Phương pháp tựa đảo cho bài toán parabolic phi tuyến ngược thời gian

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Đoàn Thị Thủy Tiên PHƯƠNG PHÁP TỰA ĐẢO CHO BÀI TOÁN PARABOLIC PHI TUYẾN NGƯỢC THỜI GIAN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Đoàn Thị Thủy Tiên PHƯƠNG PHÁP TỰA ĐẢO CHO BÀI TOÁN PARABOLIC PHI TUYẾN NGƯỢC THỜI GIAN Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS TS ĐẶNG ĐỨC TRỌNG Thành phố Hồ Chí Minh – 2014 LỜI CAM ĐOAN Trong trình làm luận văn này, tìm tham khảo nhiều sách vở, báo toán học nhà khoa học luận văn, luận án có Nhưng xin cam đoan không chép xin chịu trách nhiệm với lời cam đoan Tác giả Lời cảm ơn Đầu tiên, xin gửi lời cảm ơn chân thành sâu sắc tới Thầy – GS.TS Đặng Đức Trọng, người trực tiếp hướng dẫn tạo điều kiện, giúp đỡ cho suốt thời gian làm luận văn Bên cạnh đó, xin cảm ơn thầy cô hết lòng dạy bảo truyền đạt kinh nghiệm suốt hai năm qua Cảm ơn bạn bè, bạn học viên cao học Giải tích khóa 23 khuyến khích, giúp đỡ trình học tập Sau cùng, xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến gia đình tôi, chỗ dựa vững giúp học tập hoàn thành tốt luận văn Học viên Đoàn Thị Thủy Tiên MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục MỞ ĐẦU Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian tuyến tính định chuẩn 1.2 Không gian Hilbert 1.3 Lý thuyết toán tử 10 1.4 Phổ toán tử 13 1.5 Không gian C ([ 0, T ]; H ) 14 1.6 Nửa nhóm toán tử liên tục 14 1.7 Định nghĩa toán không chỉnh 18 1.8 Lược đồ chỉnh hóa 19 1.9 Bổ đề Gronwall 22 1.10 Bổ đề: số bất đẳng thức sử dụng 22 Chương CÁC KẾT QUẢ CHÍNH 24 2.1 Các định lý quan trọng 24 2.2 Chứng minh định lý quan trọng 26 Chương ÁP DỤNG 41 KẾT LUẬN 47 TÀI LIỆU THAM KHẢO 48 MỞ ĐẦU Bài toán ngược cho phương trình đạo hàm riêng xuất nhiều lĩnh vực khác công nghệ, địa vật lý, thủy động học, y học, xử lý ảnh, Đó toán kiện trình vật lý không đo đạc trực tiếp mà ta phải xác định chúng từ kiện đo đạc gián tiếp Trong đề tài này, ta đề cập đến phương trình parabolic ngược thời gian Đó toán cho phương trình parabolic điều kiện ban đầu mà ta phải xác định biết điều kiện cuối (đó lí toán gọi ngược thời gian) Phương trình parabolic ngược thời gian lĩnh vực nghiên cứu sôi động thu hút nhiều nhà toán học tiếng nước bời có nhiều ứng dụng khoa học kĩ thuật như: vật lý, học, vật lý địa cầu, xử lý ảnh, toán tài chính,… Cho đến nước có 300 công trình công bố tạp chí quốc tế uy tín, có tham gia nhiều nhà toán học tiếng John, Agmon, Nirenberg, Tikhonov,… Trong nước, kể đến hai nhóm nghiên cứu mà dẫn đầu Đinh Nho Hào Đặng Đức Trọng Ngoài ra, số nhà toán học có tên tuổi quan tâm hướng nghiên cứu Phạm Kỳ Anh, Nguyễn Bường,… Trong bài, ta xét toán giá trị cuối sau = ut + Au ( t ) f ( t , u ( t ) ) T ) , u (T ) ϕ ( ≤ t Đánh giá thuộc loại logarit t > cố định không dùng t = Nội dung luận văn dùng phương pháp QR để chỉnh hóa toán cải tiến kết hội tụ phương pháp trước đây, đồng thời chứng minh phương pháp có độ ổn định tốt nghiên cứu trước Đặc biệt, phương pháp thật hiệu xét đến toán phi tuyến Bài toán ( 0.1) xấp xỉ d ε = u ( t ) + Aε u ε ( t ) B ( ε , t ) f ( t , u ε ( t ) ) = ( ≤ t < T ) , u ε (T ) ϕ dt ( 0.3) Aε B ( ε , t ) định nghĩa theo ( 0.4 ) ( 0.5 ) = v Với v ∈ H có khai triển nghĩa toán tử sau ∞ v pφ p , ∑ p =1 v p ∈= , p 1,2, , ta định ∞ S ( t )( v ) = ∑ e −tl p p =1 v pφ p , ( ) N −T l Ae ( v ) = − ∑ ln el p + e p v pφ p , T p =1 ∞ ( , t )( v ) ∑ + l p e B ( ee = p =1 T lp ) t −T T ( 0.4 ) v pφ p , t ∈ [ 0, T ] , t −T T ∞ ( , t )( v ) = ( A + S (T ) ) ( v ) = ∑ l p + e Q ( eee p =1 −T l p ( 0.5) ) t −T T v pφ p , với N ∈ * , N = N ( ε ) cho lN ≤ T −1 ln (T ε −1 ) Ngoài phần mở đầu giới thiệu đề tài nội dung cần đạt được, luận văn viết thành ba chương chính: Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Phần trình bày định nghĩa, ví dụ, định lý không gian tuyến tính định chuẩn, không gian Hilbert, lý thuyết toán tử, đại số Banach, phổ toán tử, lý thuyết nửa nhóm,… bổ đề bất đẳng thức sử dụng để chứng minh chương Chương CÁC KẾT QUẢ CHÍNH Phần nêu chứng minh định lý quan trọng Chương ÁP DỤNG Phần đưa ví dụ cụ thể để áp dụng phương pháp trình bày 5 Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Đa phần kết tổng hợp từ [1], [3] 1.1 Không gian tuyến tính định chuẩn 1.1.1 Không gian vectơ Định nghĩa 1.1.1.1 Kí hiệu K trường số thực  trường số phức  Một không gian vectơ (hay không gian tuyến tính) K tập X ≠ ∅ , có phép cộng X × X → X phép nhân vô hướng K × X → X , thỏa mãn điều kiện 1) x + y = y + x, 2) ( x + y ) + z =x + ( y + z ) , 3) x, Tồn θ ∈ X , gọi phần tử trung hòa cho x + θ = 4) ∀x ∈ X \ {θ } , tồn − x ∈ X , gọi phần tử đối x cho x + ( − x ) =θ , 5) λ ( x + y ) = λ x + λ y, 6) ( λ + µ ) x =λ x + µ x, 7) ( λµ ) x = λ ( µ x ) , 8) Tồn phần tử 1∈ K cho 1.x = x với x, y, z ∈ X , λ , µ ∈ K Ví dụ C [ a, b ] tập hợp hàm thực (hoặc phức) liên tục [ a, b ] không gian tuyến tính thực (hoặc phức) với phép cộng hàm số phép nhân thông thường 6  x l=  =  ∞ ( x1 , x2 , , xn , ) , xi ∈ K , ∑ xi i =1  < ∞  không gian tuyến tính  với phép cộng phép nhân số theo tọa độ 1.1.2 Không gian tuyến tính định chuẩn Định nghĩa 1.1.2.1 Cho X không gian vectơ trường K Chuẩn X ánh xạ :X → thỏa mãn tiên đề chuẩn sau N1: x ≥ 0, ∀x ∈ X ; N2:= λx λ x , x = 0⇔ x= θ, ∀x ∈ X , λ ∈ K , N3: x + y ≤ x + y , ∀x, y ∈ X Định nghĩa 1.1.2.2 Một không gian vectơ X K với chuẩn gọi không gian tuyến tính định chuẩn K (thường gọi không gian định chuẩn), kí hiệu ( X , ) Định nghĩa 1.1.2.3 Một dãy { xn } không gian định chuẩn X gọi dãy Cauchy với ε > , tồn n0 (phụ thuộc ε ) cho với n, m ≥ n0 ta có xn − xm < ε Định nghĩa 1.1.2.4 Một không gian gọi đầy đủ dãy Cauchy hội tụ Định nghĩa 1.1.2.5 Một không gian định chuẩn đầy đủ gọi không gian Banach Ví dụ C [ a, b ] với chuẩn x : = sup x ( t ) không gian Banach a ≤t ≤b 1/2 2  ∞ l không gian Banach với chuẩn x =  ∑ xi   i =1  1.1.3 Ánh xạ co nguyên lý điểm bất động Định nghĩa 1.1.3.1 Cho ( X , ) không gian định chuẩn f : X → X Ta có:  f ánh xạ Lipschitz tồn số k ≥ cho với x, y ∈ X , f ( x ) − f ( y ) ≤ k x − y  Số k bé thỏa mãn bất đẳng thức gọi hệ số Lipschitz f  Nếu k < ta nói f ánh xạ co hệ số k hay đơn giản f k – co  Điểm x0 ∈ X điểm bất động f f ( x0 ) = x0 Định lý 1.1.3.2 (Định lý điểm bất động) Cho (X, ) không gian Banach Khi ánh xạ co f : X → X tồn điểm bất động nhất, nghĩa phương trình f ( x ) = x có nghiệm 1.2 Không gian Hilbert Định nghĩa 1.2.1  Cho X không gian vector trường số K ( K =  K =  ) Một ánh xạ từ X × X vào K , ( x, y )  x, y gọi tích vô hướng X thỏa mãn điều kiện sau x, x = ⇔ x = θ , i) x, x ≥ 0; ii) y, x = x, y ( y, x = x, y K =  ), iii) x + x′, y = x, y + x′, y , iv) λ x, y = λ x, y , với x, x′, y ∈ X , λ ∈ K  Nếu , tích vô hướng X cặp ( X , , ) gọi không gian tiền Hilbert (hay gọi không gian Unita, không gian với tích vô hướng)  Nếu , tích vô hướng X ánh xạ x  x = x, x chuẩn X, gọi chuẩn sinh tích vô hướng Một không gian tiền Hilbert không gian định chuẩn (với chuẩn sinh tích vô hướng) Nếu không gian định chuẩn tương ứng đầy đủ ta nói ( X , , ) không gian Hilbert Từ sau ta kí hiệu H không gian Hilbert Ví dụ Không gian L2 ( X , µ ) (với X tập đo Lebesgue  n , µ độ đo Lebesgue) không gian vector gồm tất hàm đo f từ X vào K cho f khả tích Lebesgue Với f , g ∈ L2 ( X , µ ) , ánh xạ ( f ,g)  f , g = ∫ f g dµ X tích vô hướng L2 ( X , µ ) Tích vô hướng sinh 1/2  2 chuẩn f =  ∫ f  L2 ( X , µ ) không gian Hilbert X  ∞   = l ( x1 , x2 , , xn , ) : xk ∈ , ∑ xk < ∞  k =1   Trong l , với x = { xi } , y = { yi } , ánh xạ ( x, y )  ∞ x, y = ∑ xk yk k =1 tích vô hướng Tích vô hướng sinh chuẩn 1/2  ∞  x =  ∑ xk  ( l , ,  k =1  ) không gian Hilbert Trong C [ a, b ] hàm thực liên tục [ a, b ] ánh xạ b x, y = ∫ x ( t ) y ( t ) dt ( x, y )  a tích vô hướng Không gian ( C [ a, b ] , , ) không không gian Hilbert Tính chất 1.2.2 a) Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz: x, y ≤ x y , ∀x, y ∈ X b) Công thức nhị thức: x ± y = x + y ± 2Re x, y , ∀x, y ∈ X 2 ( c) Đẳng thức bình hành: x + y + x − y= x + y 2 2 ) , ∀x, y ∈ X Định nghĩa 1.2.3  Hai vector x, y không gian tiền Hilbert X gọi trực giao với (kí hiệu x ⊥ y ) x, y =  Cho M ⊂ X Tập M ⊥ := {x ∈ X : x, y = 0, ∀y ∈ M } gọi phần bù trực giao M  Một hệ trực giao không gian tiền Hilbert X tập A vector khác X cho hai vector khác A trực giao với  Một hệ trực giao A gọi hệ trực chuẩn x = với x ∈ A Nói cách khác {en } hệ trực chuẩn en = với n ∈ * ei ⊥ e j ( i ≠ j ) 10    x  Chú ý, A hệ trực giao = hệ B  : x ∈ A hệ trực    x  chuẩn, ta gọi hệ B trực chuẩn hóa hệ A  Hệ trực chuẩn {en } không gian Hilbert H gọi đầy đủ (hay toàn vẹn) có tính chất sau ∀n ∈ * , x ⊥ en ⇒ x =θ  Một hệ trực chuẩn đầy đủ không gian Hilbert H gọi sở trực chuẩn H Định lý 1.2.4 Cho {en } sở trực chuẩn không gian Hilbert H Khi ∞ ∑ a) x = n =1 b) = x ∀x ∈ H (Khai triển Fourier) x, en en , ∞ ∑ n =1 x, en , ∀x ∈ H (Đẳng thức Parseval) 1.3 Lý thuyết toán tử 1.3.1 Toán tử tuyến tính Giả sử X, Y không gian vectơ trường K Định nghĩa 1.3.1.1 Một không gian S gọi không gian tuyến tính X S ⊂ X S không gian tuyến tính Định nghĩa 1.3.1.2 A toán tử tuyến tính từ D ( A ) ⊂ X vào Y miền xác định D ( A ) không gian tuyến tính X với x1 , x2 ∈ D ( A ) , α , β ∈ K , A (α x1 + β x2 )= α A ( x1 ) + β A ( x2 ) Đối với toán tử tuyến tính, ảnh A ( x ) thường viết Ax 11 Định lý 1.3.1.3 Cho X, Y không gian định chuẩn, A toán tử tuyến tính từ D ( A ) ⊂ X vào Y Khi đó, A liên tục D(A) tồn số c cho với x ∈ D ( A ) ta có Ax Y ≤c x X (1.1) Cận số c thỏa mãn (1.2) gọi chuẩn A , hay A inf {c : Ax Y ≤ c x X , ∀x ∈ X } Do kí hiệu A= Ax = = sup = A sup Ax sup Ax x x≠0 x ≤1 x= (1.2 ) Một toán tử tuyến tính thỏa mãn (1.1) gọi bị chặn Vì ta có kết quan trọng: Định lý 1.3.1.4 Các khẳng định sau tương đương i) A bị chặn ii) A liên tục x = , nghĩa xn → ⇒ Axn → iii) A liên tục với x ∈ X Định lý 1.3.1.5 Cho X, Y không gian định chuẩn A toán tử tuyến tính từ X vào Y Nếu X hữu hạn chiều A liên tục 1.3.2 Không gian toán tử tuyến tính Cho X, Y không gian định chuẩn trường số K Kí hiệu L vào Y L ( X ,Y ) ( X ,Y ) không gian toán tử tuyến tính liên tục A từ X không gian tuyến tính K – không gian vectơ L ( X , Y ) tất toán tử tuyến tính từ X vào Y Bổ đề 1.3.2.1 L ( X ,Y ) không gian định chuẩn, với chuẩn (1.2) Định nghĩa 1.3.2.2 Một dãy toán tử tuyến tính liên tục { An } ⊂ L ( X ,Y ) gọi hội tụ đến A An − A → n → ∞ , trường hợp ta nói An hội tụ A 12 Định lý 1.3.2.3 Nếu Y không gian Banach L ( X ,Y ) không gian Banach 1.3.3 Toán tử nghịch đảo Định nghĩa 1.3.3.1 Cho X, Y không gian định chuẩn A toán tử từ X vào Y Nếu với y ∈ Y tùy ý có không x ∈ X cho Ax = y , A gọi toán tử 1-1 Trong trường hợp này, tương ứng từ Y qua X xác định toán tử; toán tử gọi nghịch đảo A, kí hiệu A−1 Khi ta nói A khả nghịch AA−1 = (1 = IY ánh xạ đồng Y) 1.3.4 Toán tử liên hợp Trong phần này, ta kí hiệu L (H ) không gian ánh xạ tuyến tính liên tục từ H vào H Định nghĩa 1.3.4.1 Toán tử liên hợp A∈ L (H ) toán tử A* ∈ L (H ) cho Ax, y = x, A* y với x, y ∈ H Định lý 1.3.4.2 Với A∈ L (H ) toán tử liên hợp A* tồn nhất, ( A* )* = A A* = A Định nghĩa 1.3.4.3 Toán tử A không gian Hilbert H gọi tự liên hợp A* = A 1.3.5 Toán tử compact Định nghĩa 1.3.5.1 Cho X, Y không gian định chuẩn Toán tử tuyến tính A : X → Y gọi compact ảnh A ( B ) hình cầu đơn vị đóng B X compact tương đối Y, nghĩa A ( B ) tập compact Định lý 1.3.5.2 13 i) Giả sử An : X → Y dãy toán tử compact từ không gian Banach X vào không gian Banach Y, A : X → Y bị chặn, An hội tụ đến A theo chuẩn, nghĩa = An − A sup x≠0 An x − Ax →0 x ( n → ∞ ) Khi A toán tử compact ii) Nếu A∈ L ( X , Y ) , B ∈ L (Y , Z ) A B compact BA compact 1.4 Phổ toán tử Định nghĩa 1.4.1 Đại số Banach không gian Banach phức  với phép toán nhân có tính chất kết hợp phân phối với phép cộng (nhưng không giao hoán) thỏa mãn λ= ( xy ) λ x) y (= x (λ y ) xy ≤ x y với x, y ∈ , λ ∈ Ví dụ Nếu X không gian Banach không gian L (X ) với phép nhân phép hợp thành ánh xạ đại số Banach Định nghĩa 1.4.2  Số λ ∈ K gọi giá trị quy A∈L (X ) λ − A = λ.1 − A khả nghịch L ( X ) Trong trường hợp ngược lại ta nói λ giá trị phổ A Kí hiệu S ( A ) σ ( A ) tập giá trị quy phổ A Rõ ràng S ( A ) ∪ σ ( A ) = K , S ( A) ∩ σ ( A) = ∅ 14  Số λ gọi giá trị riêng ánh xạ tuyến tính A∈ L (X ) tồn ≠ x ∈ E cho λ x − A ( x ) = Khi x gọi vectơ riêng A ứng với giá trị riêng λ Nhận xét 1.4.3 Nếu λ giá trị riêng A λ ∈ σ ( A ) 1.5 Không gian C ([ 0, T ]; H ) Định nghĩa 1.5.1 Không gian C ([ 0, T ]; H ) bao gồm tất hàm liên tục u : [ 0, T ] → H với u= max u ( t ) < ∞ C ([ 0,T ]; H ) 0≤t ≤T 1.6 Nửa nhóm toán tử liên tục Lấy X không gian Banach phức với chuẩn Ta kí hiệu L (X ) đại số Banach tất toán tử tuyến tính bị chặn X mà chuẩn kí hiệu Bài toán 1.6.1 Tìm tất ánh xạ T (.) :  + → L ( X ) thỏa mãn phương trình hàm ( FE ) = T ( t + s ) T ( t ) T ( s )  T ( ) = I ∀t , s ≥ 0, Định nghĩa 1.6.2 Một họ (T ( t ) )t ≥0 toán tử tuyến tính bị chặn không gian Banach X gọi nửa nhóm (một tham số) X thỏa mãn phương trình hàm (FE) Nếu (FE) với t , s ∈  , ta gọi (T ( t ) )t∈ nhóm (một tham số) X Định nghĩa 1.6.3 Lấy tùy ý toán tử A∈ L ( X ) , ta định nghĩa ∞ t k Ak , e := ∑ k =0 k ! tA (1.3) 15 với chuỗi hội tụ đại số Banach L Mệnh đề 1.6.4 Với A∈ L ( X ) ( X ) , ta định nghĩa ( etA )t ≥0 theo (1.3) Khi tính chất sau i) (e ) tA t ≥0 nửa nhóm X cho ( X ),  +  t  etA ∈ (L ) liên tục ii) ( X ), Ánh xạ  +  t  T ( t = ) : etA ∈ (L ) khả vi thỏa mãn phương trình vi phân d =  T ( t ) AT ( t )  dt T ( ) = I  ( DE ) ∀t ≥ 0, ( X ), Ngược lại, hàm khả vi T (.) :  + → (L có dạng T ( t ) = etA với A∈ L Cuối cùng, ta ý A = ) thỏa mãn (DE) ( X ) d T ( t ) dt t =0 F Chứng minh Chứng minh i) ∞ tk A Vì chuỗi ∑ k! k =0 k hội tụ nên áp dụng công thức tích Cauchy chuỗi vô hạn ta có t k Ak ∞ s k Ak ∞ n t n − k An − k s k A k ∑ = ∑∑ ∑ k! k k! = k k! n 0= k ( n − k )! = = ∞ = ( tA + sA) = n ∞ ∑ n! ∞ ∑ n 0= n = (t + s ) n A n!  n Ở phần sau, ta kí hiệu đạo hàm với biến số thực t “ ”, nghĩa T ( ) = d T (t ) dt t =0 [...]... H (Đẳng thức Parseval) 1.3 Lý thuyết toán tử 1.3.1 Toán tử tuyến tính Giả sử X, Y là các không gian vectơ trên cùng một trường K Định nghĩa 1.3.1.1 Một không gian S được gọi là không gian con tuyến tính của X nếu S ⊂ X và S là không gian tuyến tính Định nghĩa 1.3.1.2 A là toán tử tuyến tính từ D ( A ) ⊂ X vào Y nếu miền xác định D ( A ) của nó là không gian con tuyến tính của X và với mọi x1 , x2 ∈... toán tử tuyến tính Cho X, Y là các không gian định chuẩn trên cùng một trường số K Kí hiệu L vào Y L ( X ,Y ) ( X ,Y ) là không gian các toán tử tuyến tính liên tục A từ X là không gian con tuyến tính của K – không gian vectơ L ( X , Y ) tất cả các toán tử tuyến tính từ X vào Y Bổ đề 1.3.2.1 L ( X ,Y ) là không gian định chuẩn, với chuẩn (1.2) Định nghĩa 1.3.2.2 Một dãy các toán tử tuyến tính liên tục... Định lý 1.3.2.3 Nếu Y là không gian Banach thì L ( X ,Y ) là không gian Banach 1.3.3 Toán tử nghịch đảo Định nghĩa 1.3.3.1 Cho X, Y là các không gian định chuẩn và A là toán tử từ X vào Y Nếu với y ∈ Y tùy ý có không quá một x ∈ X sao cho Ax = y , thì A được gọi là toán tử 1-1 Trong trường hợp này, tương ứng từ Y qua X xác định một toán tử; toán tử này được gọi là nghịch đảo của A, kí hiệu A−1 Khi đó... Một toán tử tuyến tính thỏa mãn (1.1) được gọi là bị chặn Vì vậy ta có các kết quả quan trọng: Định lý 1.3.1.4 Các khẳng định sau tương đương i) A bị chặn ii) A liên tục tại x = 0 , nghĩa là xn → 0 ⇒ Axn → 0 iii) A liên tục với mọi x ∈ X Định lý 1.3.1.5 Cho X, Y là các không gian định chuẩn và A là toán tử tuyến tính từ X vào Y Nếu X hữu hạn chiều thì A liên tục 1.3.2 Không gian các toán tử tuyến. .. nhất trên Y) 1.3.4 Toán tử liên hợp Trong phần này, ta kí hiệu L (H ) là không gian các ánh xạ tuyến tính liên tục từ H vào H Định nghĩa 1.3.4.1 Toán tử liên hợp của A∈ L (H ) là toán tử A* ∈ L (H ) sao cho Ax, y = x, A* y với mọi x, y ∈ H Định lý 1.3.4.2 Với mọi A∈ L (H ) toán tử liên hợp A* tồn tại và duy nhất, hơn nữa ( A* )* = A và A* = A Định nghĩa 1.3.4.3 Toán tử A trong không gian Hilbert H được... tự liên hợp nếu A* = A 1.3.5 Toán tử compact Định nghĩa 1.3.5.1 Cho X, Y là các không gian định chuẩn Toán tử tuyến tính A : X → Y được gọi là compact nếu ảnh A ( B ) của hình cầu đơn vị đóng B trong X là compact tương đối trong Y, nghĩa là A ( B ) là tập compact Định lý 1.3.5.2 13 i) Giả sử An : X → Y là một dãy các toán tử compact từ không gian Banach X vào không gian Banach Y, A : X → Y bị chặn,... ∈ σ ( A ) 1.5 Không gian C ([ 0, T ]; H ) Định nghĩa 1.5.1 Không gian C ([ 0, T ]; H ) bao gồm tất cả các hàm liên tục u : [ 0, T ] → H với u= max u ( t ) < ∞ C ([ 0,T ]; H ) 0≤t ≤T 1.6 Nửa nhóm các toán tử liên tục đều Lấy X là không gian Banach phức với chuẩn Ta kí hiệu L (X ) là đại số Banach tất cả các toán tử tuyến tính bị chặn trên X mà chuẩn cũng được kí hiệu là Bài toán 1.6.1 Tìm tất cả... xi i =1 2  < ∞  là không gian tuyến tính  với phép cộng và phép nhân một số theo tọa độ 1.1.2 Không gian tuyến tính định chuẩn Định nghĩa 1.1.2.1 Cho X là không gian vectơ trên trường K Chuẩn trên X là một ánh xạ :X → thỏa mãn các tiên đề chuẩn sau N1: x ≥ 0, ∀x ∈ X ; N2:= λx λ x , x = 0⇔ x= θ, ∀x ∈ X , λ ∈ K , N3: x + y ≤ x + y , ∀x, y ∈ X Định nghĩa 1.1.2.2 Một không gian vectơ X trên K cùng... , x2 ∈ D ( A ) , mọi α , β ∈ K , A (α x1 + β x2 )= α A ( x1 ) + β A ( x2 ) Đối với một toán tử tuyến tính, ảnh A ( x ) thường được viết là Ax 11 Định lý 1.3.1.3 Cho X, Y là các không gian định chuẩn, A là toán tử tuyến tính từ D ( A ) ⊂ X vào Y Khi đó, A liên tục trên D(A) nếu và chỉ nếu tồn tại hằng số c sao cho với mọi x ∈ D ( A ) ta có Ax Y ≤c x X (1.1) Cận dưới đúng của các hằng số c thỏa mãn... không gian tuyến tính định chuẩn trên K (thường gọi là không gian định chuẩn), kí hiệu ( X , ) Định nghĩa 1.1.2.3 Một dãy { xn } trong không gian định chuẩn X được gọi là dãy Cauchy nếu với mọi ε > 0 , tồn tại n0 (phụ thuộc ε ) sao cho với mọi n, m ≥ n0 ta đều có xn − xm < ε Định nghĩa 1.1.2.4 Một không gian được gọi là đầy đủ nếu và chỉ nếu mọi dãy Cauchy đều hội tụ Định nghĩa 1.1.2.5 Một không gian