Ứng dụng của tỉ số thể tích để giải một số bài toán hình học không gian lớp 12

1 MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài Toán học ngành khoa học gắn liền với suy luận logic chặt chẽ, tính xác ngắn gọn.Trong q trình giảng dạy, tơi nhận thấy học sinh e ngại học mơn hình học khơng gian em thường có tâm lí: Bài tập phần q khó, hình vẽ khơng trực quan, khơng biết cách trình bày lời giải tốn mạch lạc, logic Chính có nhiều học sinh học yếu môn học này, phần giáo viên gặp khơng khó khăn truyền đạt nội dung kiến thức Để tính thể tích khối đa diện ta thường áp dụng hai phương pháp: Phương pháp thứ tính trực tiếp thơng qua việc tính diện tích đáy chiều cao khối đa diện Việc tính thể tích khối đa diện phương pháp trực tiếp đòi hỏi học sinh phải xác định chiều cao khối đa diện tính chiều cao Việc làm cho số học sinh gặp nhiều khó găn phải vận dụng kiến thức đường thằng vng góc với mặt phẳng, hai mặt phẳng vng góc học từ lớp 11 Khi việc xác định tính chiều cao khối đa diện gặp khó khăn khối đa diện cần tính khơng phải khối đa diện có cơng thức tính thể tích học ta sử dụng phương pháp thứ hai Phương pháp thứ hai phương pháp gián tiếp Để tính thể tích khối đa diện phương pháp gián tiếp học sinh cần nắm số kiến thức thể tích khối chóp, khối lăng trụ tỷ số thể tích khối chóp tam giác Lời giải tốn tính thể tích phương pháp gián tiếp thường ngắn gọn, dễ hiểu Trong đề thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng năm gần đây, câu hình học khơng gian ln câu khó đa số thí sinh, phần lớn em quên kiến thức hình học khơng gian chương trình hình học lớp 11 Do đó, việc học hình học khơng gian lớp 12, đặc biệt vấn đề tính thể tích khối đa diện, học sinh tỏ lúng túng Trước tình hình với q trình giảng dạy nghiên cứu, tơi thử giải tốn tính thể tích khối đa diện phương pháp tỉ số thể tích thấy có hiệu cho lời giải ngắn gọn nhiều; học sinh cần kiến thức hình học khơng gian lớp 11 làm Trước kì thi Đại học – Cao đẳng đến gần, với mong muốn cung cấp cho em học sinh thêm phương pháp để tính thể tích khối đa diện, nghiên cứu viết đề tài: '' Ứng dụng tỉ số thể tích để giải số tốn hình học khơng gian lớp 12 '' 1.2.Mục đích nghiên cứu - Góp phần đổi phương pháp dạy học mơn tốn nói chung mơn Hình học 12 nói riêng theo phương hướng tinh giản kiến thức, phát huy tính tích cực, chủ động sáng tạo học sinh, tăng cường ứng dụng thực tế, giúp học sinh có phương pháp học tốt thích ứng với xu hướng đề đổi - Góp phần gây hứng thú học tập tính thể tích khối đa diện cho học sinh, phần coi hóc búa, địi hỏi tính tư cao khơng giúp giáo viên lên lớp tự tin, nhẹ nhàng, học sinh lĩnh hội tri thức cách đầy đủ, khoa học mà giúp em củng cố khắc sâu kiến thức 1.3 Đối tượng nghiên cứu Đề tài áp dụng phần tính thể tích khối đa