phương pháp tựa đảo cho bài toán parabolic phi tuyến ngược thời gian

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Đoàn Thị Thủy Tiên PHƯƠNG PHÁP TỰA ĐẢO CHO BÀI TOÁN PARABOLIC PHI TUYẾN NGƯỢC THỜI GIAN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Đoàn Thị Thủy Tiên PHƯƠNG PHÁP TỰA ĐẢO CHO BÀI TOÁN PARABOLIC PHI TUYẾN NGƯỢC THỜI GIAN Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS TS ĐẶNG ĐỨC TRỌNG Thành phố Hồ Chí Minh – 2014 LỜI CAM ĐOAN Trong trình làm luận văn này, tìm tham khảo nhiều sách vở, báo toán học nhà khoa học luận văn, luận án có Nhưng xin cam đoan không chép xin chịu trách nhiệm với lời cam đoan Tác giả Lời cảm ơn Đầu tiên, xin gửi lời cảm ơn chân thành sâu sắc tới Thầy – GS.TS Đặng Đức Trọng, người trực tiếp hướng dẫn tạo điều kiện, giúp đỡ cho suốt thời gian làm luận văn Bên cạnh đó, xin cảm ơn thầy cô hết lòng dạy bảo truyền đạt kinh nghiệm suốt hai năm qua Cảm ơn bạn bè, bạn học viên cao học Giải tích khóa 23 khuyến khích, giúp đỡ trình học tập Sau cùng, xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến gia đình tôi, chỗ dựa vững giúp học tập hoàn thành tốt luận văn Học viên Đoàn Thị Thủy Tiên MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục MỞ ĐẦU Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian tuyến tính định chuẩn 1.2 Không gian Hilbert 1.3 Lý thuyết toán tử 10 1.4 Phổ toán tử 13 1.5 Không gian C ([ 0, T ]; H ) 14 1.6 Nửa nhóm toán tử liên tục 14 1.7 Định nghĩa toán không chỉnh 18 1.8 Lược đồ chỉnh hóa 19 1.9 Bổ đề Gronwall 22 1.10 Bổ đề: số bất đẳng thức sử dụng 22 Chương CÁC KẾT QUẢ CHÍNH 24 2.1 Các định lý quan trọng 24 2.2 Chứng minh định lý quan trọng 26 Chương ÁP DỤNG 41 KẾT LUẬN 47 TÀI LIỆU THAM KHẢO 48 MỞ ĐẦU Bài toán ngược cho phương trình đạo hàm riêng xuất nhiều lĩnh vực khác công nghệ, địa vật lý, thủy động học, y học, xử lý ảnh, Đó toán kiện trình vật lý không đo đạc trực tiếp mà ta phải xác định chúng từ kiện đo đạc gián tiếp Trong đề tài này, ta đề cập đến phương trình parabolic ngược thời gian Đó toán cho phương trình parabolic điều kiện ban đầu mà ta phải xác định biết điều kiện cuối (đó lí toán gọi ngược thời gian) Phương trình parabolic ngược thời gian lĩnh vực nghiên cứu sôi động thu hút nhiều nhà toán học tiếng nước bời có nhiều ứng dụng khoa học kĩ thuật như: vật lý, học, vật lý địa cầu, xử lý ảnh, toán tài chính,… Cho đến nước có 300 công trình công bố tạp chí quốc tế uy tín, có tham gia nhiều nhà toán học tiếng John, Agmon, Nirenberg, Tikhonov,… Trong nước, kể đến hai nhóm nghiên cứu mà dẫn đầu Đinh Nho Hào Đặng Đức Trọng Ngoài ra, số nhà toán học có tên tuổi quan tâm hướng nghiên cứu Phạm Kỳ Anh, Nguyễn Bường,… Trong bài, ta xét toán giá trị cuối sau = ut + Au ( t ) f ( t , u ( t ) ) T ) , u (T ) ϕ ( ≤ t Đánh giá thuộc loại logarit t > cố định không dùng t = Nội dung luận văn dùng phương pháp QR để chỉnh hóa toán cải tiến kết hội tụ phương pháp trước đây, đồng thời chứng minh phương pháp có độ ổn định tốt nghiên cứu trước Đặc biệt, phương pháp thật hiệu xét đến toán phi tuyến Bài toán ( 0.1) xấp xỉ d ε = u ( t ) + Aε u ε ( t ) B ( ε , t ) f ( t , u ε ( t ) ) = ( ≤ t < T ) , u ε (T ) ϕ dt ( 0.3) Aε B ( ε , t ) định nghĩa theo ( 0.4 ) ( 0.5 ) = v Với v ∈ H có khai triển nghĩa toán tử sau ∞ v pφ p , ∑ p =1 v p ∈= , p 1,2, , ta định ∞ S ( t )( v ) = ∑ e −tl p p =1 v pφ p , ( ) N −T l Ae ( v ) = − ∑ ln el p + e p v pφ p , T p =1 ∞ ( , t )( v ) ∑ + l p e B ( ee = p =1 T lp ) t −T T ( 0.4 ) v pφ p , t ∈ [ 0, T ] , t −T T ∞ ( , t )( v ) = ( A + S (T ) ) ( v ) = ∑ l p + e Q ( eee p =1 −T l p ( 0.5) ) t −T T v pφ p , với N ∈ * , N = N ( ε ) cho lN ≤ T −1 ln (T ε −1 ) Ngoài phần mở đầu giới thiệu đề tài nội dung cần đạt được, luận văn viết thành ba chương chính: Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Phần trình bày định nghĩa, ví dụ, định lý không gian tuyến tính định chuẩn, không gian Hilbert, lý thuyết toán tử, đại số Banach, phổ toán tử, lý thuyết nửa nhóm,… bổ đề bất đẳng thức sử dụng để chứng minh chương Chương CÁC KẾT QUẢ CHÍNH Phần nêu chứng minh định lý quan trọng Chương ÁP DỤNG Phần đưa ví dụ cụ thể để áp dụng phương pháp trình bày Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Đa phần kết tổng hợp từ [1], [3] 1.1 Không gian tuyến tính định chuẩn 1.1.1 Không gian vectơ Định nghĩa 1.1.1.1 Kí hiệu K trường số thực  trường số phức  Một không gian vectơ (hay không gian tuyến tính) K tập X ≠ ∅ , có phép cộng X × X → X phép nhân vô hướng K × X → X , thỏa mãn điều kiện 1) x + y = y + x, 2) ( x + y ) + z =x + ( y + z ) , 3) x, Tồn θ ∈ X , gọi phần tử trung hòa cho x + θ = 4) ∀x ∈ X \ {θ } , tồn − x ∈ X , gọi phần tử đối x cho x + ( − x ) =θ , 5) λ ( x + y ) = λ x + λ y, 6) ( λ + µ ) x =λ x + µ x, 7) ( λµ ) x = λ ( µ x ) , 8) Tồn phần tử 1∈ K cho 1.x = x với x, y, z ∈ X , λ , µ ∈ K Ví dụ C [ a, b ] tập hợp hàm thực (hoặc phức) liên tục [ a, b ] không gian tuyến tính thực (hoặc phức) với phép cộng hàm số phép nhân thông thường 35 Aε wm ( t ) , wm ( t ) ≤ Aε wm ( t ) wm ( t ) ≤ T ln wm ( t ) , T ε suy T − Aε wm ( t ) , wm ( t ) ≥ − ln wm ( t ) T ε Mặt khác e m ( t −T ) ( g ( t , u ( t ) ) − g ( t , v ( t ) ) ) , wm ( t ) ≤ e m ( t −T ) g ( t , u ( t ) ) − g ( t , v ( t ) ) wm ( t ) ≤ ke m ( t −T ) u ( t ) − v ( t ) wm ( t ) = k e m ( t −T ) ( u ( t ) − v ( t ) ) wm ( t ) = k wm (t ) , suy e m (t −T ) ( g ( t , u ( t ) ) − g ( t , v ( t ) ) ) , wm ( t ) ≥ −k wm ( t ) Do 2 1d T   wm ( t ) ≥  m − ln − k  wm ( t ) dt T ε   Lấy tùy ý t1 ∈ [ 0, T ] Tính tích phân