KINH NGHIỆM sử DỤNG THỂ TÍCH KHỐI CHÓP để GIẢI một số bài TOÁN KHOẢNG CÁCH TRONG HÌNH học KHÔNG GIAN lớp 12

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT QUẢNG XƯƠNG I SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: KINH NGHIỆM SỬ DỤNG THỂ TÍCH KHỐI CHÓP ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚ

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT QUẢNG XƯƠNG I

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM:

KINH NGHIỆM SỬ DỤNG THỂ TÍCH KHỐI CHÓP

ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 12

Người thực hiện: Nguyễn Thị Sáu Chức vụ: Giáo viên

SKKN thuộc lĩnh mực : Toán học

THANH HOÁ THÁNG 5 NĂM 2017

1– MỞ ĐẦU

1.1 Lý do chọn đề tài

Nâng cao chất lượng giáo dục đang là một yêu cầu cấp bách đối vớingành giáo dục nước ta Một trong những khâu then chốt để thực hiện yêu cầunày là đổi mới nội dung và phương pháp dạy học

Trong giai đoạn hiện nay, khi khoa học công nghệ có những bước tiến nhảy vọt,việc đào tạo những con người không chỉ nắm vững kiến thức mà còn có nănglực sáng tạo, có ý nghĩa quan trọng đối với tiềm lực khoa học kĩ thuật của đấtnước

Trong việc đổi mới phương pháp dạy học môn toán ở trường THPT, việcdạy giải bài tập toán có vai trò quan trọng vì: Dạy toán ở trường phổ thông làdạy hoạt động toán học Việc giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toánhọc, giúp học sinh phát triển tư duy, tính sáng tạo Hoạt động giải bài tập toán làđiều kiện để thực hiện các mục đích dạy toán ở trường phổ thông Dạy giải bàitập toán cho học sinh có tác dụng phát huy tính chủ động sáng tạo, phát triển tưduy, gây hứng thú học tập cho học sinh, yêu cầu học sinh có kỹ năng vận dụngkiến thức vào tình huống mới, có khả năng phát hiện và giải quyết vấn đề, cónăng lực độc lập suy nghĩ, sáng tạo trong tư duy và biết lựa chọn phương pháp

tự học tối ưu

Trong việc dạy giải bài tập Toán việc quan trọng hàng đầu là phải rènluyện kỹ năng giải Toán, phải rèn luyện cho người học cách suy nghĩ, phươngpháp giải và khả năng vận dụng kiến thức, cách hệ thống các dạng bài tập

Hơn nữa trong kì thi THPTQG phần HHKG với trọng số 1,6 điểm và thườngđược ra vào phần tính thể tích và ứng dụng của nó để tính khoảng cách Việctính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng hoặc là tính khoảng cách giữahai đường thẳng chéo nhau là một bài Toán khó

Tính khoảng cách thì chúng ta có ba con đường giải quyết:

Một là, giải quyết bằng con đường sử dụng định nghĩa tức là chúng ta đi dựngcác khoảng cách cần tính

Hai là, giải quyết bằng công cụ Tọa độ bằng cách cố gắng chuyển bài ToánHHKG sang bài Toán HH tọa độ

Ba là, giải quyết bằng con đường gián tiếp chẳng hạn như thay thế khoảng cáchtương đương, hoặc sử dụng công thức thể tích

Thực tế giảng dạy cho thấy việc dựng khoảng cách từ điểm đến một mặt phẳnghay dựng đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau là một việclàm không dễ đối với đại đa số học sinh, kể cả những em học tương đối khá.Còn việc chuyển bài Toán sang bài Toán HH tọa độ thì không phải là thuận lợicho mọi bài Toán HHKG, nó chỉ thuận lợi với một lớp các bài Toán nhất định

Để giúp học sinh khắc phục những khó khăn trên, bằng những kinh nghiệm thựctiễn dạy học và nghiên cứu của bản thân tôi thấy có thể vận dụng việc tính thểtích khối chóp để tính hai loại khoảng cách nói trên Với những lí do như trên tôilựa chọn đề tài:

P

H

“Kinh nghiệm sử dụng thể tích khối chóp để giải một số bài toán về khoảng

cách trong hình học không gian lớp 12”.

