thuật toán tham lam giải một lớp bài toán lập kế hoạch sản xuất có biến động ngẫu nhiên

Bài toán lập kế hoạch sản xuất có biến động ngẫu nhiên mà ở đó các khối lượng công việc là các biến ngẫu nhiên với phân bố xác suất được biết, đã được nghiên cứu khá rộng rãi và công bố

MUC LUC

trang

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị_ 5

1.1 Một số vấn đề cơ sở của lý thuyết xác suất và thống kê 5

1.1.1 Một số vấn đề cơ sở của lý thuyết xác suất 5

1.1.2 Một số van đề cơ sở của lý thuyết thống kê_ 8

1.2 Một số nội dung cơ bản của bài toán quy hoạch ngẫu nhiên 10

1.2.1 Bài toán quy hoạch tuyến tính ngẫu nhiên_ 10

1.2.2 Bài toán quy hoạch rời rạc ngẫu nhiên_ 12

1.2.3 Bài toán chiếc túi ngẫu nhiên và các hướng tiếp cận giải 13

1.3 Một số phương pháp xấp xỉ giải bài toán quy hoạch 16

1.3.1 Phương pháp tụt nha 16 1.3.2 Phương pháp thử thống kê 17

1.3.3 Phương pháp tham lam giải bài toán quy hoạch nguyên tất định .c 222cc 19 Chương 2 Thuật toán tham lam giải một lớp bài toán quy hoạch ngẫu nhiên_ 21

2.1 Một lớp bài toán lập kế hoạch sản xuất 21

2.1.1 Bài toán thực tẾ c2 21 2.1.2 Mô hình toán học tổng quát của bài toán khi có biến động ngẫu nhiên 21

2.2 Cận cho chính sách thích nghi và thuật toán tham lam 24

2.2.1 Cận cho chính sách thích nghi (Adaptive Policy)_ 24

2.2.2 Thuật toán tham lam (The Greedy Algorithm) 26

2.3 Thảo luận về việc kết hợp thuật toán tham lam

và phương pháp xấp xỉ (Approximate)_ 32

2.3.1 Chính sách có trật tự và các tập cố định 32 2.3.2 Một chính sách thích nghi (5 + e)-xấp xỈ 35

Kết luận c2 40 Tài liệu tham khảo 41

MỞ ĐẦU

Bài toán lập kế hoạch sản xuất đã được nghiên cứu và ứng dụng một cách rộng rãi trong hầu hết các ngành kinh tế, kỹ thuật Tuy nhiên, trong

từng lớp bài toán lập kế hoạch có những dạng mô hình toán học khác nhau

Sự biến động ngẫu nhiên của dữ liệu có được cũng phụ thuộc vào thực tế

của bài toán Luận văn này chúng tôi muốn đề cập đến một lớp bài toán

lập kế hoạch sản xuất có dạng bài toán "chiếc túi" (mục 2.1, chương 2) Bài toán lập kế hoạch sản xuất có biến động ngẫu nhiên mà ở đó các khối lượng công việc là các biến ngẫu nhiên với phân bố xác suất được biết,

đã được nghiên cứu khá rộng rãi và công bố trong các bài báo từ trước những năm 1966

Bài toán lập kế hoạch sản xuất có biến động ngẫu nhiên, nói ngắn gọn

là bài toán lập kế hoạch ngẫu nhiên Hầu như các bài toán lập kế hoạch

ngẫu nhiên, được nghiên cứu hiện nay liên quan đến việc lập kế hoạch cho

tất cả các công việc nhằm làm giảm thiểu chi phí dự kiến thời gian hoàn

thành đối với một xí nghiệp hoặc tổ hợp các xí nghiệp

Trong một kết quả gần day, tac gid B C Dean đã cho thấy rằng các

nghiên cứu đó không xem xét tới mục tiêu cụ thể mà ông đang nói tới

trong bài báo của mình Về các kết quả được đề cập trong bài báo, chủ

yếu tác giả xét tới thuật toán tham lam, từ đó đưa ra hướng tiếp cận

phương pháp xấp xỉ nhằm giảm bót độ phức tạp của thuật toán Với cách

đặt vấn đề như vậy, chúng tôi cố gắng tiếp cận tới các kết quả ông cùng cộng sự, trên bài báo Xấp zi bài toán chiếc túi ngẫu nhiên: Lợi ích của

thich nghi (Approximating the Stochastic Knapsack Problem: The Benefit

of Adaptivity), công bố 2005

Các kết quả mà bài báo đã nêu, chúng tôi nhận thấy có thể sử dụng

để nghiên cứu một lớp bài toán lập kế hoạch sản xuất khi dữ liệu có biến

4

động ngẫu nhiên Đó là lý do chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu: "'Thuậ£

toán tham lam, giỏi một lớp bài toán lập kế hoạch sản uất có

biến động ngẫu nhién"