diện khoảng cách chương trình hình học lớp 12, học sinh ôn thi THPT Quốc gia 1.4 Phương pháp nghiên cứu Để thực đề tài này, sử dụng phương pháp sau: a Nghiên cứu tài liệu : - Đọc tài liệu sách, báo, tạp chí giáo dục có liên quan đến nội dung đề tài - Đọc SGK, sách giáo viên, loại sách tham khảo b Nghiên cứu thực tế : - Dự giờ, trao đổi ý kiến với đồng nghiệp nội dung tính thể tích khối đa diện - Tổng kết rút kinh nghiệm trình dạy học - Tổ chức tiến hành thực nghiệm sư phạm (Soạn giáo án thông qua tiết dạy) để kiểm tra tính khả thi đề tài NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Trong nhiều năm dạy lớp 12, nhận thấy học sinh gặp nhiều khó khăn học chủ đề thể tích khối đa diện, em nghĩ khơng học chủ đề khối kiến thức khó địi hỏi nhiều tư duy, nên em bỏ qua không quan tâm Bản thân qua nghiên cứu tập sách giáo khoa, đề thi năm gần đây, nhận thấy : - Phần lớn học sinh chưa có phương pháp học phù hợp để học hình học khơng gian - Tài liệu tham khảo cịn hạn chế, việc đầu tư thời gian vào mơn cịn - Trong tiết học lí thuyết học sinh chủ yếu nắm lí thuyết với số dạng tập áp dụng đơn giản, chưa thể rèn luyện kĩ giải toán cách thành thạo Khi nhà em khơng tự rút số vấn đề, số dạng toán cần rèn luyện - Các em thiếu ý thức học tập, chưa hiểu rõ quan trọng học tập, nên giáo viên yêu cầu học sinh chuẩn bị bài, hay soạn theo nội dung giáo viên hướng dẫn có số học sinh chưa tích cực làm theo, chí có học sinh khơng làm làm dạng đối phó - Khi học xong tiết lí thuyết học sinh khơng biết cách tự nắm lí thuyết, rõ ràng sau hệ thống lại kiến thức học ngắn gọn vào sổ tay cá nhân - Học sinh khơng biết cách tự tham khảo sách giáo khoa cách chọn lọc, học sinh lệ thuộc vào sách giáo khoa, chưa trọng thầy giảng lớp - Đại đa số học sinh không tiếp thu nhiều với dạng tốn q trình học tiết lý thuyết ( thời gian ít), khả tư nhìn chung cịn thấp nên thấy lạ với nhiều toán - Học sinh chịu tư duy, lập luận khơng có tính lơgic, thiếu tính cần cù, kiên nhẫn nhạy bén giải tập Vì đa số học sinh thường có tâm lí sợ sệt, ngại gặp phải dạng tập khó, phức tạp nên tạo thành thói quen học theo kiểu đối phó - Phần lớn học sinh khơng biết cách nhận dạng đề, không nắm bắt phương pháp giải Chưa biết cách vận dụng lí thuyết vào tập, chưa biết nhìn tốn theo khơng gian khả để vận dụng vào tốn tính thể tích khối đa diện nói chung khối chóp tam giác nói riêng cịn 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2.2.1.Thời gian bước tiến hành Tìm hiểu đối tượng học sinh khối 12 năm học :2018-2019 ,2019-2020, 2020-2021 2.2.2.Khảo sát chất lượng đầu năm mơn hình học Theo số liệu thống kê trước dạy đề tài ba lớp kiểm tra đầu năm học 2020-2021 : 12 A1;12 A2 ;12 A3 trường PT Nguyễn Mộng Tuân, kết sau: Năm học 2020-2021 Lớp Sĩ số Số học sinh giải trước thực đề tài 12A1 40 15 37,5% 12A2 46 11 23,91% 12A3 45 11,1% Đứng trước thực trạng tên nghĩ nên hướng cho em tới cách giải khác sở kiến thức SGK Song song với việc cung cấp tri thức trọng rèn rũa kỹ giải toán, phát triển tư cho học sinh để sở học sinh khơng học tốt phần mà cịn làm tảng cho phần kiến thức khác 2.2.3 Tìm hiểu nguyên nhân dẫn đến kết Tôi nhận thấy đa số học sinh có kết chưa cao Vì việc lĩnh hội kiến thức rèn luyện kĩ học sinh địi hỏi nhiều cơng sức thời gian Sự nhận thức học sinh thể rõ điểm sau: - Kiến thức nắm chưa - Ý thức học tập học sinh chưa thực tốt - Học sinh có tâm lí sợ học mơn hình học Đây mơn học địi hỏi tư duy, thực khó học sinh Nhiều em hổng kiến thức từ lớp dưới, ý thức học tập chưa cao nên chưa xác định động học tập, chưa thấy ứng dụng mơn hình học đời sống hàng ngày Giáo viên cần nắm rõ tình hình đối tượng học sinh, để có biện pháp giúp đỡ em, song song với việc bồi dưỡng học sinh giỏi cần giúp đỡ học sinh yếu Bằng biện pháp rèn luyện tích cực phân tích nội dung cách thích hợp 2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm giải pháp sử dụng để giải vấn đề 2.3.1 Cơ sở lí thuyết 2.3.1.1 Cơng thức tính thể tích khối chóp V  B.h B: diện tích đa giác đáy h: chiều cao 2.3.1.2 Cơng thức tính thể tích khối lăng trụ V  B.h B: diện tích đa giác đáy h: chiều cao 2.3.1.3 Cơng thức tỉ số thể tích khối chóp Cho khối chóp SABC , A ' �SA, B ' �SB, C ' �SC Khi đó: VSABC SA SB SC  VSA ' B ' C ' SA ' SB ' SC ' Đặc biệt : M �SC � VSABM SA SB SM SM   VSABC SA SB SC SC 2.3.2 Các biện pháp tiến hành giải vấn đề Để thực đề tài cần dựa kiến thức sau: Bài tốn1: (Bài4 sgk HH12CB trang25) Cho khối chóp S.ABC, đoạn thẳng SA, SB, SC lấy điểm A’, B’, C’ khác điểm S CMR: VS A ' B ' C ' SA ' SB ' SC '  VS ABC SA SB SC (1) Giải: A A' Gọi H H’ hình chiếu vng góc A A’ lên (SBC) B' B Ta có AH//A’H’ Ba điểm S, H, H’ thuộc hai mp (AA’H’H) (SBC) nên chúng thẳng hàng Xét  SA ' A ' H '  SAH ta có (*) SA AH H H' S C' C Do A ' H '.S �' SC ' VS A ' B ' C ' SB ' C ' A ' H ' SB '.SC '.sin B   (**) � AH S VS ABC AH SB SC sin BSC SBC Từ (*) (**) ta đpcm □ Trong cơng thức (1), đặc biệt hố, cho B’ �B C’ �C ta VS A ' B ' C ' SA '  VS ABC SA (1’) Ta lại có VS ABC  VS A ' BC  VA ' ABC (1') � VS ABC  � SA ' VS ABC  VA ' ABC SA VA ' ABC SA ' A ' A  1  VS ABC SA SA Vậy: VA ' ABC A ' A  VS ABC SA (2) Tổng qt hố cơng thức (2) ta có tốn sau đây: Chú ý: *Nhận xét: 1, Ta chứng minh cơng thức (1’) cơng thức tính thể tích : Gọi H, H’ hình chiếu vng góc hình chiếu vng góc của S A' H ' A' A  A1 lên mp(ABC) Khi A,H,H’ thẳng hàng SH // A1 H Do SH 3 mà VSABC  SH S ABC ; V A ABC  A ' H S ABC Từ ta có : ' SA VA ' ABC A ' A  VS ABC SA 2, Cơng thức (1) dùng cho hình chóp tam giác.Các khối chóp khác muốn sử