bài toán lập kế hoạch sản xuất với chuỗi cung ứng ngẫu nhiên

Thuật toán cắt giải bài toán quy hoạch biến nhị nguyên hỗn hợp, ngẫu nhiên hai giai đoạn 21 2.1.. Việc nghiên cứu lớp bài toán quy hoạch nguyên ngẫu nhiên nhằm phát hiện những tính chấ

trang

Mở đầu 222000002222 nh na 5

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 7

1.1 Một số vấn đề cơ bản về lý thuyết xác suất 7

1.1.1 Khái niệm - 2222222222121 yy 7 1.1.2 Tính chất - 222202222222 2n 1n nh nh nh kh hày 9

1.2 Bài toán quy hoạch tuyến tính nguyên hỗn hợp 11

1.2.1 Bài tOấn HH HH kh kh xa 11 1.2.2 Tính chất của bài toán cà 12

1.3 Một số hướng tiếp giải bài toán quy hoạch nguyên hén hgp 13

1.3.1 Phương pháp cắt hợp cách 13

1.3.2 Phương pháp nhánh và cận 14 1.4 Bài toán quy hoạch tuyến tính nguyên ngẫu nhiên hai giai đoạn 17 1.4.1 Bài toán quy hoạch nguyên ngẫu nhiên 18 1.4.2 Bài toán quy hoạch nguyên ngẫu nhiên hai giai đoạn 19 Chương 2 Thuật toán cắt giải bài toán quy hoạch

biến nhị nguyên hỗn hợp, ngẫu nhiên hai giai đoạn 21 2.1 Bài toán lập kế hoạch sản xuất với chuỗi cung ứng ngẫu nhiên 21

2.2.2 Tinh chat " aa ( 28

2.3 Xây dựng thuật toán 32

2.3.1 Thuật toán cơ bản phân hoạch "nâng và chiếu" (UP)

giải bài toán (2SSMIP) O3

2.3.2 Các trường hợp đặc biệt c 34

Kết luận .3Ỹ Tài liệu tham khảo 38

Trong lớp các bài toán quy hoạch, bài toán quy hoạch nguyên có nhiều

ứng dụng trong thực tiễn Tương ứng bài toán quy hoạch nguyên, với dữ

liệu phụ thuộc yếu tố ngẫu nhiên ta có bà? toán quy hoạch nguyên ngẫu nhiên Việc nghiên cứu lớp bài toán quy hoạch nguyên ngẫu nhiên nhằm

phát hiện những tính chất của nó và tìm ra thuật toán giải đang là vấn đề

thời sự, có ý nghĩa khoa học và ý nghĩa thực tiễn rộng lớn

Trên cơ sở bài toán thực tế đặt ra, người ta xây dựng mô hình là những

bài toán quy hoạch ngẫu nhiên Do sự tham gia của yếu tố ngẫu nhiên ở mỗi

bài toán có những đặc thù riêng, nên ta được lớp các bài toán quy hoạch ngẫu nhiên khác nhau Gan đây, các tác giả L Ntaimo and M W Tanner trong bài báo (2006), Computations with Disjunctive Cuts for Two-Stage Stochastic Mixed 0-1 Integer Programs, Department of Industrial, Texas

University USA, công bố năm 2006, đã thu được nhiều kết quả thú vị Với

sự quan tâm, chú ý tới những khía cạnh phù hợp của nó, cùng thời gian

và mức độ cho phép, chúng tôi cố gắng xem xét nội dung có liên quan đến

công trình nêu trên |6| cố gắng xem xét thông qua một bài toán thực tế

Đó là lý do chúng tôi chọn đề tài "Bà¿ toứn lập kế hoạch sửn xuất

tới chuỗi cưng ứng ngẫu nhiên",

Nội dung của luận văn bao gồm hai chương:

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Trong chương này chúng tôi trình

bày các nội dung cơ bản của: Lý thuyết xác suất, Lý thuyết quy hoạch

nguyên và bài toán quy hoạch nguyên ngẫu nhiên Những nội dung được nêu ra vừa đủ phục vụ cho việc nghiên cứu đề tài.

Chương 2: Thuật toán cắt giải bài toán quy hoạch biến nhị

nguyên hỗn hợp, ngẫu nhiên hai giai đoạn Chương này là nội dung chính của luận văn Trong chương này, trước hết chúng tôi nêu mô hình

thực tế dẫn đến bài toán tổng quát chúng ta cần nghiên cứu (mà trong các

tài liệu chúng tôi có được chưa thấy nói tới) Tiếp đó, chúng tôi trình bày

các tính chất của bài toán được đặt ra Cuối cùng là đưa ra thuật toán và

đánh giá độ phức tạp tính toán của nó

Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học Vinh, dưới

sự hướng dẫn khoa học của PGS TS Trần Xuân Sinh Tác giả xin bày tổ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy về sự hướng dẫn tận tâm của thầy đối với tác

giả trong suốt thời gian học tập và nghiên cứu

Nhân dịp này, tác giả xin gửi lời cam ơn tới PGS TS Nguyễn Văn Quảng, PGS TS Phan Đức Thành, TS Nguyễn Trung Hoà, các thầy cô

giáo trong lội đồng chấm luận văn, khoa Toán, khoa Sau Dại học, trường Dai học Vinh Cũng nhân dịp này, cho phép tôi nói lời cảm ơn tới gia đình

và bạn bè, đã quan tâm, góp ý giúp đỡ và tạo điều kiện tác giả thực hiện luận văn này

Mặc dù đã cố gắng song luận văn không thể tránh khỏi những sai sót

Tác giả mong nhận được những đóng góp của quý thầy cô giáo và các bạn

để luận văn được hoàn thiện hơn

Tác giả xin chân thành cảm ơn!

Vinh, thang 12 ndm 2011

Tác giả

A2) AEA, > A=O\AEA,

A3) A,BeE A, > AUBEA, (hoi ANBe A)

e Lớp ZC 79) được gọi là ơ- đạ¿ số nếu nó là đại số và ngoài ra

A4) Néu A, € F, Yn = 1,2, thi

1.1.1.3 Độ đo xác suất Hàm tập P xác định trên ơ-đại số 4 được

gọi là độ đo xác suất nếu

PI)P(4)>0.4€ 4A,

P2) P(Q) = 1,

P3) Nếu 1; € 4,¡ = 1,9, 4;f.4; = Ú,¡ Z 7 thì

z(Ù5) -Ÿ mào

1.1.1.4 Biến ngẫu nhiên

Giả sử (O,.Z) là không gian đo, R = [—œ; +œ|]

Hàm thực X = X(¿') xác định trên © lấy giá trị trên lR gọi là bừm Z-đdo

được hoặc biến ngẫu nhiên suy rộng nêu

fw: X(w) € Bk = X"'(B)c 7, vdi méi B € B(R) (trong d6 B(R) 1a o- dai sé cdc tap Borel cia truc thuc

)

Néu

al

X :Q — R= (—00; +00) thì X được gọi là biến ngẫu nhiên

1.1.1.5 Hàm Borel

Ham ¢ : (R”,B(R”)) ¬ (R,B(B)) được gọi là hàm Borel, néu nó là

B(R") - đo được, nghĩa là ø~!(Đ) € B(R"), với mỗi B € B(R)

1.1.1.6 Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên

Giả sử X là biến ngẫu nhiên xác định trên (O Z,P) nhận giá trị trên IR

Hàm số x(+) = P[X < a], (+ € R) được gọi là hàm phân phối của biến

ngẫu nhiên X

1.1.1.7 Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên

e Nếu X là biến ngẫu nhiên đơn giản xác định trên (O, Z,P), có nghĩa

X= SC xls,

k=l

với ay € R, Ay € F,(k = 1,2, n) va Ap A, = ñ(Š A 1) thi ky vong ctia

X, ký hiệu là EX được định nghĩa như sau

e Giả sử X là biến ngẫu nhiên bất kỳ, khi đó X có thể biểu diễn dưới

dạng X = XI — X~, với X' X~ là các biến ngẫu nhiên đơn giản, không

âm

(X' =max{X,0}, X~ = max{—X,0}) Nếu min(X”,X~) < œ thì

a) X là biến ngẫu nhiên

b) {w: X(w) <a} €F uới mỗi + C ]R

é) {w: X(w) <a} © F vdi moi x ER

d) {w:a< X(w) <b} © F uới a < b bat ky

1.1.2.2 Định lý Giả sử XỊ , X„ là các biến ngẫu nhiên cùng xác

dinh trén (Q,F) va @(H ,tạ) là ham Borel gia tri thuc Khi dé Y =

#(XI Xạy cũng là biến ngẫu nhiên

1.1.2.3 Hệ quả G7đ sứ X,Y là các biến ngẫu nhiên Khi đó

hitu han trén Q Khi d6

sup Xp, inf X,, limsup Xp, liminf X,

là các biến ngẫu nhiên Dặc biệt nếu ln X„ = X hữu han thà X cũng là

biến ngẫu nhiên

1.1.2.5 Bất đẳng thức Cauchy - Bunhiakowski Cho p > 0, ký

hiệu £? = £?(O.Z,P) là tập hợp các biến ngẫu nhiên X (xác định trên

(9,Z,P)) sao cho E|X|? < oo Khi X € £?,p > 1, ta ký hiệu

lIXlI, = (ZIXIP)'”

Nó được gọi là chuẩn bậc p của X

Bất đẳng thức sau đây được gọi là bất đẳng thúc Cauchụ - Bunhiakotski

E XY| < ||Xl2{I¥' lo.

1.1.2.6 Bất dang thite Markov Gia sit

X: (Q,F,P) — (R,B(R))

là biến ngẫu nhién va X(w) > 0.Vw € O Khi dé néu ton tai EX thi vdi

Ve > 0 ta co:

1.2 Bài toán quy hoạch tuyến tính nguyên hỗn hợp

1.2.1 Bài toán quy hoạch rời rạc

Bài toán quy hoạch tuyến tính rời rạc có dạng

#j € 1đ dị, vo}, € {1,2, ,n}

trong do d! € R, k phu thuoc Uj

Bài toán quy hoạch tuyến tính nguyên tổng quát có dạng

Dé don giản, chúng ta xét bài toán quy hoạch nguyên toàn phần, có

buộc gọi là phương án Phương ấn z làm cực tiểu hàm mục tiêu được gọi

là phương án lối tu hoặc là nghiệm của bài toán

1.2.2 Tính chất của bài toán

1.2.2.1 Mệnh đề Mợi bài toán quy hoạch rời rạc đều có thể chuyển

uê bài toán quụ hoạch nguụên biến nhị nguyên

Chứng rrưởnh Ta chỉ việc thay biến z; > 0 theo công thức

w= S bụi, So xi = l,ứ € 10 1}

Khi d6 chi con bién x; ¡ nguyên, nhận một trong hai giá trị 0 hoặc 1 Từ đó

ta có bài toán với biến nguyên z¡; € {0, 1} Biến nguyên, nhận một trong

hai giá trị 0 hoặc 1 đã nêu còn gọi là biến nh¿ nguyên (Binary)

1.2.2.2 Ménh dé Bai todn quy hoach nguyên nếu có phương án tối

uu thi ton tai phuong én cực biên của bao lồi các tập nguyên tối tưu

Chứng minh Ta thấy rằng bao lồi của các điểm nguyên là một tập lồi

đa diện có hữu hạn điểm cực biên, và các điểm cực biên là nguyên Do vậy,

khi giải bài toán quy hoạch tuyến tính với tập phương án là bao lồi của các điểm nguyên thì phương án tối ưu (nếu có) phải đạt trên điểm cực biên

1.3 Một số hướng tiếp giải bài toán quy hoạch nguyên hỗn hợp

Để giải bài toán quy hoạch tuyến tính nguyên có nhiều phương pháp Sau đây ta sẽ trình bày sơ lược một số phương pháp điển hình

1.3.1 Phương pháp cắt hợp cách

Như đã nêu, để đơn giản, ta giả sử xét bài toán quy hoạch nguyên

toàn phần (1.2) (trong trường hợp nguyên bộ phận có thể sử dụng phương pháp phân rã Bender) Nội dung của phương pháp là: Bỏ qua điều kiện

nguyên, giải bài toán quy hoạch tuyến tính bằng phương pháp đơn hình

được phương án tối ưu z(9,

Nếu z¿„„ nguyên (7 = 1, ,w) thì z(” là phương án tối ưu cần tìm Nếu ngược lại, bổ sung vào bài toán quy hoạch tuyến tính điều kiện

n

j=l L(x) phai thoa man hai tinh chat:

+ x) không thoả mãn (1.3)

+ Mọi phương án nguyên đều thoả mãn (1.3)

Diều kiện (1.3) như vậy được gọi là nhát cắt hợp cách Người ta cũng

đã đưa ra nhiều nhát cắt hợp cách giải bài toán quy hoạch nguyên có hiệu

quả Sau đây ta trình bày nhát cắt Gomory

Giả sử z0) = (z),z, e) 0, 0) là phương án tối ưu của bài toán

quy hoạch tuyến tính tương ứng, tồn tại +? chưa nguyên Ký hiệu [z‡] và

{x2} là phần nguyên và phần thập phân của z‡ Khi đó nhát cắt sau đây

là hợp cách

n

L{x) ={xt}— So {axj}a; <0, (1.4)

j=1j⁄

trong đó z;; là toạ độ thứ ¡ của vectơ 4; trong cơ sở của „0 (các phần

tử của vectơ 4; trong bảng đơn hình của z9) Có thể kiểm tra trực tiếp

những điều kiện của nhát cắt hợp cách (1.3) Nhát cắt (1.4) được gọi là nhát cắt Gomory thứ nhất

Gomory còn nêu ra 2 nhát cắt: Nhát cắt thứ hai dùng cho bài toán quy

hoạch nguyên hỗn hợp và nhát cắt thứ ba dùng cho bài toán có dạng đặc

biệt (phần tử đầu tiên khác không ở mỗi cột là số dương)

Các tác giả Nguyễn Ngọc Chu và Trần Xuân Sinh đã đưa ra nhát cắt

toạ độ, cũng là một nhát cắt hợp cách

1.3.2 Phương pháp nhánh và cận (Branch-and-Bound)

Ý tưởng chính của phương pháp là thực hiện phân nhánh để chia tập

phương án M cia bai toán quy hoạch tuyến tính tương ứng thành những phần nhỏ dần Trên mỗi phần nhỏ của tập A7 xác định cận của hàm mục

tiêu Từ đó loại bỏ dần những phần không có khả năng chứa nghiệm Như

vậy, công việc chính của phương pháp là tìm cách phân nhánh, tính cận

và lựa chọn loại bỏ sao cho sau hữu hạn bước lặp có được câu trả lời của

bài toán Phương pháp nhánh và cận tỏ ra có hiệu quả đối với các bài toán

quy hoạch nguyên cỡ lớn Mở đầu là các công trình của A.H Land và A.G

Doig (1960), sau đó là các công trình của R.J Dakin (1965) Nhiệm vụ của phương pháp nhánh và cận là thực hiện "phân nhánh", "tính cận" và

"loại bỏ" sao cho quá trình hội tụ về nghiệm cần tìm Chú ý rằng phương

pháp nhánh và cận không chỉ áp dụng cho bài toán quy hoạch tuyến tính nguyên mà có thể áp dụng cho một số bài toán quy hoạch rời rạc tổng

f(a") = min{ƒf(z) : z € ă} > min (M;) = u(M;)

Do đó nếu f(x*) = (M,) thì z* là phương án tối tu cần tìm

1.3.2.3 Lựa chọn và loại bỏ

+ Lựa chọn: Giả sử cho Äf = LJ} „AM; và AI,n.M; =Ú,¿ # 7

khi đó /(Ä;) = min w(M;),i = 1, ., k, tte la

Néu c6 Mj ma p(M;) > f(Z) thi M; bi loai bd (Chi ¥ rang néu M; = 0

thi M; cing bi loai bd)

Từ đó ta có thuật toán sau đây, gọi là /huật toán Lamd- Long

Thuật toán Land-Doig

Bước chuẩn bị: Đặt (¡) là bài toán (1.6) với AM⁄; = M Ký hiệu

? =P,} là họ các bài toán đang xét

Giải bài toán quy hoạch tuyến tính ()), ta được phương án tối ưu z*

Nếu z* thoả mãn điều kiện nguyên thì +” là phương án tối ưu cần tìm

Ngược lại, đặt cận dưới của bài toán (Hạ) có thêm điều kiện nguyên là giá trị ƒ* = ƒ(œ*) và? = {hạ} Lúc này nếu có được phương án # € D thi dat f* = f(x), trai lai thi dat f* = +oo

b.1 Gia sit «* chua nguyén Chia M;, thanh hai tap Mj va M? vdi

a) Phát hiện ra Ä/j = 0,i = 1,2 Loai b6 Mj tuong tng

b) Tìm được phương án tối ưu z) thoả mãn điều kiện nguyên Nếu z

là phương án kỷ lục thì loại bỏ những Mi tương ứng có /(Ä 1j) > f(a)

Coi x) la phuong an ky luc mdi Két thie bai toan (Pi)

c) Tim được phương án tối wu 2, (i = 1,2), nhưng chưa thoả mãn điều kiện nguyên Lấy /(zf)) làm cận dưới của hàm mục tiêu bài toán (7) có

thêm điều kiện nguyên ă, ; tham gia vào bài toán để tiếp tục phân nhánh Gán

?:=PU{T}

b.3 Loại bỏ khỏi 7 tất cả các bài toán có cận dưới lớn hơn hoặc bằng giá trị kỷ lục

Dat P := P\ {Pi}., trổ lại bước k:— k + 1

Do D hitu han nên thuật toán Land - Doig cũng hữu hạn

1.4 Bài toán quy hoạch tuyến tính nguyên ngẫu nhiên hai giai đoạn

Bài toán quy hoạch tuyén tinh nguyén (LIP) c6 cdc phan tit cia ma

trận A,b,c xAc định ngẫu nhiên thì được gọi là bài toán quy hoạch tuyến tính nguyên ngẫu nhiên

Để nghiên cứu bài toán quy hoạch tuyến tính nguyên ngẫu nhiên, tuỳ

theo yêu cầu thực tế của bài toán mà có nhiều cách tiếp cận khác nhau

Thông thường, người ta xét tới các lớp bài toán:

1.4.1.1 Quy hoạch tuyến tính nguyên ngẫu nhiên một giai đoạn ĐÓ

là lớp bài toán được giải với thông tin về dữ liệu ban đầu xác định nào

đó Trên cơ sở phương án tối ưu đã giải, khi chịu ảnh hưởng của đại lượng ngẫu nhiên, người ta sử dụng các phương pháp trực tiếp (chẳng hạn phương pháp quy hoạch tham số phương pháp tái tối tu ) điều chỉnh phương

án tối ưu để cho phù hợp với thực tế

1.4.1.2 Quy hoạch tuyến tính nguyên ngẫu nhiên hơi giai đoạn Dó là

lớp bài toán được giải ở giai đoạn một, với thông tin về đữ liệu ban đầu xác định nào đó

Trên cơ sở phương ấn tối ưu đã giải, khi chịu ảnh hưởng của đại lượng

ngẫu nhiên, người ta điều chỉnh lại phương án tối ưu để cho phù hợp với

thực tế thông qua g4 đoạn ha¿, bằng việc tìm lượng "phạt" bé nhất có

thể, do độ lệch tạo nên từ giai đoạn một Giai đoạn hai cần đến việc xử lý

dữ liệu thông qua khái niệm kỳ vọng toán

1.4.1.3 Quy hoạch tuyến tính nguyên ngẫu nhiên nhiều giai đoạn Đó

là lớp bài toán được giải ở giœ¿ đoạn mnột với thông tin về dữ liệu ban đầu xác định nào đó Sau đó được điều chỉnh phương án tối ưu theo nhiều giai

đoạn tiếp theo, tuỳ thuộc vào ảnh hưởng của đại lượng ngẫu nhiên

1.4.2 Bài toán quy hoạch tuyến tính nguyên ngẫu nhiên hai giai đoạn

Bài toán quy hoạch tuyến tính nguyên ngẫu nhiên hai giai đoạn có dang

Ax <b

với điều kiện —

œ>0,„c trong đó

trận cấp m x m (thong thudng c6 thé lay ma trận đơn vị): = (0i - Ym);

Dy thé hién do léch giita Ax véi b va q = (a1, , dm) thudng goi 1a vecto phạt bởi tác động của đại lượng ngẫu nhiên 2

Giai đoạn thứ nhất biến z là nghiệm thu được trên cơ sở thông tỉn có

được từ thực nghiệm

Giai đoạn thứ hai biến ¿ là nghiệm thu được khi hiệu chỉnh z của giai đoạn 1 với những thông tin đúng đắn, tức là nhận giá trị thực

Do đó bài toán giai đoạn hai tương đương với

min {cla + Eq’ y(2)|}

Av <b

T(Z)+ + Dy(2Z) = h(2) với điều kiện 4 „ > 0,„;€ Z"

(2) >0 1(.)C©Y