
với điều kiện ¢ Tr + Wy =h
zœ>0,>0; z,€Z
Bây giờ người ta xét tới lớp bài tốn quy hoạch tuyến tính nguyên ngẫu
nhiên hai giai đoạn
min {g() = ch» + Q(x)} (2SSILP)
Ax =b
T(£) = h(€)
với điều kiện
z>U,„€Z g mm mm trong đĩ Q(x) = Ezeo[Q(x, 8], Q(x €) = min d(é)y W(€) = h(€) — T(6)+ >0, yEZ
với điều kiện
Ở đây £ là biến ngẫu nhiên thuộc khơng gian xác suất (O, Ƒ P), với O C R”; c là ma trận cấp 0œ x 1; z là ma trận cấp ø x 1; là ma trận cấp q x 1: đ(€)
Trang 17của bài tốn với dữ liệu chưa chắc chắn,
Q(x) = Egen[Q(x, 9)]
là kỳ vọng của Q(x, €) lay theo bién ngẫu nhiên £ € ©; 4 là ma trận hệ số cap m xn; 61a ma tran hé s6 cap m x 1; T(€) A ma tran cp p xn; h(E) là
ma trận cấp p x 1, W(€) là ma trận cap p x q, n6i chung khong phu thudc
vào €
Nếu £ là biến ngẫu nhiên rời rạc nhận giá trị trong tập hữu hạn
với xác suất
P(€ = €) =Ðị,
thì ,
Eeeo|Q(+,€)] = 3 }m@(z,€)
i=1
Thời gian gần đây, nhiều nhà tốn học đã và đang tìm những thuật tốn
để giải bài tốn quy hoạch tuyến tính nguyên ngẫu nhiên hai giai đoạn, và
thực tế đã cĩ nhiều thuật tốn khá tin cậy
Như vậy, để giải bài tốn quy hoạch tuyến tính nguyên ngẫu nhiên hai
giai đoạn, người ta thực hiện:
Giai đoạn một, trên cơ sở dữ liệu đã biết, người ta giải bài tốn quy
hoạch tuyến tính nguyên ngẫu nhiên
min{c’s : Ax =b, « >0, « € Z}, trong do A = (a;;) 1& ma tran cAp m x n
Giai đoạn hai, trên cơ sở quan sát ảnh hưởng của yếu tố ngẫu nhiên,
người ta giải bài tốn
Trang 18trong đĩ
Q(z,e) = min{ƒ(+)y)
với điều kiện
Trang 19Chương 2
THUẬT TỐN NHÁNH VÀ CẮT GIẢI BÀI TỐN LAP
KẾ HOẠCH SẢN XUẤT CĨ BIẾN ĐỘNG NGẪU NHIÊN VỚI BIẾN PHẠT GIAI ĐOẠN HAI NGUYÊN
2.1 Bài tốn lập kế hoạch sản xuất
Trong mục này chúng tơi trình bày mơ hình bài tốn lập kế hoạch sản
xuất cĩ biến động ngẫu nhiên với biến phạt giai đoạn hai nguyên Từ đĩ
khái quát hố dạng tổng quát cần nghiên cứu 2.1.1 Bài tốn
2.1.1.1 Một xí nghiệp cĩ thể sản xuất ø loại sản phẩm (ta ký hiệu các
sản phẩm theo thứ tự là 7, 7 = 1,0) từ z» loại nguyên liệu (ta ký hiệu các
nguyên liệu theo thứ tự là ii = I,m) Dé san xuất một đơn vị sản phẩm
loại 7 thì cần chỉ phí ø¡;,¿ = 1,?m, 7 —= 1,ø, nguyên liệu loại ? và cho lãi là c; (đơn vị tiền tệ) Hỏi nên sản xuất như thế nào để cĩ tổng số lãi lớn
nhất Biết rằng khả năng cung cấp nguyên liệu loại i téi da 1a b;,i = 1,m 2.1.1.2 Thiết lập mơ hình tốn học Để thiết lập mơ hình tốn học, ta
ky hiéu J = {1,2, ,n} va z;, j € 7, là số đơn vị sản phẩm thứ 7 được sản xuất (+; > 0) Khi đĩ ta cĩ bài tốn
max{ƒ = cfz}
Trang 20trong do c = (cj), « = (xj), B = (bi), Tx = Vier Ci), A = (aij) va x = (aj) > 0 khi va chi khi 2; > 0,7 = In
Trong thực tế sản xuất, các giá trị lãi suất c;, chi phí a;; và khả năng
nguyên liệu b; thường biến động ngẫu nhiên Từ đĩ dẫn tới bài tốn quy hoạch ngẫu nhiên
max{ƒ = cf(œ)z+}
với điều kiện
A(w)x < Biw), x > 0,
trong dé w 1a dai lugng ngau nhiên tác động vào dữ liệu của bài tốn
Như trong chương 1 đã trình bày, mơ hình bài tốn quy hoạch ngẫu
nhiên nêu trên dẫn đến giai đoạn hai điều chỉnh phương án tối ưu bằng việc xử lý yếu tố ngẫu nhiên ú' tác động vào dữ liệu Và bài tốn giai đoạn hai được thiết lập là
