Một số phương pháp tiếp cận giải quyết bài toán phương trình fermat

Định lý cuối cùng của Fermat hay còn gọi là Định lý lớnFermat, là một trong những định lý nổi tiếng trong lịch sử toán học: Không tồn tại các nghiệm nguyên khác không x y z, , thoả mãn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

LÊ HOÀNG DUY CƯỜNG

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

LÊ HOÀNG DUY CƯỜNG

thể bằng phương phát ứng dụng công cụ đường cong Elliptic

37

KẾT LUẬN 40

TÀI LIỆU THAM KHẢO 41

MỞ ĐẦU

Fermat (1601 – 1665) đã mở rộng phương trình Pythagore x2 y2 z2

và tạo ra một bài toán khó bất hủ, một trong những câu hỏi lớn nhất của toánhọc và nhân loại Định lý cuối cùng của Fermat hay còn gọi là Định lý lớnFermat, là một trong những định lý nổi tiếng trong lịch sử toán học:

Không tồn tại các nghiệm nguyên khác không x y z, , thoả mãn phương trình x n  y n z n, trong đó n là một số nguyên lớn hơn 2.

Định lý lớn Fermat đã gây cảm hứng cho nhiều thế hệ, không nhữngcho các nhà toán học mà còn cho cả những người ngoài toán có quan tâm.Nhiều cách tiếp cận Định lý Fermat đã được đưa ra, nhiều lý thuyết toán họcnảy sinh từ đó Định lý Fermat đã trở thành con gà đẻ trứng vàng của toán họctrong suốt gần 4 thế kỷ

Cho đến cuối thập kỷ 70 thế kỷ trước, cho dù với nhiều nổ lực của giớitoán học, người ta chỉ mới chứng minh được trong những trường hợp riêng

Kết hợp với máy tính, người ta đã chứng minh được Định lý Fermat đối với n tới bốn triệu, tuy nhiên con số này vẫn còn rất xa với số n tổng quát lớn hơn 2.

Các trường hợp n = 3 và n = 5 đã được Euler, Dirichlet và Legendre

chứng minh năm 1825 và phải đến 15 năm sau, trường hợpn = 7 mới đượcGabriel Lamé chứng minh

Ernst Kummer đã chứng minh Định lý lớn Fermat đúng với mọi sốnguyên tố tới 100 (trừ 3 số nguyên tố phi chính quy là 37, 59, 67)

Sự phát triển của Số học gần đây chịu sự ảnh hưởng rất lớn của sựtương tự giữa số nguyên và đa thức Để nghiên cứu một tính chất nào đó trênvành số nguyên, trước hết người ta kiểm tra tính chất đó trên vành đa thức.Nhờ đó, vào những năm 80 của thế kỷ XX, Định lý Mason đã được phát minh

như là một công cụ cho nhiều hy vọng trên con đường chinh phục Định lý lớnFermat.

Năm 1983, Faltings đã làm một cuộc cách mạng thực sự khi sử dụngcông cụ của Hình học Đại số để chứng minh được rằng phương trình Fermatcùng lắm thì cũng chỉ có hữu hạn nghiệm Dĩ nhiên, từ chỗ hữu hạn đến chỗkhông có gì còn có cả một khoảng cách rất xa, nhưng nó cho một câu trả lờitổng quát, điều mà các thế hệ trước đây chưa làm được

Năm 1993, bằng việc chứng minh thành công giả thuyết Giả thuyếtShimura - Taniyama về các đường cong Elliptic, nhà toán học Andrew Wiles(người Anh gốc Mỹ) đã giải quyết trọn vẹn bài toán về phương trình Fermat

Với những lý do như đã trình bày ở trên, chúng tôi chọn đề tài của luận

văn là “Một số phương pháp tiếp cận giải quyết bài toán phương trình

Fermat” nhằm tìm hiểu sâu hơn về Định lý lớn Fermat nói riêng và Lý thuyết

số nói chung

Luận văn nhằm giới thiệu một số phương pháp tiếp cận giải quyết bàitoán về phương trình Fermat Nội dung luận văn này gồm 2 chương, ngoàiphần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo

Trong chương 1, chúng tôi giới thiệu Định lý lớn Fermat và một sốphương pháp liên quan đến Định lý lớn Fermat như phương pháp quy nạp lùi

vô hạn, phương pháp ứng dụng đường cong phẳng hữu tỉ, phương pháp ápdụng định lý Mason và một số kết quả gần đây xung quanh Định lý Mason

Trong chương 2, chúng tôi trình bày phương pháp chứng minh giảthuyết Shimura - Taniyama về các đường cong Elliptic và ứng dụng trongviệc kết hợp Định lý Frey để hoàn thành chứng minh Định lý lớn Fermat củaAndrew Wiles

Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình và chu đáocủa PGS.TS Nguyễn Thành Quang Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng kínhtrọng và biết ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn khoa học, người đã dànhnhiều thời gian và công sức giúp đỡ tôi để hoàn thành bản luận văn này

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới các thầy cô giáo thuộc chuyên ngànhĐại số và Lý thuyết số, Khoa Sư phạm Toán học, Phòng Đào tạo Sau Đại học– Trường Đại học Vinh đã tận tình giảng dạy và tạo mọi điều kiện thuận lợicho tôi hoàn thành nhiệm vụ học tập và nghiên cứu.

Xin trân trọng cảm ơn tới Trường Đại học Đồng Tháp đã tạo mọi điềukiện tổ chức cho chúng tôi hoàn thành khóa học sau đại học

Tôi xin chân thành cảm ơn bạn bè, đồng nghiệp, gia đình đã động viên

và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập

Tôi xin gửi lời cảm ơn đến Ban giám hiệu Trường Trung học Phổ thông

Lê Thanh Hiền (Sở Giáo dục và Đào tạo Tiền Giang) và các thầy cô đồngnghiệp, đã tạo điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thành nhiệm vụ học tập

Luận văn còn nhiều thiếu sót, tác giả mong nhận được sự đóng góp củathầy cô giáo và các đồng nghiệp

TÁC GIẢ

Như vậy, một bộ ba số nguyên dương x y z, ,  là một bộ số Pitago khi

và chỉ khi tồn tại tam giác vuông có số đo các cạnh góc vuông là x và y, số đo cạnh huyền là z (chẳng hạn bộ 3, 4,5 , 6,8,10 ,    ) Rõ ràng rằng, nếu  x y z, , 

là một bộ số Pitago thì kx ky kz, ,  cũng là một bộ số Pitago với mọi số nguyêndương k Do đó, ta chỉ cần xét các bộ ba số nguyên tố cùng nhau

Bộ ba số Pitago  x y z, ,  được gọi là nguyên thuỷ nếu (x, y, z) = 1.

một số nguyên p là ước chung của x y z, , và điều này mâu thuẫn với giảthiết ( , , ) 1x y z  Vậy x y ,  1 Tương tự ta có x z,   y z,   1 ■

1.1.3 Bổ đề Giả sử  x y z, ,  là một bộ số Pitago nguyên thuỷ Khi đó, x

và y không cùng tính chẵn, lẻ

Chứng minh Giả sử x y z, ,  là bộ số Pitago nguyên thuỷ Theo Bổ đề1.1.2, x y ,  1 nên x và y không thể cùng chẵn Nếu x, y cùng lẻ thì z chẵn hay z2 chia hết cho 4 Ta có: 2   2  

rs t Khi đó, tồn tại các số nguyên h và l sao cho r l2 và s h 2.

Chứng minh Nếu r = 1 hoặc s = 1 hoặc t = 1 thì Bổ đề là hiển nhiên đúng.

