Về một lớp bài toán quy hoạch rời rạc ngẫu nhiên hỗn hợp hai giai đoạn

Mục lục trang Mở đầu Chương Cơ sở lý luận 1.1 Một số vấn đề sở lý thuyết xác suất thống kê 1.1.1 Định nghĩa 1.1.2 Các tính chất 1.2 Bài toán quy hoạch rời rạc quy hoạch rời rạc hỗn hợp 1.2.1 Bài toán 1.2.2 Phương pháp phân rã Bender 1.2.3 Phương pháp nhánh cận giải toán quy hoạch rời rạc 1.2.4 Phương pháp cắt hợp cách giải toán quy hoạch nguyên 13 1.3 Bài toán quy hoạch rời rạc ngẫu nhiên hai giai đoạn 13 1.3.1 Bài tốn quy hoạch tuyến tính nguyên ngẫu nhiên hai giai đoạn 13 1.3.2 Cách tiếp cận giải 15 Chương Một thuật toán giải toán quy hoạch ngẫu nhiên nguyên hỗn hợp hai giai đoạn với biến số giai đoạn thứ liên tục 17 2.1 Bài toán 17 2.2 Phương pháp phân nhánh D2 19 2.3 Tiếp cận phân nhánh tính cận 21 2.4 Thuật toán nhánh cắt 25 2.5 Ví dụ minh hoạ 28 Kết luận 36 Tài liệu tham khảo 37 Mở đầu Quy hoạch nguyên quy hoạch nguyên hỗn hợp tốn có nhiều ứng dụng thực tiễn Về lý luận, toán nghiên cứu có thuật tốn hữu hiệu giải Trong đáng ý phương pháp cắt, phương pháp nhánh cận, phương pháp nhánh cắt, Như biết: toán quy hoạch với tham gia yếu tố ngẫu nhiên gọi toán quy hoạch ngẫu nhiên Bài toán quy hoạch nguyên quy hoạch nguyên hỗn hợp thông tin liệu không đầy đủ trở thành lớp toán quy hoạch ngẫu nhiên Để giải toán quy hoạch nguyên (và quy hoạch nguyên hỗn hợp), người ta nghĩ đến việc vận dụng phương pháp truyền thống biết Tuy nhiên, để vận dụng phương pháp giải toán quy hoạch nguyên tất định vào tốn quy hoạch ngẫu nhiên cịn khoảng cách xa Nó địi hỏi nhà tốn học phải hiểu biết sâu rộng lý thuyết quy hoạch toán học lý thuyết xác suất thống kê Sự kết hợp lĩnh vực toán học nêu giúp nhiều toán thuộc lý thuyết điều khiển ngẫu nhiên giải Với quan tâm, ý tới khía cạnh phù hợp nó, thời gian mức độ cho phép, cố gắng xem xét nội dung có liên quan đến cơng trình Lewis Ntaimo - Suvrajeet Sen [NS] Đó lý chọn đề tài "Về lớp toán quy hoạch rời rạc ngẫu nhiên hỗn hợp hai giai đoạn Nội dung luận văn bao gồm hai chương: Chương Cơ sở lý luận Trong chương nêu số khái niệm thuộc lý thuyết xác suất trình bày nội dung toán quy hoạch nguyên hỗn hợp, toán quy hoạch nguyên ngẫu nhiên nhằm làm công cụ nghiên cứu cho đề tài Chương trình bày nội dung lớp toán quy hoạch ngẫu nhiên nguyên hỗn hợp hai giai đoạn, giai đoạn xét với biến liên tục Chương nội dung luận văn Trong chương này, trước hết chúng tơi trình bày tốn nêu đề tài Tiếp đó, chúng tơi trình bày tính chất tốn đặt Cuối đưa thuật tốn ví dụ minh hoạ Luận văn thực hoàn thành trường Đại học Vinh, hướng dẫn khoa học PGS TS Trần Xuân Sinh Chúng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy hướng dẫn tận tâm thầy suốt thời gian học tập nghiên cứu Nhân dịp này, xin gửi lời cảm ơn tới PGS TS Nguyễn Văn Quảng, PGS TS Phan Đức Thành, TS Nguyễn Trung Hoà, thầy cô giáo Hội đồng chấm luận văn, khoa Toán, khoa Sau Đại học, Trường Đại học Vinh Đồng thời, xin bày tỏ lòng biết ơn giúp đỡ, tạo điều kiện cho học tập, công tác Trường Cũng này, cho phép tơi gửi lời cảm ơn tới gia đình bạn bè, quan tâm, góp ý, giúp đỡ tạo điều kiện để thực luận văn Mặc dù cố gắng song luận văn tránh khỏi sai sót Chúng tơi mong nhận đóng góp q thầy giáo bạn để luận văn hồn thiện Chúng tơi xin chân thành cảm ơn! Vinh, tháng 12 năm 2009 Tác giả Chương Cơ sở lý luận 1.1 Một số vấn đề sở lý thuyết xác suất thống kê 1.1.1 Định nghĩa 1.1.1.1 σ-đại số Giả sử Ω tập tuỳ ý khác rỗng Ký hiệu P(Ω) tập hợp gồm tất tập Ω Lớp A ⊂ P(Ω) gọi đại số nếu: A1) Ω ⊂ A, A2) A ⊂ A ⇒ A = Ω \ A ∈ A, A3) A, B ∈ A ⇒ A ∪ B ∈ A (hoặc A ∩ B ∈ A) Lớp F ⊂ P(Ω) gọi σ -đại số đại số ngồi có A4) Nếu An ∈ F, ∀n = 1, 2, ∞ ∞ An ∈ F (hoặc n=1 An ∈ F) n=1 1.1.1.2 Không gian đo độ đo xác suất Cặp (Ω, F) gọi không gian đo, Ω tập khác rỗng, F σ - đại số tập Ω Giả sử (Ω, F) không gian đo Một ánh xạ P : F −→ R gọi độ đo xác suất F nếu: A1) P(A) ≥ 0, với A ∈ F A2) P(Ω) = A3) Nếu An ∈ F, ∀n = 1, 2, , Ai ∩ Aj = ∅, i = j ∞ ∞ An = P n=1 1.1.1.3 Khơng gian xác suất P(An ) n=1 Giả sử Ω tập khác rỗng, F σ - đại số tập Ω, P độ đo xác suất F Khi ba (Ω, F, P) gọi không gian xác suất Tập Ω gọi không gian biến cố sơ cấp σ - đại số F gọi σ-đại số biến cố Mỗi A ∈ F gọi biến cố Không gian xác suất (Ω, F, P) gọi không gian xác suất đầy đủ tập biến cố có xác suất không biến cố 1.1.1.4 Đại lượng ngẫu nhiên Giả sử (Ω, F, P ) không gian xác suất, G σ-đại số σ-đại số F; B σ-đại số Borel đường thẳng thực R Khi ánh xạ X : Ω → R gọi đại lượng ngẫu nhiên G - đo với B ∈ B ta có X −1 (B) = {ω : X(ω) ∈ B} ∈ G Trong trường hợp đặc biệt, X đại lượng ngẫu nhiên F-đo X gọi cách đơn giản đại lượng ngẫu nhiên 1.1.1.5 Kỳ vọng đại lượng ngẫu nhiên Giả sử X : (Ω, F, P ) → (R, B(R)) đại lượng ngẫu nhiên Khi tích phân Lebesgue X theo độ đo P (nếu tồn tại) gọi kỳ vọng X ký hiệu EX Vậy EX = Xdp Ω 1.1.1.6 Phương sai phần tử ngẫu nhiên Giả sử X : Ω −→ E đại lượng ngẫu nhiên Khi số DX = E(X − EX)2 (nếu tồn tại) gọi phương sai X 1.1.2 Các tính chất 1.1.2.1 Tính chất kỳ vọng Giả sử X, Y phần tử ngẫu nhiên, ξ đại lượng ngẫu nhiên xác định không gian xác suất (Ω, F, P), a ∈ R, α ∈ E Khi tồn EX, EY, Eξ a) Tồn E(X + Y ) E(X + Y ) = EX + EY b) Tồn E(aX) E(aX) = aEX c) Tồn E(αξ) E(αξ) = αEξ d) Nếu P(X = a) = EX = a e) Nếu ξ f (X) độc lập với f ∈ E ∗ tồn E(ξX) E(ξX) = Eξ.EX f) Với ánh xạ tuyến tính T : E −→ E (E khơng gian Banach khả ly) tồn E[T (X)] E[T (X)] = T [E(X)] 1.1.2.2 Tính chất phương sai Giả sử X phần tử ngẫu nhiên, ξ đại lượng ngẫu nhiên xác định không gian xác suất (Ω, F, P), a ∈ R, α ∈ E Khi ta có a) D(aX) = a2 DX b) D(αξ) = α Dξ c) DX = ⇐⇒ X = EX (h.c.c) 1.2 Bài toán quy hoạch rời rạc quy hoạch rời rạc hỗn hợp 1.2.1 Bài toán quy hoạch rời rạc 1.2.1.1 Bài tốn Bài tốn quy hoạch tuyến tính rời rạc có dạng n min(max) f (x) = cj xj (1.1) j=1 với điều kiện       n j=1 aij xj ( , ≥, =) bi , i = 1, 2, , m xj ≥ 0, j = 1, 2, , n      xj ∈ Dj = {dj , dj , , dj }, j ∈ {1, 2, , n}, kj dji ∈ R, k phụ thuộc xj Nếu dji ∈ R, j = 1, 2, , n ta có tốn quy hoạch hỗn hợp toàn phần Trong trường hợp ngược lại (m < n), ta có tốn quy hoạch rời rạc hỗn hợp Khi Dj tập số nguyên ta có tốn quy hoạch tuyến tính ngun Tập hợp điểm nguyên tập D hữu hạn vơ hạn Các tọa độ nằm đoạn thẳng, đường thẳng hay rời rạc dạng liệt kê Khi Dj = {dj1 , dj2 , , djkj }, j ∈ {1, 2, , m} tập số ngun (các số thực rời rạc đó) ta thay biến theo cơng thức kj kj dikj xij , xj = i=1 xij = 1, xij ∈ {0; 1} i=1 Như vậy, ta đồng khái niệm quy hoạch rời rạc với quy hoạch nguyên Từ trở đi, không sợ nhầm lẫn, thay gọi quy hoạch rời rạc, ta gọi quy hoạch nguyên Hàm f (x) gọi hàm mục tiêu Các điều kiện toán gọi điều kiện buộc Điểm x = (xj ) ∈ Z thoả mãn điều kiện toán gọi phương án, ký hiệu tập phương án M Phương án x làm cho hàm mục tiêu đạt cực tiểu gọi phương án tối ưu (hoặc nghiệm) tốn 1.2.1.2 Tính chất tốn quy hoạch nguyên Nếu lấy bao lồi điểm nguyên, ký hiệu coM , tốn min{f (x) : x ∈ coM } toán quy hoạch tuyến tính, có phương án cực biên điểm ngun Từ cho thấy: + Nếu tốn quy hoạch tuyến tính có phương án tối ưu tồn phương án cực biên (đỉnh) tối ưu + Tập phương án tốn quy hoạch tuyến tính tập lồi đa diện có hữu hạn điểm cực biên (hữu hạn đỉnh) + Phương án x = (xj ) cực biên tương ứng với xj > 0, hệ vectơ cột Aj = a1j , a2j , , amj , ma trận A = (aij ), độc lập tuyến tính 1.2.2 Phương pháp phân rã Bender giải quy hoạch nguyên hỗn hợp 1.2.2.1 ý tưởng phương pháp phân rã Bender Xét toán quy hoạch tuyến tính nguyên hỗn hợp min{cx + dy : x ∈ H; y ∈ Rq+ , (x, y) ∈ S}, c ∈ Rp , d ∈ Rq , x ∈ Zp ; H = {x : u ≤ x ≤ v; u, v ∈ Zp }; S = {(x, y) ∈ Rp+q : Ax + By ≤ C} Bender phân rã toán cho thành toán nhỏ Bài toán (I) xét với biến y liên tục thuộc E ⊆ Rq+ Bài toán (II) xét với biên nguyên x ∈ Zp Để giải toán (I) sử dụng phương pháp lý thuyết quy hoạch tuyến tính (chẳng hạn phương pháp đơn hình) Để giải tốn (II) - tốn quy hoạch ngun tồn phần - giải phương pháp lý thuyết quy hoạch nguyên (chẳng hạn phương pháp cắt, phương pháp nhánh cận, phương pháp nhánh cắt, ) 1.2.2.2 Ví dụ (xem [8]) Chúng ta trở lại toán quy hoạch nguyên hỗn hợp min{cx + dy : x ∈ H; y ∈ Rq+ , (x, y) ∈ S}, c ∈ Rp , d ∈ Rq , x ∈ Zp ; H = {x : u ≤ x ≤ v; u, v ∈ Zp }; S = {(x, y) ∈ Rp+q : Ax + By ≤ C} Ký hiệu G hình hộp chứa H Xét tốn min{cx + dy : x ∈ G; y ∈ Rq+ , (x, y) ∈ S, x nguyên} (P (G)) Ký hiệu K(G) miền ràng buộc f (G) giá trị hàm mục tiêu tối ưu toán P (G) Với số thực λ cố định, ta xét toán nới lỏng (Q(λ, G)), sinh từ toán P (G), cách đưa vào biến phụ t ∈ Rp sau: min{λct + (1 − λ)cx + dy : t, x ∈ G; y ∈ Rq+ , (t, y) ∈ S, x nguyên} Khi đó, sử dụng phương pháp phân rã Bender, tác giả tách toán quy hoạch tham số λ, toán Q1 (λ, G) gồm biến liên tục t, y toán thứ Q2 (λ, G), gồm biến nguyên x, sau: min{λct + dy : t ∈ M ; y ∈ Rq+ , (t, y) ∈ S}; (Q1 (λ, G)) min{(1 − λ)cx + dy : x ∈ G; x nguyên} (Q2 (λ, G)) Từ tác giả sử dụng lý thuyết quy hoạch tham số giải toán Q1 (λ, G) đưa cách tính nhằm xác định cận phương pháp nhánh cận giải toán Q2 (λ, G) 1.2.3 Phương pháp nhánh cận giải toán quy hoạch rời rạc 1.2.3.1 ý tưởng phương pháp Thực phân nhánh để chia tập phương án M thành phần nhỏ dần Trên phần nhỏ tập M , xác định cận hàm mục tiêu Từ loại bỏ dần phần khơng có khả chứa nghiệm Như vậy, cơng việc phương pháp tìm cách phân nhánh, tính cận lựa chọn loại bỏ cho sau hữu hạn bước lặp có câu trả lời toán Nhiệm vụ phương pháp nhánh cận thực "phân nhánh", "tính cận" "loại bỏ" cho q trình hội tụ nghiệm cần tìm a) Phân nhánh Việc phân nhánh thực cách chia tập phương án M thành 10 tập M1 , M2 , , Mk cho k Mi , Mi ∩ Mj = ∅, (i = j) M= i=1 b) Tính cận Hàm số γ(A) gọi cận hàm f (x) A γ(A) thoả mãn hai điều kiện: +) γ(A) ≤ f (x), ∀x ∈ A +) γ(A1 ) ≥ γ(A2 ) A1 ⊂ A2 ⊂ M Từ ta có γ(Mi ) ≥ γ(M ), ∀i = 1, 2, , k Đồng thời f (x ) = min{f (x) : x ∈ M } ≥ γ(Mi ) = γ(Ms ) Do f (x ) = γ(Ms ) x phương án tối ưu cần tìm c) Lựa chon loại bỏ + Lựa chọn: Giả sử k M= Mi i=1 Mi ∩ Mj = Ø, i = j Khi γ(Ms ) = γ(Mi ), i = 1, 2, , k, tức γ(Ms ) ≤ γ(Mi ), ∀i = 1, 2, , k, nên γ(Ms ) ≤ min{f (x) : ∀x ∈ M } 23 K T K K T νK (ω) − γ (ω) x ≤ ν (ω) − γ (ω) x (2.11) Từ giao nửa không gian Xs xác định (2.10) Xs xác định (2.11), ta suy điều phải chứng minh Mệnh đề 2.3.1 cho phép chia tập X thành hai tập rời Vì ta thực tối ưu hố tập Điều cho phép ta thực việc phân nhánh tính cận nhằm giải toán (2.1)(2.2) cách chia nhỏ nhiều tập không giao nhờ việc phân nhánh theo công thức (2.10) (2.11) Ký hiệu Q tập đỉnh phân nhánh cận giai đoạn thứ s ∈ Q đỉnh Chúng ta thực phân nhánh tính cận tốn (2.5) đỉnh từ toán LP nới lỏng Sử dụng thuật toán D2 toán bước lặp thứ k kiểm tra điều kiện dk0 (xk , ω) = dkc (xk , ω) Nếu thoả mãn, theo Mệnh đề 2.3.1 ta phân nhánh theo (2.10) (2.11) Việc phân nhánh từ đỉnh s, ta có hai đỉnh s0 s1 liền kề Từ đỉnh liền kề, có tốn liền kề tương ứng Ta ký hiệu tập toán Psh giai đoạn thứ với h ∈ H, H = {0, 1} Thuật toán D2 lại ứng dụng giải toán liền kề Quá trình tiếp tục Giả sử bước lặp ks thuật toán giải toán ứng với đỉnh s ∈ Q Với s nối thành đường từ s đến đỉnh nghiệm Giả sử Bs tập đỉnh đường Với phần tử τ ∈ Bs , có tất số thuật toán thuộc k(τ ) thuộc K(τ ), bước lặp k ω trình phân nhánh Vì k ∈ K(τ ), ta có cặp (ω, k) với hệ số phân nhánh k K ràng buộc γ ksk = γ K sk (ω) ν sk = ν sk (ω), với h ∈ H Vậy 24 toán (2.5) đỉnh s ∈ Q có dạng min{cT x + η} (2.12)    Ax ≥ b,       β T x + η ≥ αk , k ∈ k(τ ), τ ∈ Bs , k với điều kiện   (γ ksh )T x ≥ (ν ksh ), h ∈ H, k ∈ K(τ ), τ ∈ Bs ,       x ≥ Điều kiện βkT x + η ≥ αk , k ∈ k(τ ), τ ∈ Bs nhát cắt phương pháp tối ưu kiểu Benders (xem [5]) bước ks đỉnh s Điều kiện (γ ksh )T x ≥ (ν ksh ), h ∈ H, k ∈ K(τ ), τ ∈ Bs điều kiện phân nhánh đỉnh s Bài toán (2.12) trở nên khơng thể thực số đỉnh thuộc Q nhánh thứ nhánh cận Trong trường hợp này, đỉnh khơng thực quay trở lại đỉnh trước Giả sử hoán đổi vế phải điều kiện phân nhánh cắt D2 Từ việc phân nhánh thực nhát cắt D2 vế phải dK c (x, ω) phải định dạng lại Ta có hệ quả: 2.3.2 Hệ Giả sử (ω, K) xác định (2.6) Xét nhát cắt D2 mà (ω, K) xác định Khi vế phải dK c (x, ω) T K K nhát cắt D2 phải thay bất đẳng thức γ K s0 (ω) x ≥ ν s0 (ω) d0 (x, ω) = K T K T K K νK (ω) − γ (ω) x thay bất đẳng thức γ s1 (ω) x ≥ ν s1 (ω) d0 (x, ω) = K T νK (ω) − γ (ω) x Chứng minh Từ Mệnh đề 2.3.1 bất đẳng thức phân nhánh T K γK s0 (ω) x ≥ ν s0 (ω), vế phải phân nhánh nhát cắt D phải đạt nhỏ hai hàm affine xác định dK (x, ω) Từ suy K K T dK (x, ω) = ν (ω) − γ (ω) x Tương tự cho nhánh khác D2 Đó điều phải chứng minh 25 Bài toán (2.12) bước lặp ks cho ta nghiệm giai đoạn thứ xks toán LP nới lỏng ω ∈ Ω đỉnh s ∈ Q có dạng fcks (xks , ω) = min{q T y} (2.13)    W y ≥ r(ω) − T (ω)xks ,       (dk )T y ≥ dk (xks , ω), k ∈ k(τ ) \ K(τ ), τ ∈ Bs , c với điều kiện   (dk )T y ≥ dk0 (xks , ω), k ∈ K(τ ), τ ∈ Bs ,       y ≥ Điều kiện (dk )T y ≥ dkc (xks , ω), k ∈ k(τ ) \ K(τ ), τ ∈ Bs nhát cắt D2 tạo đỉnh kéo dài từ gốc tới đỉnh s mà vế phải chưa định dạng Còn điều kiện (dk )T y ≥ dk0 (xks , ω), k ∈ K(τ ), τ ∈ Bs vế phải định dạng nhờ phân nhánh Do vậy, từ trở xem toán (2.12)-(2.13) "bài toán điểm" Ps đỉnh s Ký hiệu vs Vs theo thứ tự cận cận "bài toán điểm" thuật toán D2 Trước trình bày thuật tốn cách thức, cần nhát cắt D2 tạo đỉnh s ∈ Q có hiệu lực với tất đỉnh sau s Tuy nhiên, thơng thường chúng khơng có hiệu lực với tất đỉnh cịn lại Q định dạng nhát cắt thực sau phân nhánh theo Hệ 2.3.2 nêu 2.4 Thuật tốn nhánh cắt Bây trình bày cách thức D2 , thuật tốn nhánh cắt giải toán SMIP với biến giai đoạn thứ liên tục, mà gọi thuật toán D2 − CBAC (Continuous Branch and Cut) 2.4.1 Thuật toán D2 − CBAC 2.4.1.1 Ký hiệu Để trình bày thuật tốn, ý tới ký hiệu sau: L tập hợp "bài toán điểm" mở ra, 26 v cận giá trị tối ưu, V cận giá trị tối ưu, vs cận giá trị tối ưu toán đỉnh s, Vs cận giá trị tối ưu toán đỉnh s, k số bước lặp "bài toán điểm", ks số bước lặp "bài toán điểm" s, x∗ phương án tối ưu (nghiệm) 2.4.1.2 Thuật toán D2 − CBAC Bước Bắt đầu: Giả sử ε > x1 ∈ X cho k = 0, 1, , V = ∞, v = −∞ toán điểm gốc (2.12)(2.13) tập L toán đỉnh mở Bước Kết thúc: Nếu L = ∅, kết thúc với nghiệm x∗ Ngược lại, chọn toán điểm Ps từ tập hợp L toán mở đặt L := L \ Ps Gán k := k + Bước Sử dụng thuật toán D2 cho toán điểm: Sử dụng bước lặp thuật toán D2 cho toán điểm Ps Lưu nhân tử {λk0,1 , λk0,2 } {λk1,1 , λk1,2 } Những nhân tử xác định (ν k0 (ω), γ k0 (ω)), (ν k1 (ω), γ k1 (ω)), tương ứng dk0 (x, ω) dkc (x, ω) k ω ∈ Ω Các bước lặp thuật toán D2 kết thúc điều kiện sau phải thực hiện: (i) Bài toán đỉnh (2.12) trở nên không thoả mãn; (ii) Vks − vks < ε; (iii) Vks − vks ≥ ε Nếu điều kiện (i) Bỏ qua đỉnh Trở lại bước 1; Ngược lại, điều kiện (ii) Định dạng tại: 27 Nếu Vks < V Gán V := Vks ; v := vks ; x∗ := xks ; Chấp nhận đỉnh tối ưu ứng với D2 ; Thiết lập lại danh sách toán L việc loại bỏ tốn có vs ≥ V , nghĩa gán L := L \ {Ps |vs ≥ V }; Ngược lại, xác định cận toán điểm Trở lại bước 1; Ngược lại, (iii) Chuyển sang bước Bước Phân nhánh: Sử dụng Mệnh đề 2.3.1 thực phân nhánh để tạo hai toán điểm Ps0 , Ps1 toán (2.12)-(2.13) Kết nạp vào toán mở, nghĩa L := L ∪ {Ps0 , Ps1 } Vì mục đích lựa chọn đỉnh để phân nhánh với việc ghi nhận vs0 vs1 cận giá trị hàm mục tiêu toán điểm (2.12) tương ứng sau phân nhánh nên từ đây, ta trở lại bước Bây thuật toán D2 − CBAC hội tụ hữu hạn 2.4.2 Bổ đề Tồn số t hữu hạn cho sau t lần chia tạp X giai đoạn thứ nhất, q trình nhánh cận mơ tả mục 2.3 tìm đỉnh để thực thuật tốn Chứng minh Một đỉnh s thực thuật tốn Vs − vs < ε tốn điểm khơng khả thi Đặt Y (x) = {y | W y ≥ r(ω) − T (ω)x, y ≥ 0, −yj ≥ −1, j ∈ J2 } giả sử Is tập số xác định phép tuyển biến cho Bs Vì ta có vế phải dk0 (x, ω) với k ∈ K(τ ), τ ∈ Bs , lát cắt sử dụng giai đoạn hai mặt Y (x) ∩ ({yj ≤ 0} ∪ {yj ≥ 1})j∈Is 28 Từ tập phương án giai đoạn hai mơ tả tập hợp tuyển mặt Do trình lồi liên tiếp sinh bao lồi tập hợp đó, nên qua nhiều lần (hữu hạn) phân hoạch t trình phân nhánh tính cận tìm đỉnh s thoả mãn Vs − vs < ε tốn điểm khơng khả thi dạng (2.12) Điều chứng minh kết luận Bổ đề 2.4.3 Định lý Giả sử giả thiết A1, A2, A3 thực Khi thuật tốn D2 − CBAC nêu kết thúc, tìm phương án tối ưu toán (2.1)(2.2), sau hữu hạn bước lặp Chứng minh Trong thuật tốn D2 − CBAC làm với thời gian nhiều lần hữu hạn Điều cho phép nhiều biến tuyển giai đoạn hai dấn đến nhiều trường hợp vế phải {dk0 (x, ω)}k∈θK với số K ω ∈ Ω Kết có nhiều phép chia hữu hạn tập phương án giai đoạn liên tục xem xét Vì theo Bổ đề 2.4.1, đỉnh s xét tới q trình thuật tốn Tính tối ưu phương án tính hiệu lực trình cận cận sử dụng Định lý chứng minh xong 2.5 Ví dụ minh hoạ Chúng ta xét ví dụ đơn giản toán SMIP sau min{−2x − 2y1 − 2y2 } với điều kiện    −x       −5x − 6y1       −5x − 6y2   y1        y2      x ≥ 0, y , y ∈ {0, 1} ≥ −2 ≥ −10 ≥ −12 ≥ −1 ≥ −1 29 Phân tích tốn giai đoạn SMIP ta có min{−2x + E[f (x, ω)]} với điều kiện   −x ≥ −2  x ≥ 0, f (x, ω) = min{−4y} với điều kiện   −6y ≥ r(ω) + 5x  y ∈ {0, 1} Giai đoạn hai có khả năng, khả xảy với xác suất p = 0, 5, với ω = ω1 có r(ω1 ) = −10 với ω = ω2 có r(ω2 ) = −12 Để ý toán thoả mãn giả thiết A1 − A3 Trong ví dụ có số liệu sau: c = −2, A = [−1], b = [−2], q = [−4], W = [−6], T (ω1 ) = T (ω2 ) = [−5], r(ω1 ) = −10, r(ω2 ) = −12 Chú ý cận giá trị kỳ vọng toán giai đoạn hai L = 0, × (−4) + 0, × (−4) = −4 Bây áp dụng thuật tốn D2 − CBAC sau Vịng lặp (k = 1) Bước Xuất phát: Thuật toán bắt đầu với đỉnh gốc s = O, L = ∅ Khi tốn điểm P0 min{−2x + η} với điều kiện   x ≥ −2  x, η ≥ 30 Đặt W = W, T (ω) = T (ω), r1 (ω) = T (ω) cho tình bắt đầu giải toán mở L := L ∪ {P0 } Cận cận V0 = ∞, v0 = −∞ Bước Kết thúc: Tập L = ∅, nên ta có tốn điểm mở đầu Bài tốn điểm mở đầu có x1 = 2, η = Cận cận theo thứ tự V0 = ∞, v0 = −∞ Bước Sử dụng thuật toán D2 cho toán điểm: Thuật toán D2 thực theo bước lặp: Bước (1) Ta sử dụng x1 = giải toán nới lỏng LP toán giai đoạn hai theo ω1 , ω2 , mà ký hiệu toán LP1 LP2 f1 (2, ω1 ) = min{−4y} với điều kiện    −6y    −y      y (LP1 ) ≥0 ≥1 ≥ f1 (2, ω2 ) = min{−4y} với điều kiện    −6y    −y      y (LP2 ) ≥ −2 ≥ −1 ≥ Phương án tối ưu toán LP1 y(ω1 ) = toán LP2 y(ω2 ) = 0, 3333 Bước (2) Vì y(ω2 ) khơng thoả mãn điều kiện nguyên, ta chọn y "biến tuyển" tạo phép tuyển (nhát cắt) −y ≥ y ≥ cho toán LP2 Ta thiết lập dạng C -LP (xem [7]) để tạo vectơ d1 cho định 31 dạng W nhân tử λ tạo nên toán RHS-LP Giải toán C -LP (xem [6]) d1 = −1, λT0,1 = [0; 0], λ0,2 = 1, λT1,1 = [0, 25; 0], λ1,2 = 0, xem nghiệm Đặt W việc thêm d1 vào W ta có W = [W − 1]T Từ nghiệm C -LP có ν 10 (ω1 ) = 0, ν 11 (ω1 ) = −2, η 10 (ω1 )T = [0], η 11 (ω1 )T = [−1, 25] ν 10 (ω2 ) = 0, ν 11 (ω2 ) = −2, 5, η 10 (ω2 )T = [0], η 11 (ω2 )T = [−1, 25] Để giữ dk0 (x, ω) ≥ 0, tịnh tiến ν 10 (ω) ν 11 (ω) lên theo thứ tự +2 +2,5 Ta d10 (x, ω1 ) = min{2 − 0x; + 1, 25x} d10 (x, ω2 ) = min{2, − 0x; + 1, 25x} Sử dụng liệu trên, xác định toán RHS-LP (xem [7]) hai ω1 ω2 Phương án tối ưu toán RHS-LP (xem [6]) xét với ω1 δ(ω1 ) = 0; σ0 (ω1 ) = 0, 55556; σ(ω1 ) = −0, 555556 với ω2 δ(ω2 ) = 0; σ0 (ω2 ) = 0, 5; σ(ω2 ) = −0, 625 Do ta có ν (ω1 ) = 0; η (ω1 ) = 1; ν (ω2 ) = 0; η (ω1 ) = 1, 25 Tịnh tiến trở lại ta d1c (x, ω1 ) = −2 + x d1c (x, ω2 ) = −2, + 1, 25x Chú ý x1 = 2, x2 ∈ vert(X) (đỉnh X) Ta có d10 (2, ω1 ) = d1c (2, ω1 ) = d10 (2, ω2 ) = d1c (2, ω2 ) = 2, Dựa nghiệm RHS- 32 LP thu r2 (ω1 ) = [r1 (ω1 )] − T ; T (ω1 ) = [T (ω1 )] − T Tương tự ta nhận r2 (ω2 ) = [r1 (ω2 )] − 2, T ; T (ω2 ) = [T (ω2 )] − 1, 25 T Hoàn thành bước thuật toán Bước (3) Việc tái tối ưu toán nhận y(ω1 ) = với f1 (2, ω1 ) = y(ω2 ) = với f2 (2, ω2 ) = Chú ý nghiệm không nguyên (dạng phân số) ω2 , cắt thuật toán D2 Những nghiệm đối ngẫu z T (ω1 ) = z T (ω2 ) = [0; 0; 4] Vì hai q trình thoả mãn địi hỏi tính nhị ngun y(y ∈ {0; 1}), ta có nghiệm thành phần x = nhận cận V0 := min{V0 ; −2 × + 0, × (0) + 0, × (0) + 4} = Bước (4) Sử dụng nghiệm đối ngẫu cho toán LP từ Bước (3), thực cắt tối ưu kiểu Benders (xem [5]), nhát cắt −4x + θ(ω1 ) ≥ −8 −5x + θ(ω2 ) ≥ −10 Do hai nhát cắt hợp lý nhau, giá trị kỳ vọng liên quan đến hệ số cắt tạo −4, 5x + θ ≥ −9 Từ chỗ giả sử η ≥ 0, sử dụng phép tịnh tiến η = θ + dẫn đến −4, 5x + θ ≥ −5 nhát cắt tối ưu để bổ sung vào toán điểm sau min{−4x + η} 33 với điều kiện    −x    −4, 5x + η      x, η ≥ −2 ≥ −5 ≥ Giải toán điểm ta x2 = 1, 111; η = giá trị hàm mục tiêu -2,222 Do cận v0 = −2, 222 Hoàn tất phép lặp thuật tốn D2 Vì V0 > v0 , ta trở lại thuật toán D2 − CBAC với k := Ta ý x ∈ / vert(X) (đỉnh X) việc phân nhánh cần thiết Bước Phân nhánh: Bây ta cần áp dụng Mệnh đề 2.3.1 với x2 = 1, 111 (sử dụng hàm tịnh tiến d10 (x, ω) d1c (x, ω)) Theo ω1 , có d10 (1, 111; ω1 ) = min{2 − × 1, 5; + 1, 25 × 1, 111} = min{2; 1, 389} = 1, 389, d1c (1, 111; ω1 ) = + × 1, 111 = 1, 111 Vì pω (d10 (1, 111; ω1 ) − d1c (1, 111; ω1 )) = 0, × (1, 389 − 1, 111) = 0, 1389 Với ω2 , có d10 (1, 111; ω2 ) = min{2, − × 1, 111; + 1, 25 × 1, 111} = min{2, 5; 1, 389} = 1, 389, d1c (1, 111; ω2 ) = + 1, 25 × 1, 111 = 1, 389 34 Do pω (d10 (1, 111; ω2 ) − d1c (1, 111; ω2 )) = 0, × (1, 389 − 1, 389) = Trong trường hợp này, 0,1389 > 0, chọn (ω) = (ω1 , 1) Bởi vậy, ràng buộc phân nhánh ν 10 (ω1 ) − γ 10 (ω1 )x ≥ ν 11 (ω1 ) − γ 11 (ω1 )x, thay vào ta có −x ≥ −1, Từ ta có nhánh thứ với điều kiện −x ≥ −1, Giải toán điểm nhánh theo hệ số cắt D2 ta nhận d1 y ≥ ν 11 (ω1 ) − γ 11 (ω1 )x Từ suy −1y ≥ −1 + 1, 25x Cịn nhánh thứ hai, có x ≥ 1, 6, với phép cắt hệ số D2 ta nhận d1 y ≥ ν 11 (ω1 ) − γ 11 (ω1 )x Từ suy −1y ≥ − 0x −y ≥ Chú ý phân nhánh theo y đặt O Bây ta tạo toán điểm (P1 P2 ) với toán điểm sau min{−2x + η} với điều kiện    −x       −4, 5x + η   −x       x, η ≥ −2 ≥ −5 ≥ −1, ≥ 0, (P1 ) 35 phương án tối ưu x2 = 1, 111; η = giá trị hàm mục tiêu -2,222; cận v1 = −2, 222 min{−2x + η} với điều kiện    −x       −4, 5x + η   x       x, η (P2 ) ≥ −2 ≥ −5 ≥ 1, ≥ 0, phương án tối ưu x2 = 1, 6; η = 2, giá trị hàm mục tiêu -1; cận v2 = −1 Gán L := L ∪ {P1 , P2 } Quay trở lại Bước 1, với toán L mở (chưa giải) Bước Kết thúc: Tập L = ∅ Từ v1 < v2 , chọn P1 gán L := L \ {P1 } Bước Sử dụng thuật toán D2 cho toán điểm: Chúng ta bắt đầu với x2 = 1, 111 Thực thuật tốn D2 − CBAC, có kết sơ đồ (Sơ đồ 2.1) Trong sơ đồ cho thấy thuật toán sử dụng đỉnh với đỉnh (đỉnh 1, 5) tìm phương án tối ưu với toán điểm tương ứng Đỉnh loại bỏ cận Sau đỉnh, ta có L = ∅ nên thuật tốn kết thúc với phương án tối ưu cần tìm x = 0, 8; y(ω1 ) = 1; y(ω2 ) = 1; giá trị tối ưu hàm mục tiêu f (x, ω) = −5, 36 Kết luận Luận văn giải số vấn đề sau: Trình bày đầy đủ, khái niệm kiến thức sở xác suất thống kê Đồng thời trình bày tốn quy hoạch tuyến tính ngun, tốn quy hoạch tuyến tính ngun ngẫu nhiên, với số hướng tiếp cận giải Trình bày toán SMIP (Stochastic Mixed-Integer Programming) cần giải nghiên cứu tính chất Tiếp cận phương pháp cắt D2 (Disjunctive Decomposition - Phân nhánh lựa chọn) nhằm làm công cụ hỗ trợ cho việc giải tốn SMIP Trình bày thuật tốn nhánh cắt liên tục có sử dụng tới thuật tốn D2 , với kỳ hiệu D2 − CBAC (Continuous Branch and Cut), nhằm toán cần nghiên cứu đề tài Thình bày ví dụ số minh hoạ Do thời gian trình độ có hạn nên số vấn đề cần tiếp tục nghiên cứu bao gồm: - Lập trình giải tốn theo thuật tốn nêu - Trên sở mơ hình tốn học nghiên cứu, thiết lập mơ hình ứng dụng vào thực tế 37 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Hữu Hồng, (2009), Một lớp tốn quy hoạch tuyến tính ngẫu nhiên biến Boole, Luận văn tốt nghiệp Thạc sĩ, Đại học Vinh [2] Nguyễn Văn Quảng, (2007), Giáo trình Xác suất, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [3] Trần Xuân Sinh, (2004), Các phương pháp ngẫu nhiên giải toán quy hoạch, Bài giảng dùng cho học viên Sau Đại học, chuyên ngành XSTK Toán học, Đại học Vinh [4] Nguyễn Duy Tiến - Vũ Viết Yên, (2001), Lý thuyết xác suất, NXB Giáo dục, Hà Nội [5] J F Bender, (1962), Prartitioning procedures for solving mixed-variable programming problems Numerische Mathmatik, No.4, 238-252 [6] L Ntaimo and S Sen, (2006), A Branch-and-Cut Algorithm for TwoStage Stochastic Mixed-Binary Programs with Continuous First-Stage Variables, Department of Industrial and Systems Engineering, Taxas A& M University, 3131 TAMU, College Station, TX 77843, USA [7] S Sen and J.L Higle (2005), The C3 theorem and a D2 Algorithm for Large Scale Stochastic Mixed-Integer Programs with Continuous FirstStage Variables, J Math Programming, No.106(2), - 20 [8] Tran Vu Thieu and Tran Xuan Sinh, (1997), A new bounding technique in branch-and-bound algorithms for mixed integer programming, Acta Mathematica Vietnamica, Vol.22, No.1, 357-366 ... biết: toán quy hoạch với tham gia yếu tố ngẫu nhiên gọi toán quy hoạch ngẫu nhiên Bài toán quy hoạch nguyên quy hoạch nguyên hỗn hợp thông tin liệu không đầy đủ trở thành lớp toán quy hoạch ngẫu nhiên. .. dung toán quy hoạch nguyên hỗn hợp, tốn quy hoạch ngun ngẫu nhiên nhằm làm cơng cụ nghiên cứu cho đề tài Chương trình bày nội dung lớp toán quy hoạch ngẫu nhiên nguyên hỗn hợp hai giai đoạn, giai. .. xét lớp tốn quy hoạch rời rạc chuyển lớp đại diện quy hoạch nguyên Trong mục này, xét tới tốn quy hoạch tuyến tính nguyên ngẫu nhiên giai đoạn 1.3.1 Bài toán quy hoạch tuyến tính ngun ngẫu nhiên