Mở đầu các 5
Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 7
1.1 Một số van đề cơ bản của lý thuyết xác suất 7
1.1.1 Các khái niệm cơ bản 7
1.1.2 Các đặc trưng của biến ngẫu nhiên 10
1.2 Một số vấn đề cơ bản về lý thuyết thống kê_ 12
1.2.1 Mẫu và các cách xác định mẫu 12
1.2.2 Dặc trưng mẫu c2: 12 1.2.3 Phương pháp thử ngẫu nhiên 14
1.3 Dài tốn quy hoạch tuyến tính ngẫu nhiên_ 16
1.3.1 Bài tốn quy hoạch tuyến tính ngẫu nhiên hai giai đoạn 16
1.3.2 Một số tính chất và hướng tiếp cận giải 18
Chương 2 Thuật tốn xấp xỉ giải một lớp bài tốn đầu tư tài chính ngẫu nhiên nhiều giai đoạn 20
2.1 Mơ hình bài tốn 2n nha 20 2.1.1 Bài tốn đầu tư tài chính ngẫu nhiên nhiều giai đoạn 20
2.1.2 Thiết lập mơ hình tốn học_ 22
2.2 Một số kỹ thuật cơ bẳn_ 23
2.2.1 Các giả thiết và ký hiệu 23
2.2.2 Nhát cắt và thuật tốn tính tốn cắt 24
2.3 Thuật tốn xấp xỉ giải bài tốn (ASLP) 29
2.3.1 Thuật tốn lấy mẫu xấp xỉ ngồi 29
Trang 3MỞ ĐẦU
Lý thuyết tối ưu là một trong những bộ mơn cĩ nhiều ứng dụng trong
thực tế Tuy nhiên, nhiều nội dung lý thuyết chỉ mới đề cập đến các bài
tốn dạng tất định (với thơng tin về dữ liệu đầy đủ) Nhiều bài tốn trong
điều khiển tối ứu lại cĩ thơng tin phụ thuộc đại lượng ngẫu nhiên Khi đĩ ta cĩ bài tốn tối tu ngẫu nhiên Song song với Lý thuyết giải tích ngẫu
nhiên, Lý thuyết xác suất ngẫu nhiên, bộ mơn Tối tru ngẫu nhiên cũng đã
được quan tâm nghiên cứu nhiều
Trong nghiên cứu hiện nay về tối ưu ngẫu nhiên, cĩ hai hướng cơ bản
Đĩ là hướng nghiên cứu lý thuyết và hướng nghiên cứu ứng dụng Là một giáo viên Phổ thơng trung học và là học viên cao học, đang tập dượt nghiên cứu khoa học, tơi chọn hướng thứ hai: Thử fờm một ứng đụng thực tế trong
những điều hiểu biết đã được học
Với định hướng như vậy, dưới sự giúp đỡ của giáo viên hướng dẫn và
tiếp xúc với các cơng trình khoa học về tối ưu hố ngẫu nhiên, tơi lựa chọn
đề tài: "Thuật tốn sắp xỉ giải một lớp bài tốn đều tư tài chánh ngẫu nhiên "
Nhiệm vụ mà chúng tơi cần thực hiện trong suốt quá trình nghiên cứu
làm luận văn tốt nghiệp này là tìm hiểu bài tốn thực tế về một lớp bài tốn đầu tư tài chính Từ đĩ ứng dụng một số kết quả của các tác giả Z
L Chen va W B Powell [5], A B Philpott va Z Guan [7] lam co sd ly
luận nghiên cứu bài tốn thực tế đặt ra Nội dung của luận văn bao gồm hai chương:
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Trong chương này chúng tơi trình bày các
Trang 4Chương 2: Thuật tốn xấp xỉ giải một lớp bài tốn đầu tư tài chính
ngẫu nhiên nhiều giai đoạn Đây là nội dung chính của luận văn Trong chương này, chúng tơi trình bày lớp bài tốn đầu tư tài chính ngẫu nhiên
cần nghiên cứu Trên cơ sở đĩ nghiên cứu mơ hình tổng quát của nĩ Từ
đĩ, trình bày các thuật tốn giải bài tốn đặt ra
Luận văn được thực hiện và hồn thành tại trường Đại học Vinh, dưới
sự hướng dẫn khoa học của PGS T8 Trần Xuân Sinh Tác giả xin bày tỏ
lịng biết ơn sâu sắc tới thầy về sự hướng dẫn tận tâm của thầy đối với tác
giả trong suốt thời gian học tập và nghiên cứu
Nhãn dịp này, tác giả xin gửi lời cảm ơn tới các thầy, cơ giáo trong Bộ mơn Xác suất Thống kê và Tốn ứng dụng, các thầy cơ giáo trong Hội
đồng chấm luận văn, Khoa Tốn, Phịng Sau Đại học, Trường Đại học
Vinh Đồng thời, tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn đối với Trường Trung học
phổ thơng Anh Sơn II về sự giúp đỡ, tạo điều kiện cho chúng tơi học tập,
cơng tác trong thời gian qua
Cũng nhân dịp này, cho phép chúng tơi nĩi lời cảm ơn tới gia đình và bạn bè, đã quan tâm, gĩp ý và tạo điều kiện giúp đỡ tác giả thực hiện luận văn này
Mặc dù đã cố gắng song luận văn khơng thể tránh khỏi những sai sĩt
Tác giả mong nhận được những đĩng gĩp của quý thầy cơ giáo và các bạn để luận văn được hồn thiện hơn
Tác giả xin chân thành cảm ơn!
