KINH NGHIỆM sử DỤNG THỂ TÍCH KHỐI CHÓP để GIẢI một số bài TOÁN KHOẢNG CÁCH TRONG HÌNH học KHÔNG GIAN lớp 12

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT QUẢNG XƯƠNG I SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: KINH NGHIỆM SỬ DỤNG THỂ TÍCH KHỐI CHĨP ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TỐN KHOẢNG CÁCH TRONG HÌNH HỌC KHƠNG GIAN LỚP 12 Người thực hiện: Nguyễn Thị Sáu Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc lĩnh mực : Tốn học THANH HỐ THÁNG NĂM 2017 1– MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài Nâng cao chất lượng giáo dục yêu cầu cấp bách ngành giáo dục nước ta Một khâu then chốt để thực yêu cầu đổi nội dung phương pháp dạy học Trong giai đoạn nay, khoa học cơng nghệ có bước tiến nhảy vọt, việc đào tạo người không nắm vững kiến thức mà có lực sáng tạo, có ý nghĩa quan trọng tiềm lực khoa học kĩ thuật đất nước Trong việc đổi phương pháp dạy học mơn tốn trường THPT, việc dạy giải tập tốn có vai trò quan trọng vì: Dạy tốn trường phổ thơng dạy hoạt động tốn học Việc giải tốn hình thức chủ yếu hoạt động toán học, giúp học sinh phát triển tư duy, tính sáng tạo Hoạt động giải tập toán điều kiện để thực mục đích dạy tốn trường phổ thơng Dạy giải tập tốn cho học sinh có tác dụng phát huy tính chủ động sáng tạo, phát triển tư duy, gây hứng thú học tập cho học sinh, yêu cầu học sinh có kỹ vận dụng kiến thức vào tình mới, có khả phát giải vấn đề, có lực độc lập suy nghĩ, sáng tạo tư biết lựa chọn phương pháp tự học tối ưu Trong việc dạy giải tập Toán việc quan trọng hàng đầu phải rèn luyện kỹ giải Toán, phải rèn luyện cho người học cách suy nghĩ, phương pháp giải khả vận dụng kiến thức, cách hệ thống dạng tập Hơn kì thi THPTQG phần HHKG với trọng số 1,6 điểm thường vào phần tính thể tích ứng dụng để tính khoảng cách Việc tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng tính khoảng cách hai đường thẳng chéo Tốn khó Tính khoảng cách có ba đường giải quyết: Một là, giải đường sử dụng định nghĩa tức dựng khoảng cách cần tính Hai là, giải cơng cụ Tọa độ cách cố gắng chuyển Toán HHKG sang Toán HH tọa độ Ba là, giải đường gián tiếp chẳng hạn thay khoảng cách tương đương, sử dụng cơng thức thể tích Thực tế giảng dạy cho thấy việc dựng khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng hay dựng đường vuông góc chung hai đường thẳng chéo việc làm không dễ đại đa số học sinh, kể em học tương đối Còn việc chuyển Toán sang Toán HH tọa độ khơng phải thuận lợi cho Tốn HHKG, thuận lợi với lớp Toán định Để giúp học sinh khắc phục khó khăn trên, kinh nghiệm thực tiễn dạy học nghiên cứu thân tơi thấy vận dụng việc tính thể tích khối chóp để tính hai loại khoảng cách nói Với lí lựa chọn đề tài: “Kinh nghiệm sử dụng thể tích khối chóp để giải số tốn khoảng cách hình học khơng gian lớp 12” 1.2 Mục đích nghiên cứu: Đề tài góp phần trang bị thêm cho học sinh phần kiến thức hình học khơng gian đồng thời giúp học sinh thấy mối liên hệ thể tích khoảng cách Giúp học sinh phát triển tư sáng tạo, tư phân tích, tổng hợp, tư trừ tượng, thói quen đặt câu hỏi ngược giải vấn đề, nhìn nhận vấn đề nhiều góc cạnh từ tìm phương án nhanh gọn để giải hiệu Những yếu tố cần thiết đường thành công học sinh tương lai 1.3 Đối tượng nghiên cứu: Đề tài áp dụng phần tính thể tích khối đa diện khoảng cách chương trình hình học lớp 12, học sinh ơn thi THPT Quốc gia 1.4 Phương pháp nghiên cứu: Trên sở lý thuyết sách giáo khoa, trước tốn khoảng cáchtrong hình học khơng gian tơi hướng dẫn học sinh tự đặt câu hỏi cho tốn