CHUYÊN đề HÌNH KHÔNG GIAN lớp 11

CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN LỚP 11 BIÊN SOẠN: GV NGUYỄN TRUNG KIÊN PHẦN I: ĐẠI CƯƠNG VỀ HÌNH KHÔNG GIAN VẤN ĐỀ 1: XÁC ĐỊNH GIAO TUYẾN CỦA MẶT PHẲNG Phương pháp: Xác định hai điểm chung phân biệt hai mặt phẳng, giao tuyến đường thẳng qua hai giao điểm Ví dụ 1) Cho hình chóp SABCD có đáy tứ giác ABCD cạnh đối AB , CD không song song với a) Tìm giao tuyến ( SAC ) ( SBD ) b) Xác định giao tuyến hai mặt phẳng ( SAB ) ( SCD ) Giải: Hình vẽ: S A D M O B C a) Ta có ( SAC ) ∩ ( SBD ) = S Vì AC ∈ ( SAC ), BD ∈ ( SBD ) mà AC ∩ BD = O ⇒ ( SAC ) ∩ ( SBD ) = SO Vậy SO giao tuyến hai mặt phẳng ( SAC ) ( SBD ) b) Ta có ( SAB ) ∩ ( SBD ) = S Vì CD ∈ ( SCD ), AB ∈ ( SAB ) mà AB , CD không song song với nên AB ∩ CD = M Ket-noi.com Ket-noi.com kho kho tai tai lieu lieu mien mien phi phi ⇒ ( SAB ) ∩ ( SBD ) = SM Vậy SM giao tuyến mặt phẳng ( SAB ), ( SCD ) • Chú ý: Trong toán ta dùng kết quả: Nếu hai đường thẳng phân biệt thuộc mặt phẳng mà chúng không song song với phải cắt điểm Ví dụ 2) Cho tứ diện ABCD Trên cạnh AB , CD lấy điểm M , N cho MN không song song với BC Gọi I điểm bên tam giác BCD Tìm giao tuyến mặt phẳng ( MNI ) với mặt phẳng ( BCD ), ( ABD ), ( ACD ) Giải: Hình vẽ A K B N D I E F C J • Tìm giao tuyến ( MNI ) ( BCD ) Ta thấy ( MNI ) ∩ ( BCD ) = I Vì MN không song song với BC nên MN ∩ BC = J Vậy giao tuyến ( MNI ) ( BCD ) IJ • Tìm giao tuyến ( MNI ) ( ABD ) Ta thấy ( MNI ) ∩ ( ABD ) = M IJ ∈ ( MNI ), IJ ∩ BD = K ⇒ ( MNI ) ∩ ( ABD ) = MK Vậy giao tuyến hai mặt phẳng ( MNI ) ( ABD ) MK • Tìm giao tuyến ( MNI ) ( ACD ) Ta thấy ( MNI ) ∩ ( ACD ) = N Mà IJ ∈ ( MNI ), IJ ∩ CD = F ⇒ ( MNI ) ∩ ( ACD ) = NF Vậy giao tuyến ( MNI ) ( ACD ) NF Trong toán em hs cần ý: - Để việc hình dung điểm I rõ ràng mặt phẳng ( BCD ) ta dựng đường thẳng DE nằm ( BCD ) sau xác định điểm I thuộc DE - Khi ta tìm điểm J thuộc mặt phẳng ( MNI ) ta có ( MNI ) ≡ ( MIJ ) điều giúp ta giải câu hỏi sau dễ dàng Ví dụ 3) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình bình hành Trên cạnh SD ta lấy điểm M cho SM = SD N điểm thay đổi cạnh BC Tìm giao tuyến mặt phẳng a) ( SBC ) ( SAD ) b) ( AMN ) ( SCD ) c) ( AMN ) ( SBC ) Giải: a) Ta thấy ( SBC ) ∩ ( SAD ) = S Qua điểm S ta kẻ đường thẳng Sx song song với BC Mặt phẳng ( SBC ) mặt phẳng chứa Sx BC Mặt phẳng ( SAD ) mặt phẳng chứa Sx AD Từ suy ( SBC ) ∩ ( SAD ) = Sx b) Giao tuyến ( AMN ) ( SCD ) Ta thấy ( AMN ) ∩ ( SCD ) = M Ket-noi.com Ket-noi.com kho kho tai tai lieu lieu mien mien phi phi Mặt khác AN không song song với CD nên AN ∩ CD = E Vậy iao tuyến ( AMN ) ( SCD ) ME c) Giao tuyến ( AMN ) ( SBC ) Ta thấy ( AMN ) ≡ ( AME ) Vì ( AMN ) ∩ ( SBC ) = N ; ME ∩ SC = F ⇒ ( AMN ) ∩ ( SBC ) = NF Vậy giao tuyến ( AMN ) ( SBC ) NF Hình vẽ: x S M A D F B N C E Trong toán học sinh cần ý: Hai đường thẳng song song xác định mặt phẳng VẤN ĐỀ 2: TÌM GIAO ĐIỂM CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG, XÁC ĐỊNH THIẾT DIỆN KHI CẮT BỞI MỘT MẶT PHẲNG CHO TRƯỚC • Để tìm giao tuyến đường thẳng ( ∆ ) mặt phẳng ( P ) ta làm sau: + Tìm mặt phẳng (Q ) chứa đường thẳng ∆ + Tìm giao tuyến ( d ) mặt phẳng ( P ) mặt phẳng (Q ) + Giao điểm đường thẳng ( d ) đường thẳng ∆ giao điểm đường thẳng ( ∆ ) mặt phẳng ( P ) • Để xác định thiết diện khối chóp, lăng trụ cắt mặt phẳng ( P ) ta tìm giao tuyến mặt phẳng ( P ) với mặt hình chóp ( có) Khi đoạn thẳng có từ giao ( P ) với mặt hình chóp tạo thành đa giác gọi thiết diện hình chóp, lăng trụ cắt mặt phẳng ( P ) Ví dụ 1) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình thang với đáy lớn AD Gọi M trung điểm SA , N điểm thuộc cạnh bên SC ( N trung điểm SC ) a) Tìm giao tuyến ( ABN ) (CDM ) b) Xác định giao điểm MN với ( SBD ) c) P điểm thuộc cạnh AB Xác định thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng ( MNP )  AB ∩ CD = O Giải: Ta có  ⇒ ( ABN ) ∩ (CDM ) = OQ  AN ∩ CM = Q S M A D Q B N C O a) Tìm giao điểm MN ( SBD ) Ket-noi.com Ket-noi.com kho kho tai tai lieu lieu mien mien phi phi Ta có + MN ∈ ( SAC ) , + ( SAC ) ∩ ( SBD ) = SO + MN ∩ SO = K ⇒ MN ∩ ( SBD ) = K S M K D A N O B C b) Xác định thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng ( PMN ) + Ta có MN ∩ AC = R ⇒ ( MNP ) ≡ ( MPR ) + Nối P , R cắt BC , AD U , T + Nối T , M cắt SD V Thiết diện ngũ giác PMVNU S V M T D A N P B U C R Ví dụ 2) Cho tứ diện ABCD Gọi I , J trung điểm AC , BC Ttên cạnh BD ta lấy điểm K cho BK = KD a) Tìm giao điểm E CD ( IJK ) Chứng minh DE = DC b) Tìm giao điểm F AD ( IJK ) Chứng minh FA = FD c) Gọi M , N hai điểm thuộc AB , CD Tìm giao điểm MN ( IJK ) Giải: a) Tìm giao điểm E CD ( IJK ) Chứng minh DE = DC Ta thấy CD ∈ ( BCD ) mà ( BCD ) ∩ ( IJK ) = JK Kéo dài JK cắt CD E CD ∩ ( IJK ) = E Ta có K trọng tâm tam giác BCE nên BD đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh B , D trung điểm EC hay DE = DC b) Ta thấy ( IJK ) ≡ ( IJE ) Vì AD ∈ ( ACD ) mà ( ACD ) ∩ ( IJK ) = IE Ta có IE ∩ AD = F ⇒ AD ∩ ( IJK ) = F Ket-noi.com Ket-noi.com kho kho tai tai lieu lieu mien mien phi phi Dễ thấy F trọng tâm tam giác ACE nên FA = FD c) Ta có MN ∈ ( MCD ) Vì MC ∩ IJ = U , MD ∩FK = T ⇒ ( MCD ) ∩ ( IJK ) = UT UT ∩ MN = P ⇒ MN ∩ ( IJK ) = P A E F I M T B P D K U J N C Ví dụ 3) Cho hình chóp SABCD , M trung điểm SB , N điểm thuộc SC cho SN = SC a) Xác định giao điểm CD với mặt phẳng ( AMN ) b) P điểm thuộc mặt phẳng ( SAD ) Xác định giao tuyến ( AMN ) ( PBD ) c) Xác định thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng ( MNP ) Giải: a) Xác định giao điểm CD với mặt phẳng ( AMN ) Xét CD ∈ ( ABCD ) Ta có MN ∩ BC = H ⇒ ( AMN ) ∩ ( ABCD ) = AH ; AH ∩ CD = K Suy giao điểm CD với mặt phẳng ( AMN ) điểm K b) P điểm thuộc mặt phẳng ( SAD ) Xác định giao tuyến ( AMN ) ( PBD ) S L I M P N D A J B C H Kẻ đường thẳng DL thuộc mặt phẳng ( SAD ) Trên DL ta lấy điểm P Như ( BPD ) ≡ ( BDL ) , theo câu a ta có ( AMN ) ≡ ( AMH ) Giả sử AM ∩ BL = I , AH ∩ BD = J ⇒ ( BDL ) ∩ ( AMH ) = IJ c) Xác định thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng ( MNP ) Trong mặt phẳng ( SAD ) , SP ∩ AD = E , Trong mặt phẳng ( ABCD ) , HE ∩ CD = F Trong mặt phẳng ( SEH ) , SF ∩ HP = G Ta có hai trường hơp sau: Trường hợp 1: Trong mặt phẳng ( SCD ) , NG ∩ SD = Q ( điểm Q trùng vào D ) Khi mặt phẳng ( SAD ) có QP ∩ SA = R ( QP cắt AD giao điểm bên đoạn AD QP cắt AD giao điểm O bên HO ∩ CD ⇒ ( MNP ) ∩ CD điểm bên Điều vô lý ( MNP ) cắt SB, SC N , Q ) Ta thấy Q ∈ HP ⊂ ( MNP ) ⇒ Q = SD ∩ ( MNP ) ; R ∈ QP ⊂ ( MNP ) ⇒ R = SA ∩ ( MNP ) Ket-noi.com Ket-noi.com kho kho tai tai lieu lieu mien mien phi phi Thiết diện tứ giác MNQR S L R P M G Q D N E A F K C B H Trường hợp 2: Trong mặt phẳng ( SCD ) , NG ∩ CD = T ⇒ HT ∩ AD = U S V P M A U E G T N B F C D H Trong mặt phẳng ( SAD ) , UP ∩ SA = V ( UP cắt SD ( MNP ) cắt SC , CD N ,T ) 10 Ket-noi.com Ket-noi.com kho kho tai tai lieu lieu mien mien phi phi AC = BD = a  2a a EF BM BM AC x 3.a 3 x ; = ⇒ EF = = = , DO =  ⇒ BO = 3 AC BO BD 2a BO = 2OD  GM BM BM SD 2ax 3x 3 3x = ⇒ GM = = = x Suy S EFG = x = SD BD BD 2 a Do ≤ x ≤ BO ⇒ x ≤ 2a 2a ⇒x≤ 3 3 4a 2 3a 2a x = Suy diện tích tam giác EFG đạt giá trị lớn = 3 Trường hợp 2: M thuộc đoạn thẳng OD Qua M kẻ đường thẳng song song AC cắt AD, DC N P Qua M , N , P kẻ đường thẳng song song SD cắt SA, SB, SC J , Q , K Khi thiết diện cần tìm ngũ giác NPQKJ Do JN ⊥ NP; KM ⊥ NP; PQ ⊥ NP ⇒ S NPQKJ = S MNKJ + S MKPQ = 1 ( NJ + MK ) MN + ( MK + PQ ) MP = ( NJ + MK ) NP 2 (do JN = PQ ) Vì BM = x nên MD = a − x = ( a − x ) , OD = a 3 ( a − x ) a NP DM DM AC = ⇒N = = = 3 (a − x) AC DO DO a 3 ( a − x ) x − 2a NJ AN ND MD x − 2a = = 1− = 1− = 1− = ⇒ NJ = 2a = ( x − 2a ) SD AD AD DO a a a KM BM BM SD x 3.2a = ⇒ KM = = = 2x SD BD BD a 30 ⇒ S NPQKJ = 1 ( x − 4a + x ) 3 ( a − x ) = ( x − 4a ) 3 ( a − x ) = ( x − a )( a − x ) 2  x − a + a − 2a  a2 3a 3a Do ( x − a )( a − x ) ≤  = ⇒ S = ⇔x= NPQKJ  2 4  Kết luận: Khi M thuộc đoạn thẳng BO diện tích thiết diện giá trị lớn 3x , diện tích thiết diện đạt 2 3a 2a x = 3 Khi M thuộc đoạn thẳng OD diện tích thiết diện ( 2x − a )( a − x ) , diện tích thiết diện đạt giá trị lớn x= 3 3a 3 Vậy diện tích thiết diện lớn a x = a 4 3a Ví dụ 6) Cho hình lăng trụ ABCA ' B ' C ' Gọi I trung điểm cạnh B ' C ' a) Chứng minh AB '/ / ( A ' IC ) b) M điểm thuộc cạnh A ' C ', AM cắt A ' C P, B ' M cắt A ' I Q Chứng minh PQ / / AB ' Tìm vị trí điểm M để diện tích tam giác A ' PQ diện tích tam giác ACI c) J diểm thuộc cạnh AC, JA = 3JC Kí hiệu (α ) mặt phẳng qua J song song với AB ', IC Xác định thiết diện hình lăng trụ cắt mặt phẳng (α ) Lời giải: a) Gọi O trung điểm A ' C A ' B / / IO , AB '/ / ( A ' IC ) b) Ta có PQ giao tuyến ( AB ' M ) ( A ' IC ) nên PQ / / A ' B / / IO A 'Q S A 'CI = S A 'OI = Vậy Q trọng tâm tam giác A ' B ' C ' , suy 9 A' I M trung điểm A ' C ' S A ' PQ = 31 Ket-noi.com Ket-noi.com kho kho tai tai lieu lieu mien mien phi phi A C O B P M A' C' Q B' c) Do AB '/ / ( A ' IC ) nên (α ) mp qua J song song với ( A ' IC ) Trong mp ( ACC ' A ') , kẻ đường thẳng qua J song song với AC ' cắt AA ' N , cắt A ' C ', C ' C R , S Trong mp ( BCC ' B ') , kẻ đường thẳng qua S song song với IC cắt BC , B ' C ' K , H Trong mp ( AC ' B ') , RH cắt A ' B ' L Ta có ngũ giác JKHLM thiết diện cần dựng Chú ý: Có thể “bắt đầu” cách kẻ mặt phẳng ( ACB ') đường thẳng qua J song song với AB ' cắt CB ' điểm D D giao điểm ( CB ') với (α ) (Tương tự làm với việc xác định điểm P mặt phẳng ( ABC ') câu b trên) Sau mp ( BCC ' B ') kẻ đường thẳng qua CC ', BC , B ' C ' với (α ) … D song song với IC để tìm giao điểm S , K , H 32 S J A C K B N R A' C' L I B' H VẤN ĐỀ 3: CHỨNG MINH MỘT HỆ THỨC HÌNH HỌC Ví dụ 1) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình bình hành tâm O Một mặt phẳng ( P ) cắt cạnh SA, SB, SC , SD M , N , E , F Chứng minh SA SC SB SD + = + SM SE SN SF Giải: S S F M M E N A E I D H A O B I C O K C 33 Ket-noi.com Ket-noi.com kho kho tai tai lieu lieu mien mien phi phi Trước hết ta cần chứng minh tính chất: ‘’Cho tam giác SAC có O trung điểm AC Một SA SC SO đường thẳng cắt cạnh SA, SO, SC M , I , E Khi ta có: ’’ + =2 SM SE SI Thật ta kẻ đường thẳng qua A, C song song với ME cắt SO H , K OH = OK hai tam giác ∆AHO = ∆CKO Bây ta có: SA SH SO − OH SO OH SC SK SO + OK SO OK = = = − = = = + AM SI SI SI SI SE SI SI SI SI Cộng hai đẳng thức với ý: OH = OK ta thu được: Quay trở lại toán: Áp dụng tính chất ta có: Từ suy SA SC SO + =2 SM SE SI SA SC SO SB SD SO + =2 + =2 SM SE SI SN SF SI SA SC SB SD + = + SM SE SN SF Ví dụ 2) Cho tứ diện ABCD Điểm O nằm tam giác BCD Qua O kẻ đường thẳng song song với AB, AC , AD cắt mặt phẳng ( ACD ), ( ABD ), ( ABC ) M , N , P OM ON OP số + + AB AC AD b) Tìm giá trị lớn OM ON OP a) Chứng minh: Giải: A B K N P O F M K D B O D H Q E C E F C 34 a) • Qua O nối đường thẳng BO, CO, DO cắt cạnh CD, BC , BD tam giác BDC E , F , K • Trong mặt phẳng ( ABE ), ( AKC ), ( ADF ) ta kẻ đường thẳng qua O song song với AB, AC , AD cắt AE , AK , AF M , N , P M , N , P giao điểm đường thẳng song song với AB, AC , AD mặt phẳng ( ACD ), ( ABD ), ( ABC ) • Ta có OM OE OQ S ∆OCD (1) với Q, H chân đường cao hạ từ O, B lên CD = = = AB EB BH S ∆BCD Hoàn toàn tương tự ta có: ON S ∆OBD OP S ∆OBC (2) ; (3) = = AC S ∆BCD AD S ∆BCD Cộng ba đẳng thức (1), (2), (3) ta thu được: OM ON OP S ∆OCD S ∆OBD S ∆OBC S ∆BCD + + = + + = =1 AB AC AD S ∆BCD S ∆BCD S ∆BCD S ∆BCD b) Theo bất đẳng thức Cauchy ta có: ⇔ ≥ 33 OM ON OP OM ON OP + + ≥ 33 AB AC AD AB AC AD OM ON OP ⇔ OM ON OP ≤ AB AC AD AB AC AD 27 Vậy giá trị lớn OM ON OP Dấu xảy AB AC AD 27 OM ON OP OK OF OE = = = ⇔ = = = AB AC AD CK DF BE Hay O trọng tâm tam giác BCD BÀI TẬP RÈN LUYỆN Câu 1) Cho tứ diện ABCD có M trung điểm cạnh AB , N điểm cạnh BC cho BN = 2CN a) Tìm giao điểm MN với mp( ACD ) b) P điểm thuộc cạnh CD Xác định giao tuyến ( MCD ) ( ANP ) c) Xác định thiết diện hình chop cắt mặt phẳng ( MNP ) 35 Ket-noi.com Ket-noi.com kho kho tai tai lieu lieu mien mien phi phi Câu 2) Cho tứ diện ABCD có G trọng tâm tam giác ABC , I trung điểm cạnh BD J JC thuộc CD cho =2 JD a) Xác định thiết diện tứ diện cắt mặt phẳng (GIJ ) b) M điểm thuộc đoạn AJ Xác định giao điểm GM với ( ABD ) Câu 3) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình bình hành M trung điểm cạnh SA , N điểm thuộc cạnh BC a) Xác định giao điểm SC với ( MND ) b) P điểm thuộc cạnh CD Xác định giao tuyến ( MND ) ( SBP ) c) Xác định thiết diện hình chop cắt mặt phẳng ( MNP ) Câu 4) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình thang với đáy lớn AD , M trung điểm cạnh SA , N điểm thuộc cạnh SC ( N không trung điểm SC ) a) Xác định giao tuyến ( ABN ), (CDM ) b) Tìm giao điểm MN với ( SBD ) c) P điểm thuộc cạnh AB Xác định thiết diện hình chop cắt mặt phẳng ( MNP ) Câu 5) Cho hình chóp SABCD , M điểm thuộc mặt bên ( SCD ) a) Xác định giao tuyến ( SAC ), ( SBM ) b) Xác định giao điểm AM với ( SBD ) Câu 6) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình bình hành M điểm thuộc SD cho SM = SD a) Xác định giao điểm BM với ( SAC ) b) N điểm thay đổi BC Xác định giao tuyến ( AMN ), ( SBC ) Chứng minh giao tuyến qua điểm cố định c) G trọng tâm tam giác SAB Xác định thiết diện hình chop cắt mặt phẳng ( MNG ) Câu 7) Cho tứ diện ABCD gọi I , J trung điểm AC , BC Trên cạnh BD lấy điểm K cho BK = KD a) Tìm giao điểm E CD ( IJK ) Chứng minh DE = DC b) Tìm giao điểm F AD ( IJK ) Chứng minh FA = FD 36 c) Chứng minh FK / / IJ d) Gọi M , N hai điểm nằm hai cạnh AB, CD Tìm giao điểm MN ( IJK ) Câu 8) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình bình hành tâm O Gọi M trung điểm SB , G trọng tâm tam giác SAD a Tìm giao điểm I GM với ( ABCD ) b Chứng minh I đường thẳng CD IC = ID KA c Tìm giao điểm K (OMG ) với SA Tính KS Câu 9) Cho hình chóp SABCD , Gọi I , J điểm AD, SB a Tìm giao điểm K , L IJ DJ với mặt phẳng ( SAC ) b AD cắt BC O , OJ cắt SC M Chứng minh A, K , L, M thẳng hàng Câu 10) Cho hình chóp SABCD , M điểm cạnh BC , N điểm cạnh SD a Tìm giao điểm I BN ( SAC ) giao điểm J MN ( SAC ) , DM cắt AC K Chứng minh S , K , J thẳng hàng b Xác định thiết diện hình chóp SABCD với mặt phẳng ( BCN ) Câu 11) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình bình hành tâm