dụng cơng thức phải phân chia thành khối chóp tam giác - Các kết quả: + Hai khối chóp có diện tích đáy tỉ số thể tích chúng tỉ số hai đường cao + Hai khối chóp có độ dài đường cao tỉ số thể tích chúng tỉ số hai diện tích đáy + Hai khối đa diện đồng dạng tỉ số thể tích chúng lập phương tỉ số đồng dạng + Khối chóp khối lăng trụ có diện tích đáy chiều cao thể tích khối chóp thể tích khối lăng trụ Từ toán ta áp dụng giải tốn sau tốn sau: Ví dụ minh họa Dựa vào hai toán trên, ta xét số tốn tính tỉ số thể tích khối đa diện số ứng dụng Dạng 1: Rèn luyện cho học sinh sử dụng cơng thức tỉ số thể tích giải tốn tính tỉ số thể tích khối đa diện Ví dụ 1: Cho khối chóp S.ABCD có SA  (ABCD) đáy ABCD hình chữ nhật AB a ; AD 2a ; SA 2a Mặt phẳng ( ) qua A vng góc với SC cắt SB,SC,SD B’,C’, D’ Tính tỉ số thể tích hai khối chóp chia mp ( ) *Câu hỏi gợi mở: -Hai khối đa diện phân chia có phải khối chóp đa giác khơng? -Phân chia khối chóp tứ giác để áp dụng toán tỉ lệ -Tỉ lệ đoạn thẳng chia cạn bên có xác định khơng? Giải: Ta có: AB '  SC ; BC  AB ' (vì BC  ( SAB))  AB '  ( SBC )  AB '  SB Tương tự AD '  SC Do ABCD nhật nên Tam giác SAC tam giác vuông nên hình chữ AC  AB  AD a SC  SA  AC 3a  SC ' SC  SA  SC '  SA 4a  SC Tam A giác SAB vuông SB  SA  AB a  SB ' SB  SA  SB '  nên SA 4a  SB Tam giác SAD vuông A nên SD  SA  AD 2a  AD ' SD SA  SD '  Ta có VS AB C D VS AB C  VS AC D ' Mặt khác VS AC ' D ' VS ACD Vậy  ' ' ' VS AB 'C ' VS ABC  ' ' SA 2a  SB ' V ' ' SA SB ' SC ' 4 16   mà VS ABC  VS ABCD  S AB C  SA SB SC 45 VS ABCD 45 V ' ' SA SD ' SC '   mà VS ACD  VS ABCD  S AC D  SA SD SC 9 VS ABCD VS AB 'C ' D ' VS ABCD 13    45 45 Ví dụ 2: Cho hình lăng trụ tam giác ABC A ' B ' C ' Gọi M trung điểm CC ' ,I giao điểm B ' M BC ' Tính tỉ số thể tích tứ diện A ’ABI thể tích khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' *Câu hỏi gợi mở: -Vị trí điểm I có đặc biệt.Có thể xác định vị trí so với điểm biết khơng? -Tứ diện A’ABI đưa hình chóp tam giác với đỉnh cho phù hợp? -Mối quan hệ mặt đáy với mặt hình lăng trụ?Thiết lập mối quan hệ với thể tích tứ diện với thể tích khối chóp tính theo tỉ lệ Giải : Vì BB ' // CC ' nên C 'I C 'M IB    '  ' IB BB CB Ta có 2 V A' ÂBI VI A' ÂB VI A' BB'  VC A' BB'  VB A' B 'C '  V ABC A' B 'C ' 3 3  V ABC A' B 'C ' V ' A ABI  Vậy V ABC A B C ' ' ' * Bài tập tham khảo: Bài 1: Cho hình chóp tam giác S.ABC, đáy ABC tam giác có trực tâm H cạnh a Gọi I, J, K trung điểm cạnh AB, BC, CA M, N, P trung điểm đoạn SI, SJ, SK Tính tỉ số thể tích hai khối chóp H.MNP S.ABC Từ tính thể tích khối chóp H.MNP ĐS: VH MNP  VS ABC 32 Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Một mặt phẳng (  ) qua AB cắt SC, SD M N Tính SM để mặt phẳng (  ) SC chia hình chóp thành hai phần tích ĐS: SM 1  SC