lập kế hoạch sản xuất tối ưu giữa tổng công ty và các công ty con trên cơ sở lý thuyết quy hoạch toán học

Bài toán Quy hoạch toán học tổng quát Một bài toán Quy hoạch toán học tổng quát được phát biểu như sau: Cực đại hóa cực tiểu hóa hàm: Với các điều kiện: },,{, 1, n R X Bài toán 1.1 1.3

1.1.1 Bài toán Quy hoạch toán học tổng quát 3

1.2 Phát biểu bài toán đối ngẫu và phân tích nghiệm của bài

1.3.1 Mô hình và một số phương pháp giải bài toán quy

1.3.2 Bài toán quy hoạch phi tuyến và một số phương

1.4.1 Áp dụng phương pháp so sánh, sắp xếp phương án

1.4.2 Vài bài toán thực tế dẫn đến quy hoạch phi tuyến 26

Chương 2 Các dạng lập kế hoạch sản xuất dựa vào quy hoạch 30

Nội dung Trang tuyến tính

2.3.2 Hàm mục tiêu của một số mô hình lập kế hoạch

Chương 3 Bài toán hỗn hợp (quy hoạch tuyến tính đa mục tiêu)

lập kế hoạch đồng bộ giữa tổng công ty và các công ty con 47

3.1.1 Tìm phương án sản xuất tối ưu của tổng công ty 48 3.1.2 Phân phối (chỉ tiêu) phương án sản xuất tối ưu cho

Nội dung Trang

3.1.3 Giải lại bài toán đa mục tiêu trên cơ sở các thông

3.2.1 Tìm phương án tối ưu tại công ty con có ràng buộc

3.2.2 Các thông tin phản hồi lên tổng công ty 56

DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT

DANH MỤC CÁC HÌNH

2 2.2 Minh hoạ phương pháp giải bài toán QHTT

hai biến bằng phương pháp hình học 44

3 3.1 Sơ đồ thuật toán giải bài toán lập kế hoạch

4 3.2 Kết quả nhập mới dữ liệu của chương trình 60

5 3.3 Kết quả giải bài toán riêng rẽ một mục tiêu 61

6 3.4 Kết quả bảng thưởng phạt của chương trình 62

MỞ ĐẦU

Trong giai đoạn kinh tế thị trường, sự cạnh tranh hàng hoá quyết liệt xẩy ra thường xuyên thì một phương án sản xuất cần phải được cân nhắc kỹ càng trước khi

nó được thực thi Một phương án sản xuất thường phụ thuộc rất nhiều vào các yếu

tố như lao động, nguyên vật liệu, sức tiêu thụ, …Vì vậy một phương án sản xuất cần phải được bao hàm các hạn chế trên, đồng thời phải đảm bảo được mức tổng lãi (hoặc chi phí) tốt nhất

Đặc biệt, khi một tổng công ty có nhiều công ty con, mỗi công ty đều muốn

có phương án sản xuất tốt nhất của mình nhưng phải nằm trong mục tiêu của tổng công ty Vì vậy, phương án sản xuất tốt kết hợp giữa tổng công ty và các công ty con cần phải được nghiên cứu Do đó tôi tiến hành nghiên cứu đề tài: “Lập kế hoạch sản xuất tối ưu giữa tổng công ty và các công ty con trên cơ sở lý thuyết quy hoạch toán học” Với nội dung nghiên cứu:

 Mục tiêu nghiên cứu và tính cấp thiết của đề tài

Ứng dụng quy hoạch tuyến tính để hỗ trợ các nhà lập kế hoạch và quản lý kinh tế ra những quyết định chính xác và tốt nhất có thể, nó là một công cụ đáng tin cậy để phân tích và dự đoán hướng phát triển có mục tiêu của các cơ

sở kinh tế nói chung và của các công ty và tổng công ty nói riêng

Trên cơ sở tối ưu pareto để tìm ra các phương án sản xuất cho tổng công ty

và các công ty con dựa trên phương pháp cạnh tranh và bù đắp

 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp tìm các hệ số chi phí trong quy trình sản xuất của toàn công ty

và của từng công ty con

Ứng dụng phương pháp quy hoạch tuyến tính để giải bài toán tìm phương án sản xuất tối ưu giữa tổng công ty và các công ty con