tính theo cách làm thơng thường khơng, làm cách giải có q khăn khơng.Từ học sinh tự tìm đường khác để giải toán sở yếu tố giải đơn giản.Thơng qua hệ thống câu hỏi mang tính chất gợi mở vấn đề đến cách giải học, sinh tự tìm cách làm toán kiến thức trang bị Để học sinh tiếp cận vấn đề chia dạng thành dạng, hệ thống ví dụ từ dễ đến khó, trước giải ví dụ có câu hỏi gợi mở phân tích để hướng học sinh tới suy nghĩ tìm giải quyết.Sau ví dụ có lời giải tập tham khảo để học sinh tự luyện tập – NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận Để thực đề tài cần dựa kiến thức sau: 2.1 Định nghĩa Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng +) Định nghĩa: Trong không gian cho điểm A đường thẳng d Gọi H hình chiếu vng góc điểm A lên d Độ dài đoạn AH gọi khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d d A, d) +) Kí hiệu: ( A d A, d) ≤ AM,∀M ∈ d +) Nhận xét: ( d(d, d ') = d( A, d) ,∀A ∈ d H P Nếu d’//d , d ( d , d ') kí hiệu khoảng cách hai đường thẳng song song d d’ 2.1 Định nghĩa Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng +) Định nghĩa: Trong không gian cho điểm A mặt phẳng (P) Gọi H hình chiếu vng góc điểm A lên mặt phẳng (P) Độ dài đoạn AH gọi khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P) d A,(P )) +) Kí hiệu: ( +) Nhận xét: d( A,(P )) ≤ AM,∀M ∈ (P ) A d a,(P )) = d( A,(P)) ,∀A ∈ (P) Nếu a // (P) ( , ) để kí hiệu ( khoảng cách đường thẳng a mặt phẳng (P) trường hợp chúng song song với Nếu (P) // (Q) d a,(P ) M H P d( (P),(Q)) = d( A,(Q)) = d( B,(P )) ,∀A ∈ (P ), ∀B ∈ (Q) , kí hiệu ( khoảng cách hai mặt phẳng song song (P) (Q) 2.1 Định nghĩa Khoảng cách hai đường thẳng chéo +) Định nghĩa: Trong không gian cho hai đường thẳng chéo a b -) Đường thẳng ∆ vng góc với hai đường thẳng a b đồng thời cắt a b gọi đường vng góc chung hai đường thẳng chéo a b -) Gọi A = a ∩ ∆, B = b∩ ∆ Đoạn thẳng AB a A gọi đoạn vng góc chung hai đường thẳng chéo a b -) Độ dài đoạn AB gọi khoảng cách hai đường thẳng chéo a b b +) Kí hiệu: d( a, b) d( a, b) ≤ MN , M ∈ a,N ∈ b d (P ),(Q)) để B +) Nhận xét: 2.1.4 Thể tích khối chóp khối lăng trụ V = B.h +) Thể tích khối chóp , B diện tích đáy khối chóp, h chiều cao khối chóp Chiều cao khối chóp khoảng cách từ đỉnh đến mặt đáy hình chóp +) Thể tích khối lăng trụ V = B.h , B diện tích đáy lăng trụ, h chiều cao lăng trụ Chiều cao lăng trụ khoảng cách từ đỉnh đáy đến đáy lăng trụ khoảng cách hai đáy lăng trụ * Một số công thức cần sử dụng: - Công thức hệ thức lượng tam giác vuông,công thức xác định đường cao,cơng thức hình chiếu - Cơng thức xác định đường cao hình chóp thơng qua cơng thức thể tích: d ( S , ( ABC )) = 3VS ABC S ABC 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Trường THPT Quảng Xương trường dày truyền thống dạy học Nhiều năm qua trường dẫn đầu thành tích học sinh giỏi xếp tốp đầu thành tích giáo dục tỉnh Dưới lãnh đạo Ban giám hiệu, đội ngũ giáo viên trăn trở tìm tòi, đổi phương pháp giảng dạy nhằm nâng cao chất lượng giáo dục toàn diện cho học sinh Nhà trương không trọng truyền thụ tri thức mà phát triển tư cho học sinh thông qua học, làm hành trang vững cho em bước vào tương lai.Tuy nhiên mơn học hình học khơng gian mơn học khó đại đa số học sinh đặc biệt học sinh trung bình yếu.Khi giải tốn hình học khơng gian, tiến hành theo bước khơng tâm lý học sinh thường nản bỏ qua Theo số liệu thống kê trước dạy đề tài lớp 12C5 trực tiếp giảng dạy năm học 2016 - 2017 trường THPT Quảng Xương 1, kết sau: Năm học Lớp Sĩ số Số học sinh giải trước thực đề tài 2016 12C5 47 - 2017 Đứng trước thực trạng tên nghĩ nên hướng cho em tới cách giải khác sở kiến thức SGK Song song với việc cung cấp tri thức trọng rèn rũa kỹ giải toán, phát triển tư cho học sinh để sở học sinh khơng học tốt phần mà làm tảng cho phần kiến thức khác 2.3 Các giải pháp tiến hành giải vấn đề Để tính khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng, khoảng cách giứu hai đường thẳng chéo tính cách trực tiếp dựa V = B.h vào cơng thức tính thể tích khối lăng trụ V = B.h , Khối chóp , Khối hộp chữ nhật V = abc , …rồi suy khoảng cách Sau ta xét số dạng tốn ứng dụng thể tích, dạng tơi đưa số tốn ví dụ minh hoạ, sở lý thuyết có hướng dẫn học sinh tự đặt câu hỏi lựa chọn cách giải ngắn gọn DẠNG 1: Sử dụng thể tích để tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Chúng ta sử dụng cơng thức tính thể tích khối chóp để tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Cơ sở vấn đề gắn khoảng cách cần tính với chiều cao khối chóp sử dụng cơng thức h= 3V B Sau ví dụ minh họa: tính Ví dụ (Câu 38 – Đề minh họa lần năm 2017 Bộ GD & ĐT) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy hình vng cạnh 2a Tam giác SAD cân S mặt bên (SAD) vng góc với mặt phẳng đáy Biết thể tích khối a chóp S.ABCD Tính khoảng cách h từ B đến mặt phẳng (SCD) h= a h= a h= a h= a 3 A B C D Nhận xét: Khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SCD) chiều cao hình chóp B.SCD Lời giải Chọn đáp án B Ta có h = d ( B, ( SCD ) ) = 3VB.SCD dt ( ∆SCD ) S A B H C D SH ⊥ AD ⇒ SH ⊥ ( ABCD ) Gọi H trung điểm AD, ta có: ⇒ SH đường cao hình chóp S.ABCD Ta có (gt) 1 VS ABCD = SH AB = SH 2a = a3 ⇒ SH = 2a 3 Mặt khác ABCD hình vuông nên : 1 dt ( ABCD) ⇒ VB.SCD = VS.BCD = VS ABCD = a = a 2 3 SH ⊥ ( ABCD ) ⇒ CD ⊥ SH ; CD ⊥ AD (gt) ⇒ CD ⊥ ( SAD ) ⇒ CD ⊥ SD dt (∆BCD) = Mà Tam giác SCD vuông D 1 SD.CD = SH + HD CD 2 1 1 3a = SH + AD CD = 4a + 2a a = 4 ⇒ dt ( ∆SCD ) = Mặt khác VB.SCD a 3VB.SCD = d ( B, ( SCD ) ) dt ( ∆SCD ) = a ⇒ d ( B, ( SAD ) ) = = 32 = a 3a 3 dt ( ∆SCD ) h= a Vậy Chọn đáp án B Ví dụ (BT 1.18 SBT Hình Học 12) : Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = a, BC = 2a, AA ' = a Lấy điểm M cạnh AD cho AM = 3MD Tính theo a khoảng cách từ điểm M đến mp(AB’C) Nhận xét: Khoảng cách từ điểm M đến mp(AB’C) độ dài đường cao kẻ từ M hình chóp M.AB’C Lời giải D C Ta có d ( M , ( AB ' C ) ) = 3VM AB 'C dt ( VAB ' C ) M MA 3 = ⇒ VM AB 'C = VD AB 'C Từ DA VD AB ' C = VB ' ADC = BB '.dt ( VADC ) a3 = BB ' AD.DC = 3 a a3 ⇒ VM ADC = = 4 B A 2 Ta có AC = AB + BC = a , D' C' A' B' B ' C = BB '2 + BC = a , AB ' = AB + BB '2 = a ⇒VACB ' cân C Lấy H 3a 3a CH = CA2 − AH = ⇒ dt ( VAB ' C ) = CH AB ' = 2 trung điểm AB’, ta có a3 a d ( M , ( AB ' C ) ) = 42 = 3a 2 Vậy (đvđd) Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , SA = a M N trung điểm AB CB Hình chiếu vng góc đỉnh S lên mp(ABCD) trùng với giao điểm H AN DM Tính theo a khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng (SDN) Nhận xét: Khoảng cách từ điểm H đến mp(SDN) độ dài đường cao kẻ từ H hình chóp H.SND S Lời giải d ( H , ( SND ) ) = 3VH SND dt ( VSND ) Ta có +) Gọi H giao điểm AM DN Từ giả thiết ta có SH ⊥ ( ABCD) Ta có · · · · tan ADM = tan BAN = ⇒ ADM = BAN A D H M B N C · · · ⇒ DMA + BAN = DMA + ·ADM = 900 ⇒ DM ⊥ AN ∆AMD vng A có AH a a AM.AD a ⇒ AH = = = 2 AM + AD a 1 + a ⇒ = + AH AM AD2 đường cao ∆SAH vuông H HD = AD2 − AH = ⇒ SH = SA2 − AH = a a a 3a 14 HN = AN − AH = − = , 5, 2a Ta có 1 14 3a 2a a VH SND = VS HND = SH HD.HN = a = 5 5 10 a a 13 3a DN = HD + HN = , SN = SH + HN = , SD = SH + HD = 2 2 13a 18a 5a + − 2 SN + SD − ND = 14 · Cos NSD = = SN SD a 13 3a 65 , · · sin NSD = − cos NSD = dt ( VSND ) = 193 585 1 a 13 3a 193 193 · SN SD.sin NSD = = a 2 585 10 d ( H , ( SND ) ) 3.a 7 = 10 = a 193a 965 10 (đvđd) Vậy Ví dụ (Trích đề KB - 2013) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với đáy Tính theo a khoảng cách từ điểm A đến mp(SCD) Lời giải Lấy H trung điểm AB S A ⇒ SH ⊥ ( ABCD ) D SH đường cao hình chóp S.ABCD H B C 1 a3 VA SCD = VS ACD = VS ABCD SH dt ( VABCD ) = 12 = Tính SC = a 2, SD = a ⇒VSCD cân đỉnh S Lấy I trung điểm CD, a a2 d ( A, ( SCD ) ) = a SI = ⇒ dt ( VSCD ) = (đvđd) Do tính Ví dụ (Trích đề KA,A1 – 2014) SD = 3a , hình Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, chiếu vng góc S mp(ABCD) trung điểm cạnh AB Tính theo a khoảng cách từ điểm A đến mp(SBD) Lời giải d ( A, ( SBD ) ) = 3VA.SBD dt ( VSBD ) S Ta có Từ gt ta có SH đường cao hình VA.SBD = VS ABD = VS ABCD chóp S.ABCD = SH dt ( ABCD ) Ta có HD = HA2 + AD = a , SH = SD − HD = a 2 H ⇒ VA.SBD = Tính D A a B C a BD = a 2, SA = SB = SH + HB = 2 2 SB + SD − BD 11 · · cos BSD = = ⇒ sin BSD = 2.SB.SD 5 , 2a a 11 · d ( A, ( SBD ) ) = dt ( VBSD ) = SB.SD.sin BSD = 11 (đvđd) Vậy Ví dụ (Trích đề KB - 2014) Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc A’ mp(ABC) trung điểm H cạnh AB, góc đường thẳng A’C mặt đáy 600 Tính theo a khoảng cách từ điểm B đến mp(ACC’A’) A' Lời giải Ta có d ( B, ( ACC ' A ') ) = d ( B, ( ACA ' ) ) 3VB.AA ' C = dt ( VA ' AC ) VB A ' AC = VA ' ABC B' = A ' H dt ( VABC ) Từ gt suy A’H đường cao hình chóp A C H B C' A’.ABC.Ta có H hình chiếu vng góc A’ mp(ABC), C = A ' C ∩ mp ( ABC ) ⇒ ·A ' CH = (·A ' H , ( ABC ) ) = 600 ⇒ A ' H = CH tan 600 = Ta có CH = a 3a a3 VA ' ABC = A ' H dt ( VABC ) = CH = a, AA ' = A ' H + AH = a cos 60 VAA 'C cân C Lấy I a a 15 CI = CA2 − AI = ⇒ dt ( VAA'C ) = CI AA ' = 2 trung điểm AA’ ta có 3a d ( B, ( ACC ' A ') ) = (đvđd) Vậy AC = a, A ' C = Để thấy ưu phương pháp so với phương pháp tính trực tiếp khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng ta xét ví dụ sau: Ví dụ (Trích đề KD – 2007) S Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình · · ABC = BAD = 90 , AB = BC = a, AD = 2a thang, Cạnh bên SA vng góc với đáy SA = a Gọi H hình chiếu vng góc A SB.Tính theo a khoảng cách từ điểm H đến mp(SCD) Lời giải BH ∩ ( SCD ) = S ⇒ d ( H , ( SCD ) ) = )) ( ( Ta có vng A, có AH đường cao nên d B, SCD HS BS VSAB H A I B SH SA2 SH SB = SA ⇒ = = SB SB ⇒ d ( H , ( SCD ) ) = d ( B, ( SCD ) ) VB.SCD = VS BCD = SA.dt ( VBCD ) 3 dt ( VBCD ) = dt ( ABCD ) − dt ( VABD ) = D C a2 a3 Lấy I trung điểm AD tứ giác ABIC hình vng ⇒ IC = AB = a ⇒ IC = AD ⇒VADC vuông C ⇒ CD ⊥ AC mà ⇒ VB.SCD = CD ⊥ SA ⇒ CD ⊥ ( SAC ) ⇒ CD ⊥ SC Tính d ( B, ( SCD ) ) = CD = a 2, CS = 2a 3VB.SCD a = dt ( VSCD ) Do d ( H , ( SCD ) ) = dt ( VSCD ) = CS CD = a 2 a 10 Lời giải Gọi E giao điểm AB CD Lấy M trung điểm EC, N trung điểm SE, F trung điểm AD ⇒ AB = BE = BC = a Ta có tứ giác ABCF hình vng S ⇒ AB = CF = a ∆ACF có CF = AD = a ⇒ ∆ACD H vuông C F A D ⇒ CD ⊥ CA , mà CD ⊥ AS ⇒ CD ⊥ CS N MN đường trung bình J ∆ESC ⇒ MN / / SC ⇒ MN ⊥ CD C B ∆BCE cân B BM ⊥ CE ⇒ BM ⊥ DC CD ⊥ ( BMN ) ⇒ ( BMN ) ⊥ ( SCD ) M Kẻ BJ ⊥ MN ⇒ BJ ⊥ ( SCD ) ⇒ d( B, ( SCD ) ) = BJ E Ta có NB đường trung bình tam giác SAE ⇒ NB / / SA ⇒ NB ⊥ ( ABCD ) ⇒ NB ⊥ BM ∆NBM vng B có BJ đường cao nên 1 1 a a a = + , BM = EC = , BN = SA = ⇒ BJ = 2 2 2 2 BJ BM BN d( H,( SCD) ) HS SH SA2 2a2 BH ∩ ( SCD) = S ⇒ = = = = BS d( B,( SCD) ) BS SB2 3a2 , mà ⇒ d( H,( SCD) ) = a d ( B,( SCD) ) = 3 (đvđd) So sánh hai lời giải ta thấy: Ở lời giải thứ sau chuyển việc tính ) tính khoảng cách ( ) học sinh cần khoảng cách ( sử dụng túy tính tốn biến đổi để tính mà khơng cần phải dựng khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SCD) mà cho việc dựng không đơn giản cho đa số học sinh *Kết luận d H , ( SCD ) d B, ( SCD ) 11 Như việc tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng hồn tồn sử dụng thơng qua việc tính thể tích khối chóp, đồng thời q trình tính khoảng cách sử dụng kết hợp với tính chất: - Nếu AB / / ( P ) d ( A, ( P ) ) = d ( B, ( P ) ) d( A,( P ) ) d B, P - Nếu AB ∩ ( P ) = O ( ( ) ) = OA OB d A,(P )) = 2d( B,(P )) - Nếu B trung điểm OA ( DẠNG 2: Sử dụng thể tích để tính khoảng cách hai đường chéo Bài Tốn tính khoảng cách hai đường thẳng chéo tốn khó học sinh Để tính khoảng cách hai đường thẳng chéo ta có ba đường: sử dụng định nghĩa, tính đường gián tiếp, hay sử dụng cơng thức hình học tọa độ cách chuyển Toán sang Tốn Hình Học tọa độ Như nói phần trên, việc chuyển Tốn sang Hình Học tọa độ nên sử dụng sử dụng tốt cho lớp Tốn đặc trưng Tính cách sử dụng định nghĩa dựng đoạn vuông góc chung hai đường thẳng chéo tính độ dài đoạn thẳng Tuy nhiên kinh nghiệm thân tìm hiểu thực tiễn cho thấy việc dựng đoạn vng góc chung hai đường thẳng chéo thực dễ dàng hai đường thẳng vng góc với mà thơi Chính mà đường nên sử dụng hai đường thẳng chéo vng góc tốn u cầu dựng Vì tơi muốn hướng học sinh tới cách tính gián tiếp khác nhờ ứng dụng tốn tính thể tích tứ diện Cơ sở vấn đề Toán: Bài Toán (Bài 38tr10 Bài tập HH 12 nâng cao - NXBGD 2008) Cho tứ diện ABCD Gọi d khoảng cách A hai đường thẳng AB CD, α góc hai đường thẳng Chứng minh VABCD = AB.CD.d sin α Các lời giải: Lời giải Dựng hình bình hành BCDE, ta có: B E N B Do CD // BE nên CD // mp(ABE) C ( ·AB, BE ) = ( ·AB, CD ) = α , d ( AB, CD ) = d ( CD, ( ABE ) ) = d ( D, ( ABE ) ) D A M , C F 12 E D dt ( ∆ABE ) = 1 AB.BE.sin α = AB.CD.sin α VABCD = VDABE = AB.CD.d sin α 2 Vậy Lời giải Dựng hình hộp AMBN.FDEC ngoại tiếp tứ diện ABCD Ta có d = d ( AB, CD ) = d ( ( AMBN ) , ( FDEC ) ) ( ·AB, MN ) = ( ·AB, CD ) = α , 1 VAMBN FDCE = d dt ( AMBN ) = d AB.MN sin α = d AB.CD.sin α 1 VACFD = VBCED = VDAMB = VCANB = VAMBN FDEC ⇒ VABCD = VAMBN FDEC = AB.CD.d sin α 6 , Bài tốn có dạng phát biểu khác sau: Cho hai đường thẳng chéo d d’ Đoạn thẳng AB có độ dài a trượt d, đoạn thẳng CD có độ dài b trượt d’ Chứng minh khối tứ diện ABCD tích khơng đổi (Bài tập tr26 SGKHH12 - NXB GD 2008) Vậy thể tích tứ diện phần sáu tích cặp cạnh khoảng cách hai cạnh sin góc tạo hai đường thẳng chứa hai cặp cạnh đối nói Nhận xét: Với AB CD hai đường thẳng chéo nhau, khoảng cách d ( AB, CD ) = 6VABCD AB.CD.sin ·AB, CD ( ) chúng cho cơng thức Vậy để tính khoảng cách hai đường thẳng chéo AB CD thực theo bước sau: B1 Tính thể tích khối tứ diện ABCD B2 Tính độ dài đoạn thẳng AB, CD d ( AB, CD ) = ( sin ·AB, CD ) 6VABCD AB.CD.sin ·AB, CD ( ) B3 Áp dụng công thức , ta có khoảng cách cần tính Theo cách tính học sinh tránh việc phải dựng hình khó khăn Sau hệ thống ví dụ minh họa Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng ABCD cạnh a, SA = h vng góc với mặt phẳng (ABCD) Tính khoảng cách cặp đường thẳng sau: a) SB CD b) SC BD c) SC AB S Lời giải d ( SB , CD ) = 6VSBCD · , CD SB.CD.sin SB ( Ta có Từ giả thiết ta có SA đường cao hình chóp S.ABCD ) I J H A 13 E O B C D 1 a 2h VS BCD = VS ABCD = SA.dt ( ABCD ) = 6 Tam giác SAB vuông A CD = a, SB = SA2 + AB = a + h · , CD = SB · , AB = SBA · ⇒ SB AB // CD ( ( ) ( ) SA · ⇒ sin SBA = = AB ) h a2 + h2 d SB, CD ) = a Từ ( (đvđd) d ( SC , BD ) = b) Ta có 6VSBCD · , BD SC.BD.sin SC ( ) 2 2 AC = BD = a , SC = SA + AC = h + 2a ( ) · ⇒ BD ⊥ ( SAC ) ⇒ BD ⊥ SC ⇒ sin SC , BD = sin 90 = AC ⊥ BD , SA ⊥ BD Ta có ah d( SC, BD ) = 2h + 4a2 (đvđd) Vậy 6VSABC a 2h · 2 AB.SC.sin SC , AB VSABC = VSABCD = , AB = a, SC = 2a + h c) Ta có · , CD = SCD · ⇒ ·AB, SC = SC AB// CD Ta có SA ⊥ CD, CD ⊥ AD ⇒ CD ⊥ SD SD a2 + h2 · d( AB, SC ) = ⇒ sin SCD = = SC a2 + h2 (đvđd) 2a + h Vậy d ( AB, SC ) = ( ( ) ( ( ) ) ) Ví dụ Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi vng góc với OA = OB = OC = a Gọi I trung điểm BC Hãy dựng đoạn vng góc chung tính khoảng cách cặp đường thẳng chéo nhau: a) OA BC b) AI OC Lời giải d ( OA, BC ) = a) Ta có 6VOABC · , BC OA.BC.sin OA ( ) A OA ⊥ OB   ⇒ OA ⊥ ( OBC ) OA ⊥ OC  ⇒ OA đường cao kẻ từ A tứ diện OABC 1 a3 VOABC = OA.dt ( VOBC ) = OA.OB.OC = 6 , Ta có · , BC = 900 OA ⊥ BC ⇒ OA a , BC = a = , ( OA ) E K O C F J I B 14 ( ) · , BC = ⇒ sin OA Vậy d ( AI , OC ) = c)Ta có d( OA, BC ) = OI = 6VAIOC AI OC.sin ·AI , OC ( a ) a3 OC = a, AI = OA2 + OI = a VAIOC = VOABC = 2 12 , ·AI , OC = ·AI , IJ Lấy J trung điểm OB ⇒ IJ / /OC , 2 ¶ = IA + IJ − AJ = ⇒ sin AIJ ¶ = sin ·AI , OC = sin AIJ ¶ = cos AIJ IA.IJ 6 Ta có a d( OC, AI ) = (đvđd) Vậy ( ) ( ) ( ) Ví dụ (Trích đề KA - 2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a M, N trung điểm AB AD, H giao điểm CN với MD Biết SH Z ⊥ ( ABCD ) , SH = a Tính khoảng cách DM SC theo a Lời giải Ta có d ( DM , SC ) = 6VSDMC · , SC DM SC.sin DM ( ) D C N Từ gt ta có SH đường cao hình chóp SDCM VSDMC = SH dt ( VDMC ) A H M B Do ABCD hình vng M, N trung điểm AB AD · · · · · · ⇒ ∆CDN = ∆DAM (c-g-c) ⇒ DCN = ADM ⇒ HDC + HCD = HDC + HDN = 900 a CN = a , CH = DC = 2a DM = DA + AM = CN 5, ⇒ DM ⊥ CN Ta có , 19 a2 SC = SH + HC = a dt ( VDMC ) = CH DM = , 2 ⇒ VSDMC a3 = SH dt ( VDMC ) = Từ gt SH ⊥ ( ABCD ) ⇒ SH ⊥ DM ⇒ DM ⊥ ( SHC ) ⇒ DM ⊥ SC ( ) · , SC = 900 ⇒ sin ( DM , SC ) = ⇒ DM d( DM, SC ) = 2a 19 Vậy (đvđd) Ví dụ (Trích đề KA – 2011) 15 Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vuông cân B, AB = BC = 2a, mp(SAB) (SAC) vng góc với mp(ABC) Gọi M trung điểm SBC ) ,( ABC ) ) = 60 AB, mặt phẳng qua SM song song với BC cắt AC N Biết ( ( Tính khoảng cách AB SN theo a Lời giải d ( AB, SN ) = d ( AM , SN ) = Ta có Từ gt SA ⊥ ( ABC ) 6VSAMN AM SN sin ·AM , SN ( ) nên SA đường cao hình chóp S.ABC 1 VS ABC = SA.dt ( VABC ) dt ( VABC ) = BA.BC = 2a , SA ⊥ BC ( SA ⊥ ( ABC ) ) , AB ⊥ BC ⇒ BC ⊥ SB Do Vậy BC = ( ABC ) ∩ ( SBC ) , SB ⊥ BC , S · AB ⊥ BC , SBA < 900 ( VSAB vuông ) ) ( · ⇒ SBA = (·ABC ) , ( SBC ) = 600 VSAB vuông A nên SA = AB.tan 600 = 2a Ta có mp qua SM song song với BC cắt mp(ABC) theo giao tuyến qua M song song với BC, giao tuyến cắt AC N M trung điểm AB nên N trung điểm AC D A N C M B 1 2a 3 ⇒ VSAMN = VSABC = SA.dt ( VABC ) = 2 3 2 Ta có AM = a, AC = 2a 2, AN = a 2, SN = SA + AN = a 14 Dựng hình bình hành AMND, ta có AD = MN = a, ND = AM = a, SD = SA2 + AD = a 13 NS + ND − SD 14a + a − 13a · ⇒ cos SND = = = NS ND 2.a 14.a 14 ( ) ( ) 13 13 · · , SN = sin SND · ⇒ sin SND = ⇒ sin ·AM , SN = sin DN = 14 14 2a 39 d( AB, SN ) = 13 (đvđd) Vậy Nhận xét: Ta có ( ) u r uuu r ·uuu cos ·AM , SN = cos AM , SN ( ) 16 Ví dụ (Trích đề KA,A1 - 2012) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc S mp(ABC) điểm H thuộc cạnh AB cho HA = 2HB Góc đường thẳng SC mp(ABC) 60 Tính khoảng cách hai đường thẳng SA BC theo a