Một số phương pháp hiệu chỉnh giải bài toán ngược

Các phương pháp giải số ổn định bài toán đặt không chỉnh bằng cách đưa về những bài toán đặt chỉnhđược gọi là các phương pháp hiệu chỉnh.. Trong luận văn này em xin trình bày về một số p

Mục lục

1.1 Một số kết qủa cơ bản của giải tích hàm 3

1.1.1 Không gian 3

1.1.2 Toán tử bị chặn 5

1.1.3 Một số định lí quan trọng 6

1.2 Nghịch đảo suy rộng Moore - Penrose 7

1.3 Toán tử tuyến tính Compact 11

1.4 Định lí phổ 13

1.5 Bài toán ngược 18

2 Toán tử hiệu chỉnh 23 2.1 Định nghĩa và các kết quả cơ bản 23

2.2 Cấp tối ưu 29

3 Các phương pháp hiệu chỉnh liên tục 40 3.1 Toán tử hiệu chỉnh liên tục 40

3.2 Qui tắc chọn tham số tiên nghiệm 43

3.3 Sự bão hòa và kết quả ngược lại 51

3.4 Nguyên lý độ lệch 55

3.5 Qui tắc chọn tham số hậu nghiệm cải tiến 61

Kết luận 88

L 2 [a, b] Không gian các hàm số bình phương khả tích trên [a, b].

N (T ) Tập không điểm của T.

R (T ) Miền giá trị của T.

Rα Toán tử hiệu chỉnh

(Rα, α) Phương pháp hiệu chỉnh

sup Cận trên đúng

T† Toán tử nghịch đảo suy rộng của T.

T∗ Toán tử liên hợp của T.

x† Nghiệm suy rộng

α Tham số hiệu chỉnh

Mở đầu

Trong các ứng dụng thực tế thường nảy sinh các bài toán ngược, khi biếtcác dữ liệu đầu ra cần khôi phục lại dữ liệu đầu vào, hoặc khi biết dữ liệu vào-raphải nhận dạng các tham số của hệ thống Các bài toán trong chụp ảnh cắtlớp, khôi phục ảnh, dự báo đường huyết trong điều trị bệnh tiểu đường, vv lànhững bài toán ngược thường gặp

Bài toán ngược nói chung là bài toán đặt không chỉnh, tức là, nghiệm của

nó không phụ thuộc liên tục vào dữ liệu của bài toán Các phương pháp giải số

ổn định bài toán đặt không chỉnh bằng cách đưa về những bài toán đặt chỉnhđược gọi là các phương pháp hiệu chỉnh Trong luận văn này em xin trình bày

về một số phương pháp hiệu chỉnh giải bài toán ngược tuyến tính

Luận văn gồm 3 chương:

• Chương 1: Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này, em nhắc lại một số khái niệm cơ bản của giải tích hàm,bài toán ngược và bài toán đặt không chỉnh

• Chương 2: Toán tử hiệu chỉnh

Trong chương này, em trình bày các khái niệm về toán tử hiệu chỉnh, cấptối ưu và các định lí liên quan

• Chương 3: Các phương pháp hiệu chỉnh liên tục

Chương này trình bày về toán tử hiệu chỉnh liên tục, qui tắc chọn tham sốtiên nghiệm, nguyên lý độ lệch,qui tắc chọn tham số hậu nghiệm cải tiến

Lời cảm ơnTrước tiên, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS.TSKH Phạm KỳAnh, người đã trực tiếp hướng dẫn và tận tình chỉ bảo em trong suốt quá trình

em học tập và thực hiện luận văn

Em cũng xin cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán - Cơ - Tin học cùng toànthể các thầy giáo, cô giáo trong khoa Toán - Cơ - Tin học, phòng Sau đại học,trường Đại học Khoa Học Tự Nhiên - Đại Học Quốc Gia Hà Nội đã giúp đỡ emtrong suốt quá trình học tập và làm luận văn

Cuối cùng, tôi xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới các đồng nghiệp,gia đình và bạn bè đã động viên, giúp đỡ và tạo điều kiện về mọi mặt trong quátrình tôi học tập và làm luận văn

Do thời gian thực hiện luận văn không nhiều, kiến thức còn hạn chế nênkhi làm luận văn em không tránh khỏi những sai sót Em rất mong nhận được

sự góp ý và những ý kiến phản biện của quý thầy cô và bạn đọc

Xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 10 tháng 11 năm 2014

Học viên

Phạm Thị Gấm

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này, tôi sẽ nhắc lại một số kết quả cơ bản của giải tích hàmcũng như trình bày một số khái niệm về bài toán ngược và bài toán đặt khôngchỉnh

1.1.1 Không gian

Cho X là một không gian tuyến tính trên trường số thực hoặc phức K.Các phần tử của X gọi là các véc tơ, các phần tử của K là các vô hướng.Một chuẩn trên không gian tuyến tính X là một hàm giá trị thực không âm

Bất đẳng thức Schwarz: với mọi x, y trong không gian tích vô hướng

|hx, yi|2≤ hx, xihy, yi.

trong đó q > 0 sao cho p + q = pq. Các phần tử x, y trong không gian có tích vôhướng được gọi là trực giao với nhau nếu hx, yi = 0 Ta ký hiệu là x ⊥ y

Định lí Pytago: Cho X là một không gian có tích vô hướng và x, y ∈ X Khiđó,

là không gian con của Y, được gọi là miền giá trị của T

Cho T : X −→ Y là toán tử tuyến tính giữa các không gian tuyến tính địnhchuẩn X và Y Có thể thấy rằng T là liên tục nếu và chỉ nếu tồn tại c > 0 saocho

kT xk ≤ ckxk, ∀x ∈ X ,

trong trường hợp này

inf{c > 0 : kT xk ≤ ckxk, ∀x ∈ X } = sup{kT xk|x ∈ X , kxk ≤ 1}.

Do đó, toán tử tuyến tính liên tục còn được gọi là toán tử tuyến tính giớinội hay toán tử bị chặn Ta ký hiệu tập tất cả các toán tử bị chặn từ X vào

Y là B(X , Y).

Toán tử tuyến tính P : X −→ X trên không gian tuyến tính X được gọi làtoán tử chiếu hay phép chiếu nếu

P x = x, ∀x ∈ R(P )

Do đó, một toán tử tuyến tính P : X −→ X là toán tử chiếu nếu và chỉ nếu

P2= P. Nếu P là phép chiếu thì I − P cũng là phép chiếu và

R(P ) = N (I − P ), R(I − P ) = N (P ).

ChoX là không gian có tích vô hướng Khi đó, phép chiếu P : X −→ X được gọi

là phép chiếu trực giao nếu R(P ) ⊥ N (P ), tức là

là toán tử tuyến tính Tuy nhiên T không nhất thiết phải thuộc B(X , Y).

Cho X là một không gian tuyến tính định chuẩn, Λ ⊆R, α0 là điểm tụ của

Λ và xα ∈ X , ∀α ∈ Λ Ta nói rằng xα hội tụ tới x ∈ X khi α −→ α0 và viết

xα −→ x khi α −→ α0 hay lim

α−→α 0

xα = x,

nếu với mọi ε > 0 tồn tại δ > 0 sao cho

kx − xαk ≤ ε khi α ∈ Λ, |α − α0| < δ.

Một họ {Tα}α∈Λ của các toán tử trong B(X , Y)được gọi là bị chặn đều nếutập {kTαk}α∈Λ bị chặn trong R và {Tα} được gọi là hội tụ từng điểm trên X

khi α −→ α0 nếu {Tαx} hội tụ với mọi x ∈ X khi α −→ α0

Mệnh đề 1.1 ([10] tr 31) ChoX và Y là các không gian tuyến tính định chuẩn,

{Tα}α∈Λ là họ bị chặn đều của các toán tử trong B(X , Y), với Λ là một tập concủa R có điểm tụ α0 Nếu {Tα} hội tụ từng điểm trên X thì toán tử T : X −→ Y

xác định bởi T x = lim

α−→α 0

Tαx, x ∈ X thuộc B(X , Y).Định lí 1.1 (Nguyên lý bị chặn đều) ([10] tr 32) Cho X là không gianBannach, Y là không gian tuyến tính định chuẩn và {Tα}α∈Λ là một tập con của

B(X , Y). Nếu {kTαxk}α∈Λ bị chặn với ∀x ∈ X thì {Tα}α∈Λ bị chặn đều

Định lí 1.2 (Định lí Banach - Steinhaus) ([10] tr 32) Cho X là khônggian Banach và Y là không gian tuyến tính định chuẩn và {Tα}α∈Λ là một tậpcon của B(X , Y), với Λ là một tập con của R có điểm tụ α0 Nếu {Tαx} hội tụkhi α −→ α0 với mọi x ∈ X thì {Tα}α∈Λ bị chặn đều và toán tử T : X −→ Y xácđịnh bởi T x = lim

α−→α 0

Tαx, x ∈ X thuộc vào B(X , Y).

Định lí 1.3 (Định lí Đồ thị đóng)([10] tr 35) ChoX và Y là các không gianBannach, X0 là không gian con của X Khi đó, toán tử tuyến tính T : X0 −→ Y

đóng nếu và chỉ nếu X0 là đóng trong X

ChoX , Y là các không gian Hilbert,y ∈ Y và T : X −→ Y là toán tử tuyếntính Xét phương trình

Định nghĩa 1.1 ([8] tr 32) x ∈ X được gọi là tựa nghiệm của phương trình(1.1) nếu

kT x − yk = inf{kT x − yk|x ∈ X }. (1.2)

Định lí 1.4 ([10] tr 142) Cho X là không gian tuyến tính, Y là không gianHilbert và T : X −→ Y là toán tử tuyến tính, P : Y −→ Y là phép chiếu trực giaolên R (T ) Với mọi y ∈ Y, các mệnh đề sau là tương đương:

(i)Phương trình (1.1) có một tựa nghiệm

(ii) y ∈ R (T ) + R (T )⊥.

(iii) Phương trình T x = P y với x ∈ X có nghiệm

Chứng minh (i) ⇔ (iii)

Vì inf{kT v − yk|v ∈ R (T )} = kP y − yk nên

inf{kT z − yk|z ∈ X } = inf{kv − yk|v ∈ R (T )}

= inf{kv − yk|v ∈ R (T )} = kP y − yk.

P y1 = y1 ∈ R (T ), hay phương trình T x = P y có nghiệm với mọi x ∈ X

Cho X , Y và T như trong Định lí 1.4, với y ∈ Y, ta ký hiệu Sy = {x ∈ X :

kT x − yk = inf kT z − yk|z ∈ X } Khi đó, theo Định lí 1.4, Sy 6=∅ nếu và chỉ nếu

y ∈ R (T ) + R (T )⊥.

Hệ quả 1.1 ([10] tr 143) Cho X , Y và T như trong Định lí 1.4, y ∈ Y sao cho

Sy 6=∅ Nếu x0∈ Sy thì

Sy = {x0+ z|z ∈ N (T )}.

Đặc biệt, nếu T đơn ánh và y ∈ R (T ) + R (T )⊥ thì phương trình (1.1) có tựanghiệm duy nhất.

