Thuật toán tham lam giải một lớp bài toán lập kế hoạch sản xuất có biến động ngẫu nhiên

Mục lục trang Mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số vấn đề sở lý thuyết xác suất thống kê 1.1.1 Một số vấn đề sở lý thuyết xác suất 1.1.2 Một số vấn đề sở lý thuyết thống kê 1.2 Một số nội dung toán quy hoạch ngẫu nhiên 10 1.2.1 Bài toán quy hoạch tuyến tính ngẫu nhiên 10 1.2.2 Bài toán quy hoạch rời rạc ngẫu nhiên 12 1.2.3 Bài toán túi ngẫu nhiên hướng tiếp cận giải 13 1.3 Một số phương pháp xấp xỉ giải toán quy hoạch 16 1.3.1 Phương pháp tụt 16 1.3.2 Phương pháp thử thống kê 17 1.3.3 Phương pháp tham lam giải toán quy hoạch nguyên tất định 19 Chương Thuật toán tham lam giải lớp toán quy hoạch ngẫu nhiên 21 2.1 Một lớp toán lập kế hoạch sản xuất 21 2.1.1 Bài toán thực tế 21 2.1.2 Mơ hình tốn học tổng qt tốn có biến động ngẫu nhiên 21 2.2 Cận cho sách thích nghi thuật tốn tham lam 24 2.2.1 Cận cho sách thích nghi (Adaptive Policy) 24 2.2.2 Thuật toán tham lam (The Greedy Algorithm) 26 2.3 Thảo luận việc kết hợp thuật toán tham lam phương pháp xấp xỉ (Approximate) 32 2.3.1 Chính sách có trật tự tập cố định 32 2.3.2 Một sách thích nghi (5 + ε)-xấp xỉ 35 Kết luận 40 Tài liệu tham khảo 41 Mở đầu Bài toán lập kế hoạch sản xuất nghiên cứu ứng dụng cách rộng rãi hầu hết ngành kinh tế, kỹ thuật Tuy nhiên, lớp toán lập kế hoạch có dạng mơ hình tốn học khác Sự biến động ngẫu nhiên liệu có phụ thuộc vào thực tế tốn Luận văn này, chúng tơi muốn đề cập đến lớp tốn lập kế hoạch sản xuất có dạng toán "chiếc túi" (mục 2.1, chương 2) Bài tốn lập kế hoạch sản xuất có biến động ngẫu nhiên mà khối lượng cơng việc biến ngẫu nhiên với phân bố xác suất biết, nghiên cứu rộng rãi công bố báo từ trước năm 1966 Bài tốn lập kế hoạch sản xuất có biến động ngẫu nhiên, nói ngắn gọn tốn lập kế hoạch ngẫu nhiên Hầu toán lập kế hoạch ngẫu nhiên, nghiên cứu liên quan đến việc lập kế hoạch cho tất công việc nhằm làm giảm thiểu chi phí dự kiến thời gian hồn thành xí nghiệp tổ hợp xí nghiệp Trong kết gần đây, tác giả B C Dean cho thấy nghiên cứu khơng xem xét tới mục tiêu cụ thể mà ơng nói tới báo Về kết đề cập báo, chủ yếu tác giả xét tới thuật toán tham lam, từ đưa hướng tiếp cận phương pháp xấp xỉ nhằm giảm bớt độ phức tạp thuật tốn Với cách đặt vấn đề vậy, chúng tơi cố gắng tiếp cận tới kết ông cộng sự, báo Xấp xỉ toán túi ngẫu nhiên: Lợi ích thích nghi (Approximating the Stochastic Knapsack Problem: The Benefit of Adaptivity), công bố 2005 Các kết mà báo nêu, nhận thấy sử dụng để nghiên cứu lớp toán lập kế hoạch sản xuất liệu có biến động ngẫu nhiên Đó lý chúng tơi chọn đề tài nghiên cứu: "Thuật tốn tham lam giải lớp toán lập kế hoạch sản xuất có biến động ngẫu nhiên" Luận văn chia làm hai chương: Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, nêu khái niệm kiến thức cở sở lý thuyết xác suất thống kê; tốn quy hoạch tuyến tính ngun ngẫu nhiên toán túi ngẫu nhiên, hướng tiếp cận để giải Các kiến thức chuẩn bị nhằm phục vụ cho việc nghiên cứu đề tài Chương Thuật toán tham lam giải lớp toán quy hoạch ngẫu nhiên Đây nội dung luận văn Trước hết chúng tơi nêu tốn thực tế đặt ra, từ mơ hình hố dạng toán học Tiếp theo nghiên cứu việc thực thuật tốn tham lam, có ý tới lợi ích thích nghi, nhằm xấp