Dạng 2: Ứng dụng tỉ số thể tích để tính thể tích Ví dụ 1: (ĐH khối B – 2008 ) � � Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang, BAD ABC  900 , AB  BC  a, AD  2a, SA  ( ABCD) SA = 2a Gọi M, N trung điểm SA SD Tính thể tích khối chóp S.BCNM theo a S Giải: Áp dụng cơng thức (1) ta có M VS BCM SM   VS BCA SA N 2a 2a VS CMN SM SN   VS CAD SA SD a Suy D A B C 1 VS BCNM  VS BCM  VS CNM  VS BCA  VS CAD 3 a 2a a3    2.3 4.3 Ghi chú: 1/ Việc tính thể tích khối S.BCNM trực cơng thức V  B.h gặp nhiều khó khăn, dùng tỉ số thể tích, ta chuyển việc tính thể tích khối S.BCNM tính VSBCA VSCAD dễ dàng nhiều 2/ Khi dạy học yêu cầu học sinh tính thể tích khối đa diện ABCDMN Ví dụ 2: (ĐH khối A – 2007 ) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, mặt bên SAD tam giác nằm mặt phẳng vng góc với đáy Gọi M, N, P trung điểm cạnh SB, BC, CD Tính thể tích khối tứ diện CMNP theo a S Giải: M Ta có VCMNP CN CP   VCMBD CB CD A (a) VCMBD VM BCD MB    (b) VCSBD VS BCD SB B H D N C P 10 Lấy (a) x (b) vế theo vế ta VCMNP 1  � VCMNP  VS BCD VS BCD 8 Gọi H trung điểm AD ta có SH  AD mà ( SAD)  ( ABCD) nên 1 a a3 SH  ( ABCD) Do VS BCD  SH S BCD  a  3 2 12 Vậy: VCMNP  a3 (đvtt) 96 Ví dụ 3: (ĐH khối B – 2006 ) Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD hình chữ nhật, AB =SA = a, AD =a SA vng góc với đáy Gọi M, N trung điểm AD SC, gọi I giao điểm BM AC Tính thể tích khối tứ diện ANIM theo a Giải: S Gọi O giao điểm AC BD Ta có I trọng tâm tam giác ABC, a AI AI  �  AO AC nên VAIMN AI AM 1    VACDN AC AD (1) VACDN NC   VACDS SC (2) Mặt khác Từ (1) (2) suy Mà a VSACD A Ma I D O C B VAIMN  VACDS 12 1 a 2a a  SA.S ACD  a  3 Vậy VAIMN a3  VSACD  12 72 (đvtt) * Bài tập tham khảo: �  900 , CAD �  1200 , Bài 1: Cho khối tứ diện ABCD có � ABC  BAD AB  a, AC  2a, AD  3a Tính thể tích tứ diện ABCD 11 ĐS: VABCD  a3 2 Bài 2: Cho khối chóp S.ABCD dấy ABCD hình vng cạnh a, SA vng góc với đáy SA = 2a Gọi B’, D’ hình chiếu vng góc A lên SB SD Mp(AB’D’) cắt SC C’ Tính thể tích khối chóp S.A’B’C’D’ theo a ĐS: VS A ' B ' C ' D '  16a 45 Dạng 3: Rèn luyện cho học sinh sử dụng công thức tỉ số thể tích để giải tốn khoảng cách : Việc tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng khó khăn xác định chân đường cao Khó khăn khắc phục ta tính khoảng cách thơng qua thể tích khối đa diện, mà khoảng cách độ dài đường cao khối đa diện Sau ta xét số ví dụ minh hoạ, trước toán học sinh tự đặt câu hỏi:” Với điều kiện tốn việc dựng chân đường vng góc điểm cho xuống mặt phẳng có thực hiên khơng? Nếu khó khăn hoặ c qua phức tạp dùng cơng thức ngược thơng qua tỉ số thể thể tích khơng?Xác định khối chóp cần tính thể tích.” Phương pháp: Để giải dạng tốn sử dụng cơng thức: 3V V  B.h � h  B Ví dụ : (ĐH khối D – 