Chứng minh Dễ thấy x0 là một tựa nghiệm của phương trình nên với mọi z ∈

N (T ) thì x0+ z cũng là một tựa nghiệm Do đó, x0+ N (T ) ⊆ Sy Mặt khác, với

P : Y −→ Y là phép chiếu trực giao lên R(T )và x0 ∈ Sy thì theo Định lí 1.4, vớimọi x ∈ Sy có T x = P y = T x0 Vì vậy x = x0+ z với z = x − x0 ∈ N (T ) Suy ra

Sy ⊆ {x0+ z|z ∈ N (T )} Vậy Sy = x0+ N (T ) Đặc biệt, khi N (T ) = {0} thì T làđơn ánh

Định lí 1.5 ([10] tr 144) Cho X , Y là các không gian Hilbert, X0 là một khônggian con của X và T : X0 −→ Y là một toán tử tuyến tính với N (T ) đóng trong

X Cho y ∈ R (T ) + R (T )⊥ Khi đó, tồn tại duy nhất x† ∈ Sy sao cho

với P : Y −→ Y là phép chiếu trực giao lên R(T ) Vậy x† ∈ Sy.

Theo Hệ quả 1.1, với mọi x ∈ Sy có x − x† ∈ N (T ) Áp dụng Định lí Pytago tađược

kxk2 = kx†k2+ kx − x†k2.

Do vậy, kx†k ≤ kxk với mọi x ∈ S y

Giả sử tồn tại x 1 ∈ S y sao cho kx 1 k6kxk với mọi x ∈ S y Khi đó,

kx1k6kx†k6kx1k

nênkx1k = kx†k Lại áp dụng Hệ quả1.1và Định lí Pytago ta đượcx1−x† ∈ N (T )

và kx1k2 = kx†k2+ kx1− x†k2 Từ đó suy ra x1 = x† Vậy x† là duy nhất

Định nghĩa 1.2 ([10] tr 145) Cho X , Y là các không gian Hilbert, X0 là mộttập con của X và T : X0→ Y là một toán tử tuyến tính với N (T ) đóng trong X

trong đó Q : Y → Y là phép chiếu trực giao lên R(T )

Ta định nghĩa toán tử nghịch đảo suy rộng theo nghĩa Moore-Penrose T† làmột quy tắc mà mỗi phần tử y ∈ R (T ) + R (T )⊥ tương ứng với duy nhất mộttựa nghiệm có chuẩn nhỏ nhất

T† : R(T ) + R(T )⊥→ X

là toán tử tuyến tính với tập xác định là D(T†) = R (T ) + R (T )⊥ Toán tử T†

được gọi là nghịch đảo suy rộng hay nghịch đảo Moore - Penrose củatoán tử T và x† = T†y được gọi là nghiệm suy rộng của (1.1).Từ đây suy ra

T†y = T |N (T )∩X0
−1Qy, y ∈ D(T†).

Ta có hai mệnh đề sau về nghịch đảo suy rộng Moore-Penrose:

Mệnh đề 1.2 ([8] tr 33) ChoP, Q lần lượt là các phép chiếu trực giao lênN (T )

và R(T ) Khi đó, R(T†) = N (T )⊥ và bốn phương trình Moore - Penrosesau thỏa mãn:

Chứng minh Cho Q : Y → Y là phép chiếu trực giao lên R(T ) Theo Định lí1.4

phương trình (1.1) có tựa nghiệm x ∈ X nếu và chỉ nếu y ∈ D(T†), cũng như nếu

và chỉ nếu T x = Qy. Mà ta có

T x = Qy ⇔ Q(T x − y) = 0 ⇔ T x − y ∈ R(T )⊥= N (T∗) ⇔ T∗T x = T∗y.

Một lớp toán tử quan trọng thường xuất hiện trong các bài toán ứng dụng

là toán tử compact

Định nghĩa 1.3 ([10] tr 22) ChoX vàY là các không gian Hilbert vàT : X −→

Y là toán tử tuyến tính T được gọi là bị chặn nếu với mọi tập con bị chặn E

của X, tập T (E) bị chặn trong Y. Từ đây suy ra bao đóng T (E) là tập đóng và

bị chặn Nếu T (E) là compact với mọi tập con bị chặn E của X thì T được gọi

là toán tử compact

Một trong những ví dụ quan trọng của toán tử compact là toán tử tíchphân Fredholm được xác định bởi

(Kx)(s) =

Z b a

k(s, t)x(t)dt, a ≤ s ≤ b. (1.8)với k(., ) là hàm liên tục trên [a, b] × [a, b]

Định nghĩa 1.4 ([10] tr 45) Cho X 0 là một không gian con của không giantuyến tính định chuẩn X và T : X 0 −→ X là một toán tử tuyến tính Khi đó,nếu tồn tại x 6= 0, x ∈ X và λ ∈C sao cho T x = λxthì λ được gọi là giá trị riêngcủa T và x được gọi là véc tơ riêng ứng với giá trị riêng λ của T Tập

ρ(T ) = {λ ∈ C: (T − λI)−1 giới nội}

được gọi là giải thức của T và σ(T ) =C\ρ(T ) được gọi là phổ của T

Với một toán tử tuyến tính compact tự liên hợp K : X −→ Y, hệ kì dị

(σn, vn, un) được định nghĩa như sau:

Nếu K∗ : Y −→ X là toán tử liên hợp của K (thỏa mãn với mọi x ∈ X và y ∈

Y : hKx, yi = hx, K∗yi) thì{σn2}n∈Nlà các giá trị riêng khác0của toán tử compact

tự liên hợp K∗K (cũng như KK∗), σn > 0 và {vn}n∈N là hệ trực chuẩn đầy đủtương ứng của các véc tơ riêng của K∗K Dãy {un}n∈N được xác định qua

un = Kvn

σn{un}n∈N là một hệ trực chuẩn đầy đủ tương ứng của các véc tơ riêng của KK∗

và các công thức sau thỏa mãn:

Mệnh đề 1.4 ([8] tr 38) Cho K : X −→ Y là toán tử compact, dimR(K) = ∞.Khi đó, nghịch đảo suy rộng K† là toán tử tuyến tính không bị chặn với đồ thịđóng.