Trang 5KIEN THỨC CHUAN BI
1.1 Một số vấn đề cơ bản của lý thuyết xác suất
Trong mục này, chúng tơi trình bày một số khái niệm và tính chất cơ
bản của lý thuyết xác suất nhằm phục vụ cho việc nghiên cứu của đề tài
1.1.1 Các khái niệm cơ bản
Để cĩ khái niệm về xác suất, tuỳ theo yêu cầu và mức độ nghiên cứu
khác nhau, ở đây chúng tơi trình bày ba cách định nghĩa như sau:
Trước hết chúng ta hình thành khái niệm phép thử ngẫu nhiên và khơng
gian biến cố sơ cấp Để nghiên cứu các hiện tượng ngẫu nhiên, người ta
cần tiến hành các phép thử ngẫu nhiên Phép thử ngẫu nhiên là một hành
động mà kết quả của nĩ là ngẫu nhiên, khơng dự báo trước được Khi đĩ
tập hợp tất cả các kết quả cĩ thể cĩ của phép thử ngẫu nhiên được gọi là khơng gian các biến cố sơ cấp và được ký hiệu bởi chữ © Mỗi phần tử
ằ € © được gọi là một biến cố sơ cấp (BCSC)
1.1.1.1 Định nghĩa theo tần suất của một biến cố Giả sử phép
thử G cĩ thể lặp đi lặp lại ø lần độc lập nhau 4 là một biến cố của G
Giả sử trong ø lần thử như vậy, 4 xuất hiện k„(.4) lần Khi đĩ tỉ số
kin (A
f(A) = n
được gọi là tan suat xudt hién cla bién c6 A trong n phép thit da cho
Người ta thấy rằng khi số phép thử tăng lên vơ hạn, tần xuất ƒ„(4) dần tới một giới hạn xác định Giới hạn đĩ được gọi là xác suất của A và được
ký hiéu 1a P(A)
1.1.1.2 Định nghĩa theo hình học Cho khơng gian biến cố sơ cấp
Trang 6va Q dude biéu dién béi mot tap do dude Hg Khi do néu bién c6 A được biểu diễn bởi một tập đo được Hy (k¥ hiéu 1a do do H,) thi số
độ đo Hà
— độ đo Họ được gọi là zác suất của biến cố A
P(A)
1.1.1.3 Dinh nghia theo tién dé Các định nghĩa xác suất nêu trên rất tiện lợi trong việc giải một số lớp bài tốn ứng dụng cụ thể Tuy nhiên, để cĩ tính khái quát và chặt chẽ tốn học, người ta xây dựng khái niệm
xác suất bằng một hệ tiên đề thơng qua các khái niệm ø-đại số và khơng
gian đo như sau:
Cho O là một tập tuỳ ý khác rỗng, Z là một ơ-đại số các tập con của Ĩ, khi đĩ (O 7) là một khơng gian đo Một ánh xạ P:7—=R được gọi là độ đo zác suất trên Z nếu thộ mãn các tiên đề: ¡) P(A) >0, với VA € Z ii) P(Q) = 1, iii) Néu A, € F.(n = 1,2, ),A;04; = A;4; = 0,(¡Z 7), thì ( Ù An) _Š P(A,) n=1 n=l
Khi cho Q ¥ 0, F 1a mot o-dai số các tập con của 1, P 1a dé do xéc
suat trén F Ta dude b6 ba (Q, F,P) goi la khéng gian xác suất
Tap Q goi lA khong gian bién cé so cap
Méi A € F goi 1A một biến cĩ
Cho khơng gian xác suất (O, Z7, P) và biến c6 A Khi d6 gid tri P(A)
được gọi là zác suất của biến cố A
Trang 7Xác suất cĩ tính chất + P(0) = 0, + Nếu AB = J thì P(AU B) = P(A) + P(B) + Nếu AC P thì P(B\ A) = P(B) — P(A), + P(AU B) = P(A) + P(B) — P(AB), + P(U¡ 4s) S$ Ui P(An),
+ (B6 dé Borel-Cantelli) Gid sit (An) la day cac bién cé Khi dé
1) Nếu 3) P(Aa) < œ thì P(limsup Aa) = 0;
ii) Néu 30%, P(An) = 00 va (An) déc lap thi P(limsup A,) = 1
trong đĩ om
lim sup A, = f1 U Ak
n=l k=n
Gia sit (2, F) 1A mot khong gian do, R = [—o0; too]
Hàm thực X = X(œ) xác định trên © lấy giá trị trên R gọi là hàm
Z - đo được hoặc gọi là bến ngẫu nhiên suy rộng nêu {w:X(w) € Bk} = X7(B) EF với mỗi B € B(R) (trong d6 B(R) lao - đại số các tập Borel của trục thực R) Néu X:O>R=(_-œ;+œ)
thì X được gọi là biến ngẫu nhiên hoặc đại lượng ngẫu nhiên
Hàm ¿ : (R*, 6(R*)) —: (B Ø(R)) được gọi là hàm Borel, nếu nĩ là hàm Z(") - đo được, nghĩa là
Trang 8Giả sử X là biến ngẫu nhiên xác định trên (O, Z,P), nhận giá trị trên R Hàm số Ƒy (+) —= P[X < z], (+ € R) được gọi là bừm phân phối của biến ngẫu nhiên X
1.1.2 Các đặc trưng của biến ngẫu nhiên
1.1.2.1 Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên
a) Định nghĩa Giả sử X : (O, Z,P) — (R,) là đại lượng ngẫu nhiên Khi đĩ tích phân Lebesgue của X theo độ đo lP (nếu tồn tại) được gọi là
ky vong X va ky hiệu là EX
b) Cac tinh chat
1 Nếu X >0 thì EX >0
2 Néu X =C thi EX = C, véi C 1A hang sé
3 Nếu tồn tại EX thì với mọi hằng số À, ta cĩ E(AX) = AEX 4 Nếu tồn tại EX và EY thì E(X +Y) = EX +EY
¬" So cape, néu X rdi rac, va P(X = xz) = pr
pe +p(z)dz, nếu X liên tục, cĩ hàm mật do 1a p(x)
6 (Định lý P Levy về sự hội tụ đơn điện) Nếu X„ † ÄX (ương ứng X„ | X) va ton tai n đểEXj < œ (tương ứng EX; < œ) thà EXạ † EX (tương ting EX, | EX)
7 (Bo dé Fatou) Néu X, > Y,Vn >1 va EY > —o0 thi
ElimX, < limEX;,, Nếu X„ < Y,Vn > 1 tà EY < œ thà
ElimX„ > limEX„,
Nếu |X„| < Y,Vn > 1 va EY <0 thi
ElimX, < limEX, < imEX, < ElimX„
8 (Dinh ly Lebesgue vé su hoi tu bi chan) Néw |X,| < Y,Vn > 1, EY <
Trang 99 Nếu @ là hàm lồi, X va @(X) khá tích thì E(e(X)) > @(EX) 10 Nếu X vai Y déc lap thi E(XY) = EX.EY
1.1.2.2 Phương sai của biến ngẫu nhiên
a) Định nghĩa Phương sưi của biến ngẫu nhiên X, ký hiệu là DX
(hay var X) 1a một số được xác định bởi
DX =R(X_—EX)?