 Cấu trúc luận văn

MỞ ĐẦU

CHƯƠNG 1 TỔNG QUAN VỀ QUY HOẠCH TOÁN HỌC

CHƯƠNG 2 CÁC DẠNG LẬP KẾ HOẠCH SẢN XUẤT DỰA VÀO QUY

HOẠCH TUYẾN TÍNH CHƯƠNG 3 BÀI TOÁN HỖN HỢP (QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH ĐA MỤC

TIÊU) LẬP KẾ HOẠCH ĐỒNG BỘ GIỮA TỔNG CÔNG TY VÀ CÁC CÔNG TY CON

KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN

TÀI LIỆU THAM KHẢO

CHƯƠNG 1 TỔNG QUAN VỀ QUY HOẠCH TOÁN HỌC

1.1 Phát biểu bài toán Quy hoạch toán học tổng quát

Khi tiến hành lập kế hoạch sản xuất, điều khiển các hệ thống và thiết kế kỹ thuật

mà biết dựa trên các nguyên tắc cực trị sẽ tiết kiệm được vật tư, tiền vốn, tài nguyên, sức lao động, thời gian và tăng được hiệu quả giải quyết các vấn đề đặt ra Những cơ sở lý thuyết và các phương pháp thực hành để giải quyết các vấn đề nằm trong môn học Tối ưu hóa hay còn gọi là Quy hoạch toán học…

1.1.1 Bài toán Quy hoạch toán học tổng quát

Một bài toán Quy hoạch toán học tổng quát được phát biểu như sau:

Cực đại hóa (cực tiểu hóa) hàm:

Với các điều kiện:

}),,{(,

1,)

n

R X

Bài toán (1.1) (1.3) được gọi là một quy hoạch, f(x) được gọi là hàm mục tiêu, các hàm g i(x),i1,m được gọi là các hàm ràng buộc, mỗi đẳng thức hoặc bất đẳng thức trong hệ (1.2) được gọi là ràng buộc Tập hợp:

},1,)(

f( *) ( ),  đối với bài toán max

D x x f x

được gọi là phương án tối ưu (lời giải tối ưu) Khi đó giá trị f(x*) được gọi là giá trị tối ưu của bài toán

1.1.2 Phân loại các bài toán

Một trong những phương án hiển nhiên nhất để giải bài toán đặt ra là phương

sánh các giá trị tính được để tìm ra giá trị tối ưu và phương pháp tối ưu của bài toán Tuy nhiên cách giải quyết này khó có thể thực hiện được, ngay cả khi kích thước của bài toán (số biến n và số ràng buộc m) là không lớn, bởi vì tập D thông thường gồm một số rất lớn các phần tử, trong nhiều trường hợp còn không đếm được

Vì vậy cần phải có những nghiên cứu về mặt lý thuyết để có thể tách ra từ bài toán tổng quát những bài toán “dễ giải” Các nghiên cứu lý thuyết đó thường là:

- Nghiên cứu các tính chất của các thành phần bài toán (hàm mục tiêu, các ràng buộc, các biến số, các hệ số…);

- Các điều kiện tồn tại lời giải chấp nhận được;

- Các điều kiện cần và đủ của cực trị;

- Tính chất của các đối tượng nghiên cứu

Các tính chất của các thành phần của bài toán và đối tượng nghiên cứu giúp ta phân loại các bài toán Một số bài toán tối ưu (quy hoạch toán học) được gọi là:

- Quy hoạch tuyến tính (QHTT) nếu hàm mục tiêu và tất cả các hàm

của QHTT là bài toán vận tải (BTVT);

- Quy hoạch tham số (QHTS) nếu các hệ số trong biểu thức của hàm mục tiêu

và của các ràng buộc phụ thuộc vào tham số;

- Quy hoạch động (QHĐ) nếu đối tượng xét là các quá trình có nhiều giai đoạn nói chung, hay các quá trình phát triển theo thời gian nói riêng;

là phi tuyến hoặc cả hai trường hợp đó cùng xảy ra;

- Quy hoạch rời rạc (QHRR) nếu miền ràng buộc D là tập rời rạc Trong trường hợp riêng khi các biến chỉ nhận giá trị nguyên ta có Quy hoạch nguyên (QHN) Một trường hợp riêng của QHN là quy hoạch biến booles khi các biến số chỉ nhận giá trị là 0 hoặc 1 Còn tối ưu hóa tổ hợp liên quan đặc

tính hữu hạn của đối tượng nghiên cứu, hay sự tồn tại một cấu trúc cho ta một định tính không gian của các tình huống cần so sánh;

- Quy hoạch đa mục tiêu (QHĐMT) nếu trên cùng một miền ràng buộc ta xét các mục tiêu khác nhau