theo biến t từ t1 đến T , ta T   wm (T ) − wm ( t1 ) ≥ ∫  m − ln − k  wm ( t ) dt T ε  t1  Chọn m= k + T T ln ý wm (T ) = u (T ) − v (T ) = nên wm ( t1 ) = T ε Vì t1 tùy ý nên wm ( t ) = tương đương với u ( t ) = v ( t ) với ≤ t ≤ T Điều kết thúc chứng minh bước hoàn thành chứng minh định lý 2.1.1 Chứng minh định lý 2.1.2 º 36 Ta có u, v hai nghiệm toán ( 0.3) tương ứng với giá trị cuối ϕ ω nên T u ( t= ) Q (ε , t )ϕ − ∫ S (T − s ) Q (ε , t ) f ( s, u ( s ) ) ds, t T v ( t= ) Q (ε , t )ω − ∫ S (T − s ) Q (ε , t ) f ( s, v ( s ) ) ds t Suy T u ( t ) −= v ( t ) Q ( ε , t )(ϕ − ω ) − ∫ S (T − s ) Q ( ε , t ) ( f ( s, u ( s ) ) − f ( s, v ( s ) ) ) ds t Áp dụng bổ đề 2.2.1 tính chất Lipschitz f , ta u ( t ) − v ( t ) ≤ Q ( e , t )(ϕ − ω ) + t −T T ( T ln (Te ≤ ee T −1 t −s T ( −1 T ∫t S (T − s ) Q (e , t ) ( f ( s, u ( s ) ) − f ( s, v ( s ) ) ) ds )) t −T T T ln (Te + k ∫ ee −1 −1 ϕ −ω )) t −s T u ( s ) − v ( s ) ds t Do ε −t T (T −1 ln (Tεε −1 )) −t T ( u ( t ) − v ( t ) ≤ ε −1 T −1 ln (Tεε −1 ) T + k ∫ε −s T (T −1 ) −1 ln (Tεε ϕ −ω −1 )) −s T u ( s ) − v ( s ) ds t Áp dụng bất đẳng thức Gronwall, ta có −t T T  eeee T ln (Te ) u ( t ) − v ( t ) ≤ exp  ∫ kds  −1 T −1 ln (Te −1 ) t  −t T ( −1 −1 ) ( ( −1 = e k (T −t )ee T −1 ln (Te −1 ) ) −1 u (t ) − v (t ) ≤ ε ε t −1 T (T ln (Tεε )) −1 −1 t −1 T −1 ϕ −ω ϕ −ω Hay k ( T −t ) ) ϕ −ω 37 Định lý 2.1.2 chứng minh º Bổ đề 2.2.2 Nghiệm toán (0.1) có dạng T u ( t ) =S (T − t ) ϕ − ∫ S ( s − t ) f ( s, u ( s ) ) ds −1 −1 t Hay T ϕ − ∫ S (T − s ) f ( s, u ( s ) ) ds S (T − t ) u ( t ) = t Chứng minh Sử dụng kiến thức nửa nhóm nêu mục 1.8 kiến thức chuẩn bị để chứng minh Ta có − A sinh nửa nhóm co compact S ( t ) H nên =  S ( t + s ) S ( t ) S ( s )   S ( ) = I ∀t , s ≥ Và S (h) − I h →0 h lim −A = Khi đó, lấy t ∈ [ 0, T ) Đặt w(= s ) S (T − s ) u ( s ) ∀s ∈ [t , T ] Với s ∈ [t , T ] h ∈ [ T − s, T ] , ta có w ( s + T − h ) − w ( s ) S ( h − s ) u ( s + T − h ) − S (T − s ) u ( s ) = T −h T −h S ( h − s ) u ( s + T − h ) − S (T − h ) S ( h − s ) u ( s ) = T −h  u ( s + T − h ) − u ( s ) S (T − h ) − I  S (h − s) u (s) = − T −h T −h   → S (T − s ) ( u′ ( s ) + Au ( s ) ) = S (T − s ) f ( s, u ( s ) ) h → T 38 Và w′ ( = s ) S (T − s ) f ( s, u ( s ) ) ∀s ∈ [t , T ) Tính tích phân theo biến s từ τ đến T (t > t ) cho t → t ta T ∫ S (T − s ) f ( s, u ( s ) ) ds w (T ) − w ( t ) = t Hay ϕ − S (T − t ) u ( t ) = T ∫ S (T − s ) f ( s, u ( s ) ) ds t Chuyển vế ta điều phải chứng minh º Chứng minh định lý 2.1.3 Theo bổ đề 2.2.2 ta có T S (T − t ) u ( t ) = ϕ − ∫ S (T − s ) f ( s, u ( s ) ) ds t Suy T S (T − t ) Q ( ε , t ) u ( t= ) Q ( ε , t )ϕ − ∫ S (T − s ) Q (ε , t ) f ( s, u ( s ) ) ds t Vì U ε nghiệm toán ( 0.3) tương ứng với giá trị cuối ϕε nên