Một số phương pháp toán học hỗ trợ sinh viên đại học ngoại thương tiếp cận và giải quyết bài toán kinh tế

Tính cấp thiết của đề tài Bộ môn toán đã có nhiều đề tài nghiên cứu ứng dụng toán trong nghiên cứu kinh tế, nhưng chưa có đề tài nào nghiên cứu về kết họp toán cao cấp và phần mềm toán h

Chủ nhiệm đề tài: ThS Vương Thị Thảo Bình

Các thành viên tham gia:

ThS Nguyễn Thị Toàn _ Trường đại học Ngoại thương

Ths Tống Lan Anh -

CN Trần Đức Thịnh - ThS Lê Thanh Nguyệt - nt-

LỜI NÓI Đ Ầ U 6

3 Mục tiêu nghiên cứu 7

4 Phạm vi nghiên cứu 7

5 Phương pháp nghiên cứu 7

CHƯƠNG Ì

M Ộ T SÒ Ứ N G DỤNG T O Á N CAO C Á P TRONG VIỆC GIẢI QUYẾT BÀI

1.1 Phương pháp ứng dụng toán cao cấp giải quyết một số bài toán kinh tế 9

1.1.1 Mô hình cân bang thị trường 9

1.1.4 Đạo hàm cấp hai và quy luật lợi ích cận biên giảm dần 13

1.1.5 Tính hệ số co dãn của cung và cầu theo giá 13

1.1.6 Một sổ bài toán cực trị trong kinh tế Ì, 14

1.1.7 Mô hình phương trình sai phân trong kinh tế học 16

1.2.1 ớng dụng Maple trong toán cao cấp ì 19

1.2.2 ớng dụng Maple trong hoạt động dạy và học Toán cao cấp li 27

1.2.3 ớng dụng của Maple trong giảng dạy 34

1.2.4 Dùng phần mềm Maple giải quyết một số bài toán kỉnh tế 37

1.3 Một ớng dụng của tính giả đơn điệu trong nghiên cớu kinh tế 41

1.3.1 Giới thiệu 41 1.3.2 Một số tính chất của hàm giả đơn điệu 41

1.3.4 Quy luật cân bằng cung cầu 43

3

1.3.5 Mô hình hỏa quy luật bằng nghiệm của bất đẳng thức biến phân 44

1.3.6 Sử dụng hàm giả đơn điệu để đảnh giá quy luật 45

1.3.7 Quan hệ giữa tỉnh giả đơn điệu và tiên đề yếu của Wald 46

C H Ư Ơ N G 2

M Ộ T SỐ P H Ư Ơ N G P H Á P Ứ N G DỤNG C Ủ A KINH T É L Ư Ợ N G TRONG

2.1.1 Tổng quan về phương pháp 48

2.1.2 Phương pháp đề xuất mô hình kinh tế lượng và ưộc lượng mô hình 48

2.1.3 Các kiểm định cơ bản đối vội mô hình kinh tế lượng 49

2.1.3 ỉ Các giả thuyết cơ bản của phương pháp OLS 49

2.1.3.2 Phương pháp kiểm định một sổ giả thiết cơ bản 51

2.1.4 Một so tiêu chuẩn lựa chọn các biến giải thích trong mô hình hồi quy

a) Nội dung tiêu chuẩn 60 b) Áp dụng tiêu chuẩn Theil để lựa chọn mô hình 63

2.2 Xây dựng mô hình kinh tế lượng dựa trên lý thuyết kinh tế 65

2.2 ỉ Giội thiệu về đường Phillips 66

2.2.2 Ưộc lượng mỏ hình đường Phillips nghiên cứu tình trạng lạm phát Việt

2.2.3 Dùng mô hình định lượng sự tác động của giả dầu thế giội đến lạm phát

Việt Nam giai đoạn 1997-2007 68

2.3.Phương pháp sử dụng m ô hình dự báo ARIMA 69

2.3.1 Giội thiệu phương pháp sử dụng mô hình 70

2.3 Ị Ì Định nghĩa chuỗi thời gian dừng 70

2.3.1.2 Kiểm định tính dừng của chuỗi thời gian 70

2.3.1.3 Mô hình AR, MA, ARIMA đối vội chuỗi thời gian 71

2.3.1.4 Phương pháp Box-JenKins (BJ) 72

2.3.2 ứng dụng phương pháp Box-JenKins đối vội một giai đoạn của VN-index 73

2.3.3 Áp dụng mó hình ARIMA để dự báo lạm phát 79

4

C H Ư Ơ N G 3

Ứ N G DỤNG CỦA TÍCH P H Â N NGẪU NHIÊN 82

3.1 Một số vấn đề cơ bản về tích phân ngẫu nhiên 82

3.1.1 Một sổ khải niệm liên quan tới quá trình ngẫu nhiên 82

3.1.2 Tích phân ngẫu nhiên hô 83

3.1.4 Công thức hô dạng đơn giản 86

3.1.5 Phương trình vi phân ngẫu nhiên 87

3.2 Một số ứng dụng của tích phân ngẫu nhiên 90

3.2.1 Mô hình tăng dân sổ đơn giản 90

3.2.2 Mô hình thời điểm dừng tối ưu 91

3.2.3 Mô hình Black-Scholes 91

3.2:4 Mô hình phân tích diễn biến giả 92

3.3 Một số kết quả ứng dụng 95

K Ế T LUẬN 99 TÀI LIỆU THAM KHẢO 100

PHỤ L Ụ C 102

5

L Ờ I N Ó I Đ Ầ U

1 Tính cấp thiết của đề tài

Bộ môn toán đã có nhiều đề tài nghiên cứu ứng dụng toán trong nghiên cứu kinh tế, nhưng chưa có đề tài nào nghiên cứu về kết họp toán cao cấp và phần mềm toán học để giúp cho việc dạy và học toán cao cấp thú vị hơn, chưa có

