1. Trang chủ
  2. » Luận Văn - Báo Cáo

thuật toán xấp xỉ giải một lớp bài toán đầu tư tài chính ngẫu nhiên

35 311 0
Tài liệu được quét OCR, nội dung có thể không chính xác

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 35
Dung lượng 4,6 MB

Nội dung

Trang 1

Mở đầu các 5

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 7

1.1 Một số van đề cơ bản của lý thuyết xác suất 7

1.1.1 Các khái niệm cơ bản 7

1.1.2 Các đặc trưng của biến ngẫu nhiên 10

1.2 Một số vấn đề cơ bản về lý thuyết thống kê_ 12

1.2.1 Mẫu và các cách xác định mẫu 12

1.2.2 Dặc trưng mẫu c2: 12 1.2.3 Phương pháp thử ngẫu nhiên 14

1.3 Dài tốn quy hoạch tuyến tính ngẫu nhiên_ 16

1.3.1 Bài tốn quy hoạch tuyến tính ngẫu nhiên hai giai đoạn 16

1.3.2 Một số tính chất và hướng tiếp cận giải 18

Chương 2 Thuật tốn xấp xỉ giải một lớp bài tốn đầu tư tài chính ngẫu nhiên nhiều giai đoạn 20

2.1 Mơ hình bài tốn 2n nha 20 2.1.1 Bài tốn đầu tư tài chính ngẫu nhiên nhiều giai đoạn 20

2.1.2 Thiết lập mơ hình tốn học_ 22

2.2 Một số kỹ thuật cơ bẳn_ 23

2.2.1 Các giả thiết và ký hiệu 23

2.2.2 Nhát cắt và thuật tốn tính tốn cắt 24

2.3 Thuật tốn xấp xỉ giải bài tốn (ASLP) 29

2.3.1 Thuật tốn lấy mẫu xấp xỉ ngồi 29

Trang 3

MỞ ĐẦU

Lý thuyết tối ưu là một trong những bộ mơn cĩ nhiều ứng dụng trong

thực tế Tuy nhiên, nhiều nội dung lý thuyết chỉ mới đề cập đến các bài

tốn dạng tất định (với thơng tin về dữ liệu đầy đủ) Nhiều bài tốn trong

điều khiển tối ứu lại cĩ thơng tin phụ thuộc đại lượng ngẫu nhiên Khi đĩ ta cĩ bài tốn tối tu ngẫu nhiên Song song với Lý thuyết giải tích ngẫu

nhiên, Lý thuyết xác suất ngẫu nhiên, bộ mơn Tối tru ngẫu nhiên cũng đã

được quan tâm nghiên cứu nhiều

Trong nghiên cứu hiện nay về tối ưu ngẫu nhiên, cĩ hai hướng cơ bản

Đĩ là hướng nghiên cứu lý thuyết và hướng nghiên cứu ứng dụng Là một giáo viên Phổ thơng trung học và là học viên cao học, đang tập dượt nghiên cứu khoa học, tơi chọn hướng thứ hai: Thử fờm một ứng đụng thực tế trong

những điều hiểu biết đã được học

Với định hướng như vậy, dưới sự giúp đỡ của giáo viên hướng dẫn và

tiếp xúc với các cơng trình khoa học về tối ưu hố ngẫu nhiên, tơi lựa chọn

đề tài: "Thuật tốn sắp xỉ giải một lớp bài tốn đều tư tài chánh ngẫu nhiên "

Nhiệm vụ mà chúng tơi cần thực hiện trong suốt quá trình nghiên cứu

làm luận văn tốt nghiệp này là tìm hiểu bài tốn thực tế về một lớp bài tốn đầu tư tài chính Từ đĩ ứng dụng một số kết quả của các tác giả Z

L Chen va W B Powell [5], A B Philpott va Z Guan [7] lam co sd ly

luận nghiên cứu bài tốn thực tế đặt ra Nội dung của luận văn bao gồm hai chương:

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Trong chương này chúng tơi trình bày các

Trang 4

Chương 2: Thuật tốn xấp xỉ giải một lớp bài tốn đầu tư tài chính

ngẫu nhiên nhiều giai đoạn Đây là nội dung chính của luận văn Trong chương này, chúng tơi trình bày lớp bài tốn đầu tư tài chính ngẫu nhiên

cần nghiên cứu Trên cơ sở đĩ nghiên cứu mơ hình tổng quát của nĩ Từ

đĩ, trình bày các thuật tốn giải bài tốn đặt ra

Luận văn được thực hiện và hồn thành tại trường Đại học Vinh, dưới

sự hướng dẫn khoa học của PGS T8 Trần Xuân Sinh Tác giả xin bày tỏ

lịng biết ơn sâu sắc tới thầy về sự hướng dẫn tận tâm của thầy đối với tác

giả trong suốt thời gian học tập và nghiên cứu

Nhãn dịp này, tác giả xin gửi lời cảm ơn tới các thầy, cơ giáo trong Bộ mơn Xác suất Thống kê và Tốn ứng dụng, các thầy cơ giáo trong Hội

đồng chấm luận văn, Khoa Tốn, Phịng Sau Đại học, Trường Đại học

Vinh Đồng thời, tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn đối với Trường Trung học

phổ thơng Anh Sơn II về sự giúp đỡ, tạo điều kiện cho chúng tơi học tập,

cơng tác trong thời gian qua

Cũng nhân dịp này, cho phép chúng tơi nĩi lời cảm ơn tới gia đình và bạn bè, đã quan tâm, gĩp ý và tạo điều kiện giúp đỡ tác giả thực hiện luận văn này

Mặc dù đã cố gắng song luận văn khơng thể tránh khỏi những sai sĩt

Tác giả mong nhận được những đĩng gĩp của quý thầy cơ giáo và các bạn để luận văn được hồn thiện hơn

Tác giả xin chân thành cảm ơn!

Trang 5

KIEN THỨC CHUAN BI

1.1 Một số vấn đề cơ bản của lý thuyết xác suất

Trong mục này, chúng tơi trình bày một số khái niệm và tính chất cơ

bản của lý thuyết xác suất nhằm phục vụ cho việc nghiên cứu của đề tài

1.1.1 Các khái niệm cơ bản

Để cĩ khái niệm về xác suất, tuỳ theo yêu cầu và mức độ nghiên cứu

khác nhau, ở đây chúng tơi trình bày ba cách định nghĩa như sau:

Trước hết chúng ta hình thành khái niệm phép thử ngẫu nhiên và khơng

gian biến cố sơ cấp Để nghiên cứu các hiện tượng ngẫu nhiên, người ta

cần tiến hành các phép thử ngẫu nhiên Phép thử ngẫu nhiên là một hành

động mà kết quả của nĩ là ngẫu nhiên, khơng dự báo trước được Khi đĩ

tập hợp tất cả các kết quả cĩ thể cĩ của phép thử ngẫu nhiên được gọi là khơng gian các biến cố sơ cấp và được ký hiệu bởi chữ © Mỗi phần tử

ằ € © được gọi là một biến cố sơ cấp (BCSC)

1.1.1.1 Định nghĩa theo tần suất của một biến cố Giả sử phép

thử G cĩ thể lặp đi lặp lại ø lần độc lập nhau 4 là một biến cố của G

Giả sử trong ø lần thử như vậy, 4 xuất hiện k„(.4) lần Khi đĩ tỉ số

kin (A

f(A) = n

được gọi là tan suat xudt hién cla bién c6 A trong n phép thit da cho

Người ta thấy rằng khi số phép thử tăng lên vơ hạn, tần xuất ƒ„(4) dần tới một giới hạn xác định Giới hạn đĩ được gọi là xác suất của A và được

ký hiéu 1a P(A)

1.1.1.2 Định nghĩa theo hình học Cho khơng gian biến cố sơ cấp

Trang 6

va Q dude biéu dién béi mot tap do dude Hg Khi do néu bién c6 A được biểu diễn bởi một tập đo được Hy (k¥ hiéu 1a do do H,) thi số

độ đo Hà

— độ đo Họ được gọi là zác suất của biến cố A

P(A)

1.1.1.3 Dinh nghia theo tién dé Các định nghĩa xác suất nêu trên rất tiện lợi trong việc giải một số lớp bài tốn ứng dụng cụ thể Tuy nhiên, để cĩ tính khái quát và chặt chẽ tốn học, người ta xây dựng khái niệm

xác suất bằng một hệ tiên đề thơng qua các khái niệm ø-đại số và khơng

gian đo như sau:

Cho O là một tập tuỳ ý khác rỗng, Z là một ơ-đại số các tập con của Ĩ, khi đĩ (O 7) là một khơng gian đo Một ánh xạ P:7—=R được gọi là độ đo zác suất trên Z nếu thộ mãn các tiên đề: ¡) P(A) >0, với VA € Z ii) P(Q) = 1, iii) Néu A, € F.(n = 1,2, ),A;04; = A;4; = 0,(¡Z 7), thì ( Ù An) _Š P(A,) n=1 n=l

Khi cho Q ¥ 0, F 1a mot o-dai số các tập con của 1, P 1a dé do xéc

suat trén F Ta dude b6 ba (Q, F,P) goi la khéng gian xác suất

Tap Q goi lA khong gian bién cé so cap

Méi A € F goi 1A một biến cĩ

Cho khơng gian xác suất (O, Z7, P) và biến c6 A Khi d6 gid tri P(A)

được gọi là zác suất của biến cố A

Trang 7

Xác suất cĩ tính chất + P(0) = 0, + Nếu AB = J thì P(AU B) = P(A) + P(B) + Nếu AC P thì P(B\ A) = P(B) — P(A), + P(AU B) = P(A) + P(B) — P(AB), + P(U¡ 4s) S$ Ui P(An),

+ (B6 dé Borel-Cantelli) Gid sit (An) la day cac bién cé Khi dé

1) Nếu 3) P(Aa) < œ thì P(limsup Aa) = 0;

ii) Néu 30%, P(An) = 00 va (An) déc lap thi P(limsup A,) = 1

trong đĩ om

lim sup A, = f1 U Ak

n=l k=n

Gia sit (2, F) 1A mot khong gian do, R = [—o0; too]

Hàm thực X = X(œ) xác định trên © lấy giá trị trên R gọi là hàm

Z - đo được hoặc gọi là bến ngẫu nhiên suy rộng nêu {w:X(w) € Bk} = X7(B) EF với mỗi B € B(R) (trong d6 B(R) lao - đại số các tập Borel của trục thực R) Néu X:O>R=(_-œ;+œ)

thì X được gọi là biến ngẫu nhiên hoặc đại lượng ngẫu nhiên

Hàm ¿ : (R*, 6(R*)) —: (B Ø(R)) được gọi là hàm Borel, nếu nĩ là hàm Z(") - đo được, nghĩa là

Trang 8

Giả sử X là biến ngẫu nhiên xác định trên (O, Z,P), nhận giá trị trên R Hàm số Ƒy (+) —= P[X < z], (+ € R) được gọi là bừm phân phối của biến ngẫu nhiên X

1.1.2 Các đặc trưng của biến ngẫu nhiên

1.1.2.1 Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên

a) Định nghĩa Giả sử X : (O, Z,P) — (R,) là đại lượng ngẫu nhiên Khi đĩ tích phân Lebesgue của X theo độ đo lP (nếu tồn tại) được gọi là

ky vong X va ky hiệu là EX

b) Cac tinh chat

1 Nếu X >0 thì EX >0

2 Néu X =C thi EX = C, véi C 1A hang sé

3 Nếu tồn tại EX thì với mọi hằng số À, ta cĩ E(AX) = AEX 4 Nếu tồn tại EX và EY thì E(X +Y) = EX +EY

¬" So cape, néu X rdi rac, va P(X = xz) = pr

pe +p(z)dz, nếu X liên tục, cĩ hàm mật do 1a p(x)

6 (Định lý P Levy về sự hội tụ đơn điện) Nếu X„ † ÄX (ương ứng X„ | X) va ton tai n đểEXj < œ (tương ứng EX; < œ) thà EXạ † EX (tương ting EX, | EX)

7 (Bo dé Fatou) Néu X, > Y,Vn >1 va EY > —o0 thi

ElimX, < limEX;,, Nếu X„ < Y,Vn > 1 tà EY < œ thà

ElimX„ > limEX„,

Nếu |X„| < Y,Vn > 1 va EY <0 thi

ElimX, < limEX, < imEX, < ElimX„

8 (Dinh ly Lebesgue vé su hoi tu bi chan) Néw |X,| < Y,Vn > 1, EY <

Trang 9

9 Nếu @ là hàm lồi, X va @(X) khá tích thì E(e(X)) > @(EX) 10 Nếu X vai Y déc lap thi E(XY) = EX.EY

1.1.2.2 Phương sai của biến ngẫu nhiên

a) Định nghĩa Phương sưi của biến ngẫu nhiên X, ký hiệu là DX

(hay var X) 1a một số được xác định bởi

DX =R(X_—EX)?

khi đĩ

Dx S2 y(øx — EX)?p,, nếu X rời rạc, và P(X = z;) = Ðạ,

JŠ(œ—EX)?p(+)dz nếu X liên tục, cĩ hàm mật độ là ø(z+) b) Các tính chất

1 DX >0,DX =0 khi va chi khi X = EX — hằng số h.c.c

2 Với mợi hằng số À thà D(XX) = A*DX

3 DX = EX? — (EX)?

4 Nếu X,Y độc lập thi D(X $Y) — DX + DY

5 Véi moi hang s6 \, ta c6 E(X — A)? > E(X —EX)? Dau bang ray ra

khi va chi khi EX = X

1.1.3.3 Moment của biến ngẫu nhiên

Giả sử X là biến ngẫu nhiên, khi đĩ số mr = EX*

(nếu tồn tại) được gọi là mmomen‡ cấp k của X, cịn số a, = E(X —EX)*

(nếu tồn tại) được gọi là mmomem‡ trưng tâm cấp k của X

Nhận xét Từ khái niệm moment cấp k của biến ngẫu nhiên X, cho ta thấy moment cấp 1 chính là kỳ vọng và moment trung tâm cấp 2 chính là