Giả sử r > 1, s > 1, t > 1 và r, s, t có các phân tích tiêu chuẩn thành tích

các thừa số nguyên tố như sau:

Vì r s ,  1 nên các số nguyên tố xuất hiện trong các phân tích của r và

s là khác nhau, hay rs có sự phân tích tiêu chuẩn là

một q j nào đó, đồng thời i 2j Do đó, mỗi số mũ i đều chẵn nên

2

i



nguyên Từ đó suy ra r l s h 2 ,  2, trong đó l h, là các số nguyên ■

Bây giờ ta có thể mô tả tất cả các bộ số Pitago nguyên thuỷ

1.1.5 Định lý Bộ số nguyên dương {x, y, z} lập thành một bộ số Pitago

nguyên thuỷ, với y chẵn, khi và chỉ khi tồn tại các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau m, n với m > n, hơn nữa m và n không cùng tính chẵn lẻ sao cho

Chứng minh Giả sử {x, y, z} là một bộ số Pitago nguyên thuỷ Theo Bổ

đề 1.1.3 cho thấy x lẻ, y chẵn hoặc ngược lại Vì ta đã giả thiết y chẵn nên

x, z đều lẻ Do z x và z x đều là số chẵn, nên các số

d r s z và d r s   x Điều đó có nghĩa là d z x  ,  1 nên d 1.

Từ Bổ đề 1.1.4, tồn tại các số nguyên m và n sao cho r m s n 2 ,  2 Ta

viết x, y, z thông qua m, n:

2 2 4

Ta cũng có m n ,  1, vì mọi ước chung của m và n cũng là ước của

x y z , ,  1 Vì m n ,  1 và m, n không đồng thời là hai số lẻ nên m chẵn,

n lẻ hoặc ngược lại Vậy mỗi bộ số Pitago nguyên thuỷ có dạng đã mô tả ở

Ta chứng minh x y z, , nguyên tố cùng nhau Giả sử ngược lại,

x y z, ,   d 1 Khi đó tồn tại số nguyên tố p sao cho p x y z , ,  Ta thấyrằng p \ 2 vì x lẻ (do x m 2  n2, trong đó m2 và n2 không cùng tínhchẵn lẻ) Lại do p x, p z nên p z x    2m2 và p z x    2n2 Vậy

p m và p n: mâu thuẫn với m n ,  1 Do đó x y z , ,  1,tức  x y z, ,  làmột bộ số Pitago nguyên thuỷ ■

Từ Định lý 1.1.5 nói trên, ta có thể thu được các ví dụ về bộ số Pitagonguyên thuỷ Với m 5,n 2 ta có m nmod 2 và m n ,  1, m n:

1.2 Định lí sau cùng của Fermat

1.2.1 Giới thiệu về nhà toán học Pierre de Fermat Pierre de Fermat sinh

ngày 17 tháng 8 năm 1601 tại Pháp, ông mất vào năm 1665, thọ 63 tuổi.Fermat là một học giả vĩ đại, một nhà toán học nổi tiếng và là cha đẻ của Lýthuyết số hiện đại Fermat xuất thân từ một gia đình khá giả, ông học ởToulouse và lấy bằng cử nhân luật dân sự rồi làm chánh án nhưng lại vô cùngsay mê toán học với thói quen nổi tiếng là ghi các ghi chú bên lề các quyểnsách

Ông vừa là một luật sư, vừa là một nhà toán học đã đóng góp nhiều vào

sự phát triển bước đầu của toán học Đặc biệt, ông được nhớ đến qua sự khámphá một phương pháp đầu tiên để tìm cực đại và cực tiểu của tung độ củađường cong Ông cũng nghiên cứu về Lý thuyết số và có nhiều đóng góptrong các lĩnh vực Hình học giải tích, Xác suất và Quang học

1.2.2 Định lý sau cùng của Fermat (The Fermat’s LastTheorem) Định lý

sau cùng của Fermat (còn gọi là Định lý lớn Fermat, hay còn gọi tắt là Định lýFermat) được đưa ra năm 1637, khi Fermat nghiên cứu quyển sách toán cổ Hy

lạp Arithmetica, viết bởi Diophantus vào khoảng năm 250 AD Trang sách đã gợi ý cho Fermat bàn về các tính chất quanh Định lý Pythagore: Trong một

tam giác vuông, bình phương của cạnh huyền bằng tổng số bình phương của hai cạnh góc vuông.

Nói khác đi, phương trình 2 2 2

x y z có vô số nghiệm nguyên và từ đó

sẽ tìm được vô số bộ số Pitago Từ Định lý Pitago, Fermat đã tìm xem có ba

số nguyên x, y, z nào thỏa cho một phương trình như phương trình của Pitago

nhưng ở bậc cao hơn hay không x n y n z n nhưng đều thất bại Theo Fermat

thì phương trình này với ba ẩn số nguyên x, y, z và n > 2 không thể giải được.

