y xa xz a z 1+ 32 = x3 + ax za xz 22 + 42 + az
2.2.1. Nhận xột Trong những trường hợp cú đặc số khỏc 2 và 3, phương trỡnh
(1) cú thể đa về dạng
2 2
4 6
4
Y = X +c X c+
Thật vậy, ta chỉ cần dựng phộp biến đổi
Y =2y a+ +1 a3 ( 2 ) 1 4 2 12 a a X x + = + .
Để đơn giản ta thường dựng dạng sau đõy, gọi là dạng Weierstrass của
đường cong 2 3
4 6.
y =x +a x a+
( 3 2)
4 6
-16 4a 27a .
∆ = +
Như vậy, điều kiện để đường cong khụng cú kỳ dị (khụng cú điểm bội ) là
3 2 4 6
4a + 27a ≠0.
Ta sẽ sử dụng dạng Weierstrass của đường cong. Bằng cỏch tớnh toỏn trực tiếp toạ độ cỏc điểm theo cụng thức đó cho trong Định lý 2.1.2, ta cú thể thấy luật trong nhúm lập bởi cỏc điểm của đường cong cú mụ tả hỡnh học sau đõy:
- Nếu cỏc điểm P và Q của đường cong cú hoành độ khỏc nhau thỡ đường thẳng đi qua P và Q sẽ cắt đường cong tại một điểm thứ ba. Điểm đối xứng với giao điểm đú qua trục hoành chớnh là điểm P + Q.
- Nếu cỏc điểm P và Q cú cựng hoành độ, tung độ của chỳng sẽ là cỏc giỏ trị đối nhau và P, Q là hai điểm đối xứng nhau qua trục hoành. Khi đú đường thẳng đi qua P, Q sẽ cắt đường cong tại điểm vụ cựng: đú là điểm O của nhúm cộng cỏc điểm P và Q là cỏc phần tử nghịch đảo của nhau.
Rừ ràng, cộng P với O được thực hiện bằng cỏch nối P với điểm vụ cựng O, bằng đường thẳng song song với trục tung sẽ cắt đường cong tại điểm đối xứng với P qua trục hoành, và như vậy P + O = P. Vỡ cỏc điểm của đường cong là cỏc phần tử của nhúm cộng Aben, ta sẽ dựng ký hiệu NP để chỉ phần tử nhận được bằng cỏch cộng liờn tiếp N lần điểm P.