Trang 10

1.2 Một số vấn đề cơ bản về lý thuyết thống kê

Trong mục này, chúng tơi trình bày một số khái niệm và tính chất cơ

bản của lý thuyết thống kê trên cơ sở đã biết các khái niệm về xác suất ở

mục 1.1

1.2.1 Mẫu và các cách xác định mẫu

o Tap hợp cĩ các phần tử là đối tượng mà chúng ta nghiên cứu gọi là tổng thể Số phần tử của tổng thể gọi là kích thước của tổng thể Nếu từ

tổng thể ta chọn ra ø phần tử thì ø phần tử đĩ gọi là một mẫu cĩ kích thước ø được chọn từ tổng thể

o Khi chọn mẫu, nếu phần tử đã chọn loại ra khỏi tổng thể, đối với mỗi lần chọn tiếp theo thì gọi là xấu khơng hồn lại Nếu phần tử đã chọn trả lại tổng thể, rồi mới chọn phần tử tiếp theo thì gọi là zmấu cĩ hồn lại

o Mau được gọi là mẫu ngẫu nhiên nếu nĩ được chọn một cách nào đĩ để bảo đảm tính khách quan, ngẫu nhiên

o JKhi tổng thể cĩ kích thước lớn thì ta khơng phân biệt mẫu khơng hồn

lại và mẫu cĩ hồn lại

o6 Ta gọi mẫu định tính là mẫu mà ta quan tâm đến các phần tử của nĩ

cĩ một tính chất A nào đĩ hay khơng

Trang 11

hiệu X;.i = 1, ,n la két qua quan sát lần thứ ¡ về X Khi đĩ ta được

(XI X› , Xa) là mẫu ngẫu nhiên Đồng thời trưng bình mẫu được xác định theo cơng thức n ~ i X= Xs j=l o Tinh chat 1 Néu X =C hang số thì X = Ơ 2 Nếu X >0 thì X > 0

3 Với mọi hằng số À ta cĩ (AX) = \X

4 Véi2 bién quan sét X,Y thi (X EY) =XHY 5 Nếu X,Y là 2 bién quan sat déc lap thi XY = XY 6 Ta cĩ +EX=a=EX: DX-= ¬ trong đĩ ở là phương sai; +X - noo + Fà-uua(ø) — O(a) = Ze JF„ Fd v2z o6 Nhận xét Từ tính chất 6, khi kích thước mẫu ø khá lớn người ta thường xấp xỉ: + X&a=EX; (X-a)vn + Tas 2 N(a, 7)

c) Kỳ vọng và phương sai mẫu

cĩ phân phối xấp xỉ (0,1), hay là X cĩ phân phối xấp xỉ

Từ mẫu ngẫu nhiên (X;, , X;) cĩ được từ biến ngẫu nhiên X, ta xây

dựng biến ngẫu nhiên rời rạc X” nhận ø giá trị mẫu với xác suất đều bằng

1/n, tức là P(X = X;) = 1/n Khi đĩ ta cĩ hàm phân phối thực nghiệm (hay gọi là hàm phân phối mẫu

F(x) = P(X' < +)

Trang 12

o Dinh nghia Ky vong mau chia X” được xác định theo cơng thức 1 Tì EX'=X=_-) Xj Lúc này ta cĩ kỳ vọng và phương sai của trung bình mẫu — 12 EX = — EX; = EX, = le DX @& DX =— DX; = —=— nà n n Phương sưi mẫu được xác định theo cơng thức lv =, low — s{⁄J)=—Ề s(Ä) nà j `(X;,—-X)=_—Ề ) nde ¡ `X?-(X} —(X) o Tính chất 1 s(X) >0 Đặt s(X) = \/s2(X) goi la độ lệch mẫu 2 Nếu X = Œ hằng số thì s”(X) = 0

Mọi hằng số À, ta cĩ s”(A.X) = A?.s?(X)

Nếu X,Y độc lập thì s°(X +Y) = s?(X) + s(Y) Es?(X) = ®10?; n oo mm C2 s(X) - X -(X)) ——ø: M000 Nếu X € N(a,ø”) thi T = a c6 phan phéi Student véi n — 1 bac tu do o Nhan xét Khi ø đủ lén ta c6 s?(X) + 0? = DX

1.2.3 Phương pháp thử ngẫu nhiên

Phương pháp thử ngẫu nhiên (hay cịn gọi là phương pháp Monte Carlo)

là phương pháp số giải các bài tốn bằng cách mơ hình hố các đại lượng ngẫu nhiên Về mặt nội dung, phương pháp này liên quan tới tư tưởng xây

dựng một quá trình ngẫu nhiên giả tạo cĩ tất cả những đặc tính cần thiết

Trang 13

được ở mọi nơi, miễn là ở đĩ bài tốn cho phép mơ tả bằng tồn thể hay

một phần của lý thuyết xác suất, dù rằng bài tốn đĩ cĩ thể đã cĩ nội dung tiền định chặt chẽ

Các bộ phận cấu thành của phương pháp là:

- Xây dựng các mơ hình xác suất của các quá trình thực tiễn cần nghiên cứu;

- Mơ hình hố các đặc trưng ngẫu nhiên với luật phân phối cho trước;

- Giải các bài tốn của lý thuyết ước lượng thống kê

Giá trị thực tiễn của phương pháp thử ngẫu nhiên là nĩ thay những

phép thử bởi các kết quả tính tốn dựa trên các đại lượng ngẫu nhiên Bởi vậy, cĩ thể xây dựng được các đặc trưng cần thiết của quá trình cần

nghiên cứu, mà khơng cần dùng các phương pháp mơ tả sự thay đổi của

quá trình đã cho Bài tốn cơ bản của phương pháp thử ngẫu nhiên là xác định xác suất của các sự kiện bất kỳ và các giá trị trung bình của các đại lượng ngẫu nhiên qua kết quả của các phép thử lặp đi lặp lại nhiều lần

Cơ sở của lược đồ chung về phương pháp thử ngẫu nhiên là định lý giới hạn trung tâm Theo định lý đĩ thì cĩ thể coi mọi đại lượng „ chưa biết như là kỳ vọng tốn học của một đại lượng ngẫu nhiên nào đĩ, tức là E£ = m, với phương sai Dé = ø” Từ định lý giới hạn trung tâm ta cĩ hệ thức

30

Pl Iw &;— J mị < 2} 0,907, VN

trong đĩ é;, (7 = 1,2,, ), là các giá trị của đại lượng ngẫu nhiên é nhận được ở mỗi một trong N phép thử

lIệ thức đĩ xác định số chưa biết zø và đồng thời đánh giá được sai số Từ hệ thức đĩ suy ra rằng khi tăng số phép thử thì độ chính xác của

nghiệm tăng lên

Trang 14

để tiến hành phép thử ngẫu nhiên và thực hiện một cách ngẫu nhiên Tuy

nhiên, trong thực tế thường dùng một cơ chế tiêu chuẩn để sản sinh ra các đại lượng ngẫu nhiên cĩ phân phối đều trên một miền nào đĩ Cĩ thể nhận

