Báo cáo nghiên cứu khoa học: "Một lớp bài toán đầu tư tài chính" pdf

Trong bài báo này, chúng tôi giới thiệu một mô hình bài toán đầu tư tài chính mà việc giải nó được quy về bài toán chiếc túi với ràng buộc ngẫu nhiên.. Từ đó chúng tôi xây dựng thuật toá

Một lớp bài toán đầu tư tài chính

Trần Xuân Sinh (a) , Nguyễn Thị Thanh Hiền (a)

Nguyễn Văn Hưng (b)

Tóm tắt Trong bài báo này, chúng tôi giới thiệu một mô hình bài toán đầu tư tài chính

mà việc giải nó được quy về bài toán chiếc túi với ràng buộc ngẫu nhiên Từ đó chúng tôi xây dựng thuật toán nhằm tìm ra phương án tối ưu.

I Bài toán

Một nhà đầu tư cób đơn vị đồng vốn, dự định tham gia đầu tư vàoncông ty kinh doanh (ta gọi công ty thứ i là Công ty i, i = 1, , n) Nếu đầu tư 1 đơn vị đồng vốn vào Công ty i thì cho lãi suất làci và chi phí phải trả là ai Hỏi nên đầu tư vốn như thế nào để có tổng số lãi lớn nhất

Để thiết lập mô hình toán học, ta ký hiệuI = {1, 2, , n}và x i , i ∈ I,là sự lựa chọn của Nhà đầu tư vào Công ty i (x i = 1nếu Công ty i được lựa chọn đầu tư, còn x i = 0

là Công ty ikhông được lựa chọn đầu tư) Khi đó ta có bài toán

với điều kiện

X

i∈I

trong đó c = (ci), x = (xi), c.x = P

i∈I cixi Mô hình bài toán như trên, trùng với mô hình bài toán chiếc túi cổ điển, có thể giải bằng phương pháp quy hoạch động (xem [2])

Với mỗi số nguyênk vàh, (k = 1, n, h = 0, b), ta đặt

Fk(h) = maxn

k

X

i=1

cixi:

k

X

i=1

aixi6 h; x i ∈ {0; 1}, i = 1, ko (∗).

Điều đó có nghĩa rằng F k (h) là giá trị lớn nhất của hàm f khi các đồ vật được chọn

từ k lần đầu tiên và trọng lượng của cái túi làh

Với k = 1, ta có

F1(h) = max

x 1 ∈{0;1} {c 1 x1 } = c 1 1 = c1; h = 0, b.

1) Nhận bài ngày 28/05/2009 Sửa chữa xong ngày 24/07/2009

Đối vớik = 2, n; h = 0, b, công thức (*) có thể viết lại

Fk(h) = maxn

k

X

i=1

cixi:

kư1

X

i=1

aixi6 h ư a k xk; xi∈ {0; 1}, i = 1, ko. Khi đó ta có

F k (h) = max

x k ∈{0;1}

n

c k x k + max

x i ∈{0;1}

n kư1

X

i=1

c i x i

oo ,

với điều kiện

kư1

X

i=1

a i x i 6 h ư a k x k ; x i ∈ {0; 1}, i = 1, k.

Từ đó ta được

F k (h) = max

xk∈{0;1} {c k x k + F kư1 (h ư a k x k )}.

Ký hiệu

F 0 (h) = 0; h = 0, b,

ta có công thức đệ quy như sau:

Fk(h) = max

x k ∈{0;1} {ckxk+ Fkư1(h ư akxk)}, k = 1, n, h = 0, b (∗∗)

Từ công thức (**), người ta cũng có thể biến đổi để có được công thức đệ quy sau

đây, gọi là Hệ thức Dantzig

F k (h) = max{F kư1 (h); c k + F kư1 (h ư a k )},nếu h = a k , b, (∗ ∗ ∗) Như vậy, để giải bài toán cái túi đã nêu, ta chia ra các bài toán nhỏ dạng đệ quy (**) hoặc (***) lần lượt k = 1, 2, , n; h = 0, 1, , b. Kết quả phương án tối ưu của bài toán tương ứng Fn(b) = f (x∗)thìx∗ là phương án tối ưu cần tìm

Trong thực tế thị trường tài chính, các giá trị lãi suấtc i và chi phía i thường biến

động ngẫu nhiên Để giữ cho c i cố định, Công ty i, i ∈ I có thể điều chỉnh choa i biến