Định lí 1.7 ([8] tr 38) Cho(σ n ; v n ; u n )là hệ kì dị của toán tử tuyến tính compact

K, y ∈ Y Khi đó, ta có

(i) y ∈ D(K†) ⇐⇒P∞n=1|hy, uni| 2

σ 2 n

< ∞, (ii) với mọi y ∈ D(K†),

Cho (σn; vn; un) là hệ kì dị của toán tử tuyến tính compact K Khi đó,

(σ2n; vn) là hệ riêng của toán tử compact tự liên hợp K∗K:

|hx, vni|2(+kP xk2) ≤

∞

X

n=1 σ2n≤µ

|hx, vni|2(+kP xk2) = hEµx, xi.

Chú ý rằng giới hạn của tích phân có thể bằng 0 và σ12+ ε = kKk2+ ε với ε > 0

nào đó và chỉ tại đó f xác định và liên tục từng khúc Với f = id, trong đó

trong đó f (KK∗) được định nghĩa tương tự như f (K∗K) bằng cách sử dụng họphổ {Fλ} xác định bởi

Fλy =

∞

X

n=1 σ2n≤λ

tồn tại trong X khi max|λ i − λ i−1 | −→ 0, trong đó −∞ < a = λ 0 < λ 1 < < λ n =

b < ∞, ξ i ∈ (λ i−1 , λ i ] và được ký hiệu bởi

Z b a

hàm λ −→ hEλx, xi = kEλxk2 là hàm đơn điệu tăng và do đó, theo điều kiện (iii)

trong Định nghĩa 1.5, nó cũng liên tục trái

Mệnh đề 1.6 ([8] tr 46) Với x ∈ X và hàm f :R−→R liên tục, các điều kiện

sau là tương đương:

Họ phổ trong Mệnh đề 1.7 được gọi là họ phổ của A

Định nghĩa 1.7 ([8] tr 46) Cho A là một toán tử tự liên hợp trong X với họphổ {Eλ}λ∈R Ngoài ra, cho M0 là tập các hàm đo được đối với độ đo kdEλxk2

với mọi x ∈ X Khi đó, f (A) được xác định như sau

(ii) Nếu x ∈ D(f (A)) thì f (A)x ∈ D((g(A)) nếu và chỉ nếu x ∈ D(gf )(A)).Ngoài ra

g(A)f (A)x = (gf )(A)x, (iii) Nếu D(f (A)) trù mật trong X thì f (A) là tự liên hợp,

(iv) f (A) giao hoán với Eλ với mọi λ ∈R.

Mệnh đề 1.9 ([8] tr 47) Cho A là toán tử tự liên hợp trong X với họ phổ

{Eλ}λ∈R

(i) λ0∈ σ(A) nếu và chỉ nếu Eλ0 6= Eλ0+ε với mọi ε > 0

(ii) λ0 là một giá trị riêng của A nếu và chỉ nếu Eλ0 6= Eλ0+0 = lim

ε−→0 Eλ0+ε ;tương ứng không gian riêng cho bởi (Eλ0+0− Eλ0)(X ).

Bây giờ ta xét hai trường hợp đặc biệt Nếu A là toán tử tự liên hợp, xácđịnh dương, thỏa mãn với γ > 0

f (λ)dEλx = lim

ε−→0

Z kT k 2 +ε 0

f (λ)dEλx.

Do đó, hàm f có thể thu hẹp trên [0, kT k2+ ε] với ε > 0 nào đó

Hơn nữa, từ (1.8)(i) và bất đẳng thức Holder ta có bất đẳng thức nội suy

R(T∗) = R((T∗T )

1

2 ).

1.5 Bài toán ngược

Trong phần này, sau khi trình bày về ”bài toán đặt chỉnh” , tôi sẽ nêumột số ví dụ về các bài toán ngược nảy sinh trong các ứng dụng thực tế Chúng

ta thấy rằng các bài toán ngược tuyến tính thường dẫn tới các phương trình tíchphân loại một, đó là lý do tại sao các phương trình đó đóng một vai trò quantrọng trong việc nghiên cứu bài toán ngược Mặt khác, nhiều bài toán ngược làphi tuyến ngay cả khi bài toán thuận tương ứng là tuyến tính

Hai bài toán được gọi là ngược nhau nếu việc đặt bài toán này kéo theo bàitoán kia Bài toán đơn giản hơn hoặc bài toán đã được nghiên cứu trước đóthường được gọi là bài toán thuận, bài toán còn lại là bài toán ngược Bài toánngược thường liên quan đến việc xác định những nguyên nhân cho một kết quảmong muốn hoặc được quan sát

Trong thực tế, bài toán ngược thường không thỏa mãn hết các điều kiệncủa định đề Hadamard về tính tồn tại duy nhất nghiệm và tính phụ thuộcliên tục vào dữ liệu đầu vào Bài toán có những đặc tính như trên gọi làbài toán đặt không chỉnh và nó thường gây ra nhiều khó khăn cho việc giải

Bài toán (1.26) được gọi là đặt chỉnh nếu

(i) Với mỗi y ∈ Y tồn tại nghiệm x ∈ X ,

(ii) Nghiệm x được xác định duy nhất,

(iii) x phụ thuộc liên tục vào T và y

Bài toán (1.26) đặt không chỉnh nếu ít nhất một trong ba điều kiện trênkhông thỏa mãn

Như trên đã nói, bài toán ngược thường là bài toán đặt không chỉnh Để

rõ hơn về khái niệm này, ta xét một số ví dụ sau đây

Ví dụ 1.1 Phép tính Đạo hàm

Xét phương trình tích phân Volterra loại 1

(T x)(s) =

Z s 0

x(t)dt = f (s) − f (0), (1.27)

với các hàm x, f ∈ C[0, 1] Ta thấy rằng f0 chính là nghiệm của phương trình(1.27) và bài toán trên là bài toán ngược của bài toán tính tích phân Trong khitích phân được tính toán ổn định trên C[0, 1] thì phương trình (1.27) chỉ giảiđược trongC[0, 1] vớif ∈ C1[0, 1] Do đó, nếu chọn f ∈ C[0, 1]\C1[0, 1]thì phươngtrình vô nghiệm, tức là bài toán không thỏa mãn điều kiện (i) của Định nghĩa