được số ngẫu nhiên ở phương pháp thử ngẫu nhiên theo một trong những

phương pháp đã biết

Nhược điểm quan trọng của phương pháp thử ngẫu nhiên là để nhận được các đặc trưng của quá trình nghiên cứu với độ chính xác cho trước

thì cần quá nhiều phép thử Chẳng hạn, với độ chính xác z > 0 cho trước,

để nhận được giá trị trung bình # của đại lượng ngẫu nhiên £, thì cần phải

tiến hành số phép thử là N = ape trong đĩ 2£ là phương sai của £ Như

vậy với D£ — 0.01 và z = 0,001 thì = 40.000 phép thử Mỗi phép thử,

độ phức tạp tính tốn của thuật tốn phụ thuộc độ dài dữ liệu, tức là phụ

thuộc số biến ø của bài tốn

Vì vậy, phương pháp thử ngẫu nhiên mà chúng ta nêu sau đây để giải

bài tốn quy hoạch thường cũng chỉ áp dụng được với các bài tốn cĩ số

ấn khơng lớn lắm (số ẩn + khơng lớn hơn 30)

1.3 Bài tốn quy hoạch tuyến tính ngẫu nhiên

Bài tốn quy hoạch tuyến tính ngẫu nhiên là bài tốn quy hoạch tuyến

tính với thơng tin về dữ liệu khơng đầy đủ, phụ thuộc vào đại lượng ngẫu

nhiên Trong mục này, chúng tơi mơ tả khái quát các bài tốn cĩ liên quan

dẫn đến bài tốn đề tài đã nêu

1.3.1 Bài tốn quy hoạch tuyến tính ngẫu nhiên hai giai đoạn Bài tốn quy hoạch tuyến tính tổng quát cĩ thể đưa về dạng

min { f(x) = cla} (LP)

` Ar =b

với điều kiện

Trang 15

Bài tốn quy hoạch tuyến tính nêu trên, nếu cĩ các phần tử của ma

trận 4,b,c xác định ngẫu nhiên thì được gọi là bài tốn quy hoạch tuyến tính ngẫu nhiên (Stochastic Linear Programs) Để nghiên cứu bài tốn quy

hoạch tuyến tính ngẫu nhiên, tuỳ theo yêu cầu thực tế mà cĩ nhiều cách

tiếp cận khác nhau Thơng thường, người ta xét tới các lớp bài tốn: Quy

hoạch tuyến tính ngẫu nhiên một giai đoạn: Quy hoạch tuyến tính ngẫu nhiên hai giai đoạn: Quy hoạch tuyến tính ngẫu nhiên nhiều giai đoạn

Ỏ giai đoạn thứ nhất, với dữ liệu ban đầu đã biết nào đĩ, người ta giải

bài tốn và tìm được phương án tối u Sang giai đoạn thứ hai, do tác động của đại lượng ngẫu nhiên nên cần điều chỉnh lại phương án và phương án

tối ưu bằng việc thêm biến phạt và vectơ phạt Từ đĩ ta cần giải bài tốn

quy hoạch tuyến tính 2 giai đoạn cĩ dạng ở giai đoạn thứ hai là min {cfz + E„(Q(z,6'))} với điều kiện J ““=! œ >0, trong đĩ Q(z+,œ) = min q với điều kiện Awe + Dy = bw) „>0

Ham Q(r,w) dude gọi là hàm hiệu chinh V6i w € IR” 1a vecto ngau nhiên; E(@(z,s)) biểu diễn kỳ vọng của biến ngẫu nhién Q(x,w); vecto x vA y

tương ứng là các biến của giai đoạn thứ nhất và giai đoạn thứ hai; D là ma

trận cấp zm (thơng thường cĩ thể lấy ma trận đơn vị); = (1,a, -;/m); Dụ thể hiện độ lệch giữa Az với b và q = (ại,q g„) gọi 1A vecto phat

bởi tác động của đại lượng ngẫu nhién w

Trang 16

Giai doan thit hai, bién y cho nghiệm thu được khi hiệu chỉnh nghiệm

sd b6 x ca giai doan thứ nhất với thơng tin xác định

Do vậy, bài tốn quy hoạch tuyến tính đã nêu, tương đương với việc giải bài tốn mm (72, T min {cfz + E„(q“ w(«))} Ax =b T(w)a + Dy(w) = h(w) với điều kiện 4 + > 0 yw) 20 y(.) EY

trong đĩ Y là khơng gian các hàm đo được

1.3.2 Một số tính chất và phương pháp tiếp cận giải

1.3.2.1 Định lý Hàm số Q(%,ú'), được xác định bởi x € R" vaw € ©; Q(%,6) nhận các giá trị trơng [—oe, Lo] là hàm lỗi theo biến z, lay vdi moiw EQ

Chitng minh Xem [3]

1.3.2.2 Hé qua Ham muc tiéu

g(a) =e + Excl Q(a.0)]

của bài tốn quụ hoạch tuyến tính ngẫu nhién hai giai doan la ham loi

1.3.2.3 Phương pháp tiếp cận giải

Trang 17

pháp thử ngẫu nhiên, phương pháp cắt, phương pháp cắt kết hợp thử ngẫu

nhiên,

Về phương pháp thử ngẫu nhiên, chúng tơi đã trình bày trong mục 1.2.3 Sau đây chúng tơi nêu ý tưởng của phương pháp cắt Di vào kỹ thuật cắt trong luận văn này, chúng tơi sẽ trình bày chỉ tiết trong chương 2

Nếu từ bài tốn quy hoạch tuyến tính đã cho, với tập phương án M, ta

bổ sung thêm điều kiện

n

Sodje; = bm+1 (*)

j=l

sao cho tập phương án M’ cia bai tốn mới là tập con thuc su cia M,

nghĩa là A/' C A/, thì ta nĩi bất đẳng thức (*) là một nhát cắt đối với bài

tốn quy hoạch tuyến tính đã cho

Phương pháp dùng nhát cắt để thu hẹp tập phương án là một trong

những phương pháp thường dùng khi đi tìm thuật tốn giải cho từng lĩp bài tốn riêng biệt Chẳng hạn [3]: Cac nhat cit Gomory, nhát cắt tọa độ,

Trang 18

Chương 2

THUẬT TỐN XẤP XỈ GIẢI MỘT LỚP BÀI TỐN

ĐẦU TƯ TÀI CHÍNH NGAU NHIÊN NHIỀU GIAI ĐOẠN

2.1 Mơ hình bài tốn

2.1.1 Bài tốn đầu tư tài chính ngẫu nhiên nhiều giai đoạn

Một Cơng ty dự định đầu tư tài chính vào một cơ sở sẩn xuất nw loại

sản phẩm, thực hiện nhiều giai đoạn, từ z» loại nguyên liệu Dể sản xuất một đơn vị sản phẩm loại j thi can chi phi cj don vị nguyên liệu loại ¿,