T U (= t ) Q ( ε , t )ϕε − ∫ S (T − s ) Q ( ε , t ) f ( s,U ε ( s ) ) ds ε t Áp dụng bổ đề 2.2.1 bất đẳng thức − (1 + x ) −α < xα ( x,α > ) (bất đẳng thức (1.8)), ta u ( t ) − U ε ( t ) ≤ u ( t ) − S (T − t ) Q ( ε , t ) u ( t ) + S (T − t ) Q ( ε , t ) u ( t ) − U ε ( t ) ≤ ( I − S ( T − t ) Q ( ε , t ) ) u ( t ) + Q ( ε , t ) (ϕ − ϕε ) T + ∫ S (T − t ) Q ( ε , t ) f ( s, u ( s ) ) − f ( s,U ε ( s ) ) ds t 39 t −T  T lp T  ≤ ∑ 1 − + ele  u p (t ) + Q ( , t ) ϕ − ϕe pe p =1   ( ∞ t −s T T ( ) + k ∫ ee T ln (Te −1 −1 )) t −s T u ( t ) − U e ( t ) ds t t  ≤ ∑  1 − T p =1   ∞ ( t T t −T t −T Tlp   T T −1 ln (Te −1 ) T  eleee pe  u p (t ) +   ) ( t −T T T −s T ( ) + keeee T ln (Te ) ∫ T ln (Te −1 −1 −1 −1 )) T −s T )) T −s T u ( t ) − U e ( t ) ds t ∞ ≤ el ∑ e 2T l p p p =1 t T ( ( t T u (t ) + ee T ln (Te p ) t −T T T −1 −s T ( −1 )) t −T T + keeee T ln (Te ) ∫ T ln (Te −1 −1 −1 −1 u ( t ) − U e ( t ) ds t −1 Vì ln ( e x ) < x, ∀x > nên với < ε < T , ta có < ln (Teee ) < T −1 Điều có nghĩa < T −1ee ln (Te −1 ) < Do ( t T ( ( ) t −1 T ) ( ≥ T −1 ln (Te −1 ) = T eeee ln (Te ) 1, −1 )) −1 t −1 T ≥ (dấu “=” xảy t = T ) Dẫn đến T ln Te hay eee −1 −1 ∞ t T ( elee ∑ e u ( t ) ≤ T ln (Te 2T l p p p =1 p −1 −1 )) t −T T M Vì u (t ) − U e ( t ) ≤ eeee (T ln (Te )) M + (T ln (Te t T −1 t T ( −1 t −1 T ) t T t T −1 T −s T ( −1 + keeee T ln (Te ) ∫ T ln (Te −1 −1 t Hay −1 −1 −1 )) )) 1− t −1 T s T u ( t ) − U e ( t ) ds 40 t T ( ee T ln (Te − −1 T −s T −1 ( )) 1− t T u (t ) − U e (t ) ≤ M + + k ∫ ee T ln (Te −1 −1 )) 1− s T u ( s ) − U e ( s ) ds t Áp dụng bất đẳng thức Gronwall, ta t T ( ee T ln (Te − −1 −1 )) 1− t T T  u ( t ) − U ( t ) ≤ ( M + 1) exp  ∫ kds  = ( M + 1) e k (T −t ) t  e Do u ( t ) − U ( t ) ≤ ( M + 1) ε ε Định lý 2.1.3 chứng minh k ( T −t ) ε t T (T ln (Tεε )) −1 −1 t −T T º 41 Chương ÁP DỤNG ∂2 Cho A = − , toán (0.2) trở thành ∂x =  ut − u xx f ( t , u ) ,  =  u ( x, t ) 0,  =  u ( x, T ) ϕ ( x ) , ( x, t ) ∈ Ω × ( 0,T ) , ( x, t ) ∈ ∂Ω × ( 0,T ) , x ∈ Ω Xét không gian L2 ( 0, π ) , A có sở riêng trực chuẩn φn = π sin ( nx ) giá trị riêng λn = n Thật vậy, ta cần tìm ψ ∈ C [ 0, π ] thỏa phương trình π π dπ u ( x, t )ψ ( x ) dx − ∫ u xx ( x, t )ψ ( x ) dx = f ( t , u )ψ ( x ) dx ∫ dt ∫0 0 Lấy tích phân phần, ta π x π= x π = dπ u ( x, t )ψ ( x ) dx= − u x ( x, t )ψ ( x ) x 0= + u ( x, t )ψ ′ ( x ) x − ∫ u ( x, t )ψ ′′ ( x ) dx dt ∫0 π = ∫ f ( t , u )ψ ( x ) dx Vì u= ( 0, t ) u= (π , t ) nên phương trình π π x =π dπ u ( x, t )ψ ( x ) dx − u x ( x, t )ψ ( x ) x =0 − ∫ u ( x, t )ψ ′′ ( x ) dx = f ( t , u )ψ ( x ) dx ∫ dt ∫0 0 (3.1) Chọn ψ thỏa điều kiện ψ= ( ) ψ= (π ) 0,   ψ ′′ = −λψ Giải (3.2) Xét phương trình đặc trưng ( 3.2 ) 42 h = −λ  Nếu λ = h = , suy ψ ( x= ) c1 x + c2 c = Từ ψ= Giải hệ ta (π ) cho ta hệ phương trình  ( ) ψ= c1π + c2 = c= c= Trường hợp loại  Nếu λ < h =± −λ , suy ψ = ( x ) c1e −λ x + c2e − −λ x c1 + c2 = cho ta hệ phương trình Từ ψ= ψ = π ( ) ( )  − λπ + c2e − c1e − λπ Giải hệ = ta c= Trường hợp loại c=  Nếu λ > h = ±i λ , suy = ψ ( x ) c1 cos ( ) λ x + c2 sin ( ) λx Từ ψ= (π ) cho ta hệ phương trình ( ) ψ= c1 = 0,  c cos λπ + c2 sin  ( ) ( ) λπ = Cho c2 = , giải hệ (3.3) ta = λπ n= π ( n 1, 2, ) , hay Suy ψ ( x) ≡ψ n ( x) = sin ( nx ) Mặt khác λ = n ( 3.3) 43 π 1π ψ= ) dx ∫ (1 − cos ( 2nx ) ) dx n ∫0 sin ( nx= 20 2 π 1  =  x − sin ( 2nx )  2 2n 0 = π Do đó, ta có hệ trực chuẩn = φn ψn = ψn π sin ( nx ) , tương ứng với giá trị riêng λn = n Với ψ vừa tìm, phương trình (3.1) tương đương với π π dπ u x t x dx n u x t x dx , ψ + , ψ = ( ) ( ) ∫0 ( ) ( ) ∫0 f ( t , u )ψ ( x ) dx dt ∫0 Từ ta suy công thức nghiệm phần chương Lấy ví dụ cụ thể: Xét toán nhiệt ngược = −u xx + ut  ( 0, t )  u=  x,1)  u (=  f ( u )=  f (u ) , u= (π , t ) 0, ϕ= ( x ) e sin x, ( x, t ) ∈ ( 0,π ) × ( 0,1) , t ∈ [ 0,1] , x ∈ [ 0, π ] , u − e − t sinx Nghiệm phương trình u ( x, t ) = e − t sin x  ε  + Đặt ϕ= ε  ϕ ϕε − ϕ = ε ϕ   Áp dụng phương pháp vừa nêu ta viết thuật toán để tính sai số nghiệm nghiệm xấp xỉ chương trình Matlab sau 44 clc clear all eps = 10^(-1); %===Cac ham so cho truoc syms x t p s; uex(x,t) = exp(-1*t)*sin(x); % nghiem chinh xac %===Dinh nghia cac ham phi(x) = uex(x,1); % gia tri cuoi phi_norm = eval(sqrt(int(phi^2,x,0,pi))); % tinh chuan phi Phi_p(p,x) = sqrt(2/pi)*sin(p*x); % vecto rieng phi_eps(x) = (1+eps/phi_norm)*phi(x); % dinh nghia phi_epsilon phi_p_eps(p) = vpa(int(phi_eps(x)*Phi_p(p,x),x,0,pi)); %dinh nghia phi_p_epsilon f = @(u) u - (uex(x,t)); %dinh nghia ham f uk(x,t) = 0.0*x*t; for k=1:10 uk_1(x,t) = uk(x,t); uk(x,t) = 0*x*t; for p = 1:1 f_p(t) = vpa((int(Phi_p(p,x)*f(uk_1(x,t)),x,0,pi))); uk_p(t) = vpa((eps*p^2+exp(-1*p^2))^(t-1)*(phi_p_eps(p)int(exp((s-1)*p^2)*f_p(s),s,t,1))); %exp((1-t)*p^2) uk(x,t) = vpa(uk(x,t) + uk_p(t)*Phi_p(p,x)); end norm = sqrt(int((uk_1(x,0)-uk(x,0))^2,x,0,pi));eval(norm); if (norm < eps/10) break end end error = sqrt(int((uex(x,0)-uk(x,0))^2,x,0,pi)) ezplot (uex(x,0.0),[0,pi]) hold on ezplot (uk(x,0.0),[0,pi]) grid on 45 −2 = = ε 10 , ε 10−3 ta kết bảng sau Sau thay ε Sai số ε = 10−1 0.096 698 054 797 ε = 10−2 0.011 336 257 251 ε = 10−3 0.001 147 830 285 Dựa vào bảng ta thấy rõ hội tụ nghiệm xấp xỉ nghiệm xác thời điểm t = ε nhỏ Sự hội tụ rõ qua hình vẽ bên Hình 3.1 Đồ thị biểu diễn nghiệm xác nghiệm xấp xỉ ε = 10−1 46 Hình 3.2 Đồ thị biểu diễn nghiệm xác nghiệm xấp xỉ ε = 10−2 Hình 3.3 Đồ thị biểu diễn nghiệm xác nghiệm xấp xỉ ε = 10−3 47 KẾT LUẬN Luận văn trình bày dựa nội dung báo [18] Tuy nhiên, phần áp dụng chương đưa ví dụ khác với ví dụ có báo Ví dụ xét đến hội tụ nghiệm xấp xỉ thời điểm t = Luận văn không mở rộng thêm kết mà cố gắng làm rõ phần tác giả báo không chứng minh bất đẳng thức dùng chứng minh định lý 2.1.3, công thức nghiệm toán (0.1) mà luận văn trình bày mục 1.13 bổ đề 2.2.2 Đồng thời, tác giả báo mắc phải lỗi đánh máy cách đặt um ( t ) , vm ( t ) bước chứng minh định lý 2.1.1 luận văn sửa lại Vì lần làm quen với việc nghiên cứu khoa học cách có hệ thống nên khó tránh khỏi sai sót, mong nhận ý kiến đóng góp thầy cô bạn để luận văn hoàn thiện Tôi xin chân thành cảm ơn! 48 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Đậu Thế Cấp (2009), Giải tích hàm, NXB Giáo dục Việt Nam Tiếng Anh [2] K A Mes and R J Hughes (2005), “Structural stability for ill-posed probems in Banach space”, Semigroup Forum 70, No 1, pp 127-145 [3] T Cazenave and A Haraux (1998), An Introduction to Semilinear Evolution Equations, Clarendon Press, Oxford [4] G W Clark and S F Oppenheimer (1994), “Quasireversibility methods for non-well-posed problems”, Electron J Differential Equations, No [5] M Denche and K Bessila (2005), “A modified quasi-boundary value method for ill-posed problems”, J Math Anal Appl 301, No 2, pp 419-426 [6] D N Hao, N V Duc and H Sahli (2008), “A non-local boundary value problem method for parabolic equations backward in time”, J Math Anal Appl 345, No 2, pp 805-815 [7] Y Huang and Q Zheng (2005), “Regularization for a class of ill-posed Cauchy problems”, Proc Amer Math Soc 133, No 10, pp 30053012 [8] V K Ivanov, I V Mel’nikova and F M Filinkov (1995), OperatorDifferential Equations and Ill-Posed Problems (in Russian), Nauka, Moscow [9] R Lattès and J L Lions (1967), Méthode de Quasi-réversibilité et Applications, Travaux et Recherches Mathematiques 15, Dunod, Paris 49 [10] J Lee and D Sheen (2006), “A parallel method for backward parabolic problems based on the Laplace transformation”, SIAM J Numer Anal 44, No 4, pp 1466-1486 [11] N T Long and A P N Dinh (1994), “Approximation of a parabolic non-linear evolution equation backwards in time”, Inverse Problems 10, No 4, pp 905-914 [12] I.V Mel’nikova, Q Zheng and J Zheng (2002), “Regularization of weakly ill-posed Cauchy problems”, J Inverse Ill-Posed Probl 10, No 5, pp 503-511 [13] K Miller (1973), “Stabilized quasi-reversibility and other nearly-bestpossible methods for non-well-posed problems”, in: Symposium on Non-Well-Posed Problems and Logarithmic Convexity (Edinburgh 1972), Lecture Notes in Math 316, Springer, Berlin, pp 161-176 [14] L E Payne (1973), “Some general remarks on improperly posed problems for partial dif-ferential equations”, in: Symposium on NonWell-Posed Problems and Logarithmic Convexity (Edinburgh 1972), Lecture Notes in Math 316, Springer, Berlin, pp 1-30 [15] L E Payne (1975), Improperly Posed Problems in Partial Differential Equations, Regional Conf Ser in Appl Math 22, Society for Industrial and Applied Mathematics, Philadelphia [16] R E Showalter (1985), “Cauchy problem for hyperparabolic partial differential equations”, in: Trends in the Theory and Practice of Nonlinear Analysis (Arlington 1984), North-Holland Math Stud 110, North-Holland, Amsterdam, pp 421-425 [17] D D Trong and N H Tuan (2008), “Stabilized quasi-reversibility method for a class of nonlinear ill-posed problems”, Electron J Differential Equations, No 84 [18] N H Tuan (2013), “A new quasi-reversibility method of a parabolic non-linear evolution equation backwards in time”, Georgian Math J 20, pp 179-194, DOI 10.1515/gmj-2013-0010 [...]... H (Đẳng thức Parseval) 1.3 Lý thuyết toán tử 1.3.1 Toán tử tuyến tính Giả sử X, Y là các không gian vectơ trên cùng một trường K Định nghĩa 1.3.1.1 Một không gian S được gọi là không gian con tuyến tính của X nếu S ⊂ X và S là không gian tuyến tính Định nghĩa 1.3.1.2 A là toán tử tuyến tính từ D ( A ) ⊂ X vào Y nếu miền xác định D ( A ) của nó là không gian con tuyến tính của X và với mọi x1 , x2 ∈... toán tử tuyến tính Cho X, Y là các không gian định chuẩn trên cùng một trường số K Kí hiệu L vào Y L ( X ,Y ) ( X ,Y ) là không gian các toán tử tuyến tính liên tục A từ X là không gian con tuyến tính của K – không gian vectơ L ( X , Y ) tất cả các toán tử tuyến tính từ X vào Y Bổ đề 1.3.2.1 L ( X ,Y ) là không gian định chuẩn, với chuẩn (1.2) Định nghĩa 1.3.2.2 Một dãy các toán tử tuyến tính liên tục... Định lý 1.3.2.3 Nếu Y là không gian Banach thì L ( X ,Y ) là không gian Banach 1.3.3 Toán tử nghịch đảo Định nghĩa 1.3.3.1 Cho X, Y là các không gian định chuẩn và A là toán tử từ X vào Y Nếu với y ∈ Y tùy ý có không quá một x ∈ X sao cho Ax = y , thì A được gọi là toán tử 1-1 Trong trường hợp này, tương ứng từ Y qua X xác định một toán tử; toán tử này được gọi là nghịch đảo của A, kí hiệu A−1 Khi đó... định: Nghiệm x phụ thuộc liên tục vào y, nghĩa là ∀ ( xn ) ⊂ X , Axn → Ax (n → ∞) ⇒ xn → x (n → ∞) 19 Bài toán mà có (ít nhất) một trong các tính chất trên không được thỏa mãn gọi là bài toán không chỉnh 1.7.2 Một ví dụ về bài toán không chỉnh Bài toán Cauchy cho phương trình Laplace: tìm một nghiệm u của phương trình Laplace ∂ 2u ( x , y ) ∂ 2u ( x, y ) ∆u ( = + = 0, ( x, y ) ∈ y × [ 0, ∞ ) x, y ) : ∂x... nhất trên Y) 1.3.4 Toán tử liên hợp Trong phần này, ta kí hiệu L (H ) là không gian các ánh xạ tuyến tính liên tục từ H vào H Định nghĩa 1.3.4.1 Toán tử liên hợp của A∈ L (H ) là toán tử A* ∈ L (H ) sao cho Ax, y = x, A* y với mọi x, y ∈ H Định lý 1.3.4.2 