- So sánh và sắp xếp phƣơng án
b. Công thức đổi cơ sở, bảng đơn hình
3.1.3 Giải lại bài toán đa mục tiêu trên cơ sở các thông tin phản hồi từ các công ty con.
Theo bổ đề 3.1.1 thì giữa tổng công ty và các công ty con luôn luôn tìm được phương án sản xuất tối ưu cho riêng mình. Hay nói cách khác là bài toán của tổng công ty và các công ty con luôn luôn có nghiệm và ta đã giả thiết tổng công ty có q
công ty con, vì thế ta có thể coi nghiệm của bài toán là {X*,X1*,...,Xq*}. Như vậy chỉ tiêu sản xuất k*
j
X sản phẩm j tại công ty con k là phương án tối ưu mà tổng công ty giao cho công ty con thứ k, với k = 1,q phải sản xuất.
Từ các phương án mà tổng công ty giao về cho các công ty con, thì các công ty này phải lập kế hoạch sản xuất sao cho lượng sản phẩm mà mình sản xuất ra tối thiểu phải đạt mức mà tổng công ty đã giao về. Hay ta có thể ký hiệu như sau:
Xk ≥ Xk*
Trong đó:
- Xk là véc tơ sản phẩm mà công ty con k sản xuất
- Xk* là véc tơ phương án (chỉ tiêu) mà tổng công ty giao về cho công ty con thứ k phải sản xuất.
Chúng ta nhận thấy rằng, nếu với chỉ tiêu Xk* được giao cho công ty con thứ k, thì công ty con thứ k cần phải giải lại bài toán:
Chúng ta sẽ xét kỹ tại mục 3.2.
3.1.3 Giải lại bài toán đa mục tiêu trên cơ sở các thông tin phản hồi từ các công ty con. ty con.
Giả sử, tổng công ty sau khi nhận được các phản hồi chỉ tiêu k*
j
X của công ty con k, về việc bài toán tại công ty con k không có lời giải chúng ta phải giải lại bài toán ở mức tổng công ty.
Trƣờng hợp 1: Bài toán lập kế hoạch với P = C
<Ck, Xk> max
AkXk Bk (3.3.1) Xk Xk*
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
Bổ đề 3.1.2. Nếu P = Ck
với mọi k thì phương sản xuất án tối ưu X* của tổng công ty là tổng các phương án sản xuất tối ưu X*k (k = 1,q) của từng công ty và ngược lại. Tức là, (với chú ý các ký hiệu tại mục 3.2): X*= X*1+ X*2 +…, +X*q
Chứng minh: Khi P = C thì bài toán mức tổng công ty có dạng:
Hay <C, X> = <C1, X1> + <C2, X2> + … + <Cq , Xq> max A1X1 B1 X1 0 A2X2 B2 X2 0 (3.5) … AqXq Bq Xq 0
Từ đây ta thấy rằng nếu X* = X*1+ X*2 +…, +X*q là phương án sản xuất tối ưu cho tổng công ty thì X*k
là phương án sản xuất tối ưu cho công ty k (k=1,q). Vì nếu có một công ty i nào đó mà X*h
không phải là phương án sản xuất tối ưu, chúng ta giải lại bài toán (3.2) với k = h, tức là
<Ch, Xh> max
AhXh Bh (3.6)
Xh 0
Như vậy, bài toán này có phương án tối ưu Xh, tức là <Ch
, Xh> > <Ch,X*h> nếu thay X* = X*1+ X*2 +…+ X*q
bởi X(h) = X*1+ …+Xh+…+ X*q thì Xh là phương án chấp nhận được của (3.5) tức là của (3.4) với <C, Xh> > <C, X*> là điều vô lý vì X*
là phương án tối ưu. <C, X> max AX B (3.4) X 0 <Ck, X> max k = 1,q1 Ax b (2.6) x 0
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
Để chứng minh điều ngược lại, chúng ta giả thiết rằng X*1, X*2,…, X*q là phương án tối ưu của công ty 1,2,…,q khi đó X* = X*1+ X*2 +…+ X*q
phải là phương án tối ưu của (3.5) tức (3.4). Bởi vì < Ck
,X*k> = max < Ck,Xk> k=1,q và do đó < C1,X*1> + …+ <C2 ,X*2> = max<C1, X1> + …+ max<Cq , Xq> = max(< C1,X1> + …+ < Cq ,Xq>) hay <C, X*> = max <C, X> nghĩa là X*
là phương án tối ưu của tổng công ty.
Bổ đề 3.1.3: Khi P = C trong đó là hằng số thì các phương án sản xuất tối ưu X*k của công ty k (k=1,q) thì X*= X*1+ X*2 +…+ X*q
là phương án sản xuất tối ưu của tổng công ty và ngược lại. Điều khẳng định trên có thể suy trực tiếp từ hệ thức
<P, X> = <C, X> của hàm mục tiêu.
Nhận xét: Nếu véc tơ tiền lãi (hoặc giá) P của tổng công ty tỷ lệ với C thì chỉ cần giải bài toán ở mức tổng công ty sau đó đưa phương án sản xuất Xk*
cho công ty k (k=1,q) vì nó là phương án sản xuất tối ưu cho công ty đó, hoặc ngược lại tổng công ty có thể lấy các phương án tối ưu của các công ty để làm phương án sản xuất tối ưu cho tổng công ty.
Trƣờng hợp 2: Bài toán lập kế hoạch với P C
Khi p C thì các kết luận ở bài toán P = C không còn đúng nữa. Tức là các phương án sản xuất tối ưu của các công ty có ảnh hưởng lẫn nhau và ảnh hưởng đến phương án sản xuất tối ưu của tổng công ty và ngược lại.
Ký hiệu: Yk
(X) = <Ck, X> max , k = 1,q1 (3.7) Y(X) = (Y1(X), Y2(X),…, Yq
(X), Yq+1(X)) max (3.8) D = { X | AX B, X 0} (3.9) Y(X) được gọi là véc tơ mục tiêu.
Rõ ràng là việc tìm các phương án sản xuất tối ưu cho các công ty và cho tổng công ty là giải bài toán QHTT đa mục tiêu (3.8), (3.9) mà chúng ta đã biết. Hiện nay có nhiều phương pháp giải bài toán QHTT đa mục tiêu. Tuy nhiên trong trường hợp này, chúng ta sẽ chọn phương pháp dưới đây.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
Chúng ta sẽ giải bài toán (3.8), (3.9) theo phương pháp nhượng bộ dần. Phương pháp này là cách tìm lời giải thoả hiệp tốt nhất tức là tìm nghiệm X*
mà theo sự “đồng thuận” của tổng công ty và các công ty cho là tốt nhất, nghĩa là với X D: X* X (X* trội hơn X) hoặc X* ~ X (X* không phân biệt X). Cả và ~ được hình thành từ lợi ích của phương án (chung cho cả tổng công ty lẫn các công ty con của nó).
Thuật toán giải như sau:
Bước 0: Giải 1+q bài toán riêng rẽ sau đây
Yk(X) max k = 1,q1 (3.10)
X D (3.11)
Để tìm các phương án tối ưu X*1, X*2,…, X*q
, X*1+ q với các giá trị tối ưu Y01, Y02,…, Y0q
, Y0(q+1) và lập bảng thưởng phạt như sau: Hàm mục tiêu Phương án Y1 Y2 … Y1+q X1 Y01 Y2(X1) … Y1+q(X1) X2 Y02 Y1+q(X2) … X1+q Y0(1+q)
Bước1: Căn cứ vào bảng thưởng phạt và Y01
theo sự “đồng thuận” bắt Y1 phải nhượng bộ một lượng Y1 và giải bài toán:
Y2(X) max X D
Y1(X) Y01 - Y1
Giả sử Y*2là giá trị tối ưu của bài toán, chuyển sang bước 2
Bước2: Căn cứ vào Y02
và Y*2 theo sự “đồng thuận” bắt Y2 nhượng bộ một lượng Y2 và giải bài toán
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
X D
Y1(X) Y01 - Y1 Y2(X) Y*2 - Y2
Giả sử Y*3là giá trị tối ưu của bài toán, chuyển sang bước 3 . . .
Bước(1+q): Căn cứ vào Y0q
và Y*q theo sự “đồng thuận” bắt Yq nhượng bộ một lượng Yq và giải bài toán
Y(q+1)(X) max X D Y1(X) Y01 - Y1 Y2(X) Y*2 - Y2 . . . Yq(X) Y*q - Yq
Nghiệm của bài toán cuối cùng này được dùng làm nghiệm của bài toán (3.8), (3.9) và là phương án sản xuất thích hợp nhất của tổng công ty và các công ty con theo nghĩa “thoả hiệp - đồng thuận”