Trang 19

zœ>0

trong đĩ e = (cj), a = (aj) € BR", b= (bị) ER”, claw = YY ejay, A =

(c¡;) và quan hệ (<) hoặc (>) giữa hai vectơ được hiểu theo nghĩa so sánh

các toạ độ tương ứng

Trong thực tế sản xuất, các gid tri lai suat c;, chi phi cj; và khả năng cung cấp nguyên liệu b; thường biến động ngẫu nhiên, phụ thuộc đại lượng ngẫu nhiên w Từ đĩ dẫn tới bài tốn quy hoạch ngẫu nhiên max { ƒ = cf(œ)#} (2.1) với điều kiện A(w)a < bw), (2.2) x>0 (2.3)

Như chúng ta đã biết, mơ hình bài tốn quy hoạch ngẫu nhiên nêu trên

dẫn đến giai đoạn hai, điều chỉnh phương án tối ưu bằng việc xử lý yếu tố ngẫu nhiên ø' tác động vào dữ liệu Chú ý rằng bài tốn max { ƒ(+) : z O} tương đương với bài tốn min { — ƒ(z) : z € Q} Do vậy, từ đây về sau,

bài tốn đã nêu ở giai đoạn hai được thiết lập dưới dạng

min {eTz + E„(Q(+,œ))} với điều kiện

trong đĩ

Trang 20

A(w)a + Dụ < b(w),

y>0

2.1.2 Thiét lap m6 hinh nhiéu giai doan

Như đã nêu trên, đối với bài tốn đầu tư sản xuất khơng thể chỉ điều

chỉnh 1 lần phương án tối ưu, mà phải điều chỉnh nhiều lần Chẳng hạn, ở

giai đoạn 2, ta đã tìm được phương án tối ưu cho bài tốn

min {z0 + Ey, (Q(x, u1))}

với điều kiện

Ax <b,

gt > 0

Sau 1 đơn vị thời gian biến động (chẳng hạn 1 năm hoặc 1 quý), lúc này

giá trị ø) khơng cịn tối ưu nữa, mà là 1 biến mới cần được điều chỉnh tối

ưu với đại lượng ngẫu nhiên ằ›¡ đã xuất hiện, ta lại cần điều chỉnh phương

án tối ưu trong việc đầu tư sản xuất theo thời gian mới, dẫn đến bài tốn

min {7z + E,, (Q(a®, w»))}

` Ax® <b

với điều kiện

ge > 0

Để ổn định thu nhập, thơng thường việc đầu tư sản xuất được tiến hành

trong giai đoạn dài, gồm nhiều lần điều chỉnh phương án tối tru nhằm phù

hợp sự biến động ngẫu nhiên Do vậy, ở giai đoạn ¿, # — 2,3, nào đĩ sẽ cĩ

liên hệ với giai đoạn trước đĩ #— 1 và dẫn đến bài tốn quy hoạch tuyến tính

ngau nhién nhiéu giai doan (Multi-stage Stochastic Linear Programming)

Trang 21

với điều kiện /

ct" > 0

Như vậy, từ mơ hình bài tốn đầu tư sản xuất đã nêu, chúng ta cĩ được

mơ hình tốn học bài tốn quy hoạch tuyến tính ngẫu nhiên nhiều giai

doan (I/SLP)

2.2 Một số kỹ thuật cơ bản 2.2.1 Các giả thiết và ký hiệu

Trong suốt chương 2, chúng tơi hạn chế bài tốn (SP) với những giả thiết được đặt ra

(Ai) Biến ngẫu nhiên chỉ xuất hiện bên phải của sự ràng buộc tuyến

tính trong mỗi giai đoạn

(4s) Tập hợp ©; của kết quả ngẫu nhiên trong mỗi giai đoạn f =

2,3, , 7 là rời rạc và hữu hạn, nghĩa là

OQ = {wy |i=1,.-.q < 00}, vdi xác suất pụ > 0, Vị (A;) Biến ngẫu nhiên trong mỗi giai đoạn khác nhau thì độc lập

(4¿) Tập phương án của bài tốn quy hoạch tuyến tính trong mỗi giai

đoạn thì khác rỗng và bị chặn

Ky hiéu

x; 1a vecto (ma tran) quyét dinh 6 giai doan t; c 1a vecto (ma tran) chi phi 6 giai đoạn ¿;

c7 là ma trận chuyển vị của ¢;;

A, la ma tran hệ số về trái điều kiện buộc ở giai đoạn í;

B, là ma trận điều kiện buộc về phải liên kết ở giai đoạn f và giai đoạn

t+

Trang 22

nhiên nhiều giai đoạn, cĩ thể được trình bày dưới dạng sau: [LP.]lQ¡ = min {cTx, + Qo(ai)} + oy Ai — bị với điều kiện ¡>0 với mọi £ = 2,3 , Ứ, ứ Q¿(—1) = SE ri Qa we) i=l

trong đĩ Q,(%/_¡.œ%) được định nghĩa như sau

(LPiQ/(16—1 00w) — min {cp a + Qr-i(ai)}

Apt, = w;, — Bey xy

với điều kiện om ‘ oe

2,>0

và đặt Qr¿¡ =0

Bài tốn [J,] phụ thuộc vào cách chọn œ¿ và z;_¡, nên chúng ta cĩ thể viết [LP/(œ¡_\,œ¿)| Với giả thiết (4s), bài tốn [L3] sẽ cĨ œ_1,6—a độc lập

2.2.2 Nhát cắt và thuật tốn tính tốn cắt

Trong mục này, chúng ta xét đến hàm Q,(z;_¡) trong mỗi giai đoạn được xấp xỉ dần bởi các hàm tuyến tính, được gọi là một nhát cắt

2.2.2.1 Các ký hiệu

Trong mỗi lần lặp k = I,2, , chúng ta xét đến là tập phương án {z} :

£ = 1, ,T— 1} và tập các nhát cắt cho mỗi giai đoạn £ = 1, , 7— 1 Theo cách này sẽ làm tăng thêm một dãy các bài tốn xấp xỉ [A4], k = 1,2,

cho mỗi giai đoạn cho như sau

Trang 23

e Với f — I, ta cĩ bài tốn tuyến tính

[APH ck = min {cla +0} 2 02 Aian = Ủị với điều kiện 4 0; 1 (2j)7z¡ > a¿;j, j—0, ,k—1 › +] > 0 e Với í¡ =2, ,7 — 1, ta cĩ bài tốn tuyến tính kì #}ŒyÈ — 2v) — 7 TT, (APS) cf(aj_y,4%) = min {cf x, + O.1} #uổ¿+¡ oy ok Ayn; = «4 — By vy,

với điều kien 9 0,4) + (64.,)T a, > ory, 7 =0, ,8-1 trong d6 a% 11, 3x )1 1 cc hé 86 d& duge xc dinh trong [4]

Sau cùng với mỗi fk 6 giai doan T, ta dat [AP] = [LPr]

Bai todn [AP*] 1a x4p xi cua bai toan [LP,], nghĩa là Q¿¡(+) là xấp xỉ

bởi hàm đa diện

pmax {Amiu— (đa) m):

