Bài toán lập kế hoạch sản xuất với chuỗi cung ứng ngẫu nhiên

Mục lục trang Mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số vấn đề lý thuyết xác suất 1.1.1 Khái niệm 1.1.2 Tính chất 1.2 Bài toán quy hoạch tuyến tính nguyên hỗn hợp 11 1.2.1 Bài toán 11 1.2.2 Tính chất tốn 12 1.3 Một số hướng tiếp giải toán quy hoạch nguyên hỗn hợp 13 1.3.1 Phương pháp cắt hợp cách 13 1.3.2 Phương pháp nhánh cận 14 1.4 Bài tốn quy hoạch tuyến tính ngun ngẫu nhiên hai giai đoạn 17 1.4.1 Bài toán quy hoạch nguyên ngẫu nhiên 18 1.4.2 Bài toán quy hoạch nguyên ngẫu nhiên hai giai đoạn 19 Chương Thuật toán cắt giải toán quy hoạch biến nhị nguyên hỗn hợp, ngẫu nhiên hai giai đoạn 21 2.1 Bài toán lập kế hoạch sản xuất với chuỗi cung ứng ngẫu nhiên 21 2.1.1 Bài toán 21 2.1.2 Mơ hình sản xuất với chuỗi cung ứng ngẫu nhiên 22 2.1.3 Mơ hình toán học tổng quát 23 2.2 Nhát cắt "nâng chiếu" với toán (2SSM IP ) 25 2.2.1 Nhát cắt "nâng chiếu" 25 2.2.2 Tính chất 28 2.3 Xây dựng thuật toán 32 2.3.1 Thuật toán phân hoạch "nâng chiếu" (LP D) giải toán (2SSM IP ) 33 2.3.2 Các trường hợp đặc biệt 34 Kết luận 37 Tài liệu tham khảo 38 Mở đầu Trong lớp tốn quy hoạch, tốn quy hoạch ngun có nhiều ứng dụng thực tiễn Tương ứng toán quy hoạch nguyên, với liệu phụ thuộc yếu tố ngẫu nhiên ta có tốn quy hoạch ngun ngẫu nhiên Việc nghiên cứu lớp toán quy hoạch nguyên ngẫu nhiên nhằm phát tính chất tìm thuật tốn giải vấn đề thời sự, có ý nghĩa khoa học ý nghĩa thực tiễn rộng lớn Trên sở toán thực tế đặt ra, người ta xây dựng mơ hình toán quy hoạch ngẫu nhiên Do tham gia yếu tố ngẫu nhiên toán có đặc thù riêng, nên ta lớp toán quy hoạch ngẫu nhiên khác Gần đây, tác giả L Ntaimo and M W Tanner báo (2006), Computations with Disjunctive Cuts for Two-Stage Stochastic Mixed 0-1 Integer Programs, Department of Industrial, Texas University USA, công bố năm 2006, thu nhiều kết thú vị Với quan tâm, ý tới khía cạnh phù hợp nó, thời gian mức độ cho phép, cố gắng xem xét nội dung có liên quan đến cơng trình nêu [6] cố gắng xem xét thơng qua tốn thực tế Đó lý chúng tơi chọn đề tài "Bài toán lập kế hoạch sản xuất với chuỗi cung ứng ngẫu nhiên" Nội dung luận văn bao gồm hai chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Trong chương chúng tơi trình bày nội dung của: Lý thuyết xác suất, Lý thuyết quy hoạch nguyên toán quy hoạch nguyên ngẫu nhiên Những nội dung nêu vừa đủ phục vụ cho việc nghiên cứu đề tài Chương 2: Thuật toán cắt giải toán quy hoạch biến nhị nguyên hỗn hợp, ngẫu nhiên hai giai đoạn Chương nội dung luận văn Trong chương này, trước hết chúng tơi nêu mơ hình thực tế dẫn đến toán tổng quát cần nghiên cứu (mà tài liệu chúng tơi có chưa thấy nói tới) Tiếp đó, chúng tơi trình bày tính chất toán đặt Cuối đưa thuật toán đánh giá độ phức tạp tính tốn Luận văn thực hoàn thành trường Đại học Vinh, hướng dẫn khoa học PGS TS Trần Xuân Sinh Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy hướng dẫn tận tâm thầy tác giả suốt thời gian học tập nghiên cứu Nhân dịp này, tác giả xin gửi lời cảm ơn tới PGS TS Nguyễn Văn Quảng, PGS TS Phan Đức Thành, TS Nguyễn Trung Hồ, thầy giáo Hội đồng chấm luận văn, khoa Toán, khoa Sau Đại học, trường Đại học Vinh Cũng này, cho phép tơi nói lời cảm ơn tới gia đình bạn bè, quan tâm, góp ý, giúp đỡ tạo điều kiện tác giả thực luận văn Mặc dù cố gắng song luận văn khơng thể tránh khỏi sai sót Tác giả mong nhận đóng góp q thầy giáo bạn để luận văn hoàn thiện Tác giả xin chân thành cảm ơn! Vinh, tháng 12 năm 2011 Tác giả Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số khái niệm xác suất 1.1.1 Khái niệm 1.1.1.1 σ - đại số Giả sử Ω tập tuỳ ý khác rỗng Ký hiệu P(Ω) tập hợp gồm tất tập Ω • Lớp A ⊂ P(Ω) gọi đại số nếu: A1) Ω ∈ A, A2) A ∈ A, ⇒ A = Ω\A ∈ A, A3) A, B ∈ A, ⇒ A ∪ B ∈ A, (hoặc A ∩ B ∈ A) • Lớp F ⊂ P(Ω) gọi σ- đại số đại số A4) Nếu An ∈ F, ∀n = 1, 2, ∞ An ∈ F n=1 ∞ An ∈ F n=1 1.1.1.2 Không gian đo Cặp (Ω, F) gọi không gian đo, Ω = ∅ bất kỳ, F σ- đại số tập Ω Toàn Ω gọi biến cố chắn Tập ∅ gọi biến cố không A ∈ F, A gọi biến cố đối biến cố A Nếu A ∩ B = ∅ ta nói A B biến cố xung khắc 1.1.1.3 Độ đo xác suất Hàm tập P xác định σ-đại số A gọi độ đo xác suất P1) P(A) ≥ 0, A ∈ A, P2) P(Ω) = 1, P3) Nếu Ai ∈ A, i = 1, 2, , Ai ∩ Aj = ∅, i = j ∞ ∞ Ai P i=1 = P(Ai ) i=1 1.1.1.4 Biến ngẫu nhiên Giả sử (Ω, F) không gian đo, R = [−∞; +∞] Hàm thực X = X(ω) xác định Ω lấy giá trị R gọi hàm F-đo biến ngẫu nhiên suy rộng {ω : X(ω) ∈ B} = X −1 (B) ∈ F, với B ∈ B(R) (trong B(R) σ- đại số tập Borel trục thực R) Nếu X : Ω → R = (−∞; +∞) X gọi biến ngẫu nhiên 1.1.1.5 Hàm Borel Hàm ϕ : (Rn , B(Rn )) → (R, B(R)) gọi hàm Borel, B(Rn ) - đo được, nghĩa ϕ−1 (B) ∈ B(Rn ), với B ∈ B(R) 1.1.1.6 Hàm phân phối xác suất biến ngẫu nhiên Giả sử X biến ngẫu nhiên xác định (Ω, F, P) nhận giá trị R Hàm số FX (x) = P[X < x], (x ∈ R) gọi hàm phân phối biến ngẫu nhiên X 1.1.1.7 Kỳ vọng biến ngẫu nhiên • Nếu X biến ngẫu nhiên đơn giản xác định (Ω, F, P), có nghĩa n xk IAk , X= k=1 với xk ∈ R, Ak ∈ F, (k = 1, 2, , n) Ak ∩ Al = ∅ (k = l) kỳ vọng X, ký hiệu EX định nghĩa sau n xk P(Ak ) EX := k=1 • Nếu biến ngẫu nhiên X giới hạn dãy tăng biến ngẫu nhiên đơn giản, không âm {Xn } : ≤ Xn ↑ X EX := lim EXn n • Giả sử X biến ngẫu nhiên bất kỳ, X biểu diễn dạng X = X + − X − , với X + , X − biến ngẫu nhiên đơn giản, không âm (X + = max{X, 0}, X − = max{−X, 0}) Nếu (EX + , EX − ) < ∞ EX := EX + − EX − Trong trường hợp EX + EX − hữu hạn X gọi khả tích 1.1.2 Tính chất biến ngẫu nhiên 1.1.2.1 Định lý Giả sử X : Ω → R Khi mệnh đề sau tương đương: a) X biến ngẫu nhiên b) {ω : X(ω) < x} ∈ F với x ∈ R 10 c) {ω : X(ω) ≤ x} ∈ F với x ∈ R d) {ω : a ≤ X(ω) < b} ∈ F với a < b 1.1.2.2 Định lý Giả sử X1 , , Xn biến ngẫu nhiên xác định (Ω, F) ϕ(t1 , , tn ) hàm Borel giá trị thực Khi Y = ϕ(X1 , , Xn) biến ngẫu nhiên 1.1.2.3 Hệ Giả sử X, Y biến ngẫu nhiên Khi X ± Y, X.Y, X ∨ Y, X ∧ Y, X + = X ∨ 0, X − = (−X) ∨ 0, |X| = X + + X − biến ngẫu nhiên Đặc biệt, Y khơng triệt tiêu X/Y biến ngẫu nhiên 1.1.2.4 Định lý Giả sử {Xn , n ≥ 1} dãy biến ngẫu nhiên sup Xn , inf Xn n n hữu hạn Ω Khi sup Xn , inf Xn , lim sup Xn , lim inf Xn n n n n biến ngẫu nhiên Đặc biệt lim Xn = X hữu hạn X biến ngẫu nhiên 1.1.2.5 Bất đẳng thức Cauchy - Bunhiakowski Cho p > 0, ký hiệu Lp = Lp (Ω, F, P) tập hợp biến ngẫu nhiên X (xác định (Ω, F, P)) cho E|X|p < ∞ Khi X ∈ Lp , p ≥ 1, ta ký hiệu X p = (E|X|p )1/p Nó gọi chuẩn bậc p X Bất đẳng thức sau gọi bất đẳng thức Cauchy - Bunhiakowski E|XY | ≤ X Y 11 1.1.2.6 Bất đẳng thức Markov Giả sử X : (Ω, F, P) −→ (R, B(R)) biến ngẫu nhiên X(w) ≥ 0, ∀w ∈ Ω Khi tồn EX với ∀ε > ta có: P(X ≥ ε) ≤ E(X) ε 1.2 Bài tốn quy hoạch tuyến tính ngun hỗn hợp 1.2.1 Bài toán quy hoạch rời rạc Bài toán quy hoạch tuyến tính rời rạc có dạng n min(max) f (x) = cj xj j=1 với điều kiện  n   aij xj (≤, ≥, =) bi , i = 1, 2, , n     j=1 xj ≥ 0, j = 1, 2, , n       x ∈ {dj , dj , , dj }, j ∈ {1, 2, , n} j kj dji ∈ R, k phụ thuộc xj Bài toán quy hoạch tuyến tính ngun tổng qt có dạng n min(max) f (x) = cj xj (1.1) j=1 với điều kiện  n   aij xj (≤, ≥, =) bi , i = 1, 2, , n    j=1  xj ≥ 0, j = 1, 2, , n       x ∈ Z, j ∈ {1, 2, , n} j Nếu xj ∈ Z, j = 1, 2, , n, ta có tốn quy hoạch nguyên toàn phần Trong trường hợp ngược lại, ta có tốn quy hoạch ngun hỗn hợp 12 Để đơn giản, xét toán quy hoạch ngun tồn phần, có dạng n f (x) = cj xj (1.2) j=1 với điều kiện  n   aij xj = bi , i = 1, 2, , n    j=1  xj ≥ 0, j = 1, 2, , n       x ∈ Z, j = 1, 2, , n j Hàm f (x) toán nêu gọi hàm mục tiêu Các điều kiện toán gọi điều kiện buộc Điểm x = (xj ) thoả mãn điều kiện buộc gọi phương án Phương án x làm cực tiểu hàm mục tiêu gọi phương án tối ưu nghiệm tốn 1.2.2 Tính chất tốn 1.2.2.1 Mệnh đề Mọi toán quy hoạch rời rạc chuyển tốn quy hoạch ngun biến nhị nguyên Chứng minh Ta việc thay biến xj ≥ theo công thức kj kj xij dij , xj = i=1 xij = 1, xij ∈ {0, 1} i=1 Khi cịn biến xij ngun, nhận hai giá trị Từ ta có tốn với biến ngun xij ∈ {0, 1} Biến nguyên, nhận hai giá trị nêu gọi biến nhị nguyên (Binary) Đó điều phải chứng minh 1.2.2.2 Mệnh đề Bài tốn quy hoạch ngun có phương án tối ưu tồn phương án cực biên bao lồi tập nguyên tối ưu Chứng minh Ta thấy bao lồi điểm nguyên tập lồi đa diện có hữu hạn điểm cực biên, điểm cực biên nguyên Do vậy, 24 ảnh hưởng đến thực tế, nêu số giả thiết ban đầu Các giả thiết sử dụng tồn Luận văn Từ mơ hình thực tế cho, ta có tốn quy hoạch ngun, biến nhị nguyên hỗn hợp, ngẫu nhiên hai giai đoạn 2SSM IP có dạng cT x + E[f (x, w)] , (2.1) với điều kiện x = (xi ) ∈ M xi ∈ {0; 1}, ∀i ∈ I, I ⊆ {1, , n1 }, c ∈ Rn1 , M = {x ∈ Rn1 : Ax ≥ b}, A ma trận cấp m1 × n1 , b ∈ Rm1 , E[f (x, w)] kỳ vọng toán hàm f phụ thuộc w, tính theo cơng thức E[f (x, w)] = pw f (x, w) w∈Ω w vectơ ngẫu nhiên rời rạc tương ứng w ∈ Ω với xác suất pw Lúc này, giai đoạn 2, với w, ta có toán f (x, w) = q(w)T y, (2.2) với điều kiện W (w)y ≥ r(w) − T (w)x, y = (yj ) ≥ 0, yj ∈ {0; 1}, ∀j ∈ J, J ⊆ {1, , n2 }, y = (yj ), q(w) ∈ Rn2 , r(w) ∈ Rm2 , T (w) ma trận cấp m2 ×n1 , W (w) ma trận cấp m2 × n2 Chú ý điều kiện −x ≥ −1 thể ma trận A giai đoạn −y ≥ −1 thể ma trận W (w) giai đoạn Để nghiên cứu toán (2.1) - (2.2), giả thiết 25 (A1) Ω tập hữu hạn (A2) M = {x ∈ Rn+1 : Ax ≥ b} bị chặn điều kiện ≤ x ≤ (A3) Với x, w ∈ M ∩ B ∩ Ω, f (x, w) < ∞ Từ giả thiết nêu, tốn (2.1)-(2.2) viết lại thành toán (EF ) sau: cT x + (EF ) pw q(w)y(w) w∈Ω với điều kiện    Ax ≥ b        T (w)x + W (w)y(w) ≥ r(w), ∀w ∈ Ω (2.3)   x ≥ 0, xi ∈ {0; 1}, ∀i ∈ I        y(w) ≥ 0, yj ∈ {0; 1}, ∀j ∈ J, ∀w ∈ Ω 2.2 Nhát cắt "nâng chiếu" với toán (2SSM IP ) 2.2.1 Nhát cắt "nâng chiếu" Chúng ta xét toán nới lỏng (2SSLP ) (bỏ qua điều kiện nguyên) toán (2SSM IP ) (SLP ) cT x + Ew [fc (x, w)] (2.4a) với điều kiện x ∈ M, (2.4b) với w tương ứng w fc (x, w) = q(w)T y (2.5a) W (w)y ≥ r(w) − T (w)x, (2.5b) y ≥ (2.5c) với điều kiện 26 Giả sử tập phương án toán (LP ) nới lỏng ứng với w x xác định sau: SLP (w) = {x ∈ Rn+1 , y(w) ∈ Rn+2 : Ax ≥ b; T (w)x + W (w)y ≥ r(w)} Tập phương án SLP cho ta tập phương án toán (IP ) w SIP (w) = {(x, y(w)) ∈ SLP (w) : xi ∈ {0; 1}, ∀i ∈ I, yj (w) ∈ {0; 1}, ∀j ∈ J} Do tập phương án tốn gốc viết S := (x, {y(w)}w∈Ω ) : (x, y(w)) ∈ SIP (w), ∀w Giả sử (x, {y(w)}w∈Ω ) phương án tối ưu chưa nguyên toán (SLP ) đạt bước thứ k Chúng ta coi toạ độ chưa nguyên giai đoạn thứ Giả sử xk (w) toạ độ chưa nguyên x y(w) w ∈ Ω Sử dụng xk (w) đặt tập hợp S0, := x ∈ Rn+1 , y ∈ Rn+2 : Ax ≥ b, (2.6a) T (w)x + W (w)y(w) ≥ r(w) (2.6b) −z ≥ (2.6c) S1, := x ∈ Rn+1 , y ∈ Rn+2 : Ax ≥ b, T (w)x + W (w)y(w) ≥ r(w) z ≥1 (2.7a) (2.7b) (2.7c) Các toạ độ không nguyên nghiệm (xk , y k (w)) S(w) := S0, (w) ∪ S1, (w) Theo giả thiết (A1)-(A2), ta thấy hai tập hợp S0, , S1, = ∅ (2.8) 27 Giả sử λ0,1 λ0,2 ký hiệu cho vectơ nhân tử liên hợp ứng với (2.6a) (2.6b), λ0,3 vectơ nhân tử liên hợp ứng với (2.6c) Giả sử λ1,1 , λ1,2 λ1,3 ký hiệu tương tự dùng cho (2.7a), (2.7b), (2.7c) Ta ký hiệu    1, i = k Ii =   0, ngược lại,    1, j = k Ij =   0, ngược lại Do đó, tốn (LP ) sau sử dụng nhát cắt dạng γ T (w)x + µT (w)y(w) ≥ ν(w), (∗) với w ∈ Ω : min{−ν(w) + (xk )T γ(w) + y k (w)T µ(w)} với điều kiện    γi (w) − λT0,1 Ai (w) − λT0,1 Ti (w) + Iik λ0,3 ≥ 0, ∀i        µj (w) − λT0,2 Wj (w) + Ijk λ0,3 ≥ 0, ∀j        γi (w) − λT1,1 Ai (w) − λT1,2 Ti (w) + Iik λ1,3 ≥ 0, ∀i        µj (w) − λT1,2 Wj (w) + Ijk λ1,3 ≥ 0, ∀j        −ν(w) + λT b + λT r(w) + λ0,3 y j(k) ≥ 0,1 0,2   −ν(w) + λT1,1 b + λT1,2 r(w) + λ1,3 y j(k) ≥        −1 ≤ γi (w) ≤ 1, ∀i        −1 ≤ µj (w) ≤ 1, ∀j        −1 ≤ ν(w) ≤        λ0,1 , λ0,2 , λ0,3 , λ1,1 , λ1,2 , λ1,3 ≥ (2.9) 28 Nhát cắt (*) tạo thành cách viết gọi nhát cắt "nâng chiếu" (lift-and-Project) Bài toán (LP ) (2.9) xây dựng nguyên tắc cắt hợp cách (do Balas nêu năm 1975), áp dụng cho phép hợp (2.8) Trong toán nêu, Aj cột thứ j ma trận A, Ti (w) cột thứ i T (w) Wj (w) cột thứ j W (w) Mục đích toán (LP ) làm tối đa khoảng cách điểm (xk , y k (w)) với nửa khơng gian γ T (w)x + µT (w)y(w) ≥ ν(w) Nếu giá trị tối ưu hàm mục tiêu tốn (2.9) khơng âm điều nói lên điểm (xk , y k (w)) bị cắt bỏ 2.2.2 Tính chất Những tính chất nêu Mệnh đề sau sở lý luận cho thuật toán giải toán (2SSM IP ) phương pháp cắt 2.2.2.1 Mệnh đề (Ntaimo - 2006) Giả sử ma trận W (w) ngẫu nhiên, ma trận T (w) r(w) xác định với w ∈ Ω, cho γ T (w)x + µT (w)y(w) ≥ ν(w) nhát cắt đạt từ (2.9), với w Giả sử phương án tối ưu toán (2.9) (µ(w), γ, ν, λ0,1 , λ0,2 , λ0,3 , λ1,1 , λ1,2 , λ1,3 ) Nếu w ∈ Ω, w = w, toán y k (w)T µ(w) µ(w)    µj (w) ≥ λT0,2 Wj (w) − Ijk λ0,3 , ∀j    với điều kiện µj (w) ≥ λT1,2 Wj (w) + Ijk λ1,3 , ∀j      −1 ≤ µ (w) ≤ 1, ∀j j (2.10) thực Khi γ T x + µT (w)y(w) ≥ ν có hiệu lực SIP (w) Nếu ν − γ T xk − µT (w)y k (w) > 0, γ T x + µT (w)y(w) ≥ ν nhát cắt loại bỏ điểm (xk , y k (w)) 29 Chứng minh Ta cần chứng minh ν − µT (w)y k (w) > 0, µT (w)y(w) ≥ ν nhát cắt loại bỏ điểm y k (w) Thật vậy, từ fc (x, w) xác định từ (2.5a), ta có fc (x, w) = fc (x, w) với w ∈ Ω thoả mãn −µ(w) + λ0,2 (w)T fc (x, w) − λ1,1 (w) yjk ≥ −µ(w) + λ0,3 (w)T fc (x, w) − λ1,3 (w) yjk ≥ −1 ≥ µ(w) ≤ 1, với w ∈ Ω Bởi vậy, với w ∈ Ω, w = w, cố định (µ(w), λ0,1 , λ0,2 , λ0,3 , λ1,1 , λ1,2 , λ1,3 ) , toạ độ tương ứng w, tìm thấy toạ độ µ(w) thoả mãn    µj (w) ≥ λT0,2 Wj (w) − Ijk λ0,3 , ∀j    (2.10) µj (w) ≥ λT1,2 Wj (w) + Ijk λ1,3 , ∀j      −1 ≤ µ (w) ≤ 1, ∀j j Từ cho thấy điểm y k (w) bị cắt bỏ Đó điều phải chứng minh 2.2.2.2 Mệnh đề (Carφe Tind) Giả sử ma trận W (w) = W T (w) = T , với w ∈ Ω giả sử γ T x + µT (w)y(w) ≥ ν(w) nhát cắt đạt từ (2.9) Khi γ T x + µT (w)y(w) ≥ ν(w) có hiệu lực với SIP (w), w = w, w ∈ Ω, ν(w) = ν(w) + min{λT0,2 (r(w) − r(w)); λT1,2 (r(w) − r(w))}, (2.11) đồng thời λ0,2 λ1,2 phương án tối ưu từ (2.9) Nếu ν(w) − γ T xk − µT y k (w) > 0, γ T x + µT y(w) ≥ ν(w) nhát cắt loại bỏ điểm (xk , y k (w)) 30 Để chứng minh Mệnh đề 2.2.2.2, ta sử dụng Bổ đề sau đây, tác giả Carφe Tind công bố năm 1997 Xét toán min{αx(t) + βy j (t) − γ}    α − u1 A − u2 T j ≥ 0,        β − u0 ei − u2 W j ≥ 0,        α − v A − v T j ≥ 0,    với điều kiện β − v ei − v W j ≥ 0,       u1 b + u2 hj ≥ γ,        v + v b + v hj ≥ γ,       u1 , u2 , v , v ≥ 0; (α, β, γ ∈ S (∗) Ký hiệu δ := γ + min{u2 (hk − hj ); v (hk − hj )} Bổ đề Giả sử ma trận W (w) T (w) cố định αx + βy j ≥ γ nhát cắt toán (*) Ký hiệu phương án tối ưu (∗) (α, β, γ, u0 , u1 , u2 , v , v , v ) Vậy αx + βy k ≥ δ có hiệu lực S k , k = 1, , r Nếu δ − αx(t) − βy k (t) < bất đẳng thức αx + βy k ≥ δ cắt bỏ điểm (x(t), y(t)) Chứng minh Các hệ số α β thoả mãn    α − u1 A − u2 T j ≥ 0,        β − u0 ei − u2 W j ≥ 0, với điều kiện   α − v A − v T j ≥ 0,        β − v ei − v W j ≥ 31 Ngoài theo ký hiệu δ, có δ ≤ γ + u2 (k k − hj ) ≤ u1 b + u2 hj + u2 (hk − hj ) = u1 b + u2 hk δ ≤ γ + v (k k − hj ) ≤ v + v b + v hj + v (hk − hj ) = v + v b + v hk Điều cho thấy αx + βy k ≥ δ có hiệu lực S k Nếu δ − αx(t) − βy k (t) > siêu phẳng αx + βy k = δ tách điểm (x(t), y k (t)) khỏi tập phương án Bổ đề chứng minh Trở lại Mệnh đề 2.2.2.2, ta cần gán ký hiệu tương ứng, ta điều phải chứng minh Mệnh đề 2.2.2.3 sau Carφe Tind chứng minh năm 1997 2.2.2.3 Mệnh đề (Carφe Tind - 1997) Giả sử ma trận W (w) = W T (w) = T, ∀w ∈ Ω giả sử γ T (w)x + µT (w)y(w) ≥ ν(w) nhát cắt đạt từ (2.9) cho phương án tối ưu (µ, γ, ν, λ0,1 , λ0,2 , λ0,3 , λ1,1 , λ1,2 , λ1,3 ) Nếu w ∈ Ω, w = w toán γ(w),ν(w),λ0,1 ,λ1,1 với điều kiện {(xk )T γ(w) − ν(w)} 32    γi (w) − λT0,1 Ai ≥ λT0,2 Ti (w) − Iik λ0,3 , ∀i        γi (w) − λT1,1 Ai ≥ λT1,2 Ti (w) + Iik λ1,3 , ∀i        −ν(w) + λT0,1 b ≥ −λT0,2 r(w) + λ0,3 , y j(k)    T T −ν(w) + λ b ≥ −λ 1,1 1,2 r(w) − λ1,3 y j(k)       −1 ≤ γi (w) ≤ 1, ∀i        −1 ≤ ν(w) ≤       λ , λ ≥ 0, 0,1 1,1 (2.12) thoả mãn, γ T (w)x + µT y(w) ≥ ν(w) có hiệu lực với SIP (w) Nếu ν(w) − γ T (w)xk − µT y k (w) > γ T (w)x + µT y(w) ≥ ν(w) nhát cắt loại bỏ điểm (xk , y k (w)) 2.3 Xây dựng thuật toán Từ nhát cắt giải toán (LP ), nới lỏng toán cho thực tập bao lồi điểm nguyên, xác định lại liệu toán Giả sử thuật toán thực bước thứ k Vậy k = 1, bước khởi đầu, với liệu T (w) = T (w), W (w) = W (w), r1 (w) = r(w), với w ∈ Ω Tại k ≥ 2, vectơ γ k (w) xác định từ T k−1 (w), cịn µk (w) xác định từ W k−1 (w) ν k (w) xác định từ rk−1 (w) Phương pháp L-định dạng (shaper), Slyke Wets đề xuất năm 1969, nhằm giải toán nới lỏng (LP ) sau đây, bước k, toán có dạng: min{cT x + η}    Ax ≥ b    với điều kiện βtT x + η ≥ αt , t ∈ Θk      x ≥ 0, (2.13) 33 điều kiện thứ hai toán nhát cắt tối ưu ứng với Θk - tập số bước thứ k thuật toán Chú ý nhát cắt hợp cách thoả mãn giả thiết (A3) Bài tốn ứng với w ∈ Ω có dạng fck (x, w) = q(w)T y với điều kiện W k (w)y ≥ rk (w) − T k (w)x (2.14) y ≥ 2.3.1 Thuật toán phân hoạch "nâng chiếu" (LP D) giải toán (2SSM IP ) Trong mục này, trình bày thuật toán (LP D) dùng cho giải toán (2SSM IP ) sau: Thuật toán (LP D) Bước Xuất phát Đặt k = 1, U1 := ∞, L1 := −∞, ε > 0, T (w) := T (w), W (w) := W (w) r1 (w) := r(w), với w ∈ Ω, x0 ∈ M cho Bước Kết thúc (a) Nếu Uk − Lk > ε chuyển sang bước (b) Nếu Uk − Lk ≤ ε tìm thấy phương án kỷ lục dừng lại Trả lời phương án kỷ lục tối ưu (c) Nếu khơng tìm thấy phương án kỷ lục xk không thay đổi, áp đặt điều kiện nguyên cho toán (2.13)-(2.14) giải tốn tìm phương án kỷ lục cập nhật liệu Uk Tính ε = Uk − Lk , dừng lại trả lời phương án kỷ lục ε -tối ưu 34 Bước Giải toán nới lỏng (LP ) Giải toán(2.13)-(2.14) việc sử dụng phương pháp L-định dạng Giả sử (xk , {y k (w)}w∈Ω ) phương án tối ưu (LP ) Nếu (xk , {y k (w)}w∈Ω ) thoả mãn điều kiện nguyên, gán min{cT x + E[f (xk , w)], Uk } := Uk+1 , {cT x + E[f (xk , w)] < Uk , lưu giữ nghiệm làm kỷ lục Gán k + := k, trở lại bước Ngược lại, gán max{cT x + E[f (xk , w)], Lk } := Lk+1 Bước Giải cắt toán phát sinh (LP s) thực cập nhật Lấy i ∈ I cho < xi < j ∈ J cho < yi (w) < 1, chọn biến rời rạc giải toán (2.9) tìm (γ k (w), µk (w), ν k (w)) Gán T k+1 (w) := [(T k (w))T ; γ k (w)]T ; W k+1 (w) = [(W k (w))T ; µk (w)]T ; rk+1 (w) := [rk (w); ν k (w)] Lặp lại điều cho tất w ∈ Ω Gán k + := k, trở lại bước 2.3.2 Các trường hợp đặc biệt Thuật toán nêu điều chỉnh phù hợp tốn có tính chất rộng giả thiết nêu Mệnh đề 2.2.2.1, 2.2.2.2, 2.2.2.3 Để thức điều này, người ta điều chỉnh nhát cắt phát sinh bước thuật toán Sau thuật tốn có cải tiến phần tương ứng với trường hợp đặc biệt 2.3.2.1 Thuật toán (LP D − 1) Xét W (w) ngẫu nhiên, T, r cố định 35 Bước Giải cắt toán phát sinh (LP s) thực cập nhật (a) Chọn w ∈ Ω biến , với < xk < < y k (w) < Định dạng giải toán (2.9) (γ k (w), µk (w), ν k (w)) Gán T k+1 := [(T k )T ; γ k ]T ; W k+1 (w) := [(W k (w))T ; µk (w)]T rk+1 := [rk , ν k ] (b) Với w ∈ Ω, w = w cho < xk < < y k (w) < 1, sử dụng nghiệm nhận từ bước 3(a) thiết lập giải (2.10) µk (w) Nếu toán thoả mãn, gán W k+1 (w) := [W k (w); µk (w)]T Gán k + := k, trở lại bước 2.3.2.2 Thuật toán (LP D − 2) Xét W, T cố định, r(w) ngẫu nhiên Bước Giải cắt toán phát sinh (LP s) thực cập nhật (a) Chọn w ∈ Ω biến , với < xk < < y k (w) < Định dạng giải toán (2.9) (γ k , µk , ν k (w)) Gán T k+1 := [(T k )T ; γ k ]T ; W k+1 (w) := [(W k (w))T ; µk (w)]T rk+1 := [rk , ν k ] (b) Với w ∈ Ω, w = w cho < xk < < y k (w) < 1, sử dụng nghiệm nhận từ bước 3(a), tính ν k (w) thiết lập giải (2.12) gán rk+1 (w) := [(rk (w); ν k (w)] Gán k + := k, trở lại bước 36 2.3.2.3 Thuật toán (LP D − 3) Xét W cố định, T (w), r(w) ngẫu nhiên Bước Giải cắt toán phát sinh (LP s) thực cập nhật (a) Chọn w ∈ Ω biến , với < xki < 1, i ∈ I < yjk (w) < 1, j ∈ J Định dạng giải tốn (2.9) (γ k (w), µk , ν k (w)) Gán T k+1 (w) := [(T k (w))T ; γ k (w)]T ; W k+1 := [(W k )T ; µk ]T rk+1 (w) := [rk (w), ν k (w)] (b) Với w ∈ Ω, w = w cho < xk < < y k (w) < 1, sử dụng nghiệm nhận từ bước 3(a) thiết lập giải (2.10) (µk (w), ν k (w)) Gán T k+1 (w) := [(T k (w); γ k (w)]T ; rk+1 (w) := [rk (w), ν k (w)] Gán k + := k, trở lại bước 37 Kết luận Luận văn giải số vấn đề sau: Trình bày đầy đủ, khái niệm kiến thức sở Lý thuyết xác suất, tốn quy hoạch tuyến tính ngun số phương pháp tiếp cận giải, toán quy hoạch tuyến tính nguyên ngẫu nhiên hai giai đoạn có liên quan luận văn Tìm mơ hình thực tế, thiết lập mơ hình tốn học, từ khái qt hố dẫn tới tốn tổng qt cần nghiên cứu Trình bày kỹ thuật cắt "nâng chiếu", phát biểu chứng minh Mệnh đề quan trọng làm sở cho việc xây dựng thuật tốn giải tốn đặt Trình bày hồn chỉnh thuật tốn giải tốn cho trường hợp đặc biệt thuật toán Do thời gian trình độ có hạn nên số vấn đề cần tiếp tục nghiên cứu bao gồm: - Tìm ví dụ số để minh hoạ cho tính hiệu thuật tốn - Khai thác đặc điểm riêng toán nhằm chuyển toán trường hợp đơn giản, dễ sử dụng 38 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Văn Quảng, (2007), Giáo trình xác suất, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Trần Xuân Sinh, (2004), Các phương pháp ngẫu nhiên giải toán quy hoạch, Bài giảng dùng cho học viên Sau Đại học, chuyên ngành XSTK Toán học, Đại học Vinh [3] Nguyễn Duy Tiến - Vũ Viết Yên, (2001), Lý thuyết xác suất, NXB Giáo dục, Hà Nội [4] L Ntaimo and S Sen, (2006), A Branch-and-Cut Algorithm for TwoStage Stochastic Mixed-Binary Programs with Continuous First-Stage Variables, Department of Industrial and Systems Engineering, Taxas A&M University, 3131 TAMU, College Station, TX 77843, USA [5] S Sen and J L Higle (2005), The C3 theorem and a D2 Algorithm for Large Scale Stochastic Mixed-Integer Programs with Continuous FirstStage Variables, J Math Programming, N0106(2), - 20 [6] L Ntaimo and M W Tanner, (2006), Computations with Disjunctive Cuts for Two-Stage Stochastic Mixed − Integer Program Department of Industrial and Systems Engineering, Texas A-M University, 3131 TAMU, College Station, TX 77843, USA, ntaimo@tamu.edu and mtanner@tamu.edu ... tính chất riêng biệt nêu thuật toán giải 2.1 Bài toán lập kế hoạch sản xuất với chuỗi cung ứng ngẫu nhiên 2.1.1 Bài tốn Một xí nghiệp cần lập kế hoạch mở rộng sản xuất m sở, cho n máy loại hoạt... Chương Thuật toán cắt giải toán quy hoạch biến nhị nguyên hỗn hợp, ngẫu nhiên hai giai đoạn Trong chương chúng tơi trình bày mơ hình tốn lập kế hoạch sản xuất với chuỗi cung ứng ngẫu nhiên Trên... có nhiều ứng dụng thực tiễn Tương ứng toán quy hoạch nguyên, với liệu phụ thuộc yếu tố ngẫu nhiên ta có tốn quy hoạch nguyên ngẫu nhiên Việc nghiên cứu lớp toán quy hoạch nguyên ngẫu nhiên nhằm