Để tính toán đạo hàm f0 một cách ổn định, ngoài cách coi f0 như là nghiệm

của phương trình tích phân Volterra rồi áp dụng các phương pháp hiệu chỉnh tacòn có thể sử dụng phương pháp sai phân hữu hạn nếu biết trước các ràng buộcđối với f0 và f” Giả sử f là hàm cần tính đạo hàm và fδ là dữ liệu có nhiễutương ứng của nó thỏa mãn điều kiện kf − fδk∞ ≤ δ Ta sử dụng công thức saiphân trung tâm với bước h Nếu f ∈ C2[0, 1] thì ta có

f (x + h) − f (x − h)

0 (x) + O(h),

trong khi nếu f ∈ C3[0, 1] thì ta có

f (x + h − f (x − h)

0 (x) + O(h2).

Như vậy, sai số của công thức sai phân trung tâm phụ thuộc vào tính trơn của

với ν = 1 nếu f ∈ C2[0, 1] và ν = 2 nếu f ∈ C3[0, 1]

Nếu h quá nhỏ, tổng sai số tăng theo sai số dữ liệu δ/h và ngược lại nếu h

quá lớn thì sai số xấp xỉ cũng rất lớn Ta cần tìm một tham số rời rạc h0 saocho tổng sai số đạt giá trị bé nhất có thể Tham sốh0 tồn tại nhưng không tínhtoán được một cách chính xác vì nó phụ thuộc vào tính trơn của dữ liệu đúng.Tuy nhiên, nếu chọn h là lũy thừa của δ, tức là chọn h ∼ δµ thì ít nhất ta cũng

có thể ước lượng được dáng điệu tiệm cận của h0 Khi đó, với f ∈ C2[0, 1], tổngsai số là O( √

δ) tại µ = 1/2 và với f ∈ C3[0, 1], tổng sai số là (δ23 ) tại µ = 1/3

Ví dụ 1.2 Phép biến đổi Radon

Cho D ⊆ R2 là tập compact với hàm mật độ f Trong chụp ảnh y học(computer tomography), D mô phỏng mặt cắt ngang cơ thể người Trong cácthí nghiệm cơ học không phá hủy, D là mặt cắt ngang của vật thể được kiểm

tra Mục đích của chúng ta là khôi phục hàm mật độ f từ phép đo tia X trongmặt phẳng chứa D Những tia X này chạy dọc theo các đường được tham sốhóa bởi véc tơ pháp tuyến của chúng w ∈R2(kwk = 1) và khoảng cách s > 0 tớigốc tọa độ.

Nếu giả thiết rằng sự suy giảm cường độ −MI của một tia X theo Mt tỷ lệvới cường độ I, mật độ f và Mt, ta nhận được

MI(sw + tw⊥) = −I(sw + tw⊥)f (sw + tw⊥)Mt, (1.30)với w⊥ là véc tơ đơn vị trực giao với w Cho 4t trong (1.30) dần tới 0, ta được

f (s, w) = F (s), 0 < s ≤ ρ, kwk = 1.

Với 0 < s ≤ ρ, ta có

(Rf )(s, w0) = 2

Z ρ s

rF (r)

√

r 2 − s 2 dr.

√

s 2 − r 2 ds.

Từ đây suy ra hàm g phải khả vi và theo Ví dụ 1.1, bài toán khôi phục F từ g

là bài toán đặt không chỉnh

Ví dụ 1.3 Dự báo đường huyết

Giả sử tại thời điểm hiện tạit = tN, ta cónchỉ số đường huyết (blood glucose,viết tắt là BG) của một bệnh nhânyN, yN −1, , yN −n+1 được lấy mẫu tại các thờiđiểm tương ứngtN > tN −1 > > tN −n+1 trong miền lấy mẫu SH = tN− tN −n+1

Ta cần dự đoán nồng độ BGy j = y(t j )cho m thời điểm tiếp theo trong tương lai

{t j }N +mj=N +1 trong miền dự đoán P H = tN +m − tN sao cho tN < tN +1 < < tN +m.Trong điều trị bệnh tiểu đường, dự đoán như vậy ước tính tốc độ thay đổinồng độ BG tại thời điểm dự đoán t = tN từ các phép đo quá khứ và hiện tại

Do đó, ta cần tính giá trị của đạo hàm y0(tN) của hàm y(t) Theo Ví dụ 1.1,bài toán dự báo đường huyết đặt không chỉnh Tuy nhiên, trường hợp đang xétkhác với ví dụ 1.1 ở hai điểm sau:

• Ta chỉ có số đo đường huyết của bệnh nhân tại một số thời điểm nhất định

• Vấn đề dự báo đường huyết liên quan đến bài toán tính gần đúng đạo hàm

ở đầu mút (điểm cuối) của một đoạn

Chương 2

Toán tử hiệu chỉnh

Trong chương này chúng ta sẽ trình bày một số khái niệm về toán tử hiệuchỉnh, cấp tối ưu và các định lí liên quan

Phương pháp hiệu chỉnh (hay còn gọi là phương pháp chỉnh hóa) là thaymột bài toán đặt không chỉnh bằng một họ các các bài toán đặt chỉnh

mà nghiệm của chúng hội tụ tới nghiệm của bài toán đặt không chỉnh khi tham

số hiệu chỉnh dần tới 0

Xét bài toán

trong đó T là toán tử tuyến tính giới nội đưa không gian tuyến tính định chuẩn

X vào không gian tuyến tính định chuẩn Y

Ta cần tìm lời giải x† = T†y, trong đó thay vì biết dữ liệu đúng y, ta chỉ biếtgiá trị gần đúng của nó là dữ liệu có nhiễu yδ với mức nhiễu δ