Lời giải 6VSABC d ( SA, BC ) = · , BC SA.BC.sin SA Ta có Từ giả thiết ta có SH đường cao hình chóp S.ABC nên a2 VSABC = SH dt ( VABC ) dt ( VABC ) = , HA = a, 3 , ( ) a CH = CA2 + AH − 2CA AH cos 60 = Do H làS hình chiếu vng góc S mp(ABC) · , ( ABC ) = 600 · C = SC ∩ ( ABC ) ⇒ SCH = SC ( a 21 ⇒ SH = CH tan 60 = Ta có ) ⇒ VSABC = BC = a, SA = SH + AH = ( ) a3 12 5a , uu r uur u r uur SA.BC ·u · , BC = cos SA cBos SA , BC = SA.BC ,C K ( ) uu r uur uu r uur uur uu r uur SA + SB − AB ( uu r uur ) uu r uur SA.BC =HSA SC − SB = SA.SC − SA.SB SA.SB = uu r uur 2 I a2 A ( uu r uur , SA.SC = ) , SA + SC − AC 2 ( ) · , BC = ⇒ sin SA · , BC = ,cos SA 5 a 42 d ( SA, BC ) = (đvđd) Vậy ⇒ SA.BC = D1 A1 Ví dụ Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A1B1C1D1 có kich thước tương ứng AB = 10, AD = 15, AA1 = 20 Tính khoảng cách cặp đường thẳng B1D1 B1 AC, AB A1C C1 Lời giải 6VD1B1BC d ( B1D1 , BC ) = · D , BC B1D1.BC.sin B 1 d( B1D1, AC ) H +) : Ta có ( ) A D 17 B C 1 VD1B1BC = D1C1.dt ( VB1BC ) = D1C1.BB1.BC · D , BC = sin B · D ,AD = A1B1.BB1.BC sin B 1 1 1 , · D A = B1 A1 = sin B 1 B1D1 Vậy d ( B1D1 , BC ) ( ( ) ( ) ) A1B1.BB1.BC = = BB1 = 20 A1B1 B1 D1.BC B1D1 (đvđd) d AB, A1C ) +) ( : d ( AB, A1C ) = ( Ta có VA1 ABC = ( 6VA1 ABC AB A C.sin ·AB, A C ), AA1 AB.BC ) ( ) AA12 + AD A1D · · · sin AB, A1C = sin A1C , CD = sin A1CD = = A1C A1C AA1 AB.BC AA1.BC 6 d ( AB, A1C ) = = = AA12 + AD AA12 + AD AB A1C A1C Vậy (đvđd) Để thấy ưu điểm phương pháp ta so sánh lời giải ví dụ sau: Ví dụ Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi vng góc với OA = OB = OC = a Gọi I trung điểm BC Hãy dựng đoạn vng góc chung tính khoảng cách cặp đường thẳng chéo AI OC A Lời giải (Sử dụng định nghĩa) Lấy J trung điểm OB IJ / /OC OC / / ( AIJ ) Vậy mp(AIJ) chứa AI song song với OC Do IJ // OC, OC ⊥ ( OAB) ⇒ IJ ⊥ ( OAB) ⇒ ( AIJ ) ⊥ ( OAB) Dựng OK vng góc với AJ K ⇒ OK ⊥ ( AIJ ) E K O C F J I B 18 Từ K kẻ đường thẳng song song với OC cắt AI E Từ E dựng đường thẳng song song với OH cắt OC F Khi EF đoạn vng góc chung AI OC, đường thẳng EF đường vng góc chung AI OC Ta có ∆AOJ vng O nên 1 a = + ⇒ OK = 2 OK OA OJ Vậy d( OC, AI ) = EF = OK = a 5 (đvđd) Lời giải (Chuyển tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng) OC / / ( AIJ ) Lấy J trung điểm OB IJ / /OC Vậy mp(AIJ) chứa AI song song với OC ⇒ d ( OC , AI ) = d ( O, ( AIJ ) ) = 3VOAIJ dt ( ∆AJI ) Ta có 1 a VOAIJ = VIOAJ = VIOAB = VCOAB = 24 , ∆AIJ vuông J (do IJ//OC, OC ⊥ ( OAB ) , a a a OI = , IJ = , AI = OA2 + OI = a AJ = OA2 + OJ = 2 2, dt ( ∆AIJ ) = a2 a a AJ.IJ = ⇒ d ( O, ( AIJ ) ) = d ( AI , OC ) = Vậy (đvđd) Lời giải 3.(sử dụng cơng thức tính thể tích tứ diện) d ( AI , OC ) = Ta có 6VAIOC AI OC.sin ·AI , OC ( ) a3 OC = a, AI = OA2 + OI = a VAIOC = VOABC = 2 12 , ·AI , OC = ·AI , IJ Lấy J trung điểm OB ⇒ IJ / /OC , 2 ¶ = IA + IJ − AJ = ⇒ sin AIJ ¶ = sin ·AI , OC = sin AIJ ¶ = cos AIJ IA.IJ 6 Ta có ( ) ( ) ( Vậy d( OC, AI ) = ) a 5 (đvđd) Nói ưu điểm tuyệt đối cách dùng thể tích để tính khoảng cách hai đường thẳng chéo so với hai cách hay dùng trước chuyển tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng dựng đường vng góc chung khơng phải mà tùy thuộc vào đặc thù toán, chẳng hạn trường hợp hai đường thẳng chéo vng góc 19 vơí việc dựng đường vng góc chung dễ dàng Tuy nhiên chắn hướng giải tốt cho tốn tính khoảng cách hai đường thẳng chéo đại đa số học sinh cách giải dễ sử dụng nhiều so với việc phải dựng đoạn vng góc chung hai đường thẳng chéo tính khoảng cách chúng *Kết luận: Có thể sử dụng