Luận án tiến sĩ toán học: Sử dụng phương pháp phi tuyến vào các bài toán biên

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN BÁO CÁO NGHIỆM THU ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU CẤP BỘ SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP PHI TUYẾN VÀO CÁC BÀI TOÁN BIÊN Mã số: B.. HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊ

Trang 1

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

BÁO CÁO NGHIỆM THU ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU CẤP BỘ

SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP PHI TUYẾN

VÀO CÁC BÀI TOÁN BIÊN

Mã số: B 2005-18-01

THỜI GIAN THỰC HIỆN 12 THÁNG

Từ tháng 06/2005 đến tháng 06/2006

Chủ nhiệm đề tài: TS Nguyễn Thành Long

TP HỒ CHÍ MINH 2006

Trang 2

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

BÁO CÁO NGHIỆM THU ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU CẤP BỘ

SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP PHI TUYẾN

VÀO CÁC BÀI TOÁN BIÊN

Mã số: B 2005-18-01

THỜI GIAN THỰC HIỆN 12 THÁNG

Từ tháng 06/2005 đến tháng 06/2006

1/ TS Trần Minh Thuyết, Đại học Kinh tế Tp HCM 2/ TS Trần Ngọc Diễm, Đại học Bách khoa Tp HCM 3/ TS Bùi Tiến Dũng, Đại học Kiến Trúc Tp HCM 4/ ThS Nguyễn Thị Thảo Trúc, Đại học Cần Thơ

TP HỒ CHÍ MINH 2006

Trang 3

MỤC LỤC

Trang MỤC LỤC 00

KẾT QUẢ THỰC HIỆN ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CẤP BỘ 2005-2006 01 1 TÊN NHIỆM VỤ 01

2 TÓM TẮT KẾT QUẢ ĐÃ THỰC HIỆN 01

3 CÁC SẢN PHẨM ĐỀ TÀI ĐÃ HOÀN THÀNH 02

3.1 KẾT QUẢ KHOA HỌC 02

3.2 KẾT QUẢ ĐÀO TẠO 03

3.3 KẾT QUẢ ỨNG DỤNG 04

4 TỔNG QUAN PHẦN NGHIÊN CỨU 05

4.1 TÓM TẮT KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU 06

4.2 THUYẾT MINH NGHIÊN CỨU 09

Thuyết minh Phần I 09

Thuyết minh Phần II 13

Thuyết minh Phần III 15

Thuyết minh Phần IV 16

06 BÀI BÁO CÔNG BỐ CÓ LIÊN QUAN ĐẾN ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU 19 TÀI LIỆU THAM KHẢO 20 ĐÍNH KÈM TOÀN VĂN 06 BÀI BÁO 23

Trang 4

KẾT QUẢ THỰC HIỆN ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU

KHOA HỌC CẤP BỘ 2005-2006

1 TÊN NHIỆM VỤ

Tên đề tài: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP PHI TUYẾN VÀO CÁC BÀI TOÁN BIÊN

(Using nonlinear methods in some boundary value problems)

Mã số: B 2005-18-01

Cơ quan quản lý: Đại học Quốc Gia TP HCM

Cơ quan chủ trì thực hiện: Đại học Khoa học Tự nhiên Tp Hồ Chí Minh

Địa chỉ: 227 Nguyễn Văn Cừ, Q.5, Tp Hồ Chí Minh, ĐT: 8.350098

Thành viên tham gia:

1/ TS Trần Minh Thuyết, Đại học Kinh tế Tp HCM

2/ TS Trần Ngọc Diễm, Đại học Bách khoa Tp HCM

3/ TS Bùi Tiến Dũng, Đại học Kiến Trúc Tp HCM

4/ ThS Nguyễn Thị Thảo Trúc, Đại học Cần Thơ

Thời gian thực hiện: từ tháng 06/2005 đến tháng 06/2006

2 TÓM TẮT KẾT QUẢ ĐÃ THỰC HIỆN

Đề tài nầy đã nhận được nhiều kết quả trong các lãnh vực Giải tích hàm phi tuyến và phương trình vi phân thể hiện qua:

- 06 công trình đã công bố trên các tạp chí Quốc tế chuyên ngành,

- 05 báo cáo tại các hội nghị khoa học,

- Hoàn thành 2 luận án tiến sĩ và đã bảo vệ cấp Nhà nước thành công (NCS Trần Ngọc Diễm đã bảo vệ ngày 20/05/2006 và NCS Bùi Tiến Dũng đã bảo vệ ngày 24/06/2006)

- Hoàn thành 06 luận án thạc sĩ và đã bảo vệ chính thức

Mặt khác, đề tài nghiên cứu các bài toán liên quan đến mô hình toán học cho các vấn đề đặt ra trong Kỹ thuật, Cơ học,… và có định hướng ứng dụng trong thực tiễn Mặt khác đề tài cũng ứng dụng trực tiếp ngay trong giảng dạy, đào tạo cùng với việc triển khai nó vào các đề tài luận văn thạc sỹ và luận án tiến sĩ Trong thời gian nầy hai thành viên trong nhóm xêmina đang chuẩn bị để thi nghiên cứu sinh theo hướng đề tài nầy

Trang 5

3 CÁC SẢN PHẨM ĐỀ TÀI ĐÃ HOÀN THÀNH

3.1 KẾT QUẢ KHOA HỌC Bao gồm 06 công trình đã công bố trên các tạp chí Quốc tế chuyên ngành cùng với 05 báo cáo tại các hội nghị khoa học

a) Các bài báo đã và nhận đăng

[N1] Nguyen Thanh Long, On the nonlinear wave equation utt − B ( t , u 2, ux 2) uxx =

) , , ,

,

( x t u ux ut u 2 ux 2

Math Anal Appl 306 (1) (2005) 243-268

[N2] Nguyen Thanh Long, Nonlinear Kirchhoff- Carrier wave equation in a unit membrane with mixed homogemeous boundary conditions , Electronic J Differential Equations, 2005, No 138 (2005) Pages 1-18

ISSN: 1072-6691 URL: http://ejde.math.txstate.edu or http://ejde.math.unt.edu

[N3] Nguyen Thanh Long, Alain Pham Ngoc Dinh, Tran Ngoc Diem, On a shock problem involving a nonlinear viscoelastic bar , J Boundary Value Problems, Hindawi Publishing Corporation, 2005 (3) (2005) 337-358

[ http://www.hindawi.com/journals/bvp/volume-2005/S1687276205408016.html ]

[ http://www.hindawi.com/GetArticle.aspx?pii=S1687276205408016 ]

[N4] Nguyen Thanh Long, Vo Giang Giai, A nonlinear wave equation associated with nonlinear boundary conditions: Existence and asymptotic expansion of solutions , Nonlinear Anal TMA, Series A: Theory and Methods, (2206) (accepted for publication)

[N5] Nguyen Thanh Long, Alain Pham Ngoc Dinh, On a nonlinear parabolic equation

Comput Appl Math 196 (1) (2006) 267-284

[N6] Nguyen Thanh Long, On the nonexistence of positive solution of some singular nonlinear integral equations , J Inequalities and Applications, Hindawi Publishing Corporation, (2006) Article ID 45043, Pages 1-10

DOI: 10.1155/JIA/2006/45043

b) Các báo cáo tại nghị Hội Nghị Ứng Dụng Toán học, Hà Nội, 23-25/12/2005

1 Trần Ngọc Diễm, Alain Phạm Ngọc Định, Mô hình toán học bài toán va chạm chứa thanh đàn hồi nhớt

2 Lê Thị Phương Ngọc, Nguyễn Thành Long, Bài toán hỗn hợp cho phương trình sóng phi tuyến chứa toán tử Kirchhoff

3 Trần Minh Thuyết, Lê Khánh Luận, Võ Giang Giai, Về một hệ Elliptic p-Laplace trong không gian Sobolev có trọng

4 Trần Minh Thuyết, Phạm Gia Khánh, Phương trình sóng phi tuyến liên kết với một phương trình tích phân phi tuyến

Trang 6

5 Nguyễn Thị Thảo Trúc, Nguyễn Công Tâm, Về phương trình sóng tuyến tính:

: ) , , , ,

xx

3.2 KẾT QUẢ ĐÀO TẠO Hướng nghiên cứu đề tài cũng góp phần trong việc triển khai trong 02 luận án tiến sĩ đã bảo vệ cấp Nhà nước và 06 luận án thạc sĩ

a) Tiến sĩ :

1 N.C.S Trần Ngọc Diễm (Cơ sở đào tạo: Đại học KH Tự Nhiên TP HCM)

Đề tài: Sử dụng phương pháp xấp xỉ Galerkin vào một số bài toán biên phi tuyến Hướng dẫn bởi: Nguyễn Thành Long và GS TS Alain Phạm Ngọc Định (Orléans, Pháp)

Ngày bảo vệ chính thức: 20/05/2006

2 N.C.S Bùi Tiến Dũng (Cơ sở đào tạo: Đại học Sư phạm TP HCM)

Đề tài: Sử dụng phương pháp giải tích vào một số bài toán biên phi tuyến

Hướng dẫn bởi: Nguyễn Thành Long và PGS.TS Nguyễn Hội Nghĩa( Ban Đào Tạo Sau Đại học, ĐHQG Tp HCM)

Ngày bảo vệ chính thức: 24/06/2006

b) Thạc sĩ:

1 Phạm Gia Khánh ( Khoá 09, Trường Đại học Cần Thơ)

Đề tài: Phương trình sóng phi tuyến với điều kiện biên chứa phương trình tích phân phi tuyến

Người hướng dẫn: Nguyễn Thành Long

Ngày bảo vệ: 17/09/2005

2 Nguyễn Văn Diễm ( Khoá 10, Trường Đại học Cần Thơ)

Đề tài: Phương trình nhiệt phi tuyến trong không gian Sobolev có trọng

Ngày bảo vệ: 26/11/2005

3 Phan Thanh Xuân ( Khoá 10, Trường Đại học Cần Thơ)

Đề tài: Sự không tồn tại nghiệm dương của một số phương trình tích phân phi tuyến Người hướng dẫn: Nguyễn Thành Long

Ngày bảo vệ: 26/11/2005

4 Dương Bửu Lộc ( Khoá 13, Trường Đại học Sư phạm TP HCM)

Đề tài: Bất đẳng thức tích phân thuôc loại Ostrowski cho hàm khả vi cấp hai

Ngày bảo vệ: 07/10/2005

5 Huỳnh Văn Tùng ( Khoá 13, Trường Đại học KHTN Tp HCM)

Trang 7

Đề tài: Khảo sát phương trình sóng phi tuyến trong không gian Sobolev có trọng

Ngày bảo vệ: 21/01/2006

6 Nguyễn Vũ Dzũng ( Khoá 13, Trường Đại học KHTN Tp HCM)

Đề tài: Khảo sát phương trình parabolic phi tuyến trong miền hình cầu

Ngày bảo vệ: 21/01/2006

3.3 KẾT QUẢ ỨNG DỤNG

Hướng đề tài nghiên cứu các bài toán liên quan đến mô hình toán học cho các vấn đề đặt ra trong Kỹ thuật, Cơ học,… và có định hướng ứng dụng trong thực tiễn Các kết quả công bố trên tạp chí nói trên tiếp tục trình bày thảo luận trong các nhóm xêmina để các thành viên trong nhóm học hỏi, tiếp cận thêm các công cụ mới Từ đó đề tài đã gợi ra thêm một số vấn đề mới cần tiếp tục nghiên cứu Mặt khác đề tài cũng ứng dụng trực tiếp ngay trong giảng dạy, đào tạo cùng với việc triển khai nó vào các đề tài luận văn thạc sỹ và luận án tiến sĩ Trong thời gian nầy hai thành viên trong nhóm xêmina là Võ Giang Giai và Lê Xuân Trường đang chuẩn bị để thi nghiên cứu sinh theo hướng đề tài nầy

Trang 8

4 TỔNG QUAN PHẦN NGHIÊN CỨU

Các bài toán biên phi tuyến xuất hiện ngày càng nhiều trong các ngành của Khoa học ứng dụng ( Vật lý, Hóa học, Cơ học, Kỹ thuật,…) Đây là nguồn đề tài mà rất nhiều nhà Toán học từ trước đến nay quan tâm nghiên cứu bởi tính chất phong phú và nhiều chủng loại của nó Hiện nay các công cụ của Giải tích hàm phi tuyến đã xâm nhập vào từng bài toán biên phi tuyến cụ thể ở một mức độ nào đó Tổng quát, chúng

ta không có một phương pháp toán học chung để giải quyết cho mọi bài toán biên phi tuyến Các yếu tố phi tuyến xuất hiện trong bài toán có ảnh hưởng rất nhiều đến việc chọn lựa các phương pháp toán học để giải quyết Do đó các bài toán biên phi tuyến ở trên cũng chưa giải hoặc chỉ giải được một phần tương ứng với số hạng phi tuyến cụ thể nào đó Bởi vậy, tôi cho rằng đề tài nghiên cứu ở đây là cần thiết, có ý nghĩa lý luận và thực tiễn

Trong các bài toán biên trên đây, nhiều nhà Toán học thường chú ý đến những loại có xuất xứ từ các vấn đề của Vật lý, Cơ học, v.v… và nghiên cứu chúng ở nhiều khía cạnh khác nhau bởi các công cụ toán học thích hợp Bản thân chủ nhiệm đề tài cũng đã có nhiều kết quả công bố về hướng nghiên cứu nầy từ năm 1992 đến nay trên các tạp chí của Anh, Balan, Đức, Mỹ, Việt Nam…

Trong đề tài nầy chúng tôi muốn sử dụng các phương pháp phi tuyến như: phương pháp Galerkin, phương pháp compact và đơn điệu, phương pháp xấp xỉ tuyến tính liên hệ với các định lý điểm bất đọâng, phương pháp khai triển tiệm cận… nhằm khảo sát một số bài toán biên có liên quan đến các vấn đề trong Khoa học ứng dụng Chẳng hạn như các phương trình sóng phi tuyến liên kết với các loại điều kiện biên khác nhau xuất hiện trong các bài toán mô tả dao độâng của một vật đàn hồi với các ràng buộc phi tuyến ở bề mặt và tại biên, hoặc mô tả sự va chạm của một vật rắn và một thanh đàn nhớt tựa trên một nền đàn nhớt Cũng trong đề tài nầy, tính chất không tồn tại nghiệm dương của một số phương trình tích phân phi tuyến kỳ dị xuất phát từ bài toán biên Neumann cũng được nghiên cứu

Trong đề tài nghiên cứu chúng tôi chú ý đến các vấn đề tồn tại, không tồn tại, tính duy nhất và các tính chất khác của nghiệm (tính trơn, ổn định, khai triển tiệm cận,…) của các bài toán biên có điều kiện biên hỗn hợp thuần nhất và không thuần nhất Kết quả thu được đã công bố trong 06 bài báo dưới đây [N1-N6]

[N1] Nguyen Thanh Long, J Math Anal Appl 306 (1) (2005) 243-268

[N2] Nguyen Thanh Long, Electronic J Differential Equations, 2005, No 138 (2005) Pages 1-18

[N3] Nguyen Thanh Long, Alain Pham Ngoc Dinh, Tran Ngoc Diem, J Boundary Value Problems, Hindawi Publishing Corporation, 2005 (3) (2005) 337-358

[N4] Nguyen Thanh Long, Vo Giang Giai, Nonlinear Anal TMA, Series A: Theory and Methods, (2206) (accepted for publication)

Trang 9

[N5] Nguyen Thanh Long, Alain Pham Ngoc Dinh, Comput Appl Math 196 (1) (2006) 267-284

[N6] Nguyen Thanh Long, J Inequalities and Applications, Hindawi Publishing Corporation, (2006) Article ID 45043, Pages 1-10

Các kết quả thu được trên đây được phân loại và sắp xếp thành 4 phần như sau:

Phần I Phương trình sóng phi tuyến chứa toán tử Kirchhoff cho miền một chiều và hai chiều:

A Phương trình sóng phi tuyến chứa toán tử Kirchhoff với điều kiện biên hỗn hợp thuần nhất

B Phương trình sóng phi tuyến chứa toán tử Kirchhoff trong màng tròn đơn vị với điều kiện biên hỗn hợp thuần nhất

Phần II Phương trình sóng phi tuyến với điều kiện biên phi tuyến chứa một tích chập với giá trị biên

Phần III Phương trình parabolic phi tuyến chứa toán tử Bessel với điều kiện biên hỗn hợp không thuần nhất

Phần IV Sự không tồn tại nghiệm dương của một số phương trình tích phân phi tuyến kỳ dị

4.1 TÓM TẮT KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU

Tóm tắt kết quả Phần I Phần nầy cũng chia thành hai phần tương ứng với các phương trình sóng phi tuyến chứa toán tử Kirchhoff trong miền một chiều và hai chiều

PHẦN A: TRƯỜNG HỢP MỘT CHIỀU

Với miền một chiều Ω = ( 0 , 1 ), chúng tôi xét bài toán giá trị biên và đầu cho phương trình sóng phi tuyến có chứa toán tử Kirchhoff

(a.1) utt − B ( t , u 2, ux 2) uxx = f ( x , t , u , ux, ut, u 2, ux 2), x ∈ Ω = ( 0 , 1 ), 0 < t < T , (a.2) ux( 0 , t ) − h0u ( 0 , t ) = ux( 1 , t ) + h1u ( 1 , t ) = 0 , (a.3) u ( x , 0 ) = u ~0( x ), ut( x , 0 ) = u ~1( x ), trong đó h0, h1 là các hằng số không âm cho trước với h0+ h1> 0 ; và B f , u ~0, u ~1là các hàm cho trước Trong phương trình (1.1) các số hạng phi tuyến B ( t , u 2, ux 2) và f ( x , t , u , ux, ut, u 2, ux 2) còn phụ thuộc vào các tích phân ( ) 2 ∫ ( , )2 ,

Ω

= u x t dx t

u

) , ( )

Trang 10

địa phương của nghiệm duy nhất được chứng minh bằng phương pháp Galerkin thông dụng kết hợp với phương pháp compact Trong trường hợp ∈ +1( +3), ≥ 0 > 0 ,

b B IR C

, 0 ),

B N f ∈ CN+1([ 0 , 1 ] × IR+× IR3× IR+2), f1∈ CN([ 0 , 1 ] × IR+× IR3× IR+2) chúng tôi thu được từ phương trình utt − [ B ( t , u 2, ux 2) + ε B1( t , u 2, ux 2)] uxx

) , , ,

PHẦN B: TRƯỜNG HỢP HAI CHIỀU

Với miền hai chiều Ω = {( x , y ) : x2 + y2 < 1 }, chúng tôi xét bài toán giá trị biên và đầu cho phương trình sóng phi tuyến trong màng tròn đơn vị có chứa toán tử Kirchhoff

(b.1) tt ( 20, r 02)( rr 1 ur) f ( r , t , u , ur),

r u u u B

1

0

2 2

0 = ∫ r u r t dr

ur r Trong phần này, chúng tôi liên kết bài toán (b.1)-(b.4) với một dãy qui nạp tuyến tính mà sự tồn tại địa phương của nghiệm duy nhất được chứng minh trong các không gian Sobolev có trọng thích hợp Trong chứng minh phương pháp Galerkin kết hợp với phương pháp compact được sử dụng Kế đó chúng tôi xét bài toán (b.1)-(b.4) với trong trường hợp f = f ( u r , ) và B ( η ) = b0 + η

với hằng số cho trước b0 > 0 Chúng tôi liên kết phương trình (b.1) với một dãy qui nạp }

{ um (phi tuyến)

)

1 )(

) , (

2 2

1

0 0 2

2

r

u r r

u rdr t r r

u b

t

∂

∂ +

∂

∂ +

) ,

∂

− +

u

f u u u

r

f 0 < r < 1 , 0 < t < T , với um thỏa (b.2)-(b.4) Số hạng đầu tiên u0 được chọn là u0 = u ~0 Nếu

), ]

f ∈ × chúng tôi chứng minh rằng dãy { um} là hội tụ bậc hai Kết quả nầy đã được công bố trong [N2]

Trang 11

Tóm tắt kết quả Phần II Trong phần II này, chúng tôi xét bài toán: tìm cặp hàm số )

(2.5) ( ) ( ) ( 0 , ) ( 0 , ) ( 0 , ) ( 0 , ) ( ) ( 0 , ) ,

0

2 2

0

0 0

− +

+

t t

q t p

ds s u s t k t u t u t u t u K t g t

trong đó p0 q0 ≥ 2 , và K0 là các hằng số cho trước

Báo cáo phần II, gồm 4 mục chính: Trong mục 1, dưới các giả thiết ( u0, u1) ∈ H1× L2,

1

0, )

( u u ∈ H × H và các điều kiện khác[N4] Trong mục 3, chúng tôi thu được một khai triển tiệm cận của nghiệm ( u , P ) của bài toán (2.1)-(2.5) đến cấp N + 1 theo theo ba tham số bé K , λ , K0 [N4] Trong mục 4, với p = q = p0 = p1= q1 = 2 , λ0 = 0 ; chúng tôi cũng thu được sự phụ thuộc tính trơn của nghiệm bài toán (2.1)-(2.5) (theo biến thời gian) theo tính trơn của dữ kiện [N3] Kết quả nầy đã được công bố trong [N3, N4]

Tóm tắt kết quả Phần III Trong phần này, chúng tôi xét bài toán giá trị biên và đầu cho phương trình parabolic phi tuyến

(3.1) ( )( u ) F ( r , u ) f ( r , t ),

r u t a

, 0

, 1

~ ) , 1 ( )(

( ) , 1 ( t + h t u t − u0 =

Trang 12

trong đó γ > 0 u , ~0 là hằng số cho trước, a ( t ), h ( t ), F ( r , u ), f ( r , t ) là các hàm cho trước Trong phần 1, bằng phương pháp Galerkin kết hợp với phương pháp compact trong các không gian Sobolev có trọng thích hợp, chúng tôi chứng minh sự tồn tại của một nghiệm yếu duy nhất u (t ) trên khoảng 0 < t < T , với mỗi T > 0 Trong phần 2, chúng tôi chứng minh rằng nếu điều kiện đầu u0( r ) bị chận thì nghiệm cũng bị chận Trong phần 3, chúng tôi nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của nghiệm u (t ) khi t → +∞ Kết quả nầy đã được công bố trong [N5]

Tóm tắt kết quả Phần IV Trong phần này, chúng tôi xét phương trình tích phân phi tuyến kỳ dị

x y

y u y x g x

IR

g : N× N× + → là liên tục sao cho tồn tại các hằng số M > 0 và

0 ,

β β

u y x

y x M u y

4.2 THUYẾT MINH NGHIÊN CỨU

Thuyết minh Phần I Phương trình sóng phi tuyến chứa toán tử Kirchhoff cho miền một chiều và hai chiều:

Liên quan đến các phương trình sóng phi tuyến chứa toán tử Kirchhoff chúng tôi đặc biệt chú ý đến miền một chiều Ω = ( 0 , 1 ) và miền tròn đơn vị

}.

1 :

PHẦN A: TRƯỜNG HỢP MỘT CHIỀU

Trong báo cáo nầy, chúng tôi quan tâm đến một dạng phương trình sóng phi tuyến có chứa toán tử Kirchhoff

(1.1) utt − B ( t , u 2, ∇ u 2) Δ u = f ( x , t , u , ux, ut, u 2, ∇ u 2), x ∈ Ω = ( 0 , 1 ), 0 < t < T , liên kết với điều kiện biên hỗn hợp không thuần nhất

Trang 13

, , ,

trong đó P0 ,P1 là các hằng số dương

Khi f = 0 và B = B ( ∇ u 2) là hàm chỉ phụ thuộc vào ∇ u 2, bài toán Cauchy hay hỗn hợp cho phương trình (1.1) đã được nghiên cứu bởi nhiều tác giả; xem [12, 40] và các tài liệu tham khảo được trích dẫn trong đó Trong hai công trình gần đây (xem [37, 38]), các tác giả Medeiros, Limaco, Menezes đã cho một tổng quan các kết quả về khía cạnh toán học có liên quan đến mô hình Kirchhoff-Carrier

Trong [36] Medeiros đã khảo sát bài toán (1.1)-(1.3) với f = f ( u ) = − bu2, ở đây b là một hằng số dương cho trước, Ω là một tập mở bị chận của IR Trong [13], Hosoya 3 và Yamada đã xét bài toán với f = f ( u ) = − δ uαu , trong đó δ > 0 , α ≥ 0 là các hằng số cho trước

Trong [20, 24] các tác giả đã nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán (1.7) utt + λ Δ2u − B ( ∇ u 2) Δ u + ε utα−1ut = F ( x , t ), x ∈ Ω , t > 0 ,

trong đó λ > , 0 ε > , 0 0 < α < 1 là các hằng số cho trước và Ω là một tập mở bị chận của IRn.

Trong [10], Định đã nghiên cứu sự tồn tại và dáng điệu tiệm cận khi ε → 0 của nghiệm yếu của bài toán ( 0 1 ) - ( 0 3 ) với B ≡ 1 liên kết với điều kiện biên thuần nhất Dirichlet

Trang 14

Trong [23] Long và Diễm đã khảo sát thuật giải xấp xỉ tuyến tính và khai triển tiệm cận liên kết với phương trình sóng phi tuyến

(1.10) utt − uxx = f ( x , t , u , ux, ut) + ε f1( x , t , u , ux, ut), x ∈ ( 0 , 1 ), 0 < t < T ,

cùng với các điều kiện đầu (1.2) và (1.3) Trong trường hợp f ∈ C2([ 0 , 1 ] × IR+× IR3) và f1∈ C1([ 0 , 1 ] × IR+× IR3), chúng tôi thu được một khai triển tiệm cận đến cấp 2 theo một tham số , ε với ε đủ bé Kết quả này tiếp tục được mở rộng trong [26] với phương trình sóng phi tuyến có chứa toán tử Kirchhoff

(1.11) utt − ( b0 + B ( ux 2) + ε B1( ux 2) ) uxx = f ( x , t , u , ux, ut) + ε f1( x , t , u , ux, ut),

liên kết với điều kiện (1.1), (1.8), trong đó b0 > 0 là hằng số cho trước và

0 , 0 ), (

),

Trong phần này, chúng tôi liên kết bài toán (1.1)-(1.3) với một dãy qui nạp tuyến tính hội tụ mạnh trong các không gian hàm thích hợp mà sự tồn tại địa phương của nghiệm duy nhất được chứng minh bằng phương pháp Galerkin thông dụng kết hợp với phương pháp compact Trong trường hợp ∈ +1( +3), ≥ 0 > 0 ,

b B IR C

, 0 ),

B N f ∈ CN+1([ 0 , 1 ] × IR+× IR3× IR+2), f1∈ CN([ 0 , 1 ] × IR+× IR3× IR+2) chúng tôi thu được từ phương trình utt − [ B ( t , u 2, ux 2) + ε B1( t , u 2, ux 2)] uxx

) , , ,

13, 17, 23, 26 28, 39] và đã được công bố trong [N1]

PHẦN B: TRƯỜNG HỢP HAI CHIỀU

Với miền hai chiều Ω = {( x , y ) : x2 + y2 < 1 }, chúng tôi xét bài toán giá trị biên và đầu cho phương trình sóng phi tuyến trong màng tròn đơn vị có chứa toán tử Kirchhoff

(1.12) tt ( 20, r 02)( rr 1 ur) f ( r , t , u , ur),

r u u u B

u − + = 0 < r < 1 , 0 < t < T ,

Trang 15

, ) , (

1

0

2 2

trong đó Ω1 là một mở bị chận của N

IR có biên đủ trơn ∂ Ω1,

, ) , (2 2

1

dx t x v

2

1

2 2

1 1

dx t x x

v dx

t x v v

i N

v là pháp vectơ đơn vị trên biên ∂ Ω1, hướng ra ngoài Với N = 1 và Ω1 = ( 0 , L )

phương trình (1.16) được tổng quát hóa từ phương trình mô tả dao động của một dây đàn hồi (Kirchhoff [16]):

ơÛ đây v là độ võng, ρ là khối lượng riêng, h là thiết diện, L là chiều dài sợi dây ở trạng thái ban đầu, E là môđun Young và P0 là lực căng lúc ban đầu (Giống như (1.5)) Trong trường hợp Ω1 là một quả cầu đơn vị mở của N

IR và các hàm v , f , ~ v0, ~ v1

phụ thuộc vào r với ( ) ,

2 / 1 1 2

=

i xix

r

), , ( ) , ( )

,

v = = f1( x , t , v , vt, ∇ v ) = ~ f1( x , t ),

1 ),

(

~ ) (

~ ), (

~ )

(

~

1 1

0

2 2

2

r u dr r t r u dr r t r u B v v v

∇

trong đó B ( ξ , η ) = B1( ωNξ , ωNη ) và ωN là diện tích của mặt cầu đơn vị trong IRN Do đó ta có thể viết lại (1.16)-(1.19) dưới dạng

Trang 16

2

t r f u r u dr r t r u dr r t r u B

này thường được sử dụng trong sự liên hệ với các không gian Sobolev có trọng r [4,

25]

Trong báo cáo này, chúng tôi liên kết bài toán (1.12)-(1.15) với một dãy qui nạp tuyến tính mà sự tồn tại địa phương của nghiệm duy nhất được chứng minh trong các không gian Sobolev có trọng thích hợp Trong chứng minh phương pháp Galerkin kết hợp với phương pháp compact được sử dụng Kế đó chúng tôi xét bài toán (1.12)-(1.15) với trong trường hợp f = f ( u r , ) và B ( η ) = b0 + η với hằng số cho trước b0 > 0 Chúng tôi liên kết phương trình (1.1) với một dãy qui nạp { um} (phi tuyến)

)

1 )(

) , (

2 2

1

0 0 2

2

r

u r r

u rdr t r r

u b

t

∂

∂ +

∂

∂ +

) ,

∂

− +

u

f u u u

r

f 0 < r < 1 , 0 < t < T , với um thỏa (1.13)-(1.15) Số hạng đầu tiên u0 được chọn là u0 = u ~0 Nếu

), ]

f ∈ × chúng tôi chứng minh rằng dãy { um} là hội tụ bậc hai Kết quả nầy là một sự tổng quát hóa tương đối các kết quả trong [4, 12, 13, 20, 24, 26, 27, 36, 40] và đã được công bố trong [N2]

Thuyết minh Phần II Phương trình sóng phi tuyến với điều kiện biên phi tuyến chứa một tích chập với giá trị biên

Nội dung của phần nầy được công bố trong 02 bài báo [N3, N4]

Trong phần này, chúng tôi xét bài toán: tìm cặp hàm số ( u , P ) sao cho

(2.1) utt − uxx+ f ( u , ut) = F ( x , t ), 0 < x < 1 0 < t < T ,

(2.2) ux( 0 , t ) = P ( t ),

Trang 17

(2.3) − ux( 1 , t ) = K1 u ( 1 , t ) p1−2u ( 1 , t ) + λ1 ut( 1 , t ) q1−2ut( 1 , t ) = 0 ,

(2.4) u ( x , 0 ) = u0( x ), ut( x , 0 ) = u1( x ),

trong đó f ( u , ut) = K up−2u + λ ut q−2ut, với p , p1, q1≥ 2 , q > 1 , K , λ , K1, λ1 là các hằng số cho trước và u0, u1, F là các hàm số cho trước thỏa một số điều kiện, và hàm phải tìm u ( t x , ) và giá trị biên chưa biết P (t ) thỏa một phương trình tích phân phi tuyến như sau

(2.5) ( ) ( ) ( 0 , ) ( 0 , ) ( 0 , ) ( 0 , ) ( ) ( 0 , ) ,

0

2 0

0 0

− +

+

t t

q t

p

ds s u s t k t u t u t

u t u K t g t

trong đó p0 q0 ≥ 2 , và K0, λ0 là các hằng số cho trước và g, k là các hàm cho trước

Trong [2], An và Triều đã nghiên cứu một trường hợp riêng của bài toán (2.1), (2.2), (2.4) và (2.5) liên kết với điều kiện biên Dirichlet thuần nhất tại x = 1 :

(2.6) u ( 1 , t ) = 0 ,

với F = u0 = u1≡ 0 , λ0 = 0 , p0 = 2 , và f ( u , ut) = Ku + λ ut, với K ≥ 0 , λ ≥ 0 là các hằng số cho trước Trong trường hợp này bài toán (2.1), (2.2) và (2.4)-(2.6) là một mô hình toán học mô tả sự va chạm của một vật rắn và một thanh đàn hồi nhớt tuyến tính đặt trên một nền cứng[2]

Trong [3] Bergounioux, Long và Định đã nghiên cứu bài toán (2.1)-(2.5) với

, 21

Trong [30] Long và Giai đã thu được kết quả về sự tồn tại duy nhất nghiệm và khai triển tiệm cận nghiệm của bài toán (2.1), (2.2) và (2.4)-(2.6) khi p = q = 2 ,

0 = q −

q

q định lý tồn tại và duy nhất nghiệm yếu ( u , P ) của bài toán (2.1)- (2.5) được chứng minh Chứng minh được dựa vào phương pháp Galerkin và compact yếu kết hợp với toán tử đơn điệu [N4] Trong mục 2, với trường hợp q0 =q1= 2 , p , q , p0, p1≥ 2 , chúng tôi chứng minh rằng nghiệm duy nhất ( u , P ) nằm trong không gian hàm [ L∞( 0 , T ; H2) ∩ C0( 0 , T ; H1) ∩ C1( 0 , T ; L2)] × H2( 0 , T ), với

1

0, )

( u u ∈ H × H và các điều kiện khác [N4] Trong mục 3, chúng tôi thu được một khai triển tiệm cận của nghiệm ( u , P ) của bài toán (2.1)-(2.5) đến cấp N + 1 theo

Trang 18

theo ba tham số bé K , λ , K0 [N4] Trong mục 4, với p = q = p0 = p1= q1 = 2 , λ0 = 0 ; chúng tôi cũng thu được sự phụ thuộc tính trơn của nghiệm bài toán (2.1)-(2.5) (theo biến thời gian) theo tính trơn của dữ kiện [N3] Kết quả nầy là một sự tổng quát hóa tương đối các kết quả trong [2, 3, 19, 22, 23, 29, 30] và đã được công bố trong [N3, N4]

Thuyết minh Phần III Phương trình parabolic phi tuyến chứa toán tử Bessel với điều kiện biên hỗn hợp không thuần nhất

Nội dung của phần nầy được công bố trong 01 bài báo [N5]

Trong phần này, chúng tôi xét bài toán giá trị biên và đầu cho phương trình parabolic phi tuyến

(3.1) ( )( u ) F ( r , u ) f ( r , t ),

r u t a

, 0

, 1

~ ) , 1 ( )(

( ) , 1 ( t + h t u t − u0 =

t a

t

u

= +

IR mô tả tỉ khối của giọt nhiên liệu lỏng bốc hơi bên trong một thùng rỗng vô hạn Điều kiện biên (3.2) liên kết với điều kiện Rankine-Hugoniot trên bề mặt của giọt sau khi thay đổi bước nhảy [1]

Trong [35], Minasjan đã nghiên cứu một trường hợp riêng của bài toán (3.1), (3.2) liên kết với điều kiện − T tuần hoàn sau

(3.5) u ( r , 0 ) = u ( r , T ),

với

(3.6) γ = 1 , F ( r , u ) = 0 , u ~0 = 0 ,

và các hàm a ( t ), h ( t ), f ( r , t ) là − T tuần hoàn theo biến thời gian t Ý nghĩa vật lý của

bài toán (3.1), (3.2), (3.5), (3.6) mô tả dòng nhiệt tuần hoàn trong một hình trụ vô hạn với giả sử rằng hình trụ phụ thuộc vào sự trao đổi nhiệt một cách tuần hoàn ở bề mặt )

1

( r = với môi trường bên ngoài có nhiệt độ zéro Phía trong hình trụ, nguồn nhiệt đối xứng trục và thay đổi một cách tuần hoàn Minasjan [35] đã tìm một nghiệm cổ điển của bài toán này bằng cách dùng biến đổi Fourier Phương pháp này dẫn đến một hệ giả chính quy vô hạn các phương trình đại số tuyến tính Tuy nhiên tính giải được của hệ này không được chứng minh chi tiết trong [35]

Trang 19

Trong [18] Lauerova đã chứng minh rằng với dữ kiện − T tuần hoàn, bài toán (3.1), (3.2), (3.5), (3.6) có một nghiệm yếu − T tuần hoàn theo t Trong trường hợp

Trong báo cáo phần III, gồm 4 mục: Trong mục 1, dưới các điều kiện của ),

u của bài toán dừng tương ứng, với hiệu số u ) ( t − u∞ tiến về zêrô dạng mũ theo t

Trong mục 4, cho một ví dụ minh họa với tính toán cụ thể Cũng chú ý rằng các giả thiết về số hạng phi tuyến F ( r , u ) = 0 trong công trình của chúng tôi cũng khá rộng, nó cũng chứa một số lớn các bài toán phi tuyến Chẳng hạn nếu ta xét γ = 2 ( Laplace trong tọa độ cầu trong 3

IR ) và tất cả các hàm F thuộc loại F ( u ) = uα−1u , 0 < α < 2

Kết quả nầy là một sự tổng quát hóa tương đối các kết quả trong [1, 18, 21, 35] và đã được công bố trong [N5].

Thuyết minh Phần IV Sự không tồn tại nghiệm dương của một số phương trình tích phân phi tuyến kỳ dị

Nội dung của phần nầy được công bố trong 01 bài báo [N6]

Chúng tôi xét sự không tồn tại nghiệm dương của phương trình tích phân phi tuyến kỳ dị sau

x y

y u y x g b

x u

hàm liên tục cho trước thỏa điều kiện:

Tồn tại các hằng số α , β , β1, γ , γ1 ≥ 0 và M > 0 sao cho

u y x

y x M u y x

g ( , , ) ≥ 1 ( 1 + )− 1( 1 + )−

, , y IRN

và một số điều kiện phụ sau đó

Trang 20

x i iv

v x ∈ IRN, xN+1> 0 , (4.4) ( , 0 ) ( , ( , 0 )),

vN

y u y g b

x u

(4.6) rr + 1 ur + uzz = 0 ,

r

u ∀ r > 0 , ∀ z > 0 , và với điều kiện biên phi tuyến có dạng cụ thể như sau

0 , ( ) / exp(

2

1 )

0

,

(

2 2 2

0

2 0 2 0

θ π

π α

rs s r

d sds

s u r s I

r

u

− + +

Trong [5, 6] chúng tôi đã xét bài toán (4.3), (4.4) với N ≥ 3 Hàm số

Trang 21

(4.10) ( , ) α.

u u x

Trong [15] Hu và Yin đã chứng minh với 1 ≤ α < N /( N − 1 ), N ≥ 2 , và trong [14]

Hu đã chứng minh với 1 < α < ( N + 1 ) /( N − 1 ), N ≥ 2 Cũng cần chú ý rằng hàm

α

u

x

g ( , ) = không thỏa các điều kiện trong các bài báo [5, 31, 32]

Trong báo cáo nầy, chúng tôi xét phương trình tích phân phi tuyến (4.1) với

) )(

Trang 22

06 BÀI BÁO CÔNG BỐ CÓ LIÊN QUAN ĐẾN

ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU

) , , ,

,

Math Anal Appl 306 (1) (2005) 243-268

ISSN: 1072-6691 URL: http://ejde.math.txstate.edu or http://ejde.math.unt.edu

[ http://www.hindawi.com/journals/bvp/volume-2005/S1687276205408016.html ]

Comput Appl Math 196 (1) (2006) 267-284

DOI: 10.1155/JIA/2006/45043

Trang 23

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] R Alexandre, A Pham Ngoc Dinh, A Simon, N.T Long, A mathematical model for the evaporation of a liquid fuel droplet inside an infinite vessel , Nonlinear Analysis and Applications: to V Lakshmikantham on his 80th Birthday, vol 1, Kluwer, Dordrecht, 2003, pp 117–140

[2] N.T An, N.D Trieu, Shock between absolutely solid body and elastic bar with the elastic viscous frictional resistance at the side , J Mech NCSR Vietnam, 13 (2) (1991) 1-7

[3] M Bergounioux, N.T Long, A.P.N Dinh, Mathematical model for a shock problem involving a linear viscoelastic bar , Nonlinear Anal 43 (2001) 547-561

[4] D.T.T Binh, A.P.N Dinh, N.T Long, Linear recursive schemes associated with the nonlinear wave equation involving Bessel’s operator , Math Comp Modelling, 34 (2002) No 5-6, 541-556

[5] D T T Binh, T N Diem, D V Ruy, and N T Long, On nonexistence of positive solution of a nonlinear Neumann problem in half-space IR+n, Demonstratio Math 31 (1998), No 4, 773–782

[6] D T T Binh and N T Long, On the nonexistence of positive solution of Laplace

Demonstratio Math 33 (2000), No 2, 365–372

[7] F V Bunkin, V A Galaktionov, N A Kirichenko, S P Kurdyumov, and A A Samarski˘ı, A nonlinear boundary value problem of ignition by radiation , Akad Nauk SSSR Zh Vychi ˘ıMat iMat.˘ı Fiz 28 (1988), No 4, 549–559, 623 (Russian), translated in U.S.S.R Comput Math and Math Phys 28 (1988), No 2, 157–164 (1989)

[8] G.F Carrier, On the nonlinear vibrations problem of elastic string , Quart J Appl Math 3 (1945) 157–165

[9] M Chipot, I Shafrir, and M Fila, On the solutions to some elliptic equations with nonlinear Neumann boundary conditions , Advances in Diff Equ.1 (1996), No 1, 91–

[12] Y Ebihara, L.A Medeiros, M.M Minranda, Local solutions for a nonlinear degenerate hyperbolic equation , Nonlinear Anal 10 (1986) 27–40

[13] M Hosoya, Y Yamada, On some nonlinear wave equation I: Local existence and regularity of solutions , J Fac Sci Univ Tokyo, Sect I A, Math 38 (1991) 225–238 [14] B Hu, Nonexistence of a positive solution of the Laplace equation with a nonlinear boundary condition , J Diff and Int Equ 7 (1994), No 2, 301–313

Trang 24

[15] B Hu and H M Yin, The profile near blowup time for solution of the heat equation with a nonlinear boundary condition , Transactions of AMS 346 (1994), No 1, 117–135

[16] G.R Kirchhoff, Vorlesungen über Mathematiche Physik: Mechanik , Teuber, Leipzig, 1876, Section 29.7

[17] N.A Larkin, Global regular solutions for the nonhomogeneous Carrier equation , Math Prob Engrg 8 (2002) 15–31

[18] D Lauerova, The existence of a periodic solution of a parabolic equation with the Bessel operator , Aplikace Matematiky 29 (1) (1984) 40–44

[19] N.T Long, A.P.N Dinh, On the quasilinear wave equation : utt − Δ u + f ( u , ut)

[27] N.T Long, On the nonlinear wave equation utt − B ( t , ux 2) uxx = f ( x , t , u , ux, ut) associated with the mixed homogeneous conditions , J Math Anal Appl 274 (2002) 102–123

[28] N.T Long, Asymptotic expansion of the solution for nonlinear wave equation with the mixed homogeneous conditions , Nonlinear Anal 45 (2001) 261–272

[29] N.T Long, L.V Ut, N.T.T Truc, On a shock problem involving a linear viscoelastic bar , Nonlinear Anal 63 (2) (2005) 198-224

[30] N.T Long, V.G Giai, A wave equation associated with mixed nonhomogeneous conditions: Global existence and asymptotic expansion of solutions , Nonlinear Anal TMA Series A: Theory and Methods (in press)

[31] N T Long and D T T Binh, On the nonexistence of positive solution of a nonlinear integral equation , Demonstratio Math 34 (2001), No 4, 837–845

Trang 25

[32] N T Long and D V Ruy, On a nonexistence of positive solution of Laplace equation in upper half-space with Cauchy data , Demonstratio Math 28 (1995), No 4, 921–927

[33] N T Long and D V Ruy, On the nonexistence of positive solution of some nonlinear integral equation , Demonstratio Math 36 (2003), No 2, 393–404

[34] D V Ruy, N T Long, and D T T Binh, On a nonexistence of positive solution of Laplace equation in upper half-space , Demonstratio Math 30 (1997), No 1, 7–14

[35] R.S Minasjan, On one problem of the periodic heat flow in the infinite cylinder , Dokl Akad Nauk Arm SSR 48 (1969)

[36] L.A Medeiros, On some nonlinear perturbation of Kirchhoff–Carrier operator , Comp Appl Math 13 (1994) 225–233

[37] L.A Medeiros, J Limaco, S.B Menezes, Vibrations of elastic strings: Mathematical aspects , Part one , J Comput Anal Appl 4 (2) (2002) 91–127

[38] L.A Medeiros, J Limaco, S.B Menezes, Vibrations of elastic strings: Mathematical aspects , Part two , J Comput Anal Appl 4 (3) (2002) 211–263

[39] E.L Ortiz, P.N.D Alain, Linear recursive schemes associated with some nonlinear partial differential equations in one dimension and the Tau method , SIAM J Math Anal 18 (1987) 452–464

[40] S.I Pohozaev, On a class of quasilinear hyperbolic equation , Math USSR Sb 25 (1975) 145–158

Trang 26

23 ĐÍNH KÈM TOÀN VĂN 06 BÀI BÁO

) , , ,

,

Math Anal Appl 306 (1) (2005) 243-268

Comput Appl Math 196 (1) (2006) 267-284

DOI: 10.1155/JIA/2006/45043

Trang 27

On the nonlinear wave equation

f (x, t, u, u x , u t , u 2 , u x 2 ) associated

with the mixed homogeneous conditions

Nguyen Thanh Long

Department of Mathematics and Computer Science, University of Natural Science,

Viet Nam National University, 227 Nguyen Van Cu Str., Dist 5, HoChiMinh City, Viet Nam

Received 18 January 2004 Available online 29 January 2005 Submitted by R.E Showalter

Abstract

In this paper we consider the following nonlinear wave equation:

(1) u t t − B(t, u2, u x2)u xx = f (x, t, u, u x , u t , u2, u x2), x ∈ (0, 1), 0 < t < T ,

(2) u x (0, t) − h0u(0, t) = u x (1, t) + h1u(1, t)= 0,

(3) u(x, 0) = ˜u0(x), u t (x, 0) = ˜u1(x),

where h0> 0, h1 0 are given constants and B, f , ˜u0, ˜u1 are given functions In Eq (1),

the nonlinear terms B(t, u2, u x2), f (x, t, u, u x , u t , u2, u x2) depend on the integrals

u2 =Ω |u(x, t)|2dx and u x2 =1

0|u x (x, t)|2dx In this paper I associate with

prob-lem (1)–(3) a linear recursive scheme for which the existence of a local and unique solution

is proved by using standard compactness argument In case of B ∈ C N+1(R3

we obtain for the following equation u t t − [B(t, u2, u x2) + εB1(t, u2, u x2) ]u xx =

f (x, t, u, u x , u t , u2, u x2) + εf1(x, t, u, u x , u t , u2, u x2) associated to (2), (3) a weak

so-lution u ε (x, t) having an asymptotic expansion of order N + 1 in ε, for ε sufficiently small.

E-mail address: longnt@hcmc.netnam.vn.

doi:10.1016/j.jmaa.2004.12.053

Trang 28

Keywords: Kirchhoff–Carrier operator; Galerkin method; Linear recurrent sequence; Asymptotic expansion

u(x, 0) = ˜u0(x), u t (x, 0) = ˜u1(x), (1.3)

where B, f , ˜u0, ˜u1are given functions satisfying conditions specified later and h0> 0,

h1 0 are given constants In Eq (1.1), the nonlinear terms f (x, t, u, u x , u t , u2, ∇u2) and B(t, u2, ∇u2) depend on the integrals

here u is the lateral deflection, ρ is the mass density, h is the cross section, L is the length,

E is Young’s modulus and P0is the initial axial tension

In [2], Carrier also established a model of the type

where P0and P1are constants

When f = 0 and B = B(∇u2) is a function depending only on ∇u2, the Cauchy ormixed problem for (1.1) has been studied by many authors; see [5,20] and the referencescited therein A survey of the results about the mathematical aspects of Kirchhoff modelcan be found in [17,18]

In [16] Medeiros has studied the problem (1.1)–(1.3) with f = f (u) = −bu2, where

b is a given positive constant, and Ω is a bounded open set of R3 In [6] Hosoya and

Yamada have considered (1.1)–(1.3) with f = f (u) = −δ|u| α u, where δ > 0, α 0 are

given constants

In [9,11] the authors have studied the existence and uniqueness of the equation

u + λ2u − B∇u2

u + ε|u|α−1u = F (x, t), x ∈ Ω, t > 0, (1.7)

Trang 29

where λ > 0, ε > 0, 0 < α < 1, are given constants, and Ω is a bounded open set ofRn.

In [3], Alain has studied the existence and asymptotic behavior as ε→ 0 of a weak

solution of problem (1.1), (1.3) with B ≡ 1 associated with the Dirichlet homogeneous

If B ε ≡ 1 and f1∈ C N (R+× R2) satisfies f1(t, 0, 0) = 0 for all t 0, an asymptotic

expansion of the solution of problem (1.1), (1.3), (1.8), (1.9) up to order N + 1 in ε is

obtained, for ε sufficiently small This expansion extends to the partial differential equation

the results obtained in differential equations [1]

In [10] Long and Diem have studied the linear recursive schemes and asymptotic pansion associated with the nonlinear wave equation

ex-u t t − u xx = f (x, t, u, u x , u t ) + εf1(x, t, u, u x , u t ), (1.10)

associated with (1.2) and (1.3) In the case of f ∈ C2( [0, 1] × R+× R3) and f1∈

C1( [0, 1] × R+× R3), we have obtained an asymptotic expansion of order 2 in ε, for

ε sufficiently small Afterwards, this result has been extended in [12] to the nonlinear wave

equation with the Kirchhoff operator

associated with (1.3), (1.8), where b0> 0 is a given constant and B ∈ C2(R+), B1∈

C1(R+), B 0, B1 0 are given functions

In this paper I shall first associate with the problem (1.1)–(1.3) a linear recurrent quence which is bounded in a suitable space of functions The existence of a local solution

se-is proved by a standard compactness argument Note that the linearization method in thse-ispaper and in the papers [4,10,12,13,19] cannot be used in the papers [5,6,9,11,16] If

+), then an asymptotic expansion of order N + 1 in ε

is obtained with a right-hand side of the form f (x, t , u, u x , u t,u2,u x2) + εf1(x, t ,

u, u x , u t,u2,u x2) and B stands for B + εB1, for ε sufficiently small This result is a

relative generalization of [4,10,12–14,19]

2 Preliminary results, notations

We will omit the definitions of the usual function spaces and denote them by the notation

L p = L p (0, 1), H m = H m (0, 1).

The norm in L2is denoted by · We also denote by · , · the scalar product in L2, or

a pair of dual scalar products of continuous linear functional with an element of a function

Trang 30

space We denote by·X the norm in the Banach space X We call Xthe dual space of X.

We denote by L p (0, T ; X), 1 p ∞, the Banach space of real functions u : (0, T ) → X

measurable, such that

Let u(t ), u t (t ) = ˙u(t), u t t (t ) = ¨u(t), u x (t ) = ∇u(t), u xx (t ) = u(t) denote u(x, t),

Then we have the following lemmas

Lemma 1 The imbedding H1 → C0( [0, 1]) is compact and

v C0( [0,1])√2v H1 for all v ∈ H1. (2.3)

Lemma 2 Let h0> 0 and h1 0 Then the symmetric bilinear form a(· , ·) defined by (2.1)

is continuous on H1× H1and coercive on H1, i.e.,

(i) |a(u, v)| C1u H1v H1 for all u, v ∈ H1,

(ii) a(v, v) C0v2

H1 for all v ∈ H1, where C0= min{1, h0}, C1= max{1, h0, 2h1}.

The proofs of these lemmas are straightforward, and we omit the details

Lemma 3 There exists the Hilbert orthonormal base { ˜w j } of L2consisting of the functions ˜w j corresponding to the eigenvalue λ j such that

eigen-0 < λ1 λ2 · · · λ j · · · , lim

a( ˜w , v) = λ ˜w , v for all v ∈ H1, j = 1, 2, (2.5)

Trang 31

Furthermore, the sequence { ˜w j /

λ j } is also the Hilbert orthonormal base of H1 with respect to the scalar product a( · , ·) On the other hand, we have also ˜w j satisfying the boundary value problem

3 The existence and uniqueness theorem

We make the following assumptions:

With B and f satisfying assumptions (A3) and (A4), respectively, we introduce the

following constants, for all M > 0 and T > 0:

Trang 32

We associate with the problem (1.1)–(1.3) the following variational problem.

Find u m ∈ W1(M, T ) which satisfies the linear variational problem

Then, we have the following theorem

Theorem 1 Let (A1)–(A4) hold Then there exist positive constants M , T and the linear

recurrent sequence {u m } ⊂ W1(M, T ) defined by (3.8)–(3.10).

Proof The proof consists of several steps.

Step 1 The Galerkin approximation (introduced by Lions [15]) Consider the basis for

Trang 33

Let us suppose that u m−1satisfies (3.7) Then it is clear that system (3.12), (3.13) has

a unique solution u (k) m (t ) on an interval 0 t T (k)

m T The following estimates allow

one to take constant T m (k) = T for all m and k.

Step 2 A priori estimates Put

We shall estimate respectively the following integrals on the right-hand side of (3.19)

First integral We have

∂Y

t, u m−1(t ) 2, u m−1(t ) 2

u m−1(t ), ˙u m−1(t )+ 2∂B

Trang 34

Third integral We have

Hence, it follows after replacing w j with¨u (k)

m (t ) and integrating that t

Trang 35

By using the assumption (A2) we can deduce from (3.14), (3.15), and (3.33) that there

exists a constant M > 0, independent of k and m, such that

So we can take constant T m (k) = T for all m and k Therefore, we have

u (k) m ∈ W1(M, T ) for all m and k. (3.40)From (3.40) we can extract from{u (k) } a subsequence {u (k i )} such that

Trang 36

Then we can take limits in (3.12), (3.13) with k = k i → +∞, by (3.40)–(3.43), we have

u m satisfying (3.8)–(3.10) in L2(0, T ), weak.

On the other hand, it follows from (3.7), (3.8), and (3.44) that ¨u m = b m (t )u m + F m∈

L∞(0, T ; L2), hence u m ∈ W1(M, T ) The proof of Theorem 1 is complete. 2

Theorem 2 Let (A1)–(A4) hold Then there exist positive constants M , T satisfying (3.34), (3.36), and (3.37) such that the problem (1.1)–(1.3) has a unique weak solution

u ∈ W1(M, T ).

On the other hand, the linear recurrent sequence {u m } defined by (3.8)–(3.10) converges

to the solution u strongly in the space W1(T ) = {v ∈ L∞(0, T ; H1): ˙v ∈ L∞(0, T ; L2) }.

Furthermore, we have also the estimate

u m − u L∞(0,T ;H1) + ˙u m − ˙u L∞(0,T ;L2) Ck m

where the constant k T < 1 is defined by (3.37) and C is a constant depending only on T ,

u0, u1, and k T

Proof (a) Existence of the solution First, we note that W1(T ) is a Banach space with

respect to the norm (see [15])

v W1(T ) = v L∞(0,T ;H1) + ˙v L∞(0,T ;L2) (3.46)

We shall prove that{u m } is a Cauchy sequence in W1(T ) Let v m = u m+1− u m Then v m

satisfies the variational problem

Trang 37

On the other hand, from (3.2), (3.4), (3.7), and (3.21) we get

We also note that u m ∈ W1(M, T ), then from the sequence {u m} we can deduce a

subse-quence{u m j} such that

u m j → u in L∞(0, T ; H2

We notice that

Trang 38

F m → fx, t, u, u x , ˙u, u2, u x2

strongly in L∞(0, T ; L2). (3.64)

Then we can take limits in (3.8)–(3.10) with m = m j → +∞, we then can deduce from

(3.57)–(3.59), (3.62), and (3.64) that there exists u ∈ W(M, T ) satisfying the equation

On the other hand, we have from (3.62), (3.64), and (3.65) that

¨u = Bt, u2, u x2

u xx + fx, t, u, u x , ˙u, u2, u x2

∈ L∞(0, T ; L2) (3.67) Hence, we obtain u ∈ W1(M, T ) The existence proof is completed.

(b) Uniqueness of the solution Let u1, u2 both be weak solutions of the problem

(1.1)–(1.3) such that u i ∈ W1(M, T ), i = 1, 2 Then u = u1− u2satisfies the followingvariational problem:

Trang 39

Take v = ˙u in (3.68), we then obtain after integrating by parts

Remark 1. • In the case of B ≡ 1, f = f (t, u, u t ), f ∈ C1(R+× R2), f (t, 0, 0)= 0,

∀t 0, and the Dirichlet homogeneous condition (1.8) standing for (1.2), we have obtained

some results in the paper [4]

• In the case of the function f ∈ C1( [0, 1] × R+× R3), B≡ 1, we have also

ob-tained some results in [10] However, the result above does not use the assumption

f ∈ C1( [0, 1] × R+× R3× R2

+).

4 Asymptotic expansion of solutions

In this part, let (A1)–(A4) hold We also make the following assumptions:

(A5) B1∈ C1(R3

+), B1(t, Y, Z) 0;

(A ) f satisfy the assumption (A )

Trang 40

We consider the following perturbed problem, where ε is a small parameter, |ε| 1:

B ε (t, u2, u x2) = B(t, u2, u x2) + εB1(t, u2, u x2).

First, we note that if the functions ˜u0, ˜u1, B, B1, f , f1 satisfy the assumptions(A1)–(A6), then the a priori estimates of the Galerkin approximation sequence{u (k)

posi-i = 0, 1, stand for K i (M, T , f ) +K i (M, T , f1) and ˜ K i (M, T , B)+ ˜K i (M, T , B1), i = 0, 1,

respectively Hence, the limit u ε in suitable function spaces of the sequence {u (k)

m } as

k → +∞, afterwards m → +∞, is a unique weak solution of the problem (P ε )

satisfy-ing

Then we can prove, in a manner similar to the proof of Theorem 2, that the limit u0

in suitable function spaces of the family {u ε } as ε → 0 is a unique weak solution of the

problem (P0) corresponding to ε= 0 satisfying

Then, we have the following theorem

Theorem 3 Let (A1)–(A6) hold Then there exist constants M > 0 and T > 0 such that, for

every ε with |ε| 1, problem (P ε ) has a unique weak solution u ε ∈ W1(M, T ) satisfying

the asymptotic estimation

Định dạng
Số trang	149
Dung lượng	1,61 MB