min{efz + #Z(Q(z.6œ))}
Az<B
với điều kiện ~ xu = 0,
trong đĩ
Q(x,w) = min qy
` A(w)a + Dy < Biw)
với điều kiện
>0, >0
trong đĩ g gọi là vectơ phạt, z gọi là biến phạt
Trong trường hợp biến phạt ÿ liên tục thì đĩ là bài tốn quy hoạch
tuyến tính ngẫu nhiên hai giai đoạn thơng thường Trong Luận văn này,
Trang 21"phạt" trong trường hợp này là: nếu điều kiện nào bị ảnh bưởng bởi biến
ngẫu nhiên thà phẩi nhận phạt (lượng phạt 1), nếu điều kiện nào khơng bị ảnh hưởng bởi biến ngẫu nhiên thà khơng phải nhận phạt (lượng phạt 0)
Từ đĩ mơ hình tốn học bài tốn lập kế hoạch sản xuất đã nêu cĩ dạng là
min{cTz + E(Q(x,w))}
Ar<B
với điều kiện
œ >0,
trong đĩ
Q(x,w) = min qy
` A(w)a + Dụ < B() với điều kiện
œ>0;€ {0;1}"
2.1.2 Mơ hình tốn học tổng quát và các giả thiết ban đầu
2.1.2.1 Mơ hình tốn học tổng quát Chúng ta cần khái quát mơ hình
tốn học cho lớp bài tốn đã nêu trong mục 2.1 Đồng thời, để hạn chế lớp
bài tốn nghiên cứu, mà khơng làm ảnh hưởng đến thực tế, ta cần đưa ra
một số giả thiết ban đầu Các giả thiết này sẽ được sử dụng trong tồn bộ Luận văn
Như đã đề cập trong chương 1, từ bài tốn min cl x với điều kiện
Ax > b, zœ>0
Trang 22min c? + E7 @)|, (2.1) trong đĩ c là một vectơ đã cho thuộc R™,X C R™ 1A tap hop được thiết
lập cho giai đoạn thứ nhất #|.| là kỳ vọng tốn học E[J(z,)] = À `p¿(z,)-
wen
@ 1a bién ng&u nhién rdi rac da chiéu thé hién cha ¿+, với xác suất ø„ thuộc khơng gian bién cé 2 Trong giai doan hai vdi mỗi œ' ta cần giải bài tốn
ƒ(+.œ) = min q(œ)T (2.2)
y
với điều kiện
Wy >r(w)—-T(w)z,
Ụ > 0, yj € {0, 1},7 € Jy
Trong bài tốn (2.2) ø(¿') là vectơ phạt thuộc khơng gian IR“ đối với mỗi
w € Q vA Jy 1A tap chi s6 gồm một số hoặc tất cả các thành phần của
Ụụ€§R°
2.1.2.2 Các giả thiết ban đầu Với bài tốn (2.1), (2.2), ta đưa ra giả
thiết sau:
AI) © là tập hữu hạn
A2) X = {x € R® | Ax > db}
43) f(x,w) < 00, vdi moi (x,w) € X x
Giả thiết A3) ddi hdi ham mục tiêu của bài tốn (2.2) phải thoả mãn với moi (x,w) € X x Q, mot tinh chat được đề cập tới như là một tính chất bắt buộc
Khi ở giai đoạn hai các biến chỉ là liên tục thì hàm mục tiêu ở giai đoạn
Trang 23nhờ sự phân rã Bender thì cĩ thể tách các biến rời rạc và các biến liên tục theo các bài tốn khác nhau
Bài tốn quy hoạch ngẫu nhiên nguyên hỗn hợp (Stochastic Mixed-
Integer Programming (S MJP), véi cic bién 6 ca hai giai doan nguyén hỗn
hợp đã được đề cập tới trong nhiều cơng trình khoa học và cĩ nhiều ứng
dụng trong thực tiễn Tuy nhiên, bài tốn (9A/TP) cĩ biến ở giai đoạn một liên tục, chỉ cĩ biến ở giai đoạn hai là nguyên hỗn hợp (ta ký hiệu là (SA7TPs)), như đã nêu trong (2.1),(2.2) thì mới được nghiên cứu trong
những năm gần đây (trong đĩ đáng chú ý là các cơng trình của S Sen, J I
Higle (2002, 2005), S Sen, J I Higle H D Sherali (2006), ) Cac két qua
nêu trên thường sử dụng phương pháp nhánh va cận, nhánh và cắt, trong đĩ đáng chú ý là vận dụng phương pháp 2° (Disjunctive Decomposition
- phân hoạch và tuyển chọn) Để thuận lợi cho việc tiếp cận giải bài tốn
(2.1),(2.2) đã nêu, trong mục tiếp theo, chúng tơi trình bày sơ lược về
phương pháp D?
