Một số phương pháp hiệu chỉnh giải bài toán ngược

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Phạm Thị Gấm MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH GIẢI BÀI TOÁN NGƯỢC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2014 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Phạm Thị Gấm MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH GIẢI BÀI TOÁN NGƯỢC Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số: 60.46.0112 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TSKH PHẠM KỲ ANH Hà Nội - 2014 Mục lục Mở đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số kết qủa giải tích hàm 1.1.1 Không gian 1.1.2 Toán tử bị chặn 1.1.3 Một số định lí quan trọng 1.2 Nghịch đảo suy rộng Moore - Penrose 1.3 Toán tử tuyến tính Compact 11 1.4 Định lí phổ 13 1.5 Bài toán ngược 18 Toán tử hiệu chỉnh 23 2.1 Định nghĩa kết 23 2.2 Cấp tối ưu 29 Các phương pháp hiệu chỉnh liên tục 40 3.1 Toán tử hiệu chỉnh liên tục 40 3.2 Qui tắc chọn tham số tiên nghiệm 43 3.3 Sự bão hòa kết ngược lại 51 3.4 Nguyên lý độ lệch 55 3.5 Qui tắc chọn tham số hậu nghiệm cải tiến 61 i Kết luận 88 Tài liệu tham khảo 89 ii BẢNG KÍ HIỆU B(X , Y) Không gian toán tử tuyến tính liên tục từ X vào Y C[a, b] Không gian hàm số thực liên tục [a, b] D(T ) Miền xác định T dim Số chiều không gian I Toán tử đơn vị inf Cận L2 [a, b] Không gian hàm số bình phương khả tích [a, b] N (T ) Tập không điểm T R (T ) Miền giá trị T Rα Toán tử hiệu chỉnh (Rα , α) Phương pháp hiệu chỉnh sup Cận T† Toán tử nghịch đảo suy rộng T T∗ Toán tử liên hợp T x† Nghiệm suy rộng α Tham số hiệu chỉnh iii Mở đầu Trong ứng dụng thực tế thường nảy sinh toán ngược, biết liệu đầu cần khôi phục lại liệu đầu vào, biết liệu vào-ra phải nhận dạng tham số hệ thống Các toán chụp ảnh cắt lớp, khôi phục ảnh, dự báo đường huyết điều trị bệnh tiểu đường, vv toán ngược thường gặp Bài toán ngược nói chung toán đặt không chỉnh, tức là, nghiệm không phụ thuộc liên tục vào liệu toán Các phương pháp giải số ổn định toán đặt không chỉnh cách đưa toán đặt chỉnh gọi phương pháp hiệu chỉnh Trong luận văn em xin trình bày số phương pháp hiệu chỉnh giải toán ngược tuyến tính Luận văn gồm chương: • Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, em nhắc lại số khái niệm giải tích hàm, toán ngược toán đặt không chỉnh • Chương 2: Toán tử hiệu chỉnh Trong chương này, em trình bày khái niệm toán tử hiệu chỉnh, cấp tối ưu định lí liên quan • Chương 3: Các phương pháp hiệu chỉnh liên tục Chương trình bày toán tử hiệu chỉnh liên tục, qui tắc chọn tham số tiên nghiệm, nguyên lý độ lệch,qui tắc chọn tham số hậu nghiệm cải tiến Lời cảm ơn Trước tiên, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS.TSKH Phạm Kỳ Anh, người trực tiếp hướng dẫn tận tình bảo em suốt trình em học tập thực luận văn Em xin cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán - Cơ - Tin học toàn thể thầy giáo, cô giáo khoa Toán - Cơ - Tin học, phòng Sau đại học, trường Đại học Khoa Học Tự Nhiên - Đại Học Quốc Gia Hà Nội giúp đỡ em suốt trình học tập làm luận văn Cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn chân thành tới đồng nghiệp, gia đình bạn bè động viên, giúp đỡ tạo điều kiện mặt trình học tập làm luận văn Do thời gian thực luận văn không nhiều, kiến thức hạn chế nên làm luận văn em không tránh khỏi sai sót Em mong nhận góp ý ý kiến phản biện quý thầy cô bạn đọc Xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 10 tháng 11 năm 2014 Học viên Phạm Thị Gấm Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, nhắc lại số kết giải tích hàm trình bày số khái niệm toán ngược toán đặt không chỉnh 1.1 1.1.1 Một số kết qủa giải tích hàm Không gian Cho X không gian tuyến tính trường số thực phức K Các phần tử X gọi véc tơ, phần tử K vô hướng Một chuẩn không gian tuyến tính X hàm giá trị thực không âm x −→ x , x ∈ X , thỏa mãn: (i) ∀x ∈ X , x = ⇔ x = 0, (ii) αx = |α| x , ∀x ∈ X , ∀α ∈ K, (iii) x + y ≤ x + y , ∀x, y ∈ X Một không gian tuyến tính với chuẩn gọi không gian tuyến tính định chuẩn Dễ thấy ánh xạ (x, y) −→ x − y , (x, y) ∈ X × X , xác định mêtric X Một không gian tuyến tính định chuẩn đầy đủ gọi không gian Bannach Xét không gian tuyến tính X với tích vô hướng , ánh xạ (x, y) −→ x, y X × X thỏa mãn tính chất: (i) x, x ≥ 0, ∀x ∈ X , (ii) ∀x ∈ X , x, x = ⇔ x = 0, (iii) αx, y = α x, y , ∀α ∈ K, ∀x, y ∈ X , (iv) x + y, u = x, u + y, u , ∀x, y, u ∈ X , (v) x, y = y, x , ∀x, y ∈ X Một không gian tuyến tính với tích vô hướng gọi không gian có tích vô hướng Một bất đẳng thức quan trọng không gian có tích vô hướng Bất đẳng thức Schwarz hay gọi Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz Bất đẳng thức Schwarz: với x, y không gian tích vô hướng | x, y |2 ≤ x, x y, y Sử dụng bất đẳng thức Schwarz suy ánh xạ x −→ x = x, x , x ∈ X , xác định chuẩn X Nếu X đầy đủ với metric xác định chuẩn X gọi không gian Hilbert Bất đẳng thức Holder : với x = (α1 , α2 , , αn ), y = (β1 , β2 , , βn ) Kn < p < ∞, ta có n n |αj |p |αj βj | ≤ j=1 j=1 p n |βj |q q , j=1 q > cho p + q = pq Các phần tử x, y không gian có tích vô hướng gọi trực giao với x, y = Ta ký hiệu x ⊥ y Định lí Pytago: Cho X không gian có tích vô hướng x, y ∈ X Khi đó, x+y = x + y , x ⊥ y Với tập S X , ta viết S ⊥ = {x ∈ X | x, u = với u ∈ S} Nếu S1 , S2 tập không gian có tích vô hướng cho x ⊥ y với x ∈ S1 y ∈ S2 ta viết S1 ⊥ S2 1.1.2 Toán tử bị chặn Ánh xạ T : X −→ Y hai không gian tuyến tính X Y gọi toán tử tuyến tính T (x + y) = T (x) + T (y), ∀x, y ∈ X , T (αx) = αT (x), ∀α ∈ K, ∀x ∈ X Nếu T : X −→ Y toán tử tuyến tính ta thường viết T x thay cho T (x) với x ∈ X Ta kí hiệu N (T ) = {x ∈ X |T x = 0} không gian X , gọi không gian không điểm T , R(T ) = {T x|x ∈ X } không gian Y , gọi miền giá trị T Cho T : X −→ Y toán tử tuyến tính không gian tuyến tính định chuẩn X Y Có thể thấy T liên tục tồn c > cho T x ≤ c x , ∀x ∈ X , trường hợp inf{c > : T x ≤ c x , ∀x ∈ X } = sup{ T x |x ∈ X , x ≤ 1} Do đó, toán tử tuyến tính liên tục gọi toán tử tuyến tính giới nội hay toán tử bị chặn Ta ký hiệu tập tất toán tử bị chặn từ X vào Y B(X , Y) Toán tử tuyến tính P : X −→ X không gian tuyến tính X gọi toán tử chiếu hay phép chiếu P x = x, ∀x ∈ R(P ) Do đó, toán tử tuyến tính P : X −→ X toán tử chiếu P = P Nếu P phép chiếu I − P phép chiếu R(P ) = N (I − P ), R(I − P ) = N (P ) Cho X không gian có tích vô hướng Khi đó, phép chiếu P : X −→ X gọi phép chiếu trực giao R(P ) ⊥ N (P ), tức x, y = 0, ∀x ∈ R(P ), ∀y ∈ N (P ) 1.1.3 Một số định lí quan trọng Cho X Y không gian tuyến tính định chuẩn {Tn } dãy toán tử B(X , Y) Ta nói dãy {Tn } hội tụ điểm X , với x ∈ X , {Tn x} hội tụ Dễ thấy T : X −→ Y xác định T x = lim Tn x, x ∈ X n−→∞ toán tử tuyến tính Tuy nhiên T không thiết phải thuộc B(X , Y) Cho X không gian tuyến tính định chuẩn, Λ ⊆ R, α0 điểm tụ Λ xα ∈ X , ∀α ∈ Λ Ta nói xα hội tụ tới x ∈ X α −→ α0 viết xα −→ x α −→ α0 hay lim xα = x, α−→α0 với ε > tồn δ > cho x − xα ≤ ε α ∈ Λ, |α − α0 | < δ Một họ {Tα }α∈Λ toán tử B(X , Y) gọi bị chặn tập { Tα }α∈Λ bị chặn R {Tα } gọi hội tụ điểm X α −→ α0 {Tα x} hội tụ với x ∈ X α −→ α0 Mệnh đề 1.1 ([10] tr 31) Cho X Y không gian tuyến tính định chuẩn, {Tα }α∈Λ họ bị chặn toán tử B(X , Y), với Λ tập R có điểm tụ α0 Nếu {Tα } hội tụ điểm X toán tử T : X −→ Y xác định T x = lim Tα x, x ∈ X thuộc B(X , Y) α−→α0 Định lí 1.1 (Nguyên lý bị chặn đều) ([10] tr 32) Cho X không gian Bannach, Y không gian tuyến tính định chuẩn {Tα }α∈Λ tập B(X , Y) Nếu { Tα x }α∈Λ bị chặn với ∀x ∈ X {Tα }α∈Λ bị chặn Định lí 1.2 (Định lí Banach - Steinhaus) ([10] tr 32) Cho X không gian Banach Y không gian tuyến tính định chuẩn {Tα }α∈Λ tập B(X , Y), với Λ tập R có điểm tụ α0 Nếu {Tα x} hội tụ α −→ α0 với x ∈ X {Tα }α∈Λ bị chặn toán tử T : X −→ Y xác định T x = lim Tα x, x ∈ X thuộc vào B(X , Y) α−→α0 Định lí 1.3 (Định lí Đồ thị đóng)([10] tr 35) Cho X Y không gian Bannach, X0 không gian X Khi đó, toán tử tuyến tính T : X0 −→ Y đóng X0 đóng X 1.2 Nghịch đảo suy rộng Moore - Penrose Cho X , Y không gian Hilbert, y ∈ Y T : X −→ Y toán tử tuyến tính Xét phương trình Tx = y (1.1) Định nghĩa 1.1 ([8] tr 32) x ∈ X gọi tựa nghiệm phương trình (1.1) T x − y = inf{ T x − y |x ∈ X } (1.2) Định lí 1.4 ([10] tr 142) Cho X không gian tuyến tính, Y không gian Hilbert T : X −→ Y toán tử tuyến tính, P : Y −→ Y phép chiếu trực giao lên R (T ) Với y ∈ Y , mệnh đề sau tương đương: (i)Phương trình (1.1) có tựa nghiệm (ii) y ∈ R (T ) + R (T )⊥ (iii) Phương trình T x = P