Ông đã viết điều này bên lề quyển sách Arithmetica của Diophant (xuất bảnnăm 1963) như sau:

Không thể nào viết một số lập phương thành tổng số của hai số lập phương khác, hay một số tứ phương thành tổng số của hai số tứ phương khác.

Và, một số tùy ý là lũy thừa bậc lớn hơn hai không thể viết như tổng của hai lũy thừa cùng bậc của hai số nguyên khác Tôi đã có một chứng minh tuyệt vời cho mệnh đề này, nhưng lề sách này quá nhỏ để có thể ghi được.

Định lý sau đây đã làm hao mòn không biết bao bộ óc vĩ đại của cácnhà toán học lừng danh trong gần 4 thế kỉ

1.2.3 Định lý Phương trình x n y n z n không có nghiệm nguyên dương với

3

n 

Trong toán học, số nguyên tố chính quy là một loại số nguyên tố do

Ernst Kummer (nhà toán học người Đức) đặt ra, với định nghĩa: Một số

nguyên tố p được gọi là chính quy nếu không tồn tại bất cứ một tử số nào của

số Bernoulli B k (khi k = 2, 4, 6, …, p − 3.) chia hết cho p Một vài số nguyên

tố chính quy nhỏ nhất là: 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 41, Một giảthuyết của nhà toán học Siegel (1964) cho rằng có khoảng 61% các số nguyên

tố là chính quy Giả thuyết này vẫn chưa có ai chứng minh được cho đến

2008 Ernst Kummer đã tìm ra loại số này khi đang cố gắng chứng minh Định

lý lớn Fermat là đúng với số mũ là các số này (và các số mũ là tích của các số

này) Trái lại với số nguyên tố chính quy là số nguyên tố phi chính quy Nếu tồn tại một tử số của số Bernoulli B k mà chia hết cho p thì p được gọi là số

nguyên tố phi chính quy K L Jensen đã cho thấy có vô số phi chính quy.Một vài số nhỏ nhất của chúng là: 37, 59, 67, 101, 103, 131, 149, …

Cho mãi tới đầu thế kỷ XX các nhà toán học chỉ chứng minh định lý

này là đúng với n = 3, 4, 5, 7 và các bội số của nó Nhà toán học người Đức

Ernst Kummer đã chứng minh định lý này là đúng với mọi số nguyên tố tới

100 (trừ 3 số nguyên tố là 37, 59, 67)

Các dạng suy rộng khác của Định lý Fermat

1.2.4 Định lí lớn Fermat tiệm cận Phương trình x n y n z n không có nghiệm nguyên dương với n đủ lớn

k

có nghiệm nguyên dương với n 3,k  2.

không có nghiệm nguyên dương với n i  3,k 2, n k

Trên cơ sở theo dõi và tham khảo các tài liệu số học có liên quan đãcông bố trong thời gian gần đây, trong nội dung tiếp theo của luận văn, chúngtôi giới thiệu một số phương pháp tiếp cận để đi đến chứng minh của Định lýFermat

1.2.7 Nổ lực đầu tiên để giải phương trình Fermat (xem [10])

Một nỗ lực đầu tiên để giải phương trình Fermat là người ta tìm cáchviết phương trình này dưới dạng tích:

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

Tuy nhiên, việc giải hệ các phương trình này lại không dễ hơn giảiphương trình ban đầu, hơn nữa có điều đáng tiếc là phương pháp này khôngcung cấp cho ta bất kỳ cái nhìn nào sâu sắc hơn.

1.2.8 Mệnh đề Nếu phương trình x n  y n z n với n 3, n Z có nghiệm

với p là ước của n.