2.2 Phuong phap cat D?
2.2.1 Dat van dé
Trong mục 1.3.1, 1.3.2, chương 1, chúng ta đã biết sơ lược về phan ra
Benders va phudng pháp cắt hợp cách giải bài tốn quy hoạch nguyên
Tuy nhiên, với bài tốn mà chúng ta đang xét ở chương 2 khơng thuần
tuý như bài tốn ở chương 1 Do vậy việc phân rã Benders trong trường
hợp này là khĩ thực hiện Đồng thời tìm một nhát cắt hợp cách phù hợp
với bài tốn là một ý tưởng tốt Để giải quyết những vấn đề nầy sinh như
vậy, chúng ta cần đến một kết quả quan trọng của S Sen cùng cộng sự nêu ra năm 2005, đĩ là nhát cắt (thuật tốn) ? Thuật tốn J2? khắc phục
được khĩ khăn trong việc phân rã Benders và là hợp cách
Trang 24-Phân nhánh va tuyển chọn) nhằm giải bài tốn (SA/7P) được trình bày
trong [6] Phương pháp DÝ sẽ gặp khĩ khăn với những bài tốn (SMTPs)
chứa biến phức tạp ở mỗi lần lặp của thuật tốn Thay vào đĩ, người ta sử dụng kỹ thuật cắt giống như khi giải bài tốn quy hoạch tuyến tính nguyên
hỗn hợp (UMfTP) bằng việc giải bài tốn quy hoạch tuyến tính (LP) như
đã nêu trên Dãy các nhát cắt sẽ được thực hiện theo "hệ số thơng thường
của nhát cắt" (Common-Cut-Coefficients (C”3))
2.2.2 Nhat cat D?
Phương pháp cat D? stt dung nhát cắt xác định
dy > d(a.w),
trong đĩ đ là vectơ hệ số cắt thơng thường (C3) và nằm bên phải đồ thị
của hàm số đạ(+,¿') Khi cho trước œ', người ta đã chứng minh được rằng d.(x,w) là một hàm tuyến tính của z, cịn hàm đạ(, ä) là hàm lõm tuyến tính từng khúc của z
Cả đ và dạ(œ,¿›) đều được tạo thành do đặc điểm và cách giải quyết của
mỗi bài tốn bổ trợ được đặt ra, đĩ là bài tốn quy hoạch tuyến tính ngẫu
nhiên SLP Khi giải bài tốn SLP cho ta đ, cũng như các nhân tử Ào Ài
Kết hợp với các phép tuyển chọn được sự dụng trong quá trình hình thành
nhát cắt sẽ xác định được dạ(z,œ) cho mỗi ø¿ € O Đồ thị của dạ(z,¿) và d.(z,œ) được hình thành nhờ giải bài tốn (7P) với mỗi œ € 9
Bài tốn nới lỏng của bài tốn (2.2) ở bước thứ k của thuật tốn /° cĩ dạng
J2(œ,e) — min q2, (23)
với điều kiện
Wy 2 r(w) -T)z,
Trang 25>0,
với mọi œ € © Tập Ø„ là tập chỉ số thứ k của thuật tốn 7? khi một nhát
cắt được tạo thành Bài tốn (1P) (2.3) cĩ thể viết lại là
fe (w,w) = ming’ y, (2.4)
với điều kiện
Wy > p®(x.w),
y2 0,
trong d6 W* là kết quả của việc bổ sung ma trận bổ trợ I véi {(d*)" } <0,
và ø (z, ø') là kết quả của sự thay đổi của vectơ về phải W2 > r(œ›)— T(œ')# với {dŸ(ø,¿")};ea,-
Người ta đã chỉ ra rằng phương án tối wu cia bài tốn (SA7TP) đạt ở trên đỉnh của tập phương án 1í Các bài tốn (SA/TIP) mà ở giai đoạn một cĩ các biến nhị nguyên (biến Boole nhận 0 hoặc 1) thì nĩ thộ mãn yêu cầu này
Trong [5| đã nêu ra Định lý sau đây cho ta xét tới bài tốn (SÄAf7P) với biến ở giai đoạn một liên tục
2.2.2.1 Định lý Giá sử rằng các giá thiết A1 — 13 được thoả mãn
Đồng thời M = {w € "| Az > b}, chúa điều kiện w < 1 Nếu thuật tốn
Dˆ thực hiện cắt theo nhát cắt hệ số C3 thà uới mọi đỉnh +z* G AI tồn tại
< œ sao cho
fi (a*.w) = f(ak.w), c vk > RE Vụ e Đ
Định lý 2.2.2.1 chi ra rằng phương pháp 72? tạo nên tất cả các bất đẳng
thức ở mỗi bước lặp của giai đoạn hai giải bài tốn (A/TP) sau hữu hạn bước lặp Do đĩ với một đỉnh bất kỳ z# của Af, ta cĩ đ,(,ú!) — dạ(œ*,œ)