động theo "giá tham chiếu" ngẫu nhiên w i với biên độ dao động làw i ∈ [wi, w i ] Trong bài viết này, chúng tôi nêu ra một hướng giải quyết bài toán khi có sự biến

động ngẫu nhiên về chi phí như đã nêu

II Các kết quả chính

2.1 Bài toán đầu tư tài chính có ràng buộc ngẫu nhiên

Giả sửai, i = 1, , nphụ thuộc đại lượng ngẫu nhiênwi, i = 1, , n Ký hiệuw = (wi) lấy giá trị trong W ⊆ Rn+; độ đo xác suất P trên W là P (w ∈ W ) = P (W ) = 1 Khi đó bài toán (1)(2)(3) trở thành bài toán quy hoạch với ràng buộc ngẫu nhiên

maxnf =

n

X

c i x i

o

(4)

với điều kiện

P

n

X

i=1

x i ∈ {0; 1}, i = 1, 2, , n (6) trong đó ε >0, đủ bé cho trước nào đó

Như vậy bài toán lúc này đặt ra là: Tìm một điểm x∗ ∈ {0; 1} n với xác suất

P

n

X

i=1

w i x i 6 b≥ 1 ư ε sao cho đạt max f

Do không phải dễ dàng duyệt hết các phương án của bài toán đặt ra khi n khá lớn, cho nên chúng ta cần khai thác các tính chất của nó

2.2 Các giả thiết ban đầu Để nghiên cứu bài toán (1)(2)(3), trong bài viết này,

chúng tôi đưa ra một số giả thiết ban đầu như sau:

(i) Các đại lượngc i , a i , i = 1, , n vàb nguyên

(ii) Các đại lượng ngẫu nhiênw i ∈ [wi, w i ], trong đówi≥ 0 là giá trị giao động thấp nhất có thể đối với giá tham chiếu của Công ty i; cònwi là giá giao động cao nhất có thể đối với giá tham chiếu của Công ty i(xem [1])

(iii) Các đại lượngwi đã được sắp xếp không giảm, còncisắp xếp không tăng Điều

đó có nghĩa là nếu i < j thì wi6 w j và c i ≥ c j

(iv) Các đại lượng ngẫu nhiên{wi}i∈I độc lập và phân bố đều trên đoạn [0, 1]. Lấyβ ∈ {0, 1, , n}và chọn I0⊆ I, β ∈ {0, , |I 0 |}, S ⊆ I 0 có bản sốβ, nghĩa là |S| = β

Ta xét bài toán

với điều kiện

X

i∈S

w i x i + X

i∈I 0 \S

wix i +X

i / ∈I 0

w i x i 6 b, ∀S ⊆ I0, (8)

Bài toán (7)-(9) đã được các tác giả D.Bertsimas và M Sim đề cập tới trong [4] và O.Klopfenstein và D.Nace nghiên cứu trong [5]

2.3 Tính chất

án tối ưu x∗ của bài toán(7) ư (9) thoả mãn

X

i∈I

x∗i =

( min{n; [b ư βδ/w]}, nếuβ(w + δ) 6 b [b/(w + δ)], nếu ngược lại.

trong đó ký hiệu [a] là phần nguyên của a.

Chứng minh Trước hết chúng ta nhận xét rằng mỗi phương án tối ưu của bài toán

(7) ư (9)làm cực đạiP xi, vớixi∈ {0; 1} Giả sử rằngβ(w + δ) 6 b Điều này có nghĩa

là phương án tối ưux của (7) ư (9)có ít nhấtβ phần tử khác 0, tức là i∈Ixi ≥ β Vì vậy, x ∗ trong thực tế là phương án tối ưu của bài toán max  P

i∈I xi , với ràng buộc P

i∈I wx i 6 b ư βδ, x i ∈ {0; 1}

Bây giờ nếuβ(w + δ) > b, một phương án của(7) ư (9) không thể có nhiều hơnβ ư 1 phần tử khác 0 Do đó một phương án tối ưu x∗ của (7) ư (9)là phương án tối ưu của bài toán max  P

i∈I x i , với điều kiện P

i∈I (w + δ)x i 6 b, x i ∈ {0; 1} Như vậy Định lý

được chứng minh

Lấy tập con V ⊆ W.Xét bài toán

max

V (max

với điều kiện

∀w ∈ V : w.x 6 b,

V ⊆ W với P (V ) ≥ 1 ư εsao cho(V, x∗)là phương án tối ưu của bài toán(10) ư (12).

Chứng minh Rõ ràngx∗ là phương án của bài toán(4) ư (6), khi và chỉ khi tồn tại

V ⊆ W : P (V ) ≥ 1 ư ε sao cho (V, x∗)là phương án của bài toán (10)-(12) Chú ý rằng nếu V có dạngV = {w ∈ W : wx 6 b} thìP (wx 6 b) ≥ P (V ). Khi đó (V, x∗)là phương án tối ưu của bài toán (10)-(12) khi và chỉ khi x∗ là phương án tối ưu của (4) ư (6) Đó là

điều phải chứng minh

Với mỗii ∈ I, ta ký hiệu

η i = wiư w i

w i ư w i

.

Rõ ràng ta có ηi∈ [0; 1] là một biến ngẫu nhiên

Lấyβ ⊆ {0, 1, , n} là bản số của tập hợpI nào đó, nghĩa là|I| = β Xét bài toán

maxX

i∈I

với điều kiện

X

i∈I\S

w i x i +X

i∈S

w i x i 6 b, ∀S ⊆ I, |S| = β, (14)

Với mỗix ∈ {0; 1}n, ta ký hiệu

I(x) = {i ∈ I : x i = 1}.

Định lý 2.3.3.[5] Ta có bất đẳng thức

P (w.x 6 b) ≥ P X

i∈I

ηi6 β,

với mọi phương án xcủa bài toán(13) ư (15)

LấyI0⊆ I và β ∈ {0, , |I0|}, chúng ta xét bài toán

với điều kiện

X

i∈S

w i x i + X

i∈I 0 \S

wix i +X

i / ∈I 0

lấy với mọi S ⊆ I0, |S| = β

Bài toán (16)-(18) được ký hiệu là (RKP (I0, β))

Bài toán (13)-(15) là trường hợp riêng của (RKP (I0, β))khi I0 = I, β = n

Khi đó

(i) nếuβ 6 |I(x ∗ )|thì x ∗ là phương án tối ưu của(RKP (I(x ∗ ), β)),

(ii) nếu β ≥ |I(x∗)|thì x∗ là phương án tối ưu của (RKP (I, n)), tức là phương án tối

ưu của bài toán (7) ư (9)

Khi đó tồn tại I∗ ⊆ I và β∗ ∈ {0, , |I ∗ |} sao cho mỗi phương án tối ưu của (16) ư (18)

lấy với I∗, β∗ cũng là phương án tối ưu của bài toán (4) ư (6)

Trên cơ sở các Định lý 2.3.1, 2.3.4 và 2.3.5 ta có thể trình bày thuật toán và ví dụ sau đây để giải bài toán đầu tư tài chính với dữ liệu dao động ngẫu nhiên (4)-(6)

2.4 Thuật toán giải bài toán (4)(5)(6)

Trong thuật toán sau đây, giá trị củaβ tăng dần cho tới khi phương án tối ưu của bài toán (7) ư (9) là phương án của bài toán(4) ư (6), tức là khi β = k = n

x (k) là phương án của bài toán (RKP (I0, β0))

i∈I 0 w i 6 b
NếuU ≥ 1 ư ε, thìx (k) là phương án của (4) ư (6) Dừng lại

Ngược lại, sang bước 5

Chú ý

+ Tại Bước 4, ta có P P

i∈I 0 wi 6 b
= P (w.x (k)

6 b). Do vậy thuật toán sẽ dừng chỉ với một phương án của (4) ư (6) Ngoài ra, x (k) là phương án của (RKP (I0, k)) (xem

Định lý 2.3.4), chúng ta có β0 ≥ k Do vậy, việc tăng chỉ số k tại mỗi vòng lặp đảm bảo sự hội tụ của thuật toán (thực ra khi k = n = |I| xác suất để x(k) là phương án bằng 1, lại vì thuật toán dừng ở bước 4, nênk không thể vượt quá giá trị này) Điều

đó chứng tỏ thuật toán là hữu hạn

+ Nhờ phương pháp quy hoạch động (***) có thể giải các bài toán(RKP (I0, β0)) và nhờ Định lý 2.3.5 ta được phương án tối ưu của bài toán (4)-(6)

+ Để tính cận dưới U tại bước 4, chúng ta có thể tham khảo các ví dụ về cận xác suất trong [4] Chất lượng của cận sẽ có ảnh hưởng trực tiếp lên số lần lặp của thuật toán

