y xa xz a z 1+ 32 = x3 + ax za xz 22 + 42 + az
2.2.3.Đường cong Elliptic trờn trường số hữu tỷ Trong rất nhiều cỏc vấn
đề của hỡnh học, của đại số và số học, ta thường phải làm việc với cỏc đường cong trờn trường số hữu tỷ. Đú là cỏc đường cong cho bởi phương trỡnh:
2 + + 2 = 3+ 2 + 2+ 3
1 3 2 4 6 .
trong đú cỏc hệ số là cỏc số hữu tỷ và ta cũng chỉ xột cỏc điểm với toạ độ là cỏc số hữu tỷ. Nghiờn cứu đường cong Elliptic trờn trường số hữu tỷ cũng cú nghĩa là nghiờn cứu tập hợp nghiệm hữu tỷ của phương trỡnh (2). Ta sẽ thấy rằng, vấn đề này cú liờn quan đến chứng minh của Định lý lớn Fermat.
Giả sử E là một đường cong Elliptic đó cho, ta kớ hiệu E( )Ô là tập hợp cỏc điểm cú toạ độ hữu tỷ. Tập hợp này cú cấu trỳc nhúm Aben. Cỏc điểm cú bậc hữu hạn của nhúm Aben E( )Ô lập thành một nhúm con E( )Ô tors gọi là
nhúm con xoắn của E( )Ô . Khi đú E( )Ô sẽ là tổng trực tiếp của E( )Ô tors với nhúm con cỏc điểm bậc vụ hạn. Định lý Mordell chỉ ra rằng nhúm con cỏc điểm bậc vụ hạn chỉ cú hữu hạn phần tử sinh và do đú đẳng cấu với nhúm Âr, trong đú r là một số nguyờn khụng õm, số r được gọi là giống của đường cong. Ta phỏt biểu định lý Mordell.
Định lý (Mordell). Giả sử E là một đường cong Elliptic trờn Ô . Khi đú, tập
hợp E( )Ô cỏc điểm cú toạ độ hữu tỷ là một nhúm Aben hữu hạn sinh.
Chỳ ý. Nếu r = 0 thỡ đường cong đang xột chỉ cú hữu hạn điểm hữu tỷ; trong trường hợp r≠0, tồn tại vụ hạn điểm hữu tỷ trờn đường cong. Điều đú tương đương với phương trỡnh đó cho cú hữu hạn hay vụ hạn nghiệm hữu tỷ, một bài toỏn cơ bản của số học.
2.2.4. Đường cong Elliptic trờn trường hữu hạn. Thường để chứng minh
một phương trỡnh hệ số nguyờn nào đú khụng cú nghiệm nguyờn, ta thường làm như sau. Ta xột phương trỡnh mới nhận được từ phương trỡnh đó cho bằng cỏch thay cỏc hệ số của nú bởi cỏc lớp thặng dư modp nào đú. Nếu phương trỡnh đồng dư modp này khụng cú nghiệm thỡ phương trỡnh đó cho cũng khụng cú nghiệm. Cỏch làm đú thường được gọi là phộp sửa theo modp.
Đối với cỏc đường cong Elliptic trờn một trường, đặc biệt là cỏc đường cong trờn trường số hữu tỷ, người ta cũng thường dựng phương phỏp tương tự
sửa theo modp. Từ đú thu được cỏc đường cong trờn trường hữu hạn.
Khi sửa một đường cong Elliptic theo modp ta cú thể nhận được đường cong cú điểm kỳ dị, bởi vỡ biệt thức ∆ của đường cong cú thể đồng dư với 0
theo modp và nhận được đường cong cú điểm bội trờn trường hữu hạn. Khi đú, người ta núi đường cong cú sửa chữa xấu tại p. Trong trường hợp ngược lại, ta núi đường cong cú sửa chữa tốt tại p.