2008) Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác vng, AB = BC = a, AA’ = a Gọi M trung điểm BC Tính theo a khoảng cách hai đường thẳng AM B’C Nhận xét: - ta tính tỉ sốthể tích - Nhận thấy VCAEM VCAEB VC AEM MC   VC AEB CB - ta tính d (C ,( AME ))  3VC AEM S AEM 12 Giải: Gọi E trung điểm BB’,ta có EM//CB’ Suy B’C //(AME) nên d(B’C;AM) = d(B’C;(AME))= d(C;(AME)) Ta có VC AEM MC   VC AEB CB � VC AEM 1 a a a3  VEACB   2 2 24 3VC AEM Ta có d (C ,( AME ))  S AEM A' C' B' a Gọi H hình chiếu vng góc B lên AE, ta có BH  AE Hơn BM  ( ABE ) � BM  AE , nên ta AE  HM A a Do SAEM  Vậy: M B a Mà AE = , ABE vuông B nên 1 a    2 2 � BH  BH AB EB a BHM vuông B nên MH  E H a C a a a 21   1 a a 21 a 14 AE.HM   2 d (C ,( AME ))  3a a  a 14 24 Ghi chú: Có thể áp dụng cơng thức Hê – rơng để tính SAEM Ví dụ 2: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên 2a, đáy ABC tam giác vuông A, AB = a, AC  a hình chiếu vng góc A’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm BC Tính khoảng cách Từ A đến mp(BCC’B’) B' C' A' 2a Giải: B a 13 C H K a A Theo giả thiết ta có A’H  (ABC) Tam giác ABC vuông A AH trung tuyến nên AH = A ' AH vuông H nên ta BC = a có A ' H  A ' A2  AH  a 3 Do VA ' ABC  a Mặt khác VA ' ABC VABC A ' B ' C ' a.a a  2  3 Suy VA ' BCC ' B '  VABC A ' B ' C '  Ta có d ( A ',( BCC ' B '))  a3  a3 3VA ' BCC ' B ' S BCC ' B ' Vì AB  A ' H � A ' B '  A ' H � A ' B ' H vuông A’ Suy B’H = a  3a  2a  BB ' � BB ' H cân B’ Gọi K trung điểm BH, ta có B ' K  BH Do B ' K  BB '2  BK  Suy S BCC ' B '  B ' C '.BK  2a a 14 a 14  a 14 3a 3 14a  Vậy d ( A ',( BCC ' B '))  14 a 14 * Bài tập tương tự: Bài 1: (ĐH khối D – 2009) Cho lăng trụ đứng ABCA’B’C’có đáy ABC tam giác vuông B, AB = a, AA’ = 2a, A’C = 3a Gọi M trung điểm A’C’, I giao điểm AM A’C Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC khoảng cách từ A đến mp(IBC) ĐS: d ( A,( IBC ))  2a 5 Bài2: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AA’ = AB = a, BC = 2a, điểm M thuộc AD cho AM = 3MD Tính khoảng cách từ M đến mp(AB’C) ĐS: d ( A,( AB ' C ))  a Dạng 4: Ứng dụng tỉ số thể tích để tính diện tích đa giác 14 Việc tính diện tích đa giác phẳng quy việc tính diện tích tam giác theo công thức S  ah , h – chiều cao a độ dài cạnh đáy Tuy nhiên nhiều trường hợp, đặc biệt việc tính diện tích đa giác phẳng khơng gian, tính trực cơng thức gặp nhiều khó khăn Khi tính diện tính đa giác thơng qua thể tích khối đa diện Sau số ví dụ minh hoạ Ví dụ1: (ĐH khối A – 2002) Cho hình chóp tam giác S.ABC đỉnh S, có độ dài cạnh đáy a Gọi M, N trung A điểm SB SC Tính diện tích tam giác AMN theo a, biết S ( AMN )  ( SBC ) Giải: Gọi K trung điểm BC I trung điểm MN Ta có N VS AMN SM SN   VS ABC SB SC I Từ ( AMN )  ( SBC ) C M (1) A AI  MN (do AMN cân A ) nên AI  ( SBC ) � AI  