MUC LUC
trang
IN oc Et SỐ] 3
Chương 1 Kiến thức chuẩn bị_ 5
1.1 Một số vấn đề cơ sở của lý thuyết xác suất và thống kê 5
1.1.1 Một số vấn đề cơ sở của lý thuyết xác suất 5
1.1.2 Một số van đề cơ sở của lý thuyết thống kê_ 8
1.2 Một số nội dung cơ bản của bài tốn quy hoạch ngẫu nhiên 10
1.2.1 Bài tốn quy hoạch tuyến tính ngẫu nhiên_ 10
1.2.2 Bài tốn quy hoạch rời rạc ngẫu nhiên_ 12
1.2.3 Bài tốn chiếc túi ngẫu nhiên và các hướng tiếp cận giải 13
1.3 Một số phương pháp xấp xỉ giải bài tốn quy hoạch 16
1.3.1 Phương pháp tụt nha 16 1.3.2 Phương pháp thử thống kê 17
1.3.3 Phương pháp tham lam giải bài tốn quy hoạch nguyên tất định c 222cc 19 Chương 2 Thuật tốn tham lam giải một lớp bài tốn quy hoạch ngẫu nhiên_ 21
2.1 Một lớp bài tốn lập kế hoạch sản xuất 21
2.1.1 Bài tốn thực tẾ c2 21 2.1.2 Mơ hình tốn học tổng quát của bài tốn khi cĩ biến động ngẫu nhiên 21
2.2 Cận cho chính sách thích nghi và thuật tốn tham lam 24
2.2.1 Cận cho chính sách thích nghi (Adaptive Policy)_ 24
Trang 22.3 Thảo luận về việc kết hợp thuật tốn tham lam
và phương pháp xấp xỉ (Approximate)_ 32
2.3.1 Chính sách cĩ trật tự và các tập cố định 32 2.3.2 Một chính sách thích nghi (5 + e)-xấp xỈ 35
Trang 3MỞ ĐẦU
Bài tốn lập kế hoạch sản xuất đã được nghiên cứu và ứng dụng một cách rộng rãi trong hầu hết các ngành kinh tế, kỹ thuật Tuy nhiên, trong
từng lớp bài tốn lập kế hoạch cĩ những dạng mơ hình tốn học khác nhau
Sự biến động ngẫu nhiên của dữ liệu cĩ được cũng phụ thuộc vào thực tế
của bài tốn Luận văn này chúng tơi muốn đề cập đến một lớp bài tốn
lập kế hoạch sản xuất cĩ dạng bài tốn "chiếc túi" (mục 2.1, chương 2) Bài tốn lập kế hoạch sản xuất cĩ biến động ngẫu nhiên mà ở đĩ các khối lượng cơng việc là các biến ngẫu nhiên với phân bố xác suất được biết,
đã được nghiên cứu khá rộng rãi và cơng bố trong các bài báo từ trước những năm 1966
Bài tốn lập kế hoạch sản xuất cĩ biến động ngẫu nhiên, nĩi ngắn gọn
là bài tốn lập kế hoạch ngẫu nhiên Hầu như các bài tốn lập kế hoạch
ngẫu nhiên, được nghiên cứu hiện nay liên quan đến việc lập kế hoạch cho
tất cả các cơng việc nhằm làm giảm thiểu chi phí dự kiến thời gian hồn
thành đối với một xí nghiệp hoặc tổ hợp các xí nghiệp
Trong một kết quả gần day, tac gid B C Dean đã cho thấy rằng các
nghiên cứu đĩ khơng xem xét tới mục tiêu cụ thể mà ơng đang nĩi tới
trong bài báo của mình Về các kết quả được đề cập trong bài báo, chủ
yếu tác giả xét tới thuật tốn tham lam, từ đĩ đưa ra hướng tiếp cận
phương pháp xấp xỉ nhằm giảm bĩt độ phức tạp của thuật tốn Với cách
đặt vấn đề như vậy, chúng tơi cố gắng tiếp cận tới các kết quả ơng cùng cộng sự, trên bài báo Xấp zi bài tốn chiếc túi ngẫu nhiên: Lợi ích của
thich nghi (Approximating the Stochastic Knapsack Problem: The Benefit of Adaptivity), cơng bố 2005
Trang 44
động ngẫu nhiên Đĩ là lý do chúng tơi chọn đề tài nghiên cứu: "'Thuậ£
tốn tham lam, giỏi một lớp bài tốn lập kế hoạch sản uất cĩ
biến động ngẫu nhién"
Luận văn được chia làm hai chương:
Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tơi nêu
những khái niệm và kiến thức cỏ sở của lý thuyết xác suất và thống kê; bài
tốn quy hoạch tuyến tính nguyên ngẫu nhiên và bài tốn chiếc túi ngẫu
nhiên, các hướng tiếp cận để giải nĩ Các kiến thức chuẩn bị này nhằm phục vụ cho việc nghiên cứu của đề tài
Chương 2 Thuật tốn tham lam giải một lớp bài tốn quy hoạch ngẫu nhiên Đây là nội dung chính của luận văn Trước hết chúng tơi nêu bài tốn thực tế đặt ra, từ đĩ mơ hình hố dạng tốn học Tiếp theo nghiên cứu việc thực hiện thuật tốn tham lam, cĩ chú ý tới lợi ích
thích nghi, nhằm xấp xỉ giải bài tốn đã cho
Luận văn được hồn thành dưới sự hướng dẫn của thầy giáo PGS.TS
Trần Xuân Sinh, nhân dịp này tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới thầy
và cảm ơn các thầy cơ giáo trong tổ Xác suất thống kê và tốn ứng dụng
đã giảng dạy, chỉ bảo cho tơi trong suốt thời gian học tập và nghiên cứu
Cũng nhân dịp này tơi xin gửi lời cảm ơn tới thầy giáo cơ giáo trong
khoa Tốn, Phịng Sau đại học trường Dại học Vĩnh Tơi xin bày tỏ lời
cam ơn tới bạn bè và gia đình đã tạo điều kiện thuận tiện cho tơi hồn thành luận văn này
Mặc dù đã cố gắng song luận văn khơng thể tránh khỏi những sai sĩt
Chúng tơi mong nhận được những đĩng gĩp của quý thầy cơ giáo và các bạn để luận văn được hồn thiện hơn
Chúng tơi xin chân thành cảm ơn!
Trang 5Chương 1
KIEN THUC CHUAN BI
1.1 Một số vấn dé cơ sở của lý thuyết xác suất và thống kê
1.1.1 Một số vấn đề cơ sở của lý thuyết xác suất
1.1.1.1 Các định nghĩa e Độ đo xác suất
Giả sử (O, Z) là một khơng gian đo, trong đĩ Q # bất kỳ, Z là một
ø-đại số các tập con của Q Một ánh xạ IP: Z — I§ được gọi là độ đo xác
suất trên Z nêu
P1) P(4) > 0.VA e 7, (tính khơng am) P2) P(O) = 1, (tính chuẩn hĩa)
P3) Nếu 1„ € Z,n = 1,2, ,.4;f1.4; = Ú,¡ # 7 thì
P( U An) = » P(A;¿) (tính cộng tính đếm được)
e Khơng gian xác suất
Cho (Q,F) la mot khéng gian do Khi đĩ (O,Z,P) được gọi là khơng
gian ác suất
e Đại lượng ngẫu nhiên
Giả sử (O, Z P) là khơng gian xác suất; đ là ơ-đại số của Z: là ø-đại
số Borel trén R Khi đĩ ánh xạ X : O —— l được gọi là đại? lượng ngẫu
nhiên Ớ-đo được nếu với mọi B € Ư, ta cĩ
X"(B) := {w: X(w) € Bh eG
Trong trường hợp khi X là đại lượng ngẫu nhiên Z-đo được, thì X được gọi đơn giản là đạ¿ lượng ngẫu nhiên
Trang 66
nhién Khi do néu X, € F,Vn € Đ thì dãy (X; Z,nø € Đ) được gọi là dấy phù hợp
e Ham Borel
Ham y : (R”, B(R")) — (R, B(R)) dude goi lA ham Borel, nếu nĩ là hàm
B(IR®) - do dugc, nghia 1A
y '(B) € B(R’),
vdi méi B € B(R)
e Ham phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên
Giả sử X là đại lượng ngẫu nhiên xác định trên (O, Z,P) nhận giá trị
trén R Ham s6 Fy (x) = PLX < +] (+ € R) được gọi là hàm phân phối của
đại lượng ngẫu nhiên X
1.1.1.2 Kỳ vọng của đại lượng ngẫu nhiên
e Định nghĩa Giả sử X : (O,Z,P) — (R, B) là đại lượng ngẫu nhiên
Khi đĩ tích phân Lebesgue của X theo độ đo P (nếu tồn tại) được gọi là
kỳ uọng X va ky hiệu là EX
e Các tính chất
1 Nếu X > 0 thì EX >0
2 Nếu X = Œ thì EX = C với Œ là hằng số
3 Nếu tồn tại EX thì với mọi hằng số À, ta cĩ E(AX) = ABX