Trang 26trong trường hợp với bài tốn SMIP với biến ở giai đoạn một liên tục Sự "xâm phạm" của tính chất này dẫn chúng ta đến cội nguồn của phương pháp mới nhánh và cắt B.1C (Branch-and-Cut) xét trong trường hợp biến giai đoạn một liên tục
2.2.2.2 Ví dụ
Chúng ta xét một ví dụ đơn giản là bài tốn (SA/TP) sau đây:
min{—2# — 2u¡ — 2›} với điều kiện
—# >—2 —5z — > —10 —ðz — 6y2 >—12 Uì >-l 12 2-1 r>0 m,y% € {0,1}
Phân tích nĩ như một bài tốn 2 giai đoạn (SA17P) ta cĩ
min{—2z + E[ƒ(z,œ)|}
với điều kiện
Ở đây
[(z,ø) = min{—4y}
với điều kiện
Trang 27€({0,1}Ẻ
Giai đoạn hai cĩ 2 khả năng, mỗi khả năng cĩ thể xảy ra với xác suất
Ð = 0.5, với œ = œ\¡ thì cĩ 7(4¡) = —10 và với œ = wy thì cĩ (œ2) = —12
Để ý rằng bài tốn đã thoả mãn các giả thiết 41 — A3 Trong ví dụ này chúng ta cĩ các số liệu sau: ¢ = —2,A = [—1].b = [-2],¢ = [-4],W =
[—6], T(w1) = [-5], r(@1) = 10, r(uy) = —12
Chú ý rằng cận dưới của giá trị kỳ vọng ở bài tốn giai đoạn hai là
L =0,ð x(—4) +0.5 x (—4) = —4
Bây giờ chúng ta cĩ thể áp dụng thuật tốn /2? như sau
Thuật tốn được bắt đầu với đỉnh gốc s = Ĩ.£ = Ú Khi đĩ bài tốn
diém P) 1a
min{—2z + 1} với điều kiện
Dat Wl = W,T?(w) = T(w), 71 (w) = T(w) cho ca 2 tinh huéng va bat dau
giải các bài tốn mé L:= LU{P} Can trên và cận dudi la Vy = 00, vy =
—oœ
Sử dụng thuật tốn 7? cho bài tốn điểm ›: Thuật tốn 7? được thực
hiện theo các bước lặp:
Bước 1 Ta sử dụng zÌ = 2 và giải bài tốn nới lỏng (LP) đối với các bài tốn con ở giai đoạn hai theo ¿*¡, ĩ2, mà chúng ta ký hiệu đĩ là các bài tốn (LP,) va (LP)
Trang 28với điều kiện —6y >0 -y 21 y 20 va fi(2,u2) = min{—4y} (LP)
với điều kiện
—6y >-2
-y 2-1 y 20
Phương 4n tdi wu cia bai todn (LP,) 1a (œ¡) — 0 và đối với bài tốn (L;)
là g(«;) = 0.3333
Bước 2 Vì 0(œ¿) khơng thoat mãn điều kiện nguyên, ta chọn như là
"biến tuyển" và tạo ra phép tuyển (nhát cắt) — > 0 hoặc > 1 cho
bài tốn (72) Ta thiết lập dạng (C3 — LP) để tạo ra vectơ d' cho định
dạng W' và những nhân tử À tạo nên bài tốn (H9 — LP) Giải bài tốn (C3 — LP) dude
d' = -1,d5; = [0:0], Ao2 = 1, AZ; = (0,25; 0], Arg = 0.5
xem như nghiệm của nĩ
Dặt W? bằng việc thêm đ! vào W1 ta cĩ W? =[W' — IỊT Từ nghiệm
của (C8 — LP) chúng ta cĩ
Trang 29Dé git di(x,w) > 0, ching ta tinh tién 7} (w) va V}(w) lên theo thứ tự 12
và +2,5 Ta được
đà(z.œ¡) = min{2 — 0z; 0 + 1,25}
da(x, w2) = min{2,5 — 02:0 + 1,252}
Sử dụng dữ liệu trên, chúng ta xAc dinh bai toAn (RHS — LP) déi véi cé hai w; va « Phương ấn tối wu ctia bai toan (RH S — LP) xét véi wy
là ð(œ¡) = 0:09(w) = 0,55556; 0(u,) = —0,555556 va véi uy 1a ð(¿) =
0; do(we) = 0,5: 0(a2) = —0, 625
Do vậy ta cĩ ?(w;) = 0317? (a1) = 1; ?(w2) = 0; 773 (w) = 1, 25
Tịnh tiến trở lại ta được
đÌ(œ,ằ@i) =—=2+#
di (x,w2) = 2,5 +1, 252
Chú ý rằng vi a! = 2,2? € vert(X) (đỉnh của A/) Ta cĩ d}(2,w)) =
d} (2,4) = 2 va dj(2,w2) = d}(2,u.) = 2.5 Dua trén nghiém cia (RHS — LP) chúng ta thu được
T T
P(w) = [ren ¬3] Tun) = [nen =1]
"Tương tự ta nhận được
T T
7 () = [ir 2) —2,5] :TP(œ») = | (›)| — 1,25]
Hồn thành bước 2 của thuật tốn