Chứng minh Giả sử phương trình x n  y n z n với n 3, n Z có mộtnghiệm nguyên dương ( , , )a b c , khi đó ta có: a nb n c n Ta viết đẳng thứcnày lại như sau:

x y z cũng có nghiệm Điều này mâu thuẫn với giả thiết

2) Nếu n là số chẵn thì ta xét hai khả năng sau:

a) n = 4k: Do n > 4 nên k > 1 Nếu phương trình x n  y n z n có nghiệm

nguyên dương thì do 4 là ước của n, nên theo Mệnh đề 1.2.8 phương trình

x y z cũng có nghiệm nguyên dương Điều này mâu thuẫn với giả thiết

b) n = 4k + 2 = 2(2k + 1): Do n > 4 nên 2k + 1 > 2 hay 2k + 1 là số lẻ lớn hơn 3

và do đó n có một ước nguyên tố lẻ p Giả sử ngược lại, phương trình

n n n

x y z cũng có nghiệm Điều này mâu thuẫn với giả thiết ■

1.2.10 Nhận xét a) Nếu n có một ước nguyên tố lẻ p thì ta có thể viết

b) Nếu n không có ước nguyên tố lẻ thì n chỉ có ước nguyên tố là 2 hay

n là bội của 4 và khi đó người ta viết phương trình dưới dạng

c) Như vậy, về thực chất Định lý lớn Fermat chỉ cần xét với n là số

nguyên tố lớn hơn 3 (Trường hợp n = 3, 4 đã được giải quyết)

1.3 Phương pháp quy nạp lùi vô hạn

1.3.1 Quy nạp lùi Phép quy nạp có nhiều biến thể phong phú Một trong các

biến thể đó ngày nay được biết đến dưới tên gọi “quy nạp lùi” (còn được gọi

là “quy nạp kiểu Cauchy”), do chính Cauchy sử dụng lần đầu khi chứng minhbất đẳng thức trung bình cộng – trung bình nhân:

Với n = 2, (1.2.1) được chứng minh trực tiếp Với n tổng quát, Cauchy chứng minh rằng nếu (1.2.1) đã đúng với n = k ( trong đó, 2   k *) thì

(1.2.1) cũng đúng khi n = 2k Bằng cách như vậy, ta thấy (*) đúng với một

dãy tăng vô hạn các số nguyên dương n 2 (m m *)

Cuối cùng, ở bước mấu chốt (thường được gọi là bước lùi), Cauchy

nhận xét rằng: Nếu (*) đúng với n = N ( N *,N 2) thì nó cũng đúng khi

Từ đó suy ra (*) đúng với mọi số nguyên dương n2

Ta có thể tổng quát hoá ý tưởng của Cauchy thành:

1

(m k k) là một dãy vô hạn các sốnguyên dương mà lim  k 

k m Giả sử P(n) là một hàm mệnh đề của biến n

biến thiên trên tập hợp *tất cả các số nguyên dương sau cho P m( k) đúng vớimọi k *; hơn nữa với mọi số nguyên dương n > 1, nếu P(n) đúng thì P(n - 1) cũng đúng Khi đó, P(n) đúng đối với mọi số nguyên dương n.

1.3.3 Định lý Phương trình x4 y4 z2 không có nghiệm nguyên dương.

Khi đó, tồn tại nghiệm nguyên xx y0 , y z0 , z0 trong đó z0 là nhỏnhất Ta có 4 4 2

x y z Ta chứng minh x y 0 , 0 1. Thật vậy, nếu

ngược lại ta gọi p là ước chung nguyên tố của x y0 , 0 thì 2

thì p x p y0, 0, mâu thuẫn với x y 0 , 0 1. Như vậy,  2 2 

Từ đẳng thức của x02 ta được x02 n2 m2. Do m n ,  1 nên

 x n m0 , ,  là một bộ số Pitago nguyên thuỷ và do đó lại tồn tại các sốnguyên dương r s, với r s,   1,r smod 2 và

1.3.4 Hệ quả Phương trình x4 y4 z4 không có nghiệm nguyên dương.

Chứng minh Giả sử phương trình x4 y4 z4có nghiệm nguyên dương

(a, b, c) Ta có a4 b4 c4 hay a4 b4  c2 2 Do đó, phương trình

nghiệm nguyên dương (a s 2 ,b s 2 ,c s 2 ) Điều này mâu thuẫn với Hệ quả 1.3.3.■

1.4 Giả thuyết Mordell – Shafarevich – Tate

Faltings đã đi đến kết quả tổng quát của Định lý Fermat bằng cách chứng minh một Giả thuyết nổi tiếng trong Hình học đại số - Giả thuyết Mordell – Shafarevich - Tate Đây là một giả thuyết rất sâu sắc nói về tính hữu hạn sinh của nhóm Shafarevich – Tate, mà việc phát biểu nó đòi hỏi nhiều kiến thức chuyên sâu

A xác đinh bởi hai đa thức sau là trùngnhau: F x y( , )  (x y x)( y); G x y( , )  (x y) ( 2 xy).

1.4.2 Mặt phẳng xạ ảnh phức 2-chiều Giả sử  là trường số phức Trongtập hợp X  3  (0,0,0)ta xét một quan hệ tương đương:

( , , ) ~ ( ', ', ')x y z x y z      ,   0 : 'x  x y; '  y z; '  z.

Khi đó, tập X được chia thành các lớp tương đương Mỗi lớp tương đươngchưa bộ ( , , )x y z X được ký hiệu bởi x y z, ,  Ta có quan hệ trong tập thương/ ~

x y z, ,    x y z, , ,    ,  0.

Tập thương X / ~ gồm các lớp tương đương x y z, ,  được gọi là mặt

phẳng xạ ảnh phức 2- chiều và ký hiệu bởi P 2 ( ) Mỗi  x y z, ,  gọi là mộtđiểm của P 2 ( )

sử F x y z( , , )  x y z, ,  là một đa thức thuần nhất bậc d của ba biến x y z, , , với

lập thành một đường cong đại số bậc d trong mặt phẳng xạ ảnh P 2 ( )

Đặc biệt, khi F x y z( , , ) là đa thức bất khả quy thì đường cong đại số C

được gọi đường cong bất khả quy Phương trình F x y z( , , )  0 được gọi là

Ví dụ 1) Đường cong conic (bậc 2): C x y z, , P2 ( )  xz y2  0 ;

2) Đưòng cong Fermat (bậc n): C x y z, , P2 ( )  x ny n z n ; 3)Đưòng cong elliptic (bậc 3): C  x y z, , P2 ( ) 3  x3  4y3  5z3  0 Chúng ta sẽ quan tâm về tính hữu hạn điểm vô tỷ của các đường cong elliptic

Tổng quát, mặt phẳng xạ ảnh P K2 ( ) trên trường đóng đại số K là

không gian gồm các điểm là các lớp tương đương của các bộ ba ( , , )x y z , trong

đó x y z, , K không đồng thời bằng 0 và bộ ba (  x y z, ,  ) tương đương với

bộ ba (  x y z, ,  ), K, 0

Như vậy nếu z 0 thì lớp tương đương của ( , , )x y z tương đương với bộ

ba ( / , / ,1)x z y z Ta có thể đồng nhất mặt phẳng xạ ảnh 2 

P K với mặt phẳng

Affine cùng với điểm tại vô hạn ứng với z = 0.

Mỗi đường cong trong mặt phẳng Affine 2

K thông thường có thể ứngvới một đường cong trong mặt phẳng xạ ảnh 2 

P K bằng cách thêm vào cácđiểm tại vô cùng Để làm được điều đó, trong phương trình xác định đường

cong, ta chỉ cần thay x bởi x/z, y bởi y/z và nhân hai vế của phương trình với một luỹ thừa thích hợp của z để khử mẫu số.

d, không kỳ dị trên trường số phức Giống g của của đường cong C là một số

nguyên không âm để đo độ phức tạp hình của C và được định nghĩa bởi:

1.4.5 Giả thuyết Mordell Các đường cong xạ ảnh không kỳ dị với giống

1

Gerd Faltings là một nhà toán học người Đức với các công trình vềthuật toán trong Hình học đại số Faltings được trao huy chương Fields năm

1986 nhờ chứng minh được Giả thuyết Mordell – Shafarevich - Tate Đây làmột giả thuyết rất sâu sắc nói về tính hữu hạn sinh của nhóm Shafarevich –Tate, mà việc phát biểu nó đòi hỏi nhiều kiến thức chuyên sâu về Hình học

đại số Tuy nhiên từ một hệ quả của nó (Giả thuyết Mordell), đối với một

đường cong xạ ảnh không kỳ dị bậc d, giống g của nó được tính đơn giản

bằng công thức ( 1)( 2)

2

g    Đường cong xạ ảnh Fermat không kỳ dị

với n > 2 có giống của nó (theo công thức trên) là ( 1)( 2)

2

lớn hơn 1, do

đó từ kết quả trên của Fantings suy ra được rằng: Với n > 3, phương trình

Fermat chỉ có hữu hạn nghiệm nguyên.