Theo cách này mỗi lời giải của bài tốn [A4P*] cho ta một cận dưới của

giá tri toi uu bai todn [LP]

Trong tat ca cdc giai doan, dau tién nhat cat (j = 0) 1a nhu nhat cat binh

thường f;.¡ > —oe Ta dùng ký hiệu c}(œ;_¡) để biểu thị Hệ puck (a1 W)

Trong giai doan cudi T, ta c6 [APF] = [LPy] vi méi xr; va u; thi

h(er-1,wr) = Qr(er-i,wr), k= 1,2,

Khi các nhát cắt được bổ sung từ sự lặp tiếp theo và khơng cĩ nhát cắt

Trang 24

cf (24-1, a) 2 ch (21-1, 4), t= 2,3, ,T,

rà c#*1 uk

va ch = cy

Mặt khac, theo gia thiét (A,) ta cĩ

{x | Aix, =u, - Baw, ry > 0}

thì khác rỗng và bị chặn, cho nên bài tốn [4*] luơn cĩ tập phương án khác rỗng (với 0,,¡ chọn đủ lớn) và từ đĩ cĩ một lời giải tối tru

Như vậy ta cĩ một lời giải tối ưu (7, ø,), ở đây z, tương ứng sự ràng

buộc đẳng thức và ø; tương ứng sự ràng buộc nhát cắt Hơn nữa theo giả

thiết (.4;), tập các điểm cực biên của bài tốn [.17| thì độc lập Sau đĩ

ta sẽ xây dựng một nhát cắt hữu hiệu tại mỗi giai đoạn dựa trên tập hợp

D} lời giải tối ưu các điểm cực biên từ các mẫu khác nhau

Ban đầu tại bước lặp = 0, D? = ¢ Bat ky dãy lặp k hệ số nhát

cắt tại mỗi giai đoạn t = 1,2 ,7 — I được tính tốn theo thuật tốn

trình bày dưới đây Thuật tốn cĩ tên gọi là (huật tốn tính tốn cắt (Cu\ Calculation Algorithm)

2.2.2.2 Thuật tốn tính tốn cắt

Bước 1 Chọn mot mau OF C ©,, giải bài tốn [AP| với tất cd wy; € OF

và bổ sung vào lời giải tối ưu các điểm cực biên 7}

Bước 2 Giả sử (/(z‡ ¡) ø/(ø‡ ¡)) là lời giải tốt nhất trong DĐ} cho bài tốn [AP], với mỗi œ„ € ©¿, thế thì nếu f < 7 thì

(mi(x? 1), (#4) = argmax{j (su — B.~izi) Lí đặn | (mpi) € D}},

và z‡(‡ _¡) = argmax{†(œr¡ — Br_i+‡_¡) |r € DỆ}

Bước 3 Nhát cắt cĩ cơng thức

Trang 25

trong đĩ a BF = À `pị BỆ (3i(x),), với 9 <£<T, i=l & - - nk = »." ¬ + (ak FY pi(ak_)], với 2 <t£<T— 1, m qr T i(k aT,.h = › Dri Wr; đT(ƒ— 1): i=l

Chú ý rằng a,„¿ là một vơ hung, cdn a7} vectơ (k— 1) chiều Theo cách này kích thước của œƑ”† và øj(z‡ ,) tăng lên như là sự tăng lên của lần lặp * và vì thế tập hợp các lời giải tối u các điểm cực biên của bài tốn

[4P] cĩ thể vơ hạn Mặt khác, tập hợp các giá trị phân biệt của (đƑ, a;„)

thì chắc chắn hữu hạn, ta sẽ chứng tỏ điều này qua Mệnh đề trong mục 2.2.2.3 sau đây

2.2.2.3 Tính hữu hạn của thuật tốn 2.2.2

Với mỗi £ = 2,3, , 7, ta định nghĩa tập hợp

G† ={(Ø,%j): 7= 1,2,3 — 1}

Mệnh đề sau đây khẳng định tính hữu hạn của thuật tốn 2.2.2

Mệnh đề Với bất kỳ dấu G} k —= 1.2, được sinh ra bởi sự lặp lại của

thuật lốn 2.2.2, thà lồn tựi mạ sao cho tất cả k ta cĩ

[GE |< m

Hon nữa, tồn tai ky sao cho néu k > ky thi Gk = GI

Chitng minh Ta xét bat ky day Gk, k =1,2, được sinh ra bởi sự lặp lại của thuật tốn 2.2.2 Chúng ta chứng minh bằng quy nap theo t de xay dựng ?n; sao cho

œ* <m

Trang 26

Đầu tién tai T, pr = 0 va 7 lA mot điểm cực biên của 1z | Alr < cr} Khi đĩ, các hệ số nhát cắt ar Ti k ŒT,jy —= > Privy Ty (x1), ¿=1 ar Br = » PriB†_ ¡11 (1‡—¡) i=l 28 244 sx 4 or : cv ¬( — „2Œ > k chỉ cĩ thể lây nhiều nhat THỊ 4 giá trị, và nếu my = mặt) thì | G† |< rmr v6i moi k Bây giờ giả sử tại ¿, tỒn tại ;m;.¡ sao cho với mọi k, cĩ được | GE |< THỊ+1: +x 2 4 x À ` £ ` ky `

Diéu do cho thay rang t6n tai kj), ma néu k > ky, thi GE, = Gy va

nhát cắt tại bước lặp k > k¿.¡ là lặp lại các nhát cắt đã thực hiện Ta xĩt tập phương án của bài tốn [A7], ký hiệu là

kod kot

Hk = { (7, 00) | Ala, + 2/0 <a, Soe =1, 72> 0Ì

j=l #1

Nếu k > k,,¡ thì bất kỳ điểm cực biên (z‡, ø‡) của // tương ứng một t y t> Pi t 5 5

điểm cực biên (z.ø) :Ð0 của H Re với sự giống nhau giá trị khách quan, bao t gong 8 juan,

Trang 27

Tương tự

8È = 3 mi “(8E 1);

cĩ thể lấy nhiều nhất (e;)* giá trị và nếu m; = (e;)?*, vậy thì | G‡ |< mụ

Đĩ là điều phải chứng minh Oo

2.3 Thuật tốn xấp xỉ giải bài tốn (\/SLP)

2.3.1 Thuật tốn lấy mẫu xấp xỉ ngồi

Thuật tốn được trình bày dựa trên các tính chất mẫu của các phép thử

được đặt ra sau đây:

1) Với mỗi j = 1.9, Min siựi 0à uới „ác suất 1 la cĩ

[{k: {wy |t=2.3 , T—1}=wœ()NẬ =

ii) Voi méi t = 2,3, ,T, i= 1,2, ,q Đà uới xác suất L ta cĩ

{hs we € OF}| = 00

Sau day chúng tơi trình bày thuật tốn mẫu xấp xỉ ngồi (Dynamic

Outer Approximation Sampling Algorithms) Bước 0 Dặt # := 1

Bước 1 Thử một kết quả riêng lể ¿„¿ của biến ngẫu nhiên trong mỗi

giai đoạn £ = 2,3, 7 — 1 cho một nhánh riêng lẻ {u} } thoả mãn tính

chất ï) Mỗi giai đoạn £ = 1,2 ,7 — 1 tính tốn lời giải tối ưu (z‡,Ø} ¡)

của bài tốn [47]