Buĩc 3 Việc tái tối tu những bài tốn con chúng ta nhận được (œ¡) = 0
Trang 30nghiệm đối ngẫu là zT(¿¡) = zT(œ;) = |0;0:4] Vì cả hai quá trình đều
thoả mãn những địi hỏi về tính nhị nguyên của y, (/ € {0: 1}?), ta cĩ một nghiệm thành phần a = 2 và nhận được cận trên
VY := min{V:-2 x 2+0,5 x (0) + 0,5 x (0) +4} =0
Bước 4 Sử dung nghiệm đối ngẫu cho mỗi bài tốn con (LP) từ bước 3, chúng ta thực hiện cắt tối u kiểu Benders, được các nhát cắt
—4ar + O(u) > —8
—5z + Ø(œs›) > —10
Do hai nhát cắt hợp lý như nhau, giá trị kỳ vọng liên quan đến hệ số cắt tạo ra —4,5z + Ø0 > —9 Từ chỗ chúng ta giả sử rằng ?; > 0, sử dụng phép tịnh tiến „ = Ø + 4 dẫn đến —4 5z + Ø0 > —5 như một nhát cắt tối ưu để
bổ sung vào bài tốn điểm như sau
min{—4z + ?}
với điều kiện
IV tị
—#
—1,5z-+ r3 > —ð
, TỊ >0
Giải bài tốn điểm ta được z2 = 1.111; rị = 0 và giá trị hàm mục tiêu là
Trang 312.3 Thuật tốn nhánh và cắt
2.3.1 Phép phân nhánh và tính cận
Chúng ta xét bước lặp trong thuật tốn ïˆ áp dụng cho bài tốn (2.1)(2.2) Khi đĩ thuật tốn cĩ sự lặp lại các giá trị
{d*, d§(a,w), dk(x,w) bree,
và bài tốn chính cĩ dang
bo ol `
min{cfz +} (2.!
với điều kiện
Ax > b,
để» +1 > dạ, b — 1, , Đ, œ >0
Biến ; cho giá trị gần đúng tuyến tính mẫu của những bài tốn phức tạp với hàm mục tiêu lấy theo k¥ vong [f (a, @] Điều kiện đÿ+-+ > œx,k = l, K
là những nhát cắt tối ưu và điều kiện + > 0 chỉ ra tính khơng âm của biến
z Đối với điều kiện đ?z 1 > œx,k = 1 ,W, về phải thực hiện với
ằœy = E[U*(G)Tr(@)]:0, = E[u*(@)TT*(@)],(k = L, K), ở đây U*(6)
ký hiệu cho vectơ cĩ số chiều tương ứng của nhân tử đối ngẫu với điều kien W*y > p*(x.w) trong bài tốn (2.4), xét với ¿' € O ở bước k Với mỗi k € Op, ching ta c6 mot cap {di (x, w) d*(a,w)}, trong do
dp(x,w) = min{75(w) — 7(w)? x VÌ (6) — Tw)" 2}
Đồng thời từ một kết quả của các tác giả S Sen và J L Higle đã chỉ ra
rằng
d¥(x,w) = v*(w) —y*(w)T x
Vi « IA lién tuc nén x khong doi hdi 1A diém cic ti¢u tuyét déi cia M và
Trang 32tốn ï° cĩ thể khơng cho lời giải tối ưu cho bài tốn (2.1)(2.2) Từ đĩ cho thấy cách tiếp cận sẽ là ghi lại các c&p {dk (x, w), d*(x,w)} trong sudt tién
trình thuật tốn và lúc đĩ chúng ta sử dụng những dữ liệu này để xác định
điều kiện đ?(œ,œ) = đệ(œ,œ)} với ¿' và k cho trước
Cơng việc của chúng ta là cần phân nhánh và tính cận bằng cách phân
hoạch tập phương án của biến thứ nhất z liên tục trong M dựa trên cặp
(œ,k) đã xác định
Chúng ta cần xác định cặp (ø, ) mà điều kiện được thoả mãn và ø nhận giá trị xác suất cao nhất là p„ Điều đĩ được thực hiện theo cơng thức
(@,K)€arg max {p,(dk(z,w) — d*(Z,w))} (2.6)
wel keEOK
Vấn đề nổi lên trong việc thực hiện thuật tốn nhánh và cận trên miền
liên tục là kết quả khơng hữu hạn Tuy nhiên, chúng ta sẽ sử dụng các biến
lựa chọn để thực hiện nhánh và cận hữu hạn Giả sử chúng ta đang ở đỉnh
s của cây phân nhánh và tạo ra 2 đỉnh mới là sọ và s¡ Ta cĩ Mệnh đề sau
2.3.1.1 Mệnh dé Gid si
3á (0) = 7 (Ø) — 3ĩ (6) PA (6) = ĐỆ (@) — Đụ ()
Đồng thời 3Ä (Ø) = —Y§(œ) uà UR (0) = —PR(œ) Đặt
X„ ={z|54(6)7z > rà (@),+ > 0}: ÄX¿, = {+|38.(6)Tz > 0à (@).+ > OF
