SỬ DỤNG sơ đồ tư DUY các bước để GIẢI 10 bài TOÁN cực TRỊ điển HÌNH của HÌNH học tọa độ KHÔNG GIAN lớp 12

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG THPT ĐÔNG SƠN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM SỬ DỤNG SƠ ĐỒ TƯ DUY CÁC BƯỚC ĐỂ GIẢI 10 BÀI TOÁN CỰC TRỊ ĐIỂN HÌNH CỦA HÌNH HỌC TỌA ĐỘ KHƠNG GIAN LỚP 12-THPT; GIÚP HỌC SINH GIẢI NHANH VÀ ĐẠT ĐIỂM CAO TRONG KÌ THI TRUNG HỌC PHỔ THƠNG QUỐC GIA Người thực hiện: Lưu Thị Huyên Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc lĩnh vực (mơn): Tốn học THANH HĨA NĂM 2018 MỤC LỤC Mục lục Tài liệu tham khảo Danh mục sáng kiến kinh nghiệm hội đồng đánh giá xếp loại cấp Sở GD&ĐT xếp loại C trở lên Phụ lục Phần 1: MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài: Thực chủ trương đổi giáo dục nước ta mục tiêu, nội dung chương trình phương pháp giảng dạy, đặc biệt đổi nội dung chương trình sách giáo khoa cách thức thi, kiểm tra, đánh giá học sinh Trong kì thi THPT quốc gia, đề thi mơn tốn có 50 câu trắc nghiệm, học sinh hoàn thành với thời gian 90 phút Làm để khoảng thời gian ngắn thế, mà điểm cao thật khơng dễ! Rõ ràng, cách dạy trình bày lí luận khơng phù hợp, thay vào phải dạy để học sinh ghi nhớ tốt nhiều cơng thức, nhiều phương pháp, phát huy tính sáng tạo chủ động học sinh, trả lời nhiều câu hỏi thời gian nhanh Chính thế, tơi chọn đề tài: “Sử dụng sơ đồ tư bước để giải 10 toán cực trị điển hình hình học tọa độ khơng gian lớp 12 –THPT; giúp học sinh giải nhanh đạt điểm cao kì thi trung học phổ thơng quốc gia” Thực tế giảng dạy cho thấy rằng: học sinh thích học đại số học hình học sợ học mơn hình học Lí vậy? Hầu hết số lí người học thiếu phương pháp làm cách khoa học dễ nhớ, giống người cần đèn pin soi đường đêm tối, người học khơng có phương pháp, khơng thể học tốt Trong phạm vi đề tài, nghiên cứu 10 tốn cực trị điển hình hình học tọa độ không gian lớp 12- THPT Thiết nghĩ, tốn hình học trình bày đơn từ đầu đến cuối, học sinh dễ nhàm chán, không nắm phương pháp; sử dụng sơ đồ tư duy, với ưu điểm: có màu sắc, hình vẽ minh họa, đảm bảo tính khoa học – logic, học sinh dễ học - dễ nhớ; soi đường, lối cho em tìm phương pháp học đạt hiệu cao Trong xu hội nhập vào cách mạng công nghiệp 4.0, học sinh phải đáp ứng nhiều tiêu chí: thơng minh, nhanh nhẹn, làm việc khoa học - sáng tạo Tôi hi vọng đề tài giúp học sinh có tiêu chí trên, đặc biệt nhiệm vụ trước mắt giải câu khó dành điểm 9,10 đề thi THPTQG, tài liệu tham khảo cho đồng nghiệp, em học sinh mong nhận chia sẻ, góp ý, để đề tài ứng dụng rộng rãi Mục đích nghiên cứu đề tài Qua nghiên cứu đề tài, giáo viên phải nắm phương pháp giải 10 tốn điển hình hình học tọa độ khơng gian lớp 12-THPT, qua giúp học sinh áp dụng giải tập tương tự theo sơ đồ cho Từ khơi nguồn tạo cảm hứng việc dạy - học tập tìm tòi u thích mơn tốn học Đối tượng phạm vi đề tài nghiên cứu 3.1 Đối tượng nghiên cứu: Các tập cực trị hình học tọa độ khơng gian lớp 12- THPT; áp dụng dạy cho học sinh khối, lớp mà phân công trực tiếp giảng dạy từ năm 2016 đến Cụ thể sau: - Lớp 12A2, 12A4 năm học 2016– 2017 trường THPT Đông Sơn 1 3.2 Phạm vi nghiên cứu: - Chương trình SGK Hình học lớp 12 chưa cải cách (NXB GD năm 2000) - Chương trình SGK Hình học , lớp 12 cải cách (NXB GD năm 2006) Thời gian nghiên cứu: Từ tháng năm 2016 đến tháng năm 2018 Phương pháp nghiên cứu: Xuất phát từ đối tượng nhiệm vụ nghiên cứu để đạt mục đích đề q trình nghiên cứu tơi sử dụng phương pháp chủ yếu sau: + Nghiên cứu tài liệu + Nghiên cứu tổng kết kinh nghiệm giảng dạy + Thực nghiệm sư phạm + Phân tích tổng hợp lý thuyết + Phân loại hệ thống lý thuyết + Phương pháp thực nghiệm (thông qua thực tế dạy học lớp, giao tập, củng cố học, hướng