KINH NGHIỆM sử DỤNG THỂ TÍCH KHỐI CHÓP để GIẢI một số bài TOÁN KHOẢNG CÁCH TRONG HÌNH học KHÔNG GIAN lớp 12

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT QUẢNG XƯƠNG I SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: KINH NGHIỆM SỬ DỤNG THỂ TÍCH KHỐI CHĨP ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TỐN KHOẢNG CÁCH TRONG HÌNH HỌC KHƠNG GIAN LỚP 12 Người thực hiện: Nguyễn Thị Sáu Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc lĩnh mực : Tốn học THANH HỐ THÁNG NĂM 2017 1– MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài Nâng cao chất lượng giáo dục yêu cầu cấp bách ngành giáo dục nước ta Một khâu then chốt để thực yêu cầu đổi nội dung phương pháp dạy học Trong giai đoạn nay, khoa học cơng nghệ có bước tiến nhảy vọt, việc đào tạo người không nắm vững kiến thức mà cịn có lực sáng tạo, có ý nghĩa quan trọng tiềm lực khoa học kĩ thuật đất nước Trong việc đổi phương pháp dạy học mơn tốn trường THPT, việc dạy giải tập tốn có vai trị quan trọng vì: Dạy tốn trường phổ thơng dạy hoạt động tốn học Việc giải tốn hình thức chủ yếu hoạt động toán học, giúp học sinh phát triển tư duy, tính sáng tạo Hoạt động giải tập toán điều kiện để thực mục đích dạy tốn trường phổ thơng Dạy giải tập tốn cho học sinh có tác dụng phát huy tính chủ động sáng tạo, phát triển tư duy, gây hứng thú học tập cho học sinh, yêu cầu học sinh có kỹ vận dụng kiến thức vào tình mới, có khả phát giải vấn đề, có lực độc lập suy nghĩ, sáng tạo tư biết lựa chọn phương pháp tự học tối ưu Trong việc dạy giải tập Toán việc quan trọng hàng đầu phải rèn luyện kỹ giải Toán, phải rèn luyện cho người học cách suy nghĩ, phương pháp giải khả vận dụng kiến thức, cách hệ thống dạng tập Hơn kì thi THPTQG phần HHKG với trọng số 1,6 điểm thường vào phần tính thể tích ứng dụng để tính khoảng cách Việc tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng tính khoảng cách hai đường thẳng chéo Tốn khó Tính khoảng cách có ba đường giải quyết: Một là, giải đường sử dụng định nghĩa tức dựng khoảng cách cần tính Hai là, giải cơng cụ Tọa độ cách cố gắng chuyển Toán HHKG sang Toán HH tọa độ Ba là, giải đường gián tiếp chẳng hạn thay khoảng cách tương đương, sử dụng cơng thức thể tích Thực tế giảng dạy cho thấy việc dựng khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng hay dựng đường vuông góc chung hai đường thẳng chéo việc làm không dễ đại đa số học sinh, kể em học tương đối Còn việc chuyển Toán sang Toán HH tọa độ khơng phải thuận lợi cho Tốn HHKG, thuận lợi với lớp Toán định Để giúp học sinh khắc phục khó khăn trên, kinh nghiệm thực tiễn dạy học nghiên cứu thân tơi thấy vận dụng việc tính thể tích khối chóp để tính hai loại khoảng cách nói Với lí lựa chọn đề tài: “Kinh nghiệm sử dụng thể tích khối chóp để giải số tốn khoảng cách hình học khơng gian lớp 12” 1.2 Mục đích nghiên cứu: Đề tài góp phần trang bị thêm cho học sinh phần kiến thức hình học khơng gian đồng thời giúp học sinh thấy mối liên hệ thể tích khoảng cách Giúp học sinh phát triển tư sáng tạo, tư phân tích, tổng hợp, tư trừ tượng, thói