Trong bài toán đặt không chỉnh,T†yδ không nhất thiết là một xấp xỉ tốtcho T†y Vì vậy, ta cần tìm các xấp xỉ xδα cho x† với xδα phụ thuộc liên tục vào

yδ, mặt khác xδα −→ x† khi δ −→ 0, nếu α = α(δ) được chọn phù hợp

Việc xây dựng xδα nói chung liên quan tới toán tử T Ngoại trừ trường hợp

kyδk ≤ δ, ta lấy xδα = 0 độc lập với T, còn lại T đóng vai trò khá quan trọngtrong việc xây dựngxδα Ở đây, ta không nói về hiệu chỉnh một phương trình cụthể mà hiệu chỉnh tập các phương trình, nói cách khác là hiệu chỉnh toán tử T†

(trên R(T ) hoặc trên D(T†))

Hiệu chỉnh toán tử T† là thay thế toán tử không bị chặn T† bằng một họ cáctoán tử liên tục R α Khi xấp xỉ x†, ta đặt xδα= R α yδ Tham số α phải chọn saocho nếu mức độ nhiễu δ −→ 0 thì xδα −→ x†.

Do đó, tham số hiệu chỉnh α phải phụ thuộc vào δ hoặc yδ, hoặc phụ thuộc vàocác thông tin cho trước về T và y

Định nghĩa 2.1 ([8] tr 50) ChoT : X −→ Y là toán tử tuyến tính bị chặn giữacác không gian Hilbert X và Y, α0 ∈ (0, +∞) Với mọi α ∈ (0, α0), xét toán tửliên tục (không nhất thiết tuyến tính)

Rα : Y −→ X

Họ {R α } được gọi là một toán tử hiệu chỉnh cho T† nếu với mọi y ∈ D(T†)

tồn tại một quy tắc chọn tham số α = α(δ, yδ) sao cho

tụ cho bài toán T x = y nếu (2.3) và (2.5) thỏa mãn

Như vậy một phương pháp hiệu chỉnh bao gồm một toán tử hiệu chỉnh vàmột quy tắc chọn tham số hiệu chỉnh Nếu tham số hiệu chỉnh được chọn theoquy tắc đó thì lời giải hiệu chỉnh hội tụ khi mức nhiễu dần tới 0 Sau này nếukhông nói gì thêm, ta giả thiết các toán tử hiệu chỉnh là tuyến tính

Định nghĩa 2.2 ([8] tr 51) Cho α là một quy tắc chọn theo Định nghĩa 2.1.Nếu α không phụ thuộc vào yδ mà chỉ phụ thuộc vào δ thì ta có quy tắc chọntham số tiên nghiệm và viết α = α(δ) Ngược lại, ta có quy tắc chọn tham sốhậu nghiệm.

Định lí 2.1 ([8] tr 52) Cho T : X −→ Y là toán tử tuyến tính bị chặn và tồntại một toán tử hiệu chỉnh R α cho T† với một quy tắc chọn tham số α chỉ phụthuộc vào yδ (không phụ thuộc vào δ) sao cho (R α , α) hội tụ với mọi y ∈ D(T†).Khi đó, T† bị chặn

Chứng minh Vì α không phụ thuộc vào δ nên có thể viết α = α(yδ) Từ (2.3)

suy ra

lim

δ−→0 sup{kRα(yδ ) yδ− T†yk|yδ ∈ Y, kyδ− yk ≤ δ} = 0 (2.6)

Do vậy, Rα(y)y = T†y, với mọi y ∈ D(T†)

Cho dãy {yn} bất kỳ trong D(T†) hội tụ tới y ∈ D(T†) Khi đó, từ (2.6) suy ra

T x = y.

Chứng minh Cho y ∈ D(T†) tùy ý nhưng cố định Theo giả thiết, tồn tại hàm

σ :R+ −→R+ đơn điệu với lim

ε−→0 σ(ε) = 0 sao cho với mọi ε > 0,

kRσ(ε)y − T†yk ≤ ε

2

Khi đó, do Rσ(ε) liên tục với mọi ε > 0 theo giả thiết, nên tồn tại ρ(ε) sao chonếu

Dễ thấy α là hàm đơn điệu và có tính chất lim

δ−→0 α(δ) = 0 Hơn nữa, với mọi

nếu không điều này chỉ thỏa mãn trên tập giá trị σ nằm trong miền chọn tham

số α Do đó, toán tử hiệu chỉnh là xấp xỉ điểm của nghịch đảo Moore-Penrosecủa T

Nếu {Rα} là toán tử tuyến tính và bị chặn đều và nếu R(T ) không đóng, thì

sự hội tụ trong (2.7) không phải là hội tụ theo chuẩn toán tử, vì T† không bị

{xα} −→ T†y khi α −→ 0, ∀y ∈ D(T†) (2.11)

và nếu

sup{kT Rαk|α > 0} < ∞ (2.12)thì

kx α k −→ +∞ khi α −→ 0,với mọi y / ∈ D(T†) (2.13)giới hạn (2.11) và (2.13) được hiểu như trong Nhận xét 2.1

y ∈ D(T†) Vì vậy, nếu y / ∈ D(T†) thì không tồn tại dãy {kxαnk} bị chặn ( trong

đó α n (δ n , y) → 0), nên (2.13) thỏa mãn

Mệnh đề 2.3 ([8] tr 54) Cho {Rα} là toán tử hiệu chỉnh tuyến tính với mọi

y ∈ D(T†) Cho α : R+ −→ R+ là một quy tắc chọn tham số tiên nghiệm Khi

đó, (Rα, α) là một phương pháp hiệu chỉnh hội tụ nếu và chỉ nếu:

Chứng minh a) Ta chứng minh nếu(2.14) và (2.15) thỏa mãn thì(Rα, α) hội tụ

Từ (2.10) ta có xα = Rαy −→ T†y trên D(T†) Với yδ ∈ Y thỏa mãn ky δ − yk ≤ δ,

b) Chứng minh (Rα, α) hội tụ thì suy ra (2.14) và (2.15).