y với x ∈ X có nghiệm Chứng minh (i) ⇔ (iii) Vì inf{ T v − y |v ∈ R (T )} = P y − y nên inf{ T z − y |z ∈ X } = inf{ v − y |v ∈ R (T )} = inf{ v − y |v ∈ R (T )} = P y − y Mặt khác, với x ∈ X ta có T x − y = (T x − P y) + (P y − y) với (T x − P y) ∈ R (T ) (P y − y) ∈ R (T )⊥ Do Tx − y = Tx − Py + Py − y nên suy x ∈ X tựa nghiệm phương trình (1.1) T x = P y (ii) ⇔ (iii) y ∈ R (T ) + R (T )⊥ ⇔ y = y1 + y2 với y1 ∈ R (T ) , y2 ∈ R (T )⊥ ⇔ P y = P y1 + P y2 = P y1 = y1 ∈ R (T ), hay phương trình T x = P y có nghiệm với x ∈ X Cho X , Y T Định lí 1.4, với y ∈ Y , ta ký hiệu Sy = {x ∈ X : T x − y = inf T z − y |z ∈ X } Khi đó, theo Định lí 1.4, Sy = ∅ y ∈ R (T ) + R (T )⊥ Hệ 1.1 ([10] tr 143) Cho X , Y T Định lí 1.4, y ∈ Y cho Sy = ∅ Nếu x0 ∈ Sy Sy = {x0 + z|z ∈ N (T )} Đặc biệt, T đơn ánh y ∈ R (T ) + R (T )⊥ phương trình (1.1) có tựa nghiệm Chứng minh Dễ thấy x0 tựa nghiệm phương trình nên với z ∈ N (T ) x0 + z tựa nghiệm Do đó, x0 + N (T ) ⊆ Sy Mặt khác, với P : Y −→ Y phép chiếu trực giao lên R(T ) x0 ∈ Sy theo Định lí 1.4, với x ∈ Sy có T x = P y = T x0 Vì x = x0 + z với z = x − x0 ∈ N (T ) Suy Sy ⊆ {x0 + z|z ∈ N (T )} Vậy Sy = x0 + N (T ) Đặc biệt, N (T ) = {0} T đơn ánh Định lí 1.5 ([10] tr 144) Cho X , Y không gian Hilbert, X0 không gian X T : X0 −→ Y toán tử tuyến tính với N (T ) đóng X Cho y ∈ R (T ) + R (T )⊥ Khi đó, tồn x† ∈ Sy cho x† = inf{ x |x ∈ Sy } Hơn nữa, x† ∈ N (T )⊥ x† = Qx0 , với Q : X −→ X phép chiếu trực giao lên N (T )⊥ x0 phần tử Sy Chứng minh Cho y ∈ R (T )+R (T )⊥ theo Định lí 1.4 có Sy = ∅ Lấy x0 ∈ Sy Theo Hệ 1.1 ta có Sy = {x0 + z|z ∈ N (T )} Lấy x† = Qx0 với Q : X −→ X phép chiếu trực giao lên N (T )⊥ Khi đó, ta có x0 = x† + z với z ∈ N (T ) Điều suy x† = x0 − z ∈ X0 Do đó, theo Định lí 1.4 T x† = T x0 = P y với P : Y −→ Y phép chiếu trực giao lên R(T ) Vậy x† ∈ Sy Theo Hệ 1.1, với x ∈ Sy có x − x† ∈ N (T ) Áp dụng Định lí Pytago ta x = x† + x − x† Do vậy, x† ≤ x với x ∈ Sy Giả sử tồn x1 ∈ Sy cho x1 x1 x với x ∈ Sy Khi đó, x† x1 nên x1 = x† Lại áp dụng Hệ 1.1 Định lí Pytago ta x1 −x† ∈ N (T ) x1 = x† + x1 − x† Từ suy x1 = x† Vậy x† Định nghĩa 1.2 ([10] tr 145) Cho X , Y không gian Hilbert, X0 tập X T : X0 → Y toán tử tuyến tính với N (T ) đóng X Từ Định lí 1.5, với y ∈ R (T ) + R (T )⊥ tập Sy = {x ∈ X0 | T x − y = inf{ T z − y |z ∈ X0 } không rỗng tồn x† ∈ Sy cho x† = inf{ x |x ∈ Sy } Thực tế, theo Định lí 1.4 1.5, x† phần tử N (T )⊥ cho T x† = Qy, Q : Y → Y phép chiếu trực giao lên R(T ) Ta định nghĩa toán tử nghịch đảo suy rộng theo nghĩa Moore-Penrose T † quy tắc mà phần tử y ∈ R (T ) + R (T )⊥ tương ứng với tựa nghiệm có chuẩn nhỏ T † : R(T ) + R(T )⊥ → X toán tử tuyến tính với tập xác định D(T † ) = R (T ) + R (T )⊥ Toán tử T † gọi nghịch đảo suy rộng hay nghịch đảo Moore - Penrose toán tử T x† = T † y gọi nghiệm suy rộng (1.1).Từ suy T † y = T |N (T )∩X0 −1 Qy, y ∈ D(T † ) Ta có hai mệnh đề sau nghịch đảo suy rộng Moore-Penrose: Mệnh đề 1.2 ([8] tr 33) Cho P, Q phép chiếu trực giao lên N (T ) R(T ) Khi đó, R(T † ) = N (T )⊥ bốn phương trình Moore - Penrose sau thỏa mãn: T T † T = T, (1.3) T †T T † = T †, (1.4) 10 Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu tiếng Việt [1] Phạm Kỳ Anh, Trần Đức Long (2003), Hàm thực giải tích hàm, Nhà xuất Đại Học Quốc Gia Hà Nội, Hà Nội [2] Phạm Kỳ Anh, Nguyễn Bường (2007), Bài toán đặt không chỉnh, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội, Hà Nội [B] Tài liệu tiếng Anh [3] A.G Ramm and A.B Smirnova (2001),"On stable numerical differentiation",Mathematics of Computation, 70(235), pp 1131-1153 [4] B.Fornberg(1988),"Generation of Finite Difference Formulas on Arbitrarily Spaced Grids",Mathematics of Computation, 51(184),pp 699-706 [5] B Fornberg(1998),"Calculation of weights in finite difference formulas", Society for Industrial and Applied Mathematics, 40(3),pp 685-691 [6] B.P Kovatchev, M.Breton, C.D.Man and C.Cobelli, (2009) "A Proof of Concept in Closed-Loop Control of Type Diabetes",Journal of Diabetes Science and Technology, 3(1), pp 44-55 [7] E.Kreyszig (1978)Introductory functional analysis with applications, John Wiley Sons.Inc, United States of America [8] H.W.Engl, M.Hanke, A.Neubauer(1996),Regularization of Inverse Problems, Kluwer Academic Publishers 89 [9] H.W Engl and H.Gfrerer(1988)," A postenori parameter choice for general regularization methods for solving linear ill-posed problems", Applied Numerical Mathematics, 4,pp.395-417 [10] M.T Nair(2009),Linear Operator Equations Approximation and Regularization,World Scientific Publishing Co Pte Ltd [11] O.Scherzer, M.Grasmair, H.Grossauer, M.Haltmeier, F.Lenzen (2009 Variational Methods in Imaging, Springer Science+Business Media, LLC, New York [12] S.Sivananthan, V.Naumova, C.D Man, A.Facchinetti, E.Renard, C.Cobelli, and S.V Pereverzyev (2011),"Assessment of Blood Glucose Predictors: The Prediction-Error Grid Analysis",Diabetes technology therapeutics, 13(8),pp 787-796 [13] S Lu, S.V Pereverzev(2006), "Numerical differentiation from a viewpoint of regularization theory",Mathematics of Computation, 75(256),pp 1853–1870 [14] T.Raus, U H¨marik(2008),"About the balancing principle for choice of a the regularization parameter",Journal of Physics, 135 (2008) 012087, pp 1-9 [15] V Naumova, S.V.Pereverzyev and S Sivananthan (2011),"Extrapolation in variable RKHSs with application to the blood glucose reading",Inverse Problems, 27, pp 1-13 [16] V Naumova, S.V Pereverzyev, S Sivananthan(2012),"Adaptive parameter choice for one-sided finite difference schemes and its application in diabetes technology",Journal of Complexity,28,pp 524-538 90