quen đặt câu hỏi ngược giải vấn đề, nhìn nhận vấn đề nhiều góc cạnh từ tìm phương án nhanh gọn để giải hiệu Những yếu tố cần thiết đường thành công học sinh tương lai 1.3 Đối tượng nghiên cứu: Đề tài áp dụng phần tính thể tích khối đa diện khoảng cách chương trình hình học lớp 12, học sinh ơn thi THPT Quốc gia 1.4 Phương pháp nghiên cứu: Trên sở lý thuyết sách giáo khoa, trước tốn khoảng cáchtrong hình học khơng gian tơi hướng dẫn học sinh tự đặt câu hỏi cho tốn tính theo cách làm thơng thường khơng, làm cách giải có q khăn khơng.Từ học sinh tự tìm đường khác để giải toán sở yếu tố giải đơn giản.Thơng qua hệ thống câu hỏi mang tính chất gợi mở vấn đề đến cách giải học, sinh tự tìm cách làm toán kiến thức trang bị Để học sinh tiếp cận vấn đề chia dạng thành dạng, hệ thống ví dụ từ dễ đến khó, trước giải ví dụ có câu hỏi gợi mở phân tích để hướng học sinh tới suy nghĩ tìm giải quyết.Sau ví dụ có lời giải tập tham khảo để học sinh tự luyện tập – NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận Để thực đề tài cần dựa kiến thức sau: 2.1 Định nghĩa Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng +) Định nghĩa: Trong không gian cho điểm A đường thẳng d Gọi H hình chiếu vng góc điểm A lên d Độ dài đoạn AH gọi khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d d A, d +) Kí hiệu: A +) Nhận xét: d A, d AM , M d Nếu d’//d d(d, d ') d A, d , A d, H P d(d, d') kí hiệu khoảng cách hai đường thẳng song song d d’ 2.1 Định nghĩa Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng +) Định nghĩa: Trong không gian cho điểm A mặt phẳng (P) Gọi H hình chiếu vng góc điểm A lên mặt phẳng (P) Độ dài đoạn AH gọi khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P) +) Kí hiệu: d A,(P) A +) Nhận xét: d A,(P ) AM , M (P) Nếu a // (P) d a,(P ) d A,(P ) , A (P) , d a,(P) kí hiệu để mặt phẳng (P) trường hợp M khoảng cách đường thẳng a H P chúng song song với Nếu (P) // (Q) d (P ),(Q) d A,(Q) d B,(P ) , A (P ), B (Q) , kí hiệu d (P ),(Q) khoảng cách hai mặt phẳng song song (P) (Q) 2.1 Định nghĩa Khoảng cách hai đường thẳng chéo +) Định nghĩa: Trong không gian cho hai đường thẳng chéo a b -) Đường thẳng vng góc với hai đường thẳng a b đồng thời cắt a b gọi đường vng góc chung hai đường thẳng chéo a b A a ,B b a -) Gọi Đoạn thẳng AB A gọi đoạn vng góc chung hai đường thẳng chéo a b -) Độ dài đoạn AB gọi khoảng cách hai đường thẳng chéo a b b d a, b B +) Kí hiệu: +) Nhận xét: d a, b để MN , M a, N b 2.1.4 Thể tích khối chóp khối lăng trụ V B.h +) Thể tích khối chóp , B diện tích đáy khối chóp, h chiều cao khối chóp Chiều cao khối chóp khoảng cách từ đỉnh đến mặt đáy hình chóp V B.h +) Thể tích khối lăng trụ , B diện tích đáy lăng trụ, h chiều cao lăng trụ Chiều cao lăng trụ khoảng cách từ đỉnh đáy đến đáy lăng trụ khoảng cách hai đáy lăng trụ * Một số công thức cần sử dụng: - Công thức hệ thức lượng tam giác vuông,công thức xác định đường cao,cơng thức hình chiếu - Cơng thức xác định đường cao hình chóp thơng qua cơng thức thể V S ABC d( S ,( ABC ))= tích: S ABC 