Ví dụ Nhà đầu tư tài chính có 82 đơn vị vốn, có thể đầu tư vào 9 Công ty, với

mức lãi suất tại Công ty i là ci= 10 ư i, i = 1, , 9 Biên độ giao động về giá đầu tư ở các Công ty như nhau với mức tối thiểu là w = 8,tối đa là w = 12 đơn vị vốn Khi đó

ta có mô hình toán học

maxnf =

9

X

i=1

(10 ư i)xio

với điều kiện

P 9 i=1 w i x i 6 82,

x ∈ {0; 1} 9 ,

trong đó tất cả giá đầu tư w i = wphân bố đều trên đoạn [8, 12] vàδ = w i ư wi= 4 Giả

sử lấy ε = 0, 1, tức là chúng ta cần tìmxcủa bài toán đầu tư với xác suất tối thiểu là

0, 9

Chú ý rằng theo giả thiết xác suất đã nêu, xác suấtP P

i∈I 0 w i 6 b
được biết theo

sự phân tích đối với tất cả các tập con I0⊆ I Sau đây, ta ký hiệue (i) = (e(i)j ) là vectơ 0-1, với e(i)i = 1 vàe(i)j = 0, i 6= j Ta sử dụng Định lý 2.1, tương ứng với các giá trị của

k, lần lượt thực hiện thuật toán:

• k = 0: Chúng ta có β0 = 0,P

i∈I x(0)i = [b/w] = [82/8] = 10, và do vậy x(0) = P 9

i=1 e(i) Tiếp tục, tính cận dưới (xem [4]) P P 9

i=1 w i 6 82
≥ U = 0 < 0, 9 (thể hiện tình huống

có thể của w = wi, vìP

i∈I x(0)i = [b/w] = [82/8] = 10 nên mọi xi = 1, tương ứng với khả năng lớn nhấtw i = 1thì bất đẳng thức nêu trên không thể xẩy ra - xác suất bằng 0) Gán k := β0+ 1 = 0 + 1 = 1, tiếp tục với k = 1

• k = 1: P

i∈I x(1)i = [(82 ư 4)/8] = 9, và do vậy x(1) = P 9

i=2 e(i) Chúng ta có β0 = min{|I0|; (b ư P

i∈I 0 wix i )/δ} = [(82 ư 9 ∗ 8)/4] = 2, tính cận dưới P P 9

i=2 w i 6 82
≥ U =

0, 001 < 0, 9 Gán k := β0+ 1 = 2 + 1 = 3, tiếp tục với k = 3

• k = 3: i∈Ixi = [(82 ư 12)/8] = 8, và do vậy x(3) = i=3e(i) Chúng ta có β0 = [(82 ư 8 ∗ 8)/4] = 4, tính cận dướiP P 9

i=3 w i 6 82
≥ U = 0, 5 < 0, 9

• k = 5: P

i∈I x(5)i = [(82 ư 20)/8] = 7, và do vậy x(5) = P 9

i=4 e(i) Tính được cận dưới

P P 9

i=4 w i 6 82
≥ U = 0, 99 > 0, 9 Dừng lại Trả lờix (5)là phương án của(RKP (I, β)),

do vậy nó là phương án tối ưu của (SKP )

Từ đó, để tìm x(5)= (x(5)i )ta giải bài toán

max{f =

9

X

i=1

(10 ư i)x(5)i :

9

X

i=1

x(5)i = 7; x ∈ {0; 1}9}.

Dễ dàng ta nhận được phương án tối ưu là

x∗= (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0), max f = 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 = 24.

Tài liệu tham khảo

[1] Nguyễn Thị Mùi, Kinh doanh chứng khoán, NXB Tài chính, 2007.

[2] Trần Xuân Sinh, Lý thuyết tối ưu, Bài giảng dùng cho Cao học, Chuyên ngành

Công nghệ thông tin, Trường Đại học Vinh, 2007

[3] Nguyễn Duy Tiến - Vũ Viết Yên, Lý thuyết xác suất, NXB Giáo dục, Hà Nội, 2001 [4] D Bertsimas and M Sim,The Price of Robustness, Oper Res., Vol.52, No 1(2004), 35-53

[5] O Klopfenstein and D Nace, A Robust Approach to the Chance-constrained

Knap-sack Problem, 60205 Compiègne Cedex, France, 2006.

Summary

A class problem of financial investment

In this paper, we introduced a model for problems of financial investment, the way of its solving reduced to the knapsack problem with stochastic constrain Then

we give an algorithm to find an optimal plan

(a) Khoa Toán, Trường Đại học Vinh

(b) Khoa Toán, Trường Đại học Đồng Tháp.