Năm 1983, Faltings đã làm một cuộc cách mạng thực sự khi sử dụngcông cụ của Hình học Đại số để chứng minh được rằng phương trình Fermatcùng lắm thì cũng chỉ có hữu hạn nghiệm Dĩ nhiên, từ chỗ hữu hạn đến chỗkhông có gì còn có cả một khoảng cách rất xa, nhưng nó cho một câu trả lờitổng quát, điều mà các thế hệ trước đây chưa làm được Faltings không xétphương trình Fermat như một đối tượng độc lập, mà ông xét vấn đề tồn tạinhững điểm hữu tỷ trên đường cong đại số Nếu ta xét mỗi nghiệm ( , , )x y z

của phương trình P x y z ( , , ) 0, trong đó P x y z( , , ) là một đa thức thuần nhất,xác định một điểm của không gian xạ ảnh 2- chiều thì tập hợp nghiệm củaphương trình lập thành một đường cong Như vậy, số nghiệm nguyên củaphương trình P x y z ( , , ) 0 đúng bằng số điểm trên đường cong mà tọa độ là

số hữu tỉ nguyên và bài toán giải phương trình Diophantus đưa về bài toán tìmcác điểm có tọa độ hữu tỉ nguyên trên đường cong Với phương pháp đó,những bài toán khó của Số học mà phương pháp giải thủ công và lắt léo trướcđây, ngày nay có thể trở thành hệ quả của những kết quả sâu sắc của Hìnhhọc Thông thường, chỉ khi một giả thuyết về một sự kiện cụ thể nào đó đượcđưa vào một cấu trúc chung của toán học, thì các nhà toán học mới thực sự tinrằng giả thuyết đó là đúng Giả thuyết Fermat cũng không là một ngoại lệ.Sau công trình của Fantings, người ta tin rằng Giả thuyết Fermat rồi sẽ đượcchứng minh

phương trình f x y( , )  0 ( )l được gọi là đường cong phẳng hữu tỉ nếu có hai

hàm hữu tỉ (t)= f(t) ,ψ(t)= h(t)

 trong đó f t g t h t k t( ), ( ), ( ), ( )là những đa thức

của t thoả mãn f( ( ), ( )) t  t  0 Khi đó, với t t0 sao cho mẫu của ( ), ( )t  t

đều khác 0 thì ta có điểm ( ( ), ( )) t0  t0  ( )l Để nhận được hết các điểm thuộc

( )l ta qui ước điểm ( ( ), ( ))    với  

  ( )   ( )( ) lim , ( ) lim

Đường cong bậc nhất có phương trình dạng axby 0c với a, b, c là các số hữu tỉ cho trước trong đó a, b không đồng thời bằng 0.

Đường cong bậc hai (hay đường conic) có phương trình dạng

1.4.7 Định lí Bezout Cho X, Y là hai đường cong phẳng có bậc m và n trong

mặt phẳng xạ ảnh trên trường số phức Nếu X, Y không có thành phần chung thì giao điểm của X, Y đúng bằng mn

1.4.8 Định lí Gọi C, C 1 , C 2 là ba đường cong bậc ba, nếu C đi qua 8 giao điểm của C 1 và C 2 thì C đi qua giao điểm thứ 9 của C 1 và C 2

1.4.9 Điểm hữu tỉ trên đường thẳng Chúng ta bắt đầu với việc tìm các

điểm hữu tỉ trên đường thẳng có phương trình axby 0c Không mất tínhtổng quát ta giả sửb 0, khi đó tập các điểm hữu tỉ trên đường thẳng này là