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Trường THPT Quảng Xương trường dày truyền thống dạy học Nhiều năm qua trường dẫn đầu thành tích học sinh giỏi xếp tốp đầu thành tích giáo dục tỉnh Dưới lãnh đạo Ban giám hiệu, đội ngũ giáo viên trăn trở tìm tịi, đổi phương pháp giảng dạy nhằm nâng cao chất lượng giáo dục toàn diện cho học sinh Nhà trương không trọng truyền thụ tri thức mà phát triển tư cho học sinh thông qua học, làm hành trang vững cho em bước vào tương lai.Tuy nhiên mơn học hình học khơng gian mơn học khó đại đa số học sinh đặc biệt học sinh trung bình yếu.Khi giải tốn hình học khơng gian, tiến hành theo bước khơng tâm lý học sinh thường nản bỏ qua Theo số liệu thống kê trước dạy đề tài lớp 12C5 trực tiếp giảng dạy năm học 2016 - 2017 trường THPT Quảng Xương 1, kết sau: Năm học Lớp Sĩ số Số học sinh giải trước thực đề tài 2016 12C5 47 - 2017 Đứng trước thực trạng tên nghĩ nên hướng cho em tới cách giải khác sở kiến thức SGK Song song với việc cung cấp tri thức trọng rèn rũa kỹ giải toán, phát triển tư cho học sinh để sở học sinh không học tốt phần mà làm tảng cho phần kiến thức khác 2.3 Các giải pháp tiến hành giải vấn đề Để tính khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng, khoảng cách giứu hai đường thẳng chéo tính cách trực tiếp dựa vào cơng thức tính thể tích khối lăng trụ chữ nhật V abc V B.h V , Khối chóp B.h , Khối hộp , …rồi suy khoảng cách Sau ta xét số dạng toán ứng dụng thể tích, dạng tơi đưa số tốn ví dụ minh hoạ, sở lý thuyết có hướng dẫn học sinh tự đặt câu hỏi lựa chọn cách giải ngắn gọn DẠNG 1: Sử dụng thể tích để tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Chúng ta sử dụng cơng thức tính thể tích khối chóp để tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Cơ sở vấn đề gắn khoảng cách cần tính với chiều cao khối chóp sử dụng cơng thức h V tính B Sau ví dụ minh họa: Ví dụ (Câu 38 – Đề minh họa lần năm 2017 Bộ GD & ĐT) 2a Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy hình vng cạnh Tam giác SAD cân S mặt bên (SAD) vng góc với mặt phẳng đáy Biết thể tích khối 4 a3 chóp S.ABCD h 2a A h Tính khoảng cách h từ B đến mặt phẳng (SCD) 4a h B 8a h C 3a D Nhận xét : Khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SCD) chiều cao hình chóp B.SCD Lời giải Chọn đáp án B 3V B.SCD h d B, SCD dt SCD Ta có S A B H C D SH AD SH Gọi H trung điểm AD, ta có: SH đường cao hình chóp S.ABCD Ta có VS ABCD SH AB SH 2a a ABCD (gt) SH 2a Mặt khác ABCD hình vng nên : dt ( BC D) dt ( ABC D) V V 1V B.SCD S.BCD 2 S.ABCD SH ABCD C D SH ; CD AD (gt) CD SAD a a3 23 CD SD Mà Tam giác SCD vuông D SD.CD SH HD2 CD 2 AD2 CD a 2 a a 3a2 4 dt SCD SH 2 Mặt khác V B.SCD d 3V B , SC D dt SC D 3 a d B , SAD B.SCD dt SCD a3 3a a h 4a Chọn đáp án B Vậy Ví dụ (BT 1.18 SBT Hình Học 12) : Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB a , BC a , AA ' a Lấy điểm M cạnh AD cho AM 3MD Tính theo a khoảng cách từ điểm M đến mp(AB’C) Nhận xét: Khoảng cách từ điểm M đến mp(AB’C) độ dài đường cao kẻ từ M hình chóp M.AB’C Lời giải Ta có d M , AB ' Cdt 3V AB'C M AB'C M A Từ 