khi đĩ
Dx S2 y(øx — EX)?p,, nếu X rời rạc, và P(X = z;) = Ðạ,
JŠ(œ—EX)?p(+)dz nếu X liên tục, cĩ hàm mật độ là ø(z+) b) Các tính chất
1 DX >0,DX =0 khi va chi khi X = EX — hằng số h.c.c
2 Với mợi hằng số À thà D(XX) = A*DX
3 DX = EX? — (EX)?
4 Nếu X,Y độc lập thi D(X $Y) — DX + DY
5 Véi moi hang s6 \, ta c6 E(X — A)? > E(X —EX)? Dau bang ray ra
khi va chi khi EX = X
1.1.3.3 Moment của biến ngẫu nhiên
Giả sử X là biến ngẫu nhiên, khi đĩ số mr = EX*
(nếu tồn tại) được gọi là mmomen‡ cấp k của X, cịn số a, = E(X —EX)*
(nếu tồn tại) được gọi là mmomem‡ trưng tâm cấp k của X
Nhận xét Từ khái niệm moment cấp k của biến ngẫu nhiên X, cho ta thấy moment cấp 1 chính là kỳ vọng và moment trung tâm cấp 2 chính là
Trang 101.2 Một số vấn đề cơ bản về lý thuyết thống kê
Trong mục này, chúng tơi trình bày một số khái niệm và tính chất cơ
bản của lý thuyết thống kê trên cơ sở đã biết các khái niệm về xác suất ở
mục 1.1
1.2.1 Mẫu và các cách xác định mẫu
o Tap hợp cĩ các phần tử là đối tượng mà chúng ta nghiên cứu gọi là tổng thể Số phần tử của tổng thể gọi là kích thước của tổng thể Nếu từ
tổng thể ta chọn ra ø phần tử thì ø phần tử đĩ gọi là một mẫu cĩ kích thước ø được chọn từ tổng thể
o Khi chọn mẫu, nếu phần tử đã chọn loại ra khỏi tổng thể, đối với mỗi lần chọn tiếp theo thì gọi là xấu khơng hồn lại Nếu phần tử đã chọn trả lại tổng thể, rồi mới chọn phần tử tiếp theo thì gọi là zmấu cĩ hồn lại
o Mau được gọi là mẫu ngẫu nhiên nếu nĩ được chọn một cách nào đĩ để bảo đảm tính khách quan, ngẫu nhiên
o JKhi tổng thể cĩ kích thước lớn thì ta khơng phân biệt mẫu khơng hồn
lại và mẫu cĩ hồn lại
o6 Ta gọi mẫu định tính là mẫu mà ta quan tâm đến các phần tử của nĩ
cĩ một tính chất A nào đĩ hay khơng
Trang 11hiệu X;.i = 1, ,n la két qua quan sát lần thứ ¡ về X Khi đĩ ta được
(XI X› , Xa) là mẫu ngẫu nhiên Đồng thời trưng bình mẫu được xác định theo cơng thức n ~ i X= Xs j=l o Tinh chat 1 Néu X =C hang số thì X = Ơ 2 Nếu X >0 thì X > 0
3 Với mọi hằng số À ta cĩ (AX) = \X
4 Véi2 bién quan sét X,Y thi (X EY) =XHY 5 Nếu X,Y là 2 bién quan sat déc lap thi XY = XY 6 Ta cĩ +EX=a=EX: DX-= ¬ trong đĩ ở là phương sai; +X - noo + Fà-uua(ø) — O(a) = Ze JF„ Fd v2z o6 Nhận xét Từ tính chất 6, khi kích thước mẫu ø khá lớn người ta thường xấp xỉ: + X&a=EX; (X-a)vn + Tas 2 N(a, 7)
c) Kỳ vọng và phương sai mẫu
cĩ phân phối xấp xỉ (0,1), hay là X cĩ phân phối xấp xỉ
Từ mẫu ngẫu nhiên (X;, , X;) cĩ được từ biến ngẫu nhiên X, ta xây
dựng biến ngẫu nhiên rời rạc X” nhận ø giá trị mẫu với xác suất đều bằng
1/n, tức là P(X = X;) = 1/n Khi đĩ ta cĩ hàm phân phối thực nghiệm (hay gọi là hàm phân phối mẫu
F(x) = P(X' < +)
Trang 12o Dinh nghia Ky vong mau chia X” được xác định theo cơng thức 1 Tì EX'=X=_-) Xj Lúc này ta cĩ kỳ vọng và phương sai của trung bình mẫu — 12 EX = — EX; = EX, = le DX @& DX =— DX; = —=— nà n n Phương sưi mẫu được xác định theo cơng thức lv =, low — s{⁄J)=—Ề s(Ä) nà j `(X;,—-X)=_—Ề ) nde ¡ `X?-(X} —(X) o Tính chất 1 s(X) >0 Đặt s(X) = \/s2(X) goi la độ lệch mẫu 2 Nếu X = Œ hằng số thì s”(X) = 0
Mọi hằng số À, ta cĩ s”(A.X) = A?.s?(X)
Nếu X,Y độc lập thì s°(X +Y) = s?(X) + s(Y) Es?(X) = ®10?; n oo mm C2 s(X) - X -(X)) ——ø: M000 Nếu X € N(a,ø”) thi T = a c6 phan phéi Student véi n — 1 bac tu do o Nhan xét Khi ø đủ lén ta c6 s?(X) + 0? = DX
1.2.3 Phương pháp thử ngẫu nhiên
Phương pháp thử ngẫu nhiên (hay cịn gọi là phương pháp Monte Carlo)
là phương pháp số giải các bài tốn bằng cách mơ hình hố các đại lượng ngẫu nhiên Về mặt nội dung, phương pháp này liên quan tới tư tưởng xây
dựng một quá trình ngẫu nhiên giả tạo cĩ tất cả những đặc tính cần thiết
Trang 13được ở mọi nơi, miễn là ở đĩ bài tốn cho phép mơ tả bằng tồn thể hay
một phần của lý thuyết xác suất, dù rằng bài tốn đĩ cĩ thể đã cĩ nội dung tiền định chặt chẽ
Các bộ phận cấu thành của phương pháp là:
- Xây dựng các mơ hình xác suất của các quá trình thực tiễn cần nghiên cứu;
- Mơ hình hố các đặc trưng ngẫu nhiên với luật phân phối cho trước;
- Giải các bài tốn của lý thuyết ước lượng thống kê
Giá trị thực tiễn của phương pháp thử ngẫu nhiên là nĩ thay những
phép thử bởi các kết quả tính tốn dựa trên các đại lượng ngẫu nhiên Bởi vậy, cĩ thể xây dựng được các đặc trưng cần thiết của quá trình cần
nghiên cứu, mà khơng cần dùng các phương pháp mơ tả sự thay đổi của
quá trình đã cho Bài tốn cơ bản của phương pháp thử ngẫu nhiên là xác định xác suất của các sự kiện bất kỳ và các giá trị trung bình của các đại lượng ngẫu nhiên qua kết quả của các phép thử lặp đi lặp lại nhiều lần
Cơ sở của lược đồ chung về phương pháp thử ngẫu nhiên là định lý giới hạn trung tâm Theo định lý đĩ thì cĩ thể coi mọi đại lượng „ chưa biết như là kỳ vọng tốn học của một đại lượng ngẫu nhiên nào đĩ, tức là E£ = m, với phương sai Dé = ø” Từ định lý giới hạn trung tâm ta cĩ hệ thức
30
Pl Iw &;— J mị < 2} 0,907, VN
trong đĩ é;, (7 = 1,2,, ), là các giá trị của đại lượng ngẫu nhiên é nhận được ở mỗi một trong N phép thử
lIệ thức đĩ xác định số chưa biết zø và đồng thời đánh giá được sai số Từ hệ thức đĩ suy ra rằng khi tăng số phép thử thì độ chính xác của
nghiệm tăng lên
Trang 14để tiến hành phép thử ngẫu nhiên và thực hiện một cách ngẫu nhiên Tuy
nhiên, trong thực tế thường dùng một cơ chế tiêu chuẩn để sản sinh ra các đại lượng ngẫu nhiên cĩ phân phối đều trên một miền nào đĩ Cĩ thể nhận
được số ngẫu nhiên ở phương pháp thử ngẫu nhiên theo một trong những
phương pháp đã biết
Nhược điểm quan trọng của phương pháp thử ngẫu nhiên là để nhận được các đặc trưng của quá trình nghiên cứu với độ chính xác cho trước
thì cần quá nhiều phép thử Chẳng hạn, với độ chính xác z > 0 cho trước,
để nhận được giá trị trung bình # của đại lượng ngẫu nhiên £, thì cần phải
tiến hành số phép thử là N = ape trong đĩ 2£ là phương sai của £ Như
vậy với D£ — 0.01 và z = 0,001 thì = 40.000 phép thử Mỗi phép thử,
độ phức tạp tính tốn của thuật tốn phụ thuộc độ dài dữ liệu, tức là phụ
thuộc số biến ø của bài tốn
Vì vậy, phương pháp thử ngẫu nhiên mà chúng ta nêu sau đây để giải
bài tốn quy hoạch thường cũng chỉ áp dụng được với các bài tốn cĩ số
ấn khơng lớn lắm (số ẩn + khơng lớn hơn 30)
1.3 Bài tốn quy hoạch tuyến tính ngẫu nhiên
Bài tốn quy hoạch tuyến tính ngẫu nhiên là bài tốn quy hoạch tuyến
tính với thơng tin về dữ liệu khơng đầy đủ, phụ thuộc vào đại lượng ngẫu
nhiên Trong mục này, chúng tơi mơ tả khái quát các bài tốn cĩ liên quan
dẫn đến bài tốn đề tài đã nêu
1.3.1 Bài tốn quy hoạch tuyến tính ngẫu nhiên hai giai đoạn Bài tốn quy hoạch tuyến tính tổng quát cĩ thể đưa về dạng
min { f(x) = cla} (LP)
` Ar =b
với điều kiện
Trang 15Bài tốn quy hoạch tuyến tính nêu trên, nếu cĩ các phần tử của ma
trận 4,b,c xác định ngẫu nhiên thì được gọi là bài tốn quy hoạch tuyến tính ngẫu nhiên (Stochastic Linear Programs) Để nghiên cứu bài tốn quy
hoạch tuyến tính ngẫu nhiên, tuỳ theo yêu cầu thực tế mà cĩ nhiều cách
tiếp cận khác nhau Thơng thường, người ta xét tới các lớp bài tốn: Quy
hoạch tuyến tính ngẫu nhiên một giai đoạn: Quy hoạch tuyến tính ngẫu nhiên hai giai đoạn: Quy hoạch tuyến tính ngẫu nhiên nhiều giai đoạn
Ỏ giai đoạn thứ nhất, với dữ liệu ban đầu đã biết nào đĩ, người ta giải
bài tốn và tìm được phương án tối u Sang giai đoạn thứ hai, do tác động của đại lượng ngẫu nhiên nên cần điều chỉnh lại phương án và phương án
tối ưu bằng việc thêm biến phạt và vectơ phạt Từ đĩ ta cần giải bài tốn
quy hoạch tuyến tính 2 giai đoạn cĩ dạng ở giai đoạn thứ hai là min {cfz + E„(Q(z,6'))} với điều kiện J ““=! œ >0, trong đĩ Q(z+,œ) = min q với điều kiện Awe + Dy = bw) „>0
Ham Q(r,w) dude gọi là hàm hiệu chinh V6i w € IR” 1a vecto ngau nhiên; E(@(z,s)) biểu diễn kỳ vọng của biến ngẫu nhién Q(x,w); vecto x vA y
tương ứng là các biến của giai đoạn thứ nhất và giai đoạn thứ hai; D là ma
trận cấp zm (thơng thường cĩ thể lấy ma trận đơn vị); = (1,a, -;/m); Dụ thể hiện độ lệch giữa Az với b và q = (ại,q g„) gọi 1A vecto phat
bởi tác động của đại lượng ngẫu nhién w
Trang 16Giai doan thit hai, bién y cho nghiệm thu được khi hiệu chỉnh nghiệm
sd b6 x ca giai doan thứ nhất với thơng tin xác định
Do vậy, bài tốn quy hoạch tuyến tính đã nêu, tương đương với việc giải bài tốn mm (72, T min {cfz + E„(q“ w(«))} Ax =b T(w)a + Dy(w) = h(w) với điều kiện 4 + > 0 yw) 20 y(.) EY
trong đĩ Y là khơng gian các hàm đo được
1.3.2 Một số tính chất và phương pháp tiếp cận giải
1.3.2.1 Định lý Hàm số Q(%,ú'), được xác định bởi x € R" vaw € ©; Q(%,6) nhận các giá trị trơng [—oe, Lo] là hàm lỗi theo biến z, lay vdi moiw EQ
Chitng minh Xem [3]
1.3.2.2 Hé qua Ham muc tiéu
g(a) =e + Excl Q(a.0)]
của bài tốn quụ hoạch tuyến tính ngẫu nhién hai giai doan la ham loi
1.3.2.3 Phương pháp tiếp cận giải
Trang 17pháp thử ngẫu nhiên, phương pháp cắt, phương pháp cắt kết hợp thử ngẫu
nhiên,
Về phương pháp thử ngẫu nhiên, chúng tơi đã trình bày trong mục 1.2.3 Sau đây chúng tơi nêu ý tưởng của phương pháp cắt Di vào kỹ thuật cắt trong luận văn này, chúng tơi sẽ trình bày chỉ tiết trong chương 2
Nếu từ bài tốn quy hoạch tuyến tính đã cho, với tập phương án M, ta