Ký hiệu X° là lập cơn của AI Khi đĩ X5 cĩ thể biểu dién X* = P,, UPs,,
trong do
Psy = Xs X53 (2.7)
Ps, = Xs Xsz,- (2.8)
Trang 33dF(z,z) Từ
để (z,@) = min{PƑ (@) — 3(@)T+, min{ZF (@) — 3F (6)Tz} (2.9) là hàm lồi theo biến z, đối với mỗi ø đã cho Điều đĩ chứng tỏ
Df (@) — TE (ø)+ > PF(G) ~ 5R (@)Tx, (2.10)
hoac
7 (@) — 38 @)Te < VK @) 7K we (2.11)
Từ sự giao nhau của 2 nửa khơng gian X; xác định bởi (2.10) và X; xác
định bởi (2.11), ta suy ra điều phải chứng minh "
Mệnh đề 2.3.1.1 cho phép chúng ta chia tập Ä⁄ thành hai tập con rời
nhau Vì thế ta thực hiện tối u hố trên mỗi tập con Diều đĩ cho phép ta
thực hiện việc phân nhánh và tính cận nhằm giải bài tốn (2.1)(2.2) bằng cách chia nhỏ ra nhiều tập con khơng giao nhau nhờ việc phân nhánh theo
cơng thức (2.10) và (2.11)
lý hiệu @ là tập các đỉnh của cây phân nhánh và cận ở giai đoạn thứ
nhất và s € Q 1A mot đỉnh của cây Chúng ta thực hiện phân nhánh và tính cận đối với bài tốn (2.5) tại đỉnh của cây từ bài tốn (JP) nới lỏng Sử dụng thuật tốn ? đối với bài tốn này và ở mỗi bước lặp thứ & chúng ta kiểm tra điều kiện
dk (ak, w) = dh(a*,w)
Nếu nĩ thoả mãn, theo Mệnh đề 2.3.1.1 ta phân nhánh theo (2.10) và
(2.11) Việc phân nhánh từ đỉnh s, ta cĩ hai đỉnh sạ và s¡ liền kè Từ các
đỉnh liền kề, chúng ta cĩ các bài tốn liền kề tương ứng Ta ký hiệu đĩ là
tập các bài tốn 7;, của giai đoạn thứ nhất với h € H, í = {0,1} Thuật
tốn 7” lại được ứng dụng giải các bài tốn liền kề Quá trình cứ tiếp tục
Trang 34Giả sử ở bước lặp š; của thuật tốn giải bài tốn ứng với đỉnh s € Q Véi
s chúng ta cĩ thể nối thành một đường đi duy nhất từ s đến đỉnh nghiệm
Giả sử ƯH; là tập các đỉnh trên đường đi này Với mỗi phần tử 7 € By, chúng ta cĩ tất cả các chỉ số thuật tốn thuộc k(7) cũng như thuộc K(7),
ở bude lap k va @ trong quá trình phân nhánh
Vì vậy đối với mỗi k € A(r), ta c6 cdp (@,k) véi hé s6 phan nhánh
trong rang budc la 7k = 3Đ (2) va DE = vA (@), voi moi h € H Vay bai tốn (2.5) tại mỗi đỉnh s € Q cĩ dạng
min{c’a +7} (2.12)
Ax > b,
véi diéu kién Oe +12 am K ER(1),7 € Bs
(Fk Tx > (1) ) he Hk € K(T).rcPD;, zœ>0
Điều kiện đƑz +1 > a¿,k € k(7),r € B; là một nhát cắt trong phương pháp tối ưu kiểu Benders bước &; tại đỉnh s Điều kiện (ÿ$ )T+ > (7 ),h € Hk € K(r),7 € B; la diéu kién phân nhánh đối với tốn ở đỉnh s Bài
tốn (2.12) cĩ thể trở nên khơng thể thực hiện được tại một số đỉnh thuộc
@ đối với nhất thứ nhất trong cây nhánh và cận Trong trường hợp này,
đỉnh khơng thực hiện và quay trở lại đỉnh trước đĩ
Giả sử bây giờ chúng ta hốn đổi về phải của điều kiện phân nhánh cắt D° Từ đĩ việc phân nhánh thực hiện trên nhát cắt 7° này vế phải của nĩ
đF(z,0) phải được định dạng lại Ta cĩ kết quả:
2.3.1.2 Mệnh đề Giả sử (œ, K) được xác định trong (2.6) Xét nhát cat D? ma ở đĩ (œ, K) đã được xác định Khi đĩ uế phải dễ (œ,œ) đối với
Trang 35dj (a,w) = 0 (@) — 7 (@)T x
Chitng minh Tit Ménh đề 2.3.1.1 chỉ ra rằng bất đẳng thức phân nhánh TẠ (0)T+ > PR (0) về phải của phân nhánh của nhát cắt J2” phải đạt nhỏ nhất của hai hàm affine xác định đệ (z,œ) Từ đĩ suy ra
dj (2,w) —= ĐỸ (0) — 3F (0) Ta
Tương tự cho các nhánh khác của D?