3V DA V M AB'C V D.AB'C B' ADC BB ' AD.DC 3V a3 D.AB'C BB '.dt ADC 63 V M ADC Ta có B'C a a3 4 AC AB BC a , BB '2 BC2 a , AB ' trung điểm AB’, ta có d M , AB ' C CH a a 3a 2 AB2 BB '2 a C AH A ACB ' 3a dt AB ' C cân C Lấy H CH.AB ' 3a2 2 Vậy (đvđd) Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA = a M N trung điểm AB CB Hình chiếu vng góc đỉnh S lên mp(ABCD) trùng với giao điểm H AN DM Tính theo a khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng (SDN) Nhận xét: Khoảng cách từ điểm H đến mp(SDN) độ dài đường cao kẻ từ H hình chóp H.SND Lời giải Ta có d H , SND dt SND 3V H SND +) Gọi H giao điểm AM DN SH ABCD Từ giả thiết ta có Ta có tan ADM tanBAN ADM BAN DMA BAN DMA ADM 900 DM AN AMD vng A có AH a AM.AD AH đường cao AM2 AD2 1 AH AM AD2 SH SA SAH vuông H HD AD AH V V H SND DN 13a AH HD HN a a , NSD 3a a a3 a 14 3a a 18 a 5a2 a 13 3a 2 , 5 10 a 13 ,SD SH2 HD2 14 65 585 1a 13 SN SD sin NSD 3.a a d H , SND a5 193 cos HN AN AH 25 ,SNSH2 HN2 SN SD2 ND2 2SN.SD sin NSD dt SND Ta có CosNSD a 2a SH HD.HN S.HND a2 4a 14 a 3a 585 193a 10 193 965 Vậy (đvđd) Ví dụ (Trích đề KB - 2013) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với đáy Tính theo a khoảng cách từ điểm A đến mp(SCD) Lời giải Lấy H trung điểm AB SH ABCD SH đường cao hình chóp S.ABCD 193 10 a 3a 5, V 1V V A SCD S ACD S.ABCD =6 Tính SC a SH dt ABCD SCD 2, SD a a3 12 cân đỉnh S Lấy I trung điểm CD, SI a a dt SCD tính Ví dụ (Trích đề KA,A1 – 2014) Do d A, SCD a (đvđd) SD 3a Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, , hình chiếu vng góc S mp(ABCD) trung điểm cạnh AB Tính theo a khoảng cách từ điểm A đến mp(SBD) Lời giải Ta có d A, SBD dt SBD 3V A SBD Từ gt ta có SH đường cao hình V V 1V chóp S.ABCD SH dt ABCD Ta A.SBD S.ABD S.ABCD a có HD HA AD2 , SH SD HD a Tính BD a 2, SA SB V a3 A SBD SH HB2 SB SD2 BD2 cosBSD a 2.SB.SD 35 11 sin BSD a2 11 Vậy SB.SD sin BSD dt BSD 35, 2a d A, SBD 11 (đvđd) Ví dụ (Trích đề KB - 2014) Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc A’ mp(ABC) trung điểm H cạnh AB, góc đường thẳng A’C mặt đáy 600 Tính theo a khoảng cách từ điểm B đến mp(ACC’A’) Lời giải Ta có d B , ACC ' A ' dt A' AC 3V B.AA'C d B, ACA ' V B.A' AC V A'.ABC3 A' H.dt ABC Từ gt suy A’H đường cao hình chóp a2 VB SCD a3 vuông CD SA Lấy I trung điểm AD tứ giác ABIC hình IC AB a IC AD CD SAC ADC vuông CD C CD AC mà SC CD a 2, CS 2a Tính d B , SCD dt 3V B.SCD SCD a Do dt SCD CS CD a2 2 d H , SCDa3 Lời giải Gọi E giao điểm AB CD Lấy M trung điểm EC, N trung điểm SE, F trung điểm AD AB BE BC a Ta có tứ giác ABCF hình vng AB CF a CF ACF có S AD a ACD H vuông C F D A N CD CA , mà CD AS CD CS J MN đường trung bình ESC MN / /SC MN CD B C M BCE cân B BM CD BMN CE BM DC BMN SCD E Kẻ BJ MN BJ SCD d B, SCD BJ Ta có NB đường trung bình tam giác SAE NB / /SA NB ABCD NB BM BJ , BM EC 2 BM BN BH SCD S d H, SCD d B, SCD d H, SCD d B, SCD NBM vng B có BJ đường cao nên a , BN SA HS BS a2 BJ a 2 SH SA , mà BS SB 2 2 2a 3a a (đvđd) So sánh hai lời giải ta thấy: Ở lời giải thứ sau chuyển việc tính d H , SCD d B , SCD