4 Nếu tồn tại EX và EY thì E(X +Y) =IEX +FEY
S3¿¿p„, nếu X rời rạc, nhận các giá trị #¡, x9,
5 EX = vdi P(X = vy) = pz,
io #p(z)dz, nếu X lién tuc, c6 ham mat do 1a p(x) 6 (Dinh ly Lebesgue vé sut hdi tu bi chan) Néu |X,| < Y,Wn > 1, EY <
oo va X, + X thi X kha tich, E|X, — X| — 0 va EX, — EX,n — cw
7 (Bất đẳng thức Markov) Gid st? X > 0 h.c.c Lúc đĩ uới mọi a > 0,
ta cĩ
Trang 78 Nếu X uà Y độc lập thi E(XY) = EX EY
1.1.1.3 Phương sai của đại lượng ngẫu nhiên
e Định nghĩa P,ương sa¿ của đại lượng ngẫu nhiên X, ký hiệu là 2X (hay uarX) là một số được xác định bởi
DX =E(X -EX)’
Khi đĩ
(ce — EX)*pp, néu X rdi rac, va P(X = xy) = pr,
Lự — EX)°p(+)dz, nếu X liên tục, cĩ hàm mật độ là p(z) DX =
e Cac tinh chat
1 DX >0, DX =0 khi va chi khi X — EX = C hang sé h.c.c
2 Với moi hang s6 \ tht D(AX) = DX
3 DX = EX? — (EX)
4 Nếu X.Y độc lập thà D(X £Y) = DX + DY
5 Voi moi hang s6 \, ta c6 E(X — \)? > E(X —EX)? Dau bang xay ra khả va chi khi EX =X
1.1.1.4 Kỳ vọng cĩ điều kién va martingale
e Giả sử (O, Z, P) là khơng gian xác suất X : Q — IR là đại lượng ngẫu
nhiên và đ là ơ-đại số con của Z Khi đĩ đại lượng ngẫu nhiên Y được gọi
là kỳ uọng cĩ điều kiện của X đối với ơ-đại số Ở nếu
() Y là đại lượng ngẫu nhiên đ-đo được,
(1đ) Với mỗi A € đ, ta cĩ
| vae= | xae
A A
va thường ký hiệu là Y = E(X|G)
Trang 8(i) (Xn Fn)nen la day phù hợp, (ii) E|X,| < œ,Vn € Đ,
(1đ) Với m < n.m.n € Đ thì EB(X;|Z„) = X„ h.c.c
1.1.2 Một số vấn đề cơ sở của lý thuyết thống kê
1.1.2.1 Mẫu và các loại xác định mẫu
e Tổng thể và mẫu
o Trong thực tế, các thơng tin về một đối tượng hoặc hiện tượng cần nghiên cứu chỉ cĩ thể cĩ được nhờ vào các gan sát hay là các phép thử Các thơng tin cĩ được như vậy phải đẩm bảo tính chính xác, tính ngẫu
nhiên của nĩ, phải là các đại diện một cách trung thực cho đối tượng hoặc
hiện tượng mà chúng ta cần nghiên cứu
Các quan sát (phép thử) được tiến hành một cách độc lập với nhau Kết quả của quan sát (phép thử) này khơng phụ thuộc vào kết quả của quan sát (phép thử) khác và cũng khơng ảnh hưởng đến khả năng xẩy ra kết quả của quan sát (phép thử) khác Dé cĩ được quan sát (phép thử), chúng
ta cần chọn mẫu (lấy mẫu)
o Tập hợp cĩ các phần tử là đối tượng mà chúng ta nghiên cứu gọi là
tổng thể Số phần tử của tổng thể gọi là kích thước của tổng thể Nếu từ
tổng thể, ta chọn ra ø phần tử thì ø phần tử đĩ gọi là một mẫu cĩ kích thước n hay cỡ n được chọn từ tổng thể
o Khi chọn mẫu, nếu phần tử đã chọn loại ra khỏi tổng thể, đối với mỗi
lần chọn tiếp theo thì gọi là mmấu khơng hồn lại Nếu phần tử đã chọn trả
lại tổng thể, rồi mới chọn phần tử tiếp theo thì gọi là zmấu cĩ hồn lại
o Mẫu được gọi là mmấu ngẫu nhiên nếu nĩ được chọn một cách nào đĩ
để bảo đảm tính khách quan, ngẫu nhiên
Giả sử chúng ta tiến hành ø quan sát độc lập về biến ngẫu nhiên X
Ta gọi X; là việc quan sát lần thứ 7 về biến ngẫu nhiên X Khi đĩ ta cĩ
(Xi X› , X„) là mẫu ngẫu nhiên cỡ ø Ta ký hiệu z; là kết quả quan sát
Trang 99
e Cac loai xác định mẫu
o Ta goi mau dinh tinh là mẫu mà ta quan tâm đến các phần tử của nĩ cĩ một tính chất 4 nào đĩ hay khơng
© Ta gọi mẫu định lượng là mẫu mà ta quan tâm đến một yếu tố về
lượng của các phần tử trong mẫu, chẳng hạn như chiều dài, khối lượng 1.1.2.2 Dặc trưng mẫu
e Ty lệ mẫu Cho mẫu định tính kích thước ø, trong đĩ cĩ ?n phần tử
cĩ tính chất A Khi đĩ ta gọi
là fÿ lệ mẫu
Giả sử ta nghiên cứu biến ngẫu nhiên X Ký hiệu „ = EX,ø? = DX
Cho (XI, X¿, , X;) là mẫu ngẫu nhiên được rút ra từ X Ta ký hiệu
biến ngẫu nhiên rời rạc X” nhận ø giá trị mẫu với xác suất đều, tức là
P(X’ = X;) = 1/n Khi do ta c6 ham phân phối thực nghiệm (+) (cịn
dude goi la ham phân phối mẫu)
F(a) = P(X! < 2)
Từ đĩ ta cũng cĩ các khái niém trung binh mau, phương sai mẫu e Trung bình mẫu
Dinh nghia Trung bình mẫu được xác định theo cơng thức
1 n
¥=+S°x,
e Phương sai mẫu
Dinh nghia Phuong sai mau được xác định theo cơng thức
n n
1 = 1 2
2° = DX'=-S) (xX,-XP=-SN X?-(X)
Trang 1010
1.2 Một số nội dung cơ bản của bài tốn quy hoạch ngẫu nhiên 1.2.1 Bài tốn quy hoạch tuyến tính ngẫu nhiên
Bài tốn quy hoạch tuyến tính tổng quát cĩ thể đưa về dạng
min{ƒ(z) — cfz} (LP)
với điều kiện J ““=®
aj 20,7 = 1,2, ,n,
trong d6 bién s6 x = (21,9, %n) € R™; vecto hé s6 c = (1, €2, ,Cn) €
R®, voi claw = SOF cj#j: b = (bi, bo, bm) © R™: A = (Aj) = (Gg)mxm;
véi Av = Via a;2;; hai vectơ (ma trận) œ =— (a),@2, ,dm) va b = (bị, bạ, b„) được sắp thứ tự ø < b nếu a; < bị, Vị — 1,1m
Bài tốn quy hoạch tuyến tính nêu trên, nếu cĩ các phần tử của ma
trận 4.0, xác định ngẫu nhiên thì được gọi là bài tốn quy hoạch tuyến tính ngẫu nhiên (Stochastic Linear Program) Để nghiên cứu bài tốn quy hoạch tuyến tính ngẫu nhiên, tuỳ theo yêu cầu thực tế mà cĩ nhiều cách
tiếp cận khác nhau
Thơng thường, người ta xét tới các trường hợp:
Nếu bài tốn đặt ra, với dữ liệu cho trước, đã xác định được phương án
tối ưu, khi dữ liệu chịu ảnh hưởng của biến cố ngẫu nhiên, phương án tối
ưu khơng cần thay đổi thì đĩ là bà? tốn quy hoạch ngẫu nhiên một giai
đoạn (chỉ cần một lần xét tới tập phương án)
Nếu bài tốn đặt ra, với dữ liệu cho trước, đã xác định được phương án tối ưu, khi dữ liệu chịu ảnh hưởng của biến cố ngẫu nhiên, phương án tối
ưu cần tính tốn điều chỉnh lại một lần thì đĩ là bà¿ tốn quy hoạch ngẫu
nhiên hai gia¿ đoạn (cần hai lần xét tới tập phương án)
Nếu bài tốn đặt ra, với dữ liệu cho trước, đã xác định được phương án
Trang 1111
tốn quy hoạch ngẫu nhiên nhiều giai đoạn được xét đến thơng qua bài
tốn quy hoạch ngẫu nhiên hai giai đoạn
Bài tốn quy hoạch tuyến tính 2 giai đoạn cĩ dạng ở giai đoạn 2 là
min{e7z + E(Q(z, ?))}
_ ae Ax = b,
với điều kiện
z>0
trong đĩ
Q(z+,Z) = min qˆw
A(2)z + Dy = 6(2),
y = 0 với điều kiện
Hàm @(+, Z) được gọi là hàm hiệu chỉnh Với Z € TR" là vectơ ngẫu nhiên; E(@(z,2)) biểu diễn kỳ vọng của biến ngẫu nhiên @(œ,Z); vectd + và
ụ tương ứng là các biến của giai đoạn thứ nhất và giai đoạn thứ hai;
D là ma trận cấp m x m (thơng thường cĩ thể lấy ma trận đơn vị):
U = (0.1 .- ,Um): Dụ thể hiện độ lệch giữa Az với b và q = (đi, @, - đa)
gọi là œectơ phạt bởi tác động của đại lượng ngẫu nhiên Z
