Thuật toán xấp xỉ giải một lớp bài toán đầu tư tài chính ngẫu nhiên

Mục lục trang Mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số vấn đề lý thuyết xác suất 1.1.1 Các khái niệm 1.1.2 Các đặc trưng biến ngẫu nhiên 10 1.2 Một số vấn đề lý thuyết thống kê 12 1.2.1 Mẫu cách xác định mẫu 12 1.2.2 Đặc trưng mẫu 12 1.2.3 Phương pháp thử ngẫu nhiên 14 1.3 Bài toán quy hoạch tuyến tính ngẫu nhiên 16 1.3.1 Bài toán quy hoạch tuyến tính ngẫu nhiên hai giai đoạn 16 1.3.2 Một số tính chất hướng tiếp cận giải 18 Chương Thuật toán xấp xỉ giải lớp toán đầu tư tài ngẫu nhiên nhiều giai đoạn 20 2.1 Mơ hình tốn 20 2.1.1 Bài tốn đầu tư tài ngẫu nhiên nhiều giai đoạn 20 2.1.2 Thiết lập mơ hình tốn học 22 2.2 Một số kỹ thuật 23 2.2.1 Các giả thiết ký hiệu 23 2.2.2 Nhát cắt thuật tốn tính tốn cắt 24 2.3 Thuật toán xấp xỉ giải toán (M SLP ) 29 2.3.1 Thuật toán lấy mẫu xấp xỉ 29 2.3.2 Thuật toán N -mẫu xấp xỉ 30 2.4 Sự hội tụ hầu chắn thuật toán 2.3.1 29 2.4.1 Sự hội tụ 30 2.4.2 Về hiệu thuật toán 34 Kết luận 36 Tài liệu tham khảo 37 Mở đầu Lý thuyết tối ưu mơn có nhiều ứng dụng thực tế Tuy nhiên, nhiều nội dung lý thuyết đề cập đến tốn dạng tất định (với thơng tin liệu đầy đủ) Nhiều toán điều khiển tối ưu lại có thơng tin phụ thuộc đại lượng ngẫu nhiên Khi ta có tốn tối ưu ngẫu nhiên Song song với Lý thuyết giải tích ngẫu nhiên, Lý thuyết xác suất ngẫu nhiên, môn Tối ưu ngẫu nhiên quan tâm nghiên cứu nhiều Trong nghiên cứu tối ưu ngẫu nhiên, có hai hướng Đó hướng nghiên cứu lý thuyết hướng nghiên cứu ứng dụng Là giáo viên Phổ thông trung học học viên cao học, tập dượt nghiên cứu khoa học, tơi chọn hướng thứ hai: Thử tìm ứng dụng thực tế điều hiểu biết học Với định hướng vậy, giúp đỡ giáo viên hướng dẫn tiếp xúc với cơng trình khoa học tối ưu hố ngẫu nhiên, tơi lựa chọn đề tài: "Thuật tốn xấp xỉ giải lớp tốn đầu tư tài ngẫu nhiên" Nhiệm vụ mà cần thực suốt trình nghiên cứu làm luận văn tốt nghiệp tìm hiểu tốn thực tế lớp tốn đầu tư tài Từ ứng dụng số kết tác giả Z L Chen W B Powell [5], A B Philpott Z Guan [7] làm sở lý luận nghiên cứu toán thực tế đặt Nội dung luận văn bao gồm hai chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Trong chương chúng tơi trình bày vấn đề lý thuyết xác suất - thống kê phương pháp thử ngẫu nhiên, lý thuyết quy hoạch tuyến tính tốn quy hoạch tuyến tính ngẫu nhiên nhiều giai đoạn Chương 2: Thuật toán xấp xỉ giải lớp tốn đầu tư tài ngẫu nhiên nhiều giai đoạn Đây nội dung luận văn Trong chương này, chúng tơi trình bày lớp tốn đầu tư tài ngẫu nhiên cần nghiên cứu Trên sở nghiên cứu mơ hình tổng qt Từ đó, trình bày thuật toán giải toán đặt Luận văn thực hoàn thành trường Đại học Vinh, hướng dẫn khoa học PGS TS Trần Xuân Sinh Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy hướng dẫn tận tâm thầy tác giả suốt thời gian học tập nghiên cứu Nhân dịp này, tác giả xin gửi lời cảm ơn tới thầy, cô giáo Bộ mơn Xác suất Thống kê Tốn ứng dụng, thầy cô giáo Hội đồng chấm luận văn, Khoa Tốn, Phịng Sau Đại học, Trường Đại học Vinh Đồng