(x, y) thỏa món phương trỡnh
2 3 2
1 3 2 4 6,
y +a xy a y x+ = +a x +a x a+ (1)
với một điểm O được gọi là điểm vụ cựng. Hơn nữa, phương trỡnh phải thỏa món điều kiện khụng kỳ dị tức là nếu viết nú dưới dạng F x y( , ) 0= thỡ tại mỗi điểm x, y thỏa món phương trỡnh, cú ớt nhất một trong cỏc đạo hàm riờng
/ , /
F x F y
∂ ∂ ∂ ∂ khỏc khụng.
Chỳ ý. 1) Điều kiện khụng kỳ dị núi trờn tương đương với điều kiện: Nếu xột tập hợp cỏc điểm núi trờn như một đường cong, thỡ đường cong đú khụng cú nghiệm bội. Như vậy, nếu biểu diễn y2 như là một đa thức bậc 3 của
2) Nếu ta xột phương trỡnh (1) với cỏc hệ số trong Â, vỡ Â cú thể nhỳng vào mọi trường K tuỳ ý (nhờ ỏnh xạ ma m.1) nờn cú thể xột phương trỡnh trờn như là phương trỡnh trong trường K.
3) Phương trỡnh (1) cú thể thoả món điều kiện khụng kỳ dị đối với trường này, nhưng lại khụng thoả món điều kiện đú đối với trường khỏc. Chẳng hạn, nếu trường đang xột cú đặc số 2 thỡ ( )x2 '= 0 với mọi x.
4) Ta xột khụng gian xạ ảnh P2 trờn trường K tức là khụng gian mà cỏc điểm là cỏc lớp tương đương của cỏc bộ ba (x, y, z), trong đú x, y, z khụng đồng thời bằng 0 và bộ ba (x, y, z) tương đương với bộ ba (λx,λy,λz), λ≠0.
Như vậy nếu z≠ 0 thỡ lớp tương đương của (x, y, z) tương đương với bộ ba (x/z, y/z, 1). Ta cú thể đồng nhất mặt phẳng xạ ảnh P2 với mặt phẳng thụng thường (mặt phẳng Affine) cựng với điểm tại vụ hạn ứng với z = 0.
Mỗi đường cong trong mặt phẳng Affine K2 thụng thường cú thể ứng với một đường cong trong mặt phẳng xạ ảnh P2 bằng cỏch thờm vào cỏc điểm tại vụ cựng. Để làm được điều đú, trong phương trỡnh xỏc định đường cong, ta chỉ cần thay x bởi x/z, y bởi y/z và nhõn 2 vế của phương trỡnh với một luỹ thừa thớch hợp của z để khử mẫu số.
Vớ dụ. Đường cong Elliptic với phương trỡnh (1):
y2+a xy a y x1 + 3 = 3+a x2 2+a x a4 + 6,
được đưa thờm vào cỏc điểm tại vụ cựng để cú đường cong tương ứng trong khụng gian xạ ảnh: