Phương pháp hàm lyapunov giải bài toán ổn định hệ phương trình vi phân có thể

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2NGUYỄN THỊ LANH PHƯƠNG PHÁP HÀM LYAPUNOV GIẢI BÀI TOÁN ỔN ĐỊNH HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CÓ TRỄ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành:

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN THỊ LANH

PHƯƠNG PHÁP HÀM LYAPUNOV

GIẢI BÀI TOÁN ỔN ĐỊNH

HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CÓ TRỄ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: Toán Giải Tích

Mã số : 60 46 01 02

Người hướng dẫn khoa học

GS TSKH Vũ Ngọc Phát

Hà Nội, 2014

Lời cảm ơn

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS TSKH Vũ Ngọc Phát, người

đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thànhluận văn này

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng sau đại học, cácthầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học Sưphạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập

Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình,bạn bè đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trongquá trình học tập và hoàn thành luận văn

Hà Nội, tháng 11 năm 2014

Tác giả

Nguyễn Thị Lanh

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của GS TSKH Vũ Ngọc Phát, luậnvăn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài “Phương pháp hàmLyapunov giải bài toán ổn định hệ phương trình vi phân có trễ”được hoàn thành bởi nhận thức của bản thân tác giả

Trong quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa nhữngthành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 11 năm 2014

Tác giả

Nguyễn Thị Lanh

Mục lục

Danh mục ký hiệu 1

Mở đầu 2

Chương 1 Cơ sở toán học 4

1.1 Phương trình vi phân 4

1.1.1 Phương trình vi phân thường 4

1.1.2 Phương trình vi phân có trễ 6

1.2 Bài toán ổn định 8

1.2.1 Bài toán ổn định hệ phương trình vi phân 8

1.2.2 Bài toán ổn định hệ phương trình vi phân có trễ 16

1.3 Một số bổ đề bổ trợ 17

Chương 2 Tính ổn định phương trình vi phân có trễ 19

2.1 Ổn định phương trình vi phân tuyến tính có trễ 19

2.2 Ổn định phương trình vi phân phi tuyến có trễ 26

Kết luận 34

Tài liệu tham khảo 35

C[a, b] không gian các hàm nhận giá trị thực

liên tục trên đoạn [a, b];

C1[a, b] không gian các hàm nhận giá trị thực

khả vi liên tục tới cấp 1 trên đoạn [a, b];

C = C([a, b], Rn) không gian các hàm nhận giá trị

thực trong Rn liên tục trên đoạn [a, b];

AT ma trận chuyển vị của ma trận A;

λ(A) tập tất cả các giá trị riêng của A;

λmin(A) phần thực nhỏ nhất giá trị riêng của A

Mở đầu

1 Lí do chọn đề tài

Bài toán ổn định các hệ phương trình vi phân có nhiều ý nghĩa thực tiễn

và lý thuyết vì có nhiều ứng dụng quan trọng trong giải các bài toán xuấtphát từ thực tế, và đòi hỏi phải sử dụng các lý thuyết và công cụ toán họchiện đại trong một số lĩnh vực như giải tích, phương trình vi tích phân,giải tích hàm, giải tích đa trị, lý thuyết ma trận, giải tích phổ các toán tử,thuật toán số giải các phương trình điều khiển và giải các bài toán tối ưu Vấn đề nghiên cứu các tính ổn định bằng phương pháp hàm Lyapunovvẫn được quan tâm nghiên cứu và nhận được nhiều kết quả lý thú và sâusắc

Vì sự hữu hiệu và quan trọng của phương pháp hàm Lyapunov giảibài toán ổn định phương trình vi phân có trễ, tôi đã chọn được đề tài:

“Phương pháp hàm Lyapunov giải bài toán ổn định hệ phươngtrình vi phân có trễ” để hoàn thành luận văn tốt nghiệp chương trìnhbậc đào tạo Thạc sĩ Toán học của mình

Luận văn được cấu trúc thành 02 chương Chương 1 được dành đểđưa ra một số kiến thức cơ bản về lý thuyết ổn định hệ phương trình viphân Trong chương 2 của luận văn, chúng tôi trình bày phương pháp hàmLyapunov áp dụng vào xét tính ổn định của một số lớp hệ phương trình viphân có trễ

2 Mục đích vi nghiên cứu

- Giới thiệu phương pháp hàm Lyapunov và ứng dụng giải bài toán ổn địnhphương trình vi phân có trễ

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Tìm hiểu cơ sở lý thuyết, phương pháp hàm Lyapunov giải bài toán ổnđịnh phương trình vi phân có trễ

