Luận án tiến sĩ toán học: Sử dụng phương pháp giải tích trong bài tóan biên phi tuyến

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINHBÙI TIẾN DŨNG SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÍCH VÀO MỘT SỐ BÀI TOÁN BIÊN PHI TUYẾN LUẬN ÁN TIẾN SỸ TOÁN HỌC TP... MỤC L

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

BÙI TIẾN DŨNG

SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP

GIẢI TÍCH VÀO MỘT SỐ BÀI TOÁN BIÊN

PHI TUYẾN LUẬN ÁN TIẾN SỸ TOÁN HỌC

TP HỒ CHÍ MINH - 2005

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

BÙI TIẾN DŨNG

SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP

GIẢI TÍCH VÀO MỘT SỐ BÀI TOÁN BIÊN

PHI TUYẾN

Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH

Mã số : 1 01 01

LUẬN ÁN TIẾN SỸ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

TS NGUYỄN THÀNH LONG

PGS.TS NGUYỄN HỘI NGHĨA

TP HỒ CHÍ MINH – 2005

LỜI CAM ĐOAN



Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi Các kết quả và số liệu trong luận án là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ một công trình nào khác

Tác giả luận án

Lời cảm ơn

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn đến Quý Thầy phản biện độc lập luận án, Quý Thầy trong Hội đồng đánh giá luận án tiến sỹ cấp Bộ môn, Hội đồng đánh giá luận án tiến sỹ cấp Nhà nước, đã đóng góp nhiều ý kiến quý báu, giúp cho tôi hoàn thành tốt đẹp luận án này

Chân thành cảm ơn Quý Thầy, Cô cùng các Chuyên viên ở Vụ Đại học và Sau Đại học của Bộ Giáo Dục và Đào Tạo, và ở Phòng Sau Đại học của Truờng Đại học Sư Phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã tận tình giúp cho tôi hoàn tất các thủ tục học tập và bảo vệ luận án tiến sỹ

Tôi cũng xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu Trường Đại học Kiến Trúc Thành phố Hồ Chí Minh cùng Qúy Thầy, Cô đồng nghiệp thuộc Khoa Khoa học Cơ Bản đã độâng viên và tạo nhiều điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn tất việc học tập, nghiên cứu khoa học Đặc biệt xin được cảm ơn Thạc sỹ Ninh Quang Thăng, Khoa Trưởng Khoa Khoa Học Cơ Bản của Trường Đại học Kiến Trúc Thành phố Hồ Chí Minh, người lãnh đạo, người anh, và là đồng nghiệp đã luôn sát cánh bên tôi, giúp đỡ rất nhiều cho tôi trong sự nghiệp giảng dạy, quản lý tổ chức để cho tôi tập trung hoàn thành được luận án tiến sỹ này

Sau cùng, tôi xin gửi tất cả những tình cảm yêu thương và lòng biết ơn đối với gia đình, nơi đã gửi gắm ở tôi niềm tin, nơi cho tôi những an lành và sức mạnh, nhờ đó tôi có thể vượt qua khó khăn, trở ngại để học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận án tiến sỹ của mình

Bùi Tiến Dũng

MỤC LỤC

trang Phần mở đầu 1

Chương 1: Phương trình sóng phi tuyến có chứa toán tử Kirchhoff 12

1.2 Ký hiệu và các kết quả chuẩn bị

1.3 Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm cho bài toán

với điều kiện biên hỗn hợp thuần nhất

1.4 Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm cho bài toán

với điều kiện biên hỗn hợp không thuần nhất

1.5 Khai triển tiệm cận của nghiệm yếu đến cấp 3

theo một tham số ε

1.6 Khai triển tiệm cận của nghiệm yếu đến cấp N+1

theo một tham số ε

1.7 Nhận xét về các kết quả thu được

Chương 2: Phương trình sóng phi tuyến liên kết với một phương trình

tích phân phi tuyến chứa giá trị biên 712.1 Giới thiệu

2.2 Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm

2.3 Sự ổn định của nghiệm

2.4 Nhận xét về các kết quả tìm được

Phần kết luận 100

A Danh mục các công trình của tác giả có liên quan đến luận án 103

B Tài liệu tham khảo 104

1

PHẦN MỞ ĐẦU

Trong các ngành Khoa học ứng dụng như Vật lý, Hóa học, Cơ học, Kỹ thuật, thường xuất hiện các bài toán biên phi tuyến rất phong phú và đa dạng Đây chính là nguồn đề tài không bao giờ cạn mà rất nhiều các nhà toán học từ trước đến nay quan tâm nghiên cứu Hiện nay, với những thành tựu của Toán học hiện đại, nhiều công cụ sâu sắc dựa vào nền tảng của Giải tích hàm đã xâm nhập vào từng bài toán biên phi tuyến cụ thể ở một mức độ nào đó Tuy nhiên, nhìn một cách tổng quát, chúng ta vẫn chưa có một phương pháp toán học chung để giải quyết cho mọi bài toán biên phi tuyến Do đó còn rất nhiều các bài toán biên phi tuyến vẫn chưa giải hoặc giải được một phần tương ứng với số hạng phi tuyến cụ thể nào đó

Trong luận án này chúng tôi sẽ khảo sát một số bài toán biên có liên quan đến nhiều vấn đề trong các ngành Khoa học ứng dụng Chẳng hạn các phương trình sóng phi tuyến liên kết với các loại điều kiện biên khác nhau xuất hiện trong các bài toán mô tả dao động của một vật đàn hồi ( một dây hoặc một thanh đàn hồi) với các ràng buộc phi tuyến ở bề mặt và tại biên, hoặc mô tả sự va chạm của một vật rắn với một thanh đàn nhớt tuyến tính trên một nền cứng hoặc một nền đàn nhớt với các ràng buộc đàn hồi phi tuyến ở bề mặt, các ràng buộc liên hệ với lực cản ma sát nhớt Công cụ để khảo sát các bài toán biên trên được chúng tôi sử dụng và trình bày trong luận án là các phương pháp của Giải tích hàm phi tuyến như: phương pháp Galerkin, phương pháp compact và đơn điệu, phương pháp xấp xỉ tuyến tính liên hệ với các định lý về điểm bất động, phương pháp tiệm cận

Ngoài phần tổng quan ở chương mở đầu, kết quả chính của luận án sẽ được trình bày trong hai chương sau:

Chương 1: Trong chương này, chúng tôi quan tâm đến một dạng phương trình sóng phi tuyến có chứa toán tử Kirchhoff

2

,0

),1,0(),

,,,,,()

,1( ),(),0(),0

u x − = = (0.2)

và điều kiện đầu

),(

~)0,( ),(

~)0

,

u = t = (0.3) trong đó B ,f, u~0, u~1, g0, g1 là các hàm cho trước sẽ được giả thiết ở phần sau và

u t

ơÛ đây u là độ võng, ρ là khối lượng riêng, h là thiết diện, L là chiều dài sợi dây ở trạng thái ban đầu, E là môđun Young và P0 là lực căng lúc ban đầu Tuy nhiên, trong nhiều tài liệu sau này ( xem [13, 15, 23, 24, 30, 39]) vẫn gọi phương trình thuộc dạng (0.5) là phương trình sóng chứa toán tử Carrier hoặc ghép tên chung và gọi là phương trình sóng chứa toán tử Kirchhoff-Carrier Thật ra giữa hai bài báo gốc của Kirchhoff (1876)[16] và của Carrier (1945)[7] có sự khác biệt, bởi vì chúng tôi tìm thấy trong [7] của Carrier đã công bố năm 1945 thì phương trình không phải thuộc dạng (0.5), mà lại là

,0

, 0

,)

,(

0

2 1

trong đó P0 ,P1 là các hằng số dương

3

Trong một số trường hợp riêng của B và f, bài toán Cauchy hay hỗn hợp cho phương trình (0.1) đã được nghiên cứu bởi nhiều tác giả như Ebihara, Medeiros và Miranda[13]; Pohozaev[34]; Frota[14]; Larkin[18]; Santos[36], Tucsnak[38]; Santos-Fereira-Saposo[37]; Yamada[39] Trong hai công trình gần đây (xem [31, 32]), các tác giả Medeiros, Limaco, Menezes đã cho một tổng quan các kết quả về khía cạnh toán học có liên quan đến mô hình Kirchhoff-Carrier

Trong [14], Frotta chú ý nghiên cứu phương trình sóng cho miền n-chiều

,),

,()

,

B

u tt − ∇ Δ = ∈Ω < < (0.7)

liên kết với điều kiện biên Dirichlet thuần nhất và điều kiện đầu

Thay vì xét (0.7), Larkin[18] nghiên cứu phương trình sóng

,0

,),

,(),,()

)( ,,

)(t 2 u x t 2dx u

Trong [37], các tác giả Santos-Ferreira-Pereira-Raposo nghiên cứu bài toán với phương trình sóng

,0

),1,0(,

0)()

B

u tt − ∇ Δ −Δ t + = ∈Ω= < < (0.9)

liên kết với điều kiện biên hỗn hợp phi tuyến và điều kiện đầu

Trong [38], Tucsnak nghiên cứu bài toán

, 0 , 1 0

0, )

, (

1 0

− ∫ y t dy u x t

y

u b a

u tt xx (0.10)

,0 ,0),1()

,1( ,0),

0

u x α t (0.11)

),(

~)0,( ),(

~)0

,

u = t = (0.12)

4

trong đó a>0, b≥0, α >0 là các hằng số cho trước Trong trường hợp này, bài toán (0.10) - (0.12) mô tả sự kéo giãn sợi dây

Trong [30] Medeiros đã khảo sát bài toán (0.1)-(0.3) với f = f(u)=−bu2,

ở đây b là một hằng số dương cho trước, Ω là một tập mở bị chận của IR3 Trong [15], Hosoya và Yamada đã xét bài toán với f = f(u)=−δ uαu, trong đó δ > 0,

α ≥ 0 là các hằng số cho trước

Trong [8] Dmitriyeva đã nghiên cứu bài toán

),(0,)

,( ),,(

,0

i

i i

v x

u

u trên ∂ (0.14) Ω,

),(

~)0,( ),(

~)0,

u = t = (0.15) trong đó, Ω=(0,π)×(0,π), vectơ v= (v1,v2) là pháp tuyến đơn vị trên biên ∂ Ω

hướng ra ngoài, λ=π2h2/6,với εh, là các hằng số dương Trong trường hợp này, bài toán (0.13)-(0.15) mô tả dao động phi tuyến của một bản hình vuông có tải trọng tĩnh

Trong [26], N.T Long và các tác giả đã nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán

), , 0 ( )

, ( ), , ( )

( 2u B u 2 u u 1u F x t x t T

0 ,

~)0,( ),(

~)0

,( ),,(),()

(

5

0 ,

~)0,

u = t = (0.21)

Trong [9], Alain Phạm đã nghiên cứu sự tồn tại và dáng điệu tiệm cận khi

ε → 0 của nghiệm yếu của bài toán (0.1)-(0.3) với B ≡ 1 liên kết với điều kiện biên thuần nhất Dirichlet

,0),1(),0

),1,0(),,,,,()

,,,,

f u

u tt − xx = x t +ε x t ∈ < < 0.24)

liên kết với điều kiện đầu (0.3) và điều kiện biên hỗn hợp thuần nhất

0,),0(),1(),0(),0

( t −h0u t =u t +h1u t =

u x x (0.25)

trong đó h0, h 1 là các hằng số dương cho trước

Trong trường hợp f ∈C2([0,1]×[0,∞)×IR3) và 1([0,1] [0, ) 3),

trong [12] thu được kết quả thu được liên quan đến khai triển tiệm cận của nghiệm bài toán nhiễu đến cấp 2 theo một tham số ε đủ nhỏ Kết quả này tiếp tục được mở rộng trong [24] với phương trình sóng phi tuyến có chứa toán tử Kirchhoff:

),,,,,(),,,,(

)]

(.) ([

1

2 1

2 0

t x t

x

xx x x

tt

u u u t x f u u u t x f

u u B u

B b u

liên kết với điều kiện (0.3) và (0.22) trong đó b0 >0 là hằng số cho trước và

0 ,0 ),(

Trong chương này, chúng tôi tập trung giải quyết hai vấn đề:

6

Vấn đề thứ nhất: Chúng tôi liên kết bài toán với một dãy qui nạp tuyến tính hội tụ mạnh trong các không gian hàm thích hợp và chứng minh sự tồn tại địa phương và duy nhất nghiệm của bài toán bằng phương pháp Galerkin thông dụng kết hợp với phương pháp compact Chú ý rằng phương pháp tuyến tính hóa trong chương này cũng như trong các bài báo [6, 10, 21, 23, 24, 33] không thể sử dụng trong các bài báo [3, 5, 9, 11, 12, 13, 19, 20, 26, 27, 29, 30, 34]

Vấn đề thứ hai: Chúng tôi khảo sát bài toán nhiễu

) , , , , , ( ε ) , , , , , (

)]

, ( ε ) , ( [

2 1

2

2 1

2

x t x x

t x

xx x x

tt

u u u u t x f u

u u u t x f

u u t B u

t B u

,0

),1,0(

),,,,,,()

B

u tt − x xx = x t x ∈Ω= < < (0.28)

,0),1(),0(),0

( t −h0u t =u t =

u x (0.29)

),(

~)0,( ),(

~)0,

u = t = (0.30) trong đó B ,f, u~0, u~1 là các hàm cho trước Ở đây, số hạng phi tuyến ở vế phải của (0.28) xác định bởi hàm f được giả sử rằng 0([0,1] 3 )

thêm một số điều kiện phụ

Kế tiếp chúng tôi mở rộng việc khảo sát cũng với phương trình sóng phi tuyến có chứa toán tử Kirchhoff-Carrier nhưng lại liên kết với điều kiện biên hỗn hợp không thuần nhất như sau:

,0

),1,0(),

,,,,,()

,1( ),(),0(),0

u x − = = (0.32)

),(

~)0,( ),(

~)0,

u = t = (0.33)

7

trong đó B ,f, u~0, u~1, g0, g1 là các hàm cho trước sẽ được giả thiết sau Bằng việc đặt ẩn phụ thích hợp, chúng tôi đưa bài toán (0.31) - (0.33) về bài toán có điều kiện biên thuần nhất thuộc dạng (0.28) - (0.30) với sự điều chỉnh lại các hàm

Trong vấn đề thứ hai, để xây dựng ý tưởng và cơ sở lập luận, trước tiên chúng tôi khảo sát phương trình nhiễu

) , , , , , ( ε ) , , , , , (

)]

, ( ε ) , ( [

2 1

2

2 1

2

x t x x

t x

xx x x

tt

u u u u t x f u

u u u t x f

u u t B u

t B u

)]

( ε ) ( [

2 2

2 1 2

x t x x

t x

xx x x

tt

u u u u t x f u

u u u t x f

u u B u

8

Các kết quả này đã được công bố trong hai bài báo [d1, d2]

Chương 2: Chúng tôi xét phương trình sóng phi tuyến liên kết với một phương trình tích phân phi tuyến chứa giá trị biên Bài toán đặt ra là tìm một cặp hàm (u, P) thỏa

,0

),1,0(

,0),

f u

u tt − xx + t = ∈Ω= < < (0.36)

,0),1( ),(),0

u x (0.37)

),()0,( ),()0

− +

= g t H u t t K t s u s ds t

P

0

, )) , 0 ( , ( )) , 0 ( ( ) ( )

( (0.39)

trong đó g, H và K là các hàm cho trước

Bài toán (0.36) - (0.39) đã được nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu theo nhiều kiểu điều kiện biên khác nhau tương ứng với các ý nghĩa cơ học nào đó, chẳng hạn như :

Trong [1], N.T An và N.Đ Triều và trong [20] N.T Long, Alain P.N Định đã xét bài toán (0.36), (0.38) liên kết với điều kiện biên

,0),1( ),(),0

,),0()

()

(

P +ω = tt < < (0.41)

,)0(' ,)0

P = = (0.42)

ở đây ω > 0, h>0, P0, P1 là các hằng số cho trước [1, 20]

Trong [1] đã nghiên cứu một trường hợp đặc biệt của bài toán (0.36), (0.38)(0.41), (0.42) với u0 =u1 =P0 =0 và

9

,.)

,(u u t Ku u t

f = +λ (0.43)

với K và λ là các hằng số dương cho trước Trong trường hợp này bài toán (0.36), (0.38),(0.41), (0.42) là mô hình toán học mô tả sự va chạm của một vật rắn và một thanh đàn nhớt tuyến tính có một đầu đặt trên một nền cứng

Bằng việc giải bài toán (0.41), (0.42) ta thu được P(t) biểu thị theo

t)(0, ,

−

=

.sin)

(

,sin))0((

1cos

))0((

)

t h

t k

t hu

P t

u h P t g

ωω

ωω

= g t hu t ∫k t s u s d u t t

,1( ),(),

0

u x x λ t (0.47)

ở đây K, λ, K1 ,λ1 là các hằng số không âm cho trước

Bài toán này mô tả sự va chạm của một vật rắn và một thanh đàn nhớt tuyến tính tựa trên một nền đàn nhớt với các ràng buộc tuyến tính ở bề mặt và các ràng buộc liên kết với lực cản ma sát nhớt

Trong trường hợp

f(u,u t) = u tα−1u t ( 0 <α < 1 ), (0.48) Đ.Đ Áng và Alain P.N Định trong [3] đã thiết lập được một định lý tồn tại và duy nhất của một nghiệm toàn cục cho bài toán (0.36) - (0.38) với P, u0, u1 là các hàm cho trước

Trong chương này, chúng tôi thực hiện hai phần chính Ở phần thứ 1, chúng tôi chứng minh định lý tồn tại và duy nhất nghiệm yếu toàn cục của bài toán (0.36) - (0.39) Việc chứng minh dựa trên cơ sở của phương pháp xấp xỉ Galerkin kết hợp với các đánh giá tiên nghiệm, các kỹ thuật của phương pháp compact và phương pháp hội tụ yếu Trong phần xấp xỉ Galerkin, chúng tôi cũng sử dụng định lý về điểm bất động Schauder để kiểm tra sự tồn tại của nghiệm xấp xỉ Sự khó khăn chính gặp phải trong phần này là điều kiện biên tạix= 0 Ta chú ý rằng phương pháp tuyến tính hóa đã sử dụng trong [6, 10, 21, 23, 24, 33] không dùng được trong [3, 5, 9, 11-13, 19, 20, 26, 27, 29, 30, 34] Trong phần thứ

2 của chương này, chúng tôi chứng minh nghiệm (u,P) là ổn định đối với các hàm

g, H và K Các kết quả thu được ở đây đã tổng quát hóa tương đối các kết quả trong [1, 3, 5, 9-12, 17, 20, 21, 25, 28, 33] và đã được công bố trong [d3]

Các kết quả trên đây của luận án đã được công bố trong ([d1]-[d4]) và đã tham gia báo cáo trong các hội nghị:

- Hội nghị về Phương trình đạo hàm riêng và Ứng dụng, Hà Nội, 27-29/12/99

- Hội nghị Toán học Việt nam toàn quốc lần thứ 6, Huế, 7-10/9/2002

- Hội nghị Khoa học lần 2, ĐHKH Tự Nhiên Tp HCM, 5-2000

- Hội nghị Khoa học lần 3, ĐHKH Tự Nhiên Tp HCM, 10-2002

12

Chương 1 PHƯƠNG TRÌNH SÓNG PHI TUYẾN CÓ CHỨA TOÁN TỬ KIRCHHOFF 1.1 Giới thiệu

Trong chương này, chúng tôi quan tâm đến một dạng phương trình sóng phi tuyến có chứa toán tử Kirchhoff được liên kết với điều kiện biên hỗn hợp

,0

),1,0(),

,,,,,()

~)0,( ),(

~)0

) , (x t dx u

u x x (1.1.4)

Chúng tôi tập trung giải quyết hai vấn đề

Vấn đề thứ nhất: Chúng tôi chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm địa phương của bài toán (1.1.1) - (1.1.3) tương ứng với hai trường hợp thuần nhất (g0(t)= g1(t)=0) và không thuần nhất (g0(t)≠0≠ g1(t)) Ý tưởng và công cụ tổng quát để khảo sát sự tồn tại nghiệm là thiết lập một dãy qui nạp tuyến tính liên kết với bài toán, sau đó sử dụng xấp xỉ Galerkin và phương pháp compact để chứng minh dãy này hội tụ mạnh về nghiệm yếu của bài toán (1.1.1) - (1.1.3) trong các không gian hàm thích hợp Sự duy nhất nghiệm được chứng minh nhờ vào bổ đề Gronwall sau một số các phép tính toán và đánh giá cụ thể

Vấn đề thứ hai: Chúng tôi khảo sát bài toán nhiễu

13 ) , , , , , ( ε ) , , , , , ( )] , ( ε ) , ( [ 2 1 2 2 1 2 x t x x t x xx x x tt u u u u t x f u u u u t x f u u t B u t B u + = + − (1.1.5) liên kết với (1.1.2), (1.1.3) và tìm cách khai triển tiệm cận của nghiệm yếu ) , ( ε x t u đến một cấp nào đó phụ thuộc vào tính trơn của các hàm B, B1, f, f1 theo một tham số bé ε Trong vấn đề thứ nhất, trước hết chúng tôi chứng minh sự tồn tại địa phương và duy nhất nghiệm của bài toán với điều kiện biên hỗn hợp thuần nhất

, 0 ), 1 , 0 ( ), , , , , , ( ) (u 2 u f x t u u u u 2 x t T B u tt − x xx = x t x ∈ < < (1.1.6) , 0 ) , 1 ( ) , 0 ( ) , 0 ( t −h0u t =u t = u x (1.1.7) ), ( ~ ) 0 , (

), ( ~ ) 0 , (x u0 x u x u1 x u = t = (1.1.8) trong đó B ,f, u~0, u~1 là các hàm cho trước sẽ được giả thiết ở phần sau và h0 ≥0 là hằng số cho trước Trong phương trình (1.1.6) số hạng phi tuyến B(u x 2)bây giờ không phụ thuộc vào biến thứ nhất ( biến thời gian t ) mà chỉ phụ thuộc vào tích phân =∫1 0 2 2 ) , (x t dx u u x x Sau đó, với một số giả thiết nào đó trên các hàm cho trước B ,f, u~0, u~1, g0, g1 và bằng việc đổi ẩn hàm bằng phép tịnh tiến ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + − + = − = − ( ), ) ( ) 1 ( 1 1 ) , ( ), , ( ) , ( ) , ( 1 0 0 ) ( 0 g t e t g x h t x t x t x u t x v t x h ϕ ϕ (1.1.9) bài toán (1.1.1) - (1.1.3) được đưa về bài toán với điều kiện biên thuần nhất sau , 0 , 1 0

), ) ( ) ( , , , , , ( ~ ) ) ( ) ( , ( 2 2 T t x t t v v v v t x f v t t v t B v tt x x xx x t x x < < < < + = + − ϕ ϕ (1.1.10) v x(0,t)−h0v(0,t)=v(1,t)=0, (1.1.11) ), ( ~ ) 0 , ( ), (

~ ) 0 ,

v = t = (1.1.12)

trong đó

14

, )

, ( ) , ,

, , , ( ) , , , , , (

~

tt zz t

t x x t

x v z f x t v v v z B t z v

v t x

)

0,()(

~)(

~ ),0,()(

~)(

~

1 1

Trong vấn đề thứ hai, để xây dựng ý tưởng và cơ sở lập luận, trước tiên chúng tôi khảo sát phương trình nhiễu (1.1.5) liên kết với (1.1.2), (1.1.3) và thu được một nghiệm yếu uε(x,t) có khai triển tiệm cận đến cấp 3 theo một tham số

ε đủ nhỏ

Kế tiếp, chúng tôi mở rộng việc khai triển tiệm cận cho phương trình nhiễu

) , , , , , ( ε ) , , , , , (

)]

( ε ) ( [

2 1

2

2 1 2

x t x x

t x

xx x x

tt

u u u u t x f u

u u u t x f

u u B u

B u

bố trong hai bài báo [d1, d2]

1.2 Ký hiệu và các kết quả chuẩn bị

Chúng ta bỏ qua các định nghĩa của các không gian hàm thông dụng Ta ký hiệu

T ,T), ( Ω Q (Ω H H (Ω H H (Ω L

L P = P ), m = m ), 0m = 0m ), T = × 0 >0

Ta dùng ký hiệu 〈⋅, ⋅〉 để chỉ tích vô hướng trong L2 hay cặp tích đối ngẫu

của một phiếm hàm tuyến tính liên tục với một phần tử của một không gian hàm

Ký hiệu ⋅ để chỉ chuẩn trong L2 và ký hiệu ⋅ X để chỉ chuẩn trong một không gian Banach X Ta gọi X ′ là không gian đối ngẫu của X

p T

P X

T t X

T

0 )

; , 0 ( < <

∞ = nếu p=∞

Ký hiệu u(t), u t(t)=u&(t), u tt(t)=u&&(t), u x(t)=∇u(t), u xx(t)=Δu(t) thay cho

),)(

/( ),,)(

/( ),,)(

/( ),,)(

Với f = f(x,t,u,v,w,z), ta đặt

./

,/

,/

,/

,/

V (1.2.1)

.) 0 ( ) 0 ( )

( ) ( )

, (

1 0

0

= u x v x dx h u v v

v v V = a ( v v, ) là tương đương

Chúng ta có các bổ đề sau

Bổ đề 1.2.1 Phép nhúng V 1C0([0,1]) là compact và với mọi v∈V, ta có

j λ (1.2.5)

v w v

~)0(

w w

h w

w w

j

j j

j

j j j

4 f t u v w z =

H với mọi t, z ≥ 0 và (u,v,w)∈IR3,:

)( '' 4

H D i f ∈C0([0,1]×IR+×IR3×IR+),i =1,3,4,5,6

K = = (1.3.1)

),,,,,,)(

sup(

),,

3 1 1

K

i i

v

,)(sup)

,(

~

2

0 0

,

),(),

;,0(:

)

;,0({

),(

) ( )

; , 0 ( )

; , 0

2 2

v

Q L v V T L v H V T L v T M

W

T tt t

T tt

t

Q L V

T L H

V T

,,0(),

,({),

〉

〈u&&m(t),v b m(t)a(u m(t),v) F m(t),v với mọi v∈V, (1.3.8)

,

~)0

u m = u&m(0) =u~1, (1.3.9)

ở đây

)

)(),

(),(),

(,,(),(

),)((

)(

2 1 1

1 1

2 1

t u B t

b

m m

m m

m

m m

& (1.3.10)

18

Khi đó, ta có

Định lý 1.3.1 Giả sử các giả thiết (H1) − (H4)được thỏa Khi đó tồn tại các hằng số dương M và T và một dãy qui nạp tuyến tính {u m}⊂W1(M,T) được xác định bởi (1.3.8)−(1.3.10)

Chứng minh Việc chứng minh định lý bao gồm nhiều bước

Bước1.Xấp xỉ Galerkin (xem Lions[17])

Trong V ta chọn cơ sở trực chuẩn Hilbert {w j =w~j / λj } như đã nêu ra trong bổ đề 1.2.3 Đặt

, ), ( )

), ( ( ) ( ),

( ( ) )

m m

m( ) = với mọi m và k

Bước 2 Đánh giá tiên lượng Đặt

∫

+ +

m

k m

k m

( )

( )

( ( ) ( ) ( ) && ( ) , (1.3.16)

ở đây

19

)), ( ), ( ( ) ( )

( )

( ( ) 2 ( ) ( ) )

m

k m m

k m

k

m = & + (1.3.17)

) ( ) ( )) ( ), ( ( ) ( ( ) ( ) ( ) 2

)

m m

k m

k m

k m m

k m

( ) ( )

( )

+ ∫〈 〉 + ∫t k

m m

t

k m

m s u s ds a F s u s ds F

0

) ( 0

)

), (

2 & &

+∫t k

m s ds u

0

2 ) ( ( )

)

b m = ∇ m−

.)(),

()

)((

2)

1 1

2

u B t

b

K M I

0

) ( 0

1 2

m s u s ds K S s ds F

I

0

) ( 0 0

) (

2 2 ( ) ( ) 2 ( ) (1.3.23)

Tích phân thứ 3 Từ (1.3.1),(1.3.2), (1.3.7) và (1.3.10) ta suy được rằng

20

2

)(s V

F m = ( ) (0, ) 4 (1 3 ) 2

0 0 2 2

1

2 0 2

K h M K

s F h s

I

V V

0

) (

3 2 ( ) & ( )

m s ds S

K h M

K

0

) ( 0 0

2

2 [

2 (1.3.25)

Tích phân thứ 4 Phương trình (1.3.12) được viết lại

, 1

, ), ( ),

( )

( ),

( ( ) )

m m

2 ) ( 2

0

2 )

&& (1.3.27)

Từ (1.3.1), (1.3.3), (1.3.7), (1.3.10), (1.3.16) và (1.3.18), ta kết luận

2 ) (

~ 2

0

2 0 )

( 0

m s ds TK S

m

k m

2 1

2 0 )

( )

+ ⎜⎜⎝⎛ + ⎟⎟⎠⎞∫

t k

m s ds S

b

K M K

0

) ( 0

1 2

~

~2

0 0

2 1

2 0 )

2

12

)0

m s ds S

b

K M K

0

) ( 0

1 2

~

~12

∫

+ +

m

k

m C M T C M S s ds S

0

) ( 2

1 )

( ( 0 ) ( , ) ( ) ( ) , (1.3.29)

ở đây

+ + +

, ] ) 1

( 3

1 2 [ 2

1 2

) , (

0 1 2 0 2

2 0 0

2 1

2 0 1

b

K M K M

C

K h M

K T TK

T M

~,

~()[

~()

~,

~(

~)0

)

(

k k

k k

k k

(

2

1)0

S k

m ≤ với mọi k và m (1.3.32)

Chú ý rằng từ giả thiết (H4) ta có

1 , 0 , 0 ) , , (

T M K

~ 1

)(

1 1 ( exp

) ) 1 (

~ (

1 1 2 2

1 2 0

2 1 1

2 0

×

+ +

=

T K M b

K M K

M b T

2 2

2 2

22

Do đó có thể chọn T k T

m( ) = với mọi k và m Vậy ta có

),(

1 )

b

u&&m = m Δ m + m∈ ∞

do vậy u m∈W1(M,T) và Định lý 1.3.1 được chứng minh hoàn toàn

Định lý 1.3.2 Giả sử (H1) − (H4) được thỏa Khi đó tồn tại các hằng số

:)

;,0({

m u u u Ck

u − L∞(0,T;V) + & − & L∞(0,T;L2) ≤ , với mọi m, (1.3.43)

trong đó

, 1 )

~ 1

)(

1 1 ( exp

) ) 1 (

~ (

1 1 2 2

1 2 0

2 1 1

2 0

×

+ +

=

T K M b

K M K

M b T

k T

(1.3.44)

23

và C là hằng số chỉ phụ thuộc vào T, u0 ,u1,và k T

Chứng minh

a./ Sự tồn tại nghiệm

Trước hết, ta lưu ý rằng W1(T) là một không gian Banach đối với chuẩn (xem Lions[17])

) (

1T

W

v = v L∞(0,T;V) + &v L∞(0,T;L2) (1.3.45)

Ta sẽ chứng minh rằng {u m} là một dãy Cauchy trong W1(T). Đặt v m =u m+1 −u m

Khi đó v m thỏa bài toán biến phân

,

,),()(

),())()(()),(()(),

(

1

1 1

V v v t F t F

v t u t b t b v t v a t b v t v

m m

m m

m m

m m

〈

−

−+

〉

〈

+

+ +

.0)0()0

t m

m( ) ( ) ( ( ), ( ))

0 1

()

( ) ) ( ( 2 )

~2)()

1 1 1 1

F m+ − m ≤ + ∇ m− + &m−

24

2 ( 1 ) ( ).

1 1

2

)()

2 ) (

+ − ∫

t m

m v s ds v

K

0 1 1 1

4 ( ) &

+ K +M v m− W T ∫t v m s ds

0 1 1

2

+ M K + +M K v m− W T ∫t v m s ds

0 1 1 1 1

2 1 1

2

) (

] ) 1 (

~ [

t

m + + ∫ & (1.3.53)

Do vậy

) (

1 1 ) ( )

(

0

2 2

t P b t

v t

≤ +

&

) 1 1

2 1 1

2

1 1

≤

) ) ( )

( ( )

~ 1

(

1 1

0

2 1

2 0

ds s v s v K M

t

m + +

Từ (1.3.54), ta suy ra rằng

) ( )

25

1 )

~ 1

)(

1 1 ( exp )

) 1 (

~ (

1 1 2

0

2 1 1

2 0

× +

b K

M K

M b T

Từ đây ta thu được

) ( )

)(

u

T

m T m

(t u t B u t 2 u t

)()(

~2)()(

~2

~

1 1 1 2 1

b m( )∇ m( )→ (∇ ( ) 2)∇ mạnh trong L∞(0,T;L2) (1.3.63)

Tương tự

) ( )

; , 0

2

)1(2)

)(,,,,,

L T

t u u u u t x f

Kết hợp (1.3.57) và (1.3.64) ta được

))(,,,,,(x t u u u u t 2f

F m → x & x mạnh trong L∞(0,T;L2) (1.3.65)

, , ) ( , , , , , (

) ), ( ( ) ) ( ( ),

(

2 2

V v v t u u u u t x f

v t u a t u B v t u

x x

~)

=B (u (t) 2)u f(x,t,u,u ,u,u (t) 2)

u&& x xx x & x L∞(0,T;L2) (1.3.68)

Như vậy u∈ W1(M,T).

b./ Tính duy nhất nghiệm

Giả sử u1, u2 là cặp nghiệm yếu của bài toán (1.1.1) - (1.1.3), thỏa

.2 ,1 ),,(

,),(

~)(

~

),())t(

~)t(

~()),(()(

~),(

2 1

2 2

1 1

V v v t F t F

v t u B

B v t u a t B v t u

〈

−

−+

u & (1.3.71)

ở đây

.2 ,1 ),)(,,,,,()(

~ ),)(()

u b t

u

t

V ~( ) ( ( ), ( )) )

( )

(

0 1

2 0 2

∫ ′

≤ +

&

+ ∫t B s −B s 〈 Δu s u s 〉ds

0

2 2

1 ( ) ~ ( )) ( ), ( )

~ (

2 &

∫t〈F s −F s u& s 〉ds (1.3.73)

Đặt

)()

u& + và ~ 2 1 1 [ 2 2~1 ( 2 ) 1].

0

K M K

M b

Áp dụng bổ đề Gronwall, ta suy được Z(t) =0, có nghĩa là u1 = u2.

Vậy Định lý 1.3.2 được chứng minh hoàn toàn

1.4 Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm cho bài toán với điều kiện biên hỗn hợp không thuần nhất

Chúng ta tiếp tục khảo sát bài toán (1.1.1) - (1.1.3) với các giả thiết được đặt ra dưới đây:

,

:

)

1 0

f(1,t,u,v,w,z)=0 với mọi t, z ≥ 0 và (u,v,w)∈IR3

Thay vì xét bài toán (1.1.1) - (1.1.3), ta sẽ đưa nó về bài toán với điều kiện biên thuần nhất theo cách làm như sau:

Với x∈[0,1], z≥0 và t ≥0, ta đặt

1

1),

0 0

) 1 (

t g e

t g x h t

+

=

ϕ (1.4.1)

28

, )

, ( ) , ,

, , , ( ) , , , , ,

(

~

tt xx t

t x x t

x v z f x t v v v z B t z v

v t x

f = + ϕ + ϕ + ϕ + ϕ − ϕ (1.4.2)

),0,()(

~)(

~ ) 0 , 1 ( ) 0

(

), 0 (

~ ) 0 (

~ ) 0 , 0 ( ) 0 , 0 ( ) 0

(

0 1

0 0

/ 0 0

0

u u

g

u h u

u h u

),1,0(

),)()(,,,,,(

~)

)()(,

T t x

t t

v v v v t x f v t t

v t B

=ϕ

~)0

,

v = t = (1.4.8)

Ta sẽ giải bài toán (1.4.6) – (1.4.8) với v~0, v~1, ~f cho bởi (1.4.2), (1.4.3)

Cho trước M >0 và T >0, ta đặt

,)

~sup)

~,,(

)

~ , , (

/ / / / / 1 1

z w v u t x f f f f f

f T M K K

z w v u

v

1

M M

z≤ +

≤

, ) , ( sup

) , , (

~

~

2

) ( 0 , 0 0

0

1

z t B B

T M K K

M M

29

),()

,(sup

),,(

~

~

2

) ( 0 , 0 1

B z t t

B B

T M K K

M M

T z t

(1.4.13) Với mỗi M >0 và T > 0, ta đặt

},,

,

),(),

;,0(:

)

;,0({

),(

) ( )

; , 0 ( )

; , 0

2 2

M v

v v

Q L v V T L v H V T L v T M

W

T tt t

T tt

t

Q L V

T L H

V T

;,0(

:),({),

W = ∈ tt ∈ ∞ (1.4.15)

ở đây Q T = Ω ×( T0 , )

Ta liên kết bài toán (1.4.6)-(1.4.8) với một dãy quy nạp tuyến tính như sau

Chọn số hạng đầu tiên v0 =~v0 Giả sử rằng

)

,(

(),(),(,,(

~),(

),)()(,

()(

2 1

1 1

1

2 1

t t

v t v t v t v t x f t x F

t t

v t B t b

m m

m m

m

m m

& (1.4.19) Định lý 1.4.1 Giả sử các giả thiết (G1)−(G5) được thỏa Khi đó, tồn tại các hằng

số dương M và T và một dãy qui nạp tuyến tính {v m}⊂W1(M,T) được xác định

bởi (1.4.17)−(1.4.19)

Chứng minh Việc chứng minh định lý bao gồm nhiều bước

Bước 1 Xấp xỉ Galerkin (xem Lions [17])

Trong V ta chọn cơ sở trực chuẩn Hilbert {w j =w~j / λj } như đã nêu ra

trong bổ đề 1.1.3

Đặt

m t c t w v

1

) ( )

, ), ( )

), ( ( ) ( ),

( ( ) )

m m

m( ) = với mọi m và k

Bước 2 Đánh giá tiên lượng Đặt

∫

+ +

m

k m

k m

( )

( )

( ( ) ( ) ( ) && ( ) , (1.4.25)

ở đây

)),(),(()()

()

k m

k

m = & + (1.4.26)

.)()())(),(()

k m

k m

k m m

k m

( ) ( )

( )

m m

t

k m

m s v s ds a F s v s ds F

0

) ( 0

)

), (

s

0

) ( ( 1 , ) ))

, 1 ( (

2 2F (1,t) v(k)(1,t)

m

m ∇

2 ) ( ( )

k m

m s a v s v s v s ds b

0

2 ) ( )

( )

( ) (

m m

t

k m

m s v s ds a F s v s ds F

0

) ( 0

)

), (

2 & &

+∫t k

m s ds v

0

2 ) ( ( )

m s v s ds F

s

0

) ( ( 1 , ) ))

, 1 ( ( 2

s

0

) ( ( 1 , ) ))

, 1 ( (

(2)

b m = ∇ m− +∇ϕ

.)()(),

()(

))()(,

(2

))()(,

()(

1 1

2 1

2 1

〉ϕ

∇+

∇ϕ

∇+

〈∇

×

ϕ

∇+

∇

∂

∂+

ϕ

∇+

v t t

v

t t

v t z B

t t

v t t

B t

b

m m

m

m m

()(

))()(,

(2

))()(,

()

(

1 1

2 1

2 1

t t

v t t

v

t t

v t z B

t t

v t t

B t

b

m m

m

m m

ϕ

∇+

∇ϕ

∇+

∇

×

ϕ

∇+

∇

∂

∂+

ϕ

∇+

k m

k m

k m m

ds s S K M M b

ds s v s

v s v a s b I

0

) ( 1

2 1 0

0

2 ) ( )

( ) ( /

1

.)(

~)(

21

1

)())

(),(()(

t

k m m

t

k m m

ds s S K ds s v s F

ds s v s F I

0

) ( 0 0

) ( 0

) ( 2

.)(2

)()(2

)(),(2

F m = ( ) (0, ) 4 (1 3 ) 2

0 0 2 2

1

2 0

2

K h M K

s F h s

a I

0

) (

m

m s v s ds F

V V

0

) ( ( ) )

(

2 &

m s ds S

K h M

K

0

) ( 0 0

2

2 [

2 (1.4.34)

Tích phân thứ 4 Phương trình (1.4.21) được viết lại

1

, ), ( ),

( ) ( ),

( ( ) )

m m

2 ) ( 2

0

2 )

&& (1.4.36)

Từ (1.4.2), (1.4.10), (1.4.12), (1.4.16), (1.4.19), (1.4.25) và (1.4.27), ta kết luận

33

2 ) (

~ 2 )

(

0

2 0 )

( 0 0

2 ) (

m

t k

m s ds K S s ds TK v

I && (1.4.37)

Tích phân thứ 5 Từ giả thiết (G2) và (G5), ta suy được từ (1.4.1)−(1.4.3), rằng

),()()(),1

0g t g t h

t b t

F m = m − ′′ (1.4.38)

)

()()()

()())

,1(

0 1

2

0b t g t h b t g t g t h

t F

2

0 b t g t h b t g t g t h

t F

~

~ ) (

2 1

1

1 1

0

2 0 1 1

2 0

2 1

T M D

g g

K h g K h M M

≡

∞ +

∞ +

+ +

≤

(1.4.40)

ở đây ta ký hiệu ∞ là chuẩn C0([0,T])

Ta chú ý rằng

.)()1(

1

)()

(

),()

,0()

,1(

) ( 0

0

) ( )

( 0

1 0

) ( )

( )

(

t S h

b

t v t

v h

dx t x v t

v t

v

k m

k m V

k m

k m

k m

k m

+

≤

Δ+

≤

Δ+

,()1(

1

),1(),1(2

0

) ( 1

0 0

0

) ( 5

t

k m m

ds s S T M D h

b

ds s v s F s

2ab≤ a2 + b2 ∀a b∈IR (1.4.43)

1(

3

)(),()1(

2

),1(.),1(2

) ( 2

1 2 2 0 0

) ( 1

0 0

0

) ( 6

t S T M D T h

b

t S T M TD h

b

t v ds s F s I

k m

k m

t

k m m

++

1

~ 4

3 ) (

~

) ( ] 0 ( ) 0 ( ) ) 0 (

~ , 0 ( )[

1 (

2

) , 1 ( ) 0 , 1

(

2

) ( 2 0 )

( 0

) ( 1

1

2 0

2 0

0 0

) (

t S D t

S D

t S g

g h v

B h

b

t v F

k m

k m

k m

k m m

∇ +

∇ +

+

∇+

≤

t k m

k m

k m

k

m

ds s S T M C T M C

D v

F S

t S

0

) ( 2

1

2 0 0

) ( )

(

,)(),(),(

~4

9)1(

~)0,1(6)0(3)(

(1.4.46)

ở đây

+

++

=

′′′

+

′+

++

=

′′

+ϕ

∇+

∇+

21233),(

,),(

13

12)1

(3

),()

1(

96

),(

,

~

~])(

21[),(

, )0()0())0(

~,0()1(2

~

0 0

2 1 2

2 1

0

0 2

1 0 0

2 1 2 2 0 0

2 0 1

1 1

0

2 0 1

1

2 0

2 1 1

1 1

2 0

2 0

0 0 0

K b

M M T

M C

T M D b

h M

K K h T

T M D T h

b TK T

M

C

g g

K h g

K h M M T

M

D

g g

h v

B h

b D

(1.4.47)

Bây giờ ta cần đánh giá số hạng 3 ( )(0) 6 (1,0) ~0 (1)

k m

~)]

0()0())0(

~,0([6

]

~)

~,

~()[

)0(

~,0(3

)

~,

~(3

~3

)1(

~)0,1(6 )0(

3

0 1

1

2 0

2 0

2 0 0

0

2 0

1 1

2 1

0 )

(

k

k k

k

k k k

k m

k

m

v g

g h v

B

v v

v a v

B

v v a v

v F

S

∇

′′

−ϕ

∇+

∇+

Δ+ϕ

∇+

∇+

+

=

∇+

(1.4.48)

Do (1.4.1),( 1.4.23),( 1.4.24) và (1.4.47) ta suy ra rằng tồn tại một hằng số M >0,

độc lập với k và m sao cho

2 0 0

)

4

9)1(

~)0,1(6)0(

≤ với mọi k và m (1.4.49)

Chú ý rằng từ giả thiết (G4) và (G5) ta có

1 , 0 , 0 ) , , (

~ )

~ , , (

0 0

lim

+

→ +

→

i B

T M K T f

T M K

T T

(1.4.50)

Như vậy từ (1.4.47) và (1.4.50), ta chọn được một hằng số T > 0 sao cho

2 2

1

2 ( , ))exp( ( , ))2

1

( M +C M T TC M T ≤M (1.4.51)

và