đề tài nào nêu lên ứng dụng của giải tích ngẫu nhiên trong kinh tế, và trình bày

cụ thể phương pháp ứng dụng kinh tế lượng vào giải quyết các bài toán kinh tế Tâm lý sinh viên khi học toán, đậc biệt là toán cao cấp thường cảm thấy không

có ứng dụng gì trong thực tể nên học toán thiếu hứng thú dẫn đến giảm chất lượng học tập Với tình hình như vậy, đề tài là tài liệu cần thiết cho sinh viên khối kinh tế nói chung và đậc biệt sinh viên của trường đại học Ngoại thương Ngoài ra, đề tài cũng là tài liệu bổ ích cho các giáo viên và các nhà nghiên cứu tham khảo

2 Tình hình nghiên cứu trong và ngoài nước

Có rất nhiều nghiên cứu trong và ngoài nước về phương pháp toán học để tiếp cận và giải quyết bài toán kinh tế Hầu hết các nghiên cứu đề cập đến các vấn đề toán học chuyên sâu nên sinh viên không cảm nhận thấy được ứng dụng trực tiếp những nội dung được giảng dạy ở trường Nội dung đề tài chủ yếu đề cập đến một số phương pháp ứng dụng toán cao cấp, giải tích ngẫu nhiên và kinh

tế lượng ở mức độ phù họp cho các sinh viên nghiên cứu Các trường đại học thuộc khối kinh tể cũng có nhiều nghiên cứu nhưng chủ yếu là ứng dụng kinh tế lượng Điểm qua một vài nghiên cứu liên quan đến đề tài như sau:

Trong trường:

- Vương Thị Thảo Bình, "Pseudomonotone Functions and an Application in the Theory of General Economic Equilibrium", Báo cáo Hội nghị quốc tế: Các nền kinh tế nhỏ và mở trong thế giới toàn cầu hóa (Small Open Economies in a

Globalized World) tại Đại học tổng hợp Bologna, Italy, 2006

- Vương Thị Thảo Bình, "Về tính giả đơn điệu và một hướng tiếp cận trong m ô

hình kinh tế cạnh tranh hoàn hảo", Tạp chí Kinh tế đối ngoại, số l o , năm 2005

- Vương Thị Thảo Bình, "ứng dụng phần mềm toán học Maple trong giảng dạy Toán cao cấp và một số bài toán kinh tế", Báo cáo Hội nghị khoa học Khoa Cơ bản, Đại học Ngoại thương, 2005

- Nguyễn Thị Toàn, Sử dụng một số công thức tính toán hữu hạn cho nguồn vốn

dùng cho việc lựa chọn đầu tư, Báo cáo Hội nghị khoa học Khoa Cơ bản, Đại học

Ngoại thương, 2005

Ngoài trường

- Phan Đức Châu, Sử dụng phẩn mềm Maple trong việc giảng dạy Toán cao

cấp, Kấ yếu Hội thảo Khoa học toàn quốc về phát triển công cụ tin học trợ giúp

cho giảng dạy, nghiên cứu và ứng dụng toán học, 2005, tr 54-57

- Phạm Huy Điên, Sử dụng máy tính trong giảng dạy và đánh giá chất lượng học

tập, Kấ yểu Hội thảo Khoa học toàn quốc về phát triển công cụ tin học trợ giúp

cho giảng dạy, nghiên cứu và ứng dụng toán học, 2005, tr 83-113

- Hoàng Đình Tuấn, Quá trình ngẫu nhiên phục hồi trung bình và ứng dụng

trong phán tích động thái giá cả, Tạp chí Kinh tế và phát triển, 10-2006, tr

34-37

Ngoài nước

- H Bessembinder, J Coughenour, p J Seguin, and M M Smoller, Mean

reversion in equilibrium asseí price, evidence /rom the /uture term structure,

- w Hildenbrand and M Jerison, The demand theory of the weak axioms of

revealedpreference, Economics Letters, 1989, p 209-213

preference andgeneralized monotonicity, Economics Letters, 2001, p 369-374

3 Mục tiêu nghiên cửu

- Giới thiệu phần mềm toán học Maple kết hợp một số nội dung cơ bản của toán

cao cấp để áp dụng giải quyết bài toán kinh tế

- Giới thiệu cách sử dụng cơ bản phần mềm kinh tế lượng thông dụng và ứng

dụng để phân tích và dự báo một số chuỗi giá

- Nghiên cửu một số ứng dụng của giải tích ngẫu nhiên

Các phương pháp được sử dụng trong nghiên cứu bao gồm:

* Phương pháp nghiên cứu tài liệu, phương pháp khảo sát thực tiễn, phương pháp thống kê, phương pháp mô tả - khái quát, phương pháp diễn giải - quy nạp, phương pháp phân tích tổng hợp, phương pháp đối chiếu - so sảnh

* Mô hình lượng hóa được sử dụng trong đề tài

6 Kết cấu của đề tài

Ngoài lời nói đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, đề tài được kết cấu gồm

03 chuông:

Chương ì: Một số ứng dụng toán cao cấp trong việc giải quyết bài toán kinh tế

Chương li: Một sổ phương pháp ứng dụng của kinh tế lượng trong việc giải

quyết các bài toán kinh tế

Chương lũi ứ n g dụng của giải tích ngẫu nhiên

C H Ư Ơ N G Ì MỘT SÒ ỨNG DỤNG TOÁN CAO CÁP TRONG VIỆC GIẢI

QUYẾT BÀI T O Á N KINH TẾ

Toán cao cấp là mòn khoa học tự nhiên nên việc dạy và học toán ở mỗi trường đại học có những đặc thù riêng Sinh viên ờ trường đại học Ngoại thương nói riêng và các trường trong khối kinh tế nói chung học toán với mong muốn nắm bắt được những ứng dụng cảa toán học vào lĩnh vực kinh tế để vận dụng và giải quyết các bài toán kinh tế Sinh viên khối kinh tế cần toán cao cấp như một công cụ làm việc chứ không phải để đi sâu nghiên cứu do đó giảng dạy toán cao cấp cho các trường đại học thuộc khối kinh tế cần chú ý đến ứng dụng nhiều hơn Trong mục này, chúng tôi giới thiệu một số bài toán ứng dụng toán cao cấp trong kinh tế Ngoài ra, chúng tôi giới thiệu cách sử dụng phần mềm toán học Maple hỗ trợ sinh viên khối kinh tế học và giải quyết một số bài toán kinh tế, hỗ trợ giáo viên giúp cho việc giảng dạy toán cao cấp thú vị hơn

LI Phương pháp ứng dụng toán cao cấp giải quyết một số bài toán kình tế

Có rất nhiều nghiên cứu cho chúng ta thấy ứng dụng cảa toán cao cấp trong nghiên cứu kinh tế như sử dụng một số công thức tính toán hữu hạn cho nguồn vốn dùng cho việc lựa chọn đầu tư1, phân tích tối ưu trong m ô hình kinh tể -dân

tế cảa phương trình sai phân

1.1.1 M ô hình cân bằng thị trường

a) Thị trường một loại hàng hoa

Khi phân tích hoạt động cảa thị trường hàng hoa, các nhà kinh tế học sử dụng hàm cung và hàm cầu để biểu đạt sự phụ thuộc cảa lượng cung và lượng cầu vào giá hàng hoa (với già thiết các yếu tố khác không thay đổi) Dạng tuyến tính cảa hàm cung và hàm cầu như sau:

' Xem Nguyễn Thị Toàn, Sừ dụng một số công thức tính toán hữu hạn cho nguồn vốn dùng cho việc lựa chọn đầu

tư, Kỳ yếu Hội nghị khoa học khoa C ơ bản, 2005

2 Ngô Văn Thứ, M ộ t phân tích dựa trên m ô hình kinh tế - dãn số cùa Solow, Tạp chí Kinh tế và phát triển số 37

2000

9

H à m cung: Qs = - a0 + a,p

Trong đó Qs là lượng cung, tức là lượng hàng hoa m à người bán bằng lòng bán;

Qđ là lượng cầu, tức là lượng hàng hoa m à người mua bằng lòng mua; p là giá hàng hoa; ao, ah bo, bi là các hằng số dương

Trong thị trường nhiều hàng hoa liên quan giá của hàng hoa này có thể ảnh hưởng đến lượng cung và lượng cầu của các hàng hoa khác Đ ể xét m ô hình cân bằng thị trường n hàng hoa liên quan ta kí hiệu biến số như sau:

Qsi - Lượng cung hàng hoa i;

Qdi - Lượng cầu hàng hoa i;

Từ hệ phương trình này ta suy ra hệ phương trình xác định giá cân bằng:

Ta xét m ô hình cân bằng đối với một nền kinh tể đóng dạng đơn giản (không có quan hệ kinh tế với nước ngoài)

Gễi Y là tổng thu nhập quốc dân (Income) và E là tổng chi tiêu kế hoạch (Planned Expenditure) của nền kinh tế, trạng thái cân bằng được biểu diễn dưới dạng phương trình:

Y = E Trong một nền kinh tế đóng, tổng chi tiêu kế hoạch của toàn bộ nền kinh tế gồm các thành phần sau:

c -Tiêu dùng (Consumption) của các hộ gia đình;

G - Chi tiêu của chính phủ (Government);

ì - Chi tiêu cho đầu tư của các nhà sàn xuất (Investment)

Ta giả sử rằng đầu tư theo kế hoạch là cố định: ì = lo và chính sách tài khoa của chính phủ cố định: G = Go, còn tiêu dùng của các hộ gia đình phụ thuộc vào thu nhập dưới dạng hàm bậc nhất (gễi là hàm tiêu dùng):

C = aY + b ( 0 < a < l ; b > 0 j

Hệ số a biểu diễn lượng tiêu dùng gia tăng khi người ta có thêm $1 thu nhập, được gễi là xu hướng tiêu dùng cận biên, còn b là mức tiêu dùng tối thiểu, tức là mức tiêu dùng khi không có thu nhập

l i

M ô hình cân bằng kinh tế vĩ mô có dạng đơn giản Đ ộ phức tạp của m ô hình

sẽ tăng lên nếu ta tính đến các yếu tố khác, chẳng hạn như thuế, xuất nhập khẩu, Nếu tính thuế thu nhập thì hàm tiêu dùng sẽ thay đổi như sau:

C = aYd + b, Trong đó Yd - Thu nhập sau thuế, hay còn gọi là thu nhập khả dụng Gọi tỷ

lệ thuế thu nhập là t, ta có:

Yd= Y - t Y = ( l - t ) Y

C = a ( l - t ) Y + b Mức thu nhập quốc dân và tiêu dùng cân bàng là:

Y = b + I0 + G0, - b + a(l-t)(I„ + G0)

l - a ( l - t ) l - a ( l - t ) 1.1.3 Đạo hàm và giá trờ cận biên trong kinh tế

Xét m ô hình hàm sổ y = f(x), trong đó X, y là các biến số kinh tế (ta coi biến độc lập X là biến số đầu vào và biến phụ thuộc y là biển đầu ra) Trong kinh tế học người ta quan tâm đến xu hướng biến thiên của biến phụ thuộc y tại một

điểm Xo khi biến độc lập X thay đổi một lượng nhỏ Chẳng hạn, khi xét m ô hình

hàm sản xuất Q = f(L) người ta thường quan tâm đến số lượng sản phẩm hiện vật tăng thêm khi sử dụng thêm một đơn vờ lao động

Theo đờnh nghĩa đạo hàm:

Khi ầx = Ì ta có Áy » f ' ( x0) Như vậy, đạo hàm f'(x0) biểu diễn xấp xỉ lượng

thay đổi giá trờ của biến phụ thuộc y khi biến độc lập X tăng thêm một đơn vờ Khi xét m ô hình y = f (x) biểu diễn ảnh hưởng của biến số kinh tế X đối với biến

số kinh te y, các nhà kinh tế gọi f '(x0) là giá trờ y - cận biên của X tại điểm x0 Đối với mỗi hàm kinh tế, giá trờ cận biên có tên gọi cụ thể như sau:

- Đối với m ô hình hàm sản xuất Q = f(L) thì f (Lo) được gọi là sản phẩm hiện vật cận biên của lao động tại điểm L0 Sản phẩm hiện vật cận biên của lao động được

kí hiệu MPPL:

MPPL = f (L)

12

Tại mỗi điểm L, MPPL cho biết xấp xỉ lượng sản phẩm hiện vật gia tăng khi sử dụng thêm một đơn vị lao động

Ví dụ: Cho hàm sản xuất có sản lượng phụ thuộc vào lao động và vốn:

Q = P,+p2K + p3L

Khi đó p2 là sản phẩm cận biên theo vốn

- Đối với m ô hình hàm doanh thu TR = TR(Q) thì TR'(Qo) được gỵi là doanh thu cận biên tại điểm Qo- Doanh thu cận biên được kí hiệu là MR: MR = TR'(Q) Tại mỗi sản lượng Q, MR cho biết xấp xỉ lượng doanh thu tăng thêm khi sản xuất thêm một đơn vị sản phẩm Đối với doanh nghiệp cạnh tranh ta có:

TR = pQ => MR = p (p là giá sản phẩm trên thị trường)

- Đối với m ô hình hàm chi phí TC = TC(Q) thì TC(Qo) được gỵi là chi phí cận biên tại điểm Q0 Chi phí cận biên được kí hiệu là MC: MC = TC'(Q) Tại mỗi mức sản lượng Q, MC cho biết xấp x i lượng chi phí tăng thêm khi sản xuất thêm một đơn vị sản phẩm

- Đối với hàm tiêu dùng c = C(Y) thì C'(Y) được gỵi là xu hướng tiêu dùng cận biên và được kí hiệu là MPC: MPC = C'(Y)

Tại mỗi mức thu nhập Y, MPC là số đo xấp xi lượng tiêu dùng gia tăng khi người ta có thêm $ Ì thu nhập

- Đối với hàm tiết kiệm s = S(Y) thì S'(Y) được gỵi là xu thế tiết kiệm cận biên

và kí hiệu là MPS: MPS = S'(Y)

Tại mỗi mức thu nhập Y, MPS là số đo xấp xỉ lượng tiết kiệm gia tăng khi người

ta có thêm $ Ì thu nhập

1.1.4 Đạo hàm cấp hai và quỵ luật lợi ích cận biên giảm dần

Xét m ô hình y = f(x), trong đó y là biến số biểu diễn lợi ích (chẳng hạn như

thu nhập, doanh thu, lợi nhuận, ) và X là biển số m ô tả yếu tố đem lại lợi ích y Quy luật lợi ích cận biên giảm dần nói rằng khi X càng lớn thì giá trị y - cận biên

càng nhỏ, tức là My = f(x) là hàm số đơn điệu giảm (ít nhất theo nghĩa rộng)

Dưới giác độ toán hỵc, điều kiện để My giảm dần theo X là :

(My)' = f " ( x ) < 0

1.1.5 Tính hệ số co dãn của cung và cầu theo giá

Một vấn đề quan tâm trong kinh tế là phản ứng của cung và cầu đối với sự biến động giá cả trên thị trường Với giả thiết các yếu tố khác không thay đổi, sự phụ thuộc của lượng cầu Qđ vào giá p được biểu diễn bằng hàm cầu: Qd = Dịp)

13

Trong m ô hình hàm cầu biến số p được đo bằng đơn vị tiền tệ, còn biến số Q được đo bằng đơn vị hiện vật Nếu gọi AQd là mức thay đổi lượng cầu khi giá thay đổi một đơn vị thì ý nghĩa của con số đó còn phụ thuộc vào đơn vị đo Hơn nữa, đối với các hàng hoa khác nhau thì sự thay đổi giá thêm $1 mang ý nghĩa khác nhau Đe đánh giá độ nhởy cảm của cầu hàng hoa đối với biến động giá cà, các nhà kinh tế sử dụng khái niệm hệ số co dãn

Hệ số co dãn của cầu theo giá (tính ở mỗi mức giá) là số đo mức thay đổi phần trăm của lượng cầu khi giá tăng 1 %

Tởi mức giá p, nếu giá thay đổi một lượng Áp thì lượng cầu thay đổi tương ứng một lượng AQd Mức phần trăm thay đổi của lượng cầu tính bình quân cho 1 % thay đổi giá là:

_(AQd/Qd).100 = AQd p _AD(P) p (Ap/p).100 Áp Qd Áp 'D(p) Khi chuyển qua giới hởn khi Áp -» 0 ta được công thức tính hệ số co dãn của cầu theo giá tởi điểm p:

= =

d p( p ) p = p.( p ) p

dp Qd dp D(p) W' D ( p ) Tương tự hệ số co dãn của cung theo giá là số đo mức thay đổi phần trăm của lượng cung khi giá tăng 1 % Nếu biết hàm cung Qs = S(p) thì hệ số co dãn của cung theo giá tởi điểm p được tính theo công thức:

= ^a_L = i%)_E_ = s,(p) p

dp Qs dp S(p) W' S ( P ) 1.1.6 Một sổ bài toán cực trị trong kinh tế

Mỗi chủ thể kinh tế nói chung và doanh nghiệp nói riêng đều đặt ra một mục đích là cực đởi hoa lợi ích (lợi nhuận tối đa, chi phí tối thiểu, ) Trong mục này, chúng tôi trình bày một m ô hình cực trị không điều kiện và một m ô hình cực trị có điều kiện nhằm thể hiện vai trò và ứng dụng của bài toán cực trị toán trong thực tế

• Bài toán cực đởi lợi nhuận: Xác định mức sản lượng doanh nghiệp cần cung cấp cho thị truồng, ký hiệu Q, sao cho lợi nhuận thu được là lớn nhất

- Láp bài toán:

3 Tham khảo các tài liệu: Lê Đinh Thúy, Toán cao cấp cho các nhà kinh tế, N X B Giáo dục, 1999 và Nguyễn Thế

Hệ, Kỳ yếu nghiên cứu khoa học cùa khoa toán kinh tế năm 1998

it(Q) = R(Q) - C(Q) - tQ Max trong đó 7:(Q) là lợi nhuận, R(Q) là doanh thu, C(Q) là chi phí, t là thuế suất tính trên Ì đơn vị sản phẩm bán ra Giả thiết các hàm R(Q) và C(Q) xác định được

M ô hình này tách riêng phần thuế trong chi phí nói chung nhằm xét phản ứng của doanh nghiệp đối với sự thay đổi mức thuế do nhà nước đưa ra

- Giải quyết bài toán:

- Để xét tác động của thuế t đối với sản lượng Q, ta xét sự biến thiên của Q theo

t bằng cách xét dấu đạo hàm Q Từ điều kiện cần, ta có:

Vậy với các yếu tố khác được giữ nguyên thì khi t tăng Q sẽ giảm

• Bài toán cực đại hoa lợi ích tiêu dùng:

- Lấp bái toán: Cừc đại hoa hàm lợi ích

U = U(x,,x 2 )

với điều kiện ràng buộc thu nhập

Pi X i + p2x2 = m trong đó Pi, p2 tương ứng là giá trị thị trường của của mỗi đơn vị mặt hàng X i ,

x 2 với cơ cấu mua sắm (Xi, x2); m là thu nhập của người tiêu dùng

- Giải quyết bài toán:

Lập hàm Lagrange: L(xi, x2, Ằ) = Ư(xi, x2) + Ằ [ra - Pi X i - p2 x2]

15

- Điều kiện cần: Giải hệ các đạo hàm riêng của hàm Lagrange bằng 0 ta tìm được phương án:

dư/

x = ỵ

trong đó MU], M U2 tương ứng là lợi ích cận biên của X] và x 2

- Điều kiện đủ: Lập ma trận viền Hess và kiểm tra điều kiện cần có thoa mãn điều kiện đủ cua bãi toan cực trĩkBông Tuy nhiên do tác động của quy luật "lợi suất giảm dần" nên mối quan hệ của các biến số trong hàm kinh té thường thể hiện bời hàm tựa lõm hoặc tựa lụi nên theo định lý Arrovv-Enthoven4

, điều kiện cần nói trên cũng thường là điều kiện đủ

Ỷ nghĩa của điều kiện tối ưu (*) có thể phát biểu cụ thể như sau: Hộ gia đình sẽ chọn mua mỗi loại hàng ở mức mà tỷ lệ thay thế biên giữa hai loại hàng hoa bằng tỷ giá hai hàng hoa đó

Đường ngân sách

Đường thờ ơ

5»

1.1.7 M ô hình phương trình sai phân trong kinh tế học

Phương trình sai phân có nhiều ứng dụng trong kinh tế học như trong m ô hình mạng nhện (Cobwebs), m ô hình thị trường có dự trữ, m ô hình Harrod, m ô hình thu nhập có trễ5

Trong phần này, chúng tôi chi trình bày một ứng dụng của phương trình sai phân trong m ô hình mạng nhện và áp dụng cụ thể cho cho chuỗi chỉ số giá văn hoa thể thao giải trí

• Giói thiệu m ô hình

Xét một thị trường cạnh tranh đơn giản trong đó việc sản xuất đòi hỏi phải

có thời gian nhất định nên trong quá trình điều chỉnh mức cung người sản xuất sẽ dựa vào mức giá ở thời k i trước, ta có m ô hình:

D, = a - b pt + Vi, (a, b > 0)

4 Xem các tài liệu: Hoàng Đình Tuấn, Lý thuyết m ô hình toán kinh tế, N X B Khoa học và kỹ thuật, 2003 và H R

Varian, Microeconomic Analysic, w w Norton & Company, 1992

5 Xem trang 208, sách Lê Đinh Thúy, Toán cao cấp cho các nhà kinh tế, phần li, N X B Giáo dục,1999

ị T H y v i é i y ĩ

• Ư Ớ C lượng mô hình

Dĩ; K Z Ì 4 17

Việc thu thập số liệu giá cả một mặt hàng nào đó trong khoảng thỗi gian dài rất

khó khăn nên để m ô phỏng m ô hình, ta xét với chuỗi chi số giá văn hóa thể thao

từ năm 1995 tháng Ì đến 2006 tháng 12 (nguồn : Tổng cục Thống kê)