khoảng cách tính khoảng cách học sinh cần sử dụng túy tính tốn biến đổi để tính mà khơng cần phải dựng khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SCD) mà cho việc dựng không đơn giản cho đa số học sinh *Kết luận 10 Như việc tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng hồn tồn sử dụng thơng qua việc tính thể tích khối chóp, đồng thời q trình tính khoảng cách sử dụng kết hợp với tính chất: - Nếu AB / / P d - Nếu AB A, P dB,P d A, P OA P O d B, P - Nếu B trung điểm OA O B d A,(P ) 2d B,(P) DẠNG 2: Sử dụng thể tích để tính khoảng cách hai đường chéo Bài Tốn tính khoảng cách hai đường thẳng chéo tốn khó học sinh Để tính khoảng cách hai đường thẳng chéo ta có ba đường: sử dụng định nghĩa, tính đường gián tiếp, hay sử dụng cơng thức hình học tọa độ cách chuyển Tốn sang Tốn Hình Học tọa độ Như nói phần trên, việc chuyển Tốn sang Hình Học tọa độ nên sử dụng sử dụng tốt cho lớp Tốn đặc trưng Tính cách sử dụng định nghĩa dựng đoạn vng góc chung hai đường thẳng chéo tính độ dài đoạn thẳng Tuy nhiên kinh nghiệm thân tìm hiểu thực tiễn cho thấy việc dựng đoạn vng góc chung hai đường thẳng chéo thực dễ dàng hai đường thẳng vng góc với mà thơi Chính mà đường nên sử dụng hai đường thẳng chéo vng góc tốn u cầu dựng Vì tơi muốn hướng học sinh tới cách tính gián tiếp khác nhờ ứng dụng tốn tính thể tích tứ diện Cơ sở vấn đề Toán: Bài Toán (Bài 38tr10 Bài tập HH 12 nâng cao - NXBGD 2008) Cho tứ diện ABCD Gọi d khoảng cách hai đường thẳng AB CD, góc hai đường thẳng Chứng minh V ABCD AB.CD.d sin Các lời giải: Lời giải Dựng hình bình hành BCDE, ta có: Do CD // BE nên CD // mp(ABE) AB, BEAB,CD, d AB , C D d C D, ABE d D , ABE , 11 dt ABE AB.BE.sin AB.CD.sin Vậy V ABC D VDABE AB CD.d sin Lời giải Dựng hình hộp AMBN.FDEC ngoại tiếp tứ diện ABCD Ta có d d AB , C D d AB, MNAB,CD AMBN , F DEC V AMBN F DCE d dt AMBN , d AB.MN sin d AB.CD.sin V ACF D V BCED V DAMB V CANB V AMBN FDEC , V ABC D V AMBN FDEC AB.CD.d sin Bài tốn có dạng phát biểu khác sau: Cho hai đường thẳng chéo d d’ Đoạn thẳng AB có độ dài a trượt d, đoạn thẳng CD có độ dài b trượt d’ Chứng minh khối tứ diện ABCD tích khơng đổi (Bài tập tr26 SGKHH12 - NXB GD 2008) Vậy thể tích tứ diện phần sáu tích cặp cạnh khoảng cách hai cạnh sin góc tạo hai đường thẳng chứa hai cặp cạnh đối nói Nhận xét: Với AB CD hai đường thẳng chéo nhau, khoảng cách 6V d AB , CD ABCD AB.CD sin AB , CD Vậy để tính chúng cho cơng thức khoảng cách hai đường thẳng chéo AB CD thực theo bước sau: B1 Tính thể tích khối tứ diện ABCD B2 Tính độ dài đoạn thẳng AB, CD sin AB , CD d AB , CD 6V ABCD AB.CD sin AB , CD , ta có khoảng cách cần B3 Áp dụng cơng thức tính Theo cách tính học sinh tránh việc phải dựng hình khó khăn Sau hệ thống ví dụ minh họa Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng ABCD cạnh a, SA = h vng góc với mặt phẳng (ABCD) Tính khoảng cách cặp đường thẳng sau: a) SB CD Lời giải d SB , CD b) SC BD c) SC AB 6V SBCD SB.CD sin SB , CD Ta có Từ giả thiết ta có SA đường cao hình chóp S.ABCD 12 1V V S.BCD a2h SA.dt ABCD S.ABCD 6 Tam giác SAB