Luận văn được chia làm hai chương:

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tôi nêu

những khái niệm và kiến thức cỏ sở của lý thuyết xác suất và thống kê; bài

toán quy hoạch tuyến tính nguyên ngẫu nhiên và bài toán chiếc túi ngẫu

nhiên, các hướng tiếp cận để giải nó Các kiến thức chuẩn bị này nhằm phục vụ cho việc nghiên cứu của đề tài

Chương 2 Thuật toán tham lam giải một lớp bài toán quy hoạch ngẫu nhiên Đây là nội dung chính của luận văn Trước hết chúng tôi nêu bài toán thực tế đặt ra, từ đó mô hình hoá dạng toán học Tiếp theo nghiên cứu việc thực hiện thuật toán tham lam, có chú ý tới lợi ích

thích nghi, nhằm xấp xỉ giải bài toán đã cho

Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của thầy giáo PGS.TS

Trần Xuân Sinh, nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy

và cảm ơn các thầy cô giáo trong tổ Xác suất thống kê và toán ứng dụng

đã giảng dạy, chỉ bảo cho tôi trong suốt thời gian học tập và nghiên cứu

Cũng nhân dịp này tôi xin gửi lời cảm ơn tới thầy giáo cô giáo trong

khoa Toán, Phòng Sau đại học trường Dại học Vĩnh Tôi xin bày tỏ lời

cam ơn tới bạn bè và gia đình đã tạo điều kiện thuận tiện cho tôi hoàn thành luận văn này

Mặc dù đã cố gắng song luận văn không thể tránh khỏi những sai sót

Chúng tôi mong nhận được những đóng góp của quý thầy cô giáo và các bạn để luận văn được hoàn thiện hơn

Chúng tôi xin chân thành cảm ơn!

Vĩnh, tháng 10 năm 2012

Tac gia

Chương 1

KIEN THUC CHUAN BI

1.1 Một số vấn dé cơ sở của lý thuyết xác suất và thống kê

1.1.1 Một số vấn đề cơ sở của lý thuyết xác suất

1.1.1.1 Các định nghĩa

e Độ đo xác suất

Giả sử (O, Z) là một không gian đo, trong đó Q # bất kỳ, Z là một

ø-đại số các tập con của Q Một ánh xạ IP: Z — I§ được gọi là độ đo xác

suất trên Z nêu

P1) P(4) > 0.VA e 7, (tính không am)

P2) P(O) = 1, (tính chuẩn hóa)

P3) Nếu 1„ € Z,n = 1,2, ,.4;f1.4; = Ú,¡ # 7 thì

P( U An) = » P(A;¿) (tính cộng tính đếm được)

e Không gian xác suất

Cho (Q,F) la mot khéng gian do Khi đó (O,Z,P) được gọi là không

gian ác suất

e Đại lượng ngẫu nhiên

Giả sử (O, Z P) là không gian xác suất; đ là ơ-đại số của Z: là ø-đại

số Borel trén R Khi đó ánh xạ X : O —— l được gọi là đại? lượng ngẫu

nhiên Ớ-đo được nếu với mọi B € Ö, ta có

X"(B) := {w: X(w) € Bh eG

Trong trường hợp khi X là đại lượng ngẫu nhiên Z-đo được, thì X được gọi đơn giản là đạ¿ lượng ngẫu nhiên

Cho (Z;,n € Ñ) là dãy tăng các ø-đại số con của ơ-đại số 7# : Fy C

Zi C C 7„C C Z Giả sử (X;„,n € Ñ) là dãy các đại lượng ngẫu

6

nhién Khi do néu X, € F,Vn € Ñ thì dãy (X; Z,nø € Ñ) được gọi là dấy phù hợp

e Ham Borel

Ham y : (R”, B(R")) — (R, B(R)) dude goi lA ham Borel, nếu nó là hàm

B(IR®) - do dugc, nghia 1A

y '(B) € B(R’),

vdi méi B € B(R)

e Ham phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên

Giả sử X là đại lượng ngẫu nhiên xác định trên (O, Z,P) nhận giá trị

trén R Ham s6 Fy (x) = PLX < +] (+ € R) được gọi là hàm phân phối của

đại lượng ngẫu nhiên X

1.1.1.2 Kỳ vọng của đại lượng ngẫu nhiên

e Định nghĩa Giả sử X : (O,Z,P) — (R, B) là đại lượng ngẫu nhiên

Khi đó tích phân Lebesgue của X theo độ đo P (nếu tồn tại) được gọi là

kỳ uọng X va ky hiệu là EX

e Các tính chất

1 Nếu X > 0 thì EX >0

2 Nếu X = Œ thì EX = C với Œ là hằng số

3 Nếu tồn tại EX thì với mọi hằng số À, ta có E(AX) = ABX

4 Nếu tồn tại EX và EY thì E(X +Y) =IEX +FEY

S3¿¿p„, nếu X rời rạc, nhận các giá trị #¡, x9,

io #p(z)dz, nếu X lién tuc, c6 ham mat do 1a p(x)

6 (Dinh ly Lebesgue vé sut hdi tu bi chan) Néu |X,| < Y,Wn > 1, EY <

oo va X, + X thi X kha tich, E|X, — X| — 0 va EX, — EX,n — cw

7 (Bất đẳng thức Markov) Gid st? X > 0 h.c.c Lúc đó uới mọi a > 0,

ta có

PIX >a] < “EX.

8 Nếu X uà Y độc lập thi E(XY) = EX EY

1.1.1.3 Phương sai của đại lượng ngẫu nhiên

e Định nghĩa P,ương sa¿ của đại lượng ngẫu nhiên X, ký hiệu là 2X (hay uarX) là một số được xác định bởi

DX =E(X -EX)’

Khi đó

(ce — EX)*pp, néu X rdi rac, va P(X = xy) = pr,

Lự — EX)°p(+)dz, nếu X liên tục, có hàm mật độ là p(z)

DX =

e Cac tinh chat

1 DX >0, DX =0 khi va chi khi X — EX = C hang sé h.c.c

2 Với moi hang s6 \ tht D(AX) = DX

3 DX = EX? — (EX)

4 Nếu X.Y độc lập thà D(X £Y) = DX + DY

5 Voi moi hang s6 \, ta c6 E(X — \)? > E(X —EX)? Dau bang xay

ra khả va chi khi EX =X

1.1.1.4 Kỳ vọng có điều kién va martingale

e Giả sử (O, Z, P) là không gian xác suất X : Q — IR là đại lượng ngẫu

nhiên và đ là ơ-đại số con của Z Khi đó đại lượng ngẫu nhiên Y được gọi

là kỳ uọng có điều kiện của X đối với ơ-đại số Ở nếu

() Y là đại lượng ngẫu nhiên đ-đo được,

(1ñ) Với mỗi A € đ, ta có

| vae= | xae

va thường ký hiệu là Y = E(X|G)

e Giả sử (O,Z,P) là không gian xác suất (Xạ,n € Ñ) là dãy các đại lượng ngẫu nhiên (Z„,rz € Ñ) là dãy tăng các ơ-đại số Khi đó dãy (Xn Fn)new dude goi IA martingale néu

(i) (Xn Fn)nen la day phù hợp,

(ii) E|X,| < œ,Vn € Ñ,

(1ñ) Với m < n.m.n € Ñ thì EB(X;|Z„) = X„ h.c.c

1.1.2 Một số vấn đề cơ sở của lý thuyết thống kê

1.1.2.1 Mẫu và các loại xác định mẫu

e Tổng thể và mẫu

o Trong thực tế, các thông tin về một đối tượng hoặc hiện tượng cần nghiên cứu chỉ có thể có được nhờ vào các gan sát hay là các phép thử Các thông tin có được như vậy phải đẩm bảo tính chính xác, tính ngẫu

nhiên của nó, phải là các đại diện một cách trung thực cho đối tượng hoặc

hiện tượng mà chúng ta cần nghiên cứu

Các quan sát (phép thử) được tiến hành một cách độc lập với nhau Kết quả của quan sát (phép thử) này không phụ thuộc vào kết quả của quan sát (phép thử) khác và cũng không ảnh hưởng đến khả năng xẩy ra kết quả của quan sát (phép thử) khác Dé có được quan sát (phép thử), chúng

ta cần chọn mẫu (lấy mẫu)

o Tập hợp có các phần tử là đối tượng mà chúng ta nghiên cứu gọi là

tổng thể Số phần tử của tổng thể gọi là kích thước của tổng thể Nếu từ

tổng thể, ta chọn ra ø phần tử thì ø phần tử đó gọi là một mẫu có kích thước n hay cỡ n được chọn từ tổng thể

o Khi chọn mẫu, nếu phần tử đã chọn loại ra khỏi tổng thể, đối với mỗi

lần chọn tiếp theo thì gọi là mmấu không hoàn lại Nếu phần tử đã chọn trả

lại tổng thể, rồi mới chọn phần tử tiếp theo thì gọi là zmấu có hoàn lại

o Mẫu được gọi là mmấu ngẫu nhiên nếu nó được chọn một cách nào đó

để bảo đảm tính khách quan, ngẫu nhiên

Giả sử chúng ta tiến hành ø quan sát độc lập về biến ngẫu nhiên X

Ta gọi X; là việc quan sát lần thứ 7 về biến ngẫu nhiên X Khi đó ta có

(Xi X› , X„) là mẫu ngẫu nhiên cỡ ø Ta ký hiệu z; là kết quả quan sát

được ở lần thứ 7 thì (¡,z», ,#n) là n giá trị cụ thể ta quan sát được.

9

e Cac loai xác định mẫu

o Ta goi mau dinh tinh là mẫu mà ta quan tâm đến các phần tử của nó

có một tính chất 4 nào đó hay không

© Ta gọi mẫu định lượng là mẫu mà ta quan tâm đến một yếu tố về

lượng của các phần tử trong mẫu, chẳng hạn như chiều dài, khối lượng 1.1.2.2 Dặc trưng mẫu

e Ty lệ mẫu Cho mẫu định tính kích thước ø, trong đó có ?n phần tử

có tính chất A Khi đó ta gọi

là fÿ lệ mẫu

Giả sử ta nghiên cứu biến ngẫu nhiên X Ký hiệu „ = EX,ø? = DX

Cho (XI, X¿, , X;) là mẫu ngẫu nhiên được rút ra từ X Ta ký hiệu

biến ngẫu nhiên rời rạc X” nhận ø giá trị mẫu với xác suất đều, tức là

P(X’ = X;) = 1/n Khi do ta c6 ham phân phối thực nghiệm (+) (còn

dude goi la ham phân phối mẫu)

e Phương sai mẫu

Dinh nghia Phuong sai mau được xác định theo công thức

2° = DX'=-S) (xX,-XP=-SN X?-(X)

trong d6 bién s6 x = (21,9, %n) € R™; vecto hé s6 c = (1, €2, ,Cn) €

R®, voi claw = SOF cj#j: b = (bi, bo, bm) © R™: A = (Aj) = (Gg)mxm;

véi Av = Via a;2;; hai vectơ (ma trận) œ =— (a),@2, ,dm) va b = (bị, bạ, b„) được sắp thứ tự ø < b nếu a; < bị, Vị — 1,1m

Bài toán quy hoạch tuyến tính nêu trên, nếu có các phần tử của ma

trận 4.0, xác định ngẫu nhiên thì được gọi là bài toán quy hoạch tuyến tính ngẫu nhiên (Stochastic Linear Program) Để nghiên cứu bài toán quy hoạch tuyến tính ngẫu nhiên, tuỳ theo yêu cầu thực tế mà có nhiều cách

tiếp cận khác nhau

Thông thường, người ta xét tới các trường hợp:

Nếu bài toán đặt ra, với dữ liệu cho trước, đã xác định được phương án

tối ưu, khi dữ liệu chịu ảnh hưởng của biến cố ngẫu nhiên, phương án tối

ưu không cần thay đổi thì đó là bà? toán quy hoạch ngẫu nhiên một giai

đoạn (chỉ cần một lần xét tới tập phương án)

Nếu bài toán đặt ra, với dữ liệu cho trước, đã xác định được phương án tối ưu, khi dữ liệu chịu ảnh hưởng của biến cố ngẫu nhiên, phương án tối

ưu cần tính toán điều chỉnh lại một lần thì đó là bà¿ toán quy hoạch ngẫu

nhiên hai gia¿ đoạn (cần hai lần xét tới tập phương án)

Nếu bài toán đặt ra, với dữ liệu cho trước, đã xác định được phương án

tối ưu, khi dữ liệu chịu ảnh hưởng của biến cố ngẫu nhiên, phương án tối

ưu cần tính toán điều chỉnh lại hơn một lần thì đó là bà? toán quy hoạch ngẫu nhiên nhiều giai đoạn (cần hơn hai lần xót tới tập phương án) Bài

11

toán quy hoạch ngẫu nhiên nhiều giai đoạn được xét đến thông qua bài

toán quy hoạch ngẫu nhiên hai giai đoạn

Bài toán quy hoạch tuyến tính 2 giai đoạn có dạng ở giai đoạn 2 là

với điều kiện

Hàm @(+, Z) được gọi là hàm hiệu chỉnh Với Z € TR" là vectơ ngẫu nhiên; E(@(z,2)) biểu diễn kỳ vọng của biến ngẫu nhiên @(œ,Z); vectd + và

ụ tương ứng là các biến của giai đoạn thứ nhất và giai đoạn thứ hai;

D là ma trận cấp m x m (thông thường có thể lấy ma trận đơn vị):

U = (0.1 .- ,Um): Dụ thể hiện độ lệch giữa Az với b và q = (đi, @, - đa)

gọi là œectơ phạt bởi tác động của đại lượng ngẫu nhiên Z

Giai đoạn thứ nhất, biến + là nghiệm thu được trên cơ sở thông tin có

được từ thực nghiệm

Giai đoạn thứ hai, biến là nghiệm thu được khi hiệu chỉnh nghiệm sơ

bộ z của giai đoạn thứ nhất với thông tin xác định

Do vậy, bài toán quy hoạch tuyến tính đã nêu, tương đương với việc giải

bài toán

Ax <b, T(2)x + Dy(2) = h(2)

véi diéu kin 4 2 > 0,

y(Z) 2 0,

y(.) EY,

trong đĩ Y là khơng gian các ham đo được

1.2.2 Bài tốn quy hoạch rời rạc ngẫu nhiên

Bài tốn quy hoạch ngẫu nhiên, với tập phương án cĩ một số (hoặc tất

cả) các toạ độ của biến nhận giá trị rời rạc thì ta c6 bai todn quy hoạch rời rạc ngẫu nhiên Trong lớp các bài tốn quy hoạch rời rạc ngẫu nhiên, chúng ta quan tâm tới lớp bà? tốn quy hoạch nguyên ngẫu nhiên

Xét các bài tốn quy hoạch nguyên dạng

min {ec(z) := EpiC(œ, W)]} (1.2)

„cM trong đĩ W là một vectơ ngẫu nhiên cĩ phân phối xác suất P; A7 là một tập hợp hữu hạn các điểm nguyên thuộc IR*; C(«,1V) 1A mot ham lấy giá trị thực của hai biến vectơ + và I; Ep|C(z,W)] := ƒ C(œ.0)P(du)

là giá trị kỳ vọng của C(z,W) Chúng tơi giả thiết rằng hàm giá trị kì vọng c(+) được xác định rõ Với mỗi z € Ậfƒ hàm C(z,.) là P đo được và Ep[|C(x, W)|] < oo

Trong luận văn này, chúng tơi quan tâm tới các bài tốn với những đặc

điểm sau:

1) Ham giá trị kỳ vọng c(z) := IEe|C(z W')] khơng thể viết được trong một dạng tường minh hoặc giá trị của nĩ khơng thể tính tốn được một cách dễ dàng

2) Hàm C(z, W) là dễ tính tốn đối với z và W/ cho sẵn

3) Tập hợp Ä/ các phương án, mặc dầu hữu hạn nhưng rất rộng, vì vậy

cách tiếp cận bằng liệt kê là khơng thể thực hiện được

13

Ta đã biết rằng các bài toán tối ưu rời rạc là bài toán NÑP-khó Một khó khăn ở đây là hàm mục tiêu c(+) có thể phức tạp hoặc khó để tính toán ngay cả với phương pháp xấp xỉ Bởi thế các bài toán tối ưu rời rạc ngẫu

nhiên là thực sự khó Chúng ta có thể xét các bài toán tối ứu rời rạc ngẫu

nhiên trong đó nghiệm với sai số cho phép là đủ nhỏ để xác định công thức

ước lượng của c(+) đối với mỗi z

Quan tâm tới phương pháp này có Hochberg, Tamhane, Bechhofer, Sant- ner, Goldsman, Futschik và Pflug Một cách tiếp cận khác đã được Gelfand, Milter, Alrefaei, Andradattir, Fox, Heine, Gut - jahr, Pflug va Homem-de-

Mello nghiên cứu, bao gồm các phương pháp thích nghỉ tốt để đếm các sự

kiện mà giá trị hàm mục tiêu không được biết đến một cách chính xác Một cách tiếp cận nhánh và cận để giải bài toán quy hoạch nguyên ngẫu nhiên

đã được gợi ý bởi Norkin, Ermokiev, Ruszczynski, và Pflug Còn Schultz

và Stougie đã gợi ý một cách tiếp cận đại số để giải quy hoạch nguyên

ngẫu nhiên bằng cách nhờ tới một hệ cơ sở rút gọn của cơ sở Grobner

1.2.3 Bài toán chiếc túi ngẫu nhiên và các hướng tiếp cận giải

1.2.3.1 Bài toán chiếc túi tất định Cho ø% đồ vật, trọng lượng tương

ứng của đồ vật thứ ¿ là ø¡ và có giá trị là œ (¡ = 1.n) Ta hãy xếp đồ vật

vào túi có tải trọng là b, sao cho tổng trọng lượng không vượt quá b và đạt

giá trị lớn nhất

Ta có thể tóm tắt bài toán như sau:

Ký hiéu J = {1,2, ,n}: tập chỉ số của đồ vật

Ký hiệu z¡,¡ = 1,n: là số đồ vật thứ ¡ xếp vào túi, z; € {0,1}

khi đó ta có bài toán là: Tìm z;.¿ € J sao cho:

max {fe = » cts}

ied với điều kiện

dies Uti S b,

x € {0;1}"

14

1.2.3.2 Bài toán chiếc túi ngẫu nhiên Bài toán chiếc túi tất định

là bài toán quy hoạch tuyến tính, có các tính chất riêng biệt của nó nên

được giải bằng phương pháp quy hoạch động Khi thông tin về dữ liệu của

bài toán phụ thuộc đại lượng ngẫu nhiên thì ta có bài toán chiếc tứi ngẫu

nhiên

1.2.3.3 Cách tiếp cận giải bài toán chiếc túi

e Để giải bài toán chiếc túi tất định, người ta đã đưa ra nhiều thuật

toán Sau đây, ta xét thuật toán giải dựa trên phương pháp quụ hoạch động

Với mỗi số nguyên k và h, (k — 1,n,h — 0,b), ta đặt

Từ công thức (1.4), người ta cũng có thể biến đổi để có được công thức

đệ quy sau đây, gọi là Hệ (¿hức Dantzig

Fh) = max { Fy-1(h): œ + Fy (h — ax)}, h = ay, b (15)

Như vậy, để giải bài toán chiếc túi đã nêu, ta chia ra các bài toán nhỏ dang dé quy (1.4) va (1.5) lan lugt k = 1,2, ,n; h = 0,1, ,b Két quả phương án tối ưu của bài toán tương ứng ƒ„(b) = ƒ(z*) thì z” là phương

án tối ưu cần tìm

e Dể giải bài toán chiếc túi ngẫu nhiên, tuỳ theo cách tiếp cận khác nhau

về mặt kỹ thuật mà có những phương pháp đặc biệt khác nhau Thông thường người ta chuyển về bài toán quy hoạch với ràng buộc ngẫu nhiên