1.2 Phát biểu bài toán đối ngẫu và phân tích nghiệm của bài toán đó

1.2.1 Cách thành lập bài toán đối ngẫu

a Cặp bài toán đối ngẫu không đối xứng

Xét bài toán dạng chính tắc (I):

c x

f

1

)()

m i b x a

j

n

j

i j ij

,1,0

,1,

1

Ta gọi bài toán này là bài toán gốc Dựa vào bài toán gốc (I), ta xây dựng một bài toán quy hoạch tuyến tính khác gọi là bài toán đối ngẫu của bài toán (I) có dạng sau:

b y

f

1

~

)()

Ký hiệu bài toán này là (I’) Cặp bài toán (I, I’) gọi là cặp bài toán không đối xứng

- Số ràng buộc (không kể ràng buộc dấu) trong bài toán này bằng số biến số trong bài toán kia, từ đó thấy tương ứng với một ràng buộc của bài toán này

là một biến số của bài toán kia

- Hệ số trong hàm mục tiêu của bài toán này là vế phải của hệ ràng buộc trong bài toán kia

- Ma trận điều kiện trong hai bài toán là chuyển vị của nhau

- Các biến số trong bài toán đối ngẫu không có ràng buộc về dấu

Khi phân tích quan hệ của hai bài toán đối ngẫu cần sử dụng một khái niệm quan trọng:

Cặp ràng buộc đối ngẫu: Ta gọi 2 ràng buộc bất đẳng thức (kể cả ràng buộc dấu) trong hai bài toán cùng tương ứng với một chỉ số là một cặp ràng buộc đối ngẫu Trong hai bài toán (I) và (I’) có n cặp ràng buộc đối ngẫu:

b Cặp bài toán đối ngẫu đối xứng

Xét bài toán (II):

)()

(

1

Max Min x

c x

f

n

j j

m i b x

ij

,1,0

,1,)(

1

Đưa bài toán về dạng chính tắc, ký hiệu là (II~

):

)()

(

1

Max Min x

c x

f

n

j j

m i b x x

ij

,1,0

,1,)

b y

f

1

~

)()

n j c y

ij

,1,0

,1,)(

Ký hiệu bài toán này là (II’) Do đặc điểm cấu trúc của hai bài toán, ta gọi (II) và (II’) là cặp bài toán đối ngẫu đối xứng Hai bài toán này có n + m cặp rằng buộc đối ngẫu sau:

ij

j i

ij j

m i y b x

a

n j c y

a x

1

,1,)

(

,1,)(0

c Cặp bài toán đối ngẫu tổng quát

Đối với bài toán bất kỳ, đưa về dạng chính tắc, xây dựng bài toán đối ngẫu của bài toán này và gọi là bài toán đối ngẫu của bài toán đã cho Chúng ta có thể sử dụng các quy tắc nêu trong lược đồ dưới đây để trực tiếp viết bài toán đối ngẫu mà không cần phải thực hiện bước biến đổi về dạng chính tắc

a

1

,1,)

a

1

,1,)

(

j

x không ràng buộc về dấu

n j

x j 0, 1,

n j

b y

f

1

~

)()

(

i

y không ràng buộc về dấu

m i

y i 0, 1,

m i

a

1

,1,

a

1

,1,)(

a

1

,1,)(

f  

và y* của một cặp bài toán đối

~

*

y f x

b Các định lý

 Định lý 1: Nếu một trong hai bài toán đối ngẫu giải được thì bài toán kia

và y* ta luôn có )

()

y f x

đối ngẫu tối ưu là trong các ràng buộc đối ngẫu nếu một ràng buộc thoả mãn với dấu bất đẳng thức thực sự (lỏng) thì ràng buộc kia phải thoả mãn với dấu bằng (chặt)

Ví dụ: Quy hoạch đối ngẫu của bài toán

là quy hoạch:

1.3 Giới thiệu một số phương pháp giải điển hình của quy hoạch toán học

Như đã trình bày trong mục (1.1.2), một bài toán quy hoạch toán học được phân loại thành nhiều dạng khác nhau dựa vào tính chất của các thành phần và đối tượng nghiên cứu Mỗi dạng lại có phương pháp giải đặc trưng riêng như:

 Quy hoạch tuyến tính:

- Phương pháp đơn hình và đơn hình cải biên

- Phương pháp hình học

- Phương pháp Hungary

- Phương pháp phương trình truy toán

- Phương pháp giải quy hoạch phi tuyến không có ràng buộc

- Phương pháp giải quy hoạch phi tuyến có ràng buộc

- Phương pháp nhánh – cận

- Các phương pháp gần đúng

- Phương pháp nhượng bộ dần

- Phương pháp thoả hiệp TAMM

- Phương pháp Người – Máy (của Geoffrion, Dyer, Fienberg)

- Phương pháp từng bước Benayoun

- Thuật toán thích nghi ổn định tối ưu hoá vectơ

- Phương pháp giải theo dãy mục tiêu đã được xắp xếp

- Phương pháp trọng số

- Phương pháp so sánh, sắp xếp phương án bài toán quy hoạch đa mục tiêu

- Phương pháp đồ thị

1.3.1 Mô hình và một số phương pháp giải bài toán quy hoạch đa mục tiêu

a Mô hình bài toán quy hoạch đa mục tiêu

max(min))

n

R D

k

Y X

Y X

gọi là vectơ mục tiêu

X gọi là phương án D là tập các phương án

Y1, ……Yk gọi là các hàm mục tiêu

Khi xử lý tập phương án Pareto vai trò người nhận lời giải có tác dụng đáng

kể trong quá trình giải Người nhận lời giải như ngụ ý rằng: Trong tập phương án

đó, các phương án đã có quan hệ trội hơn () và không phân biệt (~) được hình thành từ việc so sánh “lợi ích” của các phương án Giải bài toán như vậy gọi là bài toán quy hoạch đa mục tiêu kết hợp sở thích người nhận lời giải

Ở đây ta hiểu “lợi ích” là một hàm U: Y(D) → R Thông thường ta giả thiết

U thoả mãn một số điều kiện nào đó khái quát từ bài toán thực tế và hiện tượng thực tiễn Chẳng hạn U là một hàm lõm (hàm lợi ích tăng lên khi các hàm mục tiêu tăng lên) tức là:

“kém” “không phân biệt” nào đó)

k

i1,

k

i1,

Bài toán quy hoạch đa mục tiêu kết hợp với lợi ích của người nhận lời giải trong trường hợp hàm U tường minh có thể viết:

D X

X Y MaxU



))((

b Một số phương pháp giải bài toán quy hoạch đa mục tiêu

Thuật toán giải:

Bước 1: Giải k bài toán 1 mục tiêu riêng rẽ Sau đó lập bảng thưởng phạt (trong đó

X1 là phương án tối ưu Y10 là giá trị tối ưu)

1 0 1 1

2

)(

)(max

Y Y

X Y

D X

X Y

là giá trị tối ưu của bài toán, chuyển sang bước 3

Bước 3: Người nhận lời giải căn cứ vào Y2

0

và Y2* bắt Y2 phải nhượng bộ một lượng Y2 và giải bài toán:

(1.10) (1.11)

2 0 2 2

1 0 1 1

3

)(

)(

)(max

Y Y

X Y

Y Y

X Y

D X

X Y

2

* 2 2

1 0 1 1

)(

)(

)(

)(max

k

k

Y Y

X Y

Y Y

X Y

Y Y

X Y

D X

X Y

Nghiệm của bài toán cuối cùng này lấy làm nghiệm cho bài toán xuất phát

Giải bài toán

D X

X Y



)(max

Thuật toán giải như sau:

Bước 1: Giải k bài toán một mục tiêu riêng rẽ Giải sử nghiệm tối ưu là X i,i1,k

Đưa vào biến phụ W:

W M

X Y M k

gọi là độ lệch tương đối chung

Bước 2: Giải bài toán: min W (1.15)

(1.12) (1.13)

k i W M

X Y M

Từ đó tìm được nghiệm tối ưu X và W

Ở đây hàm “lợi ích” U tỷ lệ với độ lệch tương đối chung Còn X 1 X2 nếu độ lệch tương đối chung của X1 nhỏ hơn của X2 và ta có: X D:X  X hoặc X ~ X

Phương pháp có hai biến dạng như sau:

- Các độ lệch tương đối của hàm mục tiêu thì được gắn với một bộ trọng số tương ứng Trọng số này được xác định dựa trên khoảng biến động của từng mục tiêu

- Miền chấp nhận được của nó có thể thay đổi qua các bước giải

Hàm “lợi ích” và các quan hệ xác định như phương pháp tìm nghiệm có khoảng cách nhất đến nghiệm lý tưởng

Bài toán cơ bản mà phương pháp này xét

k I d

X Y

Ta viết d là metric đã thay đổi '

Di là miền chấp nhận được Khi i = 0 thì D0 D

Thuật toán giải như sau:

Bước 1: Xây dựng bảng “thưởng phạt” xác định MI và mI (giá trị max và min của YI(X)) ở cột I

Bước 2: Tìm các trọng số

Xác định I để tính I :

I I I

C

M

m M

1

2

)(

và giải bài toán i

Bước 4: Giả sử nghiệm của bài toán I là X(i) Đưa cho người nhận lời giải

nghiệm X(i) Người nhận lời giải phân tích kết quả và xảy ra:

1) Nếu người nhận lời giải (NNLG) chấp nhận X(i) thì thuật toán kết thúc 2) Nếu NNLG không chấp nhận X(i) và nếu chỉ số i < k-1 thì sang bước 5 3) Nếu NNLG không thoả mãn X(i) và i = k – 1 thì chọn cách giải khác

Bước 5 : NNLG phân tích kết quả và tìm ra mục tiêu I*

có thể nhượng bộ NNLG cho một nhượng bộ I* và sang bước 6

Bước 6 : Xác nhận miền chấp nhận mới D(i+1)

|)(

)()

I I

I

I I

i

Y i

X Y X Y

I I i

X Y X Y

D X



Còn đối với I  I* thì tính nhờ giá trị tối ưu của bài toán tìm hướng và giá trị hàm lợi ích Tăng i lên một đơn vị và chuyển về bước 3

Thuật toán kết thúc sau không quá k lần lặp

Bài toán quy hoạch đa mục tiêu được hiểu như là bài toán tối ưu hoá vectơ:

)(), ,(

1 X Y X Y

R D X

Ta xét bài toán max

Giả thiết X0D là vectơ tối ưu đối với người nhận lời giải Yêu cầu người nhận lời giải ước lượng giá trị mà mình thích nhất: Y0

v, (v1,k) với điều kiện: )

0

X Y

Y v  v



Vectơ X là lời giải tối ưu của:

k v X

Y Y

E{ 0v  v( )}0, 1,

D X

X Y Y

X Y

E v v



min)}

({

1

2 0

min}

))({(

Người ta mở rộng bài toán trên và đưa ra một thuật toán giải nó

Hàm lợi ích trong trường hợp này không thể hiện một cách tường minh mà người nhận lời giải ngụ ý rằng trên D có một hàm ý thích Còn quan hệ  được ,~rút ra thông qua việc so sánh các hàm mục tiêu

- Cơ sở của hệ thống trừu tƣợng nhƣ các quan hệ mờ trên các tham số

Giả sử cho hệ thống S, chúng ta cần mô tả hành vi của hệ thống đó thông qua

I i i

X X

X

X  : { } , nên chỉ mô tả gần đúng hệ S: S  U x Vi, i  I Trong đó Vitập hợp các giá trị có thể có của tham số Xi

Định nghĩa 1.3.1: Nếu (prijS)  (vi x vj) và (prjiS)  (vj x vi) không phải là ánh

xạ thì Xi và Xj gọi là độc lập, nếu ngược lại thì Xj phụ thuộc vào Xi hay Xi phụ thuộc vào Xj ((prijS) hay (prjiS): ký hiệu i,j; j,i - thành phần chiếu)

( j i

G



Rõ ràng G là hàm đặc trưng của quan hệ G  I x I tương ứng với hệ S

Chú ý: Theo giả thiết hiển nhiên G là phản xạ Thực tế với hệ phức tạp khó mà xác định được sự phụ thuộc giữa các tham số, cũng không có khả năng để giải quyết quan hệ giữa Xi và Xj có tồn tại hay không Do đó sẽ thích hợp hơn nếu ta định nghĩa:

- Hai phương án tốt ngang nhau sẽ được xếp cùng một chỉ số thứ tự

- Hai phương án, phương án nào trội hơn sẽ được ghi ở chỉ số thứ tự nhỏ hơn

nếu Xi phụ thuộc vào Xj nếungược lại

Các phương án này xem như các tham số cho trước và chúng có mối liên hệ với nhau và theo quan điểm đại số nó biểu thị một hệ thống trừu tượng nào đó

Ta giả thiết rằng L(I x I) là vành tạo nên bởi mọi quan hệ mờ trong vũ trụ I x I và

Ri là quan hệ con của G mà nó có quan hệ với tham số Xi Cho d là một ước lượng không âm trong L(I x I)

Định nghĩa 1.3.2: Nếu d(Xi)  d(Xj) thì nói rằng Xi không trội hơn Xj (hay

I k

k



là hàm đặc trưng của tập hợp bao gồm các chỉ số của mọi tham số ít nhiều có phụ thuộc vào tham số Xi Trên tập này ta có thể xây dựng tập mờ Ii với hàm liên thuộc (Ji)j = G(j, i)

nếu i  S(Jk) nếu ngược lại

Bổ đề 1.3.3: nếu quan hệ G là bắc cầu và thoả mãn: G(i, j) = G(k, j) lúc đó

S(Jk) = S(Ji) Tương tự như vậy mỗi tham số Xi được thay bằng tập mờ Ti = Ii Jitrong đó S(Ti)  I

Định nghĩa 1.3.4

Pi’ = Iix JiVới hàm liên thuộc :

(Pi’)(m,n) = (Ii)m ^ (Ji)n hay (Pi’)(m,n) = G(m, i) ^ G(i, n)

Theo tính chất hoán vị của L thì Pi ’

Ri là quan hệ biểu thị cấu trúc của một hệ con của hệ S mà trong đó xét mức

độ quan trọng của tham số Xi

Bổ đề 1.3.6: Nếu G là quan hệ bắc cầu thì Ri = Pi

Chú ý: Khi có Xi phụ thuộc vào Xj, nghĩa là G(i, j) > 0L thì không thoả mãn

Xj phụ thuộc vào Xi nghĩa là G(i, j) = 0L Nhưng có những trường hợp xảy ra G(i, j)

c) (Ei)(m, m) = G(m, i) ^ G(i, m) nếu Xi phụ thuộc vào Xj và Xj phụ thuộc vào Xi.

d(Ri) = d(Pi ’

) + d(Pi ”

) – d(Ei) c) Nếu L = [0, 1] thì tự đẳng cấu, số d(A) = 

U x

Ax trong trường hợp này

có nghĩa là mật độ tổng quát của tập mờ A

1.3.2 Bài toán quy hoạch phi tuyến và một số phương pháp giải

a Phát biểu bài toán

m i x g

R x x f

j i

n

,1,0)(

,1,0)(

);

(min

Trong đó ít nhất một trong các hàm f(x), {gi(x)} và {hj(x)} là phi tuyến Trong một số trường hợp, các ràng buộc đẳng thức, còn bất đẳng thức ≤ có thể chuyển thành bất đẳng thức ≥ bằng cách nhân hai vế với (-1)

Nếu bài toán chỉ có dạng (1.27) thì ta có thể quy bài toán quy hoạch phi tuyến không ràng buộc Có những khi ta gặp bài toán dạng như sau:

M = {x  D|gi(x) ≥0; hj(x) = 0; i = 1, ,m; j = 1,…,p} (1.26)

trong đó D là tập lồi trong Rn

Nếu hàm f(x), {gi(x)} và {hj(x)} là những hàm lồi thì ta có quy hoạch lồi, là một trường hợp riêng quan trọng của quy hoạch phi tuyến Nếu hàm f(x) là một dạng toàn phương, còn các ràng buộc là tuyến tính thì ta có quy hoạch toàn phương lại là một trường hợp riêng của quy hoạch lồi

Nhiều khi người ta biến đổi bài toán có ràng buộc về bài toán không có ràng buộc bằng cách dùng một hàm bổ trợ Hàm bổ trợ này biểu diễn qua các hàm số của bài toán và bản thân nó trở thành hàm mục tiêu có các cực tiểu không điều kiện trong một miền nào đấy Người ta thay đổi dần thông số, và chính bằng cách đó làm tăng ảnh hưởng của các ràng buộc lên hàm bổ trợ và như vậy, người ta xây dựng được một dãy bài toán không có ràng buộc mà nghiệm của chúng hội tụ đến nghiệm của bài toán xuất phát Để đơn giản ta nêu ra tư tưởng cơ bản một cách hình thức Xét bài toán:

(1.28) m

1,i 0)(g

(1.27) R

xf(x);

t x

1

i( ) [ ( )]

(x))]

(,



(1.22) (1.23) (1.24)

{i(t) } các hệ số trọng

G(y) hàm đơn điệu theo y mà trong có ý nghĩa nào đó khá tối khi y =

0 Thường G(y) được chọn sao cho:

G(y) > 0 với y < 0 G(y) = 0 với y ≥ 0 Hoặc G(y) → +∞ khi y → + 0

Phép chọn đầu tiên thường liên quan đến các thủ tục, trong đó các ràng buộc chỉ thoả mãn đối với nghiệm tối ưu tìm được, nghĩa là tận cùng các quá trình Trong một cách chọn khác đòi hỏi ràng buộc được hoàn thành trong tiến trình của các quá trình

Trong một số lớn trường hợp phương pháp trên diễn tả như sau:

Chọn dãy {tk} sao cho tk → ∞ khi k → ∞ Tính điểm cực tiểu xk của hàm

[x, (tk)] đối với k = 1, 2, … Trong các điều kiện tương ứng xk

đó tồn tại và là điểm tối thiểu không điều kiện của hàm [x, (tk)] Về nguyên tắc nhận được:

m j x

h

x f

)(min



Đây là phương pháp biến đổi bài toán (1.29), (1.30) về bài toán không có ràng buộc Dễ thấy rằng phép biến đổi đó thực hiện một cách khá đơn giản bằng cách đặt j(t) = i(hằng số) và G(y) = y trong [x, (tk)] Như vậy phương pháp nhân tử Lagrange cổ điển là một thí dụ cổ điển của phương pháp hàm bổ trợ không ràng buộc

b Một số phương pháp giải bài toán quy hoạch phi tuyến

- Hàm phạt điểm ngoài

Nghiên cứu quy hoạch phi tuyến dạng tổng quát sau:

(1.29) (1.30)

x

(1.31) min

)(





x f

P   

với  0 được gọi là hệ số phạt

Thuật toán như sau:

+ Chọn dãy đơn điệu 1 2  k

+ Giải các bài toán cực tiểu hoá không điều kiện:

2,1),,(

)}

()()(),(

|{

)(

)}

(),(min)),((

|)({)(

* v t f

t p t x P R x t B

t v t x P t

t x P t x t

Trong đó S và f là liên tục, tập nghiệm X* ; B(0)  giới nội

Sau khi thiết lập dãy tk tăng ngặt và tk ∞ sẽ xây dựng dãy xk  (t k) mà

từ đó tách ra được tập con hội tụ

Giả thuyết 2 Tính toán theo giả thuyết 1 có đơn giản nhưng chưa đảm bảo

độ chính xác cao Ở đây tìm xk

còn phải thoả:

Giả thuyết 3 Dành cho trường hợp vectơ x bao gồm nhiều thành phần, thay

bài toán xk  arg min ( , k)

R

Tìm các điểm giới hạn của nghiệm bài toán Cauchy

0

)0(),,

P dt

Điểm {xi}  X0 và ngoài ra:

1)

t t

Giải bài toán phụ cực tiểu P(x,tk) nhận được dãy:

),(min

R x

k

t x P

Các phương pháp hàm phạt kể trên có ý nghĩa thực tiễn quan trọng, nâng cao

độ chính xác của lời giải và mềm mại hơn trong việc tiết kiệm thời gian

Các phương pháp hàm phạt tỏ ra hạn chế khi phải giải bài toán với độ chính xác cao, Nhóm phương pháp dựa trên hàm Lagrange cải biên sẽ khắc phục được nhược điểm này – kết quả theo hướng này là của Evtusenko Iu G và Powel, Rokofeller… Vấn đề then chốt là ở tính đệ qui nhờ các hàm Lagrange cải biên đưa bài toán quy hoạch phi tuyến (1.31), (1.32) đến việc tìm maximin và maximax cục bộ của các điểm yên ngựa và chuyển sang việc giải hệ thống các phương trình phi tuyến

Ta xét một cải biên đơn giản nhất của hàm Lagrange Đối với bài toán (1.31), (1.32) thiết lập hàm:

L(x,u,v) = f(x) + <u, g(x)> + <v, h(x)> (1.34)

ở đây u,v là các nhân tử Lagrange

Định lý dưới đây sẽ cho điều kiện đủ của cực trị

Định lý: Giả sử L(x*, u*, v*) là các điểm yên ngựa của L Khi đó điều kiện đủ để

x* là nghiệm quy hoạch phi tuyến (1.31), (1.32) là tại điểm (x*, y*) thực hiện điều kiện không chặt bổ sung:

w j j

j

Ký hiệu y = (u,w); z = (x,y);

F(x, u, w) = F(x, y) = F(z) Giả thiết các hàm xác định bài toán khả vi, tồn tại điểm Kuhn – Tucker Xác định Z, với:

W* j = v*j

Suy ra Z*- điểm dừng của F(Z) vì:

Fz(Z*) = 0 (1.36) Tính chất này cho phép đệ quy bài toán (1.31), (1.32) để tìm điểm yên ngựa Z*của hàm F(z) sẽ thoả (1.36) Khó khăn là hàm F có thể không lồi, không lõm, vì thế

có thể phải xét đến bài toán maximin địa phương:

),,(minmax

x w

X2: Vốn đầu tư khai thác

X3: Khả năng toàn bộ khai thác

X4: Chi phí vật liệu và chi phí khác

X5: Lương và tiền công

X6: Khối lượng khai thác thực sự

X7: Doanh thu và toàn bộ lời lãi

X8: Lợi nhuận

Ta tiến hành phân lớp, sắp xếp tầm quan trọng của các tham số trên

Trong trường hợp này I = {1, 2, …, 8}, cho L = [0, 1], giả thiết cho trước quan hệ mờ:

” của tập mờ:

Tương tự như trên ta có:

d(R1) = 11; d(R2) = 15.2; d(R3) = 10.2; d(R4) = 13.1;

d(R5) = 10.4; d(R7) = 14.4; d(R8) = 13.8

Từ đó ta nhận được một sắp xếp:

3 5 1 4 8 7 2

Trong đó: X i1,X i2,X i3,X i4, {X i1,X i2,X i3,X i4, }

Nhận xét: Đây là phương án tổng quát hoá của tập mờ, cho phép ta sắp xếp đầy đủ

tập hợp các phương án theo hàm lợi ích Nó tạo khả năng nói lên mức độ liên hệ giữa các phương án được đặc trưng bằng số hay một cách tổng quát hơn bằng phần

tử của một vành nào đó

1.4.2 Vài bài toán thực tế dẫn đến quy hoạch phi tuyến

a Phân phối tối ƣu công suất giữa các nhà máy nhiệt điện

Có N nhà máy nhiệt điên

Gọi công suất phát của chúng là Pi, i1,N cho các nhu cầu phụ tải PT1, PT2, …,

PTN

Vấn đề đặt ra là cần xác định công suất phát Pi của từng nhà máy nhiệt điện sao cho tổng chi phí nhiên liệu và tổn thất điện năng trong lưới là nhỏ nhất, đồng thời đáp ứng được nhu cầu phụ tải, đảm bảo thoả mãn các yêu cầu kỹ thuật của nguồn điện

và khả năng truyền tải của đường dây trong lưới điện

Mô hình toán học của bài toán được xây dựng như sau:

min)

, ,,()

1

N N

P i  i  i, 1,

N j N i P P P

P

P ij( , , , N) ij, 1, ; 1,

Trong đó:

Bi(Pi) – Chi phí nhiên liệu của nhà máy điện thứ i có dạng hàm bậc hai của Pi

và lồi

), ,,(P1 P2 P N

P

i,

N

i 1, và có dạng toàn phương lồi

C – Chi phí tổn thất một đơn vị điện năng



i

i P

P , - là các cận dưới và trên của Pi (do yêu cầu kỹ thuật)

Pij(P1, P2, …,PN) – công suất chuyển từ nhà máy i đến phụ tải j, được biểu diễn tuyến tính qua các Pi, i 1,N

ij

P là cận trên của Pij

Ta nhận thấy bài toán trên là bài toán quy hoạch toàn phương lồi ràng buộc tuyến tính, với một ràng buộc phi tuyến tính bổ sung

b Bài toán thiết kế hệ thống nối đất chống sét trong các công trình xây dựng

Hệ thống nối đất chống sét trong các công trình xây dựng là một dàn lưới các thanh sắt đan hình chữ nhật, trong đó các thanh được hàn liền với nhau, đường chu

vi của hình chữ nhật lại được hàn với các cọc sắt đóng sâu dưới đất

p – điện trở suất của đất: p = 300 m, R0 = 1

k 4 , kl : tiền công với đơn vị (đ/m)

2 Chi phí vật liệu thanh: k2n1l1, k2: giá vật liệu (đ/m)

3 Chi phí nhân công đào rãnh: k3V, trong đó k3 tiền công (đ/m3),

1

1*

*2

24.0

*2

l n h tg ht

4, k4: tiền công (đ/m)

5

a

l

Vậy hàm mục tiêu chi phí có dạng:

a

l k l a

l k l hn h k

l n k l a

l k

5 1

4 1 1 3

1 1 2 1

1

44

)2.04.0(4

l p

l n

d h

l h d

l a p

l l G

c c

c c

c c

c

1

1 1 1

lg

73.2

44

34lg5.0

2lg

*

4

*73.2

Trong đó dc: độ dài của cọc