vuông A CD a , SB SA AB a2 h2 AB // CD SB,CD SB, AB SBA SA h sin SBA AB a Từ d SB , CD a2 h2 (đvđd) d SC , BD 6V SBCD SC BD sin SC , BD b) Ta có SA AC AC BD a , SC h 2a2 BD SAC BD Ta có AC BD , SA BD ah Vậy d SC, BD 2h2 4a2 (đvđd) 6V d AB , SC SABC AB.SC sin SC , AB c) Ta có AB a , SC a V SABC V SABCD , h AB// CD AB, SC SC,CD SCD SA CD,CD sin SCD AD CD SD d AB, SC a2h S D SC Ta có a h2 2a h2 Vậy a2 h2 (đvđd) Ví dụ Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi vng góc với OA = OB = OC = a Gọi I trung điểm BC Hãy dựng đoạn vng góc chung tính khoảng cách cặp đường thẳng chéo nhau: a) OA BC b) AI OC Lời giải 6V d OA, BC OA BC sin OA, BC a) Ta có OA OB OABC OA OBC OA OC OA đường cao kẻ từ A tứ diện OABC V Ta có OABC OA.dt OBC a3 OA.OB.OC 6, 13 OA BC 90 = a , BC a , OA sin a d OA, BC OI OA, BC Vậy d AI , OC AIOC AI OC sin AI c)Ta có V 6V Va OC a , AI OA , OC OI a , OABC 12 AIOC Lấy J trung điểm OB IA IJ2 AJ2 cos AIJ 2IA.IJ Ta có Vậy d OC, AI AI ,OCAI,IJ IJ//OC, sin AIJ sin AI , OC sin AIJ a5 (đvđd) Ví dụ (Trích đề KA - 2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a M, N trung điểm AB AD, H giao điểm CN với MD Biết SH ABCD , SH a Tính khoảng cách DM SC theo a Lời giải Ta có 6V d DM , SC SDMC DM SC sin DM , SC Từ gt ta có SH đường cao hình chóp SDCM VSDMC SH dt DMC Do ABCD hình vng M, N trung điểm AB AD CDN DAM (c-g-c) DCN ADM HDC HCD HDC HDN 90 DM CN Ta SC SH V SDMC DM có HC DM a DA 19 dt DMC , a3 SH dt DMC SHC DM AM a , CH a 2 , CN DC CN 2a 5, a2 CH DM SH DM Từ gt SH ABCD SC 14 2a sin DM , SC DM,SC 90 Vậy d DM , SC 19 (đvđd) Ví dụ (Trích đề KA – 2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vng cân B, AB = BC = 2a, mp(SAB) (SAC) vng góc với mp(ABC) Gọi M trung điểm SBC , ABC 600 AB, mặt phẳng qua SM song song với BC cắt AC N Biết Tính khoảng cách AB SN theo a Lời giải 6V d AB , SN d AM , SN SAMN AM SN sin AM , SN Ta có Từ gt VS ABC Do SA Vậy BC AB ABC SA nên SA đường cao hình chóp S.ABC SA.dt ABC , dt ABC BC SA 2 BA.BC 2a ABC , AB ABC SBC , SB BC BC SB BC, BC , SBA 90 SAB vuông SBA ABC , SBC 600 SAB vuông A nên SA AB tan 600 2a Ta có mp qua SM song song với BC cắt mp(ABC) theo giao tuyến qua M song song với BC, giao tuyến cắt AC N M trung điểm AB nên N trung điểm AC 1V V SAMN 1 2a3 SA.dt ABC SABC 23 Ta có AM a , AC 2a 2, AN a SA2 AN a 14 2,SN Dựng hình bình hành AMND, ta có AD MN a , ND AM a , SD NS ND2 SD2 cosSND 2NS.ND SA2 AD2 a 13 14a a 13a2 2.a 14.a 14 13 sin SND 14 sin AM , SN sin DN 13 , SN sin SND 14 15 d AB, SN 2a 39 Vậy 13 (đvđd) cos AM , SN cos AM , SN Nhận xét: Ta có Ví dụ (Trích đề KA,A1 - 2012) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc S mp(ABC) điểm H thuộc cạnh AB cho HA = 2HB Góc đường thẳng SC mp(ABC) 600 Tính khoảng cách hai đường thẳng SA BC theo a Lời giải 6V d SA, BC SABC SA BC sin Ta có SA, BC Từ giả thiết ta có SH đường cao hình chóp S.ABC nên 3, HA V SH dt ABC dt ABC a, a SABC , CA AH CH 2CA AH.cos 600 a Do H hình chiếu vng góc S mp(ABC) C SC ABCSCH SC , ABC60 SH CH.tan 60 a 21 V a SABC 12 BC a , SA SH 5a AH2 Ta có SA BC cos