Một số phương pháp giải bài toán rẽ nhánh

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN THỊ MAI MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN RẼ NHÁNH Chuyên ngành: Giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TSKH NGUYỄN XUÂN TẤN HÀ NỘI- 2015 Mục lục Mở đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian Banach 1.1.1 Không gian Rn 1.1.2 Không gian ánh xạ liên tục 1.1.3 Không gian ánh xạ khả vi liên tục 1.1.4 Không gian Hilbert 1.2 Toán tử liên hợp, giá trị riêng, véctơ riêng 1.3 Toán tử Fredholm 10 1.4 Toán tử liên tục Lipschitz, toán tử 10 1.5 Định lý hàm ẩn 11 Lý thuyết bậc ánh xạ 12 2.1 Một vài ký hiệu bổ đề 12 2.2 Định nghĩa bậc ánh xạ liên tục khả vi 13 2.3 Định nghĩa bậc ánh xạ liên tục 23 2.4 Ứng dụng bậc ánh xạ 25 Giải toán rẽ nhánh 3.1 26 Lý thuyết rẽ nhánh 26 3.2 Giải toán rẽ nhánh 29 3.2.1 Một vài kí hiệu bổ đề 30 3.2.2 Các kết 45 Kết luận 61 Tài liệu tham khảo 62 MỞ ĐẦU Nhiều tượng tự nhiên khoa học mô tượng mô tả ngôn ngữ toán học thông qua việc giải phương trình phụ thuộc tham số: (λ, v) ∈ Λ × D, F (λ, v) = 0, đó, F hàm số tích không gian metric (Λ, d) với D, (D lân cận điểm không gian định chuẩn X) vào không gian định chuẩn Y Nghiên cứu rẽ nhánh phương trình việc nghiên cứu thay đổi nghiệm theo tham số Trong thời gian gần đây, lý thuyết rẽ nhánh sử dụng nhiều để nghiên cứu phương trình phụ thuộc tham số, đặc biệt tìm giá trị tham số mà cấu trúc tập nghiệm bị thay đổi Giả thiết với λ ta có v(λ) để F (λ, v(λ)) = Bằng cách tịnh tiến, ta giả thiết v(λ) = Mỗi nghiệm (λ, 0) gọi nghiệm tầm thường phương trình (λ, v) ∈ Λ × D F (λ, v) = 0, (1) Ta tìm nghiệm tầm thường (λ, 0) mà lân cận có tính chất với δ > 0, ǫ > cho trước, tồn nghiệm không tầm thường (λ, u) ∈ Λ × D (1) thỏa mãn d(λ, λ) < δ < ||u|| < ǫ Nghiệm tầm thường (λ, 0) gọi nghiệm rẽ nhánh (1), λ gọi điểm rẽ nhánh Những toán nghiên cứu nghiệm rẽ nhánh (1) gọi toán rẽ nhánh Có nhiều phương pháp khác để giải toán rẽ nhánh, phương pháp ứng dụng cho phương trình khác Dựa vào định lý hàm ẩn, ta dễ dàng thấy điểm rẽ nhánh giá trị riêng phần tuyến tính phương trình Tuy nhiên, giá trị riêng phần tuyến tính điểm rẽ nhánh Rất nhiều công trình tác giả khác cho ba toán: tồn nghiệm rẽ nhánh, tồn nhánh nghiệm, tìm giá trị tham số tính nghiệm bị phá vỡ, với phương pháp biến phân, tôpô, giải tích cho trường hợp đặc biệt, tham số số thực dạng T (v) − λc(v) = 0, (λ, v) ∈ Λ × D Trong luận văn ta nghiên cứu rẽ nhánh phương pháp LyapunovSchmidt [1] sử dụng phép chiếu đưa phương trình nghiên cứu thành hai phần: phần nằm không gian hữu hạn chiều, phần lại nằm không gian vô hạn chiều trực giao Sau sử dụng bậc ánh xạ để giá trị riêng phần tuyến tính điểm rẽ nhánh Từ đó, ta có phương pháp kết hợp phương pháp tôpô giải tích cho toán rẽ nhánh Bố cục luận văn gồm ba chương, phần mở đầu, phần kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương trình bày số kiến thức làm sở cho việc trình bày lý thuyết rẽ nhánh, bao gồm số định nghĩa định lý sử dụng việc chứng minh bổ đề định lý lý thuyết rẽ nhánh Chương hai trình bày lý thuyết bậc ánh xạ liên tục Tiếp theo ta tính chất bậc ánh xạ Cuối số ứng dụng bậc ánh xạ Chương ba trình bày khái niệm phép chiếu không gian Banach lược đồ Lyapunov-Schmidt để chuyển phương trình toán tử hệ phương trình gồm hai phần: phần dễ giải thường nằm không gian vô hạn chiều phần khó giải nằm không gian hữu hạn chiều Nhờ lược đồ này, ta nghiên cứu rẽ nhánh phương trình phụ thuộc tham số Từ ta có số hệ toán tìm nghiệm rẽ nhánh phương trình (1) Khi viết luận văn tác giả tham khảo tài liệu [2], [3], [4] [5], nêu điều kiện đủ để giá trị riêng phần tuyến tính điểm rẽ nhánh công thức biểu diễn nghiệm phương trình theo véctơ riêng Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS.TSKH Nguyễn Xuân Tấn, người thầy trực tiếp hướng dẫn, bảo tận tình giúp đỡ tác giả suốt trình làm luận văn Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới thầy cô giáo nhà trường, đặc biệt thầy cô giáo chuyên ngành Giải tích, khoa Toán - Cơ - Tin học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc Gia Hà Nội, thầy cô phòng Sau Đại học tận tình giúp đỡ tác giả suốt thời gian theo học, thực hoàn thành khóa luận Cuối tác giả xin gửi lời cảm ơn đến người thân, gia đình, bạn bè động viên tạo điều kiện cho tác giả suốt thời gian học tập hoàn thành luận văn Hà Nội, tháng năm 2015 Nguyễn Thị Mai Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, nhắc lại số không gian thường dùng luận văn số định nghĩa, định lý làm sở cho chương chương 1.1 Không gian Banach Định nghĩa 1.1.1 Cho X không gian véctơ thực Một ánh xạ ||·|| : X → R gọi chuẩn X thỏa mãn tiên đề sau: (i) ||x|| ≥ 0, ∀x ∈ X, (ii) ||λx|| = |λ|.||x||, ||x|| = ⇐⇒ x = 0, ∀x ∈ X, (iii) ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y||, ∀λ ∈ R, ∀x, y ∈ X Khi đó, cặp (X, || · ||) gọi không gian định chuẩn Định nghĩa 1.1.2 Dãy {xn } ⊂ X gọi dãy (dãy Cauchy) không gian định chuẩn (X, || · ||) lim ||xn − xm || = m,n→∞ Định nghĩa 1.1.3 Nếu không gian định chuẩn (X, || · ||), dãy hội tụ tới giới hạn thuộc không gian X X gọi không gian đủ hay không gian Banach, tức với dãy {xn } ⊂ X tồn x0 ∈ X cho xn → x0 n → ∞ Sau đây, ta xét số trường hợp cụ thể không gian Banach 1.1.1 Không gian Rn Cho ≤ p ≤ ∞, ta xác định chuẩn || · ||p Rn sau: với x = (x1 , , xn ) ∈ Rn , ta định nghĩa n ||x||p = i=1 |xi |p p p < ∞ Trường hợp p = ∞, ta định nghĩa ||x||p = max{|x1 |, , |xn |} Khi đó, Rn với chuẩn || · ||p không gian Banach Hai chuẩn ρ1 , ρ2 không gian định chuẩn X gọi tương đương tồn hai số thực dương C1 , C2 cho C1 ρ1 (x) ≤ ρ2 (x) ≤ C2 ρ1 (x), ∀x ∈ X Hai chuẩn tương đương dãy điểm {xn } ⊆ X hội tụ theo chuẩn ρ1 x0 ∈ X {xn } hội tụ x0 theo chuẩn ρ2 Chú ý rằng, chuẩn Rn tương đương 1.1.2 Không gian ánh xạ liên tục Cho X ⊆ Rn , định nghĩa C(X, Rm ) = {f : X → Rm |f ánh xạ liên tục} Cho f ∈ C(X, Rm ), đặt ||f ||◦ = sup ||f (x)||, x∈X đó, || · || chuẩn Rn Vì giới hạn dãy ánh xạ liên tục hội tụ ánh xạ liên tục nên C(X, Rm ) không gian Banach 1.1.3 Không gian ánh xạ khả vi liên tục Cho D ⊂ Rn tập mở bị chặn Rn Cho β = (i1 , , in ) ∈ Nn , đặt |β| = i1 + + in Cho Dβ f : D → Rm đạo hàm riêng hàm f : D → Rn bậc β Dβ f (x) = ∂ β f (x) , ∂ i1 x1 ∂ in xn x = (x1 , , xn ) ∈ D Định nghĩa C k (D, Rm ) = {f : D → Rm |Dβ f (x) liên tục D, ∀β : |β| ≤ k} Khi C k (D, Rm ) không gian Banach với chuẩn f ∈ C k (D, Rm ) xác định ||f ||k = 1.1.4 max {||Dβ f ||0 } |β|≤k Không gian Hilbert Định nghĩa 1.1.4 Cho X không gian tuyến tính Nếu X có hàm song tuyến tính, đối xứng ·, · : X × X → R thỏa mãn x, x ≥ 0, ∀x ∈ X x, x = x = Ta gọi X không gian tiền Hilbert Hơn nữa, ta định nghĩa ||x|| = x, x , (X, || · ||) không gian định chuẩn Nếu không gian đủ (X, ·, · ) gọi không gian Hilbert 1.2 Toán tử liên hợp, giá trị riêng, véctơ riêng Cho hai không gian véctơ X, Y Một ánh xạ A:X →Y gọi ánh xạ tuyến tính hay toán tử tuyến tính (i) A(x1 + x2 ) = A(x1 ) + A(x2 ) (ii) A(αx) = αA(x) với x ∈ X với α ∈ R Để cho gọn ta viết Ax thay cho A(x) Toán tử A gọi liên tục xn → x0 kéo theo Axn → Ax0 với dãy {xn } ⊂ X, x0 ∈ X Toán tử A gọi bị chặn có số K > ||Ax||Y ≤ K||x||X , ∀x ∈ X Định lý 1.2.1 Một toán tử tuyến tính A : X → Y liên tục bị chặn Cho X, Y hai không gian Banach với X ∗ = {f |f : X → R, f tuyến tính liên tục}; Y ∗ = {g|g : Y → R, g tuyến tính liên tục}, tương ứng không gian đối ngẫu X Y Cho A : X → Y toán tử liên tục Khi đó, toán tử A∗ : Y ∗ → X ∗ A toán tử tuyến tính xác định A∗ y, x = y, Ax , x ∈ X, y ∈ Y ∗ , với ·, · cặp đối ngẫu X X ∗ , Y Y ∗ Cho X không gian Hilbert, toán tử tuyến tính liên tục A : X → Y gọi Tài liệu tham khảo [1] E Schmidt (1910), "Zur Theorie der linearen und nicht linearen Integralgleichungen", III Teil (65), Math, Ann, 370-399 [2] J T Schwartz (1969), Nonlinear functional analysis, Gordon and Breach Science Publishers New York - London - Paris [3] N X Tan (1998), "An analytical approach to bifurcation problems with applications involving Fredholm mappings", Proc Roy Soc Edinburgh Sect, (A 110), 199-225 [4] N X Tan (1991), "Bifurcation problems for equations involving Lipschitz continuous mappings", J Math Anal Appl (154,no.1), 22-42 [5] N X Tan (1992), "Local bifurcation from characteristic values with finite multiplicity and its applications to axisymmetric buckled states of a thin shell", Appl Anal, (46), 259-286 [6] P Rabinowitz (1975), "A note on topological degree for potential operators", J Math Anal Appl, (51), 483-492 [7] W Van Roosbroeck (1950), "Theory of the flow of electrons and holes in germanium and other sem iconductors", Bell Syst Tech J, (29), p.560 62