Sự dụng biến phạt nguyên giải một lớp bài toán lập kế hoach sản xuất có biến động ngẫu nhiên

Mục lục trang Mở đầu Chương Kiến thức sở 1.1 Một số kiến thức sở xác suất 1.1.1 Định nghĩa 1.1.2 Các tính chất 1.2 Bài tốn quy hoạch tuyến tính nguyên 1.2.1 Bài toán 1.2.2 Tính chất 1.3 Các phương pháp truyền thống giải toán quy hoạch nguyên 1.3.1 Phân rã Bender 1.3.2 Phương pháp cắt 10 1.3.3 Phương pháp nhánh cận 11 1.4 Bài toán quy hoạch nguyên ngẫu nhiên hai giai đoạn 14 1.4.1 Bài tốn quy hoạch tuyến tính ngun ngẫu nhiên hai giai đoạn 14 1.4.2 Cách tiếp cận giải 16 Chương Thuật toán nhánh cắt giải toán lập kế hoạch sản xuất có biến động ngẫu nhiên với biến phạt giai đoạn hai nguyên 19 2.1 Bài toán lập kế hoạch sản xuất 19 2.1.1 Bài toán 19 2.1.2 Mơ hình tốn học tổng qt giả thiết ban đầu 21 2.2 Phương pháp cắt D2 23 2.2.1 Đặt vấn đề 23 2.2.2 Nhát cắt D2 24 2.3 Thuật toán nhánh cắt 31 2.3.1 Phép phân nhánh tính cận 31 2.3.2 Thuật toán 36 2.3.3 Sự hội tụ thuật toán 37 Kết luận 39 Tài liệu tham khảo 40 Mở đầu Bài tốn lập kế hoạch sản xuất, với thơng tin ổn định, nghiên cứu lớp tốn quy hoạch tuyến tính Tuy nhiên, thực tế sản xuất, thông tin liệu thường biến động ngẫu nhiên Trong trường hợp vậy, ta có tốn quy hoạch tuyến tính ngẫu nhiên Ngày nay, có nhiều cơng trình nghiên cứu lớp tốn đời mơn quy hoạch ngẫu nhiên (Stochastic Programming) song song với phát triển Lý thuyết điều khiển Tiếp cận với số cơng trình khoa học quy hoạch ngẫu nhiên, ý tới kết tác giả Lewis Ntaimo Suvrajeet Sen [5], A Branch-and-Cut Algorithm for Two-Stage Stochastic Mixed-Binary Programs with Continuous First-Stage Variables, công bố năm 2006, làm sở lý luận cho việc nghiên cứu mơ hình thực tế lập kế hoạch sản xuất có biến động ngẫu nhiên Đó lý chọn đề tài nghiên cứu: "Sử dụng biến phạt nguyên giải lớp toán lập kế hoạch sản xuất có biến động ngẫu nhiên." Trong giai đoạn hai, nghiên cứu toán quy hoạch ngẫu nhiên, người ta thường đưa vectơ phạt biến phạt nhằm thay đổi tính bất định thơng tin ảnh hưởng tới tốn Thơng thường biến phạt giai đoạn hai liên tục Nội dung Luận văn mà chúng tơi đề cập tới liên quan tới mơ hình thực tế, đòi hỏi biến phạt nguyên Nội dung luận văn bao gồm hai chương: Chương Kiến thức sở Trong chương này, chúng tơi trình bày số kiến thức sở xác suất, toán quy hoạch nguyên, số phương pháp truyền thống giải toán quy hoạch nguyên, toán quy hoạch nguyên ngẫu nhiên hai giai đoạn Chương xem phần kiến thức chuẩn bị để thuận lợi cho việc trình bày chương hai Chương Thuật tốn nhánh cắt giải toán lập kế hoạch sản xuất có biến động ngẫu nhiên với biến phạt giai đoạn hai nguyên Đây nội dung luận văn Trong chương này, trước hết chúng tơi trình bày mơ hình thực tế tốn lập kế hoạch sản xuất có biến động ngẫu nhiên với biến phạt giai đoạn hai ngun Từ khái qt hố, thiết lập dạng toán quy hoạch nguyên ngẫu nhiên hỗn hợp có ràng buộc ngẫu nhiên tuyến tính Trên sở chúng tơi xem xét tính chất đưa thuật toán nhánh-và-cắt giải toán Luận văn thực hoàn thành trường Đại học Vinh, hướng dẫn khoa học PGS TS Trần Xn Sinh Chúng tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới thầy hướng dẫn tận tâm thầy suốt thời gian học tập nghiên cứu Nhân dịp này, xin gửi lời cảm ơn tới PGS TS Nguyễn Văn Quảng, PGS TS Phan Đức Thành, TS Nguyễn Trung Hoà, thầy giáo Hội đồng chấm luận văn, khoa Tốn, khoa Sau Đại học, trường Đại học Vinh Đồng thời, xin bày tỏ lòng biết ơn giúp đỡ, tạo điều kiện cho học tập, công tác trường THPT Nam Đàn II Cũng này, cho phép tơi gửi lời cảm ơn tới gia đình bạn bè, quan tâm, góp ý, giúp đỡ tạo điều kiện để thực luận văn Mặc dù cố gắng song luận văn tránh khỏi sai sót Chúng tơi mong nhận đóng góp q thầy giáo bạn để luận văn hoàn thiện Vinh, tháng 12 năm 2011 Tác giả Chương Kiến thức sở 1.1 Một số kiến thức sở xác suất 1.1.1 Định nghĩa 1.1.1.1 σ-đại số Giả sử Ω tập tuỳ ý khác rỗng Ký hiệu P(Ω) tập hợp gồm tất tập Ω Lớp A ⊂ P(Ω) gọi đại số nếu: A1) Ω ∈ A, A2) A ∈ A ⇒ A = (Ω \ A) ∈ A, A3) A, B ∈ A ⇒ A ∪ B ∈ A (hoặc A ∩ B ∈ A) Lớp F ⊂ P(Ω) gọi σ -đại số đại số ngồi có A4) Nếu An ∈ F, ∀n = 1, 2, ∞ ∞ Ai ∈ F (hoặc n=1 Ai ∈ F) n=1 1.1.1.2 Không gian đo độ đo xác suất Cặp (Ω, F) gọi không gian đo, Ω tập khác rỗng, F σ - đại số tập Ω Giả sử (Ω, F) không gian đo Một ánh xạ P : F −→ R gọi độ đo xác suất F nếu: A1) P(A) ≥ 0, với A ∈ F A2) P(Ω) = A3) Nếu An ∈ F, ∀n = 1, 2, , Ai ∩ Aj = ∅, i = j ∞ ∞ An = P n=1 P(An ) n=1 1.1.1.3 Không gian xác suất Giả sử Ω tập khác rỗng, F σ - đại số tập Ω, P độ đo xác suất F Khi ba (Ω, F, P) gọi không gian xác suất Tập Ω gọi không gian biến cố sơ cấp σ - đại số F gọi σ-đại số biến cố Mỗi A ∈ F gọi biến cố Không gian xác suất (Ω, F, P) gọi không gian xác suất đầy đủ tập biến cố có xác suất không biến cố 1.1.1.4 Phần tử ngẫu nhiên Giả sử (Ω, F) (E, E) hai không gian đo Khi ánh xạ X : Ω −→ E gọi đo hay phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị E X −1 (A) ∈ F với A ∈ E 1.1.1.5 Kỳ vọng phần tử ngẫu nhiên Giả sử X : Ω −→ E phần tử ngẫu nhiên, phần tử EX ∈ E gọi kỳ vọng phần tử ngẫu nhiên X với f ∈ E ∗ ta có f (EX) = E(f (X)) ∈ R 1.1.1.6 Phương sai phần tử ngẫu nhiên Giả sử X : Ω −→ E phần tử ngẫu nhiên Khi số DX = E X−EX (nếu tồn tại) gọi phương sai phần tử ngẫu nhiên X 1.1.2 Các tính chất 1.1.2.1 Tính chất kỳ vọng Giả sử X, Y phần tử ngẫu nhiên, ξ đại lượng ngẫu nhiên xác định không gian xác suất (Ω, F, P), a ∈ R, α ∈ E Khi tồn EX, EY, Eξ a) Tồn E(X + Y ) E(X + Y ) = EX + EY b) Tồn E(aX) E(aX) = aEX c) Tồn E(αξ) E(αξ) = αEξ d) Nếu P(X = a) = EX = a e) Nếu X Y độc lập E(ξX) = Eξ.EX f) Với ánh xạ tuyến tính T : E −→ E (E khơng gian Banach khả ly) tồn E[T (X)] E[T (X)] = T [E(X)] 1.1.2.2 Tính chất phương sai Giả sử X phần tử ngẫu nhiên, ξ đại lượng ngẫu nhiên xác định không gian xác suất (Ω, F, P), a ∈ R, α ∈ E Khi ta có a) D(aX) = a2 DX b) D(αξ) = α Dξ c) DX = ⇐⇒ X = EX (h.c.c) 1.2 Bài tốn quy hoạch tuyến tính ngun 1.2.1 Bài tốn Bài tốn quy hoạch tuyến tính ngun có dạng n min(max) f (x) = cj xj (1.1) j=1 với điều kiện       n j=1 aij xj ( , ≥, =) bi , i = 1, 2, , m xj ≥ 0, j = 1, 2, , n      x ∈ D ⊂ Z, j j j = 1, 2, , k, k ≤ n Nếu k = n ta có tốn quy hoạch nguyên toàn phần Trong trường hợp ngược lại (k < n), ta có tốn quy hoạch ngun hỗn hợp Hàm f (x) gọi hàm mục tiêu Các điều kiện toán gọi điều kiện buộc Điểm x = (xj ) ∈ Z thoả mãn điều kiện toán gọi phương án, ký hiệu tập phương án M Phương án x đạt cực tiểu hàm mục tiêu gọi phương án tối ưu (hoặc nghiệm) toán 1.2.2 Tính chất tốn quy hoạch ngun Nếu lấy bao lồi điểm nguyên, ký hiệu coM , tốn min{f (x) : x ∈ coM } tốn quy hoạch tuyến tính, có phương án cực biên điểm nguyên Từ cho thấy: + Nếu tốn quy hoạch tuyến tính có phương án tối ưu tồn phương án cực biên (đỉnh) tối ưu + Tập phương án tốn quy hoạch tuyến tính tập lồi đa diện có hữu hạn điểm cực biên (hữu hạn đỉnh) + Phương án x = (xj ) cực biên tương ứng với xj > 0, hệ vectơ cột Aj = a1j , a2j , , amj , ma trận A = (aij ), độc lập tuyến tính 1.3 Các phương pháp truyền thống giải toán quy hoạch tuyến tính nguyên 1.3.1 Phân rã Benders 1.3.1.1 ý tưởng phương pháp phân rã Benders Xét toán quy hoạch tuyến tính nguyên hỗn hợp min{cT x + dT y : x ∈ H; y ∈ Rq+ , (x, y) ∈ S}, c ∈ Rp , d ∈ Rq , x ∈ Zp ; H = {x : u ≤ x ≤ v; u, v ∈ Zp }; S = {(x, y) ∈ Rp+q : Ax + By ≤ C} Benders phân rã toán cho thành toán nhỏ Bài toán (I) xét với biến y liên tục thuộc E ⊆ Rq+ Bài toán (II) xét với biên nguyên x ∈ Zp Để giải tốn (I) sử dụng phương pháp lý thuyết quy hoạch tuyến tính (chẳng hạn phương pháp đơn hình) Để giải tốn (II) - tốn quy hoạch ngun tồn phần - giải phương pháp lý thuyết quy hoạch nguyên (chẳng hạn phương pháp cắt, phương pháp nhánh cận, phương pháp nhánh cắt, ) 1.3.1.2 Ví dụ Chúng ta xét tốn quy hoạch nguyên hỗn hợp min{cT x + dT y : x ∈ H; y ∈ Rq+ , (x, y) ∈ S}, c ∈ Rp , d ∈ Rq , x ∈ Zp ; H = {x : u ≤ x ≤ v; u, v ∈ Zp }; S = {(x, y) ∈ Rp+q : Ax + By ≤ C} Ký hiệu G hình hộp chứa H Xét toán min{cT x + dT y : x ∈ G; y ∈ Rq+ , (x, y) ∈ S, x nguyên} (P (G)) Ký hiệu K(G) miền ràng buộc f (G) giá trị hàm mục tiêu tối ưu toán P (G) Với số thực λ cố định, ta xét toán nới lỏng (Q(λ, G)), sinh từ toán P (G), cách đưa vào biến phụ t ∈ Rp sau: min{λcT t + (1 − λ)cT x + dT y : t, x ∈ G; y ∈ Rq+ , (t, y) ∈ S, x nguyên} Khi đó, sử dụng phương pháp phân rã Bender, tác giả tách toán quy hoạch tham số λ, toán Q1 (λ, G) gồm biến liên tục t, y toán thứ Q2 (λ, G), gồm biến nguyên x, sau: min{λcT t + dT y : t ∈ M ; y ∈ Rq+ , (t, y) ∈ S}; (Q1 (λ, G)) min{(1 − λ)cT x + dT y : x ∈ G; x nguyên} (Q2 (λ, G)) 10 Từ tác giả sử dụng lý thuyết quy hoạch tham số giải toán Q1 (λ, G) đưa cách tính nhằm xác định cận phương pháp nhánh cận giải toán Q2 (λ, G) 1.3.2 Phương pháp cắt giải toán quy hoạch nguyên 1.3.2.1 Nhát cắt hợp cách Nội dung phương pháp là: Bỏ qua điều kiện nguyên, giải tốn quy hoạch tuyến tính phương pháp đơn hình phương án tối ưu x(0) Nếu x0j nguyên (j = 1, , n) x(0) phương án tối ưu cần tìm Nếu ngược lại, bổ sung vào tốn quy hoạch tuyến tính điều kiện n dj xj ≤ e L(x) = (1.2) j=1 L(x) phải thoả mãn hai tính chất: + x(0) khơng thoả mãn (1.2) + Mọi phương án nguyên thoả mãn (1.2) Điều kiện (1.2) gọi nhát cắt hợp cách Người ta đưa nhiều nhát cắt hợp cách giải tốn quy hoạch ngun có hiệu Sau ta trình bày thuật tốn với nhát cắt Gomory 1.3.2.2 Nhát cắt Gomory Giả sử x(0) = (xo1 , xo2 , , xom , 0, , 0) phương án tối ưu toán quy hoạch tuyến tính tương ứng, tồn xok chưa nguyên Ký hiệu [xok ] {xok } phần nguyên phần thập phân xok Khi nhát cắt sau hợp cách n {xok } − {xkj }xj ≤ 0, (1.3) j=m+1 xij toạ độ thứ i vect Aj sở x(0) (các phần tử vect Aj bảng đơn hình x(0) ) Nhát cắt (1.3) gọi nhát cắt Gomory 26 trường hợp với toán SMIP với biến giai đoạn liên tục Sự "xâm phạm" tính chất dẫn đến cội nguồn phương pháp nhánh cắt BAC (Branch-and-Cut) xét trường hợp biến giai đoạn liên tục 2.2.2.2 Ví dụ Chúng ta xét ví dụ đơn giản tốn (SM IP ) sau đây: min{−2x − 2y1 − 2y2 } với điều kiện    −x        −5x − 6y1        −5x − 6y2                 ≥ −2 ≥ −10 ≥ −12 ≥ −1 y1 ≥ −1 y2 x ≥ 0, y1 , y2 ∈ {0, 1} Phân tích tốn giai đoạn (SM IP ) ta có min{−2x + E[f (x, ω)]} với điều kiện −x ≥ −2 x ≥ f (x, ω) = min{−4y} với điều kiện −6y ≥ r(ω) + 5x 27 y ∈ {0, 1}2 Giai đoạn hai có khả năng, khả xảy với xác suất p = 0, 5, với ω = ω1 có r(ω1 ) = −10 với ω = ω2 có r(ω2 ) = −12 Để ý toán thoả mãn giả thiết A1 − A3 Trong ví dụ có số liệu sau: c = −2, A = [−1], b = [−2], q = [−4], W = [−6], T (ω1 ) = [−5], r(ω1 ) = −10, r(ω2 ) = −12 Chú ý cận giá trị kỳ vọng toán giai đoạn hai L = 0, × (−4) + 0, × (−4) = −4 Bây áp dụng thuật tốn D2 sau Thuật toán bắt đầu với đỉnh gốc s = O, L = ∅ Khi tốn điểm P0 min{−2x + η} với điều kiện x ≥ −2 x, η ≥ Đặt W = W, T (ω) = T (ω), r1 (ω) = T (ω) cho tình bắt đầu giải toán mở L := L ∪ {P0 } Cận cận V0 = ∞, v0 = −∞ Sử dụng thuật toán D2 cho toán điểm P0 : Thuật toán D2 thực theo bước lặp: Bước Ta sử dụng x1 = giải toán nới lỏng (LP ) toán giai đoạn hai theo ω1 , ω2 , mà ký hiệu toán (LP1 ) (LP2 ) f1 (2, ω1 ) = min{−4y} (LP1 ) 28 với điều kiện    −6y    −y      y ≥0 ≥1 ≥0 f1 (2, ω2 ) = min{−4y} (LP2 ) với điều kiện    −6y    −y      y ≥ −2 ≥ −1 ≥ Phương án tối ưu toán (LP1 ) y(ω1 ) = toán (LP2 ) y(ω2 ) = 0, 3333 Bước Vì y(ω2 ) không thoat mãn điều kiện nguyên, ta chọn y "biến tuyển" tạo phép tuyển (nhát cắt) −y ≥ y ≥ cho toán (LP2 ) Ta thiết lập dạng (C − LP ) để tạo vectơ d1 cho định dạng W nhân tử λ tạo nên toán (RHS − LP ) Giải toán (C − LP ) d1 = −1, λT0,1 = [0; 0], λ0,2 = 1, λT1,1 = [0, 25; 0], λ1,2 = 0, xem nghiệm Đặt W việc thêm d1 vào W ta có W = [W − 1]T Từ nghiệm (C − LP ) có ν 10 (ω1 ) = 0, ν 11 (ω1 ) = −2, η 10 (ω1 )T = [0], η 11 (ω1 )T = [−1, 25] ν 10 (ω2 ) = 0, ν 11 (ω2 ) = −2, 5, η 10 (ω2 )T = [0], η 11 (ω2 )T = [−1, 25] 29 Để giữ dk0 (x, ω) ≥ 0, tịnh tiến ν 10 (ω) ν 11 (ω) lên theo thứ tự +2 +2,5 Ta d10 (x, ω1 ) = min{2 − 0x; + 1, 25x} d10 (x, ω2 ) = min{2, − 0x; + 1, 25x} Sử dụng liệu trên, xác định toán (RHS − LP ) hai ω1 ω2 Phương án tối ưu toán (RHS − LP ) xét với ω1 δ(ω1 ) = 0; σ0 (ω1 ) = 0, 55556; σ(ω1 ) = −0, 555556 với ω2 δ(ω2 ) = 0; σ0 (ω2 ) = 0, 5; σ(ω2 ) = −0, 625 Do ta có ν (ω1 ) = 0; η (ω1 ) = 1; ν (ω2 ) = 0; η (ω1 ) = 1, 25 Tịnh tiến trở lại ta d1c (x, ω1 ) = −2 + x d1c (x, ω2 ) = −2, + 1, 25x Chú ý x1 = 2, x2 ∈ vert(X) (đỉnh M ) Ta có d10 (2, ω1 ) = d1c (2, ω1 ) = d10 (2, ω2 ) = d1c (2, ω2 ) = 2, Dựa nghiệm (RHS − LP ) thu r2 (ω1 ) = [r1 (ω1 )] − T ; T (ω1 ) = [T (ω1 )] − T Tương tự ta nhận r2 (ω2 ) = [r1 (ω2 )] − 2, T ; T (ω2 ) = [T (ω2 )] − 1, 25 T Hoàn thành bước thuật toán Bước Việc tái tối ưu toán nhận y(ω1 ) = với f1 (2, ω1 ) = y(ω2 ) = với f2 (2, ω2 ) = Chú ý nghiệm không nguyên (dạng phân số) ω2 ) cắt thuật toán D2 Những 30 nghiệm đối ngẫu z T (ω1 ) = z T (ω2 ) = [0; 0; 4] Vì hai trình thoả mãn địi hỏi tính nhị ngun y, (y ∈ {0; 1}2 ), ta có nghiệm thành phần x = nhận cận V0 := min{V0 ; −2 × + 0, × (0) + 0, × (0) + 4} = Bước Sử dụng nghiệm đối ngẫu cho toán (LP ) từ bước 3, thực cắt tối ưu kiểu Benders, nhát cắt −4x + θ(ω1 ) ≥ −8 −5x + θ(ω2 ) ≥ −10 Do hai nhát cắt hợp lý nhau, giá trị kỳ vọng liên quan đến hệ số cắt tạo −4, 5x + θ ≥ −9 Từ chỗ giả sử η ≥ 0, sử dụng phép tịnh tiến η = θ + dẫn đến −4, 5x + θ ≥ −5 nhát cắt tối ưu để bổ sung vào toán điểm sau min{−4x + η} với điều kiện    −x    −4, 5x + η      x, η ≥ −2 ≥ −5 ≥ Giải toán điểm ta x2 = 1, 111; η = giá trị hàm mục tiêu -2,222 Do cận v0 = −2, 222 Hồn tất phép lặp thuật tốn D2 , với toán điểm P0 31 2.3 Thuật tốn nhánh cắt 2.3.1 Phép phân nhánh tính cận Chúng ta xét bước lặp K thuật toán D2 áp dụng cho tốn (2.1)(2.2) Khi thuật tốn có lặp lại giá trị {dk , dk0 (x, ω), dkc (x, ω)}k∈θK tốn có dạng min{cT x + η} (2.5) với điều kiện    Ax ≥ b,    βkT x + η ≥ αk , k = 1, , K,      x ≥ Biến η cho giá trị gần tuyến tính mẫu toán phức tạp với hàm mục tiêu lấy theo kỳ vọng [f (x, ω] Điều kiện βkT x+η ≥ αk , k = 1, , K nhát cắt tối ưu điều kiện x ≥ tính khơng âm biến x Đối với điều kiện βkT x + η ≥ αk , k = 1, , K, vế phải thực với αk = E[ψ k (ω)T rk (ω)]; βk = E[ψ k (ω)T T k (ω)], (k = 1, , K), ψ k (ω) ký hiệu cho vectơ có số chiều tương ứng nhân tử đối ngẫu với điều kiện W k y ≥ ρK (x, ω) toán (2.4), xét với ω ∈ Ω bước k Với k ∈ θk , có cặp {dk0 (x, ω), dkc (x, ω)}, dk0 (x, ω) = min{ν k0 (ω) − γ k0 (ω)T x, ν k1 (ω) − γ k1 (ω)T x} Đồng thời từ kết tác giả S Sen J L Higle dkc (x, ω) = ν k (ω) − γ k (ω)T x Vì x liên tục nên x khơng địi hỏi điểm cực tiểu tuyệt đối M điều kiện dc (x, ω) = d0 (x, ω) không cần sử dụng Do vậy, thuật 32 tốn D2 khơng cho lời giải tối ưu cho tốn (2.1)(2.2) Từ cho thấy cách tiếp cận ghi lại cặp {dk0 (x, ω), dkc (x, ω)} suốt tiến trình thuật tốn lúc sử dụng liệu để xác định điều kiện dkc (x, ω) = dk0 (x, ω)} với ω k cho trước Công việc cần phân nhánh tính cận cách phân hoạch tập phương án biến thứ x liên tục M dựa cặp (ω, k) xác định Chúng ta cần xác định cặp (ω, k) mà điều kiện thoả mãn ω nhận giá trị xác suất cao pω Điều thực theo cơng thức (ω, K) ∈ arg max {pω (dk0 (x, ω) − dkc (x, ω))} ω∈Ω,k∈θK (2.6) Vấn đề lên việc thực thuật toán nhánh cận miền liên tục kết không hữu hạn Tuy nhiên, sử dụng biến lựa chọn để thực nhánh cận hữu hạn Giả sử đỉnh s phân nhánh tạo đỉnh s0 s1 Ta có Mệnh đề sau đây: 2.3.1.1 Mệnh đề Giả sử K K K K K γK s0 (ω) = γ (ω) − γ (ω), ν s0 (ω) = ν (ω) − ν (ω) K K K Đồng thời γ K s1 (ω) = −γ s0 (ω) ν s1 (ω) = −ν s0 (ω) Đặt T K K T K Xs0 = {x | γ K s0 (ω) x ≥ ν s0 (ω), x ≥ 0}; Xs1 = {x | γ s1 (ω) x ≥ ν s1 (ω), x ≥ 0} Ký hiệu X s tập M Khi X s biểu diễn X s = Ps0 ∪ Ps1 , Ps0 = Xs ∩ Xs0 ; (2.7) Ps1 = Xs ∩ Xs1 (2.8) Chứng minh Điều kiện (2.6) xác định cặp (ω, K) cho dK (x, ω) > 33 dK c (x, ω) Từ K K T K K T dK (x, ω) = min{ν (ω) − γ (ω) x, min{ν (ω) − γ (ω) x} (2.9) hàm lồi theo biến x, ω cho Điều chứng tỏ K T K K T νK (ω) − γ (ω) x ≥ ν (ω) − γ (ω) x, (2.10) K T K K T νK (ω) − γ (ω) x ≤ ν (ω) − γ (ω) x (2.11) Từ giao nửa không gian Xs xác định (2.10) Xs xác định (2.11), ta suy điều phải chứng minh Mệnh đề 2.3.1.1 cho phép chia tập M thành hai tập rời Vì ta thực tối ưu hố tập Điều cho phép ta thực việc phân nhánh tính cận nhằm giải toán (2.1)(2.2) cách chia nhỏ nhiều tập không giao nhờ việc phân nhánh theo công thức (2.10) (2.11) Ký hiệu Q tập đỉnh phân nhánh cận giai đoạn thứ s ∈ Q đỉnh Chúng ta thực phân nhánh tính cận toán (2.5) đỉnh từ toán (LP ) nới lỏng Sử dụng thuật toán D2 toán bước lặp thứ k kiểm tra điều kiện dk0 (xk , ω) = dkc (xk , ω) Nếu thoả mãn, theo Mệnh đề 2.3.1.1 ta phân nhánh theo (2.10) (2.11) Việc phân nhánh từ đỉnh s, ta có hai đỉnh s0 s1 liền kề Từ đỉnh liền kề, có tốn liền kề tương ứng Ta ký hiệu tập toán Psh giai đoạn thứ với h ∈ H, H = {0, 1} Thuật toán D2 lại ứng dụng giải tốn liền kề Q trình tiếp tục 34 Giả sử bước lặp ks thuật toán giải toán ứng với đỉnh s ∈ Q Với s nối thành đường từ s đến đỉnh nghiệm Giả sử Bs tập đỉnh đường Với phần tử τ ∈ Bs , có tất số thuật toán thuộc k(τ ) thuộc K(τ ), bước lặp k ω trình phân nhánh Vì k ∈ K(τ ), ta có cặp (ω, k) với hệ số phân nhánh k K ràng buộc γ ksk = γ K sk (ω) ν sk = ν sk (ω), với h ∈ H Vậy toán (2.5) đỉnh s ∈ Q có dạng min{cT x + η} với điều kiện (2.12)    Ax ≥ b,        β T x + η ≥ αk , k ∈ k(τ ), τ ∈ Bs , k   (γ ksh )T x ≥ (ν ksh ), h ∈ H, k ∈ K(τ ), τ ∈ Bs ,        x ≥ Điều kiện βkT x + η ≥ αk , k ∈ k(τ ), τ ∈ Bs nhát cắt phương pháp tối ưu kiểu Benders bước ks đỉnh s Điều kiện (γ ksh )T x ≥ (ν ksh ), h ∈ H, k ∈ K(τ ), τ ∈ Bs điều kiện phân nhánh toán đỉnh s Bài tốn (2.12) trở nên khơng thể thực số đỉnh thuộc Q thứ nhánh cận Trong trường hợp này, đỉnh không thực quay trở lại đỉnh trước Giả sử hốn đổi vế phải điều kiện phân nhánh cắt D2 Từ việc phân nhánh thực nhát cắt D2 vế phải dK c (x, ω) phải định dạng lại Ta có kết quả: 2.3.1.2 Mệnh đề Giả sử (ω, K) xác định (2.6) Xét nhát cắt D2 mà (ω, K) xác định Khi vế phải dK c (x, ω) T K K nhát cắt D2 , bất đẳng thức γ K s0 (ω) x ≥ ν s0 (ω) thay d0 (x, ω) = K T K T K νK (ω) − γ (ω) x bất đẳng thức γ s1 (ω) x ≥ ν s1 (ω) thay 35 K K T dK (x, ω) = ν (ω) − γ (ω) x Chứng minh Từ Mệnh đề 2.3.1.1 bất đẳng thức phân nhánh T K γK s0 (ω) x ≥ ν s0 (ω), vế phải phân nhánh nhát cắt D phải đạt nhỏ hai hàm affine xác định dK (x, ω) Từ suy K K T dK (x, ω) = ν (ω) − γ (ω) x Tương tự cho nhánh khác D2 Đó điều phải chứng minh Bài toán (2.12) bước lặp ks cho ta nghiệm giai đoạn thứ xks toán LP nới lỏng ω ∈ Ω đỉnh s ∈ Q có dạng fcks (xks , ω) = min{q T y} (2.13) với điều kiện    W y ≥ r(ω) − T (ω)xks ,        (dk )T y ≥ dk (xks , ω), k ∈ k(τ ) \ K(τ ), τ ∈ Bs , c   (dk )T y ≥ dk0 ((xks , ω), k ∈ K(τ ), τ ∈ Bs ,        y ≥ Điều kiện (dk )T y ≥ dkc (xks , ω), k ∈ k(τ ) \ K(τ ), τ ∈ Bs nhát cắt D2 tạo đỉnh kéo dài từ gốc tới đỉnh s mà vế phải chưa định dạng Còn điều kiện (dk )T y ≥ dk0 ((xks , ω), k ∈ K(τ ), τ ∈ Bs vế phải định dạng nhờ phân nhánh Do vậy, từ trở xem toán (2.12)-(2.13) "bài toán điểm" Ps đỉnh s Ký hiệu vs Vs theo thứ tự cận cận "bài toán điểm" thuật tốn D2 Trước trình bày thuật tốn cách thức, cần nhát cắt D2 tạo đỉnh s ∈ Q có hiệu lực với tất đỉnh sau s Tuy nhiên, thơng thường chúng khơng có hiệu lực với tất đỉnh cịn lại 36 Q định dạng nhát cắt thực sau phân nhánh theo Mệnh đề 2.3.1.2 nêu 2.3.2 Thuật toán Bây trình bày cách thức D2 , thuật toán nhánh cắt giải toán (SM IP ) với biến giai đoạn thứ liên tục, mà gọi thuật toán D2 − CBAC (Continuous Branch and Cut) Ký hiệu L tập hợp "bài toán điểm" mở ra; v cận giá trị tối ưu; V cận giá trị tối ưu; vs cận giá trị tối ưu toán đỉnh s; Vs cận giá trị tối ưu toán đỉnh s; k số bước lặp "bài toán điểm"; ks số bước lặp "bài toán điểm" s; x∗ phương án tối ưu (nghiệm) Thuật tốn trình bày sau thuật tốn D2 − CBAC Đây kết hợp nhát cắt D2 với trình thực phân nhánh cắt liên tục Bước (Bắt đầu) Giả sử ε > x1 ∈ X cho k = 0, 1, , V = ∞, v = −∞ toán điểm gốc (2.12)(2.13) tập L toán đỉnh mở Bước (Kết thúc) Nếu L = ∅, kết thúc với nghiệm x∗ Ngược lại, chọn toán điểm Ps từ tập hợp L toán mở đặt L := L \ Ps Gán k := k + Bước (Sử dụng thuật toán D2 cho toán điểm) Sử dụng bước lặp thuật toán D2 cho toán điểm Ps Lưu nhân tử {λk0,1 , λk0,2 } {λk1,1 , λk1,2 } Những nhân tử xác định (ν k0 (ω), γ k0 (ω)), (ν k1 (ω), γ k1 (ω)), tương ứng dk0 (x, ω) dkc (x, ω) k ω ∈ Ω Các bước lặp thuật toán D2 kết thúc điều kiện sau phải thực hiện: 37 (i) Bài tốn đỉnh (2.12) trở nên khơng thoả mãn; (ii) Vks − vks < ε; (iii) Vks − vks ≥ ε Nếu điều kiện (i) Bỏ qua đỉnh Trở lại bước 1; Ngược lại, điều kiện (ii) Định dạng tại: Nếu Vks < V Gán V := Vks ; v := vks ; x∗ := xks ; Chấp nhận đỉnh tối ưu ứng với D2 ; Thiết lập lại danh sách toán L việc loại bỏ tốn có vs ≥ V , nghĩa gán L := L \ {Ps |vs ≥ V }; Ngược lại, xác định cận toán điểm Trở lại bước 1; Ngược lại, (iii) Chuyển sang bước Bước (Phân nhánh) Sử dụng Mệnh đề 2.3.1.1 thực phân nhánh để tạo hai toán điểm Ps0 , Ps1 toán (2.12)-(2.13) Kết nạp vào toán mở, nghĩa L := L ∪ {Ps0 , Ps1 } Vì mục đích lựa chọn đỉnh để phân nhánh với việc ghi nhận vs0 vs1 cận giá trị hàm mục tiêu toán điểm (2.12) tương ứng sau phân nhánh nên từ đây, ta trở lại bước 2.3.3 Sự hội tụ thuật toán D2 − CBAC Bây thuật toán D2 − CBAC hội tụ hữu hạn 2.3.3.1 Bổ đề Tồn số T hữu hạn cho sau T lần chia tập M, phép phân nhánh cận mục 2.3.1 tìm đỉnh để thực thuật tốn 38 Chứng minh Một đỉnh s thực thuật toán Vs − vs < ε tốn điểm khơng khả thi Đặt Y (x) = {y | W y ≥ r(ω) − T (ω)x, y ≥ 0, −yj ≥ −1, j ∈ J2 } giả sử Is tập số xác định phép tuyển biến cho Bs Vì ta có vế phải dk0 (x, ω) với k ∈ K(τ ), τ ∈ Bs , lát cắt sử dụng giai đoạn hai mặt Y (x) ∩ ({yj ≤ 0)} ∪ {yj ≥ 1})j∈Is Từ tập phương án giai đoạn hai mơ tả tập hợp tuyển mặt Do trình lồi liên tiếp sinh bao lồi tập hợp đó, nên qua nhiều lần (hữu hạn) phân hoạch T trình phân nhánh tính cận tìm đỉnh s thoả mãn Vs − vs < ε tốn điểm khơng khả thi dạng (2.12) Điều chứng minh kết luận Bổ đề 2.3.3.2 Định lý Với giả thiết (A1 − A3) thực hiện, thuật tốn D2 − CBAC nêu, sau hữu hạn bước lặp tìm phương án tối ưu tốn (2.1)(2.2), Chứng minh Trong thuật tốn D2 − CBAC làm với thời gian nhiều lần hữu hạn Điều cho phép nhiều biến tuyển giai đoạn hai dấn đến nhiều trường hợp vế phải {dk0 (x, ω)}k∈θK với số K ω ∈ Ω Kết có nhiều phép chia hữu hạn tập phương án giai đoạn liên tục xem xét Vì theo Bổ đề 2.3.3.1, đỉnh s xét tới q trình thuật tốn Tính tối ưu phương án tính hiệu lực trình cận cận sử dụng Định lý chứng minh xong 39 Kết luận Luận văn giải số vấn đề sau: Trình bày đầy đủ, khái niệm kiến thức sở xác suất thống kê Đồng thời trình bày tốn quy hoạch tuyến tính ngun, tốn quy hoạch tuyến tính ngun ngẫu nhiên, với số hướng tiếp cận giải Tìm ví dụ minh hoạ cho ý nghĩa thực tế mơ hình tốn học cần nghiên cứu Trên sở trình bày tốn (SM IP ) (Stochastic Mixed-Integer Programming) cần giải nghiên cứu tính chất Phân tích trình bày nhát cắt D2 (Disjunctive Decomposition - Phân nhánh lựa chọn) nhằm làm công cụ hỗ trợ cho việc giải toán (SM IP ) Làm rõ phép phân nhánh tính cận bổ trợ cho thuật tốn nhánh cắt Trình bày thuật tốn nhánh cắt, có sử dụng tới thuật tốn D2 , nhằm giải toán cần nghiên cứu đề tài Từ chứng minh hội tụ thuật tốn Do thời gian trình độ có hạn nên số vấn đề cần tiếp tục nghiên cứu bao gồm: - Lập trình giải tốn theo thuật tốn nêu - Đưa ví dụ số để minh hoạ 40 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Văn Quảng, (2007), Giáo trình Xác suất, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Trần Xuân Sinh, (2004), Các phương pháp ngẫu nhiên giải toán quy hoạch, Bài giảng dùng cho học viên Sau Đại học, chuyên ngành XSTK Toán học, Đại học Vinh [3] Nguyễn Duy Tiến - Vũ Viết Yên, (2001), Lý thuyết xác suất, NXB Giáo dục, Hà Nội [4] J F Benders, (1962), Prartitioning procedures for solving mixed-variable programming problems Numerische Mathmatik, No.4, 238-252 [5] L Ntaimo and S Sen, (2006), A Branch-and-Cut Algorithm for TwoStage Stochastic Mixed-Binary Programs with Continuous First-Stage Variables, Department of Industrial and Systems Engineering, Taxas A& M University, 3131 TAMU, College Station, TX 77843, USA [6] S Sen and J L Higle (2005), The C theorem and a D2 Algorithm for Large Scale Stochastic Mixed-Integer Programs with Continuous FirstStage Variables, J Math Programming, No.106(2), - 20 ... hình thực tế lập kế hoạch sản xuất có biến động ngẫu nhiên Đó lý chúng tơi chọn đề tài nghiên cứu: "Sử dụng biến phạt nguyên giải lớp toán lập kế hoạch sản xuất có biến động ngẫu nhiên. " Trong... biến động ngẫu nhiên với biến phạt giai đoạn hai nguyên 2.1 Bài toán lập kế hoạch sản xuất Trong mục chúng tơi trình bày mơ hình tốn lập kế hoạch sản xuất có biến động ngẫu nhiên với biến phạt giai... hoạch sản xuất có biến động ngẫu nhiên với biến phạt giai đoạn hai nguyên Đây nội dung luận văn Trong chương này, trước hết chúng tơi trình bày mơ hình thực tế tốn lập kế hoạch sản xuất có biến động