xỉ giải tốn cho Luận văn hoàn thành hướng dẫn thầy giáo PGS.TS Trần Xuân Sinh, xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy cảm ơn thầy cô giáo tổ Xác suất thống kê toán ứng dụng giảng dạy, bảo cho suốt thời gian học tập nghiên cứu Cũng xin gửi lời cảm ơn tới thầy giáo cô giáo khoa Tốn, Phịng Sau đại học trường Đại học Vinh Tơi xin bày tỏ lời cảm ơn tới bạn bè gia đình tạo điều kiện thuận tiện cho tơi hoàn thành luận văn Mặc dù cố gắng song luận văn khơng thể tránh khỏi sai sót Chúng tơi mong nhận đóng góp q thầy cô giáo bạn để luận văn hồn thiện Chúng tơi xin chân thành cảm ơn! Vinh, tháng 10 năm 2012 Tác giả Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số vấn đề sở lý thuyết xác suất thống kê 1.1.1 Một số vấn đề sở lý thuyết xác suất 1.1.1.1 Các định nghĩa • Độ đo xác suất Giả sử (Ω, F) không gian đo, Ω = ∅ bất kỳ, F σ-đại số tập Ω Một ánh xạ P : F → R gọi độ đo xác suất F P1) P(A) ≥ 0, ∀A ∈ F, (tính khơng âm) P2) P(Ω) = 1, (tính chuẩn hóa) P3) Nếu An ∈ F, n = 1, 2, , Ai ∩ Aj = ∅, i = j ∞ ∞ An = P n=1 P(An ), (tính cộng tính đếm được) n=1 • Khơng gian xác suất Cho (Ω, F) khơng gian đo Khi (Ω, F, P) gọi khơng gian xác suất • Đại lượng ngẫu nhiên Giả sử (Ω, F, P) không gian xác suất; G σ-đại số F; B σ-đại số Borel R Khi ánh xạ X : Ω −→ R gọi đại lượng ngẫu nhiên G-đo với B ∈ B, ta có X −1 (B) := {ω : X(ω) ∈ B} ∈ G Trong trường hợp X đại lượng ngẫu nhiên F-đo được, X gọi đơn giản đại lượng ngẫu nhiên Cho (Fn , n ∈ N) dãy tăng σ-đại số σ-đại số F : F0 ⊂ F1 ⊂ ⊂ Fn ⊂ ⊂ F Giả sử (Xn , n ∈ N) dãy đại lượng ngẫu nhiên Khi Xn ∈ F, ∀n ∈ N, dãy (Xn , F, n ∈ N) gọi dãy phù hợp • Hàm Borel Hàm ϕ : (Rn , B(Rn )) → (R, B(R)) gọi hàm Borel, hàm B(Rn ) - đo được, nghĩa ϕ−1 (B) ∈ B(Rn ), với B ∈ B(R) • Hàm phân phối xác suất đại lượng ngẫu nhiên Giả sử X đại lượng ngẫu nhiên xác định (Ω, F, P), nhận giá trị R Hàm số FX (x) = P[X < x], (x ∈ R) gọi hàm phân phối đại lượng ngẫu nhiên X 1.1.1.2 Kỳ vọng đại lượng ngẫu nhiên • Định nghĩa Giả sử X : (Ω, F, P) → (R, B) đại lượng ngẫu nhiên Khi tích phân Lebesgue X theo độ đo P (nếu tồn tại) gọi kỳ vọng X ký hiệu EX • Các tính chất Nếu X ≥ EX ≥ Nếu X = C EX = C, với C số Nếu tồn EX với số λ, ta có E(λX) = λEX Nếu tồn EX EY E(X ± Y ) = EX ± EY    x p , X rời rạc, nhận giá trị x1 , x2 ,   k k k EX = với P(X = xk ) = pk ,     +∞ xp(x)dx, X liên tục, có hàm mật độ p(x) −∞ (Định lý Lebesgue hội tụ bị chặn) Nếu |Xn | ≤ Y, ∀n ≥ 1, EY < ∞ Xn → X X khả tích, E|Xn − X| → EXn → EX, n → ∞ (Bất đẳng thức Markov) Giả sử X ≥ h.c.c Lúc với a > 0, ta có P[X ≥ a] ≤ EX a Nếu X Y độc lập E(XY ) = EX.EY 1.1.1.3 Phương sai đại lượng ngẫu nhiên • Định nghĩa Phương sai đại lượng ngẫu nhiên X, ký hiệu DX (hay varX) số xác định DX = E(X − EX)2 Khi DX =   k (xk  +∞ −∞ (x − EX)2 pk , X rời rạc, P (X = xk ) = pk , − EX)2 p(x)dx, X liên tục, có hàm mật độ p(x) • Các tính chất DX ≥ 0, DX = X = EX = C số h.c.c Với số λ D(λX) = λ2 DX DX = EX − (EX)2 Nếu X, Y độc lập D(X ± Y ) = DX + DY Với số λ, ta có E(X − λ)2 ≥ E(X − EX)2 Dấu xảy EX = λ 1.1.1.4 Kỳ vọng có điều kiện martingale • Giả sử (Ω, F, P) không gian xác suất X : Ω → R đại lượng ngẫu nhiên G σ-đại số F Khi đại lượng ngẫu nhiên Y gọi kỳ vọng có điều kiện X σ-đại số G (i) Y đại lượng ngẫu nhiên G-đo được, (ii) Với A ∈ G, ta có Y dP = A XdP A thường ký hiệu Y = E(X|G) • Giả sử (Ω, F, P) không gian xác suất (Xn , n ∈ N) dãy đại lượng ngẫu nhiên (Fn , n ∈ N) dãy tăng σ-đại số Khi dãy (Xn , Fn )n∈N gọi martingale (i) (Xn , Fn )n∈N dãy phù hợp, (ii) E Xn < ∞, ∀n ∈ N, (iii) Với m ≤ n, m, n ∈ N E(Xn |Fm ) = Xm h.c.c 1.1.2 Một số vấn đề sở lý thuyết thống kê 1.1.2.1 Mẫu loại xác định mẫu • Tổng thể mẫu ◦ Trong thực tế, thông tin đối tượng tượng cần nghiên cứu có nhờ vào quan sát phép thử Các thơng tin có phải đảm bảo tính xác, tính ngẫu nhiên nó, phải đại diện cách trung thực cho đối tượng tượng mà cần nghiên cứu Các quan sát (phép thử) tiến hành cách độc lập với Kết quan sát (phép thử) không phụ thuộc vào kết quan sát (phép thử) khác không ảnh hưởng đến khả xảy kết quan sát (phép thử) khác Để có quan sát (phép thử), cần chọn mẫu (lấy mẫu) ◦ Tập hợp có phần tử đối tượng mà nghiên cứu gọi tổng thể Số phần tử tổng thể gọi kích thước tổng thể Nếu từ tổng thể, ta chọn n phần tử n phần tử gọi mẫu có kích thước n hay cỡ n chọn từ tổng thể ◦ Khi chọn mẫu, phần tử chọn loại khỏi tổng thể, lần chọn gọi mẫu khơng hồn lại Nếu phần tử chọn trả lại tổng thể, chọn phần tử gọi mẫu có hoàn lại ◦ Mẫu gọi mẫu ngẫu nhiên chọn cách để bảo đảm tính khách quan, ngẫu nhiên Giả sử tiến hành n quan sát độc lập biến ngẫu nhiên X Ta gọi Xj việc quan sát lần thứ j biến ngẫu nhiên X Khi ta có (X1 , X2 , , Xn ) mẫu ngẫu nhiên cỡ n Ta ký hiệu xj kết quan sát lần thứ j (x1 , x2 , , xn ) n giá trị cụ thể ta quan sát • Các loại xác định mẫu ◦ Ta gọi mẫu định tính mẫu mà ta quan tâm đến phần tử có tính chất A hay không ◦ Ta gọi mẫu định lượng mẫu mà ta quan tâm đến yếu tố lượng phần tử mẫu, chẳng hạn chiều dài, khối lượng 1.1.2.2 Đặc trưng mẫu • Tỷ lệ mẫu Cho mẫu định tính kích thước n, có m phần tử có tính chất A Khi ta gọi f = fn = m n tỷ lệ mẫu Giả sử ta nghiên cứu biến ngẫu nhiên X Ký hiệu µ = EX, σ = DX Cho (X1 , X2 , , Xn ) mẫu ngẫu nhiên rút từ X Ta ký hiệu biến ngẫu nhiên rời rạc X nhận n giá trị mẫu với xác suất đều, tức P(X = Xj ) = 1/n Khi ta có hàm phân phối thực nghiệm Fn (x) (còn gọi hàm phân phối mẫu) Fn (x) = P(X < x) Từ ta có khái niệm trung bình mẫu, phương sai mẫu, • Trung bình mẫu Định nghĩa Trung bình mẫu xác định theo cơng thức X= n n Xj j=1 • Phương sai mẫu Định nghĩa Phương sai mẫu xác định theo công thức s = DX = n n (Xj − X) = n j=1 n 2 Xj2 − (X) j=1 10 1.2 Một số nội dung toán quy hoạch ngẫu nhiên 1.2.1 Bài tốn quy hoạch tuyến tính ngẫu nhiên Bài tốn quy hoạch tuyến tính tổng qt đưa dạng min{f (x) = cT x}   Ax = b, với điều kiện  x ≥ 0, j = 1, 2, , n, (LP ) j biến số x = (x1 , x2 , , xn ) ∈ Rn ; vectơ hệ số c = (c1 , c2 , , cn ) ∈ Rn , với cT x = với Ax = n j=1 cj xj ; n j=1 aij xj ; b = (b1 , b2 , , bm ) ∈ Rm ; A = (Aj ) = (aij )m×n , hai vectơ (ma trận) a = (a1 , a2 , , am ) b = (b1 , b2 , , bm ) thứ tự a ≤ b ≤ bi , ∀i = 1, m Bài tốn quy hoạch tuyến tính nêu trên, có phần tử ma trận A, b, c xác định ngẫu nhiên gọi tốn quy hoạch tuyến tính ngẫu nhiên (Stochastic Linear Program) Để nghiên cứu tốn quy hoạch tuyến tính ngẫu nhiên, tuỳ theo yêu cầu thực tế mà có nhiều cách tiếp cận khác Thông thường, người ta xét tới trường hợp: Nếu toán đặt ra, với liệu cho trước, xác định phương án tối ưu, liệu chịu ảnh hưởng biến cố ngẫu nhiên, phương án tối ưu không cần thay đổi tốn quy hoạch ngẫu nhiên giai đoạn (chỉ cần lần xét tới tập phương án) Nếu toán đặt ra, với liệu cho trước, xác định phương án tối ưu, liệu chịu ảnh hưởng biến cố ngẫu nhiên, phương án tối ưu cần tính tốn điều chỉnh lại lần tốn quy hoạch ngẫu nhiên hai giai đoạn (cần hai lần xét tới tập phương án) Nếu toán đặt ra, với liệu cho trước, xác định phương án tối ưu, liệu chịu ảnh hưởng biến cố ngẫu nhiên, phương án tối ưu cần tính tốn điều chỉnh lại lần toán quy hoạch ngẫu nhiên nhiều giai đoạn (cần hai lần xét tới tập phương án) Bài 27 sử tổng kích thước trung bình đồ vật nhẹ 1, trường hợp khác thêm vào đồ vật có giá trị 0) Ta xác định n∗ • mG := ck (1 − Mk ), k=1 • m1 := max ci P[si ≤ 1] : i ∈ I 2.2.2.2 Thuật toán Bước Tính mG m1 ; chọn max{mG ; m1 } Bước Kiểm tra i) Nếu max{mG ; m1 } = m1 , chèn đồ vật có giá trị m1 Sang bước ii) Nếu max{mG ; m1 } = mG , chèn đồ vật "nhẹ" 1, 2, túi đầy tất đồ vật xếp vào túi Sang bước Bước Kết thúc Theo Bổ đề 2.1.2.1, xác suất để đồ vật thứ k chèn vào − Mk , giá trị kỳ vọng đạt trường hợp mG Như thuật toán đạt giá trị "tham lam"" dự kiến GREEDY := max{m1 ; mG } Ký hiệu ADAP T (thích nghi) giá trị kỳ vọng lớn đạt sách thích nghi cho trường hợp túi ngẫu nhiên Chúng ta đưa thuật toán thực đơn giản, cho ta đạt hệ số xấp xỉ mục tiếp theo, so sánh với ADAP T Do thuật tốn khơng thích nghi (nó xác định dãy hạn chế đồ vật đưa vào), cần trả lời câu hỏi "khi tính thích nghi mang tập lợi thế?" Khoảng cách sách thích nghi khơng thích nghi số Bây giờ, so sánh GREEDY (tham lam) với ADAP T (thích nghi) Trực quan mà xét thuật tốn chèn cho ta hiệu tốt nhất, tất đồ vật "nhẹ" Tuy nhiên, có khả có đồ vật 28 "nặng" với giá trị lớn Trong phép bao gồm trường hợp này, cố gắng chèn đồ vật riêng lẻ m1 Đầu tiên lấy đồ vật "nhẹ" Với mục đích này, trở nên hữu ích để tới giải pháp túi phân đoạn Chúng ta xác định hàm Φ(h) ký hiệu cho giải pháp phân đoạn tốt sử dụng phần tử "nhẹ" sức chứa h sau: ci xi : ≤ xi ≤ 1; Φ(h) := max i∈IL µi xi ≤ h i∈IL Đây toán túi nới lỏng với kích thước đồ vật µi Mỗi tập hợp đồ vật "nhẹ" L xác định vectơ đặc trưng Xi = (i ∈ L) thoả mãn sức chứa h = µ(L) Điều nói lên ci Xi ≤ Φ µ(L) val(L) = i∈IL Giờ trở nên dễ dàng với đồ vật "nhẹ" có thứ tự (ci /µi ) Chúng ta thấy giải pháp tối ưu tập hợp đồ vật thứ tự giảm (ci /µi ), sử dụng nhiều tốt đồ vật cuối Như phương án tối ưu có dạng đơn giản k−1 ∀k ∈ IL ; ∀ξ ∈ [0; µk ); Φ(Mk−1 + ξ) = ci + ck i=1 ξ , µk Φ(h) = val(IL ), với h ≥ Ml , l := |IL | Ml ≥ Do đó, Φ(h) hàm lõm tuyến tính khúc (xem Hình 2.1) Điều hữu ích cho việc phân tích thuật tốn tham lam 29 2.2.2.3 Bổ đề Nếu tất đồ vật "nhẹ" ADAP T ≤ Φ(2) Chứng minh Với sách thích nghi tối ưu P giả sử chèn vào tập L, biến ngẫu nhiên Giả sử xi := P i ∈ L Từ bổ đề 2.2.1.1 ta có xi µi = E µ(L) ≤ i Do ci x i ≤ Φ E val(L) = i µi xi ≤ Φ(2) i Đó điều cần chứng minh 2.2.2.4 Bổ đề Ta có mG ≥ 1−σ Φ(1) Chứng minh So sánh diện tích Hình 2.1, tương ứng với mG , với tam giác màu xám ABC diện tích Φ(1)/2 Phần tam giác khơng bao gồm diện tích mG chứa tam giác nhỏ, mà độ cao tổng gần tới 30 hầu hết Φ(1), phần sở tam giác nhỏ µi ≤ σ Do mG ≥ Φ(1)/2 − Φ(1)σ/2 = 1−σ Φ(1) Đó điều cần chứng