bổ sung thêm điều kiện
n
Sodje; = bm+1 (*)
j=l
sao cho tập phương án M’ cia bai tốn mới là tập con thuc su cia M,
nghĩa là A/' C A/, thì ta nĩi bất đẳng thức (*) là một nhát cắt đối với bài
tốn quy hoạch tuyến tính đã cho
Phương pháp dùng nhát cắt để thu hẹp tập phương án là một trong
những phương pháp thường dùng khi đi tìm thuật tốn giải cho từng lĩp bài tốn riêng biệt Chẳng hạn [3]: Cac nhat cit Gomory, nhát cắt tọa độ,
Trang 18Chương 2
THUẬT TỐN XẤP XỈ GIẢI MỘT LỚP BÀI TỐN
ĐẦU TƯ TÀI CHÍNH NGAU NHIÊN NHIỀU GIAI ĐOẠN
2.1 Mơ hình bài tốn
2.1.1 Bài tốn đầu tư tài chính ngẫu nhiên nhiều giai đoạn
Một Cơng ty dự định đầu tư tài chính vào một cơ sở sẩn xuất nw loại
sản phẩm, thực hiện nhiều giai đoạn, từ z» loại nguyên liệu Dể sản xuất một đơn vị sản phẩm loại j thi can chi phi cj don vị nguyên liệu loại ¿,
Trang 19zœ>0
trong đĩ e = (cj), a = (aj) € BR", b= (bị) ER”, claw = YY ejay, A =
(c¡;) và quan hệ (<) hoặc (>) giữa hai vectơ được hiểu theo nghĩa so sánh
các toạ độ tương ứng
Trong thực tế sản xuất, các gid tri lai suat c;, chi phi cj; và khả năng cung cấp nguyên liệu b; thường biến động ngẫu nhiên, phụ thuộc đại lượng ngẫu nhiên w Từ đĩ dẫn tới bài tốn quy hoạch ngẫu nhiên max { ƒ = cf(œ)#} (2.1) với điều kiện A(w)a < bw), (2.2) x>0 (2.3)
Như chúng ta đã biết, mơ hình bài tốn quy hoạch ngẫu nhiên nêu trên
dẫn đến giai đoạn hai, điều chỉnh phương án tối ưu bằng việc xử lý yếu tố ngẫu nhiên ø' tác động vào dữ liệu Chú ý rằng bài tốn max { ƒ(+) : z O} tương đương với bài tốn min { — ƒ(z) : z € Q} Do vậy, từ đây về sau,
bài tốn đã nêu ở giai đoạn hai được thiết lập dưới dạng
min {eTz + E„(Q(+,œ))} với điều kiện
trong đĩ
Trang 20A(w)a + Dụ < b(w),
y>0
2.1.2 Thiét lap m6 hinh nhiéu giai doan
Như đã nêu trên, đối với bài tốn đầu tư sản xuất khơng thể chỉ điều
chỉnh 1 lần phương án tối ưu, mà phải điều chỉnh nhiều lần Chẳng hạn, ở
giai đoạn 2, ta đã tìm được phương án tối ưu cho bài tốn
min {z0 + Ey, (Q(x, u1))}
với điều kiện
Ax <b,
gt > 0
Sau 1 đơn vị thời gian biến động (chẳng hạn 1 năm hoặc 1 quý), lúc này
giá trị ø) khơng cịn tối ưu nữa, mà là 1 biến mới cần được điều chỉnh tối
ưu với đại lượng ngẫu nhiên ằ›¡ đã xuất hiện, ta lại cần điều chỉnh phương
án tối ưu trong việc đầu tư sản xuất theo thời gian mới, dẫn đến bài tốn
min {7z + E,, (Q(a®, w»))}
` Ax® <b
với điều kiện
ge > 0
Để ổn định thu nhập, thơng thường việc đầu tư sản xuất được tiến hành
trong giai đoạn dài, gồm nhiều lần điều chỉnh phương án tối tru nhằm phù
hợp sự biến động ngẫu nhiên Do vậy, ở giai đoạn ¿, # — 2,3, nào đĩ sẽ cĩ
liên hệ với giai đoạn trước đĩ #— 1 và dẫn đến bài tốn quy hoạch tuyến tính
ngau nhién nhiéu giai doan (Multi-stage Stochastic Linear Programming)
Trang 21với điều kiện /
ct" > 0
Như vậy, từ mơ hình bài tốn đầu tư sản xuất đã nêu, chúng ta cĩ được
mơ hình tốn học bài tốn quy hoạch tuyến tính ngẫu nhiên nhiều giai
doan (I/SLP)
2.2 Một số kỹ thuật cơ bản 2.2.1 Các giả thiết và ký hiệu
Trong suốt chương 2, chúng tơi hạn chế bài tốn (SP) với những giả thiết được đặt ra
(Ai) Biến ngẫu nhiên chỉ xuất hiện bên phải của sự ràng buộc tuyến
tính trong mỗi giai đoạn
(4s) Tập hợp ©; của kết quả ngẫu nhiên trong mỗi giai đoạn f =
2,3, , 7 là rời rạc và hữu hạn, nghĩa là
OQ = {wy |i=1,.-.q < 00}, vdi xác suất pụ > 0, Vị (A;) Biến ngẫu nhiên trong mỗi giai đoạn khác nhau thì độc lập
(4¿) Tập phương án của bài tốn quy hoạch tuyến tính trong mỗi giai
đoạn thì khác rỗng và bị chặn
Ky hiéu
x; 1a vecto (ma tran) quyét dinh 6 giai doan t; c 1a vecto (ma tran) chi phi 6 giai đoạn ¿;
c7 là ma trận chuyển vị của ¢;;
A, la ma tran hệ số về trái điều kiện buộc ở giai đoạn í;
B, là ma trận điều kiện buộc về phải liên kết ở giai đoạn f và giai đoạn
t+
Trang 22nhiên nhiều giai đoạn, cĩ thể được trình bày dưới dạng sau: [LP.]lQ¡ = min {cTx, + Qo(ai)} + oy Ai — bị với điều kiện ¡>0 với mọi £ = 2,3 , Ứ, ứ Q¿(—1) = SE ri Qa we) i=l
trong đĩ Q,(%/_¡.œ%) được định nghĩa như sau
(LPiQ/(16—1 00w) — min {cp a + Qr-i(ai)}
Apt, = w;, — Bey xy
với điều kiện om ‘ oe
2,>0
và đặt Qr¿¡ =0
Bài tốn [J,] phụ thuộc vào cách chọn œ¿ và z;_¡, nên chúng ta cĩ thể viết [LP/(œ¡_\,œ¿)| Với giả thiết (4s), bài tốn [L3] sẽ cĨ œ_1,6—a độc lập
2.2.2 Nhát cắt và thuật tốn tính tốn cắt
Trong mục này, chúng ta xét đến hàm Q,(z;_¡) trong mỗi giai đoạn được xấp xỉ dần bởi các hàm tuyến tính, được gọi là một nhát cắt
2.2.2.1 Các ký hiệu
Trong mỗi lần lặp k = I,2, , chúng ta xét đến là tập phương án {z} :