SI K O B Mặt khác, MN  SI SI  ( AMN ) Từ (1) � SI S AMN 1 SO  � SAMN  SABC (O trọng tâm tam giác ABC) SO.SABC 4 SI Ta có ASK cân A (vì AI vừa đường cao vừa trung tuyến) nên AK = AS = a a 15 � SO  SA2  OA2  a 15 a a 10 S AMN   a Và SI = SK  Vậy 6a 16 (đvdt) 4 * Bài tập tham khảo: Bài 1: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ Biết ABC tam giác vng B có AB = a, BC = b, AA’ = c (c2 �a  b2 ) Một mặt phẳng ( ) qua A vng góc với CA’cắt lăng trụ theo thiết diện a) Xác định thiết diện b) Tính diện tích thiết diện xác định câu a) 15 ĐS: Thiết diện AMN có diện tích S AMN ab a  b  c  2c Dạng :Rèn luyện cho học sinh sử dụng công thức tỉ số thể tích để giải tốn chứng minh đẳng thức hình học Phương pháp: Để chứng minh hệ thức khối đa diện ta sử dụng kiến thức thể tích để giải cách gắn toán cần chứng minh vào hệ thức thể tích Ví dụ 1: Cho hình chóp tứ giác SABCD Trên cạnh SA, SB, SC lấy điểm A1 , B1 , C1 cho SA1 SB1 SC1  ,  ,  Mặt phẳng qua A1 , B1 , C1 SA SB SC cắt SD D1 Chứng minh : SD1  SD Nhận xét : -Các điểm A1 , B1 , C1 , D1 điểm nằm cạnh SA, SB, SC, SD nên ta tính tỉ số thể tích hai khối chóp SABCD SA1 B1C1 D1 -Ta thấy khối chóp SABCD chia thành hai khối chóp SABC SADC SDBC SABD; khối chóp SA1 B1C1 D1 chia thành hai khối chóp SA1 B1C1 SA1C1 D1 SA1 D1 B1 SC1 D1 B1 Chúng ta sử dụng cơng thức tỉ số thể tích để tính tỉ số thể tích hai khối chóp SA1 B1C1 D1 SABCD theo hai cách chia khối đa diện -Từ ta tính tỉ số SD1 SD Giải: Ta có VSABCD  VSBCD  VSCDA  VSDAB  VSA B C 1 VSABC  V SA1 SB1 SC1  (1) SA SB SC 16 VSA D C 1 VSADC  SA1 SD1 SC1 SD1  (2) SA SD SC SD VSA B C D Cộng vế với vế (1) (2) ta có: VSA B D 1 Tương tự: VSB C D 1 VSBCD  VSABD  1 1 V  SD1  9 SD (3) SA1 SB1 SD1 SD1  (4) SA SB SD SD SB1 SC1 SD1 SD1  (5) SB SC SD SD VSA B C D Cộng vế với vế (4) (5) ta có: Từ (3) (6) ta có 1 1 V 2 SD1 SD1   9 SD SD SD  SD (6) � SD1  SD 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm Sau hướng dẫn học sinh vận dụng tỉ số thể tích số tập cụ thể tơi tiến hành kiểm tra tiếp thu khả áp dụng học trò lớp kết sau Năm học 2020-2021 Số học sinh giải Lớp Sĩ số 12A1 40 15 (37,5%) 35 (87,5%) 12A2 46 11 (23,9%) 30 (65%) 12A3 45 (11,1%) 20 (44,4%) Trước thực đề tài Sau thực đề tài Sáng kiến kinh nghiệm mở rộng khai thác tốn khó để dạy cho đối tượng học sinh thi học sinh giỏi 17 KẾT LUẬN –KIẾN NGHỊ 3.1.Kết luận : Việc sử dụng tỉ số thể tích để giải tốn hình học khơng gian, đặc biệt tốn tính thể tích khối đa diện, tính khoảng cách hay tính diện tích đa giác tỏ có nhiều ưu điểm, giúp cho lời giải ngắn gọn không cần sử dụng nhiều kiến thức hình học khơng gian lớp 11 Trong trình giảng dạy cho học sinh khối lớp 12 Trường PT Nguyễn Mộng Tuân học kì I năm học 2020 - 2021, tơi đem đề tài áp dụng thấy học sinh tiếp cận