- Phương pháp hàm Lyapunov và các điều kiện cần và đủ giải bài toán ổnđịnh phương trình vi phân có trễ

4 Phương pháp nghiên cứu

- Đọc sách, nghiên cứu tài liệu, tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục đíchnghiên cứu

- Lý thuyết phương trình vi phân, lý thuyết ổn định

- Phương pháp đại số tuyến tính, lý thuyết ma trận

5 Đóng góp của đề tài

Trình bày một cách hệ thống khoa học về bài toán ổn định phương trình

vi phân có trễ: Phương pháp và kết quả cơ sở về bài toán ổn định

Chương 1

Cơ sở toán học

Trong chương này, chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ sở chuẩn bịdùng cho các phần sau Trước tiên, chúng tôi giới thiệu một số không gianhàm, các khái niệm liên quan tới hệ phương trình vi phân thường và cótrễ, tiếp theo chúng tôi trình bày bài toán ổn định của hệ phương trình viphân, mục cuối chúng tôi giới thiệu phương pháp hàm Lyapunov là mộttrong những công cụ hữu hiệu để xét tính ổn định của hệ phương trình viphân Nội dung chương này được lấy từ các tài liệu [1, 2, 3, 4]

và Rn trở thành một không gian Hilbert.

c) Xét không gian C[a, b] gồm tất cả các hàm số giá trị thực xác định

và liên tục trên đoạn [a, b], (−∞ < a < b < +∞) Với chuẩn

||x|| = sup

[a,b]

|x(t)|

Khi đó C[a, b] là một không gian Banach thực

d) Xét không gian C1[a, b] gồm tất cả các hàm số giá trị thực xác định

và khả vi liên tục trên đoạn [a, b], (−∞ < a < b < +∞) Với chuẩn

Khi đó C1[a, b] cũng là một không gian Banach thực

Ta cũng cần nhớ lại khái niệm một ma trận xác định dương hoặc xác định

âm dưới đây

Định nghĩa 1.1 Ma trận M ∈ Mn×m(R) gọi là xác định dương nếu

Điều kiện này tương đương với

Định nghĩa 1.2 Cho t0 ∈ Rn, σ ≥ 0 và x ∈ C([t0 − h, t0 + σ], Rn), đặthàm xt xác định bởi

Ta có các khái niệm về nghiệm của phương trình (1.2) như sau

Định nghĩa 1.3 Cho t0 ∈ R, ϕ ∈ C, ta nói x(t0, ϕ, f ) là một nghiệm củaphương trình vi phân có trễ (1.2) với hàm điều kiện ban đầu ϕ tại t0 (hoặcđơn giản, là một nghiệm đi qua điểm (t0, ϕ)) nếu

1) ∃σ > 0 sao cho x(t0, ϕ, f ) thỏa mãn (1.2) trên [t0 − h, t0 + σ);

2) xt0(t0, ϕ, f ) = ϕ.

Dưới đây là điều kiện tồn tại duy nhất nghiệm của phương trình vi phân(1.2)

Định lý 1.2 Xét phương trình vi phân (1.2) Giá sử:

i) Vơi mọi h > 0 tồn tại số δ > 0 sao cho kϕk ≤ h :

Khi đó hệ (1.2) có nghiệm duy nhất x(t, ϕ) trên R+

1.2 Bài toán ổn định

1.2.1 Bài toán ổn định hệ phương trình vi phân

Xét bài toán Cauchy sau







˙x(t) = f (t, x(t)), t ≥ 0x(t0) = x0, t0 ≥ 0,

(1.3)

trong đó x(t) ∈ Rn là trạng thái tại thời điểm t của hệ, hàm f : R+×Rn −→

Rn cho trước

Ta giả sử với các điều kiện của hàm f hệ (1.3) luôn có nghiệm duy nhấttrên toàn R+ Ta có các khái niệm về sự ổn định của hệ (1.3) như sau.Định nghĩa 1.4 Nghiệm x(t) của hệ (1.3) được gọi là ổn định nếu

∀, ∀t0 ≥ 0, ∃δ = δ(, t0) > 0 sao cho với bất kì nghiệm y(t), y(t0) = y0thỏa mãn ||y0 − x0|| < δ thì điều sau được thỏa mãn

||y(t) − x(t)|| < , ∀t ≥ t0

Từ định nghĩa ta thấy rằng, nghiệm x(t) là ổn định nếu mọi nghiệmkhác của hệ có giá trị ban đầu đủ gần với giá trị ban đầu của nghiệm x(t)thì vẫn đủ gần x(t) kể từ một khoảng thời gian t0 nào đó trở đi