Bảng 1.1 Kết quả ước lượng m ô hình (4)

Dependent Variable: CPI VH

Sample(adjusted): 1995:02 2006:12

Included observations: 143 after adjusting endpoints

Variable Coefficient Std Error t-Statistic Prob

CPI VH(-l) 0.935958 0.019376 48.30441 0.0000

c 7.310238 2.174180 3.362296 0.0010

R-squared 0.943015 Mean dependent var 112.2861

Durbin-Watson stat 1.796565 Prob(F-statistic) 0.000000

Nguồn: Kết quả ước lượng trên Evievvs 4.0 Kết quả ước lượng là: ậ 1=7.310238, ậ 2=0.935958

Kiểm tra các khuyết tật thấy m ô hình không có khuyết tật nên các ước lượng là

đáng tin cậy nên mức giá cân bằng dài hạn là

p*« _Ể^=114.1

1 - Â

Kiểm định thấy p2 < Ì, chứng tỏ chi số giá văn hóa thể thao giải trí ổn định

Như vậy trong dài hạn, mức chi số giá cân bằng dài hạn đều là ỉ 14.1 theo cả hai

cách tiếp cận ứng dụng của phương trình sai phân Hiện nay mức chỉ số CPI V H

là 118.21 nên trong tương lai mức chỉ số này sẽ có xu hướng giảm xuống và

phục hồi xung quanh 114.1 (so với tháng Ì năm 1995)

Toán cao cấp luôn gắn liền với nhiều tính toán tỳ mỉ, phức tạp nên kết hợp sử dụng công nghệ thông tin trong nghiên cứu thì sẽ đạt hiệu quả hơn Phần tiếp

theo sẽ giới thiệu cách sử phần mềm Maple cho môn toán cao cấp và ứng dụng

trong nghiên cửu kinh tế

1.2 Toán cao cấp kết hợp phen mềm Maple trong giảng dạy và nghiên cứu

Maple là một hệ phần mềm chuyên dùng để tính toán, bao gồm các tính toán thuần tuy bằng kí hiệu toán học, các tính toán số và các tính toán bằng đồ thị Sản phẩm này do trường đại học Tổng hợp Waterloo (Canada) và trường đại học kỹ thuễt Zurich (ETZ) xây dựng và đưa vào thương mại đầu tiên năm 19856 Hiện tại đã có bản thương mại Maple 11 Sinh viên được sử dung miễn phí Maple 5.0 (8 Mb) Đặc tính căn bản của Maple là cài đặt dễ dàng trên Windows

và dễ sử dụng

Trong mục này, trước hết giới thiệu một số phép toán cơ bản của toán cao cấp thực hiện bằng Maple Tiếp theo, chúng tôi giới thiệu ứng dụng của toán cao cấp trong giảng day Cuối cùng, chúng tôi trình bày một ứng dụng của toán cao cấp, kết họp Maple để đánh giá yếu tố kinh tế

1.2.1. ứ n g dụng Maple trong toán cao cấp ì

a) Các phép toán đại số trên ma trễn và vectơ

- Các lệnh tạo ma trễn cấp m X n

i) matrix(m,n,[a1i, ,ain, ,ami, ,am n]) là lệnh tạo ma trễn cấp m X n v ớ i phần

tử được lấy trong danh mục [aii, ,a] n, ,am,, ,amn]

li) matrix(m,n,f) là dòng lệnh tạo ma trễn cấp m X n với phần tử là giá trị của

hàm f xác định trên tễp chỉ số hàng và cột của ma trễn, nói cách khác thì nó chính là ma trễn xác định bởi dòng lệnh:

V à ừong trường hợp riêng (khi f = 0) lệnh:

Ta thực hiện như sau:

Bước Ì: Khai báo A

"0 1 2 3 4"

Bước 3: Nhân A với B bằng lệnh

> evalm(A&*B);

Ta được :

40 46 52 58

112 136 160 184

Ta có thể nhân nhiều ma trận trong cùng một lệnh, máy sẽ thực hiện pháp nhân

từ trái sang phải

Thí dụ 2: (BT 3c trang 35 sách Bài tập TCC1- trường Đ H Ngoại thương)

Ì -2"

5 7 Tính

Ta thực hiện như sau:

Bước Ì: Khai báo A = Ì -2

Ta thực hiện như sau:

Bước Ì: Khai báo M

Bước 2: Khai báo N

Bước 3: Khai báo p

> P:=matrix(3,2,[l,3,5,7,9,ll]);

Ị 3"

9 l i Bước 4: Nhân M,N,P bằng dòng lệnh

> evalm(M&*N&*P);

T318 4261

682 910

b) Các phép toán trên cấu trúc ma trận và vectơ

Nhiều tình huống trong đại số tuyển tính dẫn tới việc phải tổ họp hoặc thao tác trên các thành phần riêng biệt của ma trận hoặc vectơ, nhất là hàng và cụt Phần dưới giới thiệu mụt số phép toán quen thuục

i) Hoán vị dòng của ma trận: swaprow(A,rl,r2)

Hoán vị cụt của ma trận: swapcol(A,rl,r2)

addrow(A,rl,r2,m); Lấy dòng r i nhân với m rồi cụng vào dòng r2

addcol(A,cl,c2,m); Lấy cụt c l nhân với m rồi cụng vào cụt c2

Cú pháp mulrow(A,r,expr) (cho cột: muìcoI(A,r,expr))

