phương pháp giải một lớp bài toán quy hoạch nguyên phi tuyến

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN DUY LONG PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT LỚP BÀI TOÁN QUY HOẠCH NGUYÊN PHI TUYẾN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - Năm 2012 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN DUY LONG PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT LỚP BÀI TOÁN QUY HOẠCH NGUYÊN PHI TUYẾN Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số : 60.46.36 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TS. TRẦN VŨ THIỆU Thái Nguyên - Năm 2012 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn i Mục lục Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i LỜI NÓI ĐẦU 1 Nội dung 4 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 4 1.1 Tập lồi, hàm lồi và một số tính chất . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.1 Tập hợp lồi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.2 Hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2 Thuật toán đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3 Bài toán quy hoạch nguyên phi tuyến . . . . . . . . . . . . 10 2 PHƯƠNG PHÁP TRỰC TIẾP GIẢI BÀI TOÁN (P) 13 2.1 Tính chất nghiệm của bài toán(P). . . . . . . . . . . . . . 13 2.2 Cơ sở phương pháp giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.3 Thuật toán đa thức giải bài toán . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.3.1 Thuật toán A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.3.2 Đánh giá độ phức tạp của thuật toán. . . . . . . . . 22 3 MỘT SỐ HƯỚNG MỞ RỘNG BÀI TOÁN (P) 28 3.1 Giảm kích thước bài toán (P) . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3.2 Thay đổi ràng buộc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.2.1 Thêm, bớt sinh viên. . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.2.2 Thêm, bớt chuyên đề. . . . . . . . . . . . . . . . . 34 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn i 3.2.3 Thêm điều kiện phụ vào bài toán (P) . . . . . . . . 35 3.3 Thay đổi hàm mục tiêu của bài toán (P) . . . . . . . . . . . 37 3.3.1 Bài toán với hàm mục tiêu mở rộng . . . . . . . . . 37 3.3.2 Bài toán với hàm mục tiêu lõm . . . . . . . . . . . . 40 3.3.3 Bài toán vận tải với điều kiện phụ. . . . . . . . . . . 42 KẾT LUẬN 44 Tài liệu tham khảo 45 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1 LỜI NÓI ĐẦU Tối ưu tổ hợp (Combinatorial Optimization) hay còn gọi là tối ưu rời rạc là một bộ phận quan trọng của tối ưu hoá. Nó bao gồm nhiều bài toán tối ưu với biến số nhận các giá trị rời rạc (không liên tục) và nhiều phương pháp giải khác nhau cho các lớp bài toán tổng quát và riêng lẻ. Các bài toán tối ưu tổ hợp rất phong phú, đa dạng và có nhiều ứng đụng rộng rãi trong thực tiễn. Một số mô hình tối ưu tổ hợp thuộc loại các bài toán "dễ giải" (có thuật toán đa thức để giải), nhưng phần lớn là các bài toán "khó giải" (chưa có thuật toán đa thức để giải). Nhiều vấn đề lý thuyết và thực tiễn có thể diễn đạt dưới dạng một bài toán tối ưu rời rạc. Những bài toán như vậy thường có các cấu trúc riêng nào đó. Nếu biết khai thác cấu trúc riêng đó thì có thể tìm ra cách giải hiệu qủa. Luận văn đề cập tới một lớp bài toán tối ưu rời rạc, cụ thể là bài toán qui hoạch nguyên phi tuyến (biến số nhận các giá trị nguyên, hàm mục tiêu phi tuyến), có thể giải được bằng thuật toán đa thức nhờ khai thác đặc điểm cấu trúc của bài toán. Bài toán được xét trong luận văn có cấu trúc khá đặc biệt và có nội dung thực tiễn thiết thực. Có thể xem nó như mô hình toán học cho một số bài toán thường gặp trong thực tế (mô hình xếp lịch học tập trong các trường học) và hoàn toàn có thể áp dụng được trong thực tiễn. Việc phân tích lớp bài toán này giúp ích cho việc đi sâu tìm hiểu sau này về các bài toán tối ưu rời rạc nói chung và những ứng dụng của chúng nói riêng. Nội dung luận văn được chia thành ba chương. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 2 Chương 1 với tiêu đề "Một số kiến thức chuẩn bị" trình bày những kiến thức cơ bản cần thiết về tập lồi và hàm lồi làm cơ sở lý thuyết cho việc phân tích cấu trúc và xây dựng các thuật toán ở những chương sau. Tiếp theo, chương này trình bày vắn tắt khái niệm thuật toán thời gian đa thức. Cuối chương giới thiệu khái quát mô hình và ý nghĩa thực tế của lớp bài toán qui hoạch nguyên phi tuyến được xét trong luận văn. Chương 2 với tiêu đề "Phương pháp trực tiếp giải bài toán (P)" phân tích cấu trúc đặc biệt và nêu ra những tính chất nghiệm đáng chú ý của bài toán qui hoạch nguyên phi tuyến xét trong luận văn, các tính chất này giúp ích cho việc xây dựng thuật toán giải. Mục tiếp theo của chương trình bày thuật toán thời gian đa thức giải bài toán, bằng cách sử dụng kỹ thuật điều chỉnh dần phương án và kỹ thuật gán số cho các hàng và cột, tương tự như trong các phương pháp giải bài toán vận tải thông thường của qui hoạch tuyến tính. Thuật toán được minh hoạ qua một ví dụ số đơn giản và trực quan. Chương 3 với tiêu đề "Một số hướng mở rộng bài toán" xét vấn đề xử lý sơ bộ (tiền xử lý) các dữ kiện ban đầu của bài toán nhằm giảm bớt kích thước của bài toán cần giải (nếu có thể). Sau đó, xét sự mở rộng bài toán theo hai hướng: thay đổi điều kiện ràng buộc (thêm hay bớt sinh viên, thêm hay bớt chuyên đề, thêm điều kiện phụ ) và thay đổi hàm mục tiêu (bài toán với hàm mục tiêu đơn điệu tăng và bài toán với hàm mục tiêu lõm). Do thời gian và kiến thức còn hạn chế nên chắc chắn luận văn còn có những thiếu sót nhất định, kính mong quý thầy cô và các bạn đóng góp để tác giả tiếp tục hoàn thiện luận văn này. Nhân dịp này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy hướng dẫn GS.TS Trần Vũ Thiệu đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ trong suốt quá trình làm luận văn. Tác giả xin trân trọng cảm ơn tập thể thầy cô giáo trường Đại học Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 3 Khoa học – Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học – Viện Khoa học và Công nghệ Việt Nam đã giảng dạy và tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và nghiên cứu. Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, tổ Toán – Tin trường THPT số 1 huyện Bát Xát – Lào Cai và tập thể bạn bè, đồng nghiệp và gia đình đã quan tâm giúp đỡ, động viên tác giả hoàn thành tốt luận văn này. Thái Nguyên, tháng 7 năm 2012 Người thực hiện Nguyễn Duy Long Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 4 Chương 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương này sẽ trình bày một số khái niệm và kiến thức cơ bản về giải tích lồi, cần thiết cho việc phân tích lý thuyết và xây dựng thuật toán trong các chương sau. Tiếp đó trình bày khái niệm thuật toán đa thức và cuối cùng giới thiệu bài toán qui hoạch nguyên phi tuyến được xét trong luận văn. Nội dung của chương được tham khảo từ các tài liệu [2], [3] và [6]. 1.1 Tập lồi, hàm lồi và một số tính chất 1.1.1 Tập hợp lồi. Khái niệm về tập hợp lồi là một khái niệm cơ bản của giải tích lồi và quy hoạch lồi. Nhiều tính chất quan trọng và thú vị của bài toán quy hoạch có được trên miền ràng buộc là một tập hợp lồi. Định nghĩa 1.1. Một tập X trong không gian Euclide R n được gọi là một tập lồi nếu ∀x 1 , x 2 ∈ X và ∀λ ∈ [0; 1] ta có λx 1 + (1 − λ 2 )x ∈ X. Như vậy nếu X là một tập lồi thì nó chứa trọn đoạn thẳng nối hai điểm bất kỳ của nó. Ví dụ 1.1: • Các tập afin nói chung đều là tập lồi. • Các nửa không gian đóng: {x :< a, x > α}, {x :< a, x > α} . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 5 • Các nửa không gian mở: {x :< a, x >< α}, {x :< a, x >> α} . • Siêu phẳng H = {x :< a, x >= b} trong R n . Bao lồi của một tập A là một tập lồi nhỏ nhất chứa A, ký hiệu là coA. Đây chính là giao của tất cả các tập lồi chứa A. Nếu X là một tập lồi thì nó chứa bao lồi của mọi tập con của nó. Cho A, B là hai tập bất kỳ trong R n , tổ hợp lồi của A và B là tập hợp tất cả các điểm thuộc R n có dạng: x = λa+(1−λ)b, a ∈ A, b ∈ B, 0  λ  1. Định lý 1.1. Tập lồi là đóng với phép giao, phép cộng, phép nhân với một số và phép lấy tổ hợp tuyến tính, tức là nếu A và B là hai tập lồi trong R n thì các tập hợp sau cũng là lồi: 1. A ∩ B := {x : x ∈ A, x ∈ B} . 2. λA + βB := {x = λa + βb : a ∈ A, b ∈ B, 0  λ, β  1} . Hệ quả. Miền chứa nghiệm của hệ bất phương trình tuyến tính dạng:      a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n  b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n  b 2 a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n  b m là một tập lồi. Người ta còn gọi đó là tập lồi đa diện hoặc còn gọi là một khúc lồi. Một khúc lồi giới nội gọi là một đa diện lồi. Định lý 1.2. Một tập lồi đa diện X (có thể không giới nội) có ít nhất một đỉnh được biểu diễn bởi tập hợp tât cả những điểm có dạng: x =  i∈I λ i d i +  i∈I µ j g j , trong đó  i∈I λ i = 1, λ i , µ j  0 với mọi i, j còn các d i với i ∈ I là đỉnh của X, với j ∈ J là phương các cạnh vô hạn của X. Chú ý rằng nếu X giới nội thì nó không có các cạnh vô hạn, do đó trong biểu diễn trên chỉ còn lại tổng thứ nhất. Trong trường hợp này, mọi điểm của X đều biểu diễn qua tổ hợp lồi của các đỉnh của X. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 6 1.1.2 Hàm lồi Định nghĩa 1.2. Hàm số f(x) xác định trên tập lồi X ⊂ R n được gọi là hàm lồi trên X, nếu với mọi x, y ∈ X, 0  λ  1 ta có: f (λx + (1 − λ)y)  λf(x) + (1 − λ)f(y). Hàm f (x) được gọi là hàm lồi chặt trên X nếu với ∀x 1 , x 2 ∈ X, x 1 = x 2 , 0 < λ < 1 ta có f  (1 − λ) x 1 + λx 2  < (1 − λ) f  x 1  + λf  x 2  . Hiển nhiên hàm lồi chặt là hàm lồi, nhưng điều ngược lại chưa chắc đúng. Hàm f (x) gọi là hàm tựa lồi trên tập lồi X nếu f (λx + (1 − λ) y)  max {f (x) , f (y)} ∀x, y ∈ X, 0  λ  1. Hàm f (x) được gọi là lõm (tựa lõm) trên tập lồi X nếu hàm −f (x) là lồi (tựa lồi) trên X. Như thường lệ, các hàm λf, f + g, max (f, g) được định nghĩa như sau: (λf) (x) := λf (x) , (f + g) (x) := f (x) + g (x) , max (f, g) (x) := max (f (x) , g (x)) . Các hàm lồi là đóng đối với phép tổ hợp tuyến tính không âm và phép lấy max. Cụ thể ta có định lý như sau: Định lý 1.3. Cho f là một hàm lồi trên tập lồi X và g là hàm lồi trên tập lồi Y. Lúc đó các hàm sau là lồi trên X ∩ Y : 1. λf + βg ∀λ, β  0, 2. max (f, g) . Định nghĩa 1.3. Cho X ⊂ R n khác rỗng và hàm f : X → R (không nhất thiết lồi). Một điểm x ∗ ∈ X được gọi là cực tiểu địa phương của f trên X, nếu tồn tại lân cận mở U của x ∗ sao cho f (x ∗ )  f (x) với mọi Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn [...]... là một phương án của bài toán (P) Một phương án đạt cực tiểu của (1.1) gọi là phương án tối ưu hay lời giải của bài toán (P) Một số nhận xét: - Hàm mục tiêu (1.1) là hàm lồi, các ràng buộc (1.2), (1.3) là ràng buộc nguyên, tuyến tính Vì thế (P) thuộc lớp bài toán quy hoạch nguyên phi tuyến (nếu bỏ điều kiện xij nguyên thì lời giải của bài toán nói chung sẽ khác) Tuy nhiên như dưới đây sẽ thấy, bài toán. .. lời giải sai); nói cách khác, NP là lớp các bài toán có thể giải được trong thời gian đa thức bằng một thuật toán "phi tất định" (non-deterministic) (một thuật toán phi tất định gồm hai giai đoạn: 1) đoán một lời giải tối ưu; 2) kiểm tra xác nhận đó đúng là lời giải tối ưu) Đương nhiên P ⊂ NP, nhưng không rõ liệu có P = NP không Có nhiều bài toán tối ưu thuộc lớp P (chẳng hạn, bài toán qui hoạch tuyến. .. ở chương này Cuối chương đề cập tới lớp bài toán qui hoạch nguyên phi tuyến, có cấu trúc đặc biệt, được xét trong luận văn: nêu mô hình và ý nghĩa thực tế của bài toán này Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 13 Chương 2 PHƯƠNG PHÁP TRỰC TIẾP GIẢI BÀI TOÁN (P) Chương này phân tích cấu trúc của bài toán qui hoạch nguyên phi tuyến được xét trong luận văn và nêu... học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 9 n n aj xj = b, xj ∈ {0, 1}(j = 1, 2, , n)và đạt cực đại của j=1 cj xj j=1 Ta nói một bài toán X là NP -khó (NP - hard) nếu mọi bài toán thuộc NP đều qui dẫn đa thức được về X Như vậy, mọi bài toán NP - đầy đủ đều là NP - khó Vì thế, lớp bài toán NP - khó rộng hơn lớp bài toán NP - đầy đủ, vì nó bao gồm các bài toán thuộc lớp NP, cũng như các bài toán không... các phương pháp giải bài toán vận tải dạng bảng Khi dừng thuật toán ở một bước lặp nào đó, ta luôn luôn nhận được phương án của bài toán, nhờ đó có thể dừng quá trình giải theo thuật toán khi đã có phương án đủ tốt Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 28 Chương 3 MỘT SỐ HƯỚNG MỞ RỘNG BÀI TOÁN (P) Chương này xét vấn đề xử lý sơ bộ các dữ kiện ban đầu của bài toán. .. đầy đủ (NP - complete) nếu X ∈ NP và mọi bài toán thuộc lớp NP đều qui dẫn đa thức được về X Như vậy, hễ X giải được trong thời gian đa thức thì mọi bài toán thuộc NP cũng đều giải được trong thời gian đa thức, có nghĩa là NP = P Một bài toán NP - đầy đủ nổi tiếng là bài toán tìm chu trình Hamilton của một đồ hình (graph) Một bài toán NP - đầy đủ khác là bài toán cái túi (knapsack problem): tìm x ∈... có là phương án tối ưu Ba mệnh đề trên là cơ sở của phương pháp trực tiếp giải bài toán (P) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 21 2.3 Thuật toán đa thức giải bài toán Từ các kết quả nêu trên, ta đi đến thuật toán sau đây để giải bài toán (P) 2.3.1 Thuật toán A Bước 0: Lập bảng gồm m hàng, n cột, mỗi hàng tương ứng với một sinh viên, mỗi cột tương ứng một chuyên... bài toán (P) có thể quy về bài toán quy hoạch nguyên tuyến tính có cấu trúc đặc biệt - Ràng buộc (1.2) có thể thay bằng ràng buộc nới lỏng (1.2’) mà không làm ảnh hưởng tới lời giải của (P): n i=1 xij pi , i = 1, 2, , m (1.2’) Có thể thấy bài toán (P) tương đương với bài toán quy hoạch nguyên phi tuyến tính sau đây: n (P ) min t m xij i=1 pi , ∀i; xij t, ∀j; 0 xij aij , ∀i, j; t nguyên i=1 Số hóa bởi... của bài toán Sau đó, trình bày thuật toán đa thức giải bài toán, nhờ sử dụng kỹ thuật điều chỉnh dần phương án và kỹ thuật đánh số các hàng, cột trong bài toán Nội dung của chương được tham khảo từ các tài liệu [1], [4] và [5] 2.1 Tính chất nghiệm của bài toán( P) Trong mục này sẽ nêu điều kiện để bài toán (P) có nghiệm và nêu ra ước lượng khoảng cho giá trị tối ưu (1.1) của bài toán Bổ đề 2.1 Bài toán. .. tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 11 Lưu ý rằng, bài toán (P’) rất giống với bài toán vận tải thông thường, nhưng ở đây có thêm biến số t và biến số t đòi hỏi phải có điều kiện nguyên Vì t nguyên nên (P’) sẽ có lời giải nguyên Bài toán (P) là mô hình toán học cho một số bài toán lập lịch thường gặp trong thực tiễn Dưới đây là hai ví dụ điển hình Bài toán xếp lịch học tập: Có . quy hoạch nguyên phi tuyến (nếu bỏ điều kiện x ij nguyên thì lời giải của bài toán nói chung sẽ khác). Tuy nhiên như dưới đây sẽ thấy, bài toán (P) có thể quy về bài toán quy hoạch nguyên tuyến. Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN DUY LONG PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT LỚP BÀI TOÁN QUY HOẠCH NGUYÊN PHI TUYẾN Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã. mọi bài toán NP - đầy đủ đều là NP - khó. Vì thế, lớp bài toán NP - khó rộng hơn lớp bài toán NP - đầy đủ, vì nó bao gồm các bài toán thuộc lớp NP, cũng như các bài toán không thuộc NP . Bài toán