O Gọi M , N , P trung điểm BC , CD , SO Tìm giao tuyến mặt phẳng ( MNP ) với mặt phẳng ( SAB ), ( SAD ), ( SBC ), ( SCD ) Câu 12) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình thang đáy lớn AB Trên SA, SB lấy M , N cho MN không song song với AB Gọi O = AC ∩ BD a) Tìm giao điểm AB ( MNO ) b) Tìm giao tuyến ( MNO ) với ( SBC ), ( SAD ) c) Gọi I giao điểm hai giao tuyến nói trên, J giao điểm AD, BC Chứng minh S , I , J thẳng hàng Câu 13) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình bình hành M trung điểm SC a) Tìm giao điểm I AM với ( SBD ) Tính IA IM b) Tìm giao điểm F SD ( ABM ) Suy thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng ( ABM ) 37 Ket-noi.com Ket-noi.com kho kho tai tai lieu lieu mien mien phi phi c) Gọi N điểm tùy ý thuộc AB Tìm giao điểm K MN với SBD Câu 14) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi M , N , P trung điểm SA, BC , CD Xác định thiết diện a) Hình chóp SABCD với mặt phẳng ( MNP ) b) Hình chóp SABC với mặt phẳng ( MNP ) c) Hình chóp SABD với mặt phẳng ( MNP ) Câu 15) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình thang đáy lớn AD Gọi M , N trung điểm SA, SB a) Tìm giao điểm SC với ( DMN ) b) Xác định thiết diện hình chóp SABCD với mặt phẳng ( MND ) Câu 16) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình bình hành tâm O Gọi M , N trung điểm SB, SD P điểm SC cho SP > PC Tìm giao tuyến mặt phẳng ( MNP ) với mặt phẳng ( SAC ), ( SAB ), ( SAD ), ( ABCD ) Câu 17) Cho lăng trụ ABCA ' B ' C ' Gọi M trung điểm A ' B ' Điểm N thay đổi đoạn BB ' Gọi P trung điểm đoạn C ' N a) Chứng minh MP / / ( AA ' C ' C ) b) Chứng minh MP thuộc mặt phẳng cố định N thay đổi c) Tìm vị trí N thuộc BB ' cho MP song song với A ' C ĐS: c) N ≡ B Câu 18) Cho hình chóp SABCD có đáy hình thang ( AD / / BC ) Gọi M trọng tâm tam giác SAD , N điểm thuộc đoạn AC cho NA = PD = NC , P điểm thuộc đoạn CD cho PC Chứng minh rằng: a) MN / / ( SBC ) b) ( MNP ) / / ( SBC ) 38 Câu 19) Cho hình chóp SABCD có đáy hình bình hành Hai điểm M , N thay đổi đoạn thẳng SB, AC cho BM NC = = x ( < x ≠ 1) Gọi G trọng tâm tam giác MS NA SCD a) Chứng minh MN song song với mặt phẳng cố định x thay đổi b) Tìm x để ( GMN ) / / ( SAD ) c) Tìm x để NG / / ( SAB ) ĐS: x = 2; x = Câu 20) Cho hình chóp SABCD có đáy hình bình hành Xác định thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng (α ) qua trung điểm M BC song song với BD, SC Câu 21) Cho hình hộp ABCDA ' B ' C ' D ' Các điểm M , N thuộc đoạn AD, A ' C cho MN / / ( BC ' D ) Biết AM CN = Tính AD CA ' ĐS: ˆ = 600 , AB = a Gọi O trung Câu 22) Trong mp (α ) , cho tam giác ABC vuông A , ACB điểm BC Lấy S mp (α ) cho SB = a SB ⊥ OA Gọi M điểm AB , mp ( β ) qua M song song với x = BM ( < x < a ) SB OA , cắt BC , SC , SA N , P, Q Đặt c) Chứng minh tứ giác MNPQ hình thang vuông d) Tính theo a , x diện tích hình thang Tìm x để diện tích hình thang lớn ĐS: S = (4a − 3x) x 12 Câu 23) Cho tứ diện ABCD AB ⊥ CD AB = AC = CD = a , M điểm cạnh AC với AM = x ( < x < a ) Mặt phẳng (α ) qua M , song song với AB CD a) Xác định thiết diện ABCD cắt (α ) Thiết diện hình gì? b) Tính diện tích thiết diện theo a x Tìm x để diện tích thiết diện lớn ĐS: S = x(a − x) 39 Ket-noi.com Ket-noi.com kho kho tai tai lieu lieu mien mien phi phi Câu 24) Cho hình chóp SABCD đáy hình bình hành tâm O Điểm M di động SC , (α ) mp qua AM song song với BD a) Chứng minh (α ) chứa đường thẳng cố định b) Tìm giao điểm H K (α ) với SB SD ( H ∈ SB, K ∈ SD ) Chứng minh k = SB SD SC có giá trị không đổi + − SH SK SM ĐS: k = Câu 25) Cho hình chóp SABCD với đáy hình thang có AD / / BC Điểm M nằm hình thang ABCD Từ M kẻ đường thẳng song song với SA, SB cắt mặt ( SBC ), ( SAD ) N , P MN MP số + SA SB b) Tìm vị trí M để diện tích tam giác MNP lớn a) Chứng minh ĐS: a) Câu 26) Cho hình chóp SABCD có đáy hình bình hành tâm O a) Từ điểm M di động đoạn SA dựng đường thẳng song song với AD cắt SD N , NB cắt SO P Chứng minh MP qua điểm cố định CQ SM b) Trên cạnh CD lấy điểm Q cho Tìm vị trí M SA để tam giác = CD SA MNQ có diện tích lớn ĐS: b) M trung điểm SA Câu 27) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi M , N , I trung điểm cạnh AB, CD, SA a) Chứng minh SC / /( MNI ) b) P điểm thuộc SB Xác định giao tuyến (CIM ), ( APN ) c) Q điểm thuộc ( SAD ) , Xác định thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng (CPQ ) Câu 28) Cho hình hộp ABCDA ' B ' C ' D ' Gọi I trung điểm AB ' a) Chứng minh C ' I / /( ACD ') b) M điểm thuộc DD ' Xác định giao tuyến mặt phẳng (C ' IM ), ( ACD ') Tìm vị trí M để giao tuyến qua trung điểm AD ' c) N điểm thuộc C ' D ' Xác định giao điểm AB, AD với mặt phẳng ( IMN ) Câu 29) Cho lăng trụ tam giác ABCA ' B ' C ' Gọi I , K , G trọng tâm tam giác ABC , A ' B ' C ', A ' CC ' 40 a) Chứng minh mp ( IKG ) / / mp ( BB ' CC ') b) Xác định thiết diện lăng trụ với mặt phẳng ( IKG ) c) Gọi H trung điểm BB ' Chứng minh ( AHI ) / /( A ' KG ) Câu 30) Cho lăng trụ tam giác ABCA ' B ' C ' Gọi I , J , K tâm hình bình hành ACC ' A ', BCC ' B ', ABB ' A ' a) b) c) d) Chứng minh IJ / /( ABB ' A '), JK / /( ACC ' A '), IK / /( BCC ' B ') Chứng minh ba đường thẳng AJ , CK , BI đồng quy điểm O Mặt phẳng ( IJK ) song song với đáy lăng trụ Gọi G , G ' trọng tâm hai mặt đáy Chứng minh G , O , G ' thẳng hàng Câu 31) Cho hình chóp SABCD có đáy hình bình hành Gọi M trung điểm SC; ( P ) mặt phẳng qua AM song song với BD a) Xác định thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng ( P ) b) Gọi E F giao điểm ( P ) với cạnh SB SD Hãy tìm tỉ số diện tích tam giác SBC tỉ số diện tích tam giác SMF với tam giác SCD c) Gọi K giao điểm ME với CB, J giao điểm MF CD Hãy chứng minh ba điểm K , A, J nằm đường thẳng song song với EF tìm tỉ số EF KJ Câu 32) Cho hình chóp SABCD có đáy tứ giác lồi M trung điểm cạnh bên SA, N trung điểm cạnh bên SC a) Xác định thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng qua M , N song song với mp ( SBD ) b) Gọi I , J giao hai mặt phẳng nói với AC Chứng minh IJ = AC Câu 33) Cho hình chóp SABCD có đáy hình bình hành Một mặt phẳng ( P ) cắt cạnh bên SA, SB, SC , SD A ', B ', C ', D ' Chứng minh rẳng tứ giác A ' B ' C ' D ' hình bình hành mặt phẳng ( P ) song song với mặt phẳng ( ABCD ) Câu 34) Cho hình chóp SABC Các điểm I , J , K trọng tâm tam giác SAB, SBC , SCA a) Chứng minh ( IJK ) / / ( ABC ) 41 Ket-noi.com Ket-noi.com kho kho tai tai lieu lieu mien mien phi phi b) Tìm tập hợp điểm M nằm hình chóp SABC cho KM song song với mp ( ABC ) Câu 35) Cho hình chóp SABCD có đáy hình thang ( AB / /CD ) Điểm M thuộc cạnh BC không trùng với B C a) Xác định thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng ( P ) qua M song song với mp ( SAB ) Thiết diện hình gì? b) Gọi E F giao điểm mp ( P ) với SD SC Chứng minh giao điểm I NE MF chạy đường thẳng cố định Câu 36) Cho tứ diện ABCD Gọi I J trung điểm AB CD Một mặt phẳng qua IJ cắt cạnh AD BC N M a) Cho trước điểm M , nêu cách dựng điểm N b) Gọi K giao điểm MN IJ Chứng minh K trung điểm MN Câu 37) Cho hình hộp ABCDA ' B ' C ' D ' có tất mặt hình vuông cạnh a Các ( điểm M , N nằm AD ', DB cho AM = DN = x < x < a ) a) Chứng minh x biến thiên, đường thẳng MN song song với mặt phẳng cố định b) Chứng minh x = a MN / / A ' C Câu 38) Cho hình hộp ABCDA1 B1C1 D1 Gọi O1 tâm hình bình hành A1 B1C1 D1 ; K trung điểm CD; E trung điểm BO1 a) Chứng minh E nằm mp ( ACB1 ) b) Xác định thiết diện hình hộp cắt mp ( P ) qua điểm K song song với mp ( EAC ) Câu 39) Cho lăng trụ tam giác ABCA ' B ' C ' Trên đường thẳng BA lấy điểm M cho A nằm B M , MA = AB a) Xác định thiết diện hình lăng trụ cắt mp ( P ) qua M , B ' trung điểm E AC b) Tính tỉ số BD ( D = BC ∩ ( MB ' E ) ) CD 42 Câu 40) Cho lăng trụ tam giác ABCA ' B ' C ' Gọi I , J , K tâm hình bình hành ACC ' A, BCC ' B ', ABB ' A ' a) Chứng minh rằng: IJ / / ( ABB ' A ') , JK / / ( ACC ' A ') , IK / / ( BCC ' B ') b) Ba đường thẳng AJ , CK , BI đồng quy điểm O c) Mặt phẳng ( IJK ) song song với mặt đáy hình lăng trụ d) Gọi G , G ' trọng tâm tam giác ABC A ' B ' C ' Chứng minh ba điểm G , O , G ' thẳng hàng Câu 41) Cho hình hộp ABCDA ' B ' C ' D ' Điểm M thuộc cạnh AD , điểm N thuộc cạnh D ' C ' cho AM : MD = D ' N : NC ' a) Chứng minh MN song song với ( C ' BD ) b) Xác định thiết diện hình hình hộp cắt mp ( P ) qua MN song song với mp ( C ' BD ) Câu 42) Cho hình hộp ABCDA ' B ' C ' D ' Gọi P, Q, R, S tâm mặt bên ABB ' A ', BCC ' B ', CDD ' C ', DAA ' D ' a) Chứng minh RQ song song với mp ( ABCD ) , ( PQRS ) song song với ( ABCD ) b) Xác định thiết diện hình hộp cắt mp ( AQR ) c) Gọi M giao điểm cạnh CC ' với mp ( AQR ) Tính tỉ số MC MC ' Câu 43) Cho hình chóp SABCD có đáy tứ giác lồi Gọi O giao điểm hai đường chéo AC BD; M trung điểm cạnh SA a) Xác định thiết diện hình chóp cắt mp ( P ) qua M , song song với SO BC b) Xác định thiết diện hình chóp cắt mp ( Q ) qua O , song song với BM SD Câu 44) Cho hình chóp SABCD có đáy hình thang ( AD / / BC , AD > BC ) Gọi M , N , E trung điểm AB, CD, SA 43 Ket-noi.com Ket-noi.com kho kho tai tai lieu lieu mien mien phi phi a) Chứng minh MN / / ( SBC ) ; ( MEN ) / / ( SBC ) b) Trong tam giác SAD vẽ EF / / AD ( F ∈ SD ) Chứng minh F giao điểm mặt phẳng ( MNE ) với SD Từ suy thiết diện hình chóp cắt mp ( MNE ) hình gì? c) Chứng minh SC / / ( MNE ) Đường thẳng AF có song song với mp ( SBC ) không? d) Cho M , N hai điểm cố định nằm cạnh AB, CD cho MN / / AD E , F hai điểm di động cạnh SA, SD cho EF / / AD Gọi I giao điểm ME NF I di động đường nào? Câu 45) Cho hình hộp ABCDA1 B1C1 D1 a) Chứng minh đường chéo B1 D cắt mp ( A1 BC1 ) G cho B1G = GD G trọng tâm tam giác A1 BC1 b) Chứng minh ( D1 AC ) / / ( BA1C1 ) G ' trọng tâm tam giác D1 AC nằm B1 D B1G ' = B1 D c) Gọi P, Q, R điểm đối xứng điểm B1 qua A, D1 C Chứng minh ( PQR ) / / ( BA1C1 ) d) Chứng minh D trọng tâm tứ diện B1 PQR Trong trình biên soạn cố gắng chắn tránh khỏi sai sót Rất mong góp ý bạn đọc để tài liệu hoàn thiện Mọi đóng góp xin gửi về: kien.noiaybinhyen@gmail.com 44 [...]... diện của hình chop khi cắt bởi mặt phẳng ( MNP ) Câu 4) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang với đáy lớn là AD , M là trung điểm của cạnh SA , N là điểm thuộc cạnh SC ( N không là trung điểm của SC ) a) Xác định giao tuyến của ( ABN ), (CDM ) b) Tìm giao điểm của MN với ( SBD ) c) P là một điểm thuộc cạnh AB Xác định thiết diện của hình chop khi cắt bởi mặt phẳng ( MNP ) Câu 5) Cho hình chóp... MNPQ đạt giá trị lớn nhất bằng 3a 2 2a khi x = 9 3 Ví dụ 5) Cho hình chóp SABCD đáy là nửa lục giác đều với BC = 2a, AB = AD = CD = a Mặt bên SBC là tam giác đều Gọi O là giao điểm của AC , BD Biết SD vuông góc với AC a) Tính SD b) Mặt phẳng (α ) qua điểm M thuộc đoạn BD và song song với SD và AC 28 Tính diện tích thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt (α ) theo a và x = BM 3 Tính x để diện tích... mp ( BCC ' B ') kẻ đường thẳng qua CC ', BC , B ' C ' với (α ) … D và song song với IC để tìm các giao điểm S , K , H của 32 S J A C K B N R A' C' L I B' H VẤN ĐỀ 3: CHỨNG MINH MỘT HỆ THỨC HÌNH HỌC Ví dụ 1) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O Một mặt phẳng ( P ) cắt các cạnh SA, SB, SC , SD lần lượt ở M , N , E , F Chứng minh SA SC SB SD + = + SM SE SN SF Giải: S S F M M E N A... Ket-noi.com Ket-noi.com kho kho tai tai lieu lieu mien mien phi phi Ví dụ 3) Cho hình chóp SABCD có đáy là hình thoi cạnh a, SA = SB = a, SC = SD = a 3 Gọi E , F lần lượt là trung điểm SA, SB Điểm M bất kỳ thuộc cạnh BC , đặt BM = x ( 0 ≤ x ≤ a ) a) Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi ( MEF ) Thiết diện là hình gì? b) Tính FM và diện tích thiết diện theo a và x Giải: S F E D N C M H A... M là điểm trên AB , mp ( β ) qua M song song với SB và OA , cắt BC , SC , SA lần lượt tại N , P, Q Đặt x = BM ( 0 < x < a ) a) Chứng minh rằng tứ giác MNPQ là hình thang vuông b) Tính theo a , x diện tích hình thang này Tìm x để diện tích hình thang lớn nhất Giải: S P a Q N C B O x M a A a) Do ( β ) song song với OA và SB nên giao tuyến của ( β ) với ( ABC ) song song với OA Giao tuyến của ( β )... thức theo các cạnh còn lại) 2 2 4R S hv = a 2 ; S hcn = ab; S ∆ABC = 1 Diện tích hình thang S = (a + b) h (trong đó a, b, h lần lượt là độ dài hai cạnh đáy, 2 đường cao) Nếu ABCD là tứ giác có hai đường chéo vuông góc với nhau có độ dài 1 m, n ⇒ S = mn 2 Nếu đáy là hình đa giác bất kỳ ta cần khéo léo chia nhỏ để tạo các hình đặc biệt rồi cộng hoặc trừ các diện tích Khi giải các bài toán liên quan đến... đường trung tuyến ma 2 = 2(b 2 + c 2 ) − a 2 , …… 4 Ví dụ 1) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi M , N , I là trung điểm các cạnh AB, CD, SA a) Chứng minh SC / / ( MNI ) b) P là một điểm thuộc cạnh SB Xác định giao tuyến của các mặt phẳng ( CIM ) và ( APN ) c) Q là một điểm thuộc mặt bên ( SAD ) Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng ( CPQ ) Giải: a) Gọi J là trung điểm... của hình chop khi cắt bởi mặt phẳng ( MNP ) 35 Ket-noi.com Ket-noi.com kho kho tai tai lieu lieu mien mien phi phi Câu 2) Cho tứ diện ABCD có G là trọng tâm tam giác ABC , I là trung điểm cạnh BD và J JC thuộc CD sao cho =2 JD a) Xác định thiết diện của tứ diện khi cắt bởi mặt phẳng (GIJ ) b) M là điểm thuộc đoạn AJ Xác định giao điểm của GM với ( ABD ) Câu 3) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình. .. các điểm M , N , H và như vậy hình dạng thiết diện phụ thuộc vào giao điểm G của HP và mặt bên ( SCD ) Rõ ràng việc biện luận theo NG là tự nhiên nhất vì điểm G là giao điểm dễ phát hiện nhất 2) Khi xác định một điểm P ∈ ( SAD ) ta phải dựng một đường thẳng SE ∈ ( SAD ) sau đó chọn điểm P ∈ SE điều này giúp ta dễ hình dung điểm P và phát hiện ra các giao điểm khác VẤN ĐỀ 3 CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG... định giao điểm của AM với ( SBD ) Câu 6) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành M là điểm thuộc SD sao cho 1 SM = SD 3 a) Xác định giao điểm của BM với ( SAC ) b) N là điểm thay đổi trên BC Xác định giao tuyến của ( AMN ), ( SBC ) Chứng minh giao tuyến này luôn đi qua một điểm cố định c) G là trọng tâm tam giác SAB Xác định thiết diện của hình chop khi cắt bởi mặt phẳng ( MNG ) Câu 7)