dẫn HS chuẩn bị bài, kết hợp với kiểm tra, đánh giá) Những nét đổi mới, sáng tạo tạo giá trị áp dụng sáng kiến: - Sáng tạo hơn: học sinh có hướng tư giải tốn hình học dạng dạng khác có liên quan;giúp học sinh học tập chủ động tích cực, phát huy khả tự học nhà - Tiết kiệm thời gian: sổ tay ghi nhớ, cẩm nang để bàn giúp học sinh cần nhìn vào sơ đồ biết cách làm bài; giúp học sinh làm nhanh nhiều tập tắc nghiệm thời gian ngắn, đạt điểm cao - 10 kì thi - Ghi nhớ tốt hơn: sơ đồ tư với hình vẽ bắt mắt, chữ viết màu sắc, giúp học sinh dễ học dễ nhớ - Nhìn thấy tranh tổng thể: học sinh nắm bước rõ ràng đảm bảo tính logic, hệ thống, tổng quát tập từ đầu đến cuối - Phát triển nhận thức tư duy: học sinh áp dụng cách học cho nhiều tập khác, môn học khác ; đồng thời thay đổi cách suy nghĩ cũ:“ thấy hình học khó”, mà u thích học mơn tốn, đặc biệt mơn hình học khơng gian - Đây tài liệu bổ ích giúp giáo viên giảng dạy ôn tập hiệu cao Phần 2: NỘI DUNG Cơ sở lí luận đề tài: 1.1 Cơ sở khoa học đề tài: - Sơ đồ tư bước giải hình thức ghi chép nhằm tìm tòi, đào sâu, mở rộng ý tưởng, hệ thống hóa chủ đề hay mạch kiến thức cách kết hợp việc sử dụng màu sắc, chữ viết, hình vẽ minh họa với tư tích cực - Sơ đồ tư trọng đến màu sắc, nhánh, bước liên đới với Có thể sử dụng sơ đồ vào dạy học mới, ơn tập chương – kì - Sơ đồ tư giúp người học phát huy tối đa tính chủ động, tích cực,tính sáng tạo em - Sơ đồ tư cách ghi chép hiệu quả, xếp bố cục thông tin cần thiết logic 1.2 Cơ sở thực tiễn đề tài: - Học sinh chưa có phương pháp học hiệu - Thời gian học tập nhà - Kĩ giải tốn trình bày giải hạn chế Thực trạng vấn đề nghiên cứu: - Phần lớn học sinh không nhớ kiến thức hình học lớp 10,11; kiến thức lớp 12 nhớ không chắn, lúc nhớ lúc quên - Kĩ tự học, học làm nhà học sinh hạn chế; em bị phân tán nhiều trò chơi mạng xã hội - Kĩ phân tích giả thiết quan hệ đối tượng hình học tọa độ nhiều lúng túng - Giáo viên mơn chưa trọng nhiều đến việc hướng dẫn học sinh kĩ tự học, kĩ tìm cách giải tốn sơ đồ tư duy, kĩ đánh giá giúp học sinh giải câu có nội dung kiến thức vận dụng cao (chống máy tính CASIO) Chính thế, việc sử dụng sơ đồ tư vào giải tốn hình học tọa độ không gian giúp học sinh ghi nhớ tốt, nhìn vào sơ đồ biết cách làm, thao tác lặp lại nhiều lần hình thành kĩ học tập giải toán tốt hơn; đồng thời học sinh nhìn tranh tổng thể, tự phân tích mối quan hệ đối tượng, từ khả tự học phát huy Qua đó, việc truyền thụ kiến thức đến học sinh thầy cô nhẹ nhàng hơn, dễ hiểu hơn; em thích học hình học đam mê học tốn GIẢI PHÁP VÀ TỔ CHỨC THỰC HIỆN - KIỂM NGHIỆM : 3.1 Giới thiệu sơ lược nội dung chương 3-hình học tọa độ khơng gian lớp 12-THPT: Trong không gian Oxyz cho: A ( x A ; y A ;z A ) , B ( x B ; y B ;z B ) r r a = ( a1;a ;a ) , b = ( b1;b ;b ) Khi đó: +) uuur AB = ( x B − x A ; y B − y A ;z B − z A ) ( x B − x A ) + ( yB − yA ) + ( zB − zA ) r r +) a ± b = ( a1 ± b1;a ± b ;a ± b3 ) r +) k.a = ( ka1 ;ka ;ka ) +) AB = 2 +) +) +) +) +) +) +) r a = a12 + a 22 + a 32 r r a = b ⇔ a1 = b1 ;a = b ;a = b3 rr a.b = a1.b1 + a b + a b3 r r r r r r r a a a a / /b ⇔ a = k.b ⇔ a, b  = ⇔ = = b1 b b3 r r rr a ⊥ b ⇔ a.b = ⇔ a1.b1 + a b + a b = r r  a a a a1 a a  a, b  =  ; ; ÷   b b b b b1 b  3  r r r r r r r r r a, b,c đồng phẳng ⇔ ∃m, n ∈ ¡ : a = mb + nc hay a, b  c = r r r r r r r r r a, b,c không đồng phẳng ⇔ ∃m, n ∈ ¡ : a = mb + nc hay a, b  c ≠ +) +) M chia đoạn AB theo tỉ số uuuu r uuur  x −kx B y A −ky B z A −kz B  k ≠ ⇔ MA = kMB ⇒ M  A ; ; ÷ 1− k 1− k   1− k  x + x B yA + yB zA + z B  ; ; Đặc biệt: M trung điểm AB: M  A ÷ 2    x + x B + x C yA + y B + yC z A + z B + z C  ; ; +) G trọng tâm tam giác ABC: G  A ÷ 3   +) G trọng tâm tứ diện ABCD:  x + x B + x C + x D y A + yB + yC + y D z A + z B + z C + z D  G A ; ; ÷ 4   r r r +) Véctơ đơn vị: i = (1;0;0); j = (0;1;0);k = (0;0;1) +) Điểm trục tọa độ: M(x;0;0) ∈ Ox; N(0; y;0) ∈ Oy;K(0;0;z) ∈ Oz +) Điểm thuộc mặt phẳng tọa độ: M(x; y;0) ∈ ( Oxy ) ; N(0; y;z) ∈ ( Oyz ) ;K(x;0; z) ∈ ( Oxz ) uuur uuur +) Diện tích tam giác ABC: S∆ABC =  AB, AC  uuur uuur +) Diện tích hình bình hành ABCD: SABCD =  AB, AC  uuur uuur uuur +) Thể tích khối tứ diện ABCD: VABCD =  AB, AC  AD uuur uuur uuuu r   V = AB, AD AA ' ABCD.A 'B'C'D ' +) Thể tích khối hộp : ABCD.A ' B'C ' D '   3.2 Hệ thống hóa kiến thức có liên quan: +) Góc hai mặt phẳng Cho hai mặt phẳng ( α ) : Ax + By + Cz + D = ( α ') : A 'x + B' y + C'z + D ' = Gọi ϕ góc hai mặt phẳng, ta có: cos ϕ = AA '+ BB'+ CC ' A + B2 + C2 A '2 + B'2 + C'2 +) Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Cho mp ( α ) : Ax + By + Cz + D = điểm M ( x ; y ;z ) Khi đó: d ( M0 ; ( α ) ) = Ax + By + Cz + D A + B2 + C +) Góc hai đường thẳng → Cho đường thẳng d có vectơ phương u = ( a;b;c ) đường thẳng d ' có vectơ → phương u ' = ( a ';b ';c ' ) Gọi ϕ góc hai đường thẳng ta có: → → u u' cos ϕ = → → u u' = a.a '+ bb '+ cc ' a + b + c a ' + b' + c' 2 2 2 (0 ≤ ϕ ≤ 900 ) +) Góc đường thẳng với mặt phẳng Cho đường thẳng d có vectơ phương u = ( a;b;c ) mặt phẳng ( α ) có vectơ → r pháp tuyến n = ( A;B;C ) Gọi ϕ góc hợp đường thẳng d mặt phẳng ( α ) ta có: → → u.n sin ϕ = → → u.n = Aa + Bb + Cc A + B2 + C a + b + c +) Khoảng cách từ điểm M1 ( x1 ; y1;z1 ) đến đường thẳng ∆ có vectơ phương u : Cách 1: Viết phương trình mặt phẳng ( α ) qua M1 vng góc với ∆ Tìm tọa độ giao điểm H ∆ mặt phẳng ( α ) d ( M1; ∆ ) = M1H - → uuuuuur r  M1M , u    r Cách 2: Sử dụng công thức: d ( M1; ∆ ) = u +) Khoảng cách hai đường thẳng chéo → Cho hai đường thẳng chéo ∆ qua M ( x ; y ; z ) có vectơ phương u → đường thẳng ∆ ' qua M '0 ( x '0 ; y '0 ; z '0 ) có vectơ phương u ' Cách 1: Viết phương trình mặt phẳng ( α ) chứa ∆ song song với ∆ ' Tính khoảng cách từ M '0 mặt phẳng ( α ) d( ∆, ∆ ') = d(M '0 ,(α)) r ur uuuuuur  u, u ' M M 0'   Cách 2: Sử dụng công thức: d(∆, ∆ ') = r ur  u, u '   +) Áp dụng bất đẳng thức: a + b + c + d ≥ ( a + c ) + ( b + d ) đẳng thức xảy a c = b d 3.3 10 tốn cực trị điển hình hình học tọa độ khơng gian lớp 12THPT: Để tìm cực trị không gian thường sử dụng hai cách: Cách 1:Sử dụng phương pháp hình học Cách 2:Sử dụng phương pháp đại số Bài tốn 1: Trong khơng gian Oxyz, cho n điểm A1 , A2 , , An Tìm M thuộc đường thẳng ∆ ( mặt phẳng ( P ) ) cho P = α1MA12 + α MA2 + + α n MAn a) Nhỏ α1 + α + + α n > b) Lớn α1 + α + + α n < Phân tích sơ đồ: Trong sơ đồ ubước giải u toán 1a, gồm bước sau: uur uu r uu r r Bước 1: Tìm điểm I thỏa mãn: α1 IA1 + α IA2 + + α n IAn = 2 2 Bước 2: Biến đổi P = ( α1 + α + + α n ) MI + α1IA1 + α IA2 + + α n IAn Bước 3: Nếu α1 + α + + α n > P lớn MI nhỏ hay M hình chiếu vng góc I lên đường thẳng ∆ lên mặt phẳng ( P ) Sai lầm học sinh mắc phải: - Học sinh nắm kiện toán song biểu thị biểu thức véc tơ lúng túng - Học sinh sai lầm cách tính véc tơ - Học sinh chưa biết điều kiện để MI lớn hay nhỏ Cách khắc phục: Giáor viên gợi ý, hướng dẫn học sinh biểu thị véc tơ: uur uuu r uuu - Tính véc tơ IA1 , IA2 , , IAn uur uuu r uuu r r - Thực phép toán cộng, trừ, nhân véc tơ cho α1 IA1 + α IA2 + + α n IAn = - Tìm điểm I - Biến đổi biểu thức P = α1MA12 + α MA2 + + α n MAn - Biện luận theo α1 + α + + α n Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ P Lưu ý:Các sơ đồ hiểu thứ tự bước giải sơ đồ bước giải tốn 1a Ngồi ra, tìm thêm cách khác để giải tốn Từ đó, ta lập sơ đồ bước giải tương ứng Bài tập áp dụng tốn 1: Trong khơng gian Oxyz, cho điểm A ( 2; 2;3) , B ( −1;0; −3) , C ( 2; −3; −1) Tìm M thuộc mặt phẳng ( α ) : x + y − z − = cho S = 2MA2 + 3MB − 4MC nhỏ Bài giải: uu r uur uur r Gọi I ( x; y; z ) điểm thỏa mãn điều kiện IA + 3IB − IC = uu r  IA = ( − x; − y;3 − z ) ;  uur Mà  IB = ( −1 − x; − y; −3 − z ) ;  uur  IC = ( − x; −3 − y; −1 − z ) Do I ( −7;16;1) Khi : uuu r uu r uuu r uur uuu r uur S = MA2 + 3MB − MC = MI + IA + MI + IB − MI + IC ( ) ( ) ( ) = IM + IA2 + 3IB − IC Do IA2 + 3IB − IC không đổi nên S nhỏ MI nhỏ M hình chiếu vng góc I lên mặt phẳng ( α )  x = −7 + 2t  Ta có: IM ⊥ ( α ) ⇒ Phương trình đường thẳng IM :  y = 16 + t  z = − 2t   x = −7 + 2t  x = −5  y = 16 + t   ⇔  y = 17 Tọa độ điểm M nghiệm hệ:   z = − 2t   z = −1  x + y − z − = Vậy M ( −5;17; −1) điểm cần tìm Bài tập tương tự tốn 1: Trong khơng gian Oxyz, cho điểm A ( 1; 2;3) , B ( −1;0; −3) , C ( 2; −3; −1) Tìm M thuộc mặt phẳng ( α ) : x + y − z − = cho S = 2MA2 + 5MB − 3MC nhỏ Bài tốn 2: Trong khơng gian Oxyz, cho n điểm A1 , A2 , , An Tìm M thuộc đường uuuu r uuuur uuuur thẳng ∆ ( mặt phẳng ( P ) ) cho P = α1 MA1 + α MA2 + + α n MAn nhỏ , n ∑α i =1 i ≠0 Bài tập áp dụng toán 2: Trong không gian Oxyz, cho điểm x −1 y +1 z −1 A ( 2; 2;3) , B ( −1;0; −3) , C ( 2; −3; −1) Tìm M thuộc đường thẳng ∆ : = = −1 uuur uuur uuuu r cho P = 2MA + 3MB − 4MC nhỏ Bài giải: uu r uur uur r Gọi I ( x; y; z ) điểm thỏa mãn điều kiện IA + 3IB − IC = uu r  IA = ( − x; − y;3 − z ) ;  uur Mà  IB = ( −1 − x; − y; −3 − z ) ; Do I ( −7;16;1)  uur  IC = ( − x; −3 − y; −1 − z ) Khi : uuur uuur uuuu r uuu r uu r uuu r uur uuu r uur P = MA + 3MB − MC = MI + IA + MI + IB − MI + IC = MI ( ) ( ) ( ) Do P nhỏ MI nhỏ M hình chiếu vng góc I lên đường thẳng ∆ uuur Ta có: M ∈ ∆ ⇒ M ( + 2t ; −1 + 3t ;1 − t ) ⇒ IM = ( 2t + 8;3t − 17; −t ) Vì IM ⊥ ∆ ⇒ ( 2t + ) + ( 3t − 17 ) − ( −t ) = ⇔ t = 13 −3   Vậy M  6; ; ÷ điểm cần tìm  2  Bài tập áp dụng tốn 4: Trong khơng gian Oxyz, cho hai điểm A ( 4; −2;6 ) , B ( 3; −2; −2 ) mặt phẳng ( P ) : x − y + z − = Tìm M ∈ ( P ) cho MA − MB lớn Bài giải: uur Mặt phẳng ( P ) có nP = ( 2; −1; ) véc tơ pháp tuyến Thay tọa độ hai điểm A, B vào vế trái phương trình ( P ) ta 16 -2 nên hai điểm A,B nằm khác phía so với ( P ) Vì A,B nằm khác phía so với ( P ) nên với ta ln có AM − MB ≤ AB , đẳng thức xảy M = AB ∩ ( P ) x = − t  Phương trình AB:  y = −2  z = − 8t  28  x = − t x=   y = −2  −10    28 ⇒  y = −2 ⇒ M  ; −2; Tọa độ M:  ÷    z = − 8t  −10  x − y + z − =  z =  −10   Vậy M  ; −2; ÷ điểm cần tìm   Bài tập tương tự tốn 4: Trong khơng gian Oxyz, cho hai điểm A ( 5; −2;6 ) , B ( 3; −2;1) mặt phẳng ( P ) : x − y + 3z − = Tìm M ∈ ( P ) cho MA − MB lớn 28 11 Bài tốn 5: Trong khơng gian Oxyz, cho hai điểm A ( x1 ; y1 ; z1 ) , B ( x2 ; y ; z ) đường thẳng ∆: x − x0 y − y0 z − z0 = = Tìm M ∈ ∆ cho MA + MB nhỏ a b c Bài tập áp dụng tốn 5: Trong khơng gian Oxyz, cho hai điểm A ( 2; 2; −2 ) , B ( 1; −2;1) đường thẳng ∆: nhỏ Bài giải: Vì M ∈ ∆ ⇒ M ( t ; 2t;1 − t ) , x y z −1 = = Tìm M ∈ ∆ cho MA + MB −1 uuuu r uuuu r AM = ( t − 2; 2t − 2; −t + 3) , BM = ( t − 1; 2t + 2; −t ) Ta có MA + MB = 6t − 18t + 17 + 6t + 6t + 2 2 3   7  6  7 =  − 6t ÷ + + t +  ÷  ÷ ÷  2÷  ÷ +  ÷ ÷ 2         Áp dụng bất đẳng thức : a + b + c + d ≥ ( a + c ) + ( b + d ) đẳng thức xảy a c = b d 2 3 6  7 − 6t + 6t + Ta có: MA + MB ≥  ÷ +  ÷ ÷ = 38 ÷    2 Đẳng thức xảy ⇔ 6 − 6t = 6t + ⇔t= 2   Vậy M  ;1; ÷ điểm cần tìm 2 2 Bài tập tương tự tốn 5: 1 12 Trong khơng gian Oxyz, cho hai điểm A ( 3; 2; −1) , B ( 1; −2;1) đường thẳng x −1 y − z = = Tìm M ∈ ∆ cho MA + MB nhỏ −1 x − x0 y − y0 z − z0 = = Bài tốn 6: Trong khơng gian Oxyz, cho đường thẳng ∆: a b c điểm A cho trước Viết phương trình mặt phẳng ( α ) chứa ∆ cách A khoảng ∆: lớn Cách 1: Phương pháp hàm số: Cách 2: Dùng hình học: Gọi K,H hình chiếu vng góc A lên ∆ ( P ) Khi d ( A, ( P ) ) = AH ≤ AK , ta có, mà AK khơng đổi Do đó, d ( A, ( P ) ) lớn ⇔ H ≡ K uuur Hay ( P ) mặt phẳng qua K, nhận AK làm véctơ pháp tuyến Bài tập áp dụng tốn 6: Trong khơng gian Oxyz, cho đường thẳng ∆: x −1 y z + = = , điểm A(1;-1;0) Viết phương trình mặt phẳng ( Q ) chứa ∆ −1 cách A khoảng lớn Bài giải: r Đường thẳng ∆ qua B(1;0;-1) có u = ( 2;1; −1) véc tơ phương r Giả sử n = ( a; b; c ) véc tơ pháp tuyến ( Q ) , suy phương trình mặt phẳng ( Q ) có dạng: ( Q ) : a( x − 1) + by + c(z + 1) = ⇔ ax + by + cz − a + c = ( 1) Do ∆ ⊂ ( Q ) nên 2a + b − c = ⇒ c = 2a + b Do đó: d ( A, ( Q ) ) = c −b a + b2 + c2 = 2a 5a + 4ab + 2b = 4a 5a + 4ab + 2b 13 Nếu b = ⇒ d ( A, ( Q ) ) = Nếu b ≠ ⇒ t∈R a 4a 4t = = f ( t ) đặt t = , xét hàm số f ( t ) với 2 b 5a + 4ab + 2b 5t + 4t + Ta có f ' ( t ) = 16t + 16t , f ' ( t ) = ⇔ t = −1, t = Ta lại có: lim f (t ) = t →±∞ ( 5t + 4t + ) 2 Suy maxf ( t ) = f ( −1) = , maxd ( A, ( Q ) ) = đạt t = −1 Chọn b = −1 ta tìm a = 1, c = Vậy phương trình mặt phẳng ( Q ) : x − y + z = Bài tập tương tự tốn 6: Trong khơng gian Oxyz, cho đường thẳng ∆: x + y z +1 = = , điểm A(1;-1;1) Viết −1 phương trình mặt phẳng ( Q ) chứa ∆ cách A khoảng lớn x − x0 y − y0 z − z0 = = , a b c mặt phẳng ( P ) : ax + by + cz + d = Viết phương trình mặt phẳng ( β ) chứa ∆ tạo với ( P ) góc nhỏ Bài tốn 7: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng ∆: Bài tập áp dụng tốn 7: Trong khơng gian Oxyz, cho đường thẳng x −1 y z + = = mặt phẳng ( P ) : 2x-y + z + = Viết phương trình mặt phẳng −1 ( R ) chứa ∆ tạo với ( P ) góc nhỏ ∆: Bài giải: uur Mặt phẳng ( P ) có nP = ( 2; −1; ) véc tơ pháp tuyến r Đường thẳng ∆ qua B(1;0;-1) có u = ( 2;1; −1) véc tơ phương 14 r Giả sử n = ( a; b; c ) véc tơ pháp tuyến ( R ) suy phương trình mặt phẳng ( R ) có dạng: ( R ) : a( x − 1) + by + c(z + 1) = ⇔ ax + by + cz − a + c = ( 1) Do ∆ ⊂ ( R ) nên 2a + b − c = ⇒ c = 2a + b suy phương trình mặt phẳng ( R ) có dạng: ( R ) : ax + by + ( 2a + b ) z + a + b = Gọi α = (·( P ) , ( R ) ) , 00 ≤ α ≤ 900 Ta có cosα = 2a − b + ( 2a + b ) a + ( 2a + b ) + b Nếu a = ⇒ cosα = = 36a + 12ab + b 5a + 4ab + 2b b 36a + 12ab + b t + 12t + 36 = = f ( t) ta có a 5a + 4ab + 2b 2t + 4t +   53 maxf ( t ) = f  − ÷ = f (t ) = Khảo sát hàm số f ( t ) , có: tlim ta tìm →±∞  10  b Suy max { cosα } = − chọn b = −7 ⇒ a = 10 a 10 R :10 x − y + 13z + = Vậy phương trình ( ) Nếu a ≠ đặt t = Bài tập tương tự toán 7: x + y −1 z = = mặt phẳng −2 −1 ( P ) : 2x-y + z − = Viết phương trình mặt phẳng ( R ) chứa ∆ tạo với ( P ) Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng ∆: góc nhỏ x − x0 y − y0 z − z0 = = a b c Viết phương trình mặt phẳng ( γ ) chứa A, B Bài tốn 8: Trong khơng gian Oxyz, cho đường thẳng ∆: hai điểm A ( x1 ; y1 ; z1 ) , B ( x2 ; y ; z ) tạo với ∆ góc lớn 15 Bài tập áp dụng toán 8: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng x − y + z +1 = = hai điểm M ( 2;1;1) , N ( −1; 2; −1) Viết phương trình mặt −1 phẳng ( α ) chứa M , N tạo với ∆ góc lớn ∆: Bài giải: r Đường thẳng ∆ có u = ( 2;1; −1) véc tơ phương Giả sử phương trình mặt phẳng có dạng: ( α ) : a x + by + cz + d = 3a  c = − + b  2a + b + c + d = ⇔ Do M , N ∈ ( α ) nên   −a + 2b − c + d = d = − a − b  2 Ta có dạng phương trình ( α ) : a x + 2by + ( −3a + b ) z − a − 3b = uur Suy nα = ( a; 2b; ( −3a + b ) ) véc tơ pháp tuyến ( α ) Gọi ϕ = (·∆, ( α ) ) , 00 ≤ ϕ ≤ 900 uur r nα u 4a + 2b + 3a − b 49a + 14ab + b = Ta có: sin ϕ = uur r = 2 13a − 6ab + 5b nα u 4a + ( −3a + b ) + 4b Nếu a = ⇒ sin ϕ = 30 b 49a + 14ab + b t + 14t + 49 = = f ( t) , t ∈ R ta có a 13a − 6ab + 5b 5t − 6t + 13  17  75 f (t ) = , suy maxf ( t ) = f  ÷ = Xét hàm số f ( t ) , ta có: tlim →±∞  19  14 b 17 Do ϕmax ⇔ sinϕmax ⇔ = chọn b = 17, a = 19 a 19 Vậy phương trình ( α ) :19 x + 17 y − 20 z − 35 = Nếu a ≠ đặt t = Bài tập tương tự tốn 8: Trong khơng gian Oxyz, cho đường thẳng x −1 y − z = = hai điểm M ( 1;1;1) , N ( −1; 2; −1) Viết phương trình mặt phẳng −2 −1 ( α ) chứa M , N tạo với ∆ góc lớn ∆: Bài tốn 9: Lập phương trình đường thẳng d qua A ( x1 ; y1 ; z1 ) cắt đường thẳng d ' : x − x0 y − y0 z − z0 = = cho khoảng cách từ B ( x2 ; y2 ; z ) đến đường a b c thẳng d lớn nhất, nhỏ 16 Bài tập áp dụng toán 9: Lập phương trình đường thẳng d qua A ( 0; −1; ) cắt đường thẳng d ': x +1 y z − = = cho khoảng cách từ B ( 1;1;1) đến đường thẳng d −1 a) lớn b) nhỏ Bài giải: Giả sử d cắt d’ điểm M M ( −1 + 2t ; t; − t ) , t ∈ R uuuu r AM = ( 2t − 1; t + 1; −t ) véc tơ phương đường thẳng d uuu r uuuu r uuur Ta có AB = ( 1; 2; −1) nên  AB, AM  = ( − t;1 − t ;3 − 3t ) Khoảng cách từ điểm B đến đường thẳng d là: uuu r uuuu r  AB, AM    d ( B, d ) = uuuu r AM = 11t − 22t + 11 = 6t − 2t + Ta có f ( t ) = f ( t) 22 ( 5t + 1) ( −1 + t ) 11 11t − 22t + 11 f '( t ) = f (t ) = nên Ta lại có: tlim 2 →±∞ 6t − 2t + ( 6t − 2t + ) −1   Từ tìm maxf ( t ) = f  ÷ = , minf ( t ) = f ( 1) =   Do a) maxd ( B, d ) = đạt t = thẳng cần tìm d : x y +1 z − = = −7 r −1 uuuu ⇒ AM = ( −7; 4;1) nên phương trình đường 5 17 uuuu r b) d ( B, d ) = đạt t = ⇒ AM = ( 1; 2; −1) nên phương trình đường thẳng x cần tìm d : = y +1 z − = −1 Bài tập tương tự tốn 9: Lập phương trình đường thẳng d qua A ( 3; −2;1) cắt đường thẳng d ': x + y z −1 = = cho khoảng cách từ B ( 1; 2;1) đến đường thẳng d lớn −1 −3 nhất, nhỏ Bài tốn 10: Lập phương trình đường thẳng d qua A ( x1 ; y1 ; z1 ) cắt đường x − x0 y − y0 z − z0 = = cho khoảng cách d a b c x − x2 y − y2 z − z2 ∆: = = lớn a' b' c' thẳng d ' : Bài tập áp dụng tốn 10: Lập phương trình đường thẳng d qua A ( 1; −1; ) cắt đường thẳng d ': x +1 y z − x −5 y z = = = = lớn cho khoảng cách d ∆: −1 −2 Bài giải: Giả sử d cắt d’ điểm M M ( −1 + 2t ; t; − t ) , t ∈ R uuuu r AM = ( 2t − 2; t + 1; −t ) véc tơ phương đường thẳng d uu r ∆ qua N ( 5;0;0 ) có véctơ phương u∆ = ( 2; −2;1) uu r uuuu r uuur Ta có: u∆ , AM  = ( t − 1; 4t − 2; 6t − ) , AN = ( 4;1; −2 ) Khoảng cách hai đường thẳng là: uu r uuuu r uuur u∆ , AM  AN   d ( ∆, d ) = = uu r uuuu r u∆ , AM    + 4t ( t − 1) + ( 4t − ) + ( 6t − ) 2 18 ( + 2t ) =2 = f ( t) , f ( t) = 53t − 42t + ( 2t + 1) ( 39 − 95t ) ( + 2t ) 53t − 42t + 39 lim f (t ) = Ta lại có: t →±∞ 95 53 ( 53t − 42t + ) uuuu r  39  Từ ta tìm maxf ( t ) = f  ÷ ≈ 4,8 , AM = ( −112;134; −39 ) 95  95  x −1 y +1 z − = = Vậy đường thẳng d có phương trình là: d : −112 134 −39 Vì f '( t ) = 2 nên f ' ( t ) = ⇔ t = − , t = Bài tập tương tự toán 10: Lập phương trình đường thẳng d qua A ( 1; −1;3) cắt đường thẳng d ': x+2 y z+2 x −1 y z −1 = = = = cho khoảng cách d ∆: lớn −2 1 −1 3.4 Hiệu việc sử dụng sơ đồ tư giải tốn hình học tọa độ khơng gian lớp 12- THPT, với thân, đồng nghiệp nhà trường: Khi dạy theo kĩ thuật lập sơ đồ tư duy, thân đồng nghiệp thấy rằng: phần lớn gây hứng thú cho học sinh,học sinh hoạt động tích cực hơn, tránh tình trạng lớp học thụ động học sinh Từ đó, chất lượng học hình học tọa độ khơng gian nói riêng mơn tốn nói chung tăng lên, đồng thời học sinh nhà trường làm điểm cao kì thi, đặc biệt kì thi THPT quốc gia năm Qua học theo kĩ thuật lập sơ đồ tư học sinh tư cách hệ thống, đồng thời so sánh nội dung kiến thức phần với nhau, qua học sinh khắc sâu kiến thức theo chuẩn yêu cầu Kết sau nhiều lần kiểm tra đánh giá sáng kiến thực sau: Lớp Điểm kiểm tra chưa dạy giải tốn