1.2 Mục đích nghiên cứu:

Đề tài này góp phần trang bị thêm cho học sinh một phần kiến thức về hình

học không gian đồng thời giúp học sinh thấy được mối liên hệ của thể tích vàkhoảng cách Giúp học sinh phát triển tư duy sáng tạo, tư duy phân tích, tổnghợp, tư duy trừ tượng, và thói quen đặt câu hỏi ngược khi giải quyết một vấn đề,nhìn nhận vấn đề dưới nhiều góc cạnh từ đó tìm phương án nhanh gọn để giảiquyết hiệu quả nhất Những yếu tố trên cũng rất cần thiết trên con đường thànhcông của mỗi học sinh trong tương lai

1.3 Đối tượng nghiên cứu:

Đề tài được áp dụng trong phần tính thể tích khối đa diện và khoảng cách

trong chương trình hình học lớp 12, học sinh ôn thi THPT Quốc gia

1.4 Phương pháp nghiên cứu:

Trên cơ sở lý thuyết cơ bản trong sách giáo khoa, trước các bài toán khoảng

cáchtrong hình học không gian tôi hướng dẫn học sinh tự đặt câu hỏi cho mỗi bàitoán có thể tính theo cách làm thông thường không, nếu làm được thì cách giảiquyết có quá khăn không.Từ đó học sinh tự tìm con đường khác để giải quyết bàitoán trên cơ sở các yếu tố có thể giải quyết đơn giản.Thông qua hệ thống câu hỏimang tính chất gợi mở vấn đề và đến cách giải quyết học, sinh có thể tự tìm cáchlàm bài toán trên những kiến thức cơ bản đã được trang bị Để học sinh tiếp cậnvấn đề tôi chia các dạng bài thành 2 dạng, hệ thống ví dụ từ dễ đến khó, trướckhi giải mỗi ví dụ có câu hỏi gợi mở phân tích để hướng học sinh tới suy nghĩtìm các giải quyết.Sau các ví dụ có lời giải là các bài tập tham khảo để học sinh

tự luyện tập

2 – NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1 Cơ sở lí luận

Để thực hiện đề tài cần dựa trên những kiến thức cơ bản sau:

2.1 1 Định nghĩa 1 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng.

+) Định nghĩa: Trong không gian cho điểm A và đường thẳng d Gọi H là hình

chiếu vuông góc của điểm A lên d Độ dài đoạn AH gọi là khoảng cách từ điểm

giữa hai đường thẳng song song d và d’

2.1 2 Định nghĩa 2 Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

+) Định nghĩa: Trong không gian cho điểm A và mặt phẳng (P) Gọi H là hình

chiếu vuông góc của điểm A lên mặt phẳng (P)

Độ dài đoạn AH gọi là khoảng cách từ

2.1 3 Định nghĩa Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

+) Định nghĩa: Trong không gian cho hai đường thẳng chéo nhau a và b

-) Đường thẳng vuông góc với

cả hai đường thẳng a và b đồng thời

cắt cả a và b gọi là đường vuông góc chung

của hai đường thẳng chéo nhau a và b

-) Gọi A  a ,B   b Đoạn thẳng AB

gọi là đoạn vuông góc chung của hai

đường thẳng chéo nhau a và b

-) Độ dài đoạn AB gọi là khoảng cách

giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b

, trong đó B là diện tích đáy khối chóp, h là chiềucao của khối chóp

Chiều cao khối chóp bằng khoảng cách từ đỉnh đến mặt đáy hình chóp

+) Thể tích khối lăng trụ V B h. , trong đó B là diện tích đáy lăng trụ, h là chiềucao của lăng trụ