Tham số A: ma trận

r,c: chi số các dòng (cột) của ma trận

expr: biểu thức vô hướng

M ô tả : Tạo một ma trận mới trong đó dòng r ( cột c) được thay bằng tích của nó với biểu thức expr

Ta thực hiện nhu sau:

b : vectơ vế phải của phương trình

eqns : tập hợp hoặc danh sách các phương trình

vars : tập hợp hoặc danh sách các biến

flag : đuôi tự chọn

M ô tả : Lệnh genneqns sinh ra một họ các phương trình tuyển tính với ẩn là X và

hệ số lấy từ hệ số của ma trận A Nếu có biến thứ ba biểu thằ vectơ vế phải b thì

nó sẽ đưa vào phương trình (phương trình không thuần nhất) Ngược lại thì vế phải được coi bằng 0 (phương trình thuần nhất)

Lệnh genmatrix sinh ra ma trận từ các hệ số của hệ phương trình tuyến tính Nếu

có biến thứ ba "ílag" thì vectơ "vế phải" được đưa và cột cuối cùng của ma trận Thí dụ:

Tham biến A: ma trận xác đằnh vế trái

u: vectơ biểu diễn vế phải

Thí dụ: Bài tập 2.2.3 trang 46 sách Bài tập TCC1- trường Đ H Ngoại thương

Giải hệ phương trình:

'3x-2y-5z+ t= 3 2x-3y+ z + 5t = -3 x-2y -4t = -3

X- y - Az + 9t = 22

Ta thực hiện như sau:

>C:=matriX(4,4,[3,-2,-5,l,2,-3,l,5,l,-2,0,-4,l,-l,-4,9]);

25

- Tìm cơ sờ của hệ vectơ

Thỉ dụ: Tìm cơ sở của hệ vectơ (hay của không gian con sinh bởi các vectơ)

Đưa ma trận về dạng hình thang bằng các biến đổi sơ cấp trên dòng bởi lệnh sau:

Trường đại học Ngoại thương đang triển khai việc thi trức nghiệm trên máy, nên các sinh viên nếu biết cách sử dụng Maple thì sẽ giúp cho việc trả lời bài thi nhanh hơn và chính xác hơn nhiều

1.2.2 ứ n g dụng Maple trong hoạt động dạy và học Toán cao cấp l i

Maple V I I cung cấp nhiều công cụ mạnh để giải các bài toán về phép tính

v i phân và tích phân (một hoặc nhiều biến) như: tính giới hạn, khai triển dãy, tính tổng hữu hạn và vô hạn, tính đạo hàm, tính tích phân (xác định và không xác định, tích phân suy rộng và các tích phân đặc biệt), biến đổi Fourier, biến đổi tích phân, Maple không những cho phép tính toán với các số mà còn với các kí hiệu hình thức

a) Tính giới hạn

Để tính giới hạn hàm số tại a ta dùng câu lệnh có cú pháp sau:

> limit(f(x),x=a)> ; Trong đó f(x) là biểu thức cần tìm giới hạn và a là điểm tại đó cần tính giới hạn (nếu a là vô cùng thì ta viết > x=infinity)

Sau dấu ; nhấn [Enter] thì việc tìm giới hạn sẽ được chuông trình thực hiện và ta

Thí dụ 2: (Bài tập 1.15.9 trang 9 sách Bài tập Toán cao cấp 2 - Đ H Ngoại thương)

Giải:

> limit((l-sqrt(cos(x)))/(l-cos(sqrt(x))),x=0,right);

0 Thí dụ 4: Tính

7t

lim

X cót 2 Giải:

b) Tính đạo hàm của hàm sổ một biến

(Bài 4.3.6 trang 33 sách bài tập toán cao cấp 2 - trường Đ H Ngoại thương)

Giải:

> int(l/(xA2-3*x+2),x = -3 0);

3 ln(2)-ln(5) Thí dụ 2: Tính

Thao tác giống như tính tích phân xác định, chi cần lưu ý khai báo cận

"x=a infinity" thay cho "x=a b"

Ì d) H à m xác định từng khúc

Hàm xác định từng khúc (gọi tắt là hàm từng khúc) là hàm được thiết lập tà một số hàm khác đã biết trước f p f 2 , , f n , f n + 1 theo phương thức sau đây:

f = f, nếu X thoa mãn điều kiện dk - Ì

f = f2 nếu X thoa mãn điều kiện dk - 2 và không thoa mãn điều kiện dk - Ì

f = f„ nếu X thoa mãn điều kiện dk - n, không thoa mãn các điều kiện dk-i với i

<n

f = fn + l trong trường hợp còn lại (tức là trong trường hợp tất cả các điều kiện

dk-1, dk-2, ,dk-n đều không được thoa mãn)

Các hàm dạng này rất hay gặp trong thục tiễn Chúng rất phong phú và đa dạng Việc xây dụng một hàm như vậy được thục hiện nhờ thủ tục có cú pháp như sau: t>f:=piecwise(dk-l,f[l],dk-2,f[2], ,dk n,f[n],fỊn+l]);

Các điều kiện dk-i có thể là một quan hệ hoặc một tổ hợp Boole của một số bất đẳng thức (nhưng không thể có đẳng thức) Trong thục tế, người ta thường chia trục số ra thành n+1 đoạn bởi các điểm chia: ai, a2 , ,an và trên mỗi đoạn cho

hàm nhận giá trị của một trong số các hàm cho trước Khi ấy hàm f được xác định như sau:

>f:=piecwise(x<=a[l],f|l],x<=[2],f[2], ,x<=a[n],f[n],f[n+l]);

Sau khi xác định hàm từng khúc (như trên), người ta có thể làm việc ừên nó như đối với các hàm bình thường Việc vẽ đồ thị của hàm từng khúc không gặp cản trở gì đặc biệt (như ta đã thấy trong phần trên) Tuy nhiên, việc lấy đạo hàm của hàm từng khúc sẽ không được suôi sẻ lắm, vì nó thường "gẫy khúc" tại một số điểm và tại đó nó có thể không có đạo hàm

33

• Trong dạy Toán cao cấp

Trình chiếu một sữ phép toán và hình vê bằng Maple một cách chính xác, dễ nhìn và có sức thuyết phục với học sinh, giảm bớt thời gian làm những việc thủ công, vụn vặt, dễ nhầm lẫn (vẽ hình, tính toán trung gian ) để có điều kiện đi sâu vào bản chất toán học của bài giảng

Sau đây là một sổ minh họa (đã được giảng cho sinh viên K43 E, Đại học Ngoại thương tại hội trường G50Ỉ)

Ví dụ về minh họa dãy và giới hạn của dãy

> with(plots):

pointplot([seq([n, sin(n)/(n+l)], n=1 20)], symbol=cross);

Ví dụ về minh họa dãy hội tụ (về 0)

> pointplot([seq([n, sin(n)/(n+l)], n=1 100)], symbol=cross);

> pointplot([seq([n, sin(n)/(n+l)], n=1 200)], symbol=cross);

Ví dụ về minh họa dãy không hội tụ (về 0)

> pointplot([seq([n, sin(n)+ cos(n)], n=1 100)], symbol=cross);

> pointplot([seq([n, sin(n)+ cos(n)], n=1 200)], symbol=cross);

ũ -0.5

Vượt qua chủ đề khó bằng sự hỗ t r ợ máy tính: Tổng Riemann là một khái niệm khá m ơ hồ với sinh viên Rõ ràng, với chỉ một hình vẽ minh họa trên bảng thì học sinh khó mà hình dung được rằng khi lấy phân hoạch đủ mịn thì tổng diện tích mớ hình chở nhật "lổn nhổn" lại có thể trùng với diện tích hình thang cong (xác định bởi hàm số) Muốn thấy được điều này, ta cần đưa ra một dãy hình vẽ minh họa thể hiên quá trình xấp xỉ hình thang cong (bằng tập các hình chở nhật "mảnh mai") đạt độ chính xác càng cao khi phân hoạch càng mịn

Ị • Maple V Release 4 - [tongdacbu.rrms] B I - I E 3

3 £Í8 £<ft ỵ«w insèrt ^ọỊtnat ŨpBon* ỵridaN Hei* ' : • .-1*1 x i

> r e s t art ,- vrith ( p l o t s ) , w i t h (student) ,

V ớ i các tính năng thuận tiện như vậy, m ô n Toán sẽ được sinh viên Ngoại thương tiếp thu hứng thú hơn nếu được giảng dạy tại các phòng học có đồng thời cả bảng phấn và máy chiếu, đáp ứng tốt nhất yêu cầu đổi m ớ i và nâng cao chất lượng giảng dạy m à Nhà trường đề ra

1.2.4 D ù n g phần mềm Maple giải quyết m ộ t sổ bài toán k i n h tế

Ví dụ: T ố i thiủu hóa chi phí (tìm cực trị của hàm chi phí) của một hãng dùng Maple và Toán cao cấp 2 đủ giải quyết

Bài toán

Một hãng sử dụng lao động (L) và vốn (E) đủ có sản lượng đầu ra (Q) H à m sản xuất là: Q=F(L,E)- Hãng thuê lao động và mua vốn trong thị trường cạnh tranh sản xuất Giá của Ì đơn vị lao động là w, Ì đơn vị v ố n là r Mục tiêu của hãng là tối thiủu hóa tổng chi phi ứng với mức sản lượng cho trước là Qo

Các câu hỏi

Ì Tổ họp lao động và vốn nào của hãng là tối ưu?

2 Vẽ các đường đẳng lượng và các đường đẳng phí, chi ra điủm tối ưu bằng đồ thị

3 Cách sử dụng vốn và lao động của hãng như thế nào trong trường hợp:

- Thayđổi chi phí của đầu vào?

- Thay đổi mức đầu ra?

4 Đạo hàm của hàm Lagrange theo w.r.t L, E và X

> lagr l:=diff(lagr,L); lagr 2:=diff(lagr,E); lagr_3:=diff(lagr,lambda);

\Lagr_\ = ữ

5 Đ ể tìm điều kiện cần của bài toán tối ưu này, ta giải hệ ị Lagr_2 = 0 bởi lệnh

[Lagr _3 = 0

6 > soln:= solve({lagr_l,Iagr_2,lagr_3},{L,E,lambda});

7 Chỉ ra các giá trị tối ưu bởi các lệnh sau:

>L_opt:= evalf(subs( soln, L )); E_opt:= evalf(subs( soln, E )); lambda_opt:=

evalf(subs( soln, lambda ) ) ;

8 Ta tìm được chi phí tối thiểu của hàm sản xuất là:

>c_min:= w*L_opt + r*E_opt;

- Đường đẳng phí biểu diễn E và L sao cho tổng chi phí không đổi Do đó, để vẽ

đường đẳng phí có c = C min trong hàm chi phí, ta biểu diễn E qua L

> E2:=solve(C=C_min,E); p!ot({El,E2}, L=1600 2200, E=800 3500);

39