Bước 2 Với mỗi giai đoạn f = 7) 7 — 1, 2, áp dụng thuật tốn 2.2.2

để tạo ra một nhát cắt tại z‡_, với mẫu OF thoả mãn tính chất ii)

Bước 3 Đặt k :— k + 1 và trở về bước 1

Chú ý

L Tính chất ¡) cho rằng mỗi sự phân nhánh œ(7) là đường ngang vơ hạn

Trang 28

+ Tính chất ii) cho rằng mỗi kết quả phân nhánh ¿„¡ thì được xem xét

nhiều lần với xác suất 1

Cĩ nhiều phép thử thoả mãn hai tính chất trên, ví dụ như xét tính độc

lập của phép thử một kết quả riêng lẻ trong mỗi giai đoạn cĩ xác suất

hầu chắc chắn với mỗi w;; trong tinh chat i) va ii) tương ứng Bằng Bo dé Borel-Cantclli người ta chỉ ra rằng phương pháp này thoả mãn cả hai tính

chất trên

Nĩi cách khác phép thử thoả mãn tính chất ï) và ii) là lặp lại một sự vét kiệt của mỗi sự phân nhánh œ(7), 7 = 1.2 , Hƒ 2! trong cả hai tính

chất trên

2.3.2 Thuật tốn N-mẫu xấp xỉ ngồi

Trong mục 2.4, chúng ta sẽ xem xét tính hội tụ của thuật tốn lấy mẫu

xấp xỉ ngồi Trong mục này, chúng ta cần chú ý đến thuật tốn N-mẫu

xấp xỉ ngồi, mà thuật tốn lấy mẫu xấp xỉ ngồi sẽ thực hiện theo mẫu

Bước 0 Dặt k :— 1, véi s :-= 1 dén N, chọn tại mỗi giai đoạn f =

2,3, ,7'— 1 một kết quả riêng lẻ ¿„„ của biến ngẫu nhiên đưa đến một

tập sự phân nhánh

Bước 1 Với mỗi phân nhánh s và giai đoạn £ = 1,2, 7'— 1 tính tốn

lời giải tối ưu (z?,,Ø°, ¡) của bài tốn [APF]

Bước 2 Mỗi giai đoạn £ = 7,7 — 1 2, áp dụng thuật tốn 2.2.2 để

tạo ra V nhát cắt tại mỗi trạng thái +Ÿ, ¡ với mẫu ©*, s = 1,9, N

Bước 3 Đặt k := k + 1 và trở về bước 1

2.4 Sự hội tụ hầu chắc chắn của thuật tốn 2.3.1 2.4.1 Sự hội tụ

Trang 29

thuật tốn 2.3.2 trong một số hữu hạn bước sẽ cho ta giá trị limC† là bằng nhau theo giá trị kỳ uọng tối wu của bài loứn [LP)]

Chiing minh Với mỗi s = 1,2 , N, kể từ k = 1,2 và một nhát cắt

thì được xây dựng trong mỗi lần lặp k, theo Bổ đề 1 với f € {2, T} thì tồn tại k;„ Như thế nếu k > &;„ thì G‡ — Gs và như vay là khơng cĩ sự

thay đổi trong định nghĩa nhát cắt ck /(#s¿—¡) cho mỗi #;¿—¡

max ¡1g — (đˆ)Tz;¡_ ¡}= max {@¿j— (9) Tz;¿_1}

j= 0, ¬

Với † € {2, T}, nếu ta chọn k¿ = "- {k;¿} thì với mỗi k > ky

khơng cĩ sự thay đổi trong định nghĩa nhát cắt C?(œ_¡), với mỗi z;_¡ max {ag = Toy t=, _max {œ¿j — (0)Tz,_.}

Như vậy tất cả lời giải (z†,6) cho bài tốn 47] thì giống nhau với

k > kạ, cũng như tất cả lời giải (af, 1) cho bài tốn [47], t = 2.3, T Do vậy, thuật tốn 2.3.1 kết thúc sau bước lặp #¿ Dễ thấy rằng với mỗi

k giá trị tối ưu của bài tốn [AP#] cho ta một cận dưới của giá trị kỳ vọng

tối ưu của bài tốn [LP] L]

2.4.1.2 Bổ đề 7hco tính chất at) va thuật tốn 2.3.2 vdi toan bộ sự phân nhánh, sự hội tụ h.c.c cho ta một lời giải tối tu của bài tốn [LP,|

trơng một số hữu hạn bước lặp

Chứng minh Từ Bồ đề 2.4.1.1 trong mỗi cách thể hiện của sự lặp lại,

thuật tốn 2.3.2 sẽ hội tụ sau một số hữu hạn các bước đến lim¿ Œ† cho ta một cận dưới của giá trị kỳ vọng tối ưu

Bây giờ ta xét một cách thể hiện sự lặp lại của thuật tốn 2.3.2 và chỉ rõ

giới hạn cách giải quyết bởi (%¡, #a(œ»), , #3(s.œ), ) thì đã đạt được

tại sự lặp lại k

Trang 30

Với mỗi k > k và bất kỳ sự phân nhanh w,

C?(#r~(2)) = Qr(#r—i ()) (2.4)

Với xác suất 1,

C?(Er—¡ (0), s2r)) = Qr(Er~i (6°), er),

VỚI mỌI ¿JT

Mặt khác cho vài kết quả riêng biệt @;, ta cĩ ơy # OỆ cho mỗi k > k

với xác suất chắc chắn nĩ vi phạm tính chất ii) Bây giờ nếu k > k thi với mỗi sự phân nhánh ¿ C†_1(#r—»(@)) = Qr—1(#r—s(6)) (2.5) Cho vài kết quả riêng biệt (2y_¡, ta cĩ CƑ 1(r-›(0),(ồr—1) < Qr—1(#r—s(0),(9r—1) (2.6) Nhưng CƑ_;(#r_s(œ'),Ưr_¡) = minz;_,a; {ch_,wr-| + Or} Aqaia@r-) = Or) — Br-xFt_9(w), với điều kién 9 67 + (G4)Taz > ar,, j—0,1, ,k— 1, ørr> 9 Ta cĩ lời giải tối ưu VỚI WT] = @r_y Nếu ؇ < c‡(zz_¡) thì với mọi b >k: " ¬ (8h) "tr-i(w)} < C71) = Qr(Fr-a(w)) (2.7)

Nhưng với tính chất ii), v6i xAc sudt 1, vi méi wr cho vai k(wr) > k V6i wr € oer), Nếu giả sử k chỉ giá trị lén nhat cha k(wy) thi chiều cao

của nhát cắt tại #r_¡(œ) ước lượng tại sự lặp Ka Qr(@r-1(w)), mau thuẫn

Trang 31

Or Xp (a) Proven c* (x T-1 (@) dtiidnqqqH | X,(@) Hình 2.1 A46t nhat cat mới được thực hiện Vì thế, ta cĩ Ø = c†(‡—¡) = Qr(x7_1)