hình học tọa độ không gian lớp 12 sơ đồ tư Sỉ số Giỏi Khá SL % SL % Trung bình SL % Điểm kiểm tra sau dạy giải tốn hình học tọa độ khơng gian lớp 12 sơ đồ tư Yếu Giỏi Khá SL % SL % SL % Trung bình SL % Yếu SL % 12A2 45 20 4 19 43 0 11 29 5 11 0 12A4 44 19 21 48 0 10 2 28 6 14 0 (Giỏi: Từ 9,0 đến 10; Khá: Từ 7,0 đến 8,75; Trung bình: 5,0 đến 6,75; Yếu: nhỏ 5,0) Qua kết thu được, ta thấy học sinh học yếu kém, từ chỗ chưa biết gì, chọn đường thích hợp; học sinh khá, giỏi có kĩ tốt, lại thêm sơ đồ hỗ trợ hướng làm có độ xác, đáng tin cậy 19 Phần KẾT LUẬN – KIẾN NGHỊ Như biết, dạy học lớp song song với dạy học đồng loạt, dạy học phân hóa, đến cá nhân học sinh, em có trình độ lĩnh hội kiến thức khác Đề tài nhằm mục đích đó, sơ đồ tư bước giải la bàn giúp người lạc rừng biết lối đi; giúp học sinh ghi nhớ nhanh, bền vững cách giải 10 toán cực trị hình học tọa độ khơng gian lớp 12-THPT; đồng thời làm học sinh chủ động, hào hứng học hình, thay đổi tư cũ: thấy hình thấy khó, từ học sinh có tư làm thi đạt điểm cao 9, 10 kì thi THPTQG Ngồi ra, điều kiện cho phép, tơi mong muốn phát triển đề tài theo hướng nghiên cứu nội dung sau: xây dựng sơ đồ tư bước giải cho tốn khác; tìm thêm cách giải khác cho toán trên; phát triển toán thành toán logic, hệ thống tổng qt với nhau; tìm tốn vật lí thực tế có liên quan đến tổng véctơ tổng hợp lực Đề nghị nhà trường hỗ trợ tích cực phương tiện, thiết bị dạy học cho giáo viên việc áp dụng phương pháp vào thực tiễn Với thời gian nghiên cứu chưa nhiều, nên không tránh khỏi hạn chế bất cập Tơi mong nhận góp ý bạn đồng nghiệp, Hội đồng khoa học nhà trường để đề tài hồn thiện Tơi xin gửi lời cảm ơn tới Ban giám hiệu nhà trường, tổ Toán – Tin bạn đồng nghiệp, em học sinh khối lớp năm qua quan tâm, nhiệt tình hưởng ứng giúp tơi thực đề tài Xác nhận Hiệu trưởng trường THPT Thanh Hóa, ngày 22 tháng năm 2018 Đơng Sơn Tôi xin cam đoan SKKN mình, khơng chép nội dung người khác Người viết SKKN Lưu Thị Huyên 20 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Sách giáo khoa, sách tập hình học 11, 12 (cơ nâng cao), NXB Giáo dục Năm 2007 [2] Phan Huy Khải- Nguyễn Đạo Phương Các phương pháp giải tốn sơ cấp Hình học khơng gian Nhà xuất Hà Nội Năm 2000 [3] IF.Sharygin Tuyển tập 340 tốn hình học khơng gian Nhà xuất tổng hợp Nghĩa Bình Năm 1988 [4] Phan Huy Khải Tốn nâng cao hình học lớp 11 Nhà xuất Hà Nội Năm 2002 [5] Đỗ Thanh Sơn Phương pháp giải tốn hình học 12 theo chủ đề Nhà xuất Giáo dục Năm 2008 [6].Tuyển chọn theo chuyên đề chuẩn bị thi tốt nghiệp THPT thi vào ĐHCĐ mơn tốn,Nhà xuất Giáo dục Năm 2010 [7] http://www diễn dàn toán học.net [8] http://www.thuvientailieu… [9] http://www.thuvienbaigiang [10] Mẫn Ngọc Quang – Phạm Xuân Thành Luyện tốc độ giải nhanh trắc nghiệm hình học khơng gian Nhà xuất Thanh Hóa Năm 2018 [11] Trần Cơng Diêu – Trần Kim Anh Mega Luyện đề THPT quốc gia 2018 Toán trắc nghiệm Nhà xuất đại học quốc gia Hà Nội 2018 [12] Báo Toán học tuổi trẻ năm 2013, 2014 21 DANH MỤC CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CẤP PHÒNG GD&ĐT, CẤP SỞ GD&ĐT VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN Họ tên tác giả: Lưu Thị Huyên Chức vụ đơn vị công tác: Trường THPT Đông Sơn Tên đề tài SKKN Cấp đánh giá xếp loại (Phòng, Sở, Tỉnh ) Kết đánh giá xếp loại (A, B, C) Đổi dạy học mơn tốn qua bài: “Dãy số Fibonaci - Tỉ số vàng” Sở giáo dục đào tạo Thanh Hóa C 2011-2012 Đổi dạy học mơn tốn qua bài: “Hình tự đồng dạng -hình học FRACTAL” Sở giáo dục đào tạo Thanh Hóa C 2013-2014 TT Năm học đánh giá xếp loại * Liệt kê tên đề tài theo thứ tự năm học, kể từ tác giả tuyển dụng vào Ngành thời điểm 22 PHỤ LỤC 1: PHIẾU THĂM DỊ Phiếu thăm dò số 1: Sau học xong bài: cực trị hình học tọa độ khơng gian lớp 12, em có cảm nhận việc dạy học có sử dụng sơ đồ tư bước giải toán áp dụng? A Hứng thú B Cũng dạy khác C Không hứng thú Phiếu thăm dò số 2: Việc sử dụng sơ đồ tư bước giải toán áp dụng học giúp em điều gì? A Dễ dàng tiếp thu kiến thức B Như tiết học khơng có sơ đồ tư bước giải khơng có ví dụ áp dụng C Khó tiếp thu Phiếu thăm dò số 3: Theo em, dạy học theo sơ đồ tư bước giải tốn áp dụng dạy học mơn tốn có cần thiết nên đưa vào nhiều học khác khơng? A Có nên áp dụng nhiều B Khơng cần thiết phải áp dụng Phiếu thăm dò số 4: Theo em, sử dụng sơ đồ tư bước giải để giải tốn hình học tọa độ khơng gian lớp 12 có tiện ích hay khơng? A Rất tiện ích B Bình thường C Khơng tiện ích 23 PHỤ LỤC 2: Đề kiểm tra đánh giá sáng kiến thực hiện: Bài ( Bài tập tương tự tốn 1): Trong khơng gian Oxyz, cho điểm A ( 1; 2;3) , B ( −1;0; −3) , C ( 2; −3; −1) Tìm M thuộc mặt phẳng ( α ) : x + y − z − = cho S = 2MA2 + 5MB − 3MC nhỏ  111 102 −39   111 102 −39   11 12 −39  A M  − 18 ; 36 ; 18 ÷ B M  − 36 ; 36 ; 18 ÷ C M  − 36 ; 36 ; 18 ÷        111 102 −39  D M  36 ; 36 ; 18 ÷   Bài ( Bài tập tương tự toán 2): Trong không gian Oxyz, cho điểm A ( 1; 2;3) , B ( −1;0; −3) , C ( 2; −3; −1) Tìm M thuộc uuur uuur uuuu r x −1 y +1 z −1 = = cho P = 3MA − 4MB + 6MC lớn −1  49 61 17   49 51 −17   49 61 −17   29 61 −17  A M  ; ; ÷ B M  ; ; ÷ C M  ; ; ÷ D M  ; ; ÷  5 5  5   5   5  đường thẳng ∆ : Bài ( Bài tập tương tự toán 3): Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A ( 5; −2;6 ) , B ( 3; −2;1) mặt phẳng ( α ) : x − y + z − = Tìm M ∈ ( α ) cho MA + MB nhỏ     A M  2; ; ÷ B M  3; ; ÷  8  8 Hướng dẫn giải theo sơ đồ tư duy: Bài 1: 9   C M  3; − ; ÷  uu r  uur uur   D M  2; − ; ÷    - Gọi I ( x; y; z ) điểm thỏa mãn điều kiện IA + 5IB − 3IC = ⇔ I  − ; 13  ; −3 ÷  4  - Khi : S = 4MI + IA2 + 5IB − 3IC - Do IA2 + 5IB − 3IC không đổi nên S nhỏ MI nhỏ nhất, hay M hình chiếu vng góc I lên mặt phẳng ( α ) 111 102 −39   - Vậy M  − ; ; ÷ điểm cần tìm  36 36 18  Bài 2: - Gọi I ( x; y; z ) điểm thỏa mãn điều kiện uu r uur uur  19 −12 −3  3IA − IB + IC = ⇔ I  ; ; ÷  5  uuur uuur uuuu r - Khi : P = 3MA − 4MB + 6MC = 5MI Do đó, P nhỏ MI nhỏ hay M hình chiếu vng góc I lên đường thẳng ∆ uuur  10t − 14 15t + −5t +  M ∈ ∆ ⇒ M + t ; − + t ;1 − t ⇒ IM =  ; ; ( ) Ta có: ÷ 5   5  49 61 −17  Vì IM ⊥ ∆ ⇒ t = Vậy M  ; ; ÷ điểm cần tìm 22  5  Bài 3: - Thay tọa độ hai điểm A, B vào vế trái phương trình ( P ) ta 26 nên hai điểm A,B nằm phía so với ( P ) - Gọi A’ điểm đối xứng với A qua ( P ) Khi A’ B khác phía so với ( P ) với điểm M ∈ ( P ) ta có: MA = MA ' 24 Do đó, ∀M ∈ ( P ) : MA + MB = MA '+ MB ≥ A ' B mà A’B không đổi đẳng thức xảy M = A ' B ∩ ( P ) suy MA +MB nhỏ ⇔ M = A ' B ∩ ( P ) x = + t  Ta có: AA ' ⊥ ( P ) ⇒ AA ' :  y = −2 − 3t  z = + 2t  - Tọa độ giao điểm H AA’ ( P ) ⇒ H ( 4;1; ) H trung điểm AA’ ⇒ A ' ( 3; 4; ) x = uuuur  Suy A ' B = ( 0; −6; −1) , phương trình A ' B :  y = −2 − 6t , t ∈ R z = 1− t  9  Tọa độ điểm M nghiệm hệ ⇒ M  3; − ; ÷ 8  9  - Vậy M  3; − ; ÷ điểm cần tìm 8  MỘT SỐ HÌNH ẢNH BÀI LÀM CỦA HỌC SINH: 25 ... thời gian nhanh Chính thế, chọn đề tài: Sử dụng sơ đồ tư bước để giải 10 toán cực trị điển hình hình học tọa độ khơng gian lớp 12 –THPT; giúp học sinh giải nhanh đạt điểm cao kì thi trung học. .. sau: Lớp Điểm kiểm tra chưa dạy giải tốn hình học tọa độ khơng gian lớp 12 sơ đồ tư Sỉ số Giỏi Khá SL % SL % Trung bình SL % Điểm kiểm tra sau dạy giải tốn hình học tọa độ không gian lớp 12 sơ đồ. .. giúp học sinh ghi nhớ nhanh, bền vững cách giải 10 tốn cực trị hình học tọa độ không gian lớp 12- THPT; đồng thời làm học sinh chủ động, hào hứng học hình, thay đổi tư cũ: thấy hình thấy khó, từ học