Định nghĩa 1.5 Nghiệm x(t) của hệ (1.3) được gọi là ổn định tiệm cậnnếu

Ta thấy rằng, qua phép biến đổi tuyến tính

khi đó hệ (1.3) trở thành

với F (τ, 0) = 0, khi đó, với nghiệm x(t) tùy ý của hệ (1.3) sẽ trở thànhnghiệm 0 của hệ (1.4), và như vậy, tính ổn định của một nghiệm x(t) nào

đó của hệ (1.3) sẽ được đưa về nghiên cứu tính ổn định của nghiệm 0 của

hệ (1.4) Để đơn giản, ta nói nghiệm 0 của hệ (1.4) ổn định nghĩa là hệ(1.4) là ổn định Do đó, từ bây giờ, ta sẽ giả thiết hệ (1.3) luôn có nghiệm 0,tức là f (t, 0) = 0, t ∈ R+ Tới đây, ta có khái niệm ổn định đối với nghiệm

0 như sau

Định nghĩa 1.6 Hệ (1.3) được gọi là ổn định nếu ∀, ∀t0 ≥ 0, ∃δ =δ(, t0) > 0 sao cho với bất kì nghiệm x(t), x(t0) = x0 thỏa mãn ||x0|| < δthì điều sau được thỏa mãn

Ta có khái niệm về sự ổn định mũ dưới đây

Định nghĩa 1.7 Hệ (1.3) gọi là ổn định mũ nếu tồn tại M > 0 và δ > 0sao cho với bất kì nghiệm x(t), x(t0) = x0 của hệ thỏa mãn

||x(t)|| ≤ M e−α(t−t0 ), ∀t ≥ t0

Định nghĩa này cho thấy rằng, nghiệm 0 của hệ là ổn định tiệm cận vàmọi nghiệm bất kì của hệ tiến tới nghiệm 0 nhanh với tốc độ theo hàmmũ.

Ta xét một vài ví dụ đơn giản sau

Ví dụ 1.1 Xét bài toán sau trong R,







˙x(t) = ax, t ≥ 0x(t0) = x0, t0 ≥ 0

Ta thấy rằng, nghiệm của hệ này cho bởi

Dễ thấy nghiệm của hệ trên xác định bởi

thì hệ là ổn định Và nếu số µ(t0) chọn được không phụ thuộc vào t0 thì

hệ là ổn định đều Hơn nữa, nếu

Các kết quả cơ sở về tính ổn định cũng như các tiêu chuẩn ổn định của

hệ phương trình vi phân tuyến tính đã được trình bày kĩ trong phần 2 của[1, 3] Ta nhớ lại một kết quả về tiêu chuẩn ổn định của hệ tuyến tính sau,(xem [1] tr 299 -301 hoặc [2] tr 110)

Đặt K là tập tất cả các hàm số a(·) liên tục, tăng nghiêm ngặt từ R+

Sau đây ta đưa ra định nghĩa hàm Lyapunov và các kết quả về xét tính

ổn định dựa vào hàm Lyapunov cho hệ (1.6)

Định nghĩa 1.9 Hàm V (t, x) khả vi liên tục theo (t, x) và V (t, 0) =

0, ∀ t ≥ 0 gọi là hàm Lyapunov của hệ (1.6) nếu các điều kiện sau đượcthỏa mãn:

i) V (t, x) là hàm xác định dương theo nghĩa

∃a(·) ∈ K : V (t, x) ≥ a(||x||), ∀(t, x) ∈ R+× Rn;ii) Đạo hàm ˙Vf(t, x) ≤ 0 với mọi nghiệm x(t) của hệ (1.6);

Nếu hàm V (t, x) thỏa mãn thêm hai điều kiện:

iii) ∃b(·) ∈ K : V (t, x(t)) ≤ b(||x||), ∀(t, x) ∈ R+

× Rn;iv) ∃c(·) ∈ K : ˙Vf(t, x(t)) ≤ −c(||x||), với mọi nghiệm x(t) của hệ(1.6), thì ta gọi V (t, x) là hàm Lyapunov chặt

Khi đó hàm V (t, x, y) = x2 + 2y2 + 2t là hàm Lyapunov của hệ đã cho.Thật vậy, rõ ràng V (t, x, y) xác định dương, và tồn tại hàm a(t) = 2t làhàm liên tục và tăng nghiêm ngặt trên R Hơn nữa, đạo hàm theo t ta có

˙

V (t) = Vt0 + Vx0 ˙x(t) + Vy0 ˙y(t)

V (t, x1(t)) ≤ V (t0, x0), ∀t ≥ t0.

Do đó

a(1) ≤ a(||x1(t)||) ≤ V (T, x1(T )) ≤ V (t0, x0) < a(1)

2) Giả sử hệ (1.6) có hàm Lyapunov chặt, khi đó ta có

V (t, x(t)) − V (T, x(T )) ≤ −γ(b−1(a))(t − T )suy ra

−V (T, x(T )) ≤ −γ(b−1(a)), ∀t ≥ T,hay

V (T, x(T )) ≥ γ(b−1(a)), ∀t ≥ T

Cho t → +∞ suy ra điều mâu thuẫn Vậy hệ (1.6) là ổn định tiệm cận.Định lí được chứng minh

Ta có kết quả về sự ổn định mũ như sau.

Định lý 1.5 Giả sử tồn tại hàm V (t, x(t)) thỏa mãn:

Hàm Lyapunov cho hệ phương trình vi phân có trễ (1.8) được định nghĩatương tự như sau:

Định nghĩa 1.11 Hàm V (t, ϕ) : R+× C → Rn gọi là hàm Lyapunov của

hệ (1.8) nếu các điều kiện sau được thỏa mãn:

i) V (t, ϕ) là hàm khả vi liên tục theo (t, ϕ), V (t, 0) = 0;

ii) Tồn tại các hằng số α1, α2 > 0 sao cho với mọi nghiệm x(t) thỏamãn

α1kx(t)k2 ≤ V (t, xt) ≤ α2kxtk2;iii) Tồn tại hằng số α3 > 0 sao cho ˙Vf(t, xt) ≤ −α3(||xt||), với mọinghiệm x(t) của hệ (1.8), trong đó

Bổ đề 1.2 (Bất đẳng thức ma trận Cauchy) Cho N là ma trận đối xứngxác định dương Khi đó ta có

±2xTy ≤ xTN x + yTN−1y, ∀(x, y) ∈ Rn× Rn

Chương 2 Tính ổn định phương trình vi phân

có trễ

Chương này trình bày các tiêu chuẩn ổn định tiệm cận cho các hệ phươngtrình vi phân tuyến tính có trễ hằng và trễ biến thiên, hệ phương trình viphân phi tuyến có trễ hằng và biến thiên bằng phương pháp hàm Lyapunov.Các điều kiện được trình bày dưới dạng nghiệm của các bất đẳng thức matrận tuyến tính mà có thể giải được bằng các công cụ Matlab LMI toolbox[5] Nội dung chương này lấy từ các tài liệu [2, 4]

2.1 Ổn định phương trình vi phân tuyến tính có trễ

Trong mục này, giả sử A, D ∈ Mn×n(R), h dương xét hệ phương trình sau:







˙x(t) = Ax(t) + Dx(t − h),x(t) = ϕ(t), t ∈ [−h, 0)

(2.1)

Ta có một kết quả về sự ổn định tiệm cận của hệ (2.1) qua định lý sau.Định lý 2.1 Giả sử các ma trận hệ số của hệ phương trình (2.1) thỏamãn điều kiện: tồn tại các ma trận đối xứng xác định dương P > 0, Q > 0sao cho

Chứng minh Xét hàm Lyapunov cho hệ (2.1) có dạng:

V (t, xt) ≤ [λmax(P ) + hλmax(Q)].kxtk2.Hay

λ1kx(t)k2 ≤ V (t, xt) ≤ λ2kxtk2, (2.3)như vậy điều kiện i) và iii) được thỏa mãn

Để kiểm tra điều kiện ii) và iv) ta lấy đạo hàm của hàm V theo t nhưsau:

˙

Vf(t, xt) = 2hP ˙x(t), x(t)i + hQx(t), x(t)i − hQx(t − h), x(t − h)i

= h2P Ax(t), x(t)i + 2hP Dx(t − h), x(t)i + hQx(t), x(t)i

− hQx(t − h), x(t − h)i

= h(ATP + P A + Q)x(t), x(t)i + 2hP Dx(t − h), x(t)i

− hQx(t − h), x(t − h)i

Đặt biến z(t) =

x(t)x(t − h)

Ta có thể kiểm tra bất đẳng thức ma trận (2.5) có nghiệm

Vậy theo Định lý 2.1 hệ đã cho là ổn định tiệm cận

Bây giờ ta xét hệ phương trình vi phân có trễ biến thiên dạng:

0 ≤ h(t) ≤ h, ˙h(t) ≤ δ < 1, ∀t ≥ 0

(2.6)

Ta có kết quả về sự ổn định tiệm cận của hệ (2.6) qua định lý dưới đây.Định lý 2.2 Giả sử các ma trận hệ số của hệ phương trình (2.6) thỏamãn điều kiện: tồn tại các ma trận đối xứng xác định dương P > 0, Q > 0sao cho