Giai đoạn thứ nhất, biến + là nghiệm thu được trên cơ sở thơng tin cĩ
được từ thực nghiệm
Giai đoạn thứ hai, biến là nghiệm thu được khi hiệu chỉnh nghiệm sơ bộ z của giai đoạn thứ nhất với thơng tin xác định
Do vậy, bài tốn quy hoạch tuyến tính đã nêu, tương đương với việc giải
bài tốn
Trang 12Ax <b,
T(2)x + Dy(2) = h(2)
véi diéu kin 4 2 > 0,
y(Z) 2 0,
y(.) EY,
trong đĩ Y là khơng gian các ham đo được
1.2.2 Bài tốn quy hoạch rời rạc ngẫu nhiên
Bài tốn quy hoạch ngẫu nhiên, với tập phương án cĩ một số (hoặc tất
cả) các toạ độ của biến nhận giá trị rời rạc thì ta c6 bai todn quy hoạch rời rạc ngẫu nhiên Trong lớp các bài tốn quy hoạch rời rạc ngẫu nhiên, chúng ta quan tâm tới lớp bà? tốn quy hoạch nguyên ngẫu nhiên
Xét các bài tốn quy hoạch nguyên dạng
min {ec(z) := EpiC(œ, W)]} (1.2) „cM
trong đĩ W là một vectơ ngẫu nhiên cĩ phân phối xác suất P; A7 là một tập hợp hữu hạn các điểm nguyên thuộc IR*; C(«,1V) 1A mot ham lấy giá trị thực của hai biến vectơ + và I; Ep|C(z,W)] := ƒ C(œ.0)P(du) là giá trị kỳ vọng của C(z,W) Chúng tơi giả thiết rằng hàm giá trị kì vọng c(+) được xác định rõ Với mỗi z € Ậfƒ hàm C(z,.) là P đo được và
Ep[|C(x, W)|] < oo
Trong luận văn này, chúng tơi quan tâm tới các bài tốn với những đặc
điểm sau:
1) Ham giá trị kỳ vọng c(z) := IEe|C(z W')] khơng thể viết được trong một dạng tường minh hoặc giá trị của nĩ khơng thể tính tốn được một cách dễ dàng
2) Hàm C(z, W) là dễ tính tốn đối với z và W/ cho sẵn
3) Tập hợp Ä/ các phương án, mặc dầu hữu hạn nhưng rất rộng, vì vậy
Trang 1313
Ta đã biết rằng các bài tốn tối ưu rời rạc là bài tốn NĐP-khĩ Một khĩ khăn ở đây là hàm mục tiêu c(+) cĩ thể phức tạp hoặc khĩ để tính tốn ngay cả với phương pháp xấp xỉ Bởi thế các bài tốn tối ưu rời rạc ngẫu
nhiên là thực sự khĩ Chúng ta cĩ thể xét các bài tốn tối ứu rời rạc ngẫu
nhiên trong đĩ nghiệm với sai số cho phép là đủ nhỏ để xác định cơng thức
ước lượng của c(+) đối với mỗi z
Quan tâm tới phương pháp này cĩ Hochberg, Tamhane, Bechhofer, Sant- ner, Goldsman, Futschik và Pflug Một cách tiếp cận khác đã được Gelfand, Milter, Alrefaei, Andradattir, Fox, Heine, Gut - jahr, Pflug va Homem-de-
Mello nghiên cứu, bao gồm các phương pháp thích nghỉ tốt để đếm các sự
kiện mà giá trị hàm mục tiêu khơng được biết đến một cách chính xác Một cách tiếp cận nhánh và cận để giải bài tốn quy hoạch nguyên ngẫu nhiên
đã được gợi ý bởi Norkin, Ermokiev, Ruszczynski, và Pflug Cịn Schultz
và Stougie đã gợi ý một cách tiếp cận đại số để giải quy hoạch nguyên
ngẫu nhiên bằng cách nhờ tới một hệ cơ sở rút gọn của cơ sở Grobner
1.2.3 Bài tốn chiếc túi ngẫu nhiên và các hướng tiếp cận giải
1.2.3.1 Bài tốn chiếc túi tất định Cho ø% đồ vật, trọng lượng tương
ứng của đồ vật thứ ¿ là ø¡ và cĩ giá trị là œ (¡ = 1.n) Ta hãy xếp đồ vật
vào túi cĩ tải trọng là b, sao cho tổng trọng lượng khơng vượt quá b và đạt
giá trị lớn nhất
Ta cĩ thể tĩm tắt bài tốn như sau:
Ký hiéu J = {1,2, ,n}: tập chỉ số của đồ vật
Ký hiệu z¡,¡ = 1,n: là số đồ vật thứ ¡ xếp vào túi, z; € {0,1}
khi đĩ ta cĩ bài tốn là: Tìm z;.¿ € J sao cho:
max {fe = » cts} ied với điều kiện
dies Uti S b,
Trang 1414
1.2.3.2 Bài tốn chiếc túi ngẫu nhiên Bài tốn chiếc túi tất định là bài tốn quy hoạch tuyến tính, cĩ các tính chất riêng biệt của nĩ nên
được giải bằng phương pháp quy hoạch động Khi thơng tin về dữ liệu của
bài tốn phụ thuộc đại lượng ngẫu nhiên thì ta cĩ bài tốn chiếc tứi ngẫu
nhiên
1.2.3.3 Cách tiếp cận giải bài tốn chiếc túi
e Để giải bài tốn chiếc túi tất định, người ta đã đưa ra nhiều thuật
tốn Sau đây, ta xét thuật tốn giải dựa trên phương pháp quụ hoạch động
Với mỗi số nguyên k và h, (k — 1,n,h — 0,b), ta đặt
k k
Fy(h) = max { »- : Se ai; < hia; € {0;1},7= ma (1.3)
i=l i=l
Điều đĩ cĩ nghĩa rằng F,(h) 1a gid tri lén nhat cia hàm ƒ khi các đồ vật được chọn từ k lần đầu tiên và trọng lượng của chiếc túi là h
Với k — I, ta cĩ
Hì(h) = max {¢)2) : x, € {0; 1}} =c.l=c:h=0,b
Đối với k = 2.n;h = 0,b, cơng thức (1.3) cĩ thể viết lại
k k=l
Fi(h) = max So cin : So ai; <hT—agz:x¡ € {0:1}, 0 = LẺ)
i=1 i=1
Khi do ta cĩ
k—1
Fy(h) = max {na + max { » cai} }
i=l với điều kiện
k-1
So ai; <h = aparys x; € {0;1},0 = 1k
i=l
Từ đĩ ta được
Trang 15ky hiéu
ta cĩ cơng thức đệ quy như sau:
F,(h) = max {CK + Fy-i(h — axzt)}.E = 1,n,bh = 0, b (1.4) tp €{0;1}
Từ cơng thức (1.4), người ta cũng cĩ thể biến đổi để cĩ được cơng thức
đệ quy sau đây, gọi là Hệ (¿hức Dantzig
Fh) = max { Fy-1(h): œ + Fy (h — ax)}, h = ay, b (15)
H_¡(h), O<h< ay
Như vậy, để giải bài tốn chiếc túi đã nêu, ta chia ra các bài tốn nhỏ dang dé quy (1.4) va (1.5) lan lugt k = 1,2, ,n; h = 0,1, ,b Két quả phương án tối ưu của bài tốn tương ứng ƒ„(b) = ƒ(z*) thì z” là phương án tối ưu cần tìm
e Dể giải bài tốn chiếc túi ngẫu nhiên, tuỳ theo cách tiếp cận khác nhau
về mặt kỹ thuật mà cĩ những phương pháp đặc biệt khác nhau Thơng thường người ta chuyển về bài tốn quy hoạch với ràng buộc ngẫu nhiên
Do ràng buộc với thơng tin về dữ liệu ø;,¿ = 1,2, ,n khơng rõ ràng,
nên điều kiện ràng buộc » d;+¿ < b khơng được xác định, phụ thuộc
vào sự xuất hiện cĩ tính ngẫu nhiên của 4¿
Gia sti a;,i = 1,2, .,n phu thuộc dai lugng ngau nhién w;.i = 1,2, ,n ky hiéu w = (w;) lay gid tri trong W C IR*: độ đo xác suất IP trên Iƒ là
P(w € W) = P(W) = 1 Khi đĩ bài tốn (1.1)(1.2)(1.3) trổ thành bài tốn
chiếc túi với ràng buộc ngẫu nhiên
max U = S an)
i=l
Trang 1616
aị € {0;1},2= 1,2, n,
trong d6 < > 0, dt bé cho trước nào đĩ
Như vậy bài tốn chiếc túi lúc này đặt ra là: Tìm một điểm z* € {0;1}"
n
"(` Wit; < 0) >l-e«
i=l
với xác suất
sao cho đạt max ƒ
1.3 Một số phương pháp xấp xỉ giải bài tốn quy hoạch
Trong mục này, chúng tơi trình bày sơ lược ba hướng tiếp cận giải bài
tốn quy hoạch bằng phương pháp xấp xỉ Đây cũng là những phương pháp thường được sử dụng cho việc thiết lập thuật tốn giải bài tốn quy hoạch
tuyến tính ngẫu nhiên 1.3.1 Phuong phap tụt Xét bài tốn quy hoạch
min { f(x): «€ M}
trong đĩ f(x) 1A ham khả vi, xác định trên tập lồi đĩng M, thong thường,
ta xét hàm ƒ(z) thuộc lớp C!(A/) (hàm ƒ(+) khả tích và đạo hàm thoả
mãn điều kiện Läpschitz trên Ä/) Quá trình xây dựng dãy điểm +; gọi là
giãn dư nêu 2, € M va f(xpy1) < ƒ(;), b = 0,1, Từ nay về sau, ta giả thiết rằng tập các phương án tối ưu
M ={x EM: f(x*)= min f(x) } FO,
rel
đồng thời cũng giả thiết rằng +„ # A/*, (vì trong trường hợp ngược lại #;
là phương án tối ưu cần tìm và quá trình giảm dư kết thúc) Hướng s € IR* chấp nhận được từ z € A/ được gọi là hướng tụt từ z (hay là giđm từ z}) nếu ƒ(% + Às) < ƒ(z), với mọi \ € [0, Ao], Ao > 0
1.3.1.1 Lược đồ tổng quát
Trang 1717
Bước k,(k = 1,2, ) Tai điểm z;, ta chọn hướng tụt (—s;) (Chẳng
hạn chọn s„ = #;— ¿, trong đĩ ;¿ € Äf được chọn sao cho f(yx) < ƒ(z;))
k.1 Đặt
Wk = min ƒ(+ — Ø5¿) — ƒ(#x — 2;5k)
b.2 Lấy À„ € (0, 1] sao cho
Ff (aK — Bese) < (1 — Aw) f (we) + Awe (*)
È.3 Ta xây dựng xấp xỉ thứ k + 1 theo cơng thức
Cpe = Lk — ỦkSk: (**)
k.4 Gần k:= k+ 1, trổ lại bước k
1.3.1.2 Nhận xét Hướng —s„ xác định trong thuật tốn nêu trên là hướng tụt từ ay
That vay, theo (*) va (**) thi
F(tei1) = F (te — Bese) S (L — Ax) f (ae) + Anwe
= f(a) + Ag (we — f(we))-
Theo cách xác định +; thì ty < f(a, — Bs) v6i moi Ø > 0, tính riêng
Ø8 =0, ta được œy < ƒ(z;) Đồng thời do À¿ > 0 nên ta suy ra
Sf (vest) < (8a)
Điều đĩ chứng tỏ hướng chấp nhận (—s¿) là hướng tụt từ z
Chúng ta cĩ thể thấy rằng các cách chọn ngẫu nhiên hướng chấp nhận
được (—s;) là hướng tụt như đã nêu thì quá trình giảm dư là hội tụ 1.3.2 Phương pháp thử thống kê
Ý tưởng của phương pháp thử thống kê (hay phương pháp Monte Carlo) là phương pháp số giải các bài tốn bằng cách mơ hình hố các đại lượng ngẫu nhiên Về mặt nội dung, phương pháp này liên quan tới ý tưởng xây
Trang 1818
thống cần nghiên cứu Phương pháp thử thống kê cĩ thể áp dụng được
ở mọi nơi, miễn là ở đĩ bài tốn cho phép mơ tả bằng tồn thể hay một phần của lý thuyết xác suất, dù rằng bài tốn đĩ cĩ thể đã cĩ nội dung
tiền định chặt chẽ
Các bộ phận cấu thành của phương pháp là:
- Xây dựng các mơ hình xác suất của các quá trình thực tiễn cần nghiên
cứu:
- Mơ hình hố các đặc trưng ngẫu nhiên với luật phân phối cho trước;
- Giải các bài tốn của lý thuyết ưĩc lượng thống kê
Giá trị thực tiễn của phương pháp thử thống kê là nĩ thay những phép thử bởi các kết quả tính tốn dựa trên các đại lượng ngẫu nhiên Bởi vậy, cĩ thể xây dựng được các đặc trưng cần thiết của quá trình cần nghiên
cứu, mà khơng cần dùng các phương pháp mơ tả sự thay đổi của quá trình
đã cho Bài tốn cơ bản của phương pháp thử thống kê là xác định xác suất của các sự kiện bất kỳ và các giá trị trung bình của các đại lượng ngẫu nhiên qua kết quả của các phép thử lặp đi lặp lại nhiều lần
Cơ sở của lược đồ chung về phương pháp thử thống kê là Dịnh lý giới
hạn trung tâm Từ Định lý giới hạn trung tâm suy ra rằng khi tăng số
phép thử thì độ chính xác của nghiệm tăng lên
Như vậy, thực chất của phương pháp thử thống kê là chương trình để tiến hành một dãy các phép thử ngẫu nhiên Tuy nhiên, trong thực tế thường dùng một cơ chế tiêu chuẩn để sản sinh ra các đại lượng ngẫu nhiên cĩ phân phối đều trên một miền nào đĩ Cĩ thể nhận được số ngẫu nhiên ở phương pháp thử thống kê theo một trong những phương pháp đã biết
Nhược điểm quan trọng của phương pháp thử thống kê là để nhận được
các đặc trưng của quá trình nghiên cứu với độ chính xác cho trước thì cần
quá nhiều phép thử
Vì vậy, phương pháp thử thống kê thường chỉ áp dụng được với các bài
Trang 1919
1.3.3 Phương pháp tham lam giải bài tốn quy hoạch nguyên
tất định
1.3.3.1 Lược đồ chung
Ta xét bài tốn tối ưu
min{ f(a): 2 € D},
trong đĩ 7) là tập hợp hữu hạn các điểm nguyên thuộc R”
Ý tưởng tham lam: Ta hãy lấy một bài tốn thực tế "Cực đại giá trị các mĩn ăn trong một bữa ăn", từ đây ta cĩ "Kỹ thuật tham ăn" Tham
ăn hiểu một cách dân dã đời thường là: trong một mâm cĩ nhiều mĩn ăn,
mĩn nào ngon nhất (giá trị nhất) ta sẽ ăn trước và ăn cho hết mĩn đĩ thì
chuyển sang mĩn ngon thứ hai, lại ăn hết mĩn ngon thứ hai này và chuyển sang mĩn ngon thứ ba, cứ tiếp tục như vậy - Quá trình sẽ dừng lại khi
ăn đủ no hoặc hết mĩn ăn
Kỹ thuật tham ăn thường được vận dụng để giải bài tốn tối u nguyên
nhằm xây dựng dần các thành phần tối u của một phương án z tối wu
Như vậy, phương án # = (z;) được xây dựng bằng cách lựa chọn từng
thành phần z;¡, = 1,1 của z cho đến khi hồn chỉnh (đủ ø thành phần)
Với mỗi thành phần thứ i, ta sé chon z; tối ru (tối u theo một biến)
Bằng cách này thì cĩ thể với số bước đủ lớn, ta chấp nhận một phương án "tốt" gần với tối ưu
1.3.3.2 Sơ đồ chung của phương pháp
Ký hiệu A7 là tập phương án, ®Š là tập lời giải gồm hữu hạn thành phần,
xuất phát ta lấy , = ƒ Giả sử lời giải của bài tốn cần tối đa thành phần Khi tập S chưa đủ ø thành phần của bài tốn, ta gọi là tập lời giải
bộ phận
Sơ đồ chung của thuật tốn tham lam Bước xuất phát Dặt S = J:
Trang 2020
Với 17 Z Ú và S là tập lời giải bộ phận, ta thực hiện: k.1 Lựa chọn z € M,x ¢ S;
k.2 Kiểm tra tập 9 U {+} cĩ là chấp nhận được khơng? + Nếu cĩ,
gán S:— SUl‡z},k :— k +1, trở lại bước È + Nếu khơng,
gan M := 1ƒ \ {z}, trở lại bước È
Bước kết thúc Thuật tốn dừng khi hoặc là S đủ ø thành phần của bài
Trang 21Chương 2
THUAT TỐN THAM LAM GIẢI
MỘT LỚP BÀI TỐN QUY HOẠCH NGẪU NHIÊN
2.1 Một lớp bài tốn lập kế hoạch sản xuất 2.1.1 Bài tốn thực tế
Một nhà đầu tư sản xuất cĩ b đơn vị đồng vốn, dự định tham gia đầu tư vào sản xuất mặt hàng (ta gọi là mặt hàng ¡,2 — 1, ?z) Nếu đầu tư 1 đơn vị đồng vốn vào mặt hàng ¡ thì cho lãi suất là ¿¡ và chi phí phải trả là s¿ Hỏi nên đầu tư vốn như thế nào để cĩ tổng số lãi lớn nhất
Dể thiết lập mơ hình tốn học, ta ký hiệu 7 = {1,2, w} và œ¡.¿¡ € 7 là
sự lựa chọn của nhà đầu tư vào mặt hàng ¡ (z; = 1 nếu mặt hàng ¡ được
lựa chọn đầu tư, cịn z; = 0 là mặt hàng ¡ khơng được lựa chọn đầu tư) khi đĩ ta cĩ bài tốn
max{ƒ — cfz} (2.1)
với điều kiện
» sii <b, (2.2)
ied
x € {0:1}", (2.3)
trong d6 c= (cj), « = (ai), CT = Dies Cixi
Mơ hình bài tốn như trên, trùng với mơ hình bài tốn chiếc túi cổ điển,
cĩ thể giải bằng phương pháp quy hoạch động (xem mục 1.2.3)
2.1.2 Mơ hình tốn học tổng quát của bài tốn khi cĩ biến
động ngẫu nhiên
Như chứng ta đã thấu, bài tốn (2.1) — (2.3) trừng uới mơ hành bài tốn
Trang 2222
lập kế hoạch sản xuất, ta xét bài tốn "chiếc túi", khái niệm "mặt hang"
được thay bởi khái niệm "do vat"
Khi chi phí phải trả s; thay đổi một cách ngẫu nhiên thì khơng thể biết trước được giá trị, nhưng biết phân phối xác suất và kỳ vọng tốn của nĩ Ký hiệu
Hy; = E[ min{s;; 1}]
xem như thu nhỏ của s;
Từ mơ hình nêu trong mục 2.1.1, khơng mất tính tổng quát ta coi khả
năng tiền vốn của nhà đầu tu b= 1
Như vậy, đối với mỗi đồ vật, chúng ta sẽ tìm thấy nĩ thuận tiện để xem
xét kích thước thu nhỏ /¡ Nĩ được giả định rằng đối với mỗi đồ vật ¡
chúng ta biết ;, và chúng ta cĩ thể đánh giá bất kỳ điểm nào trên các phan phối tích lũy s¡ trong thời gian O(1)
Ký hiệu ® là tập hợp các đồ vật được xếp vào túi, chúng ta xác định size(S) = So si: u(5) = » tị: val(S) = Soe
¡cS ¡c5 ieS
Lưu ý rằng kích thước thu nhỏ được sử dụng để xác định /(9) Biện
pháp ước lượng kích thước này sẽ hữu ích cho việc thực hiện chính sách
khơng thích nghỉ và thích nghi ràng buộc Lúc này chúng ta cĩ được ước tính xác suất của một sự thiết lập phù hợp trong sản xuất do các biến của bất đẳng thức Markov sau đây
2.1.2.1 Bố đề 7u cĩ
P[size(S) <1] > 1— (9) Chitng minh RO ràng theo các ký hiệu đã nêu cho ta
P[size(S) > 1] < E[ min{size(S):1}]
< B| 3> min{s¡ | = a(S)
Trang 23Tw do suy ra
P[size(5) < 1] > 1— (5)
Đĩ là điều phải chứng minh oO
Nhu vay, khi s; thay déi mot cach ngu nhién, khong thé biét trudc dude
giá trị, nhưng biết phân phối xác suất và kỳ vọng tốn của nĩ thì bài tốn (2.1)-(2.3) được thu gọn thành bài tốn
max{ ƒ = cfz} (2.4)
với điều kiện
P[s¿ze(S) <1] >1— (5)
x € {0;1}" (2.5)
Đây là bài tốn mà chúng ta cần nghiên cứu và tìm ra lời giải
Một chính sách khơng thích nghi là một cách bố trí các đồ vật xếp vào túi trong 7 Một chính sách thích nqh¿ chính thức được xác định bởi một ánh xạ 7? : 2! x R' — ï xác định các đồ vật để chèn tiếp theo, cho tập
hợp con của đồ vật vẫn cĩ sẵn và tổng sức chứa cịn lại Chúng ta cĩ thể
hình dung một chính sách thích nghi như một cây quyết định, cĩ các đỉnh là một tập hợp con của 2Í x IR~ Tại mỗi nút chính sách quy định đồ vật
cụ thể để chèn tiếp theo, và các cạnh chủ đạo để đỉnh này tương ứng với
các kết quả cĩ thể của thể hiện ngẫu nhiên của các kích thước đồ vật này Lưu ý rằng một đại diện hồn chỉnh của cây quyết định này cĩ thể cĩ kích thước hàm mũ
Ví dụ: Xét chiếc túi cĩ thể xếp một số lớn đồ vật nguyên, trong đĩ
một nửa của loại A và một nửa của loại B Hàng loại  cĩ kích thước 1, 2
hoặc 3 với xác suất p, và sau đĩ kích thước 5, 7, 9, với xác suất 2 Hàng loại B cĩ kích thước 1 hoặc 2 với xác suất ø, và kích thước 4, 6, §, với
xác suất 2p Nếu p là đủ nhỏ, vậy thì chính sách tối ưu sử dụng một đồ
Trang 2424
Để cĩ được chính sách thích nghi (cây quyết định), chúng tơi sẽ trình
bày thêm khái niệm và tính chất cận của chính sách thích nghị 2.2 Cận cho chính sách thích nghi và thuật tốn tham lam
2.2.1 Cận cho chính sách thích nghi (Adaptive Policy)
Đầu tiên chúng ta cần hiểu iợi ích của thách nghá là gì? Giả sử rằng cho một chính sách thích nghi tầy ý (cĩ thể xác định cận dưới cho việc đặt tiếp các đồ vật vào túi), vậy thì cái cận trên khơng tầm thường chúng ta
cĩ thể nhận được hiệu quả của nĩ là gì? Lúc này, chúng ta khơng quan
tâm đến giá trị của đồ vật, và chúng ta xem xét /(5) như là hàm mục tiêu của chúng ta Cĩ thể cĩ một chính sách thích nghi hồn tồn chèn một tập
hợp các giá trị trung bình kích thước ¿(5) lớn hơn đáng kể so với 1 hay chăng?
Dầu tiên, lưu ý rằng nếu chính sách được cho phép để quan sát kích
thước thực của mỗi đồ vật trước khi quyết định chèn nĩ vào túi, ở đây
khơng cĩ cận hợp lý về sự thực hiện của nĩ Chúng ta gọi đĩ là một chính sách fbơng suốt, và nĩ cĩ thể được nhìn thấy khơng hiệu quả giữa chính
sách thơng suốt và thích nghi cĩ thể Q(n)
Ví dụ: Xem xét n đồ vật trong đĩ kích thước là 0 hoặc 2 với xác suất
? = 1/2 Chính sách thơng suốt chèn mỗi đồ vật trong mỗi lượt kích thước
0, với kỳ vọng nø/2 Một chính sách thích nghi cĩ thể chỉ chèn các đồ vật ngẫu nhiên, tiến trình ở đĩ một trong số chúng nhận kích thước 2, do đĩ số kỳ vọng của các đồ vật được chèn vào chỉ là 1
Do đĩ nĩ là quan trọng để khai thác thuộc tính khơng thể thu hồi quyết
định, cái mà bắt buộc chính sách thích nghi luơn giữ một đồ vật nếu kích thước của nĩ khơng mang giá trị lớn Thuộc tính này phản lại thực tế của
cơng việc, ở đây chúng ta khơng thể quay ngược thời gian, trong trường hợp này một cơng việc mất quá nhiều thời gian để hồn thành Chúng ta
Trang 2525
bởi 7 Một khi kích thước cia S, tran, khong thé thém vao S;, va S, sé vẫn khơng đổi sau này Ký hiệu 5; := min{s;: 1} và
Xi := SOG — Mì)
¡Cc%:
Cĩ thể thấy rằng X, là một martingale Dầu tiên chọn điều kiện trên
các nút đặc biệt, xác định bởi ®%, và kích thước của các đồ vật tương ứng
Giả sử rằng trong tình huống này, chính sách của chúng ta lựa chọn đồ vật 7 Đau khi chèn đồ vật 7, chúng ta cĩ
Spi = SU {9}
B[X,.¡|S, {5:1 € Si}] = SOG — ws) + El) — wy] — SOG — i)
¡CS ¡c5
Rõ ràng, điều này là đúng nếu s¿ze(S,) > 1 và khơng cĩ đồ vật nào được
đặt thêm vào Lúc này X; := Dies, (5; — ) —= € với một vài giá trị cố định
£, chúng ta được
E[X:.1|X: = €] = €
Điều nay chi ra rang { X;} 1A mot martingale Tix Xp = 0, chúng ta cĩ E[X,] = 0, với £ > 0 Diều này cĩ nghĩa là
B[s| = E[u(S)]:
ieS;
Quá trình dừng lại một khi s¿ze(S;) > 1 hoặc chúng ta khơng cịn một đồ
vật nào cả
Tt Dies, $i < size(S;) và mỗi 5; gần 1, chúng ta nhận được 5 );-„, š; < 2 với mỗi f > 0
két qua 1a E[y(S;)] < 2 Gia tri trung bình của tất cả các đồ vật được
chén bdi P (bao gdm cái đầu tiên được chèn vào túi) là
Trang 26và do do
E[(S)] = lim E[u(S,)] < 2
Như vậy, chúng ta đã chỉ ra được kết quả trong Bổ đề dưới đây, nĩ sẽ
trở thành cơng cụ chìa khĩa trong việc so sánh hiệu năng của chính sách thích nghỉ tối ưu với thuật tốn xấp xỉ, thích nghi hoặc khơng thích nghỉ 2.2.1.1 Bồ đề WZ¿ rỗi chính sách thích nghỉ D, giả sử S là tập hợp
các đồ uật mà D cĩ gắng để chèn uào Khi đĩ kỳ uọng lấu theo tiệc thực
hiện chính sách thoả mãn
El(S)] <2
Chú ý Điều đĩ cĩ vẻ như chúng ta cĩ một hệ số bằng 2, chỉ vì chúng
ta cho phép đồ vật đầu tiên được coi là tốt Tuy nhiên, đĩ khơng phải là
một trường hợp Giả sử rằng chúng ta cĩ các hỗ trợ khơng giới hạn của
các đồ vật, cái mà đạt được kích thước 1 với xác suất p và kích thước 0 với xác suất 1 — p Một chính sách chèn tuần tự các đồ vật này, cho đến khi
2 trong số chúng đạt kích thước 1 và túi đầy Số kỳ vọng của các lần thử
trước khi xuất hiện là 2/p— 1, và do đĩ chúng ta chèn thành cơng một tập
hợp các đồ vật với kích thước trung bình dự kiến E[(S)] = 2 — p, cĩ thé
tự động đĩng túi lại tới 2
2.2.2 Thuật tốn tham lam (The Greedy Algorithm)
2.2.2.1 Đặt vấn đề Chúng ta giả thiết rằng tất cả các đồ vật cĩ kích thước khác khơng (nếu cĩ một đồ vật cĩ kích thước 0, chúng ta cĩ thể chèn chúng một cách tự do) Chúng ta hãy phân các đồ vật thành hai loại "nhẹ"
(light) va "nang" (heavy): J = I; UIy Lựa chọn ngưỡng giá trị ơ € (0; 1)
và gọi một đồ vật là ø;c nếu / < ơ hoặc là nặng nếu “; > øơ Giả thiết
rang I, = {1,2,3, } và các đồ vật nhẹ được xếp thứ tự
ayo ay tH Ha H3
Trang 2727
sử rằng tổng kích thước trung bình của các đồ vật nhẹ là I, trong trường
hợp khác chúng ta cĩ thể thêm vào các đồ vật cĩ giá trị 0) Ta xác định
n*
ema = YD (1 — My)
em i= mà {«¡P[s; <1l]:¡€ 7} 2.2.2.2 Thuật tốn
Buéc 1 Tinh mg va m;; chon max{me;m, }
Bước 2 Kiểm tra
ï) Nếu max{mme¿;ị} = mì, chèn đồ vật cĩ giá trị mmị
Sang bước 3
ii) Nếu max{zne;mm¡} — rn¿, chèn các đồ vật "nhẹ" 1,2,3 cho đến khi túi đầy hoặc là tất cả các đồ vật đã được xếp vào túi
Sang bước 3
Bước 3 Kết thúc
Theo Bổ đề 2.1.2.1, xác suất đế đồ vật thứ & được chèn vào sẽ ít nhất là
1— M;, và giá trị kỳ vọng đạt được trong trường hợp này ít nhất là mẹ Như vậy thuật tốn của chúng ta đạt được giá trị "tham lam"" dự kiến ít
nhat GREEDY := max{m); me}
K¥ hiéu ADAPT (thich nghi) là giá trị kỳ vọng lớn nhất đạt được bởi
chính sách thích nghi cho một trường hợp của chiếc túi ngẫu nhiên Chúng
ta đưa ra một thuật tốn thực hiện đơn giản, cho ta đạt được một hệ số xấp xỉ trong các mục tiếp theo, so sánh với AI2APT Do thuật tốn của
chúng ta khơng thích nghi (nĩ được xác định một dãy hạn chế của các đồ
vật được đưa vào) cần trả lời câu hỏi "khi nào tính thích nghi cĩ thể mang
một tập con lợi thế?" Khoảng cách giữa chính sách thích nghi và khơng
thích nghi chỉ là một hằng số
Bây gid, ching ta so sinh GREEDY (tham lam) với A2APT (thích nghỉ) Trực quan mà xét thì thuật tốn chèn tuần tự cho ta hiệu quả tốt
Trang 2828
"nặng" với giá trị rất lớn Trong phép tuần tự bao gồm trường hợp này, chúng ta cố gắng chèn mỗi đồ vật riêng lẻ như m)
Đầu tiên lấy đồ vật "nhẹ" Với mục đích này, nĩ sẽ trở nên hữu ích để
đi tới một giải pháp tứi phân đoạn Chúng ta xác định một hàm ®(h) ký
hiệu cho giải pháp phân đoạn tốt nhất sử dụng chỉ các phần tử "nhẹ" và
sức chứa h như sau:
®(h) := max | So ein :0 <z›; <1; So mii < nt
tel, ?€l,
Day là bài tốn chiếc túi nới lỏng với kích thước đồ vật /; Mỗi một tập
hợp của các đồ vật "nhẹ" 7 xác định một vectơ đặc trưng X; = (¡ € Ƒ)
thoả mãn sức chứa h — ,(I) Diều đĩ nĩi lên rằng
val(L) = Soak: < ®(u(T))
iel,
Giờ đây nĩ trở nên dễ dàng với các đồ vật "nhẹ" cĩ thứ tự bởi (c¡//) Chúng ta cũng thấy rằng giải pháp tối ưu là một tập hợp các đồ vật trong
thứ tự giảm (c;//;), sử dụng càng nhiều càng tốt cho tới đồ vật cuối cùng
Như vậy phương án tối u cĩ dạng đơn giản là
k-1
Vk € In; VE € (0; px): P(A) + €) = Soa + oe
¿=1 k
®(đ) = 0al(T,) với h > M,
ở đây 1 := |J;| va Af, > 1
Do đĩ, ®(đ) là hàm lõm và tuyến tính từng khúc (xem Hình 2.1) Điều
Trang 29c T T o M,;, Mẹ
_Hình 2.1 Dé thi ciia ham ®(h)
2.2.2.3 Bo dé Nếu tát cả các đồ uật là "nhẹ" thà ADAPT < ®(2)
Chứng mmĩnh Với chính sách thích nghi tối tu 7? và giả sử chèn vào một tập L, là biến ngẫu nhiên Giả sử z; :—= P[¿ € L] Từ bổ đề 2.2.1.1 ta cĩ
So vim = E[p(L)] < 2
t
Do đĩ
E[val(L)] = ` Gay S s(` pit) < &(2)
Dĩ là điều cần chứng mỉnh oO
2.2.2.4 Bổ đề Tu cĩ
l-o
nạ > ®(1)
Chitng minh So sánh điện tích trong Hình 2.1, tương ứng với ?nẹ¿, với tam giác màu xám ABC của diện tích ®(1)/2 Phần của tam giác là khơng
Trang 3030
hầu hết ®(1), và phần cơ sở của mỗi tam giác nhỏ là < ơ Do đĩ 1— mẹ > 9(1)/2~ 8(1)ø/2= =5 “a@(1) Dĩ là điều cần chứng minh oO Do tinh lém ctia ®(h) nén @(2) < 20(1) < 4 me l-o
Như vậy chúng ta cĩ một thuật tốn 4/(1 — ø)-xấp xỉ cho các đồ vật "nhẹ" Bây giờ, chúng ta kết hợp với đồ vật "nặng" Tuy nhiên, trước hết
chúng ta cần xác định cận của ®(h) cho moi h > 0
2.2.2.5 Bổ đề Với h < 1-— ơ, ta cĩ mẹ > (1— h)®(h) Chitng minh Chon k sao cho My_, <h < My
Giá trị đạt được bởi thuật tốn tham lam sẽ ít nhất là k-1
k 1— MẸ
mo > (1—M;) > —
mo =) e(1— Mj) > (1 (Laren)
Bay giờ ta sử dụng bất đẳng thức (1— A)(Afz— Afz_¡) > (1—h)(h—A;¿—¡) Điều này được giữ nguyên bởi vì tổng của tất cả các cặp tỉ lệ là như nhau
(1— Mẹ;_¡) và (h — 1f;¿_¡) là bé nhất của tất cả các yếu tố (h — Äf„_¡) < (My — My-1) va (h— Mp) < (L-o — Mea) < (1— ẤM) Do do — h — ÀI, k—I +> _ 1 + = mẹ > (1 m( 5 G+ ty, tc) (1 — h)®(h)
D6 1a diéu can chitng minh Oo
2.2.2.6 Bổ đề Với mọi đồ uật "nhẹ" được xác định bởi o = 1/3 va
h>0, ta c6
Trang 3131
Chứng minh Theo Bồ đề 2.2.2.4, chúng ta cĩ
2
<
(1) <7] MG
Với h > 1, do tính lõm của ®, ta được ®(h) < h®(1) < 3h.mẹ Với
h € [2/3, 1], do tính đơn điệu của ® nên ®(b) < ®(1) < 3m¿ Cuối cùng,
với h € [0,2/3], do Bổ đề 2.9.2.5 thì ®(h) < ?2 < (1+ 3h)ma Dĩ là điều cần chứng mỉnh Oo Một cách tổng quát, chúng ta cĩ thể chỉ ra rằng 2h ) ING —O
Nhưng chúng ta sẽ khơng cần đến điều này như sự chọn lựa ø = 1/3 Do
ah) < (145
vậy với bất cứ tập Ù của các đồ vật "nhẹ", chúng ta cĩ val(L) < ®(u(L)) < (L+3u(L))m
Điều đĩ địi hỏi đến một cận của giá trị, mà một chính sách thích nghỉ cĩ
thể thu được cho các đồ vật "nặng"
2.2.2.7 Bổ đề Cho một chính sách thách nghỉ Ð Kú hiệu II C Tụ là tập các đại lượng ngẫu nhiên gồm các đồ uật "nặng" mà Ð đã chèn ào
tứi uà ký hiệu HC H' Nhi đĩ
E[val(H)] < E[|H'|]mi
Chiing minh Giả sử z¡ = P[¡ € HỊ và z¿ = P[¡ € HỊ Vì với mọi ¿ luơn
cĩ xác suất IP[s; < 1], chúng ta cĩ z¡ < z4lP[s; < 1Ì và
Eloal(H)] = So cixi < So cia'\P[s; <1 < Doma = E[IH'I]mi
i
Đĩ là điều cần chứng minh Oo
Định lý sau đây cho thấy thực hiện tối ưu theo chính sách thích ứng tốt hơn thuật tốn tham lam
2.2.2.8 Định lý Với ø = 1/3 fø cĩ
Trang 3232
Chứng minh Xét một chính sách thích nghỉ tối ưu và tập S’, ma no
cố gắng xếp vào Chia tập S’ thành các đồ vật "nhẹ" L’ va "nang" H’,
#' = ỤT Tương tự ta viết 9 = U II Với những vật "nặng", chúng ta sử dụng Bổ đề 2.2.2.7 thì
E[val(H)] < E[LH'||mì < 3E[H(H')]m
Với các vật "nhẹ", chúng ta sử dụng Bổ đề 2.2.2.6 thi
val(L) < ®(u(L)) < (1+ 3n(L))me
ADAPT = E[val(L)] +E [val(H)]
< (L1 3E[¿(0)] 1 3E[u(T)])GREEDY: (*)
Thay vào bất đẳng thức (*) ta được
ADAPT <7.GREEDY
Do 1a điều phải chứng minh oO
2.3 Thảo luận về việc kết hợp thuật tốn tham lam và phương pháp xấp xỉ (Approximate)
2.3.1 Chính sách cĩ trật tự và các tập cố định
(Ordered policies and fixed sets)
Bay giờ, chúng ta sẽ thảo luận các kết quả gần đúng của hai mơ hình
khác nhau đơi chút, so với mơ hình khơng thích nghi đã được xem xét ở
trên Thứ nhất là mơ hình âp cá định, chúng ta phải xác định rõ tập các
số hạng của Š chèn vào túi, và chúng ta chỉ nhận được giá trị của S néu mọi số hạng này đều thỏa mãn Thứ hai là mơ hình (bách nghi phan bac, chúng ta phải xử lý các số hạng theo một vài trật tự đã xác định trước và
với mỗi số hạng theo thứ tự, chúng ta phải quyết định sao cho phù hợp khi
Trang 3333
Trường hợp phân bậc cĩ thể được phân chia nhỏ hơn nữa, dựa trên thuật
giải của chúng ta cho phép chọn thứ tự hoặc khi nào thứ tự được cung cấp
như tín hiệu đầu vào Một bài tốn trong trường hợp đầu tiên là việc tính tốn thứ tự tối ưu nhất Từ các kết quả Định lý 2.2.2.8 ở trên, chúng ta biết được rằng các giá trị mong muốn thu được bằng chính sách thích nghĩ
tối ưu bé hơn 7 lần thuật tốn tham lam
Ngồi ra, chúng ta cịn cĩ thuật tốn cĩ độ phức tạp thời gian đa thức
để tính tốn một tập hợp các giá trị đồ vật của S ma
val(S)(1 — (8)) > a
Bay giờ chúng ta xem xét việc tính tốn tap S cé gia tri thdi gian ngẫu
nhiên hợp lý nhất ADAPT/9.5 Ta ky hieu em := max {c;P[s; < 1]: i € 7},
e my := max {val(S)(1 — ,(S)) : 9C 7}
Chú ý rằng mị cĩ thể xác định một cách dễ dàng, cịn my thi được tính xấp xỉ bởi chiếc túi chuẩn cĩ kích thước trung bình Cả hai giá trị tương
ứng với lợi ích dự kiến của việc chèn tập cố định các đồ vật, xem xét xác suất thiết lập phù hợp trong túi Tập hợp cố định (PIXED) sẽ tốt nhất ở
mot trong hai gid tri FTX ED := max{m: my}
2.3.1.1 Bố đề Với tập các đồ uật "nhẹ" L C Tạ, la cĩ val(L) < (1 + ham
l1—ơˆ
Chứng mữnh Chúng ta chứng minh bằng quy nạp theo ||
Nếu (1L) > (1— ø)/2, ta chọn giá trị nhỏ nhất của kK C L sao cho
(K) >(1—ø)/2 Từ các đồ vật cĩ kích thước trung bình lớn hơn ø, sẽ khơng vượt quá kích thước trung bình (1 + ø)/2 Theo quy nap
4(u(Ù) — n(K
val(L\ K) < (1 + THỂ nám
Trang 3434
và từ mạ > eal(K)(1— n(K)), voi w(K) € [45%: 42], ching ta cĩ
u(K)my > val(K)u(K)(1 — p(K)) > —(1 — o°)val(K),
Ble
đồng thời
val(L) = val(L \ K) + val(K) < @ + ME) in,
Cuối cùng là /(U) < (1 — ø)/2 Vậy chúng ta cĩ thể thấy rằng
mạ Au(L)
al(Ù) €————y < [T1
bal(L) << (14 me
Đĩ là điều cần chứng minh L]
2.3.1.2 Định lý Với một chính sách thích nghị tối tu, giá trị mong muốn của các phần tử chèn uào túi thoả mãn
ADAPT(thich nghi téi wu) < 9,5.F TX ED(cé dinh)
Chứng mánh Giả sử thay đổi một chính sách thích nghi tối ưu và đặt S' = H' UL’ biéu thi cdc thiết lập của các đồ vật "nặng" và "nhẹ" mà
chính sách cố gắng để chèn vào túi Giả sử S = HU L là ký hiệu cho các
đồ vật đã được chèn vào Theo Bổ đề 2.2.2.7 ta cĩ
KR[u(M
E[oal(H)] < B[|H'l]m: < (1)
oO
Đối với đồ vật "nhẹ" chúng ta sử dụng Bổ đề 2.3.1.1 thì cĩ
E[val(Z)] < (1+ ae
Chon øơ — v5 — 2 sé cho ta
E[val(S)] < (: +(2+ v5)(E[u()] + E[u(1)]))FIXED
Theo Bổ đề 2.2.1.1 thì E[u(S)] = E[u(H)] +E[u(1L')] < 2 Từ đĩ suy ra
ADAPT < (5 +2V5)FIXED © 9,5FIXED,!
Trang 3535
trong đĩ chúng ta lấy mạ (1 +)
Định lý được chứng minh L1
2.3.2 Một chính sách thích nghỉ (5 + =)-xấp xỉ (A (5 + e)-Approximate Adaptive Policy)
Trong phần này chúng tơi mơ tả một chính sách thích ứng với hệ số 5+
của một chính sách thích nghi tối ưu Với bất cứ một hằng số e > 0, chính sách địi hỏi độ phức tạp thời gian đa thức quyết định số các đồ vật đưa vào tiếp theo trong túi, đưa ra tập hợp của các đồ vật đã sẵn sàng được
chèn vào và tính khơng ổn định của kích thước
Thơng qua đĩ trong mục này, chúng ta giả thiết rằng phân bố xác suất
là rời rạc Đồng thời chúng ta đưa ra một giá trị sao cho tương ứng với
gid tri B bits biểu diễn bất cứ giá trị nào của đồ vật, một cách cụ thể kích thước đồ vật hoặc giá trị xác suất đạt được bởi việc đánh giá tích lũy các phân bố cho một vài kích thước đồ vật Thời gian chạy của thuật tốn mà
chúng tơi đưa ra là đa thức theo ø› đồ vật và Ư
Thuật tốn tham lam đưa ra một +“ _-chính sách xấp xỉ nếu tất cả các
đồ vật đều là "nhẹ" (Bổ đề 2.2.2.3 và 2.2.2.4)
Trong mục này, chúng ta mơ tả một (1 ~ z')-chính sách xấp xỉ nếu tất
cả các đồ vật đều là "nặng", đối với hằng số z' > 0 Lời giải của chúng ta
được lựa chọn tốt nhất giữa hai chính sách, đạt được một giá trị kỳ vọng
là m Do vậy ta được
4
ADAPT< = +(1+ z))m <(5+e)m,
—Ø
trong cách lựa chọn xấp xỉ hằng số ø và <'
Bây giờ chúng ta sẽ chú trọng đến tính tốn (1 + )-chính sách xấp xỉ cho các đồ vật "nặng", cho bất cứ một giá trị e > 0 là hằng số Theo như
Trang 3636
chứa của túi) Đầu tiên chúng ta giữ điều này bởi việc hạn chế các chính
sách để cĩ được độ cao hằng số tốt nhất (phụ thuộc vào ), chúng ta chỉ để mat mot số nhỏ giữa các giá trị kỳ vọng Do đĩ, cây quyết định của chúng ta sẽ là khơng đổi tại hầu hết các số đa thức của đỉnh, và chúng ta cĩ thể tính tốn tường tận một chính sách thích nghi tối ưu xấp xỉ cho mỗi đỉnh
theo quy tắc từ dưới lên trên tại mỗi độ cao đ trong cây quyết định Thuật
tốn của chúng ta cho việc xấp xỉ số đồ vật để chèn tiếp theo sẽ tạo ra một
số đa thức chương trình con gọi đến thuật tốn tại độ cao đ + 1
Theo Bồ đề 2.2.1.1, E[/(Sw)] < 2, trong đĩ S„ biểu diễn tập hợp (ngẫu
nhiên) các đồ vật "nặng" đặt vào trong túi bởi chính sách thích nghỉ tối ưu Từ đĩ kích thước giá trị kỳ vọng của mỗi đồ vật "nặng" ít nhất là ơ,
chúng ta cĩ E[|Sw|] < 2/ø và bất đẳng thức Markov P[|S„| > 3] <o
Do d6, ADAPT y ky hiéu cho gia tri ky vong cla cdc đồ vật "nặng" đạt được bởi chính sách thích nghi tối ưu, và W ký hiệu giá trị đạt được vượt
ngồi đồ vật thứ k, chúng ta nhận thấy rằng ADAPTi = ƒa„(0) < #¿(0) + E[Vi||Sw| > È]P[ISw (0) (0) > k] < Sox O) + ADAPTya < fox(0)/( — )
Khi k = 4 = O(1), ap dung Bé dé 2.3.2.1, cho phép ching ta tinh toan
mot (1 +<’)-x4p xi dén gid trị của ƒpx(0), cũng như chính sách tương ứng, ‘vA o một cách gần đúng, với bất cứ hằng số e' > 0 Bằng cách chọn ¢
chúng ta cĩ thể xấp xỉ chính sách tối ưu cho các đồ vật "nặng" tới cùng với một hệ số (1 + e) cho bất cứ hằng số z > 0
Chúng tơi định nghĩa hàm ƒs¿(h) để nhận được giá trị kỳ vọng lớn nhất
cĩ thể đạt được nếu h sức chứa đã sẵn sàng cho việc sử dụng Chúng ta
Trang 37kết quả sau đây:
2.3.2.1 Định lý Với bằng số e > 0, bat cứ giá trị h € |0 1], một tập
hợp các phần tử "nặng" S uà mỗi k = O(1), tồn tại một thuật tốn thời
gian đa thúc As„- nhằm tính tốn một đồ uật thuộc Ïụ \ 8 chền vao túi,
tạo thành sự bắt đầu của chính sách thích nghỉ đạt được giá trị kỳ uọng trong phạm tí [ƒs¿(h)/(L+£): ƒs¿(h)] Thuật tốn cũng xấp sỉ giá trị của
chính sách nay, tra uề giá trị gs¿-(h) € [/s¿(h)/ +e); ƒs„(h)]
Chứng mứnh Quá trình chứng minh định lý, thực chất là quá trình xây
dựng thuật tốn As¿„: theo các tham số ®%, k e
Chúng ta quy nạp theo Với ‡ = 0 là giá trị ban đầu được thực hiện
Giả sử rằng Định lý đúng với k, tức là với bất cứ đồ vật "nặng" nào của
tập S, chúng ta cĩ một thuật tốn thời gian đa thức Asx„›, trong đĩ £'
thoả mãn (1+ £')? —= 1+ < Chúng ta mơ tả làm thế nào để xây dựng thuật
tốn As¿,¡ cho ước lượng øsz,1„-(h) được tạo ra bởi một số đa thức theo
"đệ quy" gợi đến 4,¿z- Khi đĩ chúng ta thực hiện tại hầu hết các số hằng sỐ của các mức quy nạp (gọi lại giá trị cuối cùng của k là hằng số), mỗi
một giá trị tạo ra chỉ một số đa thức của hàm được gợi tại mỗi mức, thời gian chạy của As¿.¡„ sẽ trở thành đa thức và tất cả giá trị của e được yêu
cầu bởi tính tốn đệ quy sẽ là hằng số
Thuật tốn As¿,¡- phải quyết định đưa đồ vật trong 7„ \ Š để chèn
vào tiếp theo trong túi, với sức chứa mà trong thứ tự để thực hiện một
chính sách (1 + e)-xấp xỉ Để làm được điều này, chúng ta xấp xỉ giá trị kỳ vọng để nhận được với mỗi đồ vật ¡ € „ \ và lấy ra đồ vật tốt nhất Dể ước lượng giá trị kỳ vọng nếu chúng ta bắt đầu với đồ vật ¡, chúng ta cĩ
thể thử mẫu một cách ngẫu nhiên: mẫu với một số lớn của các trường hợp
cĩ kích thước s¡, với đồ vật ¡ và cho mỗi lần sử dụng thuật tốn Asgusi x2
để xấp xỉ giá trị kỳ vọng ƒsu¿;y,x(h + s¡) thu được phần tử cịn lại của một
chính sách tối ưu với điểm bắt đầu ¡
Trang 3838
hiếm hơi" thường gặp phải khi lấy mẫu ngẫu nhiên Nếu s; cĩ xác suất
nhỏ so với giá trị ƒsu¡;y¿(h + s¡) rất lớn, chúng ta sẽ bỏ lỡ cơ hội lựa chọn trường hợp này Để khắc phục điều này, chúng ta xấp xỉ ƒsu ¿(h) bởi hàm số khơng đổi f(r) trên từng đoạn với các điểm gãy, ký hiệu là 0 = ho, hi, ., hy = 1 Dau tién ching ta tinh fhe) = Jsuti},ke(0) bdi din xuất (lời gọi) của Asus Sau đĩ, chúng ta sử dụng tìm kiếm nhị phân
để tìm kiếm mỗi điểm gãy hị, h„_ị Sau khi tính h;_¡ chúng ta đặt h¿
là giá trị bé nhất của h sao cho
Øsuti},,'(h) < Ẩ(h;_+)/0 te’),
Số bước lớn nhất của việc tìm kiếm nhị phân sẽ là đa thức của B va
œ, khi đĩ tổng tập hợp với kích thước ø» đồ vật địi hỏi đa thức poly(n B) bit để biểu diễn, và mỗi vịng lặp của tìm kiếm nhị phân hạn chế một
trong những số các bit Mỗi bước của tìm kiếm nhị phân tạo ra một lời
gọi tới Asuyz để đánh giá su; „(h) cho mỗi giá trị của h Chú ý
rằng ƒsu¿;y „(h) là hàm khơng tăng theo h, nên xấp xỈ gsu¿;y ;„(h) khơng thể làm tăng Tuy nhiên, nếu chúng ta đánh giá Øsuy/(h) và lưu ý giá trị của nĩ là lớn hơn øsui;„-(h!), với h“ < h là một điểm tại đĩ chúng ta đánh giá cơng thức của hàm số (hoặc là tương tự, nếu chúng ta lưu ý rang gsuti}ee (2) < Øsu (MU) với h > h) Khi đĩ nĩ đã đủ để sử dụng ” xấp xi Øsuf(h') thay cho øsu¿y k2(h), điều này vẫn vượt qua 1 + =
ƒsuqm,e(h) và cho phép chúng ta thực hiện tìm kiếm nhị phân
Mỗi điểm gãy của ƒ đánh dấu một điểm giảm Øsutiyxe' bởi ít nhất tại
một hệ số (1 + £') Giá trị của ø cĩ thể giảm bởi (1+ £') tại hầu hết các số đa
thức của thời gian trước khi nĩ thực sự tiến tới 0 Chúng ta cĩ thể lập luận quy nạp này bằng cách thêm vào quy nạp của chúng ta để giữ lại giá tri g
để biểu diễn chất lượng bởi một số đa thức của các bit Từ fila mot (1+<’)- xp xi tdi gsusi} p27, nO 1a trong mot ligt cia (1 + e’)-xap xi tdi fousipe-
Chúng ta biét ring f(h) nim trong doan [fsuriya(h)/(1 + ©): fsutn a(2)]-
Trang 3939
tính øsx.¡z(h) như sau
P
9s+i1e(R) — 0iP[sị < 1— hị + SS gsugiyner(h + hj1)P(si € [jas hy])-
j=!
Giá trị lớn nhất trên tất cd cdc dé vat tiém nang dau tién i € Ty \S cho
giá trị cuối cùng của øs¿;1;(h), với (1 + e)-xấp xỉ ƒs¿.i(h) Lưu ý rằng
bất cứ giá trị của gsz;¡-(h) phải cĩ khả năng biểu diễn bởi đa thức của
số bit cũng đúng như của øs„-(h) (khi đĩ chúng ta chỉ cĩ thể mang dẫn
xuất bên ngồi cho cấp độ của hằng số) Tổng quát, thuật tốn 4sz,i¿ nêu trên tạo ra chỉ một số đa thức gọi đến A,¿
Trang 4040
KẾT LUẬN
Kết quả nghiên cứu, luận văn đã nêu được một số nội dung chính như sau:
1 Trình bày một cách hệ thống những khái niệm và kiến thức cơ sở
nhằm phục vụ cho việc nghiên cứu các vấn đề cĩ liên quan trong luận văn
Cụ thể đã trình bày các vấn đề: về một số nội dung cần thiết của lý thuyết xác suất và thống kê, về bài tốn quy hoạch tuyến tính nguyên ngẫu nhiên, bài tốn "chiếc túi" ngẫu nhiên và các hướng tiếp cận giải, về phương pháp
giải gần đúng bài tốn quy hoạch
2 Xem xét một lớp bài tốn lập kế hoạch sản xuất với dữ liệu cĩ biến động ngẫu nhiên
3 Nghiên cứu bài tốn lập kế hoạch sản xuất với dữ liệu cĩ biến động
ngẫu nhiên thơng qua mơ hình bài tốn chiếc túi ngẫu nhiên, với chính sách thích nghi phù hợp
4 Nêu được thuật tốn tham lam kết hợp với phương pháp xấp xỉ nhằm
giải bài tốn đã cho trong thời gian đa thức
Khi cĩ điều kiện, chúng tơi sẽ nghiên cứu tiếp các nội dung:
e Xây dựng thuật tốn hồn chỉnh và lập trình giải cho hai bài tốn đã đề cập trong luận văn