Ch @r—2(w),@r-1) = cpa p_y + Qr (a1) = Qr-i(Fr-2(&), Or-1)

mâu thuẫn (2.6), liên quan tới giải thích (2.5) Chú ý là, vì rằng 2r_¡ lấy

tuỳ ý chứng tỏ rằng #r_¡(œ) giải được bài tốn [EPr_¡(#r_a(«!).«+—¡)| với

IỌI (T_—1

Một cách tương tự, dễ dàng chứng tổ bằng phép quy nạp với Z;_¡ (œ') giải

được bài tốn [L/_¡(_›(4'),eœ_¡)], vì thế chứng mình được (Z¡, 52(63),

Za(œ»,œs), ) là lời giải tối ưu Oo

2.4.1.3 Dinh ly Theo tinh chat i) va ii), su hét tu cua thuat todn

2.3.1 uới „ác suất 1 cho ta một lời giải tối wu của bài lốn [LP,] trong một

số hữu hạn bước lặp

Trang 32

N= n3 q¡ sẽ xây ra vơ hạn số lần trong quá trình của thuật tốn với xác

suất 1 Vì thế với xác suất 1 thuật tốn 2.3.1 sẽ gồm một dãy bước lặp thì

nĩ tương đương với thuật tốn 2.3.2 đã áp dụng đến tồn bộ của sự phân

nhánh Chúng ta cĩ thể áp dụng Bổ đề 2.4.1.1 chỉ ra rằng với xác suất 1,

thuật tốn 2.3.1 sẽ hội tụ trong một số hữu hạn bước lặp cho ta lời giải

tối tu của bài tốn (ƑP;] trong một số hữu hạn bước lặp Oo

2.4.2 Về hiệu quả của thuật tốn

Trong một cơng trình của tác giả K Linowsky và A B Philpott đã đặt vài giả thiết khác nhau từ tính chất ï) và ii) gọi đĩ là tính chát phép thử

nhát cắt (CSP) và tính chất mẫu giao nhau (SIP)

Tính chất CSP cho rằng chỉ cĩ một số hữu hạn bước lặp trong thuật

tốn trong đĩ ©Ÿ bằng rỗng Từ khi chúng ta nghiên cứu sự hội tụ khi

k — oc Tính chất CSP rất hiệu quả giống như với giả thiết ©Ÿ khác rỗng,

VỚI mỌi È&

Tinh chat SIP (the Sample Intersection Property) cho rang véi bat ki t, méi uy; € 1; va mdi k (QF F 0),

P[(wu E oF) nN (wt = wa) > 0

Tính chất (SIP) nêu rõ như sau:

Voi moi wy E OQ, va mdi k (QE A) thi

P[u# = uy] > 0 (2.8)

Play € OF] > 0 (2.9)

Dịnh lý sau đây chứng tỏ rằng, tính chất SIP là đủ để thoả mãn tính

chất ï) và ii) nếu nĩ xảy ra cùng với phép thử độc lập

2.4.2.1 Định lý Cho phép thử độc lập trong tính chất 4), tinh chat

SIP la hé qua cua tinh chat i)

Cho phép thử độc lập tới tinh chat ii), tính chất SIP là hệ quả của tính

Trang 33

Chiing minh Theo tinh chat SIP, véi (2.8) va phép tht déc lap trong

tính chất ï), với mọi sự phân nhánh œ(7), với uw, € œ(7),t = 2,3 ,T— 1,

°[⁄#) =s0]= [P‡ =<] >0

Khi đĩ với phép thử độc lập trong ï), bằng Bổ đề Borel-Cantelli, cĩ vơ

hạn các đường ngang của mỗi sự phân nhánh 4t(7), j = 1,2, , HỆ 3ø với xác suất 1, va thé là tính chất ¡) được thoả mãn

Với (2.9) và phép thử độc lập trong tính chất ii) bằng Bổ đề Borel-

Cantelli cĩ vơ hạn xem xét cho mỗi œ„; với xác suất 1 cho nên tính chất ii)

Trang 34

KET LUAN

Luận văn đã cĩ được một số đĩng gĩp như sau:

1 Trình bày một cách hệ thống những khái niệm và kiến thức cơ sở

nhằm phục vụ cho việc nghiên cứu các vấn đè cĩ liên quan trong luận văn

Cụ thể đã trình bày các vấn đề: về một số nội dung cần thiết của lý thuyết xác suất, về bài tốn quy hoạch ngẫu nhiên và phương pháp xấp xỉ giải

bài tốn quy hoạch ngẫu nhiên

2 Xem xét bài tốn đầu tư tài chính nhiều giai đoạn Từ đĩ tổng quát

hố mơ hình tốn học, xem xét một số kỹ thuật phân tích bài tốn

3 Dưa ra thuật tốn xấp xỉ giải bài tốn đã đặt ra

4 Phát biểu và chứng minh về tính hữu hạn của thuật tốn cũng như

tính hội tụ hầu chắc chắn của nĩ

Khi cĩ điều kiện cho phép, chúng tơi sẽ cố gắng tiếp tục nghiên cứu:

o Xây dựng thêm mơ hình ứng dụng trong các bài tốn thực tế

Trang 35

[1] Đào Hữu Hồ (1996), Xác suất thống kê, NXB Dại học Quốc gia Hà

Nội

[2l Nguyễn Văn Quảng (2007), Giáo trành xác suất, ĐXB Dai học Quốc

gia Hà Nội

[3] Trần Xuân Sinh, (2005), Các phương pháp ngẫu nhiên giải bài tốn quy

hoạch, Bài giẳng dùng cho Cao học chuyên ngành Xác suất Thống kê tốn

hoc, Dai hoc Vinh

[4] Nguyễn Duy Tiến - Vũ Viết Yên (2001), 7ý thuyết xác suất, ĐXB Giáo

dục, Hà Nội

|5| Z L Chen and W B Powell, (1999), A Convergent Cutting-Plane

and Partial-Sampling Algorithm for Multistage Stochastic Linear Programs with Recourse, Journal of Optimization Theory and Applications, 102 (1999), 497-524

[6] K Linowsky and A B Philpott (2005), On the Convergence of Sampling-

Based Decomposition Algorithms for Multistage Stochastic Programs, Jour- nal of Optimization Theory and Applications, Vol 125, No.2, 3490366, DOT: 10.1007/s10957-004-1842-z

[7] A B Philpott and Z Guan (2006), On the Convergence of Stochas- tic Dual dynamic Programming and Related Methods, The University of

Auckland, Private Bag 92019, Auckland, New Zealand

[8] A Shapiro, D Dentcheva and A Ruszczyiski (2010), Lectures on

Ngày đăng: 09/10/2014, 01:22

TỪ KHÓA LIÊN QUAN

TÀI LIỆU CÙNG NGƯỜI DÙNG

TÀI LIỆU LIÊN QUAN

w