việc tính thể tích để tính khoảng cách hai đường thẳng chéo 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm Sau hướng dẫn học sinh vận dụng tỉ số thể tích số tập cụ thể tiến hành kiểm tra tiếp thu khả áp dụng học trò lớp kết sau Năm học Lớp Sĩ số 2016 - 2017 12C5 47 Số học sinh giải trước thực đề tài 30 Sáng kiến kinh nghiệm mở rộng khai thác tốn khó để dạy cho đối tượng học sinh thi học sinh giỏi 3– KẾT LUẬN –KIẾN NGHỊ 3.1.Kết luận : Khi áp dụng chuyên đề vào giảng dạy học sinh mơn Tốn lớp 12C5 trường trường THPT Quảng Xương 1, nhận thấy em học sinh hứng thú với môn học, nhiều em cảm thấy bất ngờ mà số toán tưởng chừng khơng thể giải khơng có cơng cụ tỉ số thể tích, lại giải cách đơn giản, dễ hiểu Chính em cảm thấy hứng thú với mơn học nên tơi nhận thấy chất lượng mơn Tốn nói riêng, kết học tập em học sinh nói chung nâng lên rõ rệt, góp phần nâng cao chất lượng giáo dục nhà trường.Ngoài em học cách tìm tòi, khám phá tự đặt câu hỏi tìm cách giải vấn đề nhanh gọn hiệu 3.2.Kiến nghị: - Đối với nhà trường, đồng nghiệp giảng dạy phần hình khơng gian nên để hướng dẫn học sinh biết phân chia lắp ghép khối đa diện, cần đơn giản hóa toán khoảng cách cách sử dụng cách gián tiếp, cần sử dụng mơ hình hình học khơng gian, phần mềm hỗ trợ vẽ hình khơng gian để hs dễ hình dung - Đối với Sở GD Đào tạo: Có thể làm riêng phần mềm tin học hình khơng gian theo lý thuyết toán sách giáo khoa để giáo viên tỉnh sử dụng giảng dạy, giúp học sinh trực quan quan sát hình từ dạy hình khơng gian thêm sinh động, tạo hứng thú học tập cho học sinh XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hoá, ngày 15 tháng năm 2017 Tôi xin cam đoan SKKN 20 viết, khơng chép nội dung người khác Nguyễn Thị Sáu TÀI LIỆU THAM KHẢO - Bài tập Hình học 12 nâng cao, Văn Như Cương (Chủ biên) – Phạm Khắc Ban Tạ Mân, Nhà xuất Gáo dục - Bài tập Hình học 12, Nguyễn Mộng Hy (Chủ biên) – Khu Quốc Anh – Trần Đức Huyên, Nhà xuất Giáo dục - SGK Hình học 12, Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên) – Nguyễn Mộng Hy (Chủ biên) – Khu Quốc Anh – Trần Đức Huyên, Nhà xuất Giáo dục - SGK Hình Học 12 Nâng cao, Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên) – Văn Như Cương (Chủ biên) - Phạm Khắc Ban –Lê Huy Hùng - Tạ Mân, Nhà xuất Giáo dục - Phân loại phương pháp giải tốn hình học 12 tác giả Nguyễn Anh Trường - Nguyễn Phú Khánh – Nguyễn Tấn Siêng – Đậu Thanh Kỳ - Nguyễn Minh Nhiên - Tuyển tập 170 tốn Hình học không gian tác giả Võ Đại Mau 21 - Tuyển tập đề tuyển sinh Đại học – Cao đẳng 2002 – 2015 – NXB Giáo Dục - Đề thi minh họa Bộ GD & ĐT năm 2017 – Nguồn Internet 22 MỤC LỤC 1- Mở đầu trang 2- Nội dung .…………………………… trang 2.1 - Cơ sở lý luận ………………………………… trang 2.2 - Thực trạng vấn đề .……………………… trang 2.3- Các giải pháp tiến hành để giải vấn đề … trang 2.4 - Hiệu sáng kiến kinh nghiệm……… trang 18 3- Kết luận, kiến nghị………………………… trang 18 Tài liệu tham khảo……………………………………… trang 20 23 ... học nghiên cứu thân tơi thấy vận dụng việc tính thể tích khối chóp để tính hai loại khoảng cách nói Với lí tơi lựa chọn đề tài: Kinh nghiệm sử dụng thể tích khối chóp để giải số tốn khoảng cách. .. kiến kinh nghiệm Sau hướng dẫn học sinh vận dụng tỉ số thể tích số tập cụ thể tiến hành kiểm tra tiếp thu khả áp dụng học trò lớp kết sau Năm học Lớp Sĩ số 2016 - 2017 12C5 47 Số học sinh giải. .. hay sử dụng cơng thức hình học tọa độ cách chuyển Tốn sang Tốn Hình Học tọa độ Như nói phần trên, việc chuyển Tốn sang Hình Học tọa độ nên sử dụng sử dụng tốt cho lớp Toán đặc trưng Tính cách sử