Vì (Rα, α) hội tụ nên suy ra

lim

δ−→0 sup{α(δ, yδ)|yδ ∈ Y, kyδ − yk ≤ δ} = 0.

Vì α chọn theo quy tắc tiên nghiệm nên ta có lim

δ−→0 α(δ) = 0.

Giả sử (2.15) không thỏa mãn Khi đó, tồn tại một dãy {δ n } −→ 0 sao cho

kδnRα(δn)k ≥ c > 0.Do đó, tồn tại một dãy{zn} ⊂ Y, kznk = 1sao chokδnRα(δn)znk ≥ c

(2.16) là điều kiện cần cho hội tụ yếu Nếu (2.16) không thỏa mãn thì tồn tại

{δk} và yk như trên sao cho {Rα(δk)yk} phân kỳ trong tô pô yếu (thậm chí không

với xα = Rαy và x† = T†y hoặc

kxδα(δ,yδ ) − x†k −→ 0, khi δ −→ 0. (2.18)với xδα(δ,yδ ) = Rα(δ,yδ ) yδ và (2.2) thỏa mãn

Chỉ tốc độ hội tụ trong (2.18) mới phụ thuộc vào quy tắc chọn tham số, trongkhi tốc độ hội tụ trong(2.17)phụ thuộc vào toán tử hiệu chỉnh cũng như dữ liệuđúng y Khi đó

kxδα(δ,yδ ) − x†k ≤ kxα(δ,yδ ) − x†k + kxα(δ,yδ ) − xδα(δ,yδ ) k

Trước tiên ta xét tốc độ hội tụ trong (2.17), tức là tốc độ với phương pháphiệu chỉnh hội tụ với dữ liệu đúng ở vế phải Nếu {Rα}hội tụ tới T† theo chuẩntoán tử thì kxα− x†k ≤ kRα− T†k.kyk, tức là ta thu được tốc độ hội tụ đều theo

ytrong (2.17) Tuy nhiên điều này không đúng đối với bài toán đặt không chỉnh

Ta sẽ thấy tốc độ hội tụ tốt nhất có thể của phương pháp hiệu chỉnh với giảthiết bổ sung về lời giải (hoặc dữ liệu đúng) có liên quan tới mođun liên tục của

T† trên tập con được xác định bởi giả thiết tiên nghiệm

Định nghĩa 2.3 ([8] tr 56) Với M ⊆ X , δ > 0 ta đặt

Ω(δ, M) = sup{kxk|x ∈ M, kT xk ≤ δ}. (2.19)Nói chung tập Ω(δ, M) vô hạn, ví dụ nếu M ∩ N (T ) 6= {0} và M không bị chặn.Nếu M ∩ N (T ) = {0} thì Ω(δ, M) hữu hạn nếu và chỉ nếu T† liên tục trên T M.Chẳng hạn, nếu M compac và M ∩ N (T ) = {0}thì Ω(δ, M) hữu hạn

Mỗi phương pháp cho lời giải (2.1) có dạng x = Ry, với R là một ánh xạkhông nhất thiết tuyến tính đi từY vào X Nếu phương pháp này được sử dụngcho yδ với ky δ − yk ≤ δ và giả thiết

thì sai số trong trường hợp xấu nhất được cho bởi

4 (δ, M, R) = sup{kRyδ − xk|x ∈ M, yδ ∈ Y, kT x − yδk ≤ δ}. (2.21)

4(δ, M, R) = +∞ nếu M ∩ N (T ) 6= {0} và M không bị chặn.

Một phương pháp tối ưu R0 trong lớp các phương pháp R là phương phápthỏa mãn

4 (δ, M, R 0 ) = inf{4(δ, M, R)|R ∈ R}. (2.22)Phương pháp tối ưu ở đây được hiểu ứng với điều kiện tiên nghiệm (2.20) vàtrong lớp các phương pháp đang xét

Mệnh đề 2.4 ([8] tr 56) Cho M ⊆ X , δ > 0 và R : Y −→ X là ánh xạ bất kỳvới R(0) = 0 Khi đó

Chứng minh Cho x ∈ M với kT xk ≤ δ tùy ý Thay yδ = 0 vào (2.22) ta được

4(δ, M, R) ≥ kR(0) − xk = kxk.

Theo Định nghĩa cận trên đúng, với mọi x ∈ M và kT xk ≤ δ ta có (2.23)

Mệnh đề 2.5 ([8] tr 57) Cho R(T ) không đóng, {Rα} là toán tử hiệu chỉnhcho T† với Rα(0) = 0, α = α(δ, yδ) là quy tắc chọn tham số Khi đó, không tồntại hàm f : R+−→R+ với lim

δ−→0 f (δ) = 0 sao cho

kRα(δ,yδ ) yδ− T†yk ≤ f (δ) (2.24)

với mọi y ∈ D(T†), kyk ≤ 1 và mọi δ > 0.

Chứng minh Giả sử tồn tại f với lim

δ−→0 f (δ) = 0 sao cho (2.24) thỏa mãn Với

δ > 0, cho Rδ : Y −→ X xác định bởi Rδyδ = Rα(δ,yδ ) yδ Nếu (2.24) thỏa mãn với

∀y ∈ D(T†), kyk ≤ 1 thì khi đó ta có R(T†) = N (T )⊥,

4(δ, N (T )⊥∩ T−1(B1(0)), Rδ) ≤ f (δ),

ở đây (B1(0)) = {y ∈ Y|kyk ≤ 1} Từ Mệnh đề 2.1 suy ra

Ω(δ, N (T )⊥∩ T−1(B1(0))) ≤ f (δ), ∀δ > 0.

