Một trong những vấn đề thời sự nhất của Toỏn học trong suốt ba thế kỷ qua là tỡm lời giải cho Bài toỏn Fermat. Đõy là một bài toỏn thuộc lĩnh vực lý thuyết số nhưng đó thu hỳt được sự quan tõm nghiờn cứu của rất nhiều nhà khoa học trong và ngoài ngành toỏn. Trong quỏ trỡnh tỡm kiếm lời giải cho bài toỏn Fermat, người ta đó phải sử dụng đến rất nhiều kiến thức và kỹ thuật cũng như phương phỏp nghiờn cứu của nhiều ngành toỏn học khỏc nhau: Lý thuyết số, Đại số giao hoỏn, Hỡnh học, Lý thuyết Galois,… và đặc biệt trong đú cú sự đúng gúp rất quan trọng của ngành Hỡnh học đại số. Lý thuyết về cỏc đa tạp, đường cong đại số, hàm Elliptic, dạng modular là những cụng cụ quan trọng trong việc giải quyết bài toỏn Fermat. Vỡ vậy, chương này nhằm trỡnh bày những khỏi niệm cơ bản của một đối tượng quan trọng của Lý thuyết số và Hỡnh học đại số: đường cong Elliptic. Về mặt lịch sử cỏc đường cong elliptic xuất hiện lần đầu tiờn trong cỏc nghiờn cứu về tớch phõn Elliptic, từ đú cú tờn gọi của đường cong. Cỏc đường cong này cú mặt trong nhiều lĩnh vực khỏc nhau của toỏn học vỡ nú rất phong phỳ về mặt cấu trỳc. Một mặt, đú là đường cong khụng kỳ dị tức là cỏc đa tạp 1- chiều. Mặt khỏc, cỏc điểm của đường cong lập thành nhúm Aben. Vỡ thế hầu như mọi cụng cụ của toỏn học đều được ỏp dụng vào nghiờn cứu đường cong Elliptic. Ngược lại, những kết quả về đường cong Elliptic cú ý nghĩa quan trọng đối với nhiều vấn đề khỏc nhau của toỏn học. Về mặt lý thuyết, Định lý lớn Fermat đó được chứng minh bởi A. Wiles bằng cỏch chứng minh Giả thuyết Shimura - Taniyama về cỏc đường cong Elliptic. Về mặt ứng dụng, cỏc đường cong Elliptic được dựng trong việc xõy dựng một số hệ mật mó khúa cụng khai.
Định lý lớn của Fermat (Định lý cuối cựng của Fermat) đó đặt ra cỏch đõy hơn 350 năm và đó được chứng minh chặt chẽ bởi nhà toỏn học Andrew Wiles, khẳng định rằng phương trỡnh
, 0, 3
n n n
x +y =z xyz≠ n≥
khụng cú nghiệm nguyờn, bằng cỏch chứng minh giả thuyết Shimura - Taniyama về cỏc đường cong Elliptic.
Trong chương này của luận văn, chỳng tụi khụng cú ý định tỡm hiểu cỏc chứng minh chi tiết của Andrew Wiles, bởi lẽ đú là cụng việc khú khăn. Chứng minh Định lý cuối cựng của Fermat là một chứng minh rất khú, vận dụng hầu hết những kiến thức của nhiều ngành toỏn học hiện đại. Núi như Ken Ribet ([5]) chỉ cú khoảng một phần nghỡn nhà toỏn học cú thể hiểu được chứng minh đú.
Chỳng tụi muốn đề cập đến cỏc tư tưởng chớnh trong con đường đi đến chứng minh của định lý cuối cựng của Fermat, qua đú sơ bộ phần nào đú tỡm hiểu luợc đồ và ý tưởng chứng minh của A. Wiles. Mục đớch của chương chỉ là làm thế nào để hỡnh dung lý do tại sao cỏc đường cong Elliptic lại cú nhiều ứng dụng như vậy.
Để thực hiện mục đớch đặt ra chỳng ta cần một số vấn đề sơ cấp nhất của cỏc lý thuyết về: Đường cong Elliptic; L-hàm; Dạng modullar.