Với mọi A∈ L (H ) toán tử liên hợp A* tồn tại và duy nhất, hơn nữa ( A* )* = A và A* = A Định nghĩa 1.3.4.3 Toán tử A trong không gian Hilbert H được... ta có T ( t ) duy nhất Định lý được chứng minh º 1.7 Định nghĩa bài toán không chỉnh 1.7.1 Định nghĩa 1.7.1 Cho X, Y là các không gian định chuẩn A : X → Y là toán tử (tuyến tính hoặc không tuyến tính) Phương trình Ax = y được gọi là chỉnh nếu nó thỏa mãn các tính chất sau i) Tồn tại nghiệm: Với mỗi y ∈ Y , tồn tại (ít nhất một) x ∈ X sao cho Ax = y ii) Duy nhất nghiệm: Với mỗi y ∈ Y , có không quá... Một toán tử tuyến tính thỏa mãn (1.1) được gọi là bị chặn Vì vậy ta có các kết quả quan trọng: Định lý 1.3.1.4 Các khẳng định sau tương đương i) A bị chặn ii) A liên tục tại x = 0 , nghĩa là xn → 0 ⇒ Axn → 0 iii) A liên tục với mọi x ∈ X Định lý 1.3.1.5 Cho X, Y là các không gian định chuẩn và A là toán tử tuyến tính từ X vào Y Nếu X hữu hạn chiều thì A liên tục 1.3.2 Không gian các toán tử tuyến. .. phù −1 hợp R : Y → X của toán tử nghịch đảo (không bị chặn) A : (A) → X Định nghĩa 1.8.1 Lược đồ chỉnh hóa là một họ các toán tử tuyến tính bị chặn Rα : Y → X , α > 0, sao cho lim Rα Ax = x α →0 ∀x ∈ X , nghĩa là, toán tử Rα A hội tụ từng điểm đến ánh xạ đồng nhất Định lý 1.8.2 Cho Rα là một lược đồ chỉnh hóa của toán tử compact A : X → Y với dim X = ∞ Khi đó ta có 21 i) Toán tử Rα là không bị chặn... ∈ σ ( A ) 1.5 Không gian C ([ 0, T ]; H ) Định nghĩa 1.5.1 Không gian C ([ 0, T ]; H ) bao gồm tất cả các hàm liên tục u : [ 0, T ] → H với u= max u ( t ) < ∞ C ([ 0,T ]; H ) 0≤t ≤T 1.6 Nửa nhóm các toán tử liên tục đều Lấy X là không gian Banach phức với chuẩn Ta kí hiệu L (X ) là đại số Banach tất cả các toán tử tuyến tính bị chặn trên X mà chuẩn cũng được kí hiệu là Bài toán 1.6.1 Tìm tất cả... tự liên hợp nếu A* = A 1.3.5 Toán tử compact Định nghĩa 1.3.5.1 Cho X, Y là các không gian định chuẩn Toán tử tuyến tính A : X → Y được gọi là compact nếu ảnh A ( B ) của hình cầu đơn vị đóng B trong X là compact tương đối trong Y, nghĩa là A ( B ) là tập compact Định lý 1.3.5.2 13 i) Giả sử An : X → Y là một dãy các toán tử compact từ không gian Banach X vào không gian Banach Y, A : X → Y bị chặn, ... đến phương trình parabolic ngược thời gian Đó toán cho phương trình parabolic điều kiện ban đầu mà ta phải xác định biết điều kiện cuối (đó lí toán gọi ngược thời gian) Phương trình parabolic ngược. .. CHÍ MINH Đoàn Thị Thủy Tiên PHƯƠNG PHÁP TỰA ĐẢO CHO BÀI TOÁN PARABOLIC PHI TUYẾN NGƯỢC THỜI GIAN Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA... họ xấp xỉ toán tuyến tính cách nhiễu toán tử A Phương pháp họ gọi phương pháp tựa đảo (quasi-reversibility method, gọi tắt phương pháp QR) hữu hiệu cho toán nhất, nhiên trường hợp phi tuyến chưa