Phương pháp nhánh – cận cho bài toán quy hoạch nguyên

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Lê Văn Thìa PHƯƠNG PHÁP NHÁNH – CẬN CHO BÀI TOÁN QUY HOẠCH NGUYÊN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Lê Văn Thìa PHƯƠNG PHÁP NHÁNH – CẬN CHO BÀI TOÁN QUY HOẠCH NGUYÊN Chuyên ngành: Toán Giải Tích Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS Trịnh Công Diệu Thành phố Hồ Chí Minh – 2012 LỜI CẢM ƠN Tác giả luận văn xin bày tỏ lòng kính trọng biết ơn sâu sắc đến thầy TS.Trịnh Công Diệu, Trưởng môn Toán ứng dụng Trường Đại học Sư phạm Tp.Hồ Chí Minh tận tâm hướng dẫn, bảo tận tình suốt trình hoàn thành đề tài nghiên cứu Xin chân thành cảm ơn thầy, cô Ban giám hiệu trường, Phòng sau đại học, Khoa Toán – Tin Trường Đại học Sư phạm Tp.Hồ Chí Minh tạo điều kiện thuận lợi việc học tập, trang bị kiến thức để hoàn thành luận văn Bên cạnh đó, xin cảm ơn bạn bè, đồng nghiệp giúp đỡ suốt trình nghiên cứu hoàn thành luận văn Cuối cùng, xin cảm ơn gia đình người thân động viên giúp đỡ trình nghiên cứu hoàn thành luận văn Tác giả luận văn Lê Văn Thìa LỜI MỞ ĐẦU Quy hoạch nguyên (hay quy hoạch rời rạc) hướng quan trọng quy hoạch toán học Nó nghiên cứu lớp toán quy hoạch thêm điều kiện biến nhận giá trị tập số nguyên Lớp toán phổ biến thực tế Nó thu hút quan tâm nhà khoa học nghiên cứu lĩnh vực: kinh tế, điều khiển, thiết kế, sinh học,… Chính lĩnh vực phương pháp liên tục tỏ hiệu nghiên cứu đối tượng chia nhỏ tùy ý, quy hoạch nguyên công cụ chủ yếu nghiên cứu hiệu lĩnh vực Có thể nói quy hoạch nguyên bắt đầu khai sinh lịch sử từ năm 1958, công bố thuật toán tiếng Gomory phương pháp cắt Sau thời gian dài, phương pháp cắt công cụ để giải toán quy hoạch nguyên Nhưng từ phương pháp nhánh – cận xuất [Land – Doig 1960] dạng hoàn thiện [Dakin 1965], trở nên ưu rõ rệt Hiện phương pháp nhánh – cận phương pháp chủ yếu để giải toán quy hoạch nguyên Do đó, việc tìm hiểu phương pháp nhánh – cận cần thiết Mục tiêu luận văn tìm hiểu trình bày lại cách chi tiết phương pháp nhánh – cận Các vấn đề đề cập luận văn trình bày cách chặt chẽ mặt toán học Nội dung luận văn gồm ba chương: Chương “Một số kết Quy hoạch tuyến tính Giải tích lồi” trình bày lại số khái niệm tính chất Quy hoạch tuyến tính Giải tích lồi Các khái niệm đối ngẫu, định lý đối ngẫu, tập lồi, tập lồi đa diện, điểm cực biên, tia cực biên tập lồi đa diện Đặc biệt tính chất biễu diễn tập lồi đa diện hữu tỉ qua tia cực biên điểm cực biên nó, sở để chứng minh số kết chương Chương “Thuật toán nhánh – cận giải toán Quy hoạch tuyến tính nguyên phận” trình bày cách chặt chẽ chi tiết sở lý luận thuật toán thuật toán minh họa việc giải toán thực tế Chương “Giải toán Quy hoạch nguyên tuyến tính Matlab” trình bày lại việc dùng phương pháp nhánh – cận giải toán Quy hoạch nguyên ngôn ngữ Matlab Giải số toán Quy hoạch nguyên tuyến tính chương trình Matlab R2009a Do thời gian có hạn nên luận văn dừng lại việc tìm hiểu tài liệu xếp trình bày lại kết nghiên cứu theo chủ đề đặt Trong trình viết luận văn trình xử lý văn chắn không tránh khỏi sai sót Tác giả luận văn mong nhận góp ý thầy cô bạn đồng nghiệp để luận văn hoàn thiện MỤC LỤC MỤC LỤC Chương 1.1 Quy hoạch tuyến tính 1.2 Tập lồi - Tập lồi đa diện 1.3.Điểm cực biên Tia cực biên 15 Chương 22 2.1 Bài toán quy hoạch tuyến tính nguyên phận (Mixed Integer Linear Programming) 22 2.2 Thuật toán nhánh – cận giải toán quy hoạch tuyến tính nguyên phận 25 2.2.1 Cơ sở lý luận thuật toán 25 2.2.2 Thuật toán nhánh – cận 31 2.3 Một số kĩ thuật sử dụng thuật toán nhánh- cận 31 2.3.1 Kĩ thuật Hậu tối ưu (Reoptimization) 31 2.3.2 Quy tắc chọn toán phân nhánh quy tắc phân nhánh 34 2.4 Ví Dụ 34 Chương 44 3.1 Bài toán Quy hoạch tuyến tính với Matlab 44 3.2 Lập trình thuật toán giải toán quy hoạch tuyến tính nguyên phận Matlab 47 3.3 Giải toán Quy hoạch tuyến tính nguyên phận Matlab 50 KẾT LUẬN 53 TÀI LIỆU THAM KHẢO 54 Chương Một số kết Quy hoạch tuyến tính Giải tích lồi 1.1 Quy hoạch tuyến tính Ta nhắc lại số kết quy hoạch tuyến tính mà chúng sử dụng để chứng minh kết phía sau Định nghĩa 1.1.1 Bài toán Quy hoạch tuyến tính dạng tổng quát có dạng: f ( x) = n ∑c x j =1 j j → thỏa hệ ràng buộc:  n ∑ aij x j (≤ =≥)bi , i = 1, , m  j =1 x ≥ , j = 1, , n  j đó, c j , = = aij , bi , i 1, , m; j 1, , n số cho trước Định nghĩa 1.1.2 Tập D điểm x = ( x1 , , xn ) thỏa hệ ràng buộc gọi tập phương án chấp nhận toán  Điểm x* ∈ D cho f ( x) ≥ f ( x*) , ∀x ∈ D gọi phương án tối ưu toán Quy hoạch tuyến tính Định nghĩa 1.1.3 Bài toán Quy hoạch tuyến tính phát biểu dạng ma trận sau: f ( x) =< c, x > → thỏa hệ ràng buộc:  Ax (≤ =≥)b  x ≥ đó, A ma trận kích thước m × n  Phương án x = ( x1 , , xn ) gọi phương án sở hệ vectơ cột { Aj } ma trận A ứng với thành phần x j > ( j = 1, , n) độc lập tuyến tính  Phương pháp đơn hình: Xét toán Quy hoạch tuyến tính dạng tắc sau: = f ( x) n ∑c x j =1 j j → thỏa hệ ràng buộc:  n = aij x j ∑  j =1 x ≥  j = bi , i 1, , m ,j= 1, , n Giả sử biết phương án sở chấp nhận náo đó: = X (= xb1 a1 , x= a2 , , x= am ), b2 bm xác định từ hệ vectơ sở đơn vị m chiều Ab1 , Ab , , Abm - Khai triển vectơ điều kiện Aj ( j = 1, , n) theo hệ vec tơ sở Ab1 , Ab , , Abm có nghĩa tính hệ số x1 j , x2 j , , xmj , j = 1, , n - Tính hiệu Z j − c j , j = 1, , n, = Z j C= b Aj m ∑c i =1 x = , j 1, , n bi ij Để tiện tính toán người ta trình bày theo bảng sau: Cơ Cb A0 c1 … cb1 … cb … cbl … ck … cj … cbm … cn sở A1 … Ab1 … Ab … Abl … Ak … Aj … Abm … An Ab1 cb1 xb1 x11 … … … … x1k … x1 j … … x1n Ab cb xb x21 … … … x2k … x2 j … … x2n … … … … … … Abl cbl … Abm Z j − cj - … … … … … … … … … … … … … … … … … … … cbm xbm xbm … … … … xmk … xmj … … xmn … … … … xbl Z0 xb1 … … … … … xlk … xlj … … … … … … … … … xln … … … … … Nếu Z j − c j ≤ , ∀j ∈ {1, 2, , n} phương án sở chấp nhận phương án tối ưu - Nếu có số j mà Z j − c j > hệ số xij ≤ (∀i =1, , m) dạng tuyến tính Z không bị chặn tập phương án chấp nhận - Nếu có số j mà Z j − c j > , Aj có hệ số xij > phương án sở chấp nhận chưa tối ưu cải thiện cách đưa vào sở vectơ có ( Z j − c j ) max > Giả sử ( Z j − c j ) max = Z k − ck > , đưa vectơ Ak vào sở loại khỏi sở vectơ ứng với: t = xik > xbi xik xbi xbl Giả= sử t , Abl bị loại khỏi sở Cơ sở gồm m = xik > x xlk ik vectơ: ( Ab1 , , Abl −1 , AK , Abl +1 , , Abm ) Phần tử xlk gọi phần tử giải Bằng phép biến đổi đơn giản biểu thức: xbl  ′  xbi =xbi − x xik , (bi ≠ bl , l =1, , m)  lk   x′ = xbl  k xlk x  xij − lj xik , bi ≠ bl  xij′ = xlk    x′ = xlj  lj xlk Ta biến đổi vectơ Ak vectơ đơn vị với xlk = Khi hoàn thành phép biến đổi ta bảng đơn hình tính theo sở Quá trình tính toán tương tự tiếp tục tìm phương án tối ưu Định nghĩa 1.1.4 Giả sử ma trận A có vectơ hàng vectơ cột Aj Giả sử toán gốc có cấu trúc bên trái bảng sau Khi đó, toán đối ngẫu định nghĩa với cấu trúc tương ứng bên phải Z = < c, x > → , f = < b, y > → max Với ràng buộc Với ràng buộc < , x= > bi , i ∈ M yi tự do, i ∈ M < , x > ≤ bi , i ∈ M yi ≤ 0, i ∈ M < , x > ≥ bi , i ∈ M yi ≥ 0, i ∈ M x j ≥ 0, j ∈ N1 < y, Aj >≤ c j , j ∈ N1 x j ≤ 0, j ∈ N < y, Aj > ≥ c j , j ∈ N x j tự j ∈ N < y, A= c j , j ∈ N3 j > Định nghĩa 1.1.5 5  Cặp toán đối ngẫu không đối xứng cặp toán đối ngẫu mà ràng buộc toán gốc cho đẳng thức ràng buộc toán đối ngẫu cho bất đẳng thức  Cặp toán đối ngẫu đối xứng cặp toán đối ngẫu mà biến hai toán không âm ràng buộc bất đẳng thức Định lý 1.1.6.(Định lý đối ngẫu yếu) Cho A ma trận cỡ m × n , b ∈  m c ∈ n P = {x ∈  n : Ax ≤ b} Q = { y ∈  m : AT y = c, y ≤ 0} Khi (i) Nếu x ∈ P y ∈ Q < c, x > ≥ < b, y > (ii) Nếu toán min{< c, x >: x ∈ P} không bị chặn dưới, Q = ∅ (iii) Nếu toán max{< b, y >: y ∈ Q} không bị chặn P = ∅ Chứng minh Giả sử ma trận A có vectơ hàng (i = 1, , m) vectơ cột Aj ( j = 1, , n) (i) Ta đặt u= yi (< , x > −bi ), i v= (c j − < y , A j >) x j j Theo định nghĩa toán đối ngẫu yi < , x > −bi dấu, c j − < y, Aj > x j dấu Do đó, ui ≥ 0, ∀i v j ≥ 0, ∀j Nhận xét ∑u i = < y, Ax − b >, j = < c − yA, x > i ∑v j Do đó, ≤ ∑ ui + ∑ v j =< c, x > − < b, y > i j (ii) Nếu toán min{< c, x >: x ∈ P} không bị chặn tồn dãy {x k } phương án chấp nhận cho < c, x k >→ −∞ k → ∞ Giả sử ∃y ∈ Q Khi đó, theo (i) ta có < c, x k > ≥ < b, y > , ∀k Cho k → ∞ ta < b, y > ≤ −∞ (vô lí) Do đó, Q = ∅ (iii) Nếu toán max{< b, y >: y ∈ Q} không bị chặn thì tồn dãy { y k } phương án chấp nhận cho < b, y k >→ +∞ k → ∞ Giả sử ∃x ∈ P Khi đó, theo (i) ta có < c, x > ≥ < b, y k > , ∀k Cho k → ∞ ta < c, x > ≥ +∞ (vô lí) Do đó, P = ∅  Định lý 1.1.7.(Định lý đối ngẫu mạnh) Nếu toán quy hoạch tuyến tính gốc có nghiệm tối ưu toán quy hoạch đối ngẫu có nghiệm tối ưu giá trị mục tiêu tối ưu Chứng minh Ta đưa cặp toán đối ngẫu đối xứng cặp toán đối ngẫu không đối xứng, chứng minh cho cặp toán đối ngẫu không đối xứng Giả sử toán đối ngẫu không đối xứng có phương án tối ưu nhận phương pháp đơn hình (xem tài liệu tham khảo [Cảnh 2004], [Khánh – Nương 2000], [Khánh 2002]) Hệ vectơ sở tương ứng với phương án tối ưu gồm vectơ Ab1 , Ab , , Abm Đặt Ab = ( Ab1 , , Abm ) ma trận thành lập từ hệ vectơ sở Khi đó, Aj = Ab X j Biểu diễn D = ( X , , X n ) ma trận thành lập từ hệ số bảng đơn hình cuối Ta có: = A A= D Ab−1 A b D; (1.1) = Ab X opt A= X opt Ab−1 A0 0; (1.2) = Z C= Cb Ab−1 A0 , b X opt X opt (1.3) phương án tối ưu toán thuận Xét vectơ Cb D − C = ( Z1 − c1 , , Z n − cn ) có tọa độ hiệu Z j − c j Vì phương án tối ưu nên hiệu Z j − c j ≤ 0,( j − 1, , n) , đó: Cb D − C ≤ (1.4) Người ta chứng minh rằng, phương án tối ưu toán đối ngẫu nhận theo công thức: Yopt = Cb Ab−1 (1.5) Thật vậy, Xét vectơ Yopt A − C Khi sử dụng liên tiếp công thức (1.5), (1.1), (1.4) ta Yopt A − C= Cb Ab−1 A − C= Cb D − C ≤ Do đó, Yopt A ≤ C có nghĩa Yopt phương án chấp nhận toán đối ngẫu Bây tính giá trị dạng tuyến tính f Y = Yopt −1 f (= Yopt ) Y= Cb A= Cb= X opt Z opt A0 b A0 (1.6) công thức (1.5), (1.2), (1.3) dùng liên tiếp Biểu thức (1.6) chứng tỏ rằng: giá trị dạng tuyến tính toán đối ngẫu (khi Y = Yopt ), f (Yopt ) trùng với giá trị tối ưu toán gốc Bây cần chứng minh rằng: Yopt phương án tối ưu toán đối ngẫu Ta có: f (= Y ) YA = YAX Một phương án chấp nhận Y toán đối ngẫu phải thỏa mãn YA ≤ C , đó: f (Y ) ≤ CX = Z ( X ) Suy max f (Y ) ≤ Z ( X ) (1.7) Theo (1.6) với Y = Yopt bất đẳng thức (1.7) trở thành đẳng thức Vì Yopt phương án tối ưu toán đối ngẫu  Định lý 1.1.8.(Điều kiện độ lệch bù) Cho x nghiệm chấp nhận toán min{< c, x >: Ax ≤ b} y nghiệm chấp nhận toán max{< b, y >: AT y = c, y ≤ 0} Giả sử ma trận A có vectơ hàng (i = 1, , m) vectơ cột Aj ( j = 1, , n) Khi đó, x, y nghiệm tối ưu yi (< , x > −bi )= ∀i, (c j − < Aj , y >) x j = ∀j Chứng minh Ở chứng minh định lý 1.1.6 ta đặt u= yi (< , x > −bi ), i v= (c j − < y , A j > ) x j j Theo định nghĩa toán đối ngẫu ta thấy ui ≥ 0, v j ≥ ∀i, ∀j Đồng thời ta có < c , x > − < b, = y> ∑u + ∑v i i j j Theo định lý đối ngẫu mạnh , x y phương án tối ưu < c, x > = < b, y > Do đó, ui = v j = 0, ∀i, ∀j Ngược lại, ui = v j = 0, ∀i, ∀j < c, x > = < b, y > suy x, y phương án tối ưu  Định lý 1.1.9 (Bổ đề Farkas) Tập hợp {x : Ax = b, x ≥ 0} tập khác rỗng không tồn vectơ y cho AT y ≥ < b, y > < Chứng minh Theo Quy hoạch tuyến tính đối ngẫu ta có min{< c, x >: Ax = b, x ≥ 0} ≤ max{< b, y >: AT y ≤ c} ≤ Chọn c = , {x : Ax = b, x ≥ 0} ≠ ∅ không tồn y cho AT y ≥ < b, y > <   Thuật toán đơn hình đối ngẫu: Thuật toán đơn hình đối ngẫu phương án sơ sở chấp nhận toán đối ngẫu không chấp nhận toán gốc (vì có biến sở âm) Bằng thuật toán đơn hình chuyển dần đến phương án tối ưu Thuật toán đơn hình đối ngẫu chia thành hai giai đoạn sau: - Giai đoạn 1: Không quan tâm đến không âm biến sở mà thuật toán đơn hình đưa toán đến bảng đơn hình có ∀( Z j − c j ) ≤ + Nếu ∀xbi ≥ ta có phương án phương án tối ưu ngừng tính + Thông thường phương án phương án tối ưu, biến sở có biến âm, chuyển sang giai đoạn - Giai đoạn 2: Khi biến sở biến âm ta cần khử biến âm mà giữ ∀( Z j − c j ) ≤ Phương án tối ưu biến sở không âm Giả sử xbl < , ta loại vectơ Al khỏi sở Nếu hàng l thành phần xlj < toán phương án chấp nhận Nếu có vài xlj < phương án cải thiện đưa vectơ Ak vào sở với k xác định bởi: Z j − cj xlj < xlj = Z k − ck xlk Việc chọn hiệu Z j − c j không dương Quá trình tính toán tương tự tiếp tục đến nhận phương án tối ưu Trong trường hợp, có vài biến sở xbl < việc chọn phần tử giải chọn theo công thức: xij < Z j − cj xij Phương pháp đơn hình đối ngẫu giảm nhẹ biến đổi ràng buộc giảm kích thước bảng đơn hình, khối lượng tính toán giảm cách đáng kể 1.2 Tập lồi - Tập lồi đa diện Định nghĩa 1.2.1  Cho tập X ⊂  n , tập X gọi tập lồi với x1 , x ∈ X ta có λ x1 + (1 − λ ) x ∈ X , ∀λ ∈ (0,1) 10 m m  Tổ hợp tuyến tính x = ∑ λi x với = λi ≥ ∀i 1, ,= m , ∑ λi gọi i i =1 i =1 tổ hợp lồi vectơ x1 , , x m  Cho tập X ⊂  n , bao lồi X , kí hiệu conv( X ) tập hợp tất tổ hợp lồi vectơ X Tức k k conv( X ) := {x = 1, v1 , , vk ∈ X } ∑ λi vi : λi ≥ 0,∑ λi = =i =i Nếu = x k ∑ λ v ∈ conv( X ) tổ hợp lồi vectơ v , , v i =1 i i i k k ∈ X k < c, x > =< c, ∑ λi vi > = ∑ λi < c, vi > ≥ min{< c, vi >: i = 1, , k} =i =i Do đó, với tập X ⊂  n , c ∈  n ta có min{< c, x >: x ∈ X }= min{< c, x >: x ∈ conv( X )} (1.8) Định nghĩa 1.2.2 Một tập lồi đa diện tập hợp  n xác định hữu hạn bất phương trình tuyến tính, tức tập lồi đa diện có dạng P ( A, b) := {x ∈  n : Ax ≤ b} , (1.9) A ma trận cỡ m × n b ∈  m Tập lồi đa diện P gọi tập lồi đa diện hữu tỉ = , i 1, , m,= A (aij ), aij ∈ = j 1, , n ; b ∈ m Định nghĩa 1.2.3 Cho tập lồi đa diện P ⊂  n Tập hợp F ⊂ P gọi diện P F= {x ∈ P :< w, x = > t} P ⊆ {x ∈  n :< w, x > ≤ t} w ∈  n , t ∈  Nếu F ≠ ∅ F ≠ P F gọi diện không tầm thường Ta thấy diện F đa diện P = P ( A, b) có dạng F= {x ∈  n : Ax ≤ b, < w, x >≤ t , − < w, x >≤ −t} , với t ∈  Do F tập lồi đa diện Định nghĩa 1.2.4 Cho tập lồi đa diện = P P ( A, b) ⊆  n M tập số dòng A Cho I ⊆ M ta xét tập hợp fa ( I ) := {x ∈ P : AI x = bI }, (1.10) 11 AI ma trận thành lập từ dòng thứ i ∈ I ma trận A Khi fa ( I ) diện P gọi diện cảm sinh I Định lý 1.2.5 Cho tập lồi đa diện khác rỗng = P P ( A, b) ⊆  n M tập số dòng A Tập F ⊆  n với F ≠ ∅ diện P F= fa ( I ) = {x ∈ P : AI x = bI } với I ⊆ M Chứng minh Ta có fa ( I ) diện P với I ⊆ M Ngược lại, F= P ∩ {x ∈  n :< c, x >= t} diện P F tập nghiệm tối ưu toán quy hoạch tuyến tính max{< c, x >: Ax ≤ b} (1.11) Theo định lý đối ngẫu mạnh, ta có toán quy hoạch đối ngẫu (1.11) min{< b, y >: AT y = c, y ≥ 0} có nghiệm tối ưu y * thỏa < b, y* >= t Đặt = I : {i : yi * > 0} Theo điều kiện độ lệch bù, nghiệm tối ưu x * toán (1.11) thỏa Ai x*= bi , ∀i ∈ I Vậy F = fa ( I )  Định nghĩa 1.2.6 (tập tương đương) Cho tập lồi đa diện = P P ( A, b) ⊆  n , S ⊆ P Khi ta gọi eq ( S ) := {i ∈ M : Ai x = bi , ∀x ∈ S } tập tương đương S Nhận xét: Cho S , S ' hai tập tập lồi đa diện P Nếu S ⊆ S ' eq ( S ) ⊇ eq ( S ') Như vậy, với S tập khác rỗng tập lồi đa diện P , F diện P chứa S eq ( F ) ⊆ eq ( S ) Thêm fa (eq ( S )) diện P chứa S Do đó, ta có mệnh đề sau: Mệnh đề 1.2.7 Cho tập lồi đa diện = P P ( A, b) ⊆  n S tập khác rỗng P Diện nhỏ chứa S P fa (eq ( S )) Hệ 1.2.8 (i) Tập lồi đa diện P = P ( A, b) diện không tầm thường eq ( P ) = M , M tập số dòng A 12 (ii) Nếu Ax < b x không chứa diện không tầm thường P Định nghĩa 1.2.9 k Tổ hợp affine vectơ v1 , , vk ∈  n tổ hợp tuyến tính x = ∑ λi vi i =1 k cho ∑λ i =1 i = Cho tập X ⊆  n , bao affine X định nghĩa aff ( X = ) : {= x k k ∑ λ v : ∑ λ= i i =i =i i 1, v1 , , vk ∈ X } Hệ vectơ v1 , , vk ∈  n gọi độc lập affine k ∑λ i =1 i k ∑λ v i =1 i i = = ta suy λ1= λ2= = λk= Bổ đề 1.2.10 Các mệnh đề sau tương đương (i) Hệ vectơ v1 , , vk ∈  n độc lập affine (ii) Hệ vectơ v2 − v1 , , vk − v1 ∈  n độc lập tuyến tính (iii) v  v  Hệ vectơ   , ,  k  ∈  n +1 độc lập tuyến tính 1  1  Định nghĩa 1.2.11 Vectơ x ∈ P = P ( A, b) gọi điểm tương đối tập lồi đa diện không thuộc diện không tầm thường đa diện P Bổ đề 1.2.12 Cho F diện tập lồi đa diện P ( A, b) x ∈ F Khi x điểm tương đối F eq ({x }) = eq ( F ) Chứng minh Gọi G diện nhỏ F chứa x Khi đó, x điểm tương đối F F = G Theo mệnh đề 1.2.7 ta có G = fa (eq ({x })) Vậy x điểm tương đối F fa (eq ({x })) = F Suy x điểm tương đối F eq ({x }) = eq ( F )  13 Do đó, ta có định nghĩa tương đương với định nghĩa 1.2.11 : x ∈P = P ( A, b) điểm tương đối P eq ({x }) = eq ( P ) Bổ đề 1.2.13 Cho P = P ( A, b) tập lồi đa diện khác rỗng Khi đó, tập hợp điểm tương đối P khác rỗng Chứng minh Đặt M = {1, , m} tập số dòng A I := eq ( P ) J := M \ I Khi đó, J = ∅ I = M Theo hệ 1.2.8 (i) ta có tập lồi đa diện P diện không tầm thường Do đó, điểm P điểm tương đối Nếu J ≠ ∅ với j ∈ J ta tìm x j ∈ P cho Ax j ≤ b Aj x j < b j Do P tập lồi nên y := ∑ x j (trong | J | số phần tử J ) thuộc | J | j∈J P Do đó, AJ y < bJ AI y = bI suy eq ({ y}) = eq ( P ) Ta đpcm  Định nghĩa 1.2.14 Số chiều tập lồi đa diện P ⊆  n (kí hiệu dim P ) số bé đơn vị so với số lớn vectơ độc lập affine P Ta có dim ∅ = −1 Định lý 1.2.15 (Định lý số chiều) Cho F ≠ ∅ diện tập lồi đa diện P ( A, b) ⊆  n Khi đó, ta có dim F= n − rankAeq ( F ) Chứng minh Theo kết Đại số tuyến tính, ta có = n rankAeq ( F ) + dim ker Aeq ( F ) , ker Aeq ( F ) không gian nghiệm hệ phương trình có ma trận hệ số Aeq ( F ) Do đó, ta cần chứng minh dim ker Aeq ( F ) = dim F Để cho gọn ta đặt = I : eq = ( F ); r : dim ker = AI ; s : dim F 14 “ r ≥ s ”: Chọn s + vectơ độc lập affine x , x1 , , x s ∈ F Suy theo bổ đề 1.2.10 hệ vectơ x1 − x , , x s − x độc lập tuyến tính AI ( x j − x ) = bI − bI = , j = 1, , s Suy r ≥ s “ r ≤ s ”: Vì F ≠ ∅ nên s ≥ Do ta giả thiết r ≥ Do F ≠ ∅ Theo bổ đề 1.2.13 tồn điểm tương đối x ∈ F mà theo bổ đề 1.2.12 ta có eq ({ = x }) eq = ( F ) I Vậy với J := M \ I ta có AI x = bI AJ x < bJ Đặt {x1 , , x r } sở ker AI Khi đó, AJ x < bJ ta tìm bI với k = 1, , r Suy ε > cho AJ ( x + ε x k ) < bJ AI ( x + ε x k ) = x + ε x k ∈ F với k = 1, , r Các vectơ ε x1 , , ε x r độc lập tuyến tính , theo bổ đề 1.2.10 x , ε x1 + x , , ε x r + x vectơ độc lập affine F Suy r ≤ s  Định lý 1.2.16 (Hoffman - Kruskal) Cho = P P ( A, b) ⊆  n tập lồi đa diện Khi đó, tập khác rỗng F ⊆ P diện nhỏ P = F {= x : AI x bI } với I ⊆ M ( M tập số dòng A ) rank AI = rank A Chứng minh “⇒”: Gọi F diện khác rỗng nhỏ P Khi đó, theo định lý 1.2.5 mệnh đề 1.2.7 ta có F = fa ( I ) , I = eq ( F ) Đặt J := M \ I , ta có = F {x= : AI x bI , AJ x ≤ bJ } (1.12) Ta cần chứng minh F = G , = G {= x : AI x bI } (1.13) Theo (1.12) ta có F ⊆ G Giả sử tồn y ∈ G \ F Khi đó, tồn j ∈ J cho = AI y bI , Aj y > b j (1.14) Do F ≠ ∅ nên theo bổ đề 1.2.13 tồn điểm tương đối F , ta gọi điểm x Ta xét điểm z (τ ) = x +τ ( y − x) = (1 − τ ) x + τ y [...]...5  Cặp bài toán đối ngẫu không đối xứng là cặp bài toán đối ngẫu mà trong đó những ràng buộc trong bài toán gốc được cho bằng đẳng thức và những ràng buộc của bài toán đối ngẫu được cho bằng bất đẳng thức  Cặp bài toán đối ngẫu đối xứng là cặp bài toán đối ngẫu mà trong đó các biến của hai bài toán đều không âm và các ràng buộc đều là bất đẳng thức Định lý 1.1.6.(Định lý đối ngẫu yếu) Cho A là ma... b, y k > , ∀k Cho k → ∞ ta được < c, x 0 > ≥ +∞ (vô lí) Do đó, P = ∅  Định lý 1.1.7.(Định lý đối ngẫu mạnh) Nếu bài toán quy hoạch tuyến tính gốc có nghiệm tối ưu thì bài toán quy hoạch đối ngẫu cũng có nghiệm tối ưu và giá trị mục tiêu tối ưu bằng nhau Chứng minh Ta có thể đưa cặp bài toán đối ngẫu đối xứng về cặp bài toán đối ngẫu không đối xứng, do đó chỉ chứng minh cho cặp bài toán đối ngẫu không... của bài toán gốc (vì có biến cơ sở âm) Bằng thuật toán đơn hình chuyển dần đến phương án tối ưu Thuật toán đơn hình đối ngẫu có thể chia thành hai giai đoạn sau: 9 - Giai đoạn 1: Không quan tâm đến sự không âm của các biến cơ sở mà thuật toán đơn hình đưa bài toán đến một bảng đơn hình có ∀( Z j − c j ) ≤ 0 + Nếu ∀xbi ≥ 0 thì ta có phương án ấy là phương án tối ưu và ngừng tính + Thông thường thì phương. .. ưu của bài toán quy hoạch tuyến tính max{< c, x >: Ax ≤ b} (1.11) Theo định lý đối ngẫu mạnh, ta có bài toán quy hoạch đối ngẫu của (1.11) min{< b, y >: AT y = c, y ≥ 0} cũng có nghiệm tối ưu y * và thỏa < b, y* >= t Đặt = I : {i : yi * > 0} Theo điều kiện độ lệch bù, những nghiệm tối ưu x * của bài toán (1.11) thỏa Ai x*= bi , ∀i ∈ I Vậy F = fa ( I )  Định nghĩa 1.2.6 (tập tương đương) Cho tập... rằng: Yopt là phương án tối ưu của bài toán đối ngẫu Ta có: f (= Y ) YA = YAX 0 Một phương án chấp nhận được bất kỳ Y của bài toán đối ngẫu phải thỏa mãn YA ≤ C , do đó: f (Y ) ≤ CX = Z ( X ) Suy ra max f (Y ) ≤ min Z ( X ) (1.7) Theo (1.6) với Y = Yopt thì bất đẳng thức (1.7) trở thành đẳng thức Vì vậy Yopt là phương án tối ưu của bài toán đối ngẫu  Định lý 1.1.8.(Điều kiện độ lệch bù) Cho x là nghiệm... (ii) Nếu bài toán min{< c, x >: x ∈ P} không bị chặn dưới thì tồn tại dãy {x k } các phương án chấp nhận được sao cho < c, x k >→ −∞ khi k → ∞ Giả sử 6 ∃y 0 ∈ Q Khi đó, theo (i) ta có < c, x k > ≥ < b, y 0 > , ∀k Cho k → ∞ ta được < b, y 0 > ≤ −∞ (vô lí) Do đó, Q = ∅ (iii) Nếu bài toán max{< b, y >: y ∈ Q} không bị chặn trên thì thì tồn tại dãy { y k } các phương án chấp nhận được sao cho < b,... vectơ y sao cho AT y ≥ 0 và < b, y > < 0 Chứng minh Theo Quy hoạch tuyến tính đối ngẫu ta có min{< c, x >: Ax = b, x ≥ 0} ≤ 0 khi và chỉ khi max{< b, y >: AT y ≤ c} ≤ 0 Chọn c = 0 , khi đó {x : Ax = b, x ≥ 0} ≠ ∅ khi và chỉ khi không tồn tại y sao cho AT y ≥ 0 và < b, y > < 0   Thuật toán đơn hình đối ngẫu: Thuật toán đơn hình đối ngẫu bắt đầu từ một phương án sơ sở chấp nhận được của bài toán đối... 0; (1.2) = Z min C= Cb Ab−1 A0 , b X opt trong đó X opt (1.3) là phương án tối ưu của bài toán thuận Xét vectơ Cb D − C = ( Z1 − c1 , , Z n − cn ) có các tọa độ là những hiệu Z j − c j Vì là phương án tối ưu nên mọi hiệu Z j − c j ≤ 0,( j − 1, , n) , do đó: Cb D − C ≤ 0 (1.4) 7 Người ta chứng minh được rằng, phương án tối ưu của bài toán đối ngẫu nhận được theo công thức: Yopt = Cb Ab−1 (1.5) Thật... C có nghĩa là Yopt là phương án chấp nhận được của bài toán đối ngẫu Bây giờ tính giá trị của dạng tuyến tính f khi Y = Yopt −1 f (= Yopt ) Y= Cb A= Cb= X opt min Z opt A0 b A0 (1.6) ở đây các công thức (1.5), (1.2), (1.3) được dùng liên tiếp Biểu thức (1.6) chứng tỏ rằng: giá trị dạng tuyến tính của bài toán đối ngẫu (khi Y = Yopt ), f (Yopt ) trùng với giá trị tối ưu của bài toán gốc Bây giờ cần... bài toán đối ngẫu không đối xứng, do đó chỉ chứng minh cho cặp bài toán đối ngẫu không đối xứng Giả sử bài toán đối ngẫu không đối xứng có phương án tối ưu nhận được bằng phương pháp đơn hình (xem trong tài liệu tham khảo [Cảnh 2004], [Khánh – Nương 2000], [Khánh 2002]) Hệ vectơ cơ sở tương ứng với phương án tối ưu gồm các vectơ Ab1 , Ab 2 , , Abm Đặt Ab = ( Ab1 , , Abm ) ma trận được thành lập từ