Chiều cao lăng trụ bằng khoảng cách từ một đỉnh của đáy này đến đáy kia củalăng trụ và cũng bằng khoảng cách giữa hai đáy của lăng trụ

b

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Trường THPT Quảng Xương 1 là một ngôi trường dày truyền thống dạy vàhọc Nhiều năm qua trường luôn dẫn đầu trong thành tích học sinh giỏi và xếptốp đầu trong về thành tích giáo dục của tỉnh Dưới sự lãnh đạo của Ban giámhiệu, đội ngũ giáo viên luôn trăn trở tìm tòi, đổi mới phương pháp giảng dạynhằm nâng cao chất lượng giáo dục toàn diện cho học sinh Nhà trương khôngchỉ chú trọng truyền thụ tri thức mà còn phát triển tư duy cho học sinh thông quacác bài học, làm hành trang vững chắc cho các em bước vào tương lai.Tuy nhiêntrong các môn học thì hình học không gian vẫn là môn học khó đối với đại đa

số học sinh đặc biệt là học sinh trung bình và yếu.Khi giải các bài toán về hìnhhọc không gian, nếu tiến hành theo các bước cơ bản không được thì tâm lý họcsinh thường nản và bỏ qua Theo số liệu thống kê trước khi dạy đề tài này ở lớp12C5 tôi trực tiếp giảng dạy năm học 2016 - 2017 trường THPT Quảng Xương

1, kết quả như sau:

Năm học Lớp Sĩ số Số học sinh giải được trước khi thực hiện đề tài2016

Đứng trước thực trạng tên tôi nghĩ nên hướng cho các em tới một cách giảiquyết khác trên cơ sở kiến thức trong SGK Song song với việc cung cấp tri thứctôi chú trọng rèn rũa kỹ năng giải toán, phát triển tư duy cho học sinh để trên cơ

sở này học sinh không chỉ học tốt phần này mà còn làm nền tảng cho các phầnkiến thức khác

2.3 Các giải pháp tiến hành giải quyết vấn đề

Để tính khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng, khoảng cách giứu haiđường thẳng chéo nhau bất kì chúng ta có thể tính bằng cách trực tiếp hoặc dựa

vào công thức tính thể tích khối lăng trụ V B h. , Khối chóp

1 3

, Khối hộpchữ nhật V abc, …rồi suy ra khoảng cách

Sau đây ta sẽ xét một số dạng toán ứng dụng thể tích, mỗi dạng tôi đưa ramột số bài toán cơ bản và ví dụ minh hoạ, trên cơ sở lý thuyết đã có hướng dẫnhọc sinh tự đặt câu hỏi và lựa chọn cách giải đúng và ngắn gọn nhất

DẠNG 1: Sử dụng thể tích để tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Chúng ta có thể sử dụng công thức tính thể tích khối chóp để tính khoảng cách

từ một điểm đến một mặt phẳng Cơ sở của vấn đề này đó là chúng ta có thể gắnkhoảng cách cần tính với chiều cao của một khối chóp rồi sử dụng công thức

Sau đây là các ví dụ minh họa:

Ví dụ 1 ( Câu 38 – Đề minh họa lần 1 năm 2017 của Bộ GD & ĐT)

Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng 2a Tam giác

SAD cân tại S và mặt bên (SAD) vuông góc với mặt phẳng đáy Biết thể tích khối

C

8 3

D

3 4

D

SC V



theo a khoảng cách từ điểm M đến mp(AB’C).

Nhận xét: Khoảng cách từ điểm M đến mp(AB’C) bằng độ dài đường cao kẻ từ

B C BB BC a , AB'  AB2BB'2 a 2  ACB' cân tại C Lấy H là

trung điểm của AB’, ta có

+) Gọi H là giao điểm của AM và DN

Từ giả thiết ta có SH ABCDTa có

a a

bên SAB là tam giác đều và nằm

trong mặt phẳng vuông góc với đáy

Tính theo a khoảng cách từ điểm A

.