Do đó

lim

δ−→0 Ω(δ, N (T )⊥∩ T−1(B1(0))) = 0. (2.25)Cho dãy bất kỳ {yk} ⊂ B1∩ R(T ) hội tụ tới y ∈ B1∩ R(T ), xk = T†yk, x = T†y.

Nếu k ∈N sao cho kyk− yk ≤ δ thì từ Định nghĩa 2.1 có kxk− xk ≤ Ω(δ, N (T )⊥∩

T−1(B1(0))). Kết hợp với (2.25) và tính hội tụ của {yk} tới y suy ra {xk} hội tụtới x Do đó, T† liên tục trên B1∩ R(T ) Từ đó suy ra T† bị chặn, điều này mâuthuẫn với giả thiết R(T ) không đóng

Nhận xét 2.3 Mệnh đề 2.4 thỏa mãn với mọi phương pháp, không chỉ vớiphương pháp hiệu chỉnh trong Định nghĩa 2.1 Các khái niệm và kết quả củaphần này không phụ thuộc vào tính tuyến tính của toán tử T và dễ dàng phátbiểu cho bài toán phi tuyến Mođun liên tục (2.19) được thay bởi

Đối với bài toán đặt không chỉnh T thường là toán tử làm trơn, vì vậy yêu

cầu một phần tử nào đó thuộc Xµ,ρ có thể coi như điều kiện trơn đặt lên phần

= σk2 là giá trị riêng của K∗K

ứng với véc tơ riêng là vk, kvkk = 1.

Đặt xk = ρ(K∗K)µvk thì xk ∈ Xµ,ρ và

xk = ρσk2µvk = ρ



δkρ

2µ+12µ

vk = δ

2µ 2µ+1

k ρ 2µ+11 vk,

tức là

kxkk = δ

2µ 2µ+1

k ρ 2µ+11 .

Có K∗Kxk = δ

2µ 2µ+1

k ρ 2µ+11 σ2kvk = δ

2µ+2 2µ+1

k ρ 2µ+1−1 vk nên suy ra

kKxkk2 = hKxk, Kxki = hK∗Kxk, xki = δk2.

Do đó Ω(δk, Xµ,ρ) ≥ δ

2µ 2µ+1

k ρ 2µ+11 . Kết hợp với Mệnh đề 2.7 ta được điều cần chứngminh

Nhận xét 2.4 Nếu T không compact và có miền giá trị không đóng, người ta

có thể chứng minh rằng tồn tại dãy {δk} −→ 0 sao cho Ω(δk, Xµ,ρ) không hội tụđến 0 nhanh hơn δ

2µ 2µ+1

k

Từ các Mệnh đề 2.4, 2.7, 2.8 suy ra nếu R(T )không đóng, phương pháp hiệuchỉnh không thể hội tụ về 0 nhanh hơn δ 2µ+12µ ρ 2µ+11 , khi δ −→ 0 với giả thiết

Nếu chỉ quan tâm tốc độ hội tụ, thì phương pháp hiệu chỉnh hội tụ về 0

không thể nhanh hơn O(δ 2µ+12µ ) với giả thiết

Điều này có nghĩa là trong mọi tốc độ dạng δs thì s = 2µ

2µ + 1 là tốt nhất Tuynhiên, chú ý rằng (2.32)thỏa mãn với cách chọn đặc biệt dãy {δk} −→ 0. Với cácgiá trị khác của δ, Ω(δ, M) có thể nhỏ hơn δ 2µ+12µ ρ 2µ+11 .

Những nhận xét trên dẫn đến những khái niệm khác nhau của thuật toánhiệu chỉnh tối ưu (trongXµ hay trong Xµ,ρ): người ta gọi một phương phát hiệu

chỉnh(Rα, α)là tối ưu nếu4(δ, M, Rα)là nhỏ nhất với mọiδ > 0cho mọi phươngpháp hiệu chỉnh Đây là yêu cầu khắt khe nhất Dưới đây chúng ta xét một kháiniệm tối ưu yếu:

Định nghĩa 2.4 ([8] tr 60) Cho R(T )không đóng, {R α } là toán tử hiệu chỉnhcho T† Với µ, ρ > 0, y ∈ T X µ,ρ và α là quy tắc chọn tham số để giải (2.1) Ta nói

(R α , α) tối ưu trong X µ,ρ nếu

δ một chút Giả sử có toán tử hiệu chỉnh {Rα, α}, α = α(δ, yδ) Khi đó, ta xácđịnh

ατ(yδ, δ) = α(yδ, τ δ), τ > 1. (2.37)

Ta có kết quả sau:

Định lí 2.2 ([8] tr 61) Nếu với mọiτ > τ0≥ 1, phương pháp hiệu chỉnh {Rα, ατ}

có cấp tối ưu trong Xµ,ρ với một µ > 0 nào đó và mọi ρ > 0 thì mọi phương pháp

{Rα, ατ} với τ > τ0 ≥ 1 hội tụ với y ∈ R(T ) và chúng có cấp tối ưu trong mọi

Xν,ρ với 0 < ν ≤ µ và ρ > 0.

Chứng minh Xét yδ như là nhiễu của (I − Fε)y với ε = ε(δ) và {Fε}là phổ của

T T∗.Chú ý rằng (I − Fε)y = T xε, với xε = (I − Eε)x†, tức là xε là khai triểnphổ chặt cụt của x† Dễ thấy x†, xε ∈ R((T∗T )µ) với mọi µ > 0 Chính xác hơn,

2) Chứng minh {Rα, ατ} với τ > τ0 ≥ 1 hội tụ với y ∈ R(T ) và chúng có cấp tối

ưu trong mọi Xν,ρ với 0 < ν ≤ µ và ρ > 0.

Cho x† ∈ Xµ,ρ, với 0 < ν < µ tức là x† = (T∗T )νz, kzk ≤ ρ. Từ (2.38) ta nhậnđược

2µ+12µ