Đĩ là điều phải chứng minh "
Bài tốn (2.12) ở bước lặp k; cho ta nghiệm ở giai đoạn thứ nhất là a*
và bài tốn con LP nới lỏng đối với ¿ € © cùng đỉnh s € Q cĩ dạng
fi(a we) = min{47y} (2.13)
với điều kiện
Wy >r(w)—T(w)a*,
(d*)Ty > d¥(x**.w),k € k(r) \ K(r),7 € Bs,
(d*)Ty > dj((u*,w),k € K(7),7 € Bs,
>0
Điều kiện (đ*) Ty > đỄ(%È‹,).k € k(r)\ K(7).7 € D; là những nhát cắt
D được tạo ra tại mỗi đỉnh kéo dài từ gốc tới đỉnh s mà mỗi về phải chưa
được định dạng Cịn điều kiện (4#)? > dk((a*,w),k € K(r),7 € Bs vé
phải đã được định dạng nhờ phân nhánh Do vậy, từ nay trở đi chúng ta sẽ xem bài tốn (2.12)-(2.13) như là "bài tốn điểm" 7; đối với đỉnh s
Ký hiệu v, va V, theo thứ tự là những cận dưới và cận trên của "bài tốn điểm" được chỉ ra bởi thuật tốn 72” Trước khi trình bày thuật tốn một
cách chính thức, chúng ta cần chỉ ra rằng những nhát cắt D? được tạo ra
tại đỉnh s € @ là cĩ hiệu lực với tất cả các đỉnh sau này của s Tuy nhiên,
Trang 36@ vì định dạng nhát cắt đã được thực hiện sau khi phân nhánh theo Mệnh
đề 2.3.1.2 đã nêu 2.3.2 Thuật tốn
Bây giờ chúng ta sẽ trình bày một cách chính thức 2”, thuật tốn nhánh
và cắt giải bài tốn (SA/IP) với biến ở giai đoạn thứ nhất liên tục, mà
chúng ta gọi đĩ 1A thuat toén D? — CBAC (Continuous Branch and Cut)
Ký hiệu £ là tập hợp các "bài tốn điểm" được mở ra; ị là cận dưới của giá trị tối ưu; V là cận trên của giá trị tối ưu; œ; là cận dưới của giá trị
tối ưu đối với bài tốn đỉnh s; V; là cận trên của giá trị tối ưu đối với bài tốn đỉnh s: k là chỉ số bước lặp đối với "bài tốn điểm": k; là chỉ số bước lặp đối với "bài tốn điểm" s; z” là phương án tối ưu (nghiệm)
Thuật tốn được trình bày sau đây là thuật tốn 2? — ŒBAC Đây là
sự kết hợp giữa nhát cắt 2” với quá trình thực hiện phân nhánh và cắt liên tục
Bước 0 (Bắt đầu) Giả sử e > 0 và z! € X da cho k = 0,1, ,V =
œ, — —œ và các bài tốn điểm gốc (2.12)(2.13) và tập £ các bài tốn
đỉnh đã được mở
Bước 1 (Kết thúc) Nếu £ = Ú, kết thúc với nghiệm +”
Ngược lại, chọn một bài tốn điểm ?; từ tập hợp £ của các bài tốn đang mở và đặt £ := £\ P; Gan k:=k +1
Bước 2 (Sử dụng thuật tốn 2” cho bài tốn điểm) Sử dụng một bước lặp của thuật tốn D? cho bài tốn điểm , Lưu những nhân
tử {AZ¡.AZ¿} và {Af¡,Aƒ„} Những nhân tử này xác định
(0(0),50()) (P1), 31()),
tương ting d(x, w) va d*(x,w) d6i véi moi k va moi w € 2
Các bước lặp của thuật tốn 7ˆ sẽ kết thúc nếu một trong những điều
Trang 37() Bài tốn đỉnh (2.12) trở nên khơng thoả mãn;
(H) Vì, — 0y, < £; (iti) Vi, — ve, > e
Nếu diéu kién (i) là đúng
Bỏ qua đỉnh này Trở lại buée 1: Ngược lại, nếu điều kiện (ii) đúng
Định dạng hiện tại:
Nếu W+¿ < V
Gán VỀ := Vặ ;U := Up v= UR:
Chấp nhận đỉnh này là tối ưu ứng với 1”;
Thiết lập lại danh sách bài tốn £ bằng việc loại bỏ các bài tốn cĩ 0; > V, nghĩa là gán £:= £\ {;|u;ạ > V};
Ngược lại, xác định cận của bài tốn điểm này Trở lại bước 1;
Ngược lại, nếu (ii) đúng Chuyển sang bước 3
Bước 3 (Phân nhánh) Sử dụng Mệnh đề 2.3.1.1 và thực hiện phân
nhánh để tạo ra hai bài tốn điểm 7,, , của bài tốn (2.12)-(2.13) Kết
nạp vào các bài tốn đang mở, nghĩa là
£:= £U{P,„,, P,, }
Vì mục đích lựa chọn đỉnh để phân nhánh với việc ghi nhận Us, VO Us, 1d
cận dưới của giá trị hàm mục tiêu 2 bài tốn điểm (2.12) tương ứng sau
phân nhánh nên từ đây, ta trở lại bước 1
2.3.3 Sự hội tụ của thuật tốn D? — CBAC
Trang 38Chitng minh Mot dinh s co the thuc hién thuat toén néu V, — ủy < £
hoặc bài tốn điểm khơng kha thi Dat
Y(z) = {w | W 3 r(œ) — T()+, y > 0,-y; > —1.7 € J;}
và giả sử 1; là tập các chỉ số xác định phép tuyển những biến cho Ư; Vì ta c6 vé phai dk(x,w) nhu nhau v6i moi k € K(r),7 € Ư;, những lát cắt
được sử dụng ở giai đoạn hai là những mặt của Y(z)n (tu < 0)}U {w¿ > 1));ei,
Từ tập phương án của giai đoạn hai cĩ thể được mơ tả như là tập hợp
tuyển mặt Do quá trình lồi liên tiếp sinh ra bao lồi của tập hợp đĩ, nên
qua nhiều lần (hữu hạn) phân hoạch 7' quá trình phân nhánh và tính cận sẽ tìm ra đỉnh s thoả mãn V¿ — t¿ < e hoặc một bài tốn điểm khơng khả
thi dạng (2.12)
Điều đĩ chứng minh kết luận của Bồ đề m
2.3.3.2 Dịnh lý Với giá thiết (AI — A3) được thực hiện, khi đĩ thuật todn D? — CBAC da néu, sau hitu hạn bước lặp sẽ lầm ra phương án tối
tu của bài tốn (2.1)(2.2),
Chứng minh Trong thuật tốn D?—~ ŒB AC cĩ thể chỉ làm với thời gian
nhiều lần hữu hạn Điều này cho phép nhiều biến tuyển ở giai đoạn hai sẽ dấn đến nhiều trường hợp vé phải {đễ(œ,œ:)}¿ca„ với một số # và mọi
w Ặ€ 9 Kết quả là cĩ nhiều phép chia hữu hạn của tập phương án giai đoạn một liên tục được xem xét Vì vậy theo Bổ đề 2.3.3.1, mỗi đỉnh s sẽ
được xét tới trong quá trình của thuật tốn Tính tối ưu của phương án là do tính hiệu lực của quá trình cận trên và cận dưới được sử dụng
Trang 39KET LUAN
Luan văn đã giải quyết được một số vấn đề như sau:
1 Trình bày được đầy đủ, những khái niệm và kiến thức cơ sở của xác suất thống kê Dồng thời trình bày bài tốn quy hoạch tuyến tính nguyên, bài tốn quy hoạch tuyến tính nguyên ngẫu nhiên, với một số hướng tiếp cận giải nĩ
2 Tìm được ví dụ minh hoạ cho ý nghĩa thực tế của mơ hình tốn học cần nghiên cứu Trên cơ sở đĩ trình bày được bài tốn (SA/TP) (Stochastic Mixed-Integer Programming) cần giải và nghiên cứu các tính chất của nĩ
3 Phân tích và trình bày được nhát cắt D? (Disjunctive Decomposition - Phân nhánh lựa chọn) nhằm làm cơng cụ hỗ trợ cho việc giải bài tốn
(SMIP)
4 Lam rõ được phép phân nhánh và tính cận bổ trợ cho thuật tốn
nhánh và cắt
5 Trình bày thuật tốn nhánh và cắt, cĩ sử dụng tới thuật tốn D?, nhằm giải bài tốn cần nghiên cứu của đề tài Từ đĩ chứng minh được sự
hội tụ của thuật tốn
Do thời gian và trình độ cĩ hạn nên một số vấn đề cần được tiếp tục nghiên cứu bao gồm:
Trang 40TAI LIỆU THAM KHẢO
[1] Nguyễn Văn Quảng, (2007), Giáo trành Xác suất, NXB Dai học Quốc
gia Hà Nội
[2] Tran Xuan Sinh, (2004), Các phương pháp ngẫu nhiên giải bài tốn
quy hoạch, Đài giảng dùng cho học viên Sau Đại học, chuyên ngành XSTK
Tốn học, Đại học Vĩnh
[3] Nguyễn Duy Tiến - Vũ Viết Yên, (2001), Lý thuyết „ác suất, NXB Giáo dục, Hà Nội
[4] J F Benders, (1962), Prartitioning procedures for solving mixed-variable programming problems Numerische Mathmatik, No.4, 238-252
[5] L Ntaimo and S Sen, (2006), A Branch-and-Cut Algorithm for Two-
Stage Stochastic Mixed-Binary Programs with Continuous First-Stage Vari- ables, Department of Industrial and Systems Engineering, Taxas A& M
University, 3131 TAMU, College Station, TX 77843, USA
[6] S Sen and J L Higle (2005), The C® theorem and a D? Algorithm
for Large Scale Stochastic Mixed-Integer Programs with Continuous First-