SA, BC cos SA, BC SA BC SA.BC SA SC SB SA.SC SA.SB SA SB2 AB2 SA.SB d SA, BC Vậy , a2 SA BC , SA SC2 AC2 ,SA.SC 3, , cos SA, BC a sin SA, BC 42 (đvđd) 16 Ví dụ Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A1B1C1D1 có kich thước tương ứng AB = 10, AD = 15, AA1 = 20 Tính khoảng cách cặp đường thẳng B1D1 AC, AB A1C Lời giải 6V d B1 D1 , BC +) d B1D1 , AC : Ta có DBBC 11 1 B1 D1 BC sin B1D1, BC D C dt B BC V D B BC D C BB BC 1 1 A1 B1 BB1 BC ,sin B1D1,BC sin B1D1, A1D1 BA 1 BDA sin B D Vậy d BD,BC 1 1 1 1 A B BB BC 1 BB 20 B D BC A B 1 1 BD (đvđd) 1 +) d AB, A1C : 6V A ABC d AB , A1C Ta có V A ABC AB A1C sin AB , A1C , AA AB.BC 1 AA12 AD2 A D sin AB, A1C sin A1C , CD sin A1CD A1C AA AB.BC d AB , A1C A1C AA1.BC AB.A1C AA12 AD2 AA12 AD2 Vậy (đvđd) A1C Để thấy ưu điểm phương pháp ta so sánh lời giải ví dụ sau: Ví dụ Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi vng góc với OA = OB = OC = a Gọi I trung điểm BC Hãy dựng đoạn vng góc chung tính khoảng cách cặp đường thẳng chéo AI OC Lời giải (Sử dụng định nghĩa) Lấy J trung điểm OB OC / / AIJ IJ / /OC Vậy mp(AIJ) chứa AI 17 song song với OC Do IJ // OC, OC OAB IJ OAB OAB AIJ Dựng OK vng góc với AJ K OK AIJ Từ K kẻ đường thẳng song song với OC cắt AI E Từ E dựng đường thẳng song song với OH cắt OC F Khi EF đoạn vng góc chung AI OC, đường thẳng EF đường AOJ vng góc chung AI OC Ta có vng O nên OK OK a 5 OA OJ d OC, AI EF OK a5 Vậy (đvđd) Lời giải (Chuyển tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng) IJ / /OC OC / / AIJ Lấy J trung điểm OB Vậy mp(AIJ) chứa AI song song với OC V d O, AIJdt d OC , AI 1V V OAIJ IOAJ 1V IOAB a a , IJ , AI OI dt AIJ AJ.IJ 24 , OA OI a2 AJI Ta có OAIJ a3 COAB 3V AIJ vuông a , AJ d O, J (do IJ//OC, OC OA2 OJ2 a , d AI,OC a AIJa 5 Vậy OAB (đvđd) Lời giải 3.(sử dụng công thức tính thể tích tứ diện) 6V d AI,OC AI OC sin Ta có V AIOC AIOC V OABC a3 OC a , AI AI,OC OA a 12 , IJ / /OC Lấy J trung điểm OB , 2 IA IJ AJ 2IA.IJ Ta có cos AIJ OI sin AIJ AI,OC AI,IJ sin AI,OC sin AIJ 18 Vậy d OC, AI a 5 (đvđd) Nói ưu điểm tuyệt đối cách dùng thể tích để tính khoảng cách hai đường thẳng chéo so với hai cách hay dùng trước chuyển tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng dựng đường vuông góc chung khơng phải mà cịn tùy thuộc vào đặc thù toán, chẳng hạn trường hợp hai đường thẳng chéo vuông góc vơí việc dựng đường vng góc chung dễ dàng Tuy nhiên chắn hướng giải tốt cho tốn tính khoảng cách hai đường thẳng chéo đại đa số học sinh cách giải dễ sử dụng nhiều so với việc phải dựng đoạn vng góc chung hai đường thẳng chéo tính khoảng cách chúng *Kết luận: Có thể sử dụng việc tính thể tích để tính khoảng cách hai đường thẳng chéo 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm Sau hướng dẫn học sinh vận dụng tỉ số thể tích số tập cụ thể tiến hành kiểm tra tiếp thu khả áp dụng học trò lớp kết sau Năm học Lớp Sĩ số 2016 - 2017 12C5 47 Số học sinh giải trước thực đề tài 30 Sáng kiến kinh nghiệm mở rộng khai thác tốn khó để dạy cho đối tượng học sinh thi học sinh giỏi 3– KẾT LUẬN –KIẾN NGHỊ 