1 2

a

SD 

, hìnhchiếu vuông góc của S trên mp(ABCD) là trung điểm của cạnh AB Tính theo akhoảng cách từ điểm A đến mp(SBD)

A’.ABC.Ta có H là hình chiếu vuông góc của A’ trên mp(ABC),

'

CA C mp ABC  A CH' A H ABC' ,   60 0 Ta có

3 2

do đó AA 'C cân tại C Lấy I

là trung điểm của AA’ ta có

.Cạnh bên SA vuông góc với đáy vàSAa 2 Gọi

H là hình chiếu vuông góc của A trên SB.Tính

theo a khoảng cách từ điểm H đến mp(SCD)

2

2

Lời giải 2.

Gọi E là giao điểm của AB và CD

Lấy M là trung điểm của EC, N là

trung điểm của SE, F là trung điểm

*Kết luận.

N

M E

Như vậy việc tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng hoàn toàn có

thể sử dụng thông qua việc tính thể tích khối chóp, đồng thời trong quá trình tính khoảng cách đó chúng ta cũng có thể sử dụng kết hợp với các tính chất:

d A P OA

OB

d B P  .

- Nếu B là trung điểm của OA thì d A P , ( ) 2d B P ,( ).

DẠNG 2: Sử dụng thể tích để tính khoảng cách giữa hai đường chéo nhau

Bài Toán tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là một trong nhữngbài toán khó đối với học sinh Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéonhau ta có ba con đường: sử dụng định nghĩa, tính bằng con đường gián tiếp,hay sử dụng công thức của hình học tọa độ bằng cách chuyển bài Toán sang bàiToán Hình Học tọa độ

Như đã nói ở phần trên, việc chuyển bài Toán sang Hình Học tọa độ chỉ nên sửdụng và sử dụng tốt cho một lớp các bài Toán đặc trưng

Tính bằng cách sử dụng định nghĩa là chúng ta đi dựng đoạn vuông góc chungcủa hai đường thẳng chéo nhau rồi tính độ dài đoạn thẳng đó Tuy nhiên bằngkinh nghiệm bản thân và tìm hiểu thực tiễn cho thấy việc dựng đoạn vuông gócchung của hai đường thẳng chéo nhau chỉ được thực hiện khá dễ dàng khi haiđường thẳng đó vuông góc với nhau mà thôi Chính vì vậy mà con đường nàychỉ nên sử dụng khi hai đường thẳng chéo nhau đó là vuông góc hoặc bài toányêu cầu dựng

Vì vậy tôi muốn hướng học sinh tới một cách tính gián tiếp khác nhờ ứng dụngcủa bài toán tính thể tích tứ diện

Cơ sở của vấn đề này là bài Toán:

Bài Toán (Bài 38tr10 Bài tập HH 12 nâng cao - NXBGD 2008)

Cho tứ diện ABCD Gọi d là khoảng cách giữa

hai đường thẳng AB và CD,  là góc giữa hai

ACF BCE DAMB CANB AMBN F EC

Bài toán này có một dạng phát biểu khác như sau: Cho hai đường thẳng chéo

nhau d và d’ Đoạn thẳng AB có độ dài a trượt trên d, đoạn thẳng CD có độ dài btrượt trên d’ Chứng minh rằng khối tứ diện ABCD có thể tích không đổi (Bàitập 6 tr26 SGKHH12 - NXB GD 2008)

Vậy thể tích tứ diện bằng một phần sáu tích của một cặp cạnh đối với khoảng cách giữa hai cạnh đó và sin của góc tạo bởi hai đường thẳng chứa hai cặp cạnh đối nói trên.