nhanh biết vận dụng để giải tập mà cho kiểm tra lớp Trong học kì II tơi tiếp tục triển khai đề tài để giảng dạy cho em học sinh khối 12 ôn thi Đại học Cao đẳng, em tiếp thu tốt Qua năm triển khai thực đề tài này, thấy tính hiệu đề tài cao, áp dụng rộng cho nhiều đối tượng học sinh khối lớp12, ôn thi tốt nghiệp luyện thi Đại học Vì vậy, năm học tơi tiếp tục triển khai áp dụng đề tài để giảng dạy cho em học sinh khối 12 Tôi mong hội đồng chun mơn Nhà trường góp ý, bổ sung để đề tài hoàn thiện hơn, triển khai áp dụng rộng rãi để giảng dạy cho học sinh toàn khối 12 Nhà trường Hy vọng rằng, với đề tài này, giúp cho em học sinh có thêm phương pháp để giải tốn hình học khơng gian kì thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng đạt kết cao Trong trình biên soạn đề tài tơi có nhiều cố gắng, nhiên khơng tránh khỏi thiếu sót Rất mong nhận góp ý chân thành thầy cô giáo đồng nghiệp Hội đồng chuyên môn nhà trường để đề tài tơi hồn thiện 3.2.Kiến nghị: - Đối với nhà trường, đồng nghiệp giảng dạy phần hình khơng gian nên để ý đến việc hướng dẫn học sinh biết phân chia lắp ghép khối đa diện.Nhà trường trang bị thêm đồ dùng học tập đại hình học khơng gian - Đối với Sở GD Đào tạo : Có thể làm riêng phần mềm tin học hình khơng gian theo lý thuyết tốn sách giáo khoa để giáo viên tỉnh sử dụng giảng dạy, giúp học sinh trực quan quan sát hình từ dạy hình khơng gian thêm sinh động,tạo hứng thú học tập cho học sinh XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG Thanh Hoá, ngày 15 tháng năm 18 ĐƠN VỊ 2021 Tơi xin cam đoan SKKN viết, không chép nội dung người khác Trần Thị Trang CÁC TÀI LIỆU THAM KHẢO: Đậu Thế Cấp Các PP giải tốn PTTH Hình học 11- Nhà xuất Quốc Gia TPHCM Đậu Thế Cấp Toán nâng cao HH11- Nhà xuất Quốc Gia TPHCM Văn Như Cương Sách tập hình học 12 nâng cao - Nhà xuất GD Đoàn Quỳnh - Văn Như Cương SGK hình học 12 nâng cao - Nhà xuất GD Trần Văn Hạo SGK hình học 12 bản- Nhà xuất GD Lê Quang Ánh Giải đề thi đại học :chuyên đề hình học khơng gian- Nhà xuất 19 TPHCM Lê Quang Ánh 360 tốn chọn lọc hình học không gian - Nhà xuất tổng hợp Đồng Nai Một số đề thi đại học, thi thử ĐH Các tài liệu liên quan mạng 20 ... dẫn học sinh vận dụng tỉ số thể tích số tập cụ thể tiến hành kiểm tra tiếp thu khả áp dụng học trò lớp kết sau Năm học 2020-2021 Số học sinh giải Lớp Sĩ số 12A1 40 15 (37,5%) 35 (87,5%) 12A2... đường cao tỉ số thể tích chúng tỉ số hai diện tích đáy + Hai khối đa diện đồng dạng tỉ số thể tích chúng lập phương tỉ số đồng dạng + Khối chóp khối lăng trụ có diện tích đáy chiều cao thể tích khối... chóp thể tích khối lăng trụ Từ toán ta áp dụng giải tốn sau tốn sau: Ví dụ minh họa Dựa vào hai toán trên, ta xét số tốn tính tỉ số thể tích khối đa diện số ứng dụng Dạng 1: Rèn luyện cho học