minh Do tính lõm Φ(h) nên Φ(2) ≤ 2Φ(1) ≤ mG 1−σ Như có thuật tốn 4/(1 − σ)-xấp xỉ cho đồ vật "nhẹ" Bây giờ, kết hợp với đồ vật "nặng" Tuy nhiên, trước hết cần xác định cận Φ(h) cho h ≥ 2.2.2.5 Bổ đề Với h ≤ − σ, ta có mG ≥ (1 − h)Φ(h) Chứng minh Chọn k cho Mk−1 ≤ h < Mk Giá trị đạt thuật tốn tham lam k−1 k ci (1 − Mi ) ≥ (1 − h) mG ≥ ci + ck i=1 i=1 − Mk 1−h Bây ta sử dụng bất đẳng thức (1−Mk )(Mk −Mk−1 ) ≥ (1−h)(h−Mk−1 ) Điều giữ nguyên tổng tất cặp tỉ lệ (1 − Mk−1 ) (h − Mk−1 ) bé tất yếu tố (h − Mk−1 ) ≤ (Mk − Mk−1 ) (h − Mk−1 ) ≤ (1 − σ − Mk−1 ) ≤ (1 − Mk ) Do k−1 mG ≥ (1 − h) ci + ck i=1 h − Mk−1 Mk − Mk−1 = (1 − h)Φ(h) Đó điều cần chứng minh 2.2.2.6 Bổ đề Với đồ vật "nhẹ" xác định σ = 1/3 h ≥ 0, ta có Φ(h) ≤ (1 + 3h)mG 31 Chứng minh Theo Bổ đề 2.2.2.4, có Φ(1) ≤ mG 1−σ Với h ≥ 1, tính lõm Φ, ta Φ(h) ≤ hΦ(1) ≤ 3h.mG Với h ∈ [2/3, 1], tính đơn điệu Φ nên Φ(h) ≤ Φ(1) ≤ 3mG Cuối cùng, với h ∈ [0, 2/3], Bổ đề 2.2.2.5 Φ(h) ≤ mG 1−h ≤ (1 + 3h)mG Đó điều cần chứng minh Một cách tổng quát, 2h mG Φ(h) ≤ + 1−σ Nhưng không cần đến điều chọn lựa σ = 1/3 Do với tập L đồ vật "nhẹ", có val(L) ≤ Φ µ(L) ≤ + 3µ(L) mG Điều địi hỏi đến cận giá trị, mà sách thích nghi thu cho đồ vật "nặng" 2.2.2.7 Bổ đề Cho sách thích nghi P Ký hiệu H ⊆ IH tập đại lượng ngẫu nhiên gồm đồ vật "nặng" mà P chèn vào túi ký hiệu H ⊆ H Khi E val(H) ≤ E |H | m1 Chứng minh Giả sử xi = P[i ∈ H] xi = P[i ∈ H ] Vì với i ln có xác suất P[si ≤ 1], có xi ≤ xi P[si ≤ 1] ci xi ≤ E val(H) = i ci xi P[si ≤ 1] ≤ i m1 xi = E |H | m1 i Đó điều cần chứng minh Định lý sau cho thấy thực tối ưu theo sách thích ứng tốt thuật toán tham lam 2.2.2.8 Định lý Với σ = 1/3 ta có ADAP T (thích nghi tối ưu) ≤ 7.GREEDY (tham lam) 32 Chứng minh Xét sách thích nghi tối ưu tập S , mà cố gắng xếp vào Chia tập S thành đồ vật "nhẹ" L "nặng" H , S = L ∪ H Tương tự ta viết S = L ∪ H Với vật "nặng", sử dụng Bổ đề 2.2.2.7 E val(H) ≤ E |H | m1 ≤ 3E µ(H ) m1 Với vật "nhẹ", sử dụng Bổ đề 2.2.2.6 val(L) ≤ Φ µ(L) ≤ + 3µ(L) mG ADAP T = E val(L) + E val(H) ≤ + 3E µ(L ) + 3E µ(H ) GREEDY (*) Từ Bổ đề 2.2.1.1 suy E µ(L ) + E µ(H ) = E µ(S ) ≤ Thay vào bất đẳng thức (*) ta ADAP T ≤ 7.GREEDY Đó điều phải chứng minh 2.3 Thảo luận việc kết hợp thuật toán tham lam phương pháp xấp xỉ (Approximate) 2.3.1 Chính sách có trật tự tập cố định (Ordered policies and fixed sets) Bây giờ, thảo luận kết gần hai mơ hình khác đơi chút, so với mơ hình khơng thích nghi xem xét Thứ mơ hình tập cố định, phải xác định rõ tập số hạng S chèn vào túi, nhận giá trị S số hạng thỏa mãn Thứ hai mô hình thích nghi phân bậc, phải xử lý số hạng theo vài trật tự xác định trước với số hạng theo thứ tự, phải định cho phù hợp chèn vào túi loại bỏ vĩnh viễn 33 Trường hợp phân bậc phân chia nhỏ nữa, dựa thuật giải cho phép chọn thứ tự thứ tự cung cấp tín hiệu đầu vào Một toán trường hợp việc tính tốn thứ tự tối ưu Từ kết Định lý 2.2.2.8 trên, biết giá trị mong muốn thu sách thích nghi tối ưu bé lần thuật tốn tham lam Ngồi ra, cịn có thuật tốn có độ phức tạp thời gian đa thức để tính tốn tập hợp giá trị đồ vật S mà val(S)(1 − µ(S)) ≥ ADAP T 9, Bây xem xét việc tính tốn tập S có giá trị thời gian ngẫu nhiên hợp lý ADAP T /9, Ta ký hiệu • m1 := max ci P[si < 1] : i ∈ I , • m2 := max val(S)(1 − µ(S)) : S ⊆ I Chú ý m1 xác định cách dễ dàng, cịn m2 tính xấp xỉ túi chuẩn có kích thước trung bình Cả hai giá trị tương ứng với lợi ích dự kiến việc chèn tập cố định đồ vật, xem xét xác suất thiết lập phù hợp túi Tập hợp cố định (FIXED) tốt hai giá trị F IXED := max{m1 ; m2 } 2.3.1.1 Bổ đề Với tập đồ vật "nhẹ" L ⊆ IL , ta có val(L) ≤ 1+ 4µ(L) m2 − σ2 Chứng minh Chúng ta chứng minh quy nạp theo |L| Nếu µ(L) ≥ (1 − σ)/2, ta chọn giá trị nhỏ K ⊆ L cho µ(K) ≥ (1 − σ)/2 Từ đồ vật có kích thước trung bình lớn σ, K khơng vượt q kích thước trung bình (1 + σ)/2 Theo quy nạp val(L \ K) ≤ 1+ 4(µ(L) − µ(K)) m2 − σ2 34 1−σ 1+σ ; từ m2 ≥ val(K)(1 − µ(K)), với µ(K) ∈ , có µ(K)m2 ≥ val(K)µ(K)(1 − µ(K)) ≥ (1 − σ )val(K), đồng thời 4µ(L) m2 − σ2 val(L) = val(L \ K) + val(K) ≤ + Cuối µ(L) < (1 − σ)/2 Vậy thấy val(L) ≤ m2 ≤ − µ(L) 1+ 4µ(L) m2 − σ2 Đó điều cần chứng minh 2.3.1.2 Định lý Với sách thích nghi tối ưu, giá trị mong muốn phần tử chèn vào túi thoả mãn ADAP T (thích nghi tối ưu) ≤ 9, 5.F IXED(cố định) Chứng minh Giả sử thay đổi sách thích nghi tối ưu đặt S = H ∪ L biểu thị thiết lập đồ vật "nặng" "nhẹ" mà sách cố gắng để chèn vào túi Giả sử S = H ∪ L ký hiệu cho đồ vật chèn vào Theo Bổ đề 2.2.2.7 ta có E val(H) ≤ E |H | m1 ≤ E µ(H ) σ m1 Đối với đồ vật "nhẹ", sử dụng Bổ đề 2.3.1.1 có E val(L) ≤ 1+ 4E µ(L) − σ2 m2 √ − cho ta √ E val(S) ≤ + + E µ(H ) + E µ(L ) Chọn σ = F IXED Theo Bổ đề 2.2.1.1 E µ(S ) = E µ(H ) + E µ(L ) ≤ Từ suy √ ADAP T ≤ (5 + 5)F IXED ≈ 9, 5F IXED, 1) Như (9,5)-xấp xỉ tập cố định thời gian đa thức (xem [7]) 35 lấy m2 ≈ (1 + ε) Định lý chứng minh 2.3.2 Một sách thích nghi (5 + ε)-xấp xỉ (A (5 + ε)-Approximate Adaptive Policy) Trong phần mô tả sách thích ứng với hệ số + ε sách thích nghi tối ưu Với số ε > 0, sách đòi hỏi độ phức tạp thời gian đa thức định số đồ vật đưa vào túi, đưa tập hợp đồ vật sẵn sàng chèn vào tính khơng ổn định kích thước Thơng qua mục này, giả thiết phân bố xác suất rời rạc Đồng thời đưa giá trị B cho tương ứng với giá trị B bits biểu diễn giá trị đồ vật, cách cụ thể kích thước đồ vật giá trị xác suất đạt việc đánh giá tích lũy phân bố cho vài kích thước đồ vật Thời gian chạy thuật toán mà đưa đa thức theo n đồ vật B Thuật toán tham lam đưa 1−σ -chính sách xấp xỉ tất đồ vật "nhẹ" (Bổ đề 2.2.2.3 2.2.2.4) Trong mục này, mô tả (1 + ε )-chính sách xấp xỉ tất đồ vật "nặng", số ε > Lời giải lựa chọn tốt hai sách, đạt giá trị kỳ vọng m Do ta ADAP T ≤ + (1 + ε ) m ≤ (5 + ε)m, 1−σ cách lựa chọn xấp xỉ số σ ε Bây trọng đến tính tốn (1 + ε)-chính sách xấp xỉ cho đồ vật "nặng", cho giá trị ε > số Theo suy nghĩ sách thích nghi định, độ cao d có lựa chọn từ |IH | − d đồ vật để chèn vào tiếp (và định tạo dựa khả sức 36 chứa túi) Đầu tiên giữ điều việc hạn chế sách để có độ cao số tốt (phụ thuộc vào ε), để số nhỏ giá trị kỳ vọng Do đó, định khơng đổi hầu hết số đa thức đỉnh, tính tốn tường tận sách thích nghi tối ưu xấp xỉ cho đỉnh theo quy tắc từ lên độ cao d định Thuật toán cho việc xấp xỉ số đồ vật để chèn tạo số đa thức chương trình gọi đến thuật tốn độ cao d + Theo Bổ đề 2.2.1.1, E µ(SH ) ≤ 2, SH biểu diễn tập hợp (ngẫu nhiên) đồ vật "nặng" đặt vào túi sách thích nghi tối ưu Từ kích thước giá trị kỳ vọng đồ vật "nặng" σ, có E |SH | ≤ 2/σ bất đẳng thức