3.1.Kết luận : Khi áp dụng chuyên đề vào giảng dạy học sinh mơn Tốn lớp 12C5 trường trường THPT Quảng Xương 1, nhận thấy em học sinh hứng thú với môn học, nhiều em cảm thấy bất ngờ mà số tốn tưởng chừng khơng thể giải khơng có cơng cụ tỉ số thể tích, lại giải cách đơn giản, dễ hiểu Chính em cảm thấy hứng thú với môn học nên nhận thấy chất lượng mơn Tốn nói riêng, kết học tập em học sinh nói chung nâng lên rõ rệt, gop phân nâng cao chât lương giao duc cua nha trương.Ngồi em học cách tìm tòi, khám phá tự đặt câu hỏi tìm cách giải vấn đề nhanh gọn hiệu 3.2.Kiến nghị: - Đối với nhà trường, đồng nghiệp giảng dạy phần hình không gian nên để hướng dẫn học sinh biết phân chia lắp ghép khối đa diện, cần đơn giản hóa tốn khoảng cách cách sử dụng cách gián tiếp, cần sử dụng mơ hình hình học khơng gian, phần mềm hỗ trợ vẽ hình khơng gian để hs dễ hình dung 19 - Đối với Sở GD Đào tạo: Có thể làm riêng phần mềm tin học hình khơng gian theo lý thuyết toán sách giáo khoa để giáo viên tỉnh sử dụng giảng dạy, giúp học sinh trực quan quan sát hình từ dạy hình khơng gian thêm sinh động, tạo hứng thú học tập cho học sinh XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hố, ngày 15 tháng năm 2017 Tơi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Nguyễn Thị Sáu TÀI LIỆU THAM KHẢO - Bài tập Hình học 12 nâng cao, Văn Như Cương (Chủ biên) – Phạm Khắc Ban Tạ Mân, Nhà xuất Gáo dục - Bài tập Hình học 12, Nguyễn Mộng Hy (Chủ biên) – Khu Quốc Anh – Trần Đức Huyên, Nhà xuất Giáo dục - SGK Hình học 12, Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên) – Nguyễn Mộng Hy (Chủ biên) – Khu Quốc Anh – Trần Đức Huyên, Nhà xuất Giáo dục 20 - SGK Hình Học 12 Nâng cao, Đồn Quỳnh (Tổng chủ biên) – Văn Như Cương (Chủ biên) - Phạm Khắc Ban –Lê Huy Hùng - Tạ Mân, Nhà xuất Giáo dục - Phân loại phương pháp giải tốn hình học 12 tác giả Nguyễn Anh Trường - Nguyễn Phú Khánh – Nguyễn Tấn Siêng – Đậu Thanh Kỳ - Nguyễn Minh Nhiên - Tuyển tập 170 tốn Hình học khơng gian tác giả Võ Đại Mau - Tuyển tập đề tuyển sinh Đại học – Cao đẳng 2002 – 2015 – NXB Giáo Dục - Đề thi minh họa Bộ GD & ĐT năm 2017 – Nguồn Internet 21 MỤC LỤC 1- Mở đầu 2- Nội dung .…………………………… trang trang 2.1 - Cơ sở lý luận ………………………………… trang 2.2 - Thực trạng vấn đề .……………………… trang 2.3- Các giải pháp tiến hành để giải vấn đề … trang 2.4 - Hiệu sáng kiến kinh nghiệm……… trang 18 3- Kết luận, kiến nghị………………………… trang 18 Tai liêu tham khao……………………………………… trang 20 22 ... học nghiên cứu thân tơi thấy vận dụng việc tính thể tích khối chóp để tính hai loại khoảng cách nói Với lí tơi lựa chọn đề tài: ? ?Kinh nghiệm sử dụng thể tích khối chóp để giải số tốn khoảng cách. .. kiến kinh nghiệm Sau hướng dẫn học sinh vận dụng tỉ số thể tích số tập cụ thể tiến hành kiểm tra tiếp thu khả áp dụng học trò lớp kết sau Năm học Lớp Sĩ số 2016 - 2017 12C5 47 Số học sinh giải. .. hay sử dụng cơng thức hình học tọa độ cách chuyển Tốn sang Tốn Hình Học tọa độ Như nói phần trên, việc chuyển Tốn sang Hình Học tọa độ nên sử dụng sử dụng tốt cho lớp Toán đặc trưng Tính cách sử