Nhận xét: Với AB và CD là hai đường thẳng chéo nhau, khoảng cách giữa

chúng được cho bởi công thức

6 ,

ABCD V

d AB CD

AB CD AB CD



Vậy để tínhkhoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau AB và CD chúng ta có thể thựchiện theo các bước sau:

B1 Tính thể tích khối tứ diện ABCD

B2 Tính độ dài các đoạn thẳng AB, CD và sinAB CD, 

ABCD V

d AB CD

AB CD AB CD



, ta có khoảng cách cầntính

Theo cách tính này thì học sinh sẽ tránh được việc phải dựng hình khó khăn.Sau đây là hệ thống các ví dụ minh họa

Ví dụ 1 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, SA = h và

vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Tính khoảng cách giữa các cặp đường thẳngsau:

SBCD V

SBCD V

SABC V

Ví dụ 2 Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và

OA = OB = OC = a Gọi I là trung điểm của BC Hãy dựng đoạn vuông gócchung và tính khoảng cách giữa các cặp đường thẳng chéo nhau:

OABC V

AIOC V

SDMC V

Ta có mp qua SM song song với BC cắt

mp(ABC) theo giao tuyến qua M và song

song với BC, giao tuyến này cắt AC tại

N M là trung điểm của AB nên N là

trung điểm của AC

60 Tính khoảng cách giữa hai đườngthẳng SA và BC theo a.

SABC

,  

2 3,4

a

,3

Ví dụ 7 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A1B1C1D1 có kich thước tương ứng là

AB = 10, AD = 15, AA1 = 20 Tính khoảng cách giữa các cặp đường thẳng B1D1

Để thấy ưu điểm của phương pháp này ta so sánh các lời giải trong ví dụ sau:

Ví dụ 7 Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và

OA = OB = OC = a Gọi I là trung điểm của BC Hãy dựng đoạn vuông gócchung và tính khoảng cách giữa các cặp đường thẳng chéo nhau AI và OC

Lời giải 1 (Sử dụng định nghĩa)

Lấy J là trung điểm của OB thì IJ / /OC

do đó OC/ / AIJ  Vậy mp(AIJ) chứa AI

và song song với OC Do IJ // OC,

  IJ   AIJ  

OC OAB   OAB   OAB

Dựng OK vuông góc với AJ tại K

 

Từ K kẻ đường thẳng song song với OC

cắt AI tại E Từ E dựng đường thẳng song song

Lời giải 2 (Chuyển về tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng)

Lấy J là trung điểm của OB thì IJ / /OCdo đó OC/ / AIJ  Vậy mp(AIJ) chứa AI

và song song với OC 

AIOC V

Vậy   

5 ,

*Kết luận: Có thể sử dụng việc tính thể tích để tính khoảng cách giữa hai

đường thẳng chéo nhau.

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm

Sau khi hướng dẫn học sinh vận dụng tỉ số thể tích trong một số bài tập cụthể tôi đã tiến hành kiểm tra sự tiếp thu và khả năng áp dụng của học trò các lớpkết quả như sau

Năm học Lớp Sĩ số Số học sinh giải được trước khi thực hiện đề tài

3.2.Kiến nghị:

- Đối với nhà trường, đồng nghiệp khi giảng dạy phần hình không giannên để hướng dẫn học sinh biết phân chia và lắp ghép khối đa diện, cần đơn giảnhóa các bài toán khoảng cách bằng cách sử dụng một cách gián tiếp, cần sử dụng

mô hình hình học không gian, các phần mềm hỗ trợ vẽ hình không gian để hs dễhình dung

- Đối với Sở GD và Đào tạo: Có thể làm riêng một phần mềm tin học vềcác hình không gian theo lý thuyết và các bài toán trong sách giáo khoa để giáoviên trong tỉnh có thể sử dụng giảng dạy, giúp học sinh có thể trực quan quan sáthình từ đó các giờ dạy hình không gian sẽ thêm sinh động, tạo hứng thú học tậpcho học sinh.

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Bài tập Hình học 12 nâng cao, Văn Như Cương (Chủ biên) – Phạm Khắc Ban

-Tạ Mân, Nhà xuất bản Gáo dục

- Bài tập Hình học 12, Nguyễn Mộng Hy (Chủ biên) – Khu Quốc Anh – Trần Đức Huyên, Nhà xuất bản Giáo dục

- SGK Hình học 12, Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên) – Nguyễn Mộng Hy (Chủ biên) – Khu Quốc Anh – Trần Đức Huyên, Nhà xuất bản Giáo dục