V (t, xt) ≤ [λmax(P ) + hλmax(Q)].kxtk2.Hay

λ1kx(t)k2 ≤ V (t, xt) ≤ λ2kxtk2, (2.8)như vậy điều kiện i) và iii) trong Định nghĩa 1.9 được thỏa mãn

Ta kiểm tra điều kiện ii) và iv) trong Định nghĩa 1.9 bằng cách lấy đạohàm của hàm V theo t như sau:

˙

Vf(t, xt) = 2hP ˙x(t), x(t)i + hQx(t), x(t)i − (1 − ˙h(t))hQx(t − h(t)), x(t − h(t))i

kz(t)k2 = kx(t)k2 + kx(t + h(t))k2 ≥ kx(t)k2.nên ta có

˙

Vf(t, xt) ≤ −λkx(t)k2, t ≥ 0

Vậy các điều kiện về hàm Lyapunov chặt được thỏa mãn, do đó hàm

V (t, xt) ở trên là hàm Lyapunov chặt, theo Định lý 1.4 hệ (2.6) là ổn địnhtiệm cận

Ví dụ 2.2 Xét hệ phương trình vi phân có trễ biến thiên sau:

Vậy theo Định lý 2.2 hệ đã cho là ổn định tiệm cận.

2.2 Ổn định phương trình vi phân phi tuyến có trễ

Ta xét hệ phương trình vi phân phi tuyến có trễ hằng sau:







˙x(t) = Ax(t) + Dx(t − h) + f (x(t), x(t − h)), t ≥ 0,x(t) = ϕ(t), t ∈ [−h, 0),

Chứng minh Ta chứng minh định lý trên bằng cách lấy hàm Lyapunov códạng sau:

Ta kiểm tra điều kiện iv) như sau

Lấy đạo hàm theo t của hàm V ta có:

˙

Vf(t, xt) = 2hP ˙x(t), x(t)i + hQx(t), x(t)i − hQx(t − h), x(t − h)i

= h2P Ax(t), x(t)i + 2hP Dx(t − h), x(t)i + 2hP f (x(t), x(t − h), x(t)i+ hQx(t), x(t)i − hQx(t − h), x(t − h)i

≤ h(ATP + P A + Q)x(t), x(t)i + 2hP Dx(t − h), x(t)i

− hQx(t − h), x(t − h)i + 2hP f (x(t), x(t − h), x(t)i+ αxTx + βxThxh− fT(·)f (·)

trong đó xh = x(t − h), vì theo điều kiện (2.12) ta có:

hay

˙

Vf(t, xt) ≤ zT(t)M z(t) < 0

Do đó tồn tại λ > 0 sao cho

˙

Vf(t, xt) ≤ −λkz(t)k2, λ = λmin(M ),

và do

kz(t)k2 = kx(t)k2 + kx(t − h)k2 + kf (x(t), x(t − h))k2 ≥ kx(t)k2.Như vậy

đó ta có thể chọn α = 1, β = 2 Ta chứng tỏ điều kiện (2.13) trong Định

lý 2.3 được thỏa mãn Thật vậy, điều kiện (2.13) tương đương với

ATP + P A + αI + Q + P D(βI − Q)−1DTP + P2 < 0 (2.15)Phương trình ma trận (2.15) có các nghiệm P > 0, Q > 0 :

Tiếp theo ta xét hệ phương trình vi phân phi tuyến có trễ biến thiênsau:

Lấy đaọ hàm theo t của hàm V ta có:

Như vậy

˙

Vf(t, xt) ≤ −λkx(t)k2.Vậy điều kiện ii) của Định lý 1.4 được thỏa mãn, hay hệ (2.11) là ổn địnhtiệm cận

Ví dụ 2.4 Xét hệ phương trình vi phân phi tuyến có trễ biến thiên sau:

do đó ta có thể chọn α = 1, β = 2 Ta kiểm tra điều kiện (2.17) trong Định

lý 2.4 được thỏa mãn Thật vậy, điều kiện (2.17) tương đương với

Kết luận

Luận văn đã trình bày được một số vấn đề sau đây:

1 Trình bày bài toán ổn định của phương trình vi phân thường, hệphương trình vi phân có trễ tuyến tính và phi tuyến, phương pháphàm Lyapunov của hệ phương trình vi phân thường, phương trình viphân có trễ;

2 Giới thiệu một số tiêu chuẩn cơ sở về tính ổn định của hệ phươngtrình vi phân có trễ hằng và có trễ biến thiên, mỗi lớp phương trìnhđều có tính toán ví dụ cụ thể