Markov P |SH | ≥ σ2 ≤ σ Do đó, ADAP TH ký hiệu cho giá trị kỳ vọng đồ vật "nặng" đạt sách thích nghi tối ưu, Vk ký hiệu giá trị đạt vượt đồ vật thứ k, nhận thấy ADAP TH = f∅,n (0) ≤ f∅,k (0) + E Vk ||SH | ≥ k P |SH | ≥ k ≤ f∅,k (0) + ADAP TH σ ≤ f∅,k (0)/(1 − σ) Khi k = σ2 = O(1), áp dụng Bổ đề 2.3.2.1, cho phép tính tốn (1 + ε )-xấp xỉ đến giá trị f∅,k (0), sách tương ứng, với số ε > Bằng cách chọn ε σ cách gần đúng, xấp xỉ sách tối ưu cho đồ vật "nặng" tới với hệ số (1 + ε) cho số ε > Chúng định nghĩa hàm fS,k (h) để nhận giá trị kỳ vọng lớn đạt h sức chứa sẵn sàng cho việc sử dụng Chúng ta sẵn sàng đưa đồ vật tập hợp S vào túi, chèn nhiều k đồ vật vào túi Thuật toán xấp xỉ xây dựng theo 37 kết sau đây: 2.3.2.1 Định lý Với số ε > 0, giá trị h ∈ [0, 1], tập hợp phần tử "nặng" S k = O(1), tồn thuật toán thời gian đa thức AS,k,ε nhằm tính tốn đồ vật thuộc IH \ S chèn vào túi, tạo thành bắt đầu sách thích nghi đạt giá trị kỳ vọng phạm vi fS,k (h)/(1 + ε); fS,k (h) Thuật toán xấp xỉ giá trị sách này, trả giá trị gS,k,ε (h) ∈ fS,k (h)/(1 + ε); fS,k (h) Chứng minh Quá trình chứng minh định lý, thực chất q trình xây dựng thuật tốn AS,k,ε theo tham số S, k, ε Chúng ta quy nạp theo k Với k = giá trị ban đầu thực Giả sử Định lý với k, tức với đồ vật "nặng" tập S, có thuật tốn thời gian đa thức AS,k,ε , ε thoả mãn (1 + ε )2 = + ε Chúng ta mô tả làm để xây dựng thuật toán AS,k+1,ε cho ước lượng gS,k+1,ε (h) tạo số đa thức theo "đệ quy" gọi đến A•,k,ε Khi thực hầu hết số số mức quy nạp (gọi lại giá trị cuối k số), giá trị tạo số đa thức hàm gọi mức, thời gian chạy AS,k+1,ε trở thành đa thức tất giá trị ε yêu cầu tính tốn đệ quy số Thuật toán AS,k+1,ε phải định đưa đồ vật IH \ S để chèn vào túi, với sức chứa h mà thứ tự để thực sách (1 + ε)-xấp xỉ Để làm điều này, xấp xỉ giá trị kỳ vọng để nhận với đồ vật i ∈ IH \ S lấy đồ vật tốt Để ước lượng giá trị kỳ vọng, bắt đầu với đồ vật i, thử mẫu cách ngẫu nhiên: mẫu với số lớn trường hợp có kích thước si , với đồ vật i cho lần sử dụng thuật toán AS∪{i},k,ε để xấp xỉ giá trị kỳ vọng fS∪{i},k (h + si ) thu phần tử lại sách tối ưu với điểm bắt đầu i Tuy nhiên, cách tiếp cận không làm vấn đề "sự kiện 38 hoi" thường gặp phải lấy mẫu ngẫu nhiên Nếu si có xác suất nhỏ so với giá trị fS∪{i},k (h + si ) lớn, bỏ lỡ hội lựa chọn trường hợp Để khắc phục điều này, xấp xỉ fS∪{i},k (h) hàm số không đổi f (h) đoạn với điểm gãy, ký hiệu = h0 , h1 , , hp = Đầu tiên tính f (h0 ) = gS∪{i},k,ε (0) dẫn xuất (lời gọi) AS∪{i},k,ε Sau đó, sử dụng tìm kiếm nhị phân để tìm kiếm điểm gãy h1 , , hp−1 Sau tính hj−1 đặt hj giá trị bé h cho gS∪{i},k,ε (h) < f (hj−1 )/(1 + ε ) Số bước lớn việc tìm kiếm nhị phân đa thức B n, tổng tập hợp với kích thước n đồ vật đòi hỏi đa thức poly(n, B) bit để biểu diễn, vịng lặp tìm kiếm nhị phân hạn chế số bit Mỗi bước tìm kiếm nhị phân tạo lời gọi tới AS∪{i},k,ε để đánh giá gS∪{i},k,ε (h) cho giá trị h Chú ý fS∪{i},k (h) hàm không tăng theo h, nên xấp xỉ gS∪{i},k,ε (h) làm tăng Tuy nhiên, đánh giá gS∪{i},k,ε (h) lưu ý giá trị lớn gS∪{i},k,ε (h ), với h < h điểm đánh giá cơng thức hàm số (hoặc tương tự, lưu ý gS∪{i},k,ε (h) < gS∪{i},k,ε (h ), với h > h) Khi đủ để sử dụng gS∪{i},k,ε (h ) thay cho gS∪{i},k,ε (h), điều vượt qua + ε xấp