Do ràng buộc với thông tin về dữ liệu ø;,¿ = 1,2, ,n không rõ ràng,

nên điều kiện ràng buộc » d;+¿ < b không được xác định, phụ thuộc

vào sự xuất hiện có tính ngẫu nhiên của 4¿

Gia sti a;,i = 1,2, .,n phu thuộc dai lugng ngau nhién w;.i = 1,2, ,n

ky hiéu w = (w;) lay gid tri trong W C IR*: độ đo xác suất IP trên Iƒ là

P(w € W) = P(W) = 1 Khi đó bài toán (1.1)(1.2)(1.3) trổ thành bài toán

chiếc túi với ràng buộc ngẫu nhiên

max U = S an)

i=l

với điều kiện

16

aị € {0;1},2= 1,2, n,

trong d6 < > 0, dt bé cho trước nào đó

Như vậy bài toán chiếc túi lúc này đặt ra là: Tìm một điểm z* € {0;1}"

n

"(` Wit; < 0) >l-e«

i=l

với xác suất

sao cho đạt max ƒ

1.3 Một số phương pháp xấp xỉ giải bài toán quy hoạch

Trong mục này, chúng tôi trình bày sơ lược ba hướng tiếp cận giải bài

toán quy hoạch bằng phương pháp xấp xỉ Đây cũng là những phương pháp thường được sử dụng cho việc thiết lập thuật toán giải bài toán quy hoạch

tuyến tính ngẫu nhiên

1.3.1 Phuong phap tụt

Xét bài toán quy hoạch

min { f(x): «€ M}

trong đó f(x) 1A ham khả vi, xác định trên tập lồi đóng M, thong thường,

ta xét hàm ƒ(z) thuộc lớp C!(A/) (hàm ƒ(+) khả tích và đạo hàm thoả

mãn điều kiện Läpschitz trên Ä/) Quá trình xây dựng dãy điểm +; gọi là

giãn dư nêu 2, € M va f(xpy1) < ƒ(;), b = 0,1, Từ nay về sau, ta giả thiết rằng tập các phương án tối ưu

M ={x EM: f(x*)= min f(x) } FO,

rel

đồng thời cũng giả thiết rằng +„ # A/*, (vì trong trường hợp ngược lại #;

là phương án tối ưu cần tìm và quá trình giảm dư kết thúc) Hướng s € IR* chấp nhận được từ z € A/ được gọi là hướng tụt từ z (hay là giđm từ z}) nếu ƒ(% + Às) < ƒ(z), với mọi \ € [0, Ao], Ao > 0

1.3.1.1 Lược đồ tổng quát

Bước xuất phát Chọn xấp xỉ ban đầu zụ € A

17

Bước k,(k = 1,2, ) Tai điểm z;, ta chọn hướng tụt (—s;) (Chẳng

hạn chọn s„ = #;— ¿, trong đó ;¿ € Äf được chọn sao cho f(yx) < ƒ(z;))

k.1 Đặt

Wk = min ƒ(+ — Ø5¿) — ƒ(#x — 2;5k)

b.2 Lấy À„ € (0, 1] sao cho

Ff (aK — Bese) < (1 — Aw) f (we) + Awe (*)

È.3 Ta xây dựng xấp xỉ thứ k + 1 theo công thức

k.4 Gần k:= k+ 1, trổ lại bước k

1.3.1.2 Nhận xét Hướng —s„ xác định trong thuật toán nêu trên là hướng tụt từ ay

That vay, theo (*) va (**) thi

F(tei1) = F (te — Bese) S (L — Ax) f (ae) + Anwe

= f(a) + Ag (we — f(we))-

Theo cách xác định +; thì ty < f(a, — Bs) v6i moi Ø > 0, tính riêng

Ø8 =0, ta được œy < ƒ(z;) Đồng thời do À¿ > 0 nên ta suy ra

Sf (vest) < (8a)

Điều đó chứng tỏ hướng chấp nhận (—s¿) là hướng tụt từ z

Chúng ta có thể thấy rằng các cách chọn ngẫu nhiên hướng chấp nhận

được (—s;) là hướng tụt như đã nêu thì quá trình giảm dư là hội tụ 1.3.2 Phương pháp thử thống kê

Ý tưởng của phương pháp thử thống kê (hay phương pháp Monte Carlo)

là phương pháp số giải các bài toán bằng cách mô hình hoá các đại lượng ngẫu nhiên Về mặt nội dung, phương pháp này liên quan tới ý tưởng xây

dựng một quá trình ngẫu nhiên có tất cả những đặc tính cần thiết của hệ

18

thống cần nghiên cứu Phương pháp thử thống kê có thể áp dụng được

ở mọi nơi, miễn là ở đó bài toán cho phép mô tả bằng toàn thể hay một phần của lý thuyết xác suất, dù rằng bài toán đó có thể đã có nội dung

tiền định chặt chẽ

Các bộ phận cấu thành của phương pháp là:

- Xây dựng các mô hình xác suất của các quá trình thực tiễn cần nghiên

cứu:

- Mô hình hoá các đặc trưng ngẫu nhiên với luật phân phối cho trước;

- Giải các bài toán của lý thuyết ưóc lượng thống kê

Giá trị thực tiễn của phương pháp thử thống kê là nó thay những phép thử bởi các kết quả tính toán dựa trên các đại lượng ngẫu nhiên Bởi vậy,

có thể xây dựng được các đặc trưng cần thiết của quá trình cần nghiên

cứu, mà không cần dùng các phương pháp mô tả sự thay đổi của quá trình

đã cho Bài toán cơ bản của phương pháp thử thống kê là xác định xác suất của các sự kiện bất kỳ và các giá trị trung bình của các đại lượng ngẫu nhiên qua kết quả của các phép thử lặp đi lặp lại nhiều lần

Cơ sở của lược đồ chung về phương pháp thử thống kê là Dịnh lý giới

hạn trung tâm Từ Định lý giới hạn trung tâm suy ra rằng khi tăng số

phép thử thì độ chính xác của nghiệm tăng lên

Như vậy, thực chất của phương pháp thử thống kê là chương trình để tiến hành một dãy các phép thử ngẫu nhiên Tuy nhiên, trong thực tế thường dùng một cơ chế tiêu chuẩn để sản sinh ra các đại lượng ngẫu nhiên có phân phối đều trên một miền nào đó Có thể nhận được số ngẫu nhiên ở phương pháp thử thống kê theo một trong những phương pháp đã biết Nhược điểm quan trọng của phương pháp thử thống kê là để nhận được

các đặc trưng của quá trình nghiên cứu với độ chính xác cho trước thì cần

quá nhiều phép thử

Vì vậy, phương pháp thử thống kê thường chỉ áp dụng được với các bài

toán có số an không lớn lắm (số ẩn ø không lớn hơn 30)

trong đó 7) là tập hợp hữu hạn các điểm nguyên thuộc R”

Ý tưởng tham lam: Ta hãy lấy một bài toán thực tế "Cực đại giá trị các món ăn trong một bữa ăn", từ đây ta có "Kỹ thuật tham ăn" Tham

ăn hiểu một cách dân dã đời thường là: trong một mâm có nhiều món ăn,

món nào ngon nhất (giá trị nhất) ta sẽ ăn trước và ăn cho hết món đó thì

chuyển sang món ngon thứ hai, lại ăn hết món ngon thứ hai này và chuyển sang món ngon thứ ba, cứ tiếp tục như vậy - Quá trình sẽ dừng lại khi

ăn đủ no hoặc hết món ăn

Kỹ thuật tham ăn thường được vận dụng để giải bài toán tối u nguyên

nhằm xây dựng dần các thành phần tối u của một phương án z tối wu

Như vậy, phương án # = (z;) được xây dựng bằng cách lựa chọn từng

thành phần z;¡, = 1,1 của z cho đến khi hoàn chỉnh (đủ ø thành phần)

Với mỗi thành phần thứ i, ta sé chon z; tối ru (tối u theo một biến)

Bằng cách này thì có thể với số bước đủ lớn, ta chấp nhận một phương án

"tốt" gần với tối ưu

1.3.3.2 Sơ đồ chung của phương pháp

Ký hiệu A7 là tập phương án, ®Š là tập lời giải gồm hữu hạn thành phần,

xuất phát ta lấy , = ƒ Giả sử lời giải của bài toán cần tối đa thành phần Khi tập S chưa đủ ø thành phần của bài toán, ta gọi là tập lời giải

bộ phận

Sơ đồ chung của thuật toán tham lam

Bước xuất phát Dặt S = J:

Bước k,k= 1,2,

gan M := 1ƒ \ {z}, trở lại bước È

Bước kết thúc Thuật toán dừng khi hoặc là S đủ ø thành phần của bài

toán, hoặc là M = Ú