£ = 1, ,T— 1} và tập các nhát cắt cho mỗi giai đoạn £ = 1, , 7— 1 Theo cách này sẽ làm tăng thêm một dãy các bài tốn xấp xỉ [A4], k = 1,2,
cho mỗi giai đoạn cho như sau
Trang 23e Với f — I, ta cĩ bài tốn tuyến tính
[APH ck = min {cla +0} 2 02 Aian = Ủị với điều kiện 4 0; 1 (2j)7z¡ > a¿;j, j—0, ,k—1 › +] > 0 e Với í¡ =2, ,7 — 1, ta cĩ bài tốn tuyến tính kì #}ŒyÈ — 2v) — 7 TT, (APS) cf(aj_y,4%) = min {cf x, + O.1} #uổ¿+¡ oy ok Ayn; = «4 — By vy,
với điều kien 9 0,4) + (64.,)T a, > ory, 7 =0, ,8-1 trong d6 a% 11, 3x )1 1 cc hé 86 d& duge xc dinh trong [4]
Sau cùng với mỗi fk 6 giai doan T, ta dat [AP] = [LPr]
Bai todn [AP*] 1a x4p xi cua bai toan [LP,], nghĩa là Q¿¡(+) là xấp xỉ
bởi hàm đa diện
pmax {Amiu— (đa) m):
Theo cách này mỗi lời giải của bài tốn [A4P*] cho ta một cận dưới của
giá tri toi uu bai todn [LP]
Trong tat ca cdc giai doan, dau tién nhat cat (j = 0) 1a nhu nhat cat binh
thường f;.¡ > —oe Ta dùng ký hiệu c}(œ;_¡) để biểu thị Hệ puck (a1 W)
Trong giai doan cudi T, ta c6 [APF] = [LPy] vi méi xr; va u; thi
h(er-1,wr) = Qr(er-i,wr), k= 1,2,
Khi các nhát cắt được bổ sung từ sự lặp tiếp theo và khơng cĩ nhát cắt
Trang 24cf (24-1, a) 2 ch (21-1, 4), t= 2,3, ,T,
rà c#*1 uk
va ch = cy
Mặt khac, theo gia thiét (A,) ta cĩ
{x | Aix, =u, - Baw, ry > 0}
thì khác rỗng và bị chặn, cho nên bài tốn [4*] luơn cĩ tập phương án khác rỗng (với 0,,¡ chọn đủ lớn) và từ đĩ cĩ một lời giải tối tru
Như vậy ta cĩ một lời giải tối ưu (7, ø,), ở đây z, tương ứng sự ràng
buộc đẳng thức và ø; tương ứng sự ràng buộc nhát cắt Hơn nữa theo giả
thiết (.4;), tập các điểm cực biên của bài tốn [.17| thì độc lập Sau đĩ
ta sẽ xây dựng một nhát cắt hữu hiệu tại mỗi giai đoạn dựa trên tập hợp
D} lời giải tối ưu các điểm cực biên từ các mẫu khác nhau
Ban đầu tại bước lặp = 0, D? = ¢ Bat ky dãy lặp k hệ số nhát
cắt tại mỗi giai đoạn t = 1,2 ,7 — I được tính tốn theo thuật tốn
trình bày dưới đây Thuật tốn cĩ tên gọi là (huật tốn tính tốn cắt (Cu\ Calculation Algorithm)
2.2.2.2 Thuật tốn tính tốn cắt
Bước 1 Chọn mot mau OF C ©,, giải bài tốn [AP| với tất cd wy; € OF
và bổ sung vào lời giải tối ưu các điểm cực biên 7}
Bước 2 Giả sử (/(z‡ ¡) ø/(ø‡ ¡)) là lời giải tốt nhất trong DĐ} cho bài tốn [AP], với mỗi œ„ € ©¿, thế thì nếu f < 7 thì
(mi(x? 1), (#4) = argmax{j (su — B.~izi) Lí đặn | (mpi) € D}},
và z‡(‡ _¡) = argmax{†(œr¡ — Br_i+‡_¡) |r € DỆ}
Bước 3 Nhát cắt cĩ cơng thức
Trang 25trong đĩ a BF = À `pị BỆ (3i(x),), với 9 <£<T, i=l & - - nk = »." ¬ + (ak FY pi(ak_)], với 2 <t£<T— 1, m qr T i(k aT,.h = › Dri Wr; đT(ƒ— 1): i=l
Chú ý rằng a,„¿ là một vơ hung, cdn a7} vectơ (k— 1) chiều Theo cách này kích thước của œƑ”† và øj(z‡ ,) tăng lên như là sự tăng lên của lần lặp * và vì thế tập hợp các lời giải tối u các điểm cực biên của bài tốn
[4P] cĩ thể vơ hạn Mặt khác, tập hợp các giá trị phân biệt của (đƑ, a;„)
thì chắc chắn hữu hạn, ta sẽ chứng tỏ điều này qua Mệnh đề trong mục 2.2.2.3 sau đây
2.2.2.3 Tính hữu hạn của thuật tốn 2.2.2
Với mỗi £ = 2,3, , 7, ta định nghĩa tập hợp
G† ={(Ø,%j): 7= 1,2,3 — 1}
Mệnh đề sau đây khẳng định tính hữu hạn của thuật tốn 2.2.2
Mệnh đề Với bất kỳ dấu G} k —= 1.2, được sinh ra bởi sự lặp lại của
thuật lốn 2.2.2, thà lồn tựi mạ sao cho tất cả k ta cĩ
[GE |< m
Hon nữa, tồn tai ky sao cho néu k > ky thi Gk = GI
Chitng minh Ta xét bat ky day Gk, k =1,2, được sinh ra bởi sự lặp lại của thuật tốn 2.2.2 Chúng ta chứng minh bằng quy nap theo t de xay dựng ?n; sao cho
œ* <m
Trang 26Đầu tién tai T, pr = 0 va 7 lA mot điểm cực biên của 1z | Alr < cr} Khi đĩ, các hệ số nhát cắt ar Ti k ŒT,jy —= > Privy Ty (x1), ¿=1 ar Br = » PriB†_ ¡11 (1‡—¡) i=l 28 244 sx 4 or : cv ¬( — „2Œ > k chỉ cĩ thể lây nhiều nhat THỊ 4 giá trị, và nếu my = mặt) thì | G† |< rmr v6i moi k Bây giờ giả sử tại ¿, tỒn tại ;m;.¡ sao cho với mọi k, cĩ được | GE |< THỊ+1: +x 2 4 x À ` £ ` ky `
Diéu do cho thay rang t6n tai kj), ma néu k > ky, thi GE, = Gy va
nhát cắt tại bước lặp k > k¿.¡ là lặp lại các nhát cắt đã thực hiện Ta xĩt tập phương án của bài tốn [A7], ký hiệu là
kod kot
Hk = { (7, 00) | Ala, + 2/0 <a, Soe =1, 72> 0Ì
j=l #1
Nếu k > k,,¡ thì bất kỳ điểm cực biên (z‡, ø‡) của // tương ứng một t y t> Pi t 5 5
điểm cực biên (z.ø) :Ð0 của H Re với sự giống nhau giá trị khách quan, bao t gong 8 juan,
Trang 27Tương tự
8È = 3 mi “(8E 1);
cĩ thể lấy nhiều nhất (e;)* giá trị và nếu m; = (e;)?*, vậy thì | G‡ |< mụ
Đĩ là điều phải chứng minh Oo
2.3 Thuật tốn xấp xỉ giải bài tốn (\/SLP)
2.3.1 Thuật tốn lấy mẫu xấp xỉ ngồi
Thuật tốn được trình bày dựa trên các tính chất mẫu của các phép thử
được đặt ra sau đây:
1) Với mỗi j = 1.9, Min siựi 0à uới „ác suất 1 la cĩ
[{k: {wy |t=2.3 , T—1}=wœ()NẬ =
ii) Voi méi t = 2,3, ,T, i= 1,2, ,q Đà uới xác suất L ta cĩ
{hs we € OF}| = 00
Sau day chúng tơi trình bày thuật tốn mẫu xấp xỉ ngồi (Dynamic
Outer Approximation Sampling Algorithms) Bước 0 Dặt # := 1
Bước 1 Thử một kết quả riêng lể ¿„¿ của biến ngẫu nhiên trong mỗi
giai đoạn £ = 2,3, 7 — 1 cho một nhánh riêng lẻ {u} } thoả mãn tính
chất ï) Mỗi giai đoạn £ = 1,2 ,7 — 1 tính tốn lời giải tối ưu (z‡,Ø} ¡)
của bài tốn [47]
Bước 2 Với mỗi giai đoạn f = 7) 7 — 1, 2, áp dụng thuật tốn 2.2.2
để tạo ra một nhát cắt tại z‡_, với mẫu OF thoả mãn tính chất ii)
Bước 3 Đặt k :— k + 1 và trở về bước 1
Chú ý
L Tính chất ¡) cho rằng mỗi sự phân nhánh œ(7) là đường ngang vơ hạn
Trang 28+ Tính chất ii) cho rằng mỗi kết quả phân nhánh ¿„¡ thì được xem xét
nhiều lần với xác suất 1
Cĩ nhiều phép thử thoả mãn hai tính chất trên, ví dụ như xét tính độc
lập của phép thử một kết quả riêng lẻ trong mỗi giai đoạn cĩ xác suất
hầu chắc chắn với mỗi w;; trong tinh chat i) va ii) tương ứng Bằng Bo dé Borel-Cantclli người ta chỉ ra rằng phương pháp này thoả mãn cả hai tính
chất trên
Nĩi cách khác phép thử thoả mãn tính chất ï) và ii) là lặp lại một sự vét kiệt của mỗi sự phân nhánh œ(7), 7 = 1.2 , Hƒ 2! trong cả hai tính
chất trên
2.3.2 Thuật tốn N-mẫu xấp xỉ ngồi
Trong mục 2.4, chúng ta sẽ xem xét tính hội tụ của thuật tốn lấy mẫu
xấp xỉ ngồi Trong mục này, chúng ta cần chú ý đến thuật tốn N-mẫu
xấp xỉ ngồi, mà thuật tốn lấy mẫu xấp xỉ ngồi sẽ thực hiện theo mẫu
Bước 0 Dặt k :— 1, véi s :-= 1 dén N, chọn tại mỗi giai đoạn f =
2,3, ,7'— 1 một kết quả riêng lẻ ¿„„ của biến ngẫu nhiên đưa đến một
tập sự phân nhánh
Bước 1 Với mỗi phân nhánh s và giai đoạn £ = 1,2, 7'— 1 tính tốn
lời giải tối ưu (z?,,Ø°, ¡) của bài tốn [APF]
Bước 2 Mỗi giai đoạn £ = 7,7 — 1 2, áp dụng thuật tốn 2.2.2 để
tạo ra V nhát cắt tại mỗi trạng thái +Ÿ, ¡ với mẫu ©*, s = 1,9, N
Bước 3 Đặt k := k + 1 và trở về bước 1
2.4 Sự hội tụ hầu chắc chắn của thuật tốn 2.3.1 2.4.1 Sự hội tụ
Trang 29thuật tốn 2.3.2 trong một số hữu hạn bước sẽ cho ta giá trị limC† là bằng nhau theo giá trị kỳ uọng tối wu của bài loứn [LP)]
Chiing minh Với mỗi s = 1,2 , N, kể từ k = 1,2 và một nhát cắt
thì được xây dựng trong mỗi lần lặp k, theo Bổ đề 1 với f € {2, T} thì tồn tại k;„ Như thế nếu k > &;„ thì G‡ — Gs và như vay là khơng cĩ sự
thay đổi trong định nghĩa nhát cắt ck /(#s¿—¡) cho mỗi #;¿—¡
max ¡1g — (đˆ)Tz;¡_ ¡}= max {@¿j— (9) Tz;¿_1}
j= 0, ¬
Với † € {2, T}, nếu ta chọn k¿ = "- {k;¿} thì với mỗi k > ky
khơng cĩ sự thay đổi trong định nghĩa nhát cắt C?(œ_¡), với mỗi z;_¡ max {ag = Toy t=, _max {œ¿j — (0)Tz,_.}
Như vậy tất cả lời giải (z†,6) cho bài tốn 47] thì giống nhau với
k > kạ, cũng như tất cả lời giải (af, 1) cho bài tốn [47], t = 2.3, T Do vậy, thuật tốn 2.3.1 kết thúc sau bước lặp #¿ Dễ thấy rằng với mỗi
k giá trị tối ưu của bài tốn [AP#] cho ta một cận dưới của giá trị kỳ vọng
tối ưu của bài tốn [LP] L]
2.4.1.2 Bổ đề 7hco tính chất at) va thuật tốn 2.3.2 vdi toan bộ sự phân nhánh, sự hội tụ h.c.c cho ta một lời giải tối tu của bài tốn [LP,|
trơng một số hữu hạn bước lặp
Chứng minh Từ Bồ đề 2.4.1.1 trong mỗi cách thể hiện của sự lặp lại,
thuật tốn 2.3.2 sẽ hội tụ sau một số hữu hạn các bước đến lim¿ Œ† cho ta một cận dưới của giá trị kỳ vọng tối ưu
Bây giờ ta xét một cách thể hiện sự lặp lại của thuật tốn 2.3.2 và chỉ rõ
giới hạn cách giải quyết bởi (%¡, #a(œ»), , #3(s.œ), ) thì đã đạt được
tại sự lặp lại k
Trang 30Với mỗi k > k và bất kỳ sự phân nhanh w,
C?(#r~(2)) = Qr(#r—i ()) (2.4)
Với xác suất 1,
C?(Er—¡ (0), s2r)) = Qr(Er~i (6°), er),
VỚI mỌI ¿JT
Mặt khác cho vài kết quả riêng biệt @;, ta cĩ ơy # OỆ cho mỗi k > k
với xác suất chắc chắn nĩ vi phạm tính chất ii) Bây giờ nếu k > k thi với mỗi sự phân nhánh ¿ C†_1(#r—»(@)) = Qr—1(#r—s(6)) (2.5) Cho vài kết quả riêng biệt (2y_¡, ta cĩ CƑ 1(r-›(0),(ồr—1) < Qr—1(#r—s(0),(9r—1) (2.6) Nhưng CƑ_;(#r_s(œ'),Ưr_¡) = minz;_,a; {ch_,wr-| + Or} Aqaia@r-) = Or) — Br-xFt_9(w), với điều kién 9 67 + (G4)Taz > ar,, j—0,1, ,k— 1, ørr> 9 Ta cĩ lời giải tối ưu VỚI WT] = @r_y Nếu ؇ < c‡(zz_¡) thì với mọi b >k: " ¬ (8h) "tr-i(w)} < C71) = Qr(Fr-a(w)) (2.7)
Nhưng với tính chất ii), v6i xAc sudt 1, vi méi wr cho vai k(wr) > k V6i wr € oer), Nếu giả sử k chỉ giá trị lén nhat cha k(wy) thi chiều cao
của nhát cắt tại #r_¡(œ) ước lượng tại sự lặp Ka Qr(@r-1(w)), mau thuẫn
Trang 31Or Xp (a) Proven c* (x T-1 (@) dtiidnqqqH | X,(@) Hình 2.1 A46t nhat cat mới được thực hiện Vì thế, ta cĩ Ø = c†(‡—¡) = Qr(x7_1)
Ch @r—2(w),@r-1) = cpa p_y + Qr (a1) = Qr-i(Fr-2(&), Or-1)
mâu thuẫn (2.6), liên quan tới giải thích (2.5) Chú ý là, vì rằng 2r_¡ lấy
tuỳ ý chứng tỏ rằng #r_¡(œ) giải được bài tốn [EPr_¡(#r_a(«!).«+—¡)| với
IỌI (T_—1
Một cách tương tự, dễ dàng chứng tổ bằng phép quy nạp với Z;_¡ (œ') giải
được bài tốn [L/_¡(_›(4'),eœ_¡)], vì thế chứng mình được (Z¡, 52(63),
Za(œ»,œs), ) là lời giải tối ưu Oo
2.4.1.3 Dinh ly Theo tinh chat i) va ii), su hét tu cua thuat todn
2.3.1 uới „ác suất 1 cho ta một lời giải tối wu của bài lốn [LP,] trong một
số hữu hạn bước lặp
Trang 32N= n3 q¡ sẽ xây ra vơ hạn số lần trong quá trình của thuật tốn với xác
suất 1 Vì thế với xác suất 1 thuật tốn 2.3.1 sẽ gồm một dãy bước lặp thì
nĩ tương đương với thuật tốn 2.3.2 đã áp dụng đến tồn bộ của sự phân
nhánh Chúng ta cĩ thể áp dụng Bổ đề 2.4.1.1 chỉ ra rằng với xác suất 1,
thuật tốn 2.3.1 sẽ hội tụ trong một số hữu hạn bước lặp cho ta lời giải
tối tu của bài tốn (ƑP;] trong một số hữu hạn bước lặp Oo
2.4.2 Về hiệu quả của thuật tốn
Trong một cơng trình của tác giả K Linowsky và A B Philpott đã đặt vài giả thiết khác nhau từ tính chất ï) và ii) gọi đĩ là tính chát phép thử
nhát cắt (CSP) và tính chất mẫu giao nhau (SIP)
Tính chất CSP cho rằng chỉ cĩ một số hữu hạn bước lặp trong thuật
tốn trong đĩ ©Ÿ bằng rỗng Từ khi chúng ta nghiên cứu sự hội tụ khi
k — oc Tính chất CSP rất hiệu quả giống như với giả thiết ©Ÿ khác rỗng,
VỚI mỌi È&
Tinh chat SIP (the Sample Intersection Property) cho rang véi bat ki t, méi uy; € 1; va mdi k (QF F 0),
P[(wu E oF) nN (wt = wa) > 0
Tính chất (SIP) nêu rõ như sau:
Voi moi wy E OQ, va mdi k (QE A) thi
P[u# = uy] > 0 (2.8)
Play € OF] > 0 (2.9)
Dịnh lý sau đây chứng tỏ rằng, tính chất SIP là đủ để thoả mãn tính
chất ï) và ii) nếu nĩ xảy ra cùng với phép thử độc lập
2.4.2.1 Định lý Cho phép thử độc lập trong tính chất 4), tinh chat
SIP la hé qua cua tinh chat i)
Cho phép thử độc lập tới tinh chat ii), tính chất SIP là hệ quả của tính
Trang 33Chiing minh Theo tinh chat SIP, véi (2.8) va phép tht déc lap trong
tính chất ï), với mọi sự phân nhánh œ(7), với uw, € œ(7),t = 2,3 ,T— 1,
°[⁄#) =s0]= [P‡ =<] >0
Khi đĩ với phép thử độc lập trong ï), bằng Bổ đề Borel-Cantelli, cĩ vơ
hạn các đường ngang của mỗi sự phân nhánh 4t(7), j = 1,2, , HỆ 3ø với xác suất 1, va thé là tính chất ¡) được thoả mãn
Với (2.9) và phép thử độc lập trong tính chất ii) bằng Bổ đề Borel-
Cantelli cĩ vơ hạn xem xét cho mỗi œ„; với xác suất 1 cho nên tính chất ii)
Trang 34KET LUAN
Luận văn đã cĩ được một số đĩng gĩp như sau:
1 Trình bày một cách hệ thống những khái niệm và kiến thức cơ sở
nhằm phục vụ cho việc nghiên cứu các vấn đè cĩ liên quan trong luận văn
Cụ thể đã trình bày các vấn đề: về một số nội dung cần thiết của lý thuyết xác suất, về bài tốn quy hoạch ngẫu nhiên và phương pháp xấp xỉ giải
bài tốn quy hoạch ngẫu nhiên
2 Xem xét bài tốn đầu tư tài chính nhiều giai đoạn Từ đĩ tổng quát
hố mơ hình tốn học, xem xét một số kỹ thuật phân tích bài tốn
3 Dưa ra thuật tốn xấp xỉ giải bài tốn đã đặt ra
4 Phát biểu và chứng minh về tính hữu hạn của thuật tốn cũng như
tính hội tụ hầu chắc chắn của nĩ
Khi cĩ điều kiện cho phép, chúng tơi sẽ cố gắng tiếp tục nghiên cứu:
o Xây dựng thêm mơ hình ứng dụng trong các bài tốn thực tế
Trang 35[1] Đào Hữu Hồ (1996), Xác suất thống kê, NXB Dại học Quốc gia Hà
Nội
[2l Nguyễn Văn Quảng (2007), Giáo trành xác suất, ĐXB Dai học Quốc
gia Hà Nội
[3] Trần Xuân Sinh, (2005), Các phương pháp ngẫu nhiên giải bài tốn quy
hoạch, Bài giẳng dùng cho Cao học chuyên ngành Xác suất Thống kê tốn
hoc, Dai hoc Vinh
[4] Nguyễn Duy Tiến - Vũ Viết Yên (2001), 7ý thuyết xác suất, ĐXB Giáo
dục, Hà Nội
|5| Z L Chen and W B Powell, (1999), A Convergent Cutting-Plane
and Partial-Sampling Algorithm for Multistage Stochastic Linear Programs with Recourse, Journal of Optimization Theory and Applications, 102 (1999), 497-524
[6] K Linowsky and A B Philpott (2005), On the Convergence of Sampling-
Based Decomposition Algorithms for Multistage Stochastic Programs, Jour- nal of Optimization Theory and Applications, Vol 125, No.2, 3490366, DOT: 10.1007/s10957-004-1842-z
[7] A B Philpott and Z Guan (2006), On the Convergence of Stochas- tic Dual dynamic Programming and Related Methods, The University of
Auckland, Private Bag 92019, Auckland, New Zealand
[8] A Shapiro, D Dentcheva and A Ruszczyiski (2010), Lectures on