thời, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn Trường Trung học phổ thông Anh Sơn II giúp đỡ, tạo điều kiện cho học tập, công tác thời gian qua Cũng này, cho phép chúng tơi nói lời cảm ơn tới gia đình bạn bè, quan tâm, góp ý tạo điều kiện giúp đỡ tác giả thực luận văn Mặc dù cố gắng song luận văn khơng thể tránh khỏi sai sót Tác giả mong nhận đóng góp quý thầy giáo bạn để luận văn hồn thiện Tác giả xin chân thành cảm ơn! Vinh, tháng 10 năm 2012 Tác giả Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số vấn đề lý thuyết xác suất Trong mục này, trình bày số khái niệm tính chất lý thuyết xác suất nhằm phục vụ cho việc nghiên cứu đề tài 1.1.1 Các khái niệm Để có khái niệm xác suất, tuỳ theo yêu cầu mức độ nghiên cứu khác nhau, chúng tơi trình bày ba cách định nghĩa sau: Trước hết hình thành khái niệm phép thử ngẫu nhiên không gian biến cố sơ cấp Để nghiên cứu tượng ngẫu nhiên, người ta cần tiến hành phép thử ngẫu nhiên Phép thử ngẫu nhiên hành động mà kết ngẫu nhiên, khơng dự báo trước Khi tập hợp tất kết có phép thử ngẫu nhiên gọi không gian biến cố sơ cấp ký hiệu chữ Ω Mỗi phần tử ω ∈ Ω gọi biến cố sơ cấp (BCSC) 1.1.1.1 Định nghĩa theo tần suất biến cố Giả sử phép thử G lặp lặp lại n lần độc lập A biến cố G Giả sử n lần thử vậy, A xuất kn (A) lần Khi tỉ số kn (A) n gọi tần suất xuất biến cố A n phép thử cho fn (A) = Người ta thấy số phép thử tăng lên vô hạn, tần xuất fn (A) dần tới giới hạn xác định Giới hạn gọi xác suất A ký hiệu P(A) 1.1.1.2 Định nghĩa theo hình học Cho khơng gian biến cố sơ cấp Ω phép thử ngẫu nhiên G có vơ số BCSC có khả xuất Ω biểu diễn tập đo HΩ Khi biến cố A biểu diễn tập đo HA (ký hiệu độ đo HA ) số P(A) = độ đo HA độ đo HΩ gọi xác suất biến cố A 1.1.1.3 Định nghĩa theo tiên đề Các định nghĩa xác suất nêu tiện lợi việc giải số lớp toán ứng dụng cụ thể Tuy nhiên, để có tính khái quát chặt chẽ toán học, người ta xây dựng khái niệm xác suất hệ tiên đề thông qua khái niệm σ-đại số không gian đo sau: Cho Ω tập tuỳ ý khác rỗng, F σ-đại số tập Ω, (Ω, F) khơng gian đo Một ánh xạ P:F →R gọi độ đo xác suất F thoả mãn tiên đề: i) P(A) ≥ 0, với ∀A ∈ F, ii) P(Ω) = 1, iii) Nếu An ∈ F, (n = 1, 2, ), Ai ∩ Aj = Ai Aj = ∅, (i = j), ∞ ∞ An P n=1 = P(An ) n=1 Khi cho Ω = ∅, F σ-đại số tập Ω, P độ đo xác suất F Ta ba (Ω, F, P) gọi không gian xác suất Tập Ω gọi không gian biến cố sơ cấp Mỗi A ∈ F gọi biến cố Cho không gian xác suất (Ω, F, P) biến cố A Khi giá trị P(A) gọi xác suất biến cố A Hai biến cố A B gọi độc lập P(AB) = P(A).P(B) Xác suất có tính chất + P(∅) = 0, + Nếu AB = ∅ P(A ∪ B) = P(A) + P(B), + Nếu A ⊂ B P(B \ A) = P(B) − P(A), + P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(AB), + P( ∞ n=1 An ) ≤ ∞ n=1 P(An ), + (Bổ đề Borel-Cantelli) Giả sử (An ) dãy biến cố Khi i) Nếu ii) Nếu ∞ n=1 P(An ) < ∞ ∞ n=1 P(An ) = ∞ P(lim sup An ) = 0; (An ) độc lập P(lim sup An ) = 1, ∞ ∞ lim sup An = Ak n=1 k=n Giả sử (Ω, F) không gian đo, R = [−∞; +∞] Hàm thực X = X(ω) xác định Ω lấy giá trị R gọi hàm F - đo gọi biến ngẫu nhiên suy rộng {ω : X(ω) ∈ B} = X −1 (B) ∈ F với B ∈ B(R) (trong B(R) σ - đại số tập Borel trục thực R ) Nếu X : Ω → R = (−∞; +∞) X gọi biến ngẫu nhiên đại lượng ngẫu nhiên Hàm ϕ : (Rn , B(Rn )) → (R, B(R)) gọi hàm Borel, hàm B(Rn ) - đo được, nghĩa ϕ−1 (B) ∈ B(Rn ), với B ∈ B(Rn ) 10 Giả sử X biến ngẫu nhiên xác định (Ω, F, P), nhận giá trị R Hàm số FX (x) = P[X < x], (x ∈ R) gọi hàm phân phối biến ngẫu nhiên X 1.1.2 Các đặc trưng biến ngẫu nhiên 1.1.2.1 Kỳ vọng biến ngẫu nhiên a) Định nghĩa Giả sử X : (Ω, F, P) → (R, B) đại lượng ngẫu nhiên Khi tích phân Lebesgue X theo độ đo P (nếu tồn tại) gọi kỳ vọng X ký hiệu EX b) Các tính chất Nếu X ≥ EX ≥ Nếu X = C EX = C, với C số Nếu tồn EX với số λ, ta có E(λX) = λEX Nếu tồn EX EY E(X ± Y ) = EX ± EY   k xk pk , X rời rạc, P(X = xk ) = pk , EX =  +∞ xp(x)dx, X liên tục, có hàm mật độ p(x) −∞ (Định lý P Levy hội tụ đơn điệu) Nếu Xn ↑ X (tương ứng Xn ↓ X) tồn n để EXn− < ∞ (tương ứng EXn+ < ∞) EXn ↑ EX (tương ứng EXn ↓ EX) (Bổ đề Fatou) Nếu Xn ≥ Y, ∀n ≥ EY > −∞ ElimXn ≤ limEXn , Nếu Xn ≤ Y, ∀n ≥ EY < ∞ ElimXn ≥ limEXn , Nếu |Xn | ≤ Y, ∀n ≥ EY < ∞ ElimXn ≤ limEXn ≤ limEXn ≤ ElimXn (Định lý Lebesgue hội tụ bị chặn) Nếu |Xn | ≤ Y, ∀n ≥ 1, EY < ∞ Xn → X X khả tích, E|Xn − X| → EXn → EX, n → ∞ 11 Nếu ϕ hàm lồi, X ϕ(X) khả tích E(ϕ(X)) ≥ ϕ(EX) 10 Nếu X Y độc lập E(XY ) = EX.EY 1.1.2.2 Phương sai biến ngẫu nhiên a) Định nghĩa Phương sai biến ngẫu nhiên X, ký hiệu DX (hay varX) số xác định DX = E(X − EX)2 Khi DX =   k (xk  +∞ −∞ (x − EX)2 pk , X rời rạc, P(X = xk ) = pk , − EX)2 p(x)dx, X liên tục, có hàm mật độ p(x) b) Các tính chất DX ≥ 0, DX = X = EX = số h.c.c Với số λ D(λX) = λ2 DX DX = EX − (EX)2 Nếu X, Y độc lập D(X ± Y ) = DX + DY Với số λ, ta có E(X − λ)2 ≥ E(X − EX)2 Dấu xảy EX = λ 1.1.2.3 Moment biến ngẫu nhiên Giả sử X biến ngẫu nhiên, số mk = EX k (nếu tồn tại) gọi moment cấp k X, số αk = E(X − EX)k (nếu tồn tại) gọi moment trung tâm cấp k X Nhận xét Từ khái niệm moment cấp k biến ngẫu nhiên X, cho ta thấy moment cấp kỳ vọng moment trung tâm cấp phương sai X 12 1.2 Một số vấn đề lý thuyết thống kê Trong mục này, chúng tơi trình bày số khái niệm tính chất lý thuyết thống kê sở biết khái niệm xác suất mục 1.1 1.2.1 Mẫu cách xác định mẫu ◦ Tập hợp có phần tử đối tượng mà nghiên cứu gọi tổng thể Số phần tử tổng thể gọi kích thước tổng thể Nếu từ tổng thể, ta chọn n phần tử n phần tử gọi mẫu có kích thước n chọn từ tổng thể ◦ Khi chọn mẫu, phần tử chọn loại khỏi tổng thể, lần chọn gọi mẫu khơng hồn lại Nếu phần tử chọn trả lại tổng thể, chọn phần tử gọi mẫu có hoàn lại ◦ Mẫu gọi mẫu ngẫu nhiên chọn cách để bảo đảm tính khách quan, ngẫu nhiên ◦ Khi tổng thể có kích thước lớn ta khơng phân biệt mẫu khơng hồn lại mẫu có hồn lại ◦ Ta gọi mẫu định tính mẫu mà ta quan tâm đến phần tử có tính chất A hay khơng ◦ Ta gọi mẫu định lượng mẫu mà ta quan tâm đến yếu tố lượng phần tử mẫu, chẳng hạn chiều dài, khối lượng 1.2.2 Đặc trưng mẫu a) Tỷ lệ mẫu Cho mẫu định tính kích thước n, có m phần tử có tính chất A Khi ta gọi f = fn = m n tỷ lệ mẫu b) Trung bình mẫu ◦ Định nghĩa Cho n quan sát độc lập biến ngẫu nhiên X Ký 23   Ax(t−1) ≤ b với điều kiện  x(t−1) ≥ Như vậy, từ mơ hình tốn đầu tư sản xuất nêu, có mơ hình tốn học tốn quy hoạch tuyến tính ngẫu nhiên nhiều giai đoạn (M SLP ) 2.2 Một số kỹ thuật 2.2.1 Các giả thiết ký hiệu Trong suốt chương 2, chúng tơi hạn chế tốn (M SLP ) với giả thiết đặt (A1 ) Biến ngẫu nhiên xuất bên phải ràng buộc tuyến tính giai đoạn (A2 ) Tập hợp Ωt kết ngẫu nhiên giai đoạn t = 2, 3, , T rời rạc hữu hạn, nghĩa Ωt = ωti | i = 1, , qt < ∞ , với xác suất pti > 0, ∀i (A3 ) Biến ngẫu nhiên giai đoạn khác độc lập (A4 ) Tập phương án tốn quy hoạch tuyến tính giai đoạn khác rỗng bị chặn Ký hiệu xt vectơ (ma trận) định giai đoạn t; ct vectơ (ma trận) chi phí giai đoạn t; cTt ma trận chuyển vị ct ; At ma trận hệ số vế trái điều kiện buộc giai đoạn t; Bt ma trận điều kiện buộc vế phải liên kết giai đoạn t giai đoạn t + Theo giả thiết ký hiệu trên, toán quy hoạch tuyến tính ngẫu 24 nhiên nhiều giai đoạn, trình bày dạng sau: [LP1 ]Q1 = cT1 x1 + Q2 (x1 ) x1   A1 x1 = b1 với điều kiện  x ≥0 với t = 2, 3, , T, qt Qt (xt−1 ) = pti Qt (xt−1 , ωti ), i=1 Qt (xt−1 , ωti ) định nghĩa sau [LPt ]Qt (xt−1 , ωti ) = cTt xt + Qt+1 (xt ) xt   At xt = ωt − Bt−1 xt−1 với điều kiện  x ≥0 t đặt QT +1 ≡ Bài toán [LPt ] phụ thuộc vào cách chọn ωt xt−1 , nên viết [LPt (xt−1 , ωt )] Với giả thiết (A3 ), tốn [LPt ] có ωt−1 , ωt−2 , độc lập 2.2.2 Nhát cắt thuật tốn tính toán cắt Trong mục này, xét đến hàm Qt (xt−1 ) giai đoạn xấp xỉ dần hàm tuyến tính, gọi nhát cắt 2.2.2.1 Các ký hiệu Trong lần lặp k = 1, 2, , xét đến tập phương án {xkt : t = 1, , T − 1} tập nhát cắt cho giai đoạn t = 1, , T − Theo cách làm tăng thêm dãy toán xấp xỉ [APtk ], k = 1, 2, cho giai đoạn cho sau Chúng ta xác định tốn sau đây: 25 • Với t = 1, ta có tốn tuyến tính [AP1k ]ck1 = cT1 x1 + θ2 x1 ,θ2    A1 x1 = b1    với điều kiện θ2 + (β2j )T x1 ≥ α2,j , j = 0, , k −      x1 ≥ • Với t = 2, , T − 1, ta có tốn tuyến tính [APtk ] ckt (xkt−1 , ωt ) = cTt xt + θt+1 xt ,θt+1    At xt = ωt − Bt−1 xkt−1    j với điều kiện θt+1 + (βt+1 )T xt ≥ αt+1,j , j = 0, , k −      xt ≥ αk+1 , βk+1 hệ số xác định [4] Sau với k giai đoạn T , ta đặt [APTk ] = [LPT ] Bài toán [APtk ] xấp xỉ toán [LPt ], nghĩa Qt+1 (xt ) xấp xỉ hàm đa diện max j= 0, ,k−1 j αt+1,j − (βt+1 )T xt Theo cách lời giải toán [APtk ] cho ta cận giá trị tối ưu toán [LPt ] Trong tất giai đoạn, nhát cắt (j = 0) nhát cắt bình thường θt+1 > −∞ Ta dùng ký hiệu ckt (xt−1 ) để biểu thị qt k i=1 pti ct (xt−1 , ωt ) Trong giai đoạn cuối T , ta có [APTk ] = [LPT ] với xT −1 ωt ckT (xT −1 , ωT ) = QT (xT −1 , ωT ), k = 1, 2, Khi nhát cắt bổ sung từ lặp khơng có nhát cắt đi, giá trị tối ưu tốn [APtk ] hình thức dãy đơn 26 điệu, chẳng hạn với k = 1, 2, ck+1 (xt−1 , ωt ) ≥ ckt (xt−1 , ωt ), t = 2, 3, , T, t ck+1 ≥ ck1 Mặt khác, theo giả thiết (A4 ) ta có xt | At xt = ωt − Bt−1 xkt−1 , xt ≥ khác rỗng bị chặn, tốn [APtk ] ln có tập phương án khác rỗng (với θt+1 chọn đủ lớn) từ có lời giải tối ưu Như ta có lời giải tối ưu (πt , ρt ), πt tương ứng ràng buộc đẳng thức ρt tương ứng ràng buộc nhát cắt Hơn theo giả thiết (A1 ), tập điểm cực biên tốn [APtk ] độc lập Sau ta xây dựng nhát cắt hữu hiệu giai đoạn dựa tập hợp Dtk lời giải tối ưu điểm cực biên từ mẫu khác Ban đầu bước lặp k = 0, Dt0 = φ Bất kỳ dãy lặp k hệ số nhát cắt giai đoạn t = 1, 2, , T − tính tốn theo thuật tốn trình bày Thuật tốn có tên gọi thuật tốn tính tốn cắt (Cut Calculation Algorithm) 2.2.2.2 Thuật tốn tính tốn cắt Bước Chọn mẫu Ωkt ⊆ Ωt , giải toán [APtk ] với tất ωti ∈ Ωkt bổ sung vào lời giải tối ưu điểm cực biên Dtk Bước Giả sử (πti (xkt−1 ), ρit (xkt−1 )) lời giải tốt Dtk cho toán [APtk ], với ωti ∈ Ωt , t < T k−1 (πti (xkt−1 ), ρit (xkt−1 )) = argmax πtT (ωti − Bt−1 xkt−1 ) + ρTt αt+1 | (πt , ρt ) ∈ Dtk , πTi (xkT −1 ) = argmax πTT (ωT i − BT −1 xkT −1 ) | πT ∈ DTk Bước Nhát cắt có cơng thức θt ≥ αt,k − (βtk )T xt−1 , 27 qt βtk T pti Bt−1 πti (xkt−1 ), với ≤ t ≤ T, = i=1 qt k−1 T i k pti [ωtiT πti (xkt−1 ) + (αt+1 ) ρt (xt−1 )], với ≤ t ≤ T − 1, αt,k = i=1 qT pT i ωTT i πTi (xkT −1 ) αT,k = i=1 k−1 Chú ý αt,k vơ hướng, cịn αt+1 vectơ (k −1) chiều Theo cách k−1 kích thước αt+1 ρit (xkt−1 ) tăng lên tăng lên lần lặp k, tập hợp lời giải tối ưu điểm cực biên toán [APtk ] vơ hạn Mặt khác, tập hợp giá trị phân biệt (βtk , αt,k ) chắn hữu hạn, ta chứng tỏ điều qua Mệnh đề mục 2.2.2.3 sau 2.2.2.3 Tính hữu hạn thuật toán 2.2.2 Với t = 2, 3, , T , ta định nghĩa tập hợp Gkt = (βtj , αt,j ) : j = 1, 2, 3, , k − Mệnh đề sau khẳng định tính hữu hạn thuật tốn 2.2.2 Mệnh đề Với dãy Gkt , k = 1, 2, sinh lặp lại thuật tốn 2.2.2, tồn mt cho tất k ta có | Gkt |≤ mt Hơn nữa, tồn kt cho k > kt Gkt = Gkt t Chứng minh Ta xét dãy Gkt , k = 1, 2, sinh lặp lại thuật toán 2.2.2 Chúng ta chứng minh quy nạp theo t để xây dựng mt cho | Gkt |≤ mt 28 Đầu tiên T, ρT = πt điểm cực biên {π | ATT π ≤ cT } Khi đó, hệ số nhát cắt qT pT i ωTT i πTi (xkT −1 ), αT,k = i=1 qT βTk = pT i BTT −1 πTi (xkT −1 ) i=1 T k lấy nhiều mqTT+1 giá trị, mT = m2q t+1 | GT |≤ mT với k Bây giả sử t, tồn mt+1 cho với k, có | Gkt+1 |≤ mt+1 k t+1 Điều cho thấy tồn kt+1 , mà k > kt+1 Gkt+1 = Gt+1 nhát cắt bước lặp k > kt+1 lặp lại nhát cắt thực Ta xét tập phương án toán [APtk ], ký hiệu k−1 Htk = (πt , ρt ) | ATt πt k−1 j βt+1 ρjt + j=1 ρjt = 1, ρt ≥ ≤ ct , j=1 Nếu k > kt+1 điểm cực biên (πtk , ρkt ) Htk tương ứng k điểm cực biên (π, ρ) Ht t+1 với giống giá trị khách quan, bao j gồm cách chọn π = πtk cột sở βt+1 với j < kt+1 ngang với cột sở j j βt+1 , kt+1 ≤ j < k Vì cột sau βt+1 giá trị hệ số αt+1,j k t+1 (β, α) ∈ Gt+1 Từ có hữu hạn số gọi et lời giải k điểm cực biên Ht t+1 , có nhiều et giá trị phân biệt k−1 T i k ) ρt (xt−1 )] [ωtiT πti (xkt−1 ) + (αt+1 (et )qt giá trị phân biệt qt k−1 T i k ) ρt (xt−1 )] pti [ωtiT πti (xkt−1 ) + (αt+1 αt,k = i=1 29 Tương tự qt βtk T pti Bt−1 πti (xkt−1 ), = i=1 lấy nhiều (et )qt giá trị mt = (et )2qt , | Gkt |≤ mt Đó điều phải chứng minh 2.3 Thuật tốn xấp xỉ giải toán (M SLP ) 2.3.1 Thuật tốn lấy mẫu xấp xỉ ngồi Thuật tốn trình bày dựa tính chất mẫu phép thử đặt sau đây: −1 i) Với j = 1, 2, , ΠTt=2 qt với xác suất ta có k : {ωtk | t = 2, 3, , T − 1} = ω(j) = ∞ ii) Với t = 2, 3, , T , i = 1, 2, , qt với xác suất ta có {k : ωti ∈ Ωkt } = ∞ Sau chúng tơi trình bày thuật tốn mẫu xấp xỉ (Dynamic Outer Approximation Sampling Algorithms) Bước Đặt k := Bước Thử kết riêng lẻ ωt biến ngẫu nhiên giai đoạn t = 2, 3, , T − cho nhánh riêng lẻ {ωtk } thoả mãn tính k ) chất i) Mỗi giai đoạn t = 1, 2, , T − tính tốn lời giải tối ưu (xkt , θt+1 toán [APtk ] Bước Với giai đoạn t = T, T − 1, , 2, áp dụng thuật toán 2.2.2 để tạo nhát cắt xkt−1 với mẫu Ωkt thoả mãn tính chất ii) Bước Đặt k := k + trở bước Chú ý + Tính chất i) cho phân nhánh ω(j) đường ngang vô hạn nhiều lần với xác suất 30 + Tính chất ii) cho kết phân nhánh ωti xem xét nhiều lần với xác suất Có nhiều phép thử thoả mãn hai tính chất trên, ví dụ xét tính độc lập phép thử kết riêng lẻ giai đoạn có xác suất hầu chắn với ωti tính chất i) ii) tương ứng Bằng Bổ đề Borel-Cantelli người ta phương pháp thoả mãn hai tính chất Nói cách khác phép thử thoả mãn tính chất i) ii) lặp lại −1 vét kiệt phân nhánh ω(j), j = 1, 2, , ΠTt=2 qt hai tính chất 2.3.2 Thuật tốn N -mẫu xấp xỉ ngồi Trong mục 2.4, xem xét tính hội tụ thuật tốn lấy mẫu xấp xỉ Trong mục này, cần ý đến thuật toán N -mẫu xấp xỉ ngồi, mà thuật tốn lấy mẫu xấp xỉ ngồi thực theo N mẫu Bước Đặt k := 1, với s := đến N , chọn giai đoạn t = 2, 3, , T − kết riêng lẻ ωst biến ngẫu nhiên đưa đến tập N phân nhánh Bước Với phân nhánh s giai đoạn t = 1, 2, , T − tính tốn k lời giải tối ưu (xkst , θs,t+1 ) toán [APtk ] Bước Mỗi giai đoạn t = T, T − 1, , 2, áp dụng thuật toán 2.2.2 để tạo N nhát cắt trạng thái xks,t−1 với mẫu Ωks,t , s = 1, 2, , N Bước Đặt k := k + trở bước 2.4 Sự hội tụ hầu chắn thuật toán 2.3.1 2.4.1 Sự hội tụ Các kết sau hội tụ hầu chắn thuật toán 2.3.1 2.4.1.1 Bổ đề Trong cách thể lặp lại, hội tụ 31 thuật toán 2.3.2 số hữu hạn bước cho ta giá trị limk C1k theo giá trị kỳ vọng tối ưu toán [LP1 ] Chứng minh Với s = 1, 2, , N , kể từ k = 1, 2, nhát cắt xây dựng lần lặp k, theo Bổ đề với t ∈ {2, , T } k tồn ks,t Như k > ks,t Gkt = Gt s,t khơng có k thay đổi định nghĩa nhát cắt Cs,t (xs,t−1 ), cho xs,t−1 max j= 0, ,k−1 αt,j − (βtj )T xs,t−1 = max j= 0, ,ks,t−1 αt,j − (βtj )T xs,t−1 Với t ∈ {2, , T }, ta chọn kt = maxN s=1 ks,t với k > kt khơng có thay đổi định nghĩa nhát cắt Ctk (xt−1 ), với xt−1 max j= 0, ,k−1 αt,j − (βtj )T xt−1 = max j= 0, ,kt−1 αt,j − (βtj )T xt−1 Như tất lời giải (xk1 , θ2k ) cho tốn [AP1k ] giống với k k > k2 , tất lời giải (xkt , θt+1 ) cho toán [APtk ], t = 2, 3, , T Do vậy, thuật toán 2.3.1 kết thúc sau bước lặp k2 Dễ thấy với k giá trị tối ưu toán [AP1k ] cho ta cận giá trị kỳ vọng tối ưu toán [LP1 ] 2.4.1.2 Bổ đề Theo tính chất ii) thuật tốn 2.3.2 với tồn phân nhánh, hội tụ h.c.c cho ta lời giải tối ưu toán [LP1 ] số hữu hạn bước lặp Chứng minh Từ Bổ đề 2.4.1.1 cách thể lặp lại, thuật toán 2.3.2 hội tụ sau số hữu hạn bước đến limk C1k cho ta cận giá trị kỳ vọng tối ưu Bây ta xét cách thể lặp lại thuật toán 2.3.2 rõ giới hạn cách giải (x1 , x2 (ω2 ), , x3 (ω2 , ω3 ), ) đạt lặp lại k Với phân nhánh ω2 , ω3 , , ωT rõ xt (ω2 , ω3 , , ωt ) xt (ω) 32 Với k > k phân nhánh ω, CTk (xT −1 (ω)) = QT (xT −1 (ω)) (2.4) Với xác suất 1, CTk (xT −1 (ω), ωT )) = QT (xT −1 (ω), ωT ), với ωT Mặt khác cho vài kết riêng biệt ωt , ta có ωT ∈ / ΩkT cho k > k với xác suất chắn vi phạm tính chất ii) Bây k > k với phân nhánh ω CTk −1 (xT −2 (ω)) = QT −1 (xT −2 (ω)) (2.5) Cho vài kết riêng biệt ωT −1 , ta có CTk −1 (xT −2 (ω), ωT −1 ) < QT −1 (xT −2 (ω), ωT −1 ) (2.6) Nhưng CTk −1 (xT −2 (ω), ωT −1 ) = minxT −1 ,θT cT T −1 xT −1 + θT    AT −1 xT −1 = ωT −1 − BT −2 xT −2 (ω),    với điều kiện θT + (βTj )T xT −1 ≥ αT,j , j = 0, 1, , k − 1,      xT −1 ≥ Ta có lời giải tối ưu (x∗T −1 , θT∗ ) = xT −1 (ω), max j= 0, ,k−1 αT,j − (βTj )T xT −1 (ω) , với ωT −1 = ωT −1 Nếu θT∗ < ckT (x∗T −1 ) với k > k : max j= 0, ,k−1 αT,j − (βTj )T xT −1 (ω) < CTk (x∗T −1 ) = QT (xT −1 (ω)) (2.7) Nhưng với tính chất ii), với xác suất 1, với ωT cho vài k(ωT ) > k k(ωT ) với ωT ∈ ΩT Nếu giả sử k giá trị lớn k(ωT ) chiều cao nhát cắt xT −1 (ω) ước lượng lặp k QT (xT −1 (ω)), mâu thuẫn (2.7) (Hình 2.1) 33 Vì thế, ta có θT∗ = ckT (x∗T −1 ) = QT (x∗T −1 ) ∗ ∗ CTk −1 (xT −2 (ω), ωT −1 ) = cT T −1 xT −1 + QT (xT −1 ) = QT −1 (xT −2 (ω), ωT −1 ) mâu thuẫn (2.6), liên quan tới giải thích (2.5) Chú ý là, ωT −1 lấy tuỳ ý chứng tỏ xT −1 (ω) giải toán [LPT −1 (xT −2 (ω), ωT −1 )] với ωT −1 Một cách tương tự, dễ dàng chứng tỏ phép quy nạp với xt−1 (ω) giải toán [LPt−1 (xt−2 (ω), ωt−1 )], chứng minh (x1 , x2 (ω2 ), x3 (ω2 , ω3 ), ) lời giải tối ưu 2.4.1.3 Định lý Theo tính chất i) ii), hội tụ thuật toán 2.3.1 với xác suất cho ta lời giải tối ưu toán [LP1 ] số hữu hạn bước lặp Chứng minh Bằng tính chất i), phân nhánh tập hữu hạn 34 −1 N = ΠTt=2 qt xảy vô hạn số lần q trình thuật tốn với xác suất Vì với xác suất thuật tốn 2.3.1 gồm dãy bước lặp tương đương với thuật tốn 2.3.2 áp dụng đến tồn phân nhánh Chúng ta áp dụng Bổ đề 2.4.1.1 với xác suất 1, thuật toán 2.3.1 hội tụ số hữu hạn bước lặp cho ta lời giải tối ưu toán [LP1 ] số hữu hạn bước lặp 2.4.2 Về hiệu thuật tốn Trong cơng trình tác giả K Linowsky A B Philpott đặt vài giả thiết khác từ tính chất i) ii) gọi tính chất phép thử nhát cắt (CSP) tính chất mẫu giao (SIP) Tính chất CSP cho có số hữu hạn bước lặp thuật tốn Ωkt rỗng Từ nghiên cứu hội tụ k → ∞ Tính chất CSP hiệu giống với giả thiết Ωkt khác rỗng, với k Tính chất SIP (the Sample Intersection Property) cho với t, ωti ∈ Ωt k (Ωkt = ∅), P (ωti ∈ Ωkt ) ∩ (ωtk = ωti ) > Tính chất (SIP) nêu rõ sau: Với ωti ∈ Ωt k (Ωkt = ∅) P[ωtk = ωti ] > 0, (2.8) P[ωti ∈ Ωkt ] > (2.9) Định lý sau chứng tỏ rằng, tính chất SIP đủ để thoả mãn tính chất i) ii) xảy với phép thử độc lập 2.4.2.1 Định lý Cho phép thử độc lập tính chất i), tính chất SIP hệ tính chất i) Cho phép thử độc lập với tính chất ii), tính chất SIP hệ tính chất ii) 35 Chứng minh Theo tính chất SIP, với (2.8) phép thử độc lập tính chất i), với phân nhánh ω(j), với ωti ∈ ω(j), t = 2, 3, , T − 1, T −1 P ωtk P ωtk = ωti > = ω(j) = t=2 Khi với phép thử độc lập i), Bổ đề Borel-Cantelli, có vơ −1 hạn đường ngang phân nhánh ω(j), j = 1, 2, , ΠTt=2 qt với xác suất 1, tính chất i) thoả mãn Với (2.9) phép thử độc lập tính chất ii) Bổ đề BorelCantelli có vơ hạn xem xét cho ωti với xác suất tính chất ii) thoả mãn 36 Kết luận Luận văn có số đóng góp sau: Trình bày cách hệ thống khái niệm kiến thức sở nhằm phục vụ cho việc nghiên cứu vấn đề có liên quan luận văn Cụ thể trình bày vấn đề: số nội dung cần thiết lý thuyết xác suất, toán quy hoạch ngẫu nhiên phương pháp xấp xỉ giải toán quy hoạch ngẫu nhiên Xem xét tốn đầu tư tài nhiều giai đoạn Từ tổng qt hố mơ hình tốn học, xem xét số kỹ thuật phân tích tốn Đưa thuật toán xấp xỉ giải toán đặt Phát biểu chứng minh tính hữu hạn thuật tốn tính hội tụ hầu chắn Khi có điều kiện cho phép, cố gắng tiếp tục nghiên cứu: ◦ Xây dựng thêm mơ hình ứng dụng tốn thực tế ◦ Đưa ví dụ số để khẳng định hiệu thuật toán 37 Tài liệu tham khảo [1] Đào Hữu Hồ (1996), Xác suất thống kê, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Nguyễn Văn Quảng (2007), Giáo trình xác suất, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [3] Trần Xuân Sinh, (2005), Các phương pháp ngẫu nhiên giải toán quy hoạch, Bài giảng dùng cho Cao học chuyên ngành Xác suất Thống kê toán học, Đại học Vinh [4] Nguyễn Duy Tiến - Vũ Viết Yên (2001), Lý thuyết xác suất, NXB Giáo dục, Hà Nội [5] Z L Chen and W B Powell, (1999), A Convergent Cutting-Plane and Partial-Sampling Algorithm for Multistage Stochastic Linear Programs with Recourse, Journal of Optimization Theory and Applications, 102 (1999), 497-524 [6] K Linowsky and A B Philpott (2005), On the Convergence of SamplingBased Decomposition Algorithms for Multistage Stochastic Programs, Journal of Optimization Theory and Applications, Vol 125, No.2, 349Ọ366, DOI: 10.1007/s10957-004-1842-z [7] A B Philpott and Z Guan (2006), On the Convergence of Stochastic Dual dynamic Programming and Related Methods, The University of Auckland, Private Bag 92019, Auckland, New Zealand [8] A Shapiro, D Dentcheva and A Ruszczy´ nski (2010), Lectures on Stochastic Programming Modeling and Theory, Mathematical Programming Society Philadelphia ... hố ngẫu nhiên, tơi lựa chọn đề tài: "Thuật toán xấp xỉ giải lớp tốn đầu tư tài ngẫu nhiên" Nhiệm vụ mà chúng tơi cần thực suốt q trình nghiên cứu làm luận văn tốt nghiệp tìm hiểu toán thực tế lớp. .. kê phương pháp thử ngẫu nhiên, lý thuyết quy hoạch tuyến tính tốn quy hoạch tuyến tính ngẫu nhiên nhiều giai đoạn Chương 2: Thuật toán xấp xỉ giải lớp tốn đầu tư tài ngẫu nhiên nhiều giai đoạn... giải cho lớp toán riêng biệt Chẳng hạn [3]: Các nhát cắt Gomory, nhát cắt tọa độ, việc giải lớp toán quy hoạch tuyến tính ngun 20 Chương Thuật tốn xấp xỉ giải lớp tốn đầu tư tài ngẫu nhiên nhiều