Luận án tiến sĩ toán học: Phương trình vi phân và hệ động lực

BỘ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU CƠ BẢN TRONG KHOA HỌC TỰ NHIÊNBÁO CÁO ĐỊNH KỲ KẾT QUẢ THỰC HIỆN CỦA ĐỀ TÀI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ HỆ ĐỘNG LỰC Differential equations and Dyna

Trang 1

BỘ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU CƠ BẢN TRONG KHOA HỌC TỰ NHIÊN

BÁO CÁO ĐỊNH KỲ KẾT QUẢ THỰC HIỆN CỦA ĐỀ TÀI

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ HỆ ĐỘNG LỰC Differential equations and Dynamical systems

Mãsố đề tài: 100106 Lĩnh vực: TOÁN HỌC Chủ nhiệm đề tài: TS NGUYỄN THÀNH LONG

Cơ quan chủ trì: Đại học Khoa Học Tự nhiên Tp Hồ Chí Minh, Đại học Quốc Gia Tp Hồ Chí Minh

Thành phố Hồ Chí Minh 2007

Trang 2

MỤC LỤC

Trang

MỤC LỤC 00 BÁO CÁO KẾT QUẢ THỰC HIỆN NĂM 2006 ĐỀ TÀI NGHIÊN

CỨU CƠ BẢN

01

2.3 Các công trình đã hoàn thành và đã gửi xét công bố trên các tạp chí 05

PHỤ LỤC A: Danh sách các NCS đã bảo vệ luận án tiến sĩ và các ứng

PHỤ LỤC B: Danh sách các luận văn thạc sĩ đã bảo vệ 11 PHỤ LỤC C: Đính kèm toàn văn 11 bài báo đã công bố trong phạm vi

Trang 3

BÁO CÁO KẾT QUẢ THỰC HIỆN NĂM 2006

Đề tài nghiên cứu cơ bản

I THÔNG TIN CHUNG VỀ ĐỀ TÀI

1 Tên đề tài: Phương trình vi phân và hệ động lực

Mãsố đề tài: 100106

Lĩnh vực: TOÁN HỌC Hướng: Giải tích toán học, Tối ưu và Điều khiển hệ thống

2 Chủ nhiệm đề tài: TS NGUYỄN THÀNH LONG

3 Đơn vị chủ trì: Bộ môn Toán Cao cấp, Khoa Toán-tin học, Đại học Khoa học Tự nhiên Tp Hồ Chí Minh, Đại học Quốc Gia Tp Hồ Chí Minh, 227 Nguyễn Văn Cừ, Quận 5, Tp Hồ Chí Minh

Điện thoại: 08.8353193 Fax: 08.8350096 Website: http://www.hcmuns.edu.vn

4 Danh sách các cán bộ tham gia chính:

Chức danh Đơn vị công tác Ghi chú

01 Nguyễn Thành Long TS Đại học Khoa học Tự

07 Nguyễn Thị Thảo Trúc ThS Đại học Cần Thơ

phạm Nha Trang Chuẩn bị bảo vệ luận án TS cấp

Nhà nước

09 Dương Đặng Xuân Thành ThS Đại học Tôn Đức

Thắng Chuẩn bị thi NCS năm 2007

thuật Tp HCM Chuẩn bị thi NCS năm 2007

Toán Cao cấp, Đại học Khoa học Tự nhiên Tp

HCM

Chuẩn bị thi NCS năm 2007

5 Thời gian thực hiện đã được phê duyệt: 24 tháng (Bắt đầu từ tháng 9/ 2006 đến tháng 9/ 2008)

Trang 4

II KẾT QUẢ THỰC HIỆN ĐỀ TÀI

1 Kết quả nghiên cứu

Đề tài nghiên cứu đề cập đến 2 vấn đề lớn của phương trình vi phân và các hệ động lực Trong các loại phương trình vi phân, nhiều nhà Toán học thường chú ý đến những phương trình bắt nguồn từ các bài toán của Vật lý, Cơ học, v.v… và nghiên cứu chúng ở nhiều khía cạnh khác nhau bởi các công cụ toán học thích hợp Đề tài nghiên cứu cũng đi vào một hướng lớn khác của lý thuyết hệ động lực tuyến tính là nghiên cứu tính bền vững của các tính chất định tính (điều khiển được, quan sát được, ổn định,…) của hệ động lực

i) Hướng thứ nhất Phương trình vi phân.

- Các bài toán liên quan đến sự tồn tại, duy nhất nghiệm và các tính chất định tính khác của nghiệm của các bài toán biên có điều kiện biên hỗn hợp thuần nhất và không thuần nhất cụ thể

- Các bài toán liên quan đến sự tồn tại, duy nhất nghiệm và các tính chất ổn định tiệm cận, và các tính chất định tính khác của nghiệm của các bài toán biên có liên hệ với phương trình tích phân phi tuyến

ii) Hướng thứ hai Hệ động lực.

Chúng tôi quan tâm đến tính bền vững của các tính chất định tính của hệ động lực tuyến tính như tính điều khiển được, quan sát được, ổn định được Với các loại nhiễu cấu trúc khác nhau (lên toàn bộ hoặc từng tham biến của hệ) chúng tôi xác định khoảng cách từ một hệ có các đặc tính nêu trên đến tập các hệ mà các tính chất đó bị phá vỡ Đây là hướng được nhiều nhà toán học trên thế giới quan tâm trong vòng 20 năm gần đây

Đề tài nầy đã nhận được nhiều kết quả mới trong các lãnh vực: Giải tích hàm ứng dụng, phương trình vi phân, lý thuyết hệ các hệ động lực, bao gồm:

- 11 công trình đã công bố trên các tạp chí khoa học trong nước và Quốc tế có

uy tín

- 06 công trình đã công bố trên các tạp chí các trường Đại học và các dạng tiền ấn phẩm

- 10 công trình đã hoàn thành và đã gửi xét công bố trên các tạp chí

- 08 báo cáo tại các hội nghị khoa học

- Hoàn thành 03 luận án tiến sĩ (02 NCS đã bảo vệ cấp Nhà Nước và 01 NCS đã bảo vệ cấp Cơ sở)

- Hoàn thành 09 luận án thạc sĩ ( đã bảo vệ chính thức)

Trang 5

2 Các sản phẩm khoa học

2.1 Các công trình đã công bố trên các tạp chí

1 Lê Thị Phương Ngọc, Nguyễn Thành Long, On a fixed point theorem of Krasnosel'skii type and application to integral equations , Fixed Point Theory and Applications, Vol 2006 (2006), Article ID 30847, 24 pages

[ http://www.hindawi.com/GetArticle.aspx?doi=10.1155/FPTA/2006/30847 ]

2 Nguyễn Thành Long, Lê Thị Phương Ngọc, A wave equation associated with mixed nonhomogeneous conditions: The connectivity and compactness of weak solution set , Abstract and Applied Analysis, Vol 2007 (2007), Article ID 20295, 17 pages

[ http://www.hindawi.com/GetArticle.aspx?doi=10.1155/2007/20295 ]

3 Nguyễn Thành Long, Lê Thị Phương Ngọc, On a nonlinear Kirchhoff-Carrier wave equation in the unit membrane: The quadratic convergence and asymptotic expansion

of solutions , Demonstratio Math 40 (2) (2007), 365-392

4 Lê Thị Phương Ngọc, Applying fixed point theory to the initial value problem for the functional differential equation with finite delay , Vietnam Journal of Mathematics, 35 (1) (2007), 43–60

5 Nguyễn Thành Long, Võ Giang Giai, A wave equation associated with mixed nonhomogeneous conditions : Global existence and asymptotic expansion of solutions , Nonlinear Analysis, Theory, Methods & Applications, Series A: Theory and Methods,

66 (7) (2007), 1526-1546 [ http://dx.doi.org/10.1016/j.na.2006.02.007 ]

6 Nguyễn Thành Long, Võ Giang Giai, Existence and asymptotic expansion for a nonlinear wave equation associated with nonlinear boundary conditions , Nonlinear Analysis, Theory, Methods & Applications, Series A: Theory and Methods, 67 (6) (2007), 1791-1819 [ http://dx.doi.org/10.1016/j.na.2006.08.024 ]

7 Nguyễn Thành Long, Lê Xuân Trường, Existence and asymptotic expansion for a viscoelastic problem with a mixed nonhomogeneous condition , Nonlinear Analysis, Theory, Methods & Applications, Series A: Theory and Methods, 67 (3) (2007), 842-

864 [ http://dx.doi.org/10.1016/j.na.2006.06.044 ]

8 Nguyễn Thành Long, Lê Xuân Trường, Existence and asymptotic expansion of solutions to a nonlinear wave equation with a memory condition at the boundary , Electron J Diff Eqns., Vol 2007(2007), No 48, pp 1-19

ISSN: 1072-6691 URL: http://ejde.math.txstate.edu, http://ejde.math.unt.edu

9 Nguyễn Thành Long, Võ Giang Giai, Lê Xuân Trường, A shock problem involving a nonlinear viscoelastic bar associated with a nonlinear boundary condition , Demonstratio Math 41 (2007) (accepted for publication)

10 Bùi Thế Anh, Nguyễn Khoa Sơn, Dương Đặng Xuân Thành, Robust stability of Metzler operator and delay equation in Lp( [ − h , 0 ]; X ) , Vietnam Journal of Mathematics, 34 (3) (2006), 357–368

11 Đỗ Công Khanh, Dương Đặng Xuân Thành, Controllability radii and of time invariant linear systems , Vietnam Journal of Mathematics, 34 (4) (2006) (accepted for publication)

Trang 6

Sư phạm Tp HCM, tập 42, số 8 (2006), 33-43

2 Nguyễn Thành Long, Lê Thị Phương Ngọc, Bài toán hỗn hợp cho phương trình sóng phi tuyến chứa toán tử Kirchhoff , Tạp chí Khoa học Tự nhiên, trường ĐHSP Tp HCM,

42 Số 8 (2006), 44-61

3 Võ Giang Giai, Lê Xuân Trường, Va chạm của một vật rắn và một thanh đàn hồi nhớt phi tuyến chứa phi tuyến liên kết với một điều kiện biên phi tuyến , Tạp chí Khoa học Đại học Sư phạm Tp HCM, tập 42, số 8 (2006), 70-81

4 Trần Minh Thuyết, Lê Khánh Luận, Võ Giang Giai, Về một hệ elliptic p-Laplace trong không gian Sobolev có trọng , Tạp chí Khoa học Đại học Sư phạm Tp HCM, tập

44, số 10 (2007), 1-13

5 Trần Minh Thuyết, Lê Khánh Luận, Trần Văn Lăng, Võ Giang Giai, Một phương trình sóng phi tuyến liên kết với điều kiện biên phi tuyến: Sự tồn tại và khai triển tiệm cận của nghiệm theo bốn tham số be ù, Tạp chí Khoa học Đại học Sư phạm Tp HCM, (2007), (bài nhận đăng)

6 Nguyễn Thành Long, Alain Phạm Ngọc Định, Lê Xuân Trường, Existence and decay of solutions of a nonlinear viscoelastic problem with a mixed nonhomogeneous condition , [http://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00136410 ]

2.2 Các báo cáo khoa học

1 Lê Xuân Trường, Nguyễn Thành Long, Sự tồn tại và khai triển tiệm cận cho bài toán đàn hồi nhớt phi với điều kiện biên hỗn hợp không thuần nhất , Báo cáo Hội nghị Khoa học lần 5, Đại học Khoa học Tự nhiên Tp HCM, 30/11/2006

2 Võ Giang Giai, Nguyễn Thành Long, Phương trình sóng phi tuyến liên kết với điều kiện biên hỗn hợp không thuần nhất : Sự tồn tại và khai triển tiệm cận của nghiệm, Báo cáo Hội nghị Khoa học lần 5, Đại học Khoa học Tự nhiên Tp HCM, 30/11/2006

3 Lê Thị Phương Ngọc, Nguyễn Thành Long, Định lý điểm bất động loại kii và ứng dụng vào phương trình tích phân phi tuyến , Báo cáo Hội nghị Khoa học lần

Krasnosel's-5, Đại học Khoa học Tự nhiên Tp HCM, 30/11/2006

4 Trần Ngọc Diễm, Mô hình toán học bài toán va chạm chứa thanh đàn hồi nhớt , Báo cáo Hội nghị Khoa học lần 5, Đại học Khoa học Tự nhiên Tp HCM, 30/11/2006

5 Trần Minh Thuyết, Phạm Gia Khánh, Phương trình sóng phi tuyến liên kết với một phương trình tích phân phi tuyến , Báo cáo Hội nghị Khoa học lần 5, Đại học Khoa học Tự nhiên Tp HCM, 30/11/2006

6 Nguyễn Thị Thảo Trúc, Nguyễn Công Tâm, Về phương trình sóng phi tuyến

: ) , , , ,

Trang 7

7 Lê Khánh Luận, Trần Minh Thuyết, Võ Giang Giai, Về một hệ elliptic p-Laplace trong không gian Sobolev có trọng , Báo cáo Hội nghị Khoa học lần 5, Đại học Khoa học Tự nhiên Tp HCM, 30/11/2006

8 Bùi Tiến Dũng, Phương trình sóng phi tuyến liên kết với điều kiện biên hỗn hợp thuần nhất , Báo cáo Hội nghị Khoa học lần 5, Đại học Khoa học Tự nhiên Tp HCM, 30/11/2006

2.3 Các công trình đã hoàn thành và đã gửi xét công bố trên các tạp chí

1 Đỗ Công Khanh, Dương Đặng Xuân Thành, Bán kính điều khiển được và bán kính quan sát được , Kỷ yếu Hội nghị Ứng dụng Toán học lần 2 năm 2005 (Bài gửi công bố)

2 Nguyễn Thành Long, Lê Thị Phương Ngọc, On a nonlinear Kirchhoff-Carrier wave equation in the unit membrane I (Submitted)

3 Lê Thị Phương Ngọc, Nguyễn Thành Long, The Hukuhara-Kneser Property for a nonlinear integral equation (Submitted)

4 R Alexandre, Nguyễn Thành Long, Alain Phạm Ngọc Định, A mathematical model for the evaporation of a liquid fuel droplet, subject to nonlinear contraints , (Submitted)

5 Nguyễn Thành Long, Alain Phạm Ngọc Định, Lê Xuân Trường, A Linear wave equation associated with two-points boundary conditions , (Submitted)

6 Nguyễn Thành Long, Võ Giang Giai, A linear wave equation associated with a nonlinear integral equation at the boundary : Existence and asymptotic expansion of solutions, (Submitted)

7 Bùi Thế Anh, Dương Đặng Xuân Thành, The robustness of strong stability of the homogeneous difference equation , (Submitted).

8 Bùi Thế Anh, Dương Đặng Xuân Thành, A Perron-Frobenius theorem for positive quasi-polynomial matrices associated with homogeneous difference equation , (Submitted)

9 Bùi Thế Anh, Nguyễn Khoa Sơn, Dương Đặng Xuân Thành, Stability radii of delay defference equations under affine parameter perturbations in infinite dimensional spaces , (Submitted)

10 Bùi Thế Anh, Đỗ Công Khanh, Dương Đặng Xuân Thành, Controllability\ stabilizability radii of LTI systems with partially structured perturbations , (Submitted) 2.4 Kết quả ứng dụng

Hướng đề tài nghiên cứu các bài toán liên quan đến mô hình toán học cho các vấn đề đặt ra trong Kỹ thuật, Cơ học,… và có định hướng ứng dụng trong thực tiễn Các kết quả công bố trên tạp chí nói trên tiếp tục trình bày thảo luận trong các nhóm xêmina để các thành viên trong nhóm học hỏi, tiếp cận thêm các công cụ mới Từ đó đề tài đã gợi ra thêm một số vấn đề mở cần tiếp tục nghiên cứu Mặt khác đề tài cũng ứng dụng trực tiếp ngay trong giảng dạy, đào tạo cùng với việc triển khai nó vào các đề tài luận án tiến sĩ và các luận văn thạc sĩ Ba luận án tiến sĩ theo hướng đề tài nầy cũng đã hoàn thành trong đó 02 đã bảo vệ cấp Nhà nước (Luận án của NCS Trần Ngọc Diễm và của NCS Bùi Tiến Dũng) và 01 luận án của NCS Lê Thị Phương Ngọc

Trang 8

đã bảo vệ cấp Cơ sở Trong thời gian nầy 03 thành viên trong nhóm đề tài và trong nhóm xêmina của chúng tôi là ThS Dương Đặng Xuân Thành, ThS Võ Giang Giai và ThS Lê Xuân Trường đang chuẩn bị để thi nghiên cứu sinh theo hướng đề tài nầy

3 Kết quả tham gia đào tạo sau đại học

Người hướng dẫn

1 Trần Ngọc Diễm Sử dụng phương pháp xấp xỉ

Galerkin vào một số bài toán biên phi tuyến

Tiến sĩ -Nguyễn Thành Long

- Alain Phạm Ngọc Định

2 Bùi Tiến Dũng Sử dụng phương pháp giải

tích vào một số bài toán biên phi tuyến

Tiến sĩ -Nguyễn Thành Long

- Nguyễn Hội Nghĩa

3 Lê Thị Phương

Ngọc Ứng dụng phương pháp điểm bất động trong sự tồn tại

nghiệm của phương trình

Tiến sĩ Lê Hoàn Hoá

4 Huỳnh Văn Tùng Khảo sát phương trình sóng

phi tuyến trong không gian Sobolev có trọng

Thạc sĩ Nguyễn Thành Long

5 Nguyễn Vũ Dzũng Khảo sát phương trình

para-bolic phi tuyến trong miền hình cầu

6 Nguyễn Minh Khải Bất đẳng thức tích phân dạng

7 Dương Thanh Liêm Phương trình sóng với điều

kiện biên không thuần nhất tích phân giá trị biên

8 Nguyễn Văn Phong Phương trình sóng tuyến tính

với điều kiện biên chứa phương trình tích phân tuyến tính

9 Lê Thị Thanh Hải Các thuật giải lặp và khai

triển tiệm cận nghiệm của hệ phương trình hàm phi tuyến tính trong miền 2 chiều

10 Lê Trùng Dương Sự không nghiệm dương của

một số phương trình tích phân phi tuyến liên hệ với bài toán Neumann

11 Lê Nguyễn Kim

Hằng Phương trình sóng mô tả thanh đàn hồi nhớt Thạc sĩ Nguyễn Thành Long

12 Dương Đặng Xuân

Thành Bán kính ổn định, bán kính ổn định hoá được và bán kính

điều khiển được của các hệ động lực tuyến tính dừng

Thạc sĩ Đỗ Công Khanh

Trang 9

- Lý thuyết hệ các hệ động lực

Đồng thời tiếp tục viết bài gửi công bố và hoàn chỉnh lại các bản thảo đã gửi xét công bố sau khi có ý kiến đánh giá của các phản biện

- Dự kiến kết quả sẽ đạt được là:

- Công bố thêm 4 bài báo trên các tạp chí khoa học trong nước và Quốc tế có

uy tín cùng với nhiều báo cáo tại các hội nghị khoa học

- Hoàn thành việc bảo vệ 01 luận án tiến sĩ cấp Nhà Nước và 5-6 luận văn thạc sĩ

- Chuẩn bị 2-3 NCS dự tuyển trong năm 2007 thực hiện nghiên cứu theo hướng đề tài nầy

- Tổ chức sinh hoạt học thuật định kỳ, trao đổi chuyên môn

Ghi chú

1 Thuê khoán chuyên môn 64,5 triệu 64,5 triệu

2 Nguyên vật liệu năng lượng 3,0 triệu 3,0 triệu

3 Trang thiết bị

Trang 10

IV CÁC KIẾN NGHỊ

Thông qua đề tài nghiên cứu nầy chúng tôi đã tập hợp được một số cán bộ có kinh nghiệm cùng với các cán bộ trẻ thành những nhóm nghiên cứu theo hai lãnh vực trên Đề tài nghiên cứu thực sự đã có tác dụng góp phần nâng cao chất lượng đào tạo và tạo nhiều điều kiện thuận lợi cho các học viên cao học và nghiên cứu sinh thực hiện luận án theo các hướng nghiên cứu nầy

Hiện nay ngoài các tạp chí cho phép được tải miễn phí các bài báo toàn văn, chúng tôi rất cần các bài báo công bố trên các tạp chí ở các nhà xuất bản lớn Chúng tôi mất rất nhiều thời gian và phụ thuộc rất nhiều ở các bạn bè, đồng nghiệp ở nước ngoài về việc xin các tài liệu nầy Đề nghị các Ban, Ngành dành một khoản kinh phí thích đáng cho các thư viện của các trường Đại học lớn, nhất là ở hai Đại học Quốc gia, các Viện nghiên cứu để mua online các tạp chí nói trên

Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 03 tháng 05 năm 2007

Xác nhận của cơ quan chủ trì Chủ nhiệm đề tài

TS Nguyễn Thành Long

Trang 11

- p

8

, '"

IV CAC KIEN NGm

Thong qua d6 t~d nghien cuu n~y chung toi da t~p hQp dUQc mQt s6 can bQ co kinh nghi<%mcung voi cac can bQ tn~ thanh nhG'ng nhom nghien cuu theo hai lanh vt!c tren.D6 t~d nghien cuu tht!c st! da co tac dl;mg gop ph~n nang cao cha't htQng dao t1;lO

va t1;lOnhi6u di6u ki<%nthu~n lQi cho cac hQc vien cao hQc va nghien cuu sinh tht!c hi<%n lu~n an theo cac huang nghien cuu n~y.

Hi<%nnay ngoai cac t1;lPcm cho phep dUQc rai mi~n phi cac bai bao toan van, chUng toi ra't dn cac bai bao cong b6 tren cac t1;lPchi (j cac nha xua't ban IOn Chung

Wi ma't ra't nhi6u thai gian va phl) thuQcra't nhi6u (j cac b1;lnbe, d6ng nghi<%p (j nuoc ngoai v6 vi<%cxin cac tai li<%un~y D6 nghi cac Ban, Nganh danh mQt khoan kinh phi thfch dang cho cac thu vi<%ncua cac truang D1;lihQc lon, nha't la (j hai D1;lihQ'c Qu6c gia, cac Vi<%nnghien cuu d6 mua online cac t1;l p chi noi tren.

Thanh ph6 H6 Chi Minh, ngay 03 thang 05 nam 2007

Trang 12

PHẦN PHỤ LỤC

PHỤ LỤC A: Danh sách các NCS đã bảo vệ luận án tiến sĩ và các ứng viên chuẩn bị thi NCS trong phạm vi đề tài

PHỤ LỤC B: Danh sách các luận văn thạc sĩ đã bảo vệ

PHỤ LỤC C: Đính kèm toàn văn 11 bài báo đã công bố trong phạm vi đề tài

PHỤ LỤC A:

Danh sách các NCS đã bảo vệ luận án tiến sĩ và các ứng viên

chuẩn bị thi NCS trong phạm vi đề tài

1 Trần Ngọc Diễm ( Đại học Bách Khoa TP HCM)

Đề tài: Sử dụng phương pháp xấp xỉ Galerkin vào một số bài toán biên phi tuyến

Cơ sở đào tạo: Đại học Khoa học Tự nhiên TP HCM

Người hướng dẫn: - TS Nguyễn Thành Long

- GS TS Alain Phạm Ngọc Định (Đại học Orléans, Pháp)

Ngày bảo vệ cấp Nhà nước: 20/05/2006

2 Bùi Tiến Dũng ( Đại học Kiến trúc TP HCM)

Đề tài: Sử dụng phương pháp giải tích vào một số bài toán biên phi tuyến

Cơ sở đào tạo: Đại học Sư phạm TP HCM

- PGS TS Nguyễn Hội Nghĩa (Ban Đào tạo Sau đại học, Đại học Quốc gia TP HCM)

Ngày bảo vệ cấp Nhà nước: 24/06/2006

3 Lê Thị Phương Ngọc (Trường Cao đẳng Sư phạm Nha Trang)

Đề tài: Ứng dụng phương pháp điểm bất động trong sự tồn tại nghiệm của phương trình

Người hướng dẫn: PGS TS Lê Hoà Hoá (Đại học Sư phạm TP HCM)

Ngày bảo vệ cấp cơ sở: 10/11/2006

4 Lê Xuân Trường ( Đại học Sư phạm Kỹ thuật TP HCM)

Đề tài: Khảo sát một số bài toán biên phi tuyến trong khoa học ứng dụng

- GS TS Alain Phạm Ngọc Định (Đại học Orléans, Pháp)

Chuẩn bị thi vào tháng 5/2007

5 Võ Giang Giai (Cộng tác viên của bộ môn Toán Cao cấp, Khoa Toán-tin học, Đại học Khoa học Tự nhiên TP HCM)

Đề tài: Khảo sát một số phương trình sóng phi tuyến với các điều kiện biên không thuần nhất

- TS Trần Minh Thuyết (Đại học Kinh Tế TP HCM)

Chuẩn bị thi vào tháng 5/2007

Trang 13

6 Dương Đặng Xuân Thành (Đại học Tôn Đức Thắng)

Đề tài: Tính bền vững của các tính chất định tính của hệ động lực tuyến tính

Người hướng dẫn: GS TSKH Đỗ Công Khanh (Đại học Tôn Đức Thắng) Chuẩn bị thi vào tháng 5/2007

Trang 14

PHỤ LỤC B:

Danh sách các luận văn thạc sĩ đã bảo vệ

1 Huỳnh Văn Tùng

Đề tài: Khảo sát phương trình sóng phi tuyến trong không gian Sobolev có trọng

Người hướng dẫn: TS Nguyễn Thành Long

Ngày bảo vệ: 21/01/2006

2 Nguyễn Vũ Dzũng

Đề tài: Khảo sát phương trình parabolic phi tuyến trong miền hình cầu

Ngày bảo vệ: 21/01/2006

3 Nguyễn Minh Khải

Đề tài: Bất đẳng thức tích phân dạng Gronwall

Người hướng dẫn: TS Trần Minh Thuyết

Ngày bảo vệ: 03/11/2006

4 Dương Thanh Liêm

Đề tài: Phương trình sóng với điều kiện biên không thuần nhất tích phân giá trị biên

Ngày bảo vệ: 02/11/2006

5 Nguyễn Văn Phong

Đề tài: Phương trình sóng tuyến tính với điều kiện biên chứa phương trình tích phân tuyến tính

Ngày bảo vệ: 29/12/2006

6 Lê Thị Thanh Hải

Đề tài: Các thuật giải lặp và khai triển tiệm cận nghiệm của hệ phương trình hàm phi tuyến tính trong miền 2 chiều

Ngày bảo vệ: 29/12/2006

7 Lê Trùng Dương

Đề tài: Sự không nghiệm dương của một số phương trình tích phân phi tuyến liên hệ với bài toán Neumann

Ngày bảo vệ: 29/12/2006

Trang 15

8 Lê Nguyễn Kim Hằng

Đề tài: Phương trình sóng mô tả thanh đàn hồi nhớt

Ngày bảo vệ: 05/01/2007

9 Dương Đặng Xuân Thành

Đề tài: Bán kính ổn định, bán kính ổn định hoá được và bán kính điều khiển được của các hệ động lực tuyến tính dừng

Người hướng dẫn: GS TSKH Đỗ Công Khanh (Đại học Tôn Đức Thắng)

Ngày bảo vệ: 16/03/2007

Trang 16

PHỤ LỤC C Đính kèm toàn văn 11 bài báo đã công bố trong phạm vi đề tài

1 Lê Thị Phương Ngọc, Nguyễn Thành Long, On a fixed point theorem of Krasnosel'skii type and application to integral equations , Fixed Point Theory and Applications, Vol 2006 (2006), Article ID 30847, 24 pages

[ http://www.hindawi.com/GetArticle.aspx?doi=10.1155/FPTA/2006/30847 ]

2 Nguyễn Thành Long, Lê Thị Phương Ngọc, A wave equation associated with mixed nonhomogeneous conditions: The connectivity and compactness of weak solution set , Abstract and Applied Analysis, Vol 2007 (2007), Article ID 20295, 17 pages

[ http://www.hindawi.com/GetArticle.aspx?doi=10.1155/2007/20295 ]

3 Nguyễn Thành Long, Lê Thị Phương Ngọc, On a nonlinear Kirchhoff-Carrier wave equation in the unit membrane: The quadratic convergence and asymptotic expansion

of solutions , Demonstratio Math 40 (2) (2007), 365-392

4 Lê Thị Phương Ngọc, Applying fixed point theory to the initial value problem for the functional differential equation with finite delay , Vietnam Journal of Mathematics, 35 (1) (2007), 43–60

5 Nguyễn Thành Long, Võ Giang Giai, A wave equation associated with mixed nonhomogeneous conditions : Global existence and asymptotic expansion of solutions , Nonlinear Analysis, Theory, Methods & Applications, Series A: Theory and Methods,

66 (7) (2007), 1526-1546 [ http://dx.doi.org/10.1016/j.na.2006.02.007 ]

6 Nguyễn Thành Long, Võ Giang Giai, Existence and asymptotic expansion for a nonlinear wave equation associated with nonlinear boundary conditions , Nonlinear Analysis, Theory, Methods & Applications, Series A: Theory and Methods, 67 (6) (2007), 1791-1819 [ http://dx.doi.org/10.1016/j.na.2006.08.024 ]

7 Nguyễn Thành Long, Lê Xuân Trường, Existence and asymptotic expansion for a viscoelastic problem with a mixed nonhomogeneous condition , Nonlinear Analysis, Theory, Methods & Applications, Series A: Theory and Methods, 67 (3) (2007), 842-

864 [ http://dx.doi.org/10.1016/j.na.2006.06.044 ]

8 Nguyễn Thành Long, Lê Xuân Trường, Existence and asymptotic expansion of solutions to a nonlinear wave equation with a memory condition at the boundary , Electron J Diff Eqns., Vol 2007(2007), No 48, pp 1-19

ISSN: 1072-6691 URL: http://ejde.math.txstate.edu, http://ejde.math.unt.edu

9 Nguyễn Thành Long, Võ Giang Giai, Lê Xuân Trường, A shock problem involving a nonlinear viscoelastic bar associated with a nonlinear boundary condition , Demonstratio Math 41 (2007) (accepted for publication)

10 Bùi Thế Anh, Nguyễn Khoa Sơn, Dương Đặng Xuân Thành, Robust stability of Metzler operator and delay equation in Lp( [ − h , 0 ]; X ) , Vietnam Journal of Mathematics, 34 (3) (2006), 357–368

11 Đỗ Công Khanh, Dương Đặng Xuân Thành, Controllability radii and of time invariant linear systems , Vietnam Journal of Mathematics, 34 (4) (2006) (accepted for publication)

Trang 17

doi:10.1155/FPTA/2006/30847

On a fixed point theorem of Krasnosel'skii type and application to integral equations

Le Thi Phuong Ngoc and Nguyen Thanh Long

Received 15 April 2006; Revised 30 June 2006; Accepted 13 August 2006

This paper presents a remark on a fixed point theorem of Krasnosel'skii type This result is applied to prove the existence of asymptotically stable solutions of nonlinear integral equations

Options for this article

Text PDF

Full-Linked References

How to Cite this Article

News from Hindaw

Hindawi acquires

Physical Separa

in Science and Engineering andconverts it to an oaccess journal

A special issue on

Collaboration an Optimization fo Multimedia Communication

now open for submission

ELibM of the European Mathematical Information Ser

starts to list HindOpen Access MathJournals

Trang 18

ON A FIXED POINT THEOREM OF KRASNOSEL’SKII TYPE AND APPLICATION TO INTEGRAL EQUATIONS

LE THI PHUONG NGOC AND NGUYEN THANH LONG

Received 15 April 2006; Revised 30 June 2006; Accepted 13 August 2006

This paper presents a remark on a fixed point theorem of Krasnosel’skii type This result

is applied to prove the existence of asymptotically stable solutions of nonlinear integralequations

Copyright © 2006 L T P Ngoc and N T Long This is an open access article distributedunder the Creative Commons Attribution License, which permits unrestricted use, dis-tribution, and reproduction in any medium, provided the original work is properly cited

1 Introduction

It is well known that the fixed point theorem of Krasnosel’skii states as follows

Theorem 1.1 (Krasnosel’skii [8] and Zeidler [9]) Let M be a nonempty bounded closed convex subset of a Banach space (X, · ) Suppose that U : M → X is a contraction and

C : M → X is a completely continuous operator such that

U(x) + C(y) ∈ M, ∀ x, y ∈ M. (1.1)

Then U + C has a fixed point in M.

The theorem of Krasnosel’skii has been extended by many authors, for example, werefer to [1–4,6,7] and references therein

In this paper, we present a remark on a fixed point theorem of Krasnosel’skii type andapplying to the following nonlinear integral equation:

where E is a Banach space with norm | · |, R+=[0,∞), q :R+→ E; f :R+× E → E;

G, V :Δ× E → E are supposed to be continuous andΔ= {(t, s) ∈ R+× R+,s ≤ t }

In the caseE = R d and the functionV (t, s, x) is linear in the third variable, (1.2) hasbeen studied by Avramescu and Vladimirescu [2] The authors have proved the existence

Hindawi Publishing Corporation

Fixed Point Theory and Applications

Volume 2006, Article ID 30847, Pages 1 24

DOI 10.1155/FPTA/2006/30847

Trang 19

2 On a fixed point theorem and application

of asymptotically stable solutions to an integral equation as follows:

whereq :R+→ R d; f :R+× R d → R d;V :Δ→ M d(R), G :Δ× R d → R d are supposed

to be continuous,Δ= {(t, s) ∈ R+× R+,s ≤ t }andM d(R) is the set of all real quadratic

d × d matrices This was done by using the following fixed point theorem of Krasnosel’skii

type

Theorem 1.2 (see [1]) Let ( X, | · | n ) be a Fr´echet space and let C, D : X → X be two ators.

oper-Suppose that the following hypotheses are fulfilled:

(a)C is a compact operator;

(b)D is a contraction operator with respect to a family of seminorms · n equivalent with the family | · | n;

Then the operator C + D admits fixed points.

In [6], Hoa and Schmitt also established some fixed point theorems of Krasnosel’skiitype for operators of the formU + C on a bounded closed convex subset of a locally con-

vex space, whereC is completely continuous and U nsatisfies contraction-type conditions.Furthermore, applications to integral equations in a Banach space were presented

On the basis of the ideas and techniques in [2,6], we consider (1.2) The paper consists

of five sections InSection 2, we prove a fixed point theorem of Krasnosel’skii type Ourmain results will be presented in Sections3and4 Here, the existence solution and theasymptotically stable solutions to (1.2) are established We endSection 4by illustratedexamples for the results obtained when the given conditions hold Finally, inSection 5, ageneral case is given We show the existence solution of the equation in the form

2 A fixed point theorem of Krasnosel’skii type

Based on theTheorem 1.2(see [1]) and [6, Theorem 3], we obtain the following theorem.The proof is similar to that of [6, Theorem 3]

Trang 20

L T P Ngoc and N T Long 3

Theorem 2.1 Let ( X, | · | n ) be a Fr´echet space and let U, C : X → X be two operators Assume that

(i)U is a k-contraction operator, k ∈ [0, 1) (depending on n), with respect to a family

of seminorms · n equivalent with the family | · | n ;

(ii)C is completely continuous;

(iii) lim| x | n →∞(| Cx | n / | x | n)= 0, for all n ∈ N ∗

Then U + C has a fixed point.

Proof of Theorem 2.1 At first, we note that from the hypothesis (i), the existence and the

continuity of the operator (I − U) −1follow And, since a family of seminorms · n isequivalent with the family| · | n, there existK1n,K2n > 0 such that

K1n x n ≤ | x | n ≤ K2n x n, ∀ n ∈ N ∗ (2.1)

This implies that

(a) the set{| x | n, x ∈ A } is bounded if and only if{ x n, x ∈ A }is bounded, for

A ⊂ X and for all n ∈ N ∗;

(b) for each sequence (x m) inX, for all n ∈ N ∗, since

Consequently the condition (ii) is satisfied with respect to · n

On the other hand, we also have

Hence, lim| x | n →∞(| Cx | n / | x | n)=0 is equivalent to lim x n →∞( Cx n / x n)=0

Now we will prove thatU + C has a fixed point.

For anya ∈ X, define the operator U a:X → X by U a(x) = U(x) + a It is easy to see that

U ais ak-contraction mapping and so for each a ∈ X, U aadmits a unique fixed point, it

is denoted byφ(a), then

U a

φ(a)

= φ(a) ⇐⇒ U

φ(a)

+a = φ(a) ⇐⇒ φ(a) =(I − U) −1(a). (2.4)

Letu0be a fixed point ofU For each x ∈ X, consider U m

Trang 21

We note more that for anyn ∈ N ∗being fixed, for allm ∈ N ∗,

U C(x) m

u0

− u0 n ≤1 +k + ···+k m −1 C(x) n ≤ α C(x) n, (2.7)whereα =1/1 − k > 1 By the condition (iii) satisfied with respect to · nas above, for

1/4α > 0, there exists M > 0 (we choose M > u0 n) such that

x n > M =⇒ Cx n < 1

4α x n (2.8)Choose a positive constantr1n > M + u0 n Thus, for allx ∈ X, we consider the following

Thenu0∈ D and D is bounded, closed, and convex in X.

For eachx ∈ D and for each n ∈ N ∗, as above we also consider two cases

If x − u0 n ≤ r1n, then by (2.7), (2.10),

U m C(x)

u0

− u0 n ≤ α C(x) n ≤ αβ < r2n (2.12)

Trang 22

We obtainU C(x) m (u0)∈ D for all x ∈ D.

On the other hand, by U C(x) being a contraction mapping, the sequence U m

C(x)(u0)converges to the unique fixed pointφ(C(x)) of U C(x), asm → ∞, it implies thatφ(C(x)) ∈

D, for all x ∈ D Hence, (I − U) −1C(D) ⊂ D.

Applying the Schauder fixed point theorem, the operator (I − U) −1C has a fixed point

inD that is also a fixed point of U + C in D.

3 Existence of solution

LetX = C(R+,E) be the space of all continuous functions onR+toE which is equipped

with the numerable family of seminorms

x n = | x | γ n+| x | h n, n ≥1, (3.3)where

We make the following assumptions

(A1) There exists a constantL ∈[0, 1) such that

f (t, x) − f (t, y) ≤ L | x − y |, ∀ x, y ∈ E, ∀ t ∈ R+. (3.6)(A2) There exists a continuous functionω1:Δ→ R+such that

V (t, s, x) − V (t, s, y) ≤ ω1(t, s) | x − y |, ∀ x, y ∈ E, ∀(t, s) ∈ Δ. (3.7)(A3)G is completely continuous such that G(t, ·,·) :I × J → E is continuous uni-

formly with respect to t in any bounded interval, for any bounded I ⊂[0,∞)and any boundedJ ⊂ E.

Trang 23

(A4) There exists a continuous functionω2:Δ→ R+such that

lim

| x |→∞

G(t, s, x) − ω2(t, s)

uniformly in (t, s) in any bounded subsets ofΔ

Theorem 3.1 Let (A1)–(A4) hold Then ( 1.2 ) has a solution on [0, ∞ ).

Proof of Theorem 3.1 The proof consists of Steps1–4

Step 1 In X, we consider the equation

x(t) = q(t) + f

t, x(t)

, t ∈ R+. (3.9)

We have the following lemma

Lemma 3.2 Let (A1) hold Then ( 3.9 ) has a unique solution.

Proof By hypothesis (A1), the operatorΦ : X → X, which is defined as follows:

By the transformationx = y + ξ, we can write (1.2) in the form

y(t) = Ay(t) + B y(t) + C y(t), t ∈ R+, (3.11)where

Trang 24

L T P Ngoc and N T Long 7For allt ∈[0,γ n] withγ n ∈(0,n) chosen later, we have

U y(t) − Uy(t) ≤ L y(t) − y(t) +t

U y(t) − Uy(t) ≤ L y(t) − y(t) +ω1nγ n

U y(t) − Uy(t) e − h n(t − γ n)≤ L y(t) − y(t) e − h n(t − γ n)+ω1n γ n | y − y | γ n

Trang 25

Combining (3.16)–(3.20), we deduce that

Step 3 We show that C : X → X is completely continuous We first show that C is

contin-uous For anyy0∈ X, let (y m)mbe a sequence inX such that lim m →∞ y m = y0

Letn ∈ N ∗be fixed PutK = {(y m+ξ)(s) : s ∈[0,n], m ∈ N} ThenK is compact in

E Indeed, let ((y m i+ξ)(s i))ibe a sequence inK We can assume that lim i →∞ s i = s0andthat limi →∞ y m i+ξ = y0+ξ We have

E For any > 0, since G is continuous on the compact set [0, n] ×[0,n] × K, there exists

δ > 0 such that for every u, v ∈ K, | u − v | < δ,

G(t, s, u) − G(t, s, v) <

n, ∀ s, t ∈[0,n]. (3.24)Since limm →∞ y m = y0, there existsm0such that form > m0,

so| C y m − C y0| n < , for allm > m0, and the continuity ofC is proved.

It remains to show thatC maps bounded sets into relatively compact sets Let us recall

the following condition for the relative compactness of a subset inX.

Lemma 3.3 (see [7, Proposition 1]) Let X = C(R+,E) be the Fr´echet space defined as above and let A be a subset of X For each n ∈ N ∗ , let X n = C([0, n], E) be the Banach space of all continuous functions u : [0, n] → E, with the norm u =supt ∈[0,n] {| u(t) |} , and A n = { x |[0,n]:x ∈ A }

The set A in X is relatively compact if and only if for each n ∈ N ∗ , A n is equicontinuous

in X n and for every s ∈[0,n], the set A n(s) = { x(s) : x ∈ A n } is relatively compact in E.

Trang 26

L T P Ngoc and N T Long 9This proposition was stated in [7] and without proving in detail Let us prove it in theappendix The proof follows from the Ascoli-Arzela theorem (see [5]):

LetE be a Banach space with the norm | · |and letS be a compact metric space Let

C E(S) be the Banach space of all continuous maps from S to E with the norm

x =sup x(s) ,s ∈ S

The setA in C E(S) is relatively compact if and only if A is equicontinuous and for every

s ∈ S, the set A(s) = { x(s) : x ∈ A }is relatively compact inE.

Now, letΩ be a bounded subset of X We have to prove that for n ∈ N ∗, we have thefollowing

(a) The set (CΩ)nis equicontinuous inX n

Put S = {(y + ξ)(s) : y ∈ Ω, s ∈[0,n] } Then S is bounded in E Since G is

com-pletely continuous, the setG([0, n]2× S) is relatively compact in E, and so G([0, n]2× S)

is bounded Consequently, there existsM n > 0 such that

G

t, s, (y + ξ)(s) ≤ M n, ∀ t, s ∈[0,n], ∀ y ∈ Ω. (3.28)For anyy ∈ Ω, for all t1,t2∈[0,n],

As above, the setG([0, n]2× S) is relatively compact in E, it implies that G([0, n]2× S)

is compact inE, and so is conv G([0, n]2× S), where conv G([0, n]2× S) is the convex

Trang 27

ByLemma 3.3,C( Ω) is relatively compact in X Therefore, C is completely continuous.

with| u | > η,

G(t, s, u) < ω2n+

4n | u |, ∀ t, s ∈[0,n], (3.33)whereω2n =sup{ ω2(t, s) : t, s ∈[0,n] }

On the other hand,G is completely continuous, there exists ρ > 0 such that for all u

with| u | ≤ η,

G(t, s, u) ≤ ρ, ∀ t, s ∈[0,n]. (3.34)Combining (3.33), (3.34), for allt, s ∈[0,n], for all u ∈ E, we get

G(t, s, u) ≤ ρ + ω2n+

4n | u | (3.35)This implies that for allt ∈[0,n],

It follows that if we chooseμ n > max {4nρ/ , 4n ω2n / ,| ξ | n }, then for| y | n > μ n, we have

| C y | n / | y | n < , this means that

lim

| y | n →∞

| C y | n

| y | n =0. (3.37)

By applyingTheorem 2.1, the operatorU + C has a fixed point y in X Then (1.2) has

a solutionx = y + ξ on [0, ∞).Theorem 3.1is proved

4 The asymptotically stable solutions

We now consider the asymptotically stable solutions for (1.2) defined as follows

Definition 4.1 A function x is said to be an asymptotically stable solution of (1.2) if forany solutionx of ( 1.2),

lim

t →∞ x(t) − x(t) =0. (4.1)

Trang 28

In this section, we assume that (A1)–(A4) hold and assume in addition that

(A5)V (t, s, 0) =0, for all (t, s) ∈Δ;

(A6) there exist two continuous functionsω3,ω4:Δ→ R+such that

G(t, s, x) ≤ ω3(t, s) + ω4(t, s) | x |, ∀(t, s) ∈ Δ. (4.2)Then, byTheorem 3.1, (1.2) has a solution on (0,∞)

On the other hand, ifx is a solution of (1.2) then, asStep 1of the proof ofTheorem 3.1,

y = x − ξ satisfies (3.11) This implies that for allt ∈ R+,

y(t) ≤ Ay(t) + B y(t) + C y(t) , (4.3)

0ω2(t, s)ds, (4.8) is rewritten as follows:

v(t) ≤ b(t)

t

v(s)ds + 2a2(t). (4.9)

Trang 29

By (4.9), based on classical estimates, we obtain

y(t) 2

= v(t) ≤2a2(t) + b(t)e0t b(s)ds

t

02e −0s b(u)du a2(s)ds, ∀ t ∈ R+. (4.10)Then we have the following theorem about the asymptotically stable solutions

Theorem 4.2 Let (A1)–(A6) hold If

Proof of Theorem 4.2 Let x,x be two solutions to (1.2)

Theny = x − ξ, y= x − ξ are solutions to (3.11) It follows from (4.10) that

y(t) 2

≤2a2(t) + b(t)et0b(s)ds

t

02e −0s b(u)du a2(s)ds, (4.14)for allt ∈ R+, and so is| y(t) |2

It follows from (4.11) and (4.14) that

lim

t →∞ x(t) − ξ(t) =0. (4.15)Putc(t) =2a2(t) + b(t)et0b(s)dst

02e −s0b(u)du a2(s)ds Then, by (4.14),

x(t) − x(t) = y(t) − y(t) ≤2

c(t), ∀ t ∈ R+. (4.16)Combining (4.11), (4.16),

lim

t →∞ x(t) − x(t) =0. (4.17)

Trang 30

Remark 4.3 We present an example when condition (4.11) holds

Let the following assumptions hold:

(H1)+∞

0 | q(s) |2ds < + ∞,+∞

0 | f (s, 0) |2ds < + ∞;(H2) limt →∞t

0ω3(t, s)ds =0,+∞

0 [s

0ω3(s, u)du]2ds < + ∞;(H3) there exist continuous functionsg i,h i:R+→ R+, =1, 4 such that fori =1, 4,(i)ω i(t, s) = g i(t)h i(s), for all (t, s) ∈Δ,

(ii) limt →∞ g i(t) =0,

(iii)+∞

0 g i2(s)ds < + ∞,+∞

0 h2i(s)ds < + ∞.Then condition (4.11) holds Indeed, we have the following

Sinceξ is a (unique) fixed point of Φ, for all t ∈ R+, we have

Trang 31

and it follows that

b(t) = 2

(1− L)2

t

0ω2(t, s)ds −→0, ast −→ ∞ (4.24)Furthermore, it follows from (4.23) and (H3)(iii) that

Trang 32

L T P Ngoc and N T Long 15such that for everyx ∈ X = C(R+,E), for all t, s ≥0 (s ≤ t), for all ζ ∈[0, 1],

in whichk < 2/π is a positive constant.

We first note that for everyx, y ∈ X = C(R+,E), for all t, s ≥0 (s ≤ t), and for all ζ ∈

[0, 1],

f (t, x)(ζ) − f (t, y)(ζ) ≤ k

e t+ζ e

−2t sin

Furthermore, it is obvious that (H1)–(H3) hold

We conclude that Theorems3.1,4.2hold for (1.2), in this case

For more details, let us consider a solutionx(t) of (1.2) as follows

Letx ∈ X = C(R+,E) such that for all t ∈ R+,

Trang 33

On the other hand, by

≤(1− k)e −3t+ke −3t = e −3t

(4.38)This implies that

x(t) − ξ(t) e − t+e −3t (4.39)Therefore, limt →∞ x(t) − ξ(t) =0

5 The general case

Since this will cause no confusion, let us use the same lettersV , G, ω i, =1, 2, 3, 4;Φ, ξ,

A, B, C, U to define the functions ofSection 3and of this section, respectively

We consider the following equation:

whereq :R+→ E; f : R+× E × E → E; G, V :Δ× E × E → E are supposed to be continuous

andΔ= {(t, s) ∈ R+× R+,s ≤ t }, the functionsπ, σ, χ :R+→ R+are continuous

We make the following assumptions

(I1) There exists a constantL ∈[0, 1) such that

f (t, x, u) − f (t, y, v) ≤ L

2

| x − y |+| u − v |, ∀ x, y, u, v ∈ E, ∀ t ∈ R+. (5.2)(I2) There exists a continuous functionω1:Δ→ R+such that

V (t, s, x, u) − V (t, s, y, v) ≤ ω1(t, s)

| x − y |+| u − v |, ∀ x, y, u, v ∈ E, ∀(t, s) ∈ Δ.

(5.3)

Trang 34

L T P Ngoc and N T Long 17(I3)G is completely continuous such that G(t, ·,·,·) :I × J1× J2→ E is continuous

uniformly with respect tot in any bounded interval, for any bounded subset

I ⊂[0,∞) and for any bounded subsetJ1,J2⊂ E.

(I4) There exists a continuous functionω2:Δ→ R+such that

Theorem 5.1 Let (I1)–(I5) hold Then ( 5.1 ) has a solution on (0, ∞ ).

Proof of Theorem 5.1 These follow by the same method as inSection 3 However, thereare also some changes

At first, we note that the following exist (a) By hypothesis (I1) and 0< π(t) ≤ t, for all

t ∈ R+, the operatorΦ : X → X defined by

Φx(t) = q(t) + ft, x(t), xπ(t), ∀ x ∈ X, t ∈ R+, (5.5)

is theL-contraction mapping on the Fr´echet space (X, | x | n) Indeed, fixn ∈ N ∗ For all

x ∈ X and for all t ∈[0,n],

So| Φx − Φy | n ≤ L | x − y | n Therefore,Φ admits a unique fixed point ξ ∈ X.

By the transformationx = y + ξ, (5.1) is rewritten as follows:

y(t) = Ay(t) + B y(t) + C y(t), t ∈ R+, (5.7)where

(b) PutU = A + B Then, U is a contraction operator with respect to a family of

semi-norms · n Indeed, fix an arbitrary positive integern ∈ N ∗

Trang 35

For allt ∈[0,γ n] withγ n ∈(0,n), γ n <σ n =min{ σ(t), t ∈[0,n] },γ n < πn =min{ π(t),

t ∈[0,n] }chosen later, we have

Trang 36

L T P Ngoc and N T Long 19whereω1nis as in the proof ofStep 2,Theorem 3.1 We get

| U y − Uy | h n ≤L +2ω1n

h n

| y − y | h n+ 2ω1n γ n | y − y | γ n (5.14)Combining (5.10)–(5.14), we deduce that

(c)C : X → X is also completely continuous We first show that C is continuous For

anyy0∈ X, let (y m)mbe a sequence inX such that lim m →∞ y m = y0

Letn ∈ N ∗be fixed Put

ThenK1,K2are compact inE For any > 0, since G is continuous on the compact set

[0,n] ×[0,n] × K1× K2, there existsδ > 0 such that for every u i ∈ K1,v i ∈ K2, =1, 2,

Trang 37

It remains to show thatC maps bounded sets into relatively compact sets Now, letΩ

be a bounded subset ofX We have to prove that for n ∈ N ∗, (CΩ)nis equicontinuous in

X nand for everyt ∈[0,n], the set (CΩ)n(t) = { C y |[0,n](t) : y ∈Ω}is relatively compact

ThenS1,S2are bounded inE Since G is completely continuous, the set G([0, n]2× S1×

S2) is relatively compact inE, and so G([0, n]2× S1× S2) is bounded Consequently, thereexistsM n > 0 such that

G

t, s, (y + ξ)(s), (y + ξ)

χ(s) ≤ M n, ∀ t, s ∈[0,n], ∀ y ∈ Ω. (5.23)The rest of the proof runs as in (3.29), (3.31), and so (CΩ)n = { C y |[0,n]:y ∈Ω} isequicontinuous and (CΩ)n(t) is relatively compact in E by

allt, s ∈[0,n], for all u, v ∈ E, we get

G(t, s, u, v) ≤ ρ + ω2n+

8n

| u |+| v |, (5.26)whereω2nis also as in the proof ofStep 2,Theorem 3.1 This implies that for allt ∈[0,n],

It follows that if we chooseμ n > max {4nρ/ , 4n ω2n / ,| ξ | n }, then for| y | n > μ n, we have

| C y | n / | y | n < , this means that

Trang 38

L T P Ngoc and N T Long 21Now, we also consider the asymptotically stable solutions for (5.1) defined as inSection

4 Here, we assume that (I1)–(I5) hold and assume in addition that

On the other hand, ifx is a solution of (5.1), theny = x − ξ satisfies (5.7) We notemore that under the hypotheses (I1), (I6), the function f turns out to be f : R+× E → E,

satisfying (A1) Consequently, for allt ∈ R+,

Trang 39

Putd(t) = | y(t) |+| y(σ(t)) |+| y(χ(t)) | Then, combining these, for allt ∈ R+, we have

d(t) ≤

t

0θ(t, s)d(s)ds + e(t), (5.33)where

Theorem 5.2 Let (I1)–(I8) hold Assume that

and e(t) is defined as in ( 5.35 ).

Then every solution x to ( 5.1 ) is an asymptotically stable solution Furthermore,

lim

t →∞ x(t) − ξ(t) =0. (5.41)

Trang 40

Proof of Theorem 5.2 The proof is similar to that ofTheorem 4.2 Let us omit here

In the Banach spaceX n = C([0, n], E), by A nbeing equicontinuous and for everys ∈

[0,n], A n(s) = { x(s) : x ∈ A n }is relatively compact in E, so applying the Ascoli-Arzela

theorem (see [5]),A nis relatively compact inX n

Forn =1, since (A1) is relatively compact in the Banach spaceX1= C([0, 1], E), there

exists a subsequence of (x k)k, denoted by (x(1)k )k, such that

x(1)k |[0,1]

k −→ x1 inX1, ask −→ ∞ (A.1)Forn =2, since (A2) is relatively compact in the Banach spaceX2= C([0, 2], E), there

exists a subsequence of (x k(1))k, denoted by (x(2)k )k, such that

x(2)k |[0,2]

k −→ x2 inX2, ask −→ ∞ (A.2)

By the uniqueness of the limit, it is easy to see thatx2|[0,1]= x1

Thus, there exists a subsequence (x k(2))kof (x k)ksuch that

Định dạng
Số trang	234
Dung lượng	9,09 MB