xỉ fS∪{i},k (h) cho phép thực tìm kiếm nhị phân Mỗi điểm gãy f đánh dấu điểm giảm gS∪{i},k,ε hệ số (1+ε ) Giá trị g giảm (1+ε ) hầu hết số đa thức thời gian trước thực tiến tới Chúng ta lập luận quy nạp cách thêm vào quy nạp để giữ lại giá trị g để biểu diễn chất lượng số đa thức bit Từ f (1+ε )xấp xỉ tới gS∪{i},k,ε , lượt (1 + ε )-xấp xỉ tới fS∪{i},k Chúng ta biết f (h) nằm đoạn fS∪{i},k (h)/(1 + ε); fS∪{i},k (h) Giả sử i đồ vật chèn vào túi, 39 tính gS,k+1,ε (h) sau p gS∪{i},k,ε (h + hj−1 )P si ∈ [hj−1 ; hj ] gS,k+1,ε (h) = vi P[si ≤ − h] + j=1 Giá trị lớn tất đồ vật tiềm i ∈ IH \ S cho giá trị cuối gS,k+1,ε (h), với (1 + ε)-xấp xỉ fS,k+1 (h) Lưu ý giá trị gS,k+1,ε (h) phải có khả biểu diễn đa thức số bit gS,k,ε (h) (khi mang dẫn xuất bên ngồi cho cấp độ số) Tổng quát, thuật toán AS,k+1,ε nêu tạo số đa thức gọi đến A•,k,ε Định lý 2.3.2.1 chứng minh 40 Kết luận Kết nghiên cứu, luận văn nêu số nội dung sau: Trình bày cách hệ thống khái niệm kiến thức sở nhằm phục vụ cho việc nghiên cứu vấn đề có liên quan luận văn Cụ thể trình bày vấn đề: số nội dung cần thiết lý thuyết xác suất thống kê, tốn quy hoạch tuyến tính ngun ngẫu nhiên, toán "chiếc túi" ngẫu nhiên hướng tiếp cận giải, phương pháp giải gần toán quy hoạch Xem xét lớp toán lập kế hoạch sản xuất với liệu có biến động ngẫu nhiên Nghiên cứu toán lập kế hoạch sản xuất với liệu có biến động ngẫu nhiên thơng qua mơ hình tốn túi ngẫu nhiên, với sách thích nghi phù hợp Nêu thuật toán tham lam kết hợp với phương pháp xấp xỉ nhằm giải toán cho thời gian đa thức Khi có điều kiện, chúng tơi nghiên cứu tiếp nội dung: • Xây dựng thuật tốn hồn chỉnh lập trình giải cho hai tốn đề cập luận văn • Mở rộng xét với số tốn thực tế khác có hình thức tốn túi ngẫu nhiên 41 Tài liệu tham khảo [1] Đào Hữu Hồ (1996), Xác suất thống kê, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Nguyễn Văn Quảng (2007), Giáo trình xác suất, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [3] Trần Xuân Sinh (2004), Các phương pháp ngẫu nhiên giải toán quy hoạch, Đại học Vinh [4] Trần Xuân Sinh, Nguyễn Thị Thanh Hiền Nguyễn Văn Hưng (2009), Một lớp tốn đầu tư tài chính, Tạp chí Khoa học, Đại học Vinh, Tập XXXVIII, Số 2A (2009), 55-61 [5] Nguyễn Duy Tiến - Vũ Viết Yên (2001), Lý thuyết xác suất, NXB Giáo dục, Hà Nội [6] A Shapiro, D Dentcheva and A Ruszczy´ nski (2010), Lectures on Stochastic Programming Modeling and Theory, Mathematical Programming Society Philadelphia [7] B C Dean, M X Goemans and J Vondrák (2005), Approximating the Stochastic Knapsack Problem: The Benefit of Adaptivity, J Mathematics of Operations Research, Vol 33, No.4, November 2008, 945 - 964 ... trước năm 1966 Bài tốn lập kế hoạch sản xuất có biến động ngẫu nhiên, nói ngắn gọn tốn lập kế hoạch ngẫu nhiên Hầu toán lập kế hoạch ngẫu nhiên, nghiên cứu liên quan đến việc lập kế hoạch cho tất... Bước kết thúc Thuật toán dừng S đủ n thành phần toán, M = ∅ 21 Chương Thuật toán tham lam giải lớp toán quy hoạch ngẫu nhiên 2.1 Một lớp toán lập kế hoạch sản xuất 2.1.1 Bài toán thực tế Một. .. giải, phương pháp giải gần toán quy hoạch Xem xét lớp toán lập kế hoạch sản xuất với liệu có biến động ngẫu nhiên Nghiên cứu tốn lập kế hoạch sản xuất với liệu có biến động ngẫu nhiên thơng qua