Luận văn phương pháp hàm lyapunov giải bài toán ổn định hệ phương trình vi phân có thể

Vũ Ngọc Phát, luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài “Phương pháp hàm Lyapunov giải bài toán ổn định hệ phương trình vi phân có trễ” được hoàn thành bởi nhận thức của bả

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM

Lời cảm ơn

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS TSKH Vũ Ngọc Phát, người

đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tôi có thể hoànthành luận văn này

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng sau đại học, cácthầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học

Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập

Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình,bạn bè đã luôn động viên, cố vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôitrong quá trình học tập và hoàn thành luận văn

Hà Nội, tháng 11 năm 2014 Tác giả

Nguyễn Thị Lanh

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của GS TSKH Vũ Ngọc Phát,

luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài “Phương pháp hàm Lyapunov giải bài toán ổn định hệ phương trình vi phân có trễ” được hoàn thành bởi nhận thức của bản thân tác giả.

Trong quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừanhững thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.

Hà Nội, tháng 11 năm 2014 Tác giả

Nguyễn Thị Lanh

8

.8

16

17

1 9

1926

3 4 3 5

Bài toán ổn định hệ phương trình vi phân

Bài toán ỗn định hệ phương trình vi phân có trễ

liên tục trên đoạn [a, &]; c1 [a, 6] không gian các

khả vi liên tục tới cấp 1 trên đoạn [a, b]\

c = C([a, 6], Rn) không gian các hàm nhận giá trị

thực trong liên tục trên đoạn [a, b]; A T ma trận chuyển vị của ma trận A\

A(^4) tập tất cả các giá trị riêng của A;

^min(^) phần thực nhỏ nhất giá trị riêng của A

tế, và đòi hỏi phải sử dụng các lý thuyết và công cụ toán học hiện đại trong một

số lĩnh vực như giải tích, phương trình vi tích phân, giải tích hàm, giải tích đa trị,

lý thuyết ma trận, giải tích phổ các toán tử, thuật toán số giải các phương trìnhđiều khiển và giải các bài toán tối ưu Vấn đề nghiên cứu các tính ổn định bằngphương pháp hàm Lyapunov vẫn được quan tâm nghiên cứu và nhận được nhiềukết quả lý thú và sâu sắc

Vì sự hữu hiệu và quan trọng của phương pháp hàm Lyapunov giải bài toán

ổn định phương trình vi phân có trễ, tôi đã chọn được đề tài: “Phương pháp hàm Lyapunov giải bài toán ổn định hệ phương trình vi phân có trễ” để

hoàn thành luận văn tốt nghiệp chương trình bậc đào tạo Thạc sĩ Toán học củamình

Luận văn được cấu trúc thành 02 chương Chương 1 được dành để đưa ra một

số kiến thức cơ bản về lý thuyết ổn định hệ phương trình vi phân Trong chương

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Tìm hiểu cơ sở lý thuyết, phương pháp hàm Lyapunov giải bài toán ổnđịnh phương trình vi phân có trễ

- Phương pháp hàm Lyapunov và các điều kiện cần và đủ giải bài toán ổnđịnh phương trình vi phân có trễ

4 Phương pháp nghiền cứu

- Đọc sách, nghiên cứu tài liệu, tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục đíchnghiên cứu

- Lý thuyết phương trình vi phân, lý thuyết ổn định

- Phương pháp đại số tuyến tính, lý thuyết ma trận

5 Đóng góp của đề tài

Trình bày một cách hệ thống khoa học về bài toán ổn định phương trình vi phân

có trễ: Phương pháp và kết quả cơ sở về bài toán ổn định

Khi đó Mn là không gian Banach, nếu ta trang bị tích vô hướng

Chương 1

Cơ sở toán học

Trong chương này, chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ sở chuẩn bị dùng cho cácphần sau Trước tiên, chúng tôi giới thiệu một số không gian hàm, các khái niệm liênquan tới hệ phương trình vi phân thường và có trễ, tiếp theo chúng tôi trình bày bàitoán ổn định của hệ phương trình vi phân, mục cuối chúng tôi giới thiệu phương pháphàm Lyapunov là một trong những công cụ hữu hiệu để xét tính ổn định của hệphương trình vi phân Nội dung chương này được lấy từ các tài liệu pp, EỊ 0]

Khi đó C[a,b] là một không gian Banach thực.

d) Xét không gian ơ^a, 6] gồm tất cả các hàm số giá trị thực xác định và khả viliên tục trên đoạn [a, 6], (—oo < a < b < +oo) Với chuẩn

||a;|| = sup |a;(í)| + sup Ịa:7(í)I

Khi đó c1 [a, 6] cũng là một không gian Banach thực

Ta cũng cần nhớ lại khái niệm một ma trận xác định dương hoặc xác định âm dướiđây

Định nghĩa 1.1 Ma trận M € M n x m ( M ) gọi là xác định dương nếu

/(í,x) : I X D —» R n , D = {x G M n: ||x — a^oll <

a}-Ta nhắc lại định lí về sự tồn tại duy nhất nghiệm của hệ (1.1) như sau

Định lý 1.1 (Picard-Linderloff) Giả sứ hàm f(t,x ) liên tục theo biến t

và thỏa mẫn điều kiện Lipschitz theo X , tức là,

Ax(t) + Dx(t — h),

t Ax(t) + Ị Dx(s)ds, t

11^11= sup ||a;(í + s)|| se[—/1,0]

Khi đó, hàm X ị thuộc không gian c và gọi là đoạn quỹ đạo trên đoạn [t

Ta có các khái niệm về nghiệm của phương trình (1.2) như sau

Đ ị n h n g h ĩ a 1 3 Cho t 0 € € c, ta nói x(t 0 ,ip,f ) là một nghiệm của phương trình vi phẫn có trễ ( 1 2 ) với hàm điều kiện ban đầu <f tại t 0

(hoặc đơn giản, là một nghiệm đi qua điểm (to,ự>)) nếu

1) 3ơ > 0 sao cho x(t 0 , (p, / ) thỏa mãn ( L 2 ) trên [t 0 — h : t 0 + ơ);

(1.3 )

ii) f(t , <p) liên tục theo t G M + và thỏa mẫn điều kiện

Lipschitz theo <p : v/i > 0 , 3/3 > 0 :

ll/(^i) - /(*,¥>2)11 < p\№\ - ^2II, € c, IM < h,i = 1,2;

iii) \\f(t, < ^ ) | | < 7(11^11), (t, ụ>) ẽ M + X c trong đó hàm 7 ( r ) > 0 liên

tục, không giảