Sử dụng phương pháp tọa độ giải bài toán khoảng cách trong hình học không gian lớp 11

Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và BC... Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC theo a... Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN theo a.. Bài

I PHẦN MỞ ĐẦU

Ứng dụng phương pháp tọa độ để giải bài toán khoảng cách trong hình học không gian lớp 11 và các đề thi đại học.

Trong chương trình toán phổ thông, môn hình học không gian trong chương trình lớp

11, đa số học sinh còn yếu về cách xác định khoảng cách giữa điểm với đường thẳng, giữa hai mặt phẳng song song hoặc giữa hai đường thẳng chéo nhau Lên lớp 12 học sinh, được học hình học giải tích trong học kỳ 2 của lớp 12 Nhằm giúp các em học sinh lớp 12 vận dụng mối quan hệ giữa hình học giải tích và hình học không gian, để giải quyết một số bài toán Đặc biệt là các bài toán tính khoảng cách trong sách giáo khoa lớp 11 hiện hành, trong các đề thi đại học, cao đẳng cũng thường xuyên xuất hiện các bài toán tính khoảng cách đó

Chẳng hạn như bài toán tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau, đây là bài toán khó, khi học sinh gặp phải thì lúng túng trong việc xác định đoạn vuông góc chung giữa hai đường thẳng đó để tính

Do đó việc ứng dụng phương pháp tọa độ để tính khoảng cách, giúp cho các em không cần xác định đoạn vuông góc chung mà vẫn tính được thông qua áp dụng công thức để có kết quả

II CƠ SỞ LÝ THUYẾT

1) Trong không gian (Oxyz)cho M x y z( ; ; ) và đường thẳng  đi qua điểm M x y z0( ; ; )0 0 0 và nhận véc tơ u( ; ; )a b c làm véc tơ chỉ phương

Khi đó khoảng cách từ điểm M x y z( ; ; ) đến đường thẳng  được tính bởi công thức:

d M( ; ) M M u0 ,

u

 

 



(trích bài toán 1 trang 100 sgk nâng cao)

2) Trong không gian (Oxyz)cho điểm M x y z0( ; ; )0 0 0 và mặt phẳng

( ) : Ax By Cz D   0

Khi đó khoảng cách từ điểm M x y z0( ; ; )0 0 0 đến mặt phẳng ( ) được tính bởi công thức:

d M( 0;( )) Ax0 2By0 2Cz02 D

3) Trong không gian (Oxyz)cho hai đường thẳng d d1, 2 chéo nhau, biết d1 đi qua điểm M1 và có vectơ chỉ phương u 1

; d2 đi qua điểm M2 và có vectơ chỉ phương u2

Khi đó khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau d d1, 2 được tính bởi công thức:

 1 2 1 2 1 2

1 2

,

;

,

d d d

u u



  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

 

(trích bài toán 2 trang 101 sgk nâng cao)

III PHƯƠNG PHÁP GIẢI:

Để giải được các bài toán hình học không gian hay bài toán khoảng cách bằng phương pháp tọa độ ta cần phải chọn hệ trục tọa độ thích hợp

Lập tọa độ các đỉnh, các điểm liên quan dựa vào độ dài các cạnh và hệ trục tọa độ đã chọn.

Ta tiến hành các bước sau:

Bước 1: Chọn hệ trục tọa độ (Oxyz) thích hợp

Bước 2: Xác định tọa độ các điểm liên quan.

Bước 3: Sử dụng các kiến thức về tọa độ để giải quyết bài toán.

IV CÁC BÀI TẬP ÁP DỤNG

1 CÁC BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA

Bài 1:(BT5 SGKCB LỚP11/121)

Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC và ADCnằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau Tam giác ABC vuông tại A có AB a AC b ,  Tam giác ADC vuông tại D có CD a Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và BC

Bài giải :

Ta có (ABC) ( ADC)và (ABC) ( ADC)AC

mà BAAC nên BA(ADC)

Mặt khác AB DC a AC b  ,   AD b2 a2

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ

Khi đó A(0;0;0),D b2 a2;0;0 ,

0;0; ;  2 2; ;0

Ta có AD b2 a2;0;0 , BC b2 a a a2; ; 

và AC b2 a a2; ;0



Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng ADvà BC là:

b a

a z

D

A

C B

 

2 2 2

2 2 2

2 2

d AD BC

 



Bài 2:(BT4 SGKCB LỚP 11/121)

Cho hình chóp S ABCD. có đáy là hình thoi ABCD cạnh a và có góc BAD  600 Gọi O là

giao điểm của hai đường chéo ACvà BD Đường thẳng SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và 3

4

a

SO  Tính khoảng cách từ O và A đến mặt phẳng (SBC)

Bài giải :

Ta có BAD là tam giác cân , có góc BAD  600

BAD

2

a

BD a AO OC  

;

2

a

OB OD  và 3

4

a

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ

Khi đó (0;0;0), ;0;0 ,

2

a

C  S 

và 0; 3;0

2

a

A  

SB   SC  

 

Mặt phẳng (SBC) đi qua 0;0;3

4

a

S 

8

3



   

làm véc tơ pháp tuyến

Phương trình mặt phẳng (SBC):3( 0) 3( 0) 2 3 0

4

a

x  y  z 

hay (SBC): 3 3 2 3 0

2

a

x y z 

Vậy khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SBC) là

3

0 0 0

3 2

8

9 3 4

a a

d O SBC

  

 

Và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) là

3

4

9 3 4

a

d A SBC

 

Bài 3: (BT30 SGKNC LỚP 11/ 117)

z

y

x

O B

A

S

60

Cho Hình lăng trụ ABC A B C ' ' ' có tất cả các cạnh đều bằng a.Góc tạo bởi cạnh bên và mặt phẳng đáy bằng 300 Hình chiếu H của điểm A trên mặt phẳng ( ' ' ')A B C thuộc đường thẳng ' '.

B C

a) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng đáy

b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AA' và B C' '

Bài giải:

Ta có H là hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng A B C' ' 'và HB C' '

Suy ra góc giữa cạnh bên AA' và A B C' ' ' là AA H ' 300

Trong tam AHA' vuông ở H Ta có 0 3

2

a

A H AA  mà A B C' ' ' đều  H là trung điểm B C' '; 0 3 1

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ

Khi đó (0;0;0), 0;0; , ' 3;0;0 , ' 0; ;0 ; ' 0; ;0

H A  A   B    C  

a) Khoảng cách giữa hai mặt phẳng ABC và A B C' ' ' là

2

a

AH 

b) Ta có ' 3;0; ; ' ' 0; ;0

và ' ' 3; ;0

A B   



2 2 3



Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng AA'và B C' ' là:

30

x

z

y

C

B

H A'

B'

C' A

30

3

0 0

( '; ' ')

4 3

' , ' '

0

a

d AA B C

A A B C

  



Bài 4: (BT32 SGKNC LỚP 11/ 117)

Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D ' ' ' ' có AB AA 'a AC, ' 2 a

a) Tính khoảng cách từ D đến mặt phẳng (ACD')

b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC' và CD'

Bài giải :

a) Ta có AB AA 'a AC, ' 2 a nên ACA C' 'a 3

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ

Khi đó A' 0;0;0 , ' ;0;0 ; ' ;  B a  C a a 2;0 ; ' 0; D  a 2;0

Và A0;0;a;C a a ; 2; ;a D 0;a 2;a

Ta có ACa a; 2;0 , AD'0;a 2;a



Mặt phẳng (ACD') đi qua A0;0;a có

1

Phương trình mặt phẳng (ACD'): 2x y  2z a 2 0

Vậy khoảng cách từ D đến mặt phẳng (ACD') là

5

  b) Ta có AC'a a; 2;a CD, '  a;0;a

và AD'0;a 2;a





Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng AC'và CD' là:

2

4 4 4

( '; ' ')

2

', '

d AA B C

a

AC CD

 



2.CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC

Bài 5: (ĐỀ THI ĐHKA 2012)

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho HA = 2HB Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) bằng 600 Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC theo a

y

x

z

C B

D

C'

B' A

Bài giải :

Gọi D là trung điểm ABta có

2

a

3

a

HB  ,

2 2

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ

Khi đó (0;0;0), ;0;0 , ; 3;0 , 2 ;0;0

H B  C  A 

và 0;0; 21

3

a

S 

SA    BC  

và AB( ;0;0)a

2 7 2 21 2 3



Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng SAvà BC là:

3

4

7

0 0

8

a

d SA BC

 

 



Bài 6: (ĐỀ THI ĐHKA 2011)

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB=BC=2a; hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC) Gọi M là trung điểm của AB; mặt phẳng qua SM và song song với BC, cắt AC tại N Biết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 600 Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN theo a.

Bài giải

Ta có (SAB)và (SAC)cùng vuông góc với (ABC)nên SA(ABC)

Mặt khác ABBC SBBC suy ra góc giữa hai mặt phẳng

(SAB)và (SAC) là SBA 600 SA AB tan 600 2a 3

Mặt phẳng qua SM song song với BC, cắt AC tại N

x

y z

D A

B

C S

H

60

/ /

 và Ntrung điểm AC và ,

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ

Khi đó A(0;0;0), (2 ;0;0),B a S0;0; 2a 3 , ( ; ;0) N a a

Ta có AB(2 ;0;0),a  SN a a a; ; 2 3

và AN ( ; ;0)a a



 

Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng ABvà SN là:

3

4 4

13

,

d AB SN

AB SN

 



Bài 7: (ĐỀ THI ĐHKA 2010)

Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Gọi M và N lần lượt là trung

điểm của các cạnh AB và AD, H là giao điểm của CN với DM Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD)và SH a 3 Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SC theo a

Bài giải

Ta có ADM DCN (c-g-c) suy ra ADM DCN DM CN tại H

Mặt khác

2

2 2

5 5 4

a



2

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ

Khi đó (0;0;0), 2 5;0;0 , 0; 5;0

H C  D 

10

a

M   S a

MD  SC a  CD 

2

2 15

2

a

 

Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SC là:

x

y z

H

N

D M

A

S

60

z

x

y

N M

A

S

4 4

19 19

15 ,

4

d DM SC

a

 



Bài 8: (ĐỀ THI ĐHKB 2011)

Cho hình lăng trụ ABCD A B C D 1 1 1 1 có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB a AD a ,  3 Hình chiếu vuông góc của A1 trên mặt phẳng (ABCD)trùng với giao điểm của ACvà BD Góc giữa hai mặt phẳng (ADD A1 1) và (ABCD)bằng 600 Tính khoảng cách từ B1 đến mặt phẳng 1

(A BD)theo a

Bài giải :

Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD Suy ra A O1 (ABCD)

Goi E là trung điểm AD OEADvà A E1 AD nên góc giữa hai mặt phẳng (ADD A1 1) và (ABCD)là  0

1 60

A EO 

3

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ Khi đó 1

3 (0;0;0), 0;0;

2

a

3

B  

D  B a 

A B     A D  

1 1

 

y z

x

E

C1

D1 B1

O

D

B

C

A

A1

60

Mặt phẳng (A BD1 ) đi qua 1

3 0;0;

2

a

A 

có vec tơ pháp tuyến là

1 1

2

2

3

Phương trình mặt phẳng (A BD1 ): 3x y 0

Vậy khoảng cách từ B1 đến mặt phẳng (A BD1 ) là ( ;(1 1 )) 3 0 3

2

3 1



V KẾT LUẬN

Vậy để tọa độ hóa các bài toán hình học không gian lớp 11, nếu các bài toán đó ta xác định được hình chiếu của một điểm hoặc của một đỉnh lên mặt phẳng đối diện của điểm hoặc đỉnh đó

Trên đây là một số bài toán ứng dụng phương pháp tọa độ , nhằm giúp cho các học sinh khối 12 làm tài liệu tham khảo, để ôn thi vào các trường đại học cao đẳng

Rất mong sự đóng góp ý kiến của quý thầy cô trong tổ toán, để chuyên đề lần sau được viết tốt hơn

Chân thành cám ơn !

Vinh Xuân, tháng 3 năm 2013

Người thực hiện

Đỗ Văn Sơn

MỤC LỤC

I. PHẦN MỞ ĐẦU trang 1

II. CƠ SỞ LÝ THUYẾT trang 1

III. PHƯƠNG PHÁP GIẢI trang 2

IV. CÁC BÀI TẬP ÁP DỤNG trang 2

1 CÁC BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA trang 2 2.CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC trang 5

V KẾT LUẬN trang 9