X- y A z+ 9 t=
13 Cho trước một chứng khốn, tức là một loữi cồ phiếu hoặc trái phiếu Khi đĩ, một phái sinh chứng khốn là gi?
Đĩ là một hợp đồng đặc biệt m à giá trị của nĩ tữi một ngày nào đĩ trong tương lai phụ thuộc hồn tồn vào giá trị tương lai của chứng khốn đĩ.
t-»w, khi ta cố định một y ế u tố ngẫu nhiên co; mỗi co e Q cho ta một quỹ đạo, tức một hàm thực của t).
Chúng ta tìm hiểu xem tại sao lại phải xây dựng tích phân Itơ? Cĩ nhiều bài tốn dẫn đến nhu cầu phải tính tốn một loại tích phân cĩ dạng tạm kí hiệu là
b
1= ịf{t,(ũ)dWl ữong đĩ f(t,(ữ) là một hàm ngẫu nhiên (quá trình ngẫu nhiên) nào
đĩ, cịn wt là chuyển động Brown nĩi trên.
Tuy mỗi quỹ đạo t^>w, là một hàm liên tục của ị, nhưng ta đã biết là hầu hết mậi quĩ đạo là những hàm khơng cĩ biến phân giới n ộ i1 4
trên bất cứ khoảng hữu hạn nào. Vậy khơng thể định nghĩa tích phân Itơ như một tích phân Riemann- Stieltjès15
được nên phải tìm một cách xây dựng khác.
Nhà tốn hậc K. Itơ đã đưa ra một cách xây dựng tích phân ngẫu nhiên dựa theo nguyên tắc "ánh xạ đẳng cự" vào khoảng 1940-1941, tích phân này mang tên ơng.
• Định nghĩa cấu trúc: Ta luơn xét quá trình ngẫu nhiên xác định trên một khơng gian xác suất (Q,F,P), trên đĩ cĩ một bộ lậc (F,)t e T là một hậ tăng các ơ-trường con của F, trong đĩ T là một tập Borel nào đĩ cz R+. Thơng thường, ta lấy T là một khoảng [0,T] nào đĩ. Gậi BF là một ơ-trường xác định trên
[0,T] xQ
bởi B F = { A c TxQ: A n (-co,t]xQ đo được đối với B[0t] xFt}.
3.1.3. Định nghĩa tích phân Itơ
Cho f(t,ữ>) là một quá trình ngẫu nhiên và wt là một chuyển động Brown tiêu chuẩn (một chiều), tất cả quỹ đạo c ủ a / và của w là xác định trên đoạn a < t
<b.