trang
Mở đầu 222000002222 nh na 5
Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 7
1.1 Một số vấn đề cơ bản về lý thuyết xác suất 7
1.1.1 Khái niệm .- 2222222222121 yy 7 1.1.2 Tính chất - 222202222222 2n 1n nh nh nh kh hày 9
1.2 Bài toán quy hoạch tuyến tính nguyên hỗn hợp 11
1.2.1 Bài tOấn HH HH kh kh xa 11 1.2.2 Tính chất của bài toán cà 12
1.3 Một số hướng tiếp giải bài toán quy hoạch nguyên hén hgp 13
1.3.1 Phương pháp cắt hợp cách 13
1.3.2 Phương pháp nhánh và cận 14 1.4 Bài toán quy hoạch tuyến tính nguyên ngẫu nhiên hai giai đoạn 17 1.4.1 Bài toán quy hoạch nguyên ngẫu nhiên 18 1.4.2 Bài toán quy hoạch nguyên ngẫu nhiên hai giai đoạn 19 Chương 2 Thuật toán cắt giải bài toán quy hoạch
biến nhị nguyên hỗn hợp, ngẫu nhiên hai giai đoạn 21 2.1 Bài toán lập kế hoạch sản xuất với chuỗi cung ứng ngẫu nhiên 21
2.1.1 Đài tOán HH HH nh nh kh vo 21
2.1.2 Mơ hình sản xuất với chuỗi cung ứng ngẫu nhiên_ 2 2.1.3 Mơ hình tốn học tổng quát 23
Trang 22.2.2 Tinh chat " aa ( 28
2.3 Xây dựng thuật toán 32
2.3.1 Thuật toán cơ bản phân hoạch "nâng và chiếu" (UP)
giải bài toán (2SSMIP) O3
2.3.2 Các trường hợp đặc biệt c 34
Trang 3Trong lớp các bài toán quy hoạch, bài toán quy hoạch nguyên có nhiều
ứng dụng trong thực tiễn Tương ứng bài toán quy hoạch nguyên, với dữ
liệu phụ thuộc yếu tố ngẫu nhiên ta có bà? tốn quy hoạch nguyên ngẫu nhiên Việc nghiên cứu lớp bài toán quy hoạch nguyên ngẫu nhiên nhằm
phát hiện những tính chất của nó và tìm ra thuật toán giải đang là vấn đề
thời sự, có ý nghĩa khoa học và ý nghĩa thực tiễn rộng lớn
Trên cơ sở bài toán thực tế đặt ra, người ta xây dựng mơ hình là những
bài toán quy hoạch ngẫu nhiên Do sự tham gia của yếu tố ngẫu nhiên ở mỗi
bài toán có những đặc thù riêng, nên ta được lớp các bài toán quy hoạch ngẫu nhiên khác nhau Gan đây, các tác giả L Ntaimo and M W Tanner trong bài báo (2006), Computations with Disjunctive Cuts for Two-Stage Stochastic Mixed 0-1 Integer Programs, Department of Industrial, Texas
University USA, công bố năm 2006, đã thu được nhiều kết quả thú vị Với
sự quan tâm, chú ý tới những khía cạnh phù hợp của nó, cùng thời gian
và mức độ cho phép, chúng tôi cố gắng xem xét nội dung có liên quan đến
cơng trình nêu trên |6| cố gắng xem xét thông qua một bài tốn thực tế
Đó là lý do chúng tôi chọn đề tài "Bà¿ toứn lập kế hoạch sửn xuất
tới chuỗi cưng ứng ngẫu nhiên",
Nội dung của luận văn bao gồm hai chương:
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Trong chương này chúng tơi trình
bày các nội dung cơ bản của: Lý thuyết xác suất, Lý thuyết quy hoạch
Trang 4Chương 2: Thuật toán cắt giải bài toán quy hoạch biến nhị
nguyên hỗn hợp, ngẫu nhiên hai giai đoạn Chương này là nội dung chính của luận văn Trong chương này, trước hết chúng tơi nêu mơ hình
thực tế dẫn đến bài toán tổng quát chúng ta cần nghiên cứu (mà trong các
tài liệu chúng tơi có được chưa thấy nói tới) Tiếp đó, chúng tơi trình bày
các tính chất của bài toán được đặt ra Cuối cùng là đưa ra thuật toán và
đánh giá độ phức tạp tính tốn của nó
Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học Vinh, dưới
sự hướng dẫn khoa học của PGS TS Trần Xuân Sinh Tác giả xin bày tổ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy về sự hướng dẫn tận tâm của thầy đối với tác
giả trong suốt thời gian học tập và nghiên cứu
Nhân dịp này, tác giả xin gửi lời cam ơn tới PGS TS Nguyễn Văn Quảng, PGS TS Phan Đức Thành, TS Nguyễn Trung Hoà, các thầy cô
giáo trong lội đồng chấm luận văn, khoa Toán, khoa Sau Dại học, trường Dai học Vinh Cũng nhân dịp này, cho phép tơi nói lời cảm ơn tới gia đình và bạn bè, đã quan tâm, góp ý giúp đỡ và tạo điều kiện tác giả thực hiện luận văn này
Mặc dù đã cố gắng song luận văn không thể tránh khỏi những sai sót
Tác giả mong nhận được những đóng góp của quý thầy cô giáo và các bạn
để luận văn được hoàn thiện hơn
Tác giả xin chân thành cảm ơn!
Vinh, thang 12 ndm 2011
Trang 5KIẾN THỨC CHUẨN BI
1.1 Một số khái niệm cơ bản của xác suất
1.1.1 Khái niệm
1.1.1.1 ơ - đại số
Giả sử © là một tập tuỳ ý khác rỗng Ký hiệu 7) là tập hợp gồm tất cả các tập con cua 2
e Lép AC P(Q) được gọi là một đạ¿ số nếu:
Al)0€4AA,
A2) AEA, > A=O\AEA,
A3) A,BeE A, > AUBEA, (hoi ANBe A)
e Lớp ZC 79) được gọi là ơ- đạ¿ số nếu nó là đại số và ngoài ra
A4) Néu A, € F, Yn = 1,2, thi
hoac
1.1.1.2 Khong gian do Cap (Q,F) dude gọi là một không gian đo, trong đó © ⁄ Í bất kỳ, Z là một ơ- đại số các tập con của ©
Tồn bộ © được gọi là biến cố chắc chắn Tập Íl gọi là biến cố không AcZ, A gọi là biến có đối của biến có A Nếu Af\ = Ú thì ta nói A và
Trang 61.1.1.3 Độ đo xác suất Hàm tập P xác định trên ơ-đại số 4 được
gọi là độ đo xác suất nếu PI)P(4)>0.4€ 4A, P2) P(Q) = 1,
P3) Nếu 1; € 4,¡ = 1,9, 4;f.4; = Ú,¡ Z 7 thì z(Ù5) -Ÿ mào
1.1.1.4 Biến ngẫu nhiên
Giả sử (O,.Z) là không gian đo, R = [—œ; +œ|]
Hàm thực X = X(¿') xác định trên © lấy giá trị trên lR gọi là bừm Z-đdo
được hoặc biến ngẫu nhiên suy rộng nêu
fw: X(w) € Bk = X"'(B)c 7,
vdi méi B € B(R) (trong d6 B(R) 1a o- dai sé cdc tap Borel cia truc thuc
)
Néu
al
X :Q — R= (—00; +00) thì X được gọi là biến ngẫu nhiên
1.1.1.5 Hàm Borel
Ham ¢ : (R”,B(R”)) ¬ (R,B(B)) được gọi là hàm Borel, néu nó là
B(R") - đo được, nghĩa là ø~!(Đ) € B(R"), với mỗi B € B(R)
1.1.1.6 Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên
Giả sử X là biến ngẫu nhiên xác định trên (O Z,P) nhận giá trị trên IR
Hàm số x(+) = P[X < a], (+ € R) được gọi là hàm phân phối của biến
Trang 71.1.1.7 Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên
e Nếu X là biến ngẫu nhiên đơn giản xác định trên (O, Z,P), có nghĩa
là a
X= SC xls,
k=l
với ay € R, Ay € F,(k = 1,2, n) va Ap A, = ñ(Š A 1) thi ky vong ctia
X, ký hiệu là EX được định nghĩa như sau
n
EX := S~ wpP(As) k=1
e Nếu biến ngẫu nhiên X là giới hạn của dãy tăng các biến ngẫu nhiên đơn giản, không âm {X„} :0 < X; † X thì
EX :=lim EX)
n
e Giả sử X là biến ngẫu nhiên bất kỳ, khi đó X có thể biểu diễn dưới
dạng X = XI — X~, với X' X~ là các biến ngẫu nhiên đơn giản, không
âm
(X' =max{X,0}, X~ = max{—X,0}) Nếu min(X”,X~) < œ thì
EX := EX*—EX~
Trong trường hợp #X”~ và #X~ đều hữu hạn thì X được gọi là khả tích 1.1.2 Tính chất của biến ngẫu nhiên
1.1.2.1 Định lý Gz¿ sử X : Q — lR Kh¿ đó các mệnh đề sœu là tương
đương:
a) X là biến ngẫu nhiên
Trang 8é) {w: X(w) <a} © F vdi moi x ER
d) {w:a< X(w) <b} © F uới a < b bat ky
1.1.2.2 Định lý Giả sử XỊ , X„ là các biến ngẫu nhiên cùng xác
dinh trén (Q,F) va @(H ,tạ) là ham Borel gia tri thuc Khi dé Y =
#(XI Xạy cũng là biến ngẫu nhiên
1.1.2.3 Hệ quả G7đ sứ X,Y là các biến ngẫu nhiên Khi đó X+Y,XY.XVY, XAY,
X* =X v0, X- =(-X) v0, |X| = X> 4.7
cũng là các biến ngẫu nhiên Đặc biệt, nếu Y không triét tiéu thi X/Y là biến ngẫu nhiên
1.1.2.4 Định lý Giả sử {X„.n > 1} là dãy biến ngẫu nhiên tà sup Xp, inf X;
n n
hitu han trén Q Khi d6
sup Xp, inf X,, limsup Xp, liminf X,
n n n n
là các biến ngẫu nhiên Dặc biệt nếu ln X„ = X hữu han thà X cũng là
biến ngẫu nhiên
1.1.2.5 Bất đẳng thức Cauchy - Bunhiakowski Cho p > 0, ký
hiệu £? = £?(O.Z,P) là tập hợp các biến ngẫu nhiên X (xác định trên
(9,Z,P)) sao cho E|X|? < oo Khi X € £?,p > 1, ta ký hiệu
lIXlI, = (ZIXIP)'” Nó được gọi là chuẩn bậc p của X
Bất đẳng thức sau đây được gọi là bất đẳng thúc Cauchụ - Bunhiakotski
Trang 91.1.2.6 Bất dang thite Markov Gia sit X: (Q,F,P) — (R,B(R))
là biến ngẫu nhién va X(w) > 0.Vw € O Khi dé néu ton tai EX thi vdi
Ve > 0 ta co:
1.2 Bài toán quy hoạch tuyến tính nguyên hỗn hợp 1.2.1 Bài toán quy hoạch rời rạc
Bài toán quy hoạch tuyến tính rời rạc có dạng
n min(max){ f(z) = » đj#j} j=l n de aij; (S,2,=) b;,6=1,2, ,0 jal
với điều kiện z;¡>0,7=1,9, ,0
#j € 1đ dị, vo}, € {1,2, ,n} trong do d! € R, k phu thuoc Uj
Bài toán quy hoạch tuyến tính ngun tổng qt có dạng
min(max){ f(z) = > cjx;} (1.1)
với điều kiện
x; €Z,j € {1,2, ,n}
Trang 10Dé don giản, chúng ta xét bài toán quy hoạch ngun tồn phần, có dạng min { ƒ(z) = » €2} (1.2) j=l n » q77 b; = 1,2 n j=l
với điều kiện „ >Ú, 7 =1,2 0
uj) €2 7= 1,2, n
Ham ƒ(z) trong bài toán đã nêu được gọi là hàmn mục tiêu Các điều kiện của bài toán gọi là điều kiện buộc Điểm + — (z;) thoả mãn điều kiện
buộc gọi là phương án Phương ấn z làm cực tiểu hàm mục tiêu được gọi
là phương án lối tu hoặc là nghiệm của bài tốn
1.2.2 Tính chất của bài toán
1.2.2.1 Mệnh đề Mợi bài toán quy hoạch rời rạc đều có thể chuyển
bài tốn quụ hoạch nguụên biến nhị nguyên
Chứng rrưởnh Ta chỉ việc thay biến z; > 0 theo công thức
kj kj
w= S bụi, So xi = l,ứ € 10 1}
i=l i=l
Khi d6 chi con bién x; ¡ nguyên, nhận một trong hai giá trị 0 hoặc 1 Từ đó
ta có bài toán với biến nguyên z¡; € {0, 1} Biến nguyên, nhận một trong
hai giá trị 0 hoặc 1 đã nêu còn gọi là biến nh¿ nguyên (Binary)
Dó là điều phải chứng minh oO
1.2.2.2 Ménh dé Bai todn quy hoach nguyên nếu có phương án tối uu thi ton tai phuong én cực biên của bao lồi các tập nguyên tối tưu
Chứng minh Ta thấy rằng bao lồi của các điểm nguyên là một tập lồi
Trang 11khi giải bài toán quy hoạch tuyến tính với tập phương án là bao lồi của các điểm nguyên thì phương án tối ưu (nếu có) phải đạt trên điểm cực biên
Đó là điều phải chứng minh oO
1.3 Một số hướng tiếp giải bài toán quy hoạch nguyên hỗn hợp Để giải bài toán quy hoạch tuyến tính ngun có nhiều phương pháp Sau đây ta sẽ trình bày sơ lược một số phương pháp điển hình
1.3.1 Phương pháp cắt hợp cách
Như đã nêu, để đơn giản, ta giả sử xét bài toán quy hoạch nguyên
toàn phần (1.2) (trong trường hợp nguyên bộ phận có thể sử dụng phương pháp phân rã Bender) Nội dung của phương pháp là: Bỏ qua điều kiện
nguyên, giải bài tốn quy hoạch tuyến tính bằng phương pháp đơn hình
được phương án tối ưu z(9,
Nếu z¿„„ nguyên (7 = 1, ,w) thì z(” là phương án tối ưu cần tìm Nếu ngược lại, bổ sung vào bài toán quy hoạch tuyến tính điều kiện
n
L(x) = So dix; <a (1.3)
j=l L(x) phai thoa man hai tinh chat:
+ x) không thoả mãn (1.3)
+ Mọi phương án nguyên đều thoả mãn (1.3)
Diều kiện (1.3) như vậy được gọi là nhát cắt hợp cách Người ta cũng đã đưa ra nhiều nhát cắt hợp cách giải bài toán quy hoạch nguyên có hiệu
quả Sau đây ta trình bày nhát cắt Gomory
Giả sử z0) = (z),z, e) 0, 0) là phương án tối ưu của bài tốn
quy hoạch tuyến tính tương ứng, tồn tại +? chưa nguyên Ký hiệu [z‡] và
Trang 12là hợp cách
n
L{x) ={xt}— So {axj}a; <0, (1.4)
j=1j⁄
trong đó z;; là toạ độ thứ ¡ của vectơ 4; trong cơ sở của „0 (các phần tử của vectơ 4; trong bảng đơn hình của z9) Có thể kiểm tra trực tiếp
những điều kiện của nhát cắt hợp cách (1.3) Nhát cắt (1.4) được gọi là nhát cắt Gomory thứ nhất
Gomory còn nêu ra 2 nhát cắt: Nhát cắt thứ hai dùng cho bài toán quy
hoạch nguyên hỗn hợp và nhát cắt thứ ba dùng cho bài tốn có dạng đặc
biệt (phần tử đầu tiên khác không ở mỗi cột là số dương)
Các tác giả Nguyễn Ngọc Chu và Trần Xuân Sinh đã đưa ra nhát cắt
toạ độ, cũng là một nhát cắt hợp cách
1.3.2 Phương pháp nhánh và cận (Branch-and-Bound)
Ý tưởng chính của phương pháp là thực hiện phân nhánh để chia tập
phương án M cia bai toán quy hoạch tuyến tính tương ứng thành những phần nhỏ dần Trên mỗi phần nhỏ của tập A7 xác định cận của hàm mục
tiêu Từ đó loại bỏ dần những phần khơng có khả năng chứa nghiệm Như
vậy, công việc chính của phương pháp là tìm cách phân nhánh, tính cận và lựa chọn loại bỏ sao cho sau hữu hạn bước lặp có được câu trả lời của
bài toán Phương pháp nhánh và cận tỏ ra có hiệu quả đối với các bài toán
quy hoạch nguyên cỡ lớn Mở đầu là các công trình của A.H Land và A.G
Doig (1960), sau đó là các cơng trình của R.J Dakin (1965) Nhiệm vụ của phương pháp nhánh và cận là thực hiện "phân nhánh", "tính cận" và "loại bỏ" sao cho quá trình hội tụ về nghiệm cần tìm Chú ý rằng phương
Trang 13quat khac
1.3.2.1 Phân nhánh
Việc phân nhánh được thực hiện bằng cách chia tập ñf thành các tập con M, Mp, ., M; sao cho
k
M= Ma MP) MG WI 4G
i=l
1.3.2.2 Tinh can
Ham số /(44) gọi là cận dưới của hàm ƒ(+) trên A nếu /(44) thoả mãn hai điều kiện:
+ (4) < min f(a), Va € A
+ (4i) > (4;), nếu Ái C 4; C AI
Từ đó ta có (M;) > u(M), Vi — 1 , k Đồng thời
f(a") = min{ƒf(z) : z € ă} > min (M;) = u(M;)
Do đó nếu f(x*) = (M,) thì z* là phương án tối tu cần tìm
1.3.2.3 Lựa chọn và loại bỏ
+ Lựa chọn: Giả sử cho Äf = LJ} „AM; và AI,n.M; =Ú,¿ # 7
khi đó /(Ä;) = min w(M;),i = 1, ., k, tte la
p( Ms) < (Mj), Vi = 1 , k,
p(M,) < min{ f(x): a2 € M}
Ta hy vọng A/, chứa phương án tối ưu, có thể chọn M, dé phan nhanh + Loại bỏ: Việc loại bỏ nhằm thu gọn bài toán, giảm bớt bộ nhớ Tiêu
chuẩn để loại bỏ là: Giả sử ở bước k, biết được phương án # mà ƒ(®) < f(z), với mọi phương án a đã biết, lúc này ta nói # là phương án kỷ lục, ƒ(3) là
Trang 14Néu c6 Mj ma p(M;) > f(Z) thi M; bi loai bd (Chi ¥ rang néu M; = 0
thi M; cing bi loai bd)
Từ đó ta có thuật toán sau đây, gọi là /huật toán Lamd- Long
Xét bài toán
min{efz : 4ø — b,ø > 0, nguyên, j = 1, r,? < n} (1.5) Ký hiệu tập phương án của bài toán (1.5) là D Với giả thiết 2 hữu hạn
Xét bài toán
min{cTz: Av = b,x > 0} (1.6) Goi M 1a tap phương án của bài toán quy hoạch tuyến tính (1.6) (bổ qua điều kiện nguyên)
Thuật toán Land-Doig
Bước chuẩn bị: Đặt (¡) là bài toán (1.6) với AM⁄; = M Ký hiệu ? =P,} là họ các bài toán đang xét
Giải bài toán quy hoạch tuyến tính ()), ta được phương án tối ưu z*
Nếu z* thoả mãn điều kiện nguyên thì +” là phương án tối ưu cần tìm
Ngược lại, đặt cận dưới của bài tốn (Hạ) có thêm điều kiện nguyên là giá trị ƒ* = ƒ(œ*) và? = {hạ} Lúc này nếu có được phương án # € D thi dat f* = f(x), trai lai thi dat f* = +oo
Buéc k (k = 1,2, )
a) Néu P = 0, thi thuat toán kết thúc Khi đó nếu f* < oo thi 7 1a phương án tối ưu cần tìm Ngược lại, bài tốn khơng có phương An tối ưu
b) Nếu 7 zZ Ú, chọn (P;) là bài tốn có cận dưới nhỏ nhất trong P Gọi A¿ là tập phương án và +) là phương án tối ưu của bài toán quy hoạch
Trang 15b.1 Gia sit «* chua nguyén Chia M;, thanh hai tap Mj va M? vdi Mj = {x © My x; < {x},
M? = {a € My x; > [2È] + 1}
Rõ ràng Af, = Mi U MZ (theo nghia khong cét mat phugng 4n nguyén)
va Min M2 =0
b.2 Giải các bài toán quy hoạch tuyến tính tương ứng:
(PjJ) minfcla : x € Mi} (Pệ) minfcle: x € M2}
Co thé xy ra:
a) Phát hiện ra Ä/j = 0,i = 1,2 Loai b6 Mj tuong tng
b) Tìm được phương án tối ưu z) thoả mãn điều kiện nguyên Nếu z là phương án kỷ lục thì loại bỏ những Mi tương ứng có /(Ä 1j) > f(a)
Coi x) la phuong an ky luc mdi Két thie bai toan (Pi)
c) Tim được phương án tối wu 2, (i = 1,2), nhưng chưa thoả mãn điều kiện nguyên Lấy /(zf)) làm cận dưới của hàm mục tiêu bài tốn (7) có
thêm điều kiện nguyên ă, ; tham gia vào bài toán để tiếp tục phân nhánh Gán
?:=PU{T}
b.3 Loại bỏ khỏi 7 tất cả các bài tốn có cận dưới lớn hơn hoặc bằng giá trị kỷ lục
Dat P := P\ {Pi}., trổ lại bước k:— k + 1
Do D hitu han nên thuật toán Land - Doig cũng hữu hạn
Trang 161.4.1 Bài toán
Đài toán quy hoạch tuyến tính nguyên tổng quát có thể đưa về dạng
min{ ƒ(z) — cfz} (LIP)
` A+z=b
với điều kiện
zœ>U,z„€Z"
trong d6 x = (a 2 %) 1a ma tran cAp n x 1, ¢ = (c) œ¿ œ;) là ma tran cap n x 1, b = (b; by bm) 1A ma tran cp m x 1, A = (aj;) là ma
tran cấp 1X
Chú ý rằng bài tốn (ULIP) đang nói tới là bài toán quy hoạch nguyên toàn phần Nếu các toạ độ của vcctơ z khơng địi hỏi tất cả đều nguyên thì
ta co bai todn quy hoach tuyến tính nguyên hỗn hợp Trong mục này, để dễ diễn đạt, chúng tơi chỉ nói tới bài toán quy hoạch ngun tồn phần
Bài tốn quy hoạch tuyén tinh nguyén (LIP) c6 cdc phan tit cia ma
trận A,b,c xAc định ngẫu nhiên thì được gọi là bài toán quy hoạch tuyến tính nguyên ngẫu nhiên
Để nghiên cứu bài toán quy hoạch tuyến tính nguyên ngẫu nhiên, tuỳ
theo yêu cầu thực tế của bài toán mà có nhiều cách tiếp cận khác nhau
Thông thường, người ta xét tới các lớp bài toán:
1.4.1.1 Quy hoạch tuyến tính nguyên ngẫu nhiên một giai đoạn ĐÓ
là lớp bài toán được giải với thông tin về dữ liệu ban đầu xác định nào đó Trên cơ sở phương án tối ưu đã giải, khi chịu ảnh hưởng của đại lượng ngẫu nhiên, người ta sử dụng các phương pháp trực tiếp (chẳng hạn phương pháp quy hoạch tham số phương pháp tái tối tu ) điều chỉnh phương án tối ưu để cho phù hợp với thực tế
Trang 17lớp bài toán được giải ở giai đoạn một, với thông tin về đữ liệu ban đầu xác định nào đó
Trên cơ sở phương ấn tối ưu đã giải, khi chịu ảnh hưởng của đại lượng
ngẫu nhiên, người ta điều chỉnh lại phương án tối ưu để cho phù hợp với
thực tế thông qua g4 đoạn ha¿, bằng việc tìm lượng "phạt" bé nhất có
thể, do độ lệch tạo nên từ giai đoạn một Giai đoạn hai cần đến việc xử lý
dữ liệu thông qua khái niệm kỳ vọng tốn
1.4.1.3 Quy hoạch tuyến tính nguyên ngẫu nhiên nhiều giai đoạn Đó
là lớp bài toán được giải ở giœ¿ đoạn mnột với thông tin về dữ liệu ban đầu xác định nào đó Sau đó được điều chỉnh phương án tối ưu theo nhiều giai
đoạn tiếp theo, tuỳ thuộc vào ảnh hưởng của đại lượng ngẫu nhiên 1.4.2 Bài toán quy hoạch tuyến tính nguyên ngẫu nhiên hai giai đoạn
Bài tốn quy hoạch tuyến tính nguyên ngẫu nhiên hai giai đoạn có dang
min{c” + + #@(z, 2)|} (14)
Ax <b
với điều kiện —
œ>0,„c trong đó
Q(a, 2) = min q7
` A(2)+ + Dụ = Ù(Z)
với điêu kiện (
v,y>0,c EZ"
Hàm Q(+, Z) được gọi là bờừm hiệu chỉnh, với z € IR" là vectơ ngẫu nhiên, ƒ(Q(+z,Z)) biểu diễn kỳ vọng của biến ngẫu nhiên Q(z+,Z); vectd z và g
Trang 18trận cấp m x m (thong thudng c6 thé lay ma trận đơn vị): = (0i - Ym);
Dy thé hién do léch giita Ax véi b va q = (a1, , dm) thudng goi 1a vecto phạt bởi tác động của đại lượng ngẫu nhiên 2
Giai đoạn thứ nhất biến z là nghiệm thu được trên cơ sở thơng tỉn có
được từ thực nghiệm
Giai đoạn thứ hai biến ¿ là nghiệm thu được khi hiệu chỉnh z của giai đoạn 1 với những thông tin đúng đắn, tức là nhận giá trị thực
Do đó bài tốn giai đoạn hai tương đương với min {cla + Eq’ y(2)|}
Av <b
T(Z)+ + Dy(2Z) = h(2) với điều kiện 4 „ > 0,„;€ Z"
Trang 19THUẬT TOÁN CẮT GIẢI BÀI TOÁN QUY HOACH BIEN NHI NGUYEN HON HỢP,
NGAU NHIEN HAI GIAI DOAN
Trong chương này chúng tơi trình bày mơ hình bài toán lập kế hoạch sản xuất với chuỗi cung ứng ngẫu nhiên Trên cơ sở đó, mơ hình hố toán học tổng quát cho lớp bài toán cần nghiên cứu Từ đó xem xét bài tốn,
tìm các tính chất riêng biệt của nó và nêu ra thuật toán giải
2.1 Bài toán lập kế hoạch sản xuất với chuỗi cung ứng ngẫu nhiên
2.1.1 Bài tốn
Một xí nghiệp cần lập kế hoạch mở rộng sản xuất tại w cơ sở, cho n mấy cùng loại hoạt động Kinh phí ban đầu cho việc mở rộng cơ sở thứ ¡j1 = 1, ,m có được là ạ; Chi phí cho việc mở rộng công suất máy thứ 7,7 = 1, n, là c¡ Chỉ phí để mở rộng cơ sở thứ ¡ dat may thit 7 1a aj Hỏi nên lập kế hoạch mở rộng sản xuất như thế nào để tốn ít chỉ phí nhất,
đồng thời phù hợp với khả năng kinh phí mở rộng cho phép ban đầu Goi w = (a;) là sự quyết định lựa chọn phương án mở rộng sản xuất cho + máy Lúc này có sự lựa chọn z; = 1 nếu tại vị trí thứ 7 có được lắp máy
và z; — 0 nếu ngược lại Ký hiệu ¢ = (c;) 1A ma tran chi phi cp n x 1,
(xj) lA ma tran n x 1, g = (4ø) là ma trận chỉ phí ban đầu cấp 1= x 1,
4 —
Trang 20Thi đó ta có mơ hình tốn hoc tất định là min{ƒ = cTz}
với điều kiện
An <q
ax € {0;1}"
2.1.2 Mơ hình sản xuất với chuỗi cung ứng ngẫu nhiên
Trên thực tế mơ hình 2.1.1 khơng bao giờ thực hiện được, bởi lẽ q
trình sản xuất ln phụ thuộc vào cung ứng từ các khách hàng tiêu thụ có
tính ngẫu nhiên Để giải quyết bài toán thực tế đặt ra như vậy, chúng ta
cần tìm hiểu dữ liệu thực tế ảnh hưởng đến bài toán ở giai đoạn thứ hai điều chỉnh phương án tối ưu
Dữ liệu đó bao gồm:
c; là chỉ phí hoạt động của máy tại vị trí 7 e + là công suất của máy
e o là một cận trên của số máy được định vị
e h„ là số lượng máy tối thiểu được định vị trong khu vực z € Z
e J; là tập con của các địa điểm J có máy định vị tại khu vực z e qj 1& doanh thu từ khách hàng ¿ được phục vụ bởi máy định vị ở 7 e d;; là nhu cầu số sản phẩm của khách hàng thứ ¡ từ máy định vị ở j e h/(2›) là hàm giá trị nhận 1 nếu khách hàng thứ ¿ có tham gia vào hoạt động của Xí nghiệp và nhận giá trị 0 nếu ngược lại
e p„ là xác suất để xảy ra tình huống ngẫu nhiên „ € 2
Với dữ liệu đã cho, ta có bài toán ở giai đoạn hai là
min { > eer — Falƒ(z,«)|} (*)
Trang 21» %jSŠĐ jet
` z;>h,,Vz€ Z
Jed:
uj € {0;1}.Vj € J
Ky hiéu: Ngoai ky hiéu như đã nêu trong mục 2.1.1, ta ký hiệu:
e ¿ là biến nhận giá trị 1 nếu khách hàng thứ ¿ được 1 máy phục vụ
tại vị trí 7 theo tính huống ngẫu nhiên ¿› và nhận giá trị 0 nếu ngược lại Với + — (+;) thoả mãn các điều kiện bài toán (*) và với mỗi tình huống œ € Ơ xấy ra thì giá trị hàm mục tiêu ƒ(+,ø') sẽ là
f(x.) = min { SM ain +O 4/oo} (+)
tel jes jcJ
với điều kiện
` tđhjj — j0 < u47, Mới cJ tel » = h'(w), Vi el Jed uy € {0:1},Vi€ 1,Vj € J o0 > 0,Vj € J,
trong đó 7 là tập các chỉ số khách hang i; biến z; liên tục là số sản phẩm của máy định vị tại 7 cần dự trữ khi không có khách hàng Biến này dùng để điều tiết bất kỳ sự quá tải nào mà không phục vụ do những hạn chế về
công suất máy 7, dẫn đến kết quả là mất doanh thu một lượng g¡o
2.1.3 Mô hình tốn học tổng qt
Chúng tôi cần khái quát mô hình tốn học cho lớp bài toán đã nêu trong
Trang 22ảnh hưởng đến thực tế, chúng tôi nêu ra một số giả thiết ban đầu Các giả
thiết này sẽ được sử dụng trong toàn bộ Luận văn
Từ mơ hình thực tế đã cho, ta có bài tốn quy hoạch nguyên, biến nhị
nguyên hỗn hợp, ngau nhiên hai giai đoạn 25SA/TP có dạng
min {cfz + F[ƒ(e,1)|}, (2.1)
với điều kiện
œ= (x¡) CÀI x; € {0:1}, vi € 7,
6 day TC {1, ,m}, cE R™, M= {x eE R™ : Ax > b}, A là ma trận cấp
m, xm,b ER™, Elf (x, w)| 1a ky vong todn của ham f phu thuộc w, dude
tính theo công thức
Elf (x %)] = D7 pe f(a, w)
wen
và 4 là vectơ ngẫu nhiên rời rạc tương tng w € © với xc sudt py Lac này, ở giai đoạn 2, với mỗi +, ta có bài tốn
f(x.w) = ming(w)’y, (2.2)
với điều kiện
W(w)y => r(w) — T(w)z,
y = (yj) = Oyj € {0:1}, V7 © FIC {1, ,na},
6 day y = (y;), q(w) € R™,r(w) € R™, T(w) la ma tran cp my xn, W(w) là ma trận cấp mạ x n¿ Chú ý rằng điều kiện —z > —1 đã được thể hiện
trong ma trận 4 ở giai đoạn 1 và — > —1 đã được thể hiện trong ma trận
W(w) 6 giai doan 2
Trang 23(A1) © 1a tap hitu han
(A2) M = {a € R™ : Ax > b} là bị chặn bởi điều kiện 0 < z < 1
(A3) Với mọi z,+» € Aff8n9, ƒ(z, ) < oo
Từ các giả thiết đã nêu, bài toán (2.1)-(2.2) có thể viết lại thành bài
toán (ZF') như sau:
(EF) — min{cTz+ ` pug(0)(0)}
wen
Ax >b
T(w)a + W(w)y(w) > r(w), Vo € 2
với điều kiện 6) (w)utw) 2 r(w) (2.3)
xv > 0,0; € {0:1}, Vie T
y(w) > 0,y; € {0; L}.,V7 € J, Vu € 2.2 Nhát cắt "nâng và chiếu" với bài toán (2SSAfTP)
2.2.1 Nhát cắt "nâng và chiếu"
Chúng ta xét bài toán nới lỏng (2S5LP) (bỏ qua điều kiện nguyên) của
bài toán (29SMIP)
(SLP) min {cx + Palfe(x, @)]} (2.4a)
với điều kiện
ce M, (2.40)
trong đó với mỗi + tương ứng 1 và
felx, w) = min q(w)Ty (2.5a)
véi diéu kien
W(w)y > r(w) — T(w)z, (2.56)
Trang 24Giả sử tập phương án của bài toén (LP) néi lỏng ứng với một œ và z
xác định như sau:
Sup(0) = {z € RẺ", (0) € RẺ? ¡ A > bị T(ø)z + Ww)y > r(w)}-
Tập phương án 5;p cho ta tập phương án của bài toán (TP) đối với là Sip(0) = {(+,(0)) € Srp(0) : +ị € {0;1},V¿ € T,;() € {0;1},VJ € 2} Do vậy tập phương án của bài tốn gốc có thể viết
5 = {(w,{y(w)}uea) : (0 ylw)) € Sip(w), Vw}
Gia st rang (x, {y(w) }wea) 18 mot phương án tối u chưa nguyên của bài
todn (SLP) dat dude 6 budc thtt k Ching ta sé coi cdc toa độ chưa nguyên nay nhw 1A 6 giai doan thit nhat Gia stt z/(w) 1A toa dé chua nguyén ctia z hoặc của y(w) déi voi w € Q Sit dung 7 (w) ching ta dat cdc tập hợp
Soe = {a ER™,y ERY: Ar > b, (2.6a)
T(w)x + W(w)y(w) > r(w) (2.60)
—z > 0} (2.6c)
Sig := {x € R™,y ERY: Ax > b, (2.7a)
T(w)x + W(w)y(w) > r(w) (2.70)
ze > 1} (2.7)
Các toạ độ không nguyên của nghiém (x*, y*(w)) dude chỉ ra là
S(0) := Sn¿(0)U S1 (0) (2.8)
Trang 25Gia sti Ao; va Ao2 ký hiệu cho vecbơ nhân tử liên hợp ứng với (2.6ø) và (2.6), còn Ao3 là vectơ nhân tử liên hợp ứng với (2.6c) Giả sử Ài, Ài2
và Ai s là ký hiệu tương tự dùng cho (2.7a), (2.7), (2.7c) Ta ký hiệu
1, nếu?¿=f
Ik =
0, nếu ngược lại,
mò 1, nếu 7=
P=
0, nếu ngược lại
Do đó, bài tốn (1P) sau đây có thể sử dụng nhát cắt dạng
7" (w)x + pw" (w)y(w) > (0), () với mỗi € ©):
mim{—r(0) + (e)72(0) + yR(ø)Tp(0)}
với điều kiện
yi(w) — AF, Ai(w) — AF) T;(w) + IF \o3 > 0, Vi (0) — A2W/j(@0) + TƒAo > 0,Y7
^¡(t0) — AT A¡(40) — ATsT;(0) + TƑA¡s > 0, Vị
(0) — AlaWj(40) + IFAs > 0,Y7
—v(w) + b+ Mor(w) + Aog Wiay] = 0 (2.9)
—() + ATnb + Afar(0) + Aia[jjy] > 0
—1 <*/(u) < 1,Vi
—1< (0) S1,Yj
—l<1(u) <1
Trang 26Nhat cắt (*) được tạo thành trong cách viết này được gọi là nhá cắt "nang bà chiếu" (lift-and-Project) Bài toán (LP) (2.9) là xây dựng trên
nguyên tắc cắt hợp cách (do Balas nêu ra năm 1975), áp dụng cho phép
hợp (2.8) Trong bài toán đã nêu, 4; là cột thứ 7 của ma trận 4A,7;(u) là cot thit i cia T(w) va W;(w) 1a cot thit 7 cha W(w) Muc đích của bài
todn (LP) 1a làm tối đa khoảng cách giữa điểm hiện tai («*, y*(w)) véi ntta khong gian y7 (w)a + p72 (w)y(w) > v(w) Néu gid tri tối ưu hàm mục tiêu
của bài tốn (2.9) là khơng âm điều đó nói len rang diém (*, y*(w)) bị cắt
bỏ
2.2.2 Tính chất
Những tính chất được nêu trong các Mệnh đề sau đây là cơ sở lý luận
cho thuật toán giải bài toán (25SA/7P) bằng phương pháp cắt
2.2.2.1 Mệnh dé (Ntaimo - 2006) Gid su ma trén W(w) la ngẫu nhién, ma tran T(w) va r(w) duoc rac dink véi moi w € Q, cho 7 (w)a + 1 (w)y(w) > v(w) la mét nhat cat dat duge tit (2.9), vdi moi w Gia sit phương án tối tu của bài toán (2.9) là (0(+0), Ý; 1⁄2 Ao; Aog; Ao,3; Ata; A12, X18): Nếu đối tới tu G Q.1 # tu, bài toán
T
min y*(w)? p(w)
p(w)
(0) > ÀjsW;(0) — IƒÀox, VJ
với điều kien} u;(0) > ÀTzW;(10) + TRÀ a Vj (2.10)
—1<p;(w) <1,Vj
duoc thuc hién Khi d6 77x +p" (w)y(w) > v là có hiệu lực đối uới S¡p(0)
Trang 27Chitng nvinh Ta chi can chittng minh rang néu v — p7 (w)y*(w) > 0, vay
thi 7 (w)y(w) > v 1a nhat cat loại bỏ điểm y*(w)
Thật vay, tit f.(x,w) xdc dinh tit (2.5a), ta c6 f-(a,w) = f(a, W) véi
moi w € 2 thoa man
—H(D) + ro2(W)" few, W) = Aa(9)|yj] > 0
—1(@) + Aos(@)" fel, ) — Ar3(w) [yz] = 0 -1> p(w) <1,
với mọi € © Bởi vậy, nếu với œ € ©,ư # 0, chúng ta cố định
(u(t) Aoi; 0,2; A0,3: Mas Ai2;A13)
, tại các toạ độ tương ứng 7ø, có thể tim thay cdc toa do p(w) thoa man
uj(0) = Ab 2W;(W) — Tf ros, Vi
u(0) > AT,Wj(0) + Mig, VI (2.10)
-1l< pj) <1.)
Ti dé cho thay diém y*(w) bi c&t bỏ
Đó là điều phải chứng minh oOo
2.2.2.2 Mệnh dé (Carde va Tind) Gid st ma tran W(w) = W va T(w) =T, vdi moi w EO va gia sit rang yx + 7 (w)y(w) > v(w) la mét
nhát cắt đạt được từ (2.9) Khi đó +Tz + uT()(m) > v(®) là có hiệu lực
uới S¡p(t0), # 0,0 € ©, trơng đó
(0) = (0) + mìn{As(r(0) — r(0)): ATs(r(0) — r(0))}, (2.11)
đồng thời Ao» 0à Ai» là phương án tối ưu từ (2.9) Nếu U() — +TzŸ —
Trang 28Dé chứng minh Mệnh dé 2.2.2.2, ta sit dung Bo dé sau day, do tac gia
Caróe và Tìnd đã công bố năm 1997
Xét bài toán
min{az(f) + ØyÏ0) — +} (*)
a-wA-—wTi > 0
B—ue;—wW! > 0, œ— 0ÌA— 0?T? >0,
với điều kiện 4 g — ye; — Wi > 0,
ulb+whi > 4,
vitvb+whi >,
ujwv',v > 0(a, 8,7 ES
Ky hiéu
0:= 7+ minf{u?(h* — hi): v0? (hk — h’)}
Bồ đề Giả sứ ma tran W(w) va T(w) 1a c6 dinh va ax + By) > 7 là một nhát cắt trong bài toứn (*) Kú hiệu phương án tối ưu của (*) là
0 án! 2,00, 0` 02), Vậy thà œœ + By* > ö là có hiệu lực đối uới
Sto k=1, ,r Néud —ax(t) — 3y*(t) < 0 thà bất đẳng thức oz + đụ" > ð sẽ cit bd diém (a(t), y(t))
(œ,đ,+,
Chiing minh Cac hé sé a va Ø thoả mãn
a-uwA-—wT! > 0,
` B-—u%e; -—wW! > 0,
uói điều kiện
œ— 0!A_— t?T? > 0,
Trang 29Ngoài ra theo ký hiệu của 6, chúng ta có
ðở<+ +1 u?(kẺ — hj)
<u!b + u°h? + u2(hŸ — h7)
=ulbtwhk
va
6<7tv'(k* — hb’)
<0? +'b+?h + 0°(h* — h!)
vo tulb+ uk,
Diéu d6 cho thay ax + Gy* > 6 1A c6 hiéu luc déi v6i S* Néu ổ — œz(£) —
Gy*(t) > 0 thi siêu phẳng az + By* = 6 tach diém (x(t), y*(t)) ra khdi tap phương ấn
Bồ đè được chứng minh
Trở lại Mệnh đề 2.2.2.2, ta chỉ cần gán những ký hiệu tương ứng, ta
được điều phải chứng minh Oo
Mệnh đề 2.2.2.3 sau đây cũng đã được Caróe và Tind chứng minh năm
1997
2.2.2.3 Mệnh đề (Carde va Tind - 1997) Gid st ma tran W(w) = W va T(w) = T,Vw € 2 va gia sit ring 7 (w)x + pT (w)y(w) > v(w) la mét
nhát cắt đạt được từ (2.9) cho phương án toi uu
(0,2, Vy, Ao: Ao2; Ào3; Mls Aya, 13):
Nếu đối uới tú G Q.10 # tù bài toán
min 1(z#)f+() — ()}
y(w),v(w),ro,1 Aid
Trang 30yi(W) — AB Ai > AZT) — Tos Vi yi(@) — AT, A; > NoTi(@) + IF\ 3 Vi
—v(w) + vb > —AMor(w) + ros: [;œ›
—(0) + A[¡b = —ATyr(W) — Ars [jug | (2.12) —1 <3(0) < 1,VWi
—1<1(0) <1
Aor; Ai 2 9,
được thoả mãn, uậu thà yT(10)+ + HŸy(0) > v(W) la c6 hiệu lực uới Srp()
Néu v(w) — 7 (w)ak — pT y*(W) > 0 thà +T()x + u7w(0) > (0) là nhát
cắt loại bỏ điểm (+È, *(8)) 2.3 Xây dựng thuật toán
Từ nhát cắt giải bài toán (EP), nới lỏng của bài toán đã cho thực hiện
trên tập bao lồi của các điểm nguyên, chúng ta xác định lại được dữ liệu của bài toán Giả sử thuật toán đang thực hiện ở bước thit k Vay thi tai k = 1,
ở bước khởi đầu, với dit lieu T!(w) = T(w), W!(w) = W(),r!(0) — r(u)
với mọi w € 2 Tai k > 2, vectơ +*(+) được xác định từ 7*~!(a), còn g#()
xác dinh ti; W*"!(w) va v*(w) được xác định từ r#~!(0}) Phương pháp L-dinh dang (shaper), do Slyke va Wets đề xuất năm 1969, nhằm giải bài
tốn nói lỏng (L7) sau đây, tại bước È, bài tốn chính có dạng: min{efz + 0}
( Ax >b
với điều kiện 4 pT 4 > a4, t € Oy (2.13)
Trang 31ở đây điều kiện thứ hai của bài toán là nhát cắt tối ưu ứng với Ø¿ - tập
chỉ số tại bước thứ k của thuật toán Chú ý rằng nhát cắt hợp cách thoả mãn giả thiết (A3) Bài toán con ứng với to € © có dạng
fŸ(œ, œ) —= mìn q(0)T với điều kiện
W*(w)y > r*(w) — T*(w)a (2.14)
>0
2.3.1 Thuật toán cơ bản phân hoạch "nâng và chiếu" (LP?)
giải bài toán (29S1/TP)
Trong mục này, chúng ta trình bày một thuật toán cơ bản (UP) dùng cho giải bài toán (2SSA77P) như sau:
Thuật toán (LP)
Bước 0 Xuất phát
Đặt k — 1, := o6, lị := —%,£ > 0,7 (w) :—= T(0),Wl(ø) :—= W/(u)
và ri(w) :=r(w), véi moi w € Q,z° € MỸ đã cho
Bước 1 Kết thúc
(a) Néu U;, — Ly > e thì chuyển sang bước 2
(b) Nếu Ứ; — L„¿ < e và tìm thấy một phương én kỷ lục thì dừng lại Trả lời phương án kỷ lục là tối ưu
(c) Nếu không tìm thấy phương án kỷ lục và z# không thay đổi, áp đặt điều kiện nguyên cho bài toán (2.13)-(2.14) và giải bài tốn tìm được
phương án kỷ lục và cập nhật dữ liệu U,
Trang 32Bước 2 Giải bài toán nới lỏng (LP)
Giải bài toán(2.13)-(2.14) bằng việc sử dụng phương pháp /-định dạng ử (2, {0*(@)}„zco) là phương án tối ưu của (1P)
lả §
Nếu (z#, {#(0)};„eo) thoả mãn điều kiện nguyên, gần
min{cTfz + E[ƒ(œÈ, 8)].U¿} := Uy_
và {cTz + E[ƒ(œ*,)] < U¿, thì lưu siữ nghiệm hiện tại làm ky lục
Gán k+ 1 :—= Èk, trở lại bước 1 Ngược lại, gán
max{cla + El f(a®, @)|, Le} = Leer
Bước 3 Giải cắt bài toán phat sinh (Ps) va thuc hiện cập nhật
Lay i € I sao cho 0 < z; < 1 hoặc 7 € J sao cho 0 < y;(w) < 1, chon biến rời rac @ va gidi bai todn (2.9) tim duge (y*(w), w*(w), v¥(w)) Gan
T'!(w) = ((TM(w))7s9*(w)|7 WH" (w) = (Ww)? (w) 7: r® lw) := [r®(w);v*(w)]
Lặp lại điều này cho tất cả w € 2
Gan k + 1:=k, trở lại bước 1 2.3.2 Các trường hợp đặc biệt
Thuật toán nêu trên có thể được điều chỉnh phù hợp bài tốn có tính
chất rộng hơn về giả thiết đã được nêu trong các Mệnh đề 2.2.2.1, 2.2.2.2,
2.2.2.3 Để thức hiện điều này, người ta đã điều chỉnh nhát cắt phát sinh
ở bước 3 trong thuật toán
Sau đây là 3 thuật tốn có cải tiến từng phần tương ứng với 3 trường hợp đặc biệt
Trang 33Bước 3 Giải cắt bài toán phat sinh (1 Ps) va thực hiện cập nhật (a) Chon mot w € © và biến f, với 0 < xp < 1 hoac 0 < yt (w) < 1
Dinh dang va giai bai toan (2.9) dude (7*(w), u*(w), v*(w)) Gan
kel t— |(?)1:+*J; Www) t— [(W*(0))T; nÈ(u)JT
rt*! ;= ir*, v*)
(b) Véi moi @ EQ, WHA w sao cho 0 < xk < 1 hodc 0 < ys(W) < 1, sit
dụng nghiệm nhận được từ bước 3(a) thiết lập và giải (2.10) duge p*(w)
Nếu bài toán thoả mãn, gần
W**1(ø) := [W*(m): nÈ(m)|T
Gan k+1:=k, tro lai bude 1
2.3.2.2 Thuat toan (PD — 2) Xét W,T cé dinh, r(w) ngau nhién Bước 3 Giải cắt bài toán phat sinh (LPs) va thuc hiện cập nhật
(a) Chon mot w € 2 va bién f, với 0 < z‡ < 1 hoặc 0 < yf(w) < 1
Định dạng và giải bài toán (2.9) duoc (7*, u*, v*(w)) Gan
PHD AP, WH w) = (Ww) ew)!
kid Upk yy,
(b) Với mọi 7 € O, 1ø # u sao cho 0 < z‡ < 1 hoặc 0 < yf(W) < 1, sit dụng nghiệm nhận được từ bước 3(ø), tính (1) thiết lập và giải (2.12)
và gán
(0) := [(r*(0);“(m)]
Trang 342.3.2.3 Thuat toan (LPD — 3) Xét W cé dinh, T(w),r(w) ngau nhién
Bước 3 Giai cat bai toan phat sinh (LPs) va thực hiện cập nhật (a) Chon mot w € © và biến f, với 0 < z‡ < 1.¡€ T hoặc 0< yj (w) < 1,j € J Dinh dang và giải bai toan (2.9) dude (7*(w), u*, v*(w)) Gan
TY (m) s= |(TR(0))”;a#(0)ÏF; WE = (WT whl
rw) = [r*(w) *(w)]-
(b) Với mọi 17 € ©, 17 # tơ sao cho Ö < z‡ < 1 hoặc 0 < yf(w) < 1,
sử dụng nghiệm nhận được từ bước 3(ø) thiết lập và giải (2.10) được
(È (5), È(0))
Gán
T*!!() := |(T^(ø);2*()|f: rˆ!(m) := [rh(m),v^(®)|
Trang 35Luận văn đã giải quyết được một số vấn đề như sau:
1 Trình bày được đầy đủ, những khái niệm và kiến thức cơ sở về Lý thuyết xác suất, về bài toán quy hoạch tuyến tính nguyên và một số phương
pháp tiếp cận giải, về bài toán quy hoạch tuyến tính nguyên ngẫu nhiên
hai giai đoạn có liên quan trong luận văn
2 Tìm được mơ hình thực tế, thiết lập mơ hình tốn học, từ đó khái quát hoá dẫn tới bài toán tổng quát cần nghiên cứu
3 Trình bày được kỹ thuật cắt "nâng và chiếu", phát biểu và chứng minh 3 Ménh đề quan trọng làm cơ sở cho việc xây dựng thuật toán giải
bài toán đã đặt ra
4 Trình bày hồn chỉnh thuật toán giải bài toán đã cho và 3 trường hợp đặc biệt của thuật toán
Do thời gian và trình độ có hạn nên một số vấn đề cần được tiếp tục
nghiên cứu bao gồm:
- Tìm ví dụ bằng số để minh hoạ cho tính hiệu quả của thuật toán
- Khai thác những đặc điểm riêng của bài toán nhằm chuyển bài toán
Trang 36TAI LIEU THAM KHAO
[1] Nguyén Van Quang, (2007), Gido trinh tac sual, NXB Dai học Quốc
gia Ha Noi
[2] Trần Xuân Sinh, (2004), Các phương pháp ngẫu nhiên giải bài toán
quy hoạch, Đài giảng dùng cho học viên Sau Đại học, chuyên ngành XSTK Toán học, Đại học Vĩnh
[3] Nguyễn Duy Tiến - Vũ Viết Yên, (2001), Lý thuyết xác suất, NXB Giáo
dục, Hà Nội
[4] L Ntaimo and S Sen, (2006), A Branch-and-Cut Algorithm for Two-
Stage Stochastic Mixed-Binary Programs with Continuous First-Stage Vari-
ables, Department of Industrial and Systems Engineering, Taxas A&M University, 3131 TAMU, College Station, TX 77843, USA
[5] 5 Sen and J L Higle (2005), The C3 theorem and a D2 Algorithm
for Large Scale Stochastic Mixed-Integer Programs with Continuous First- Stage Variables, J Math Programming, N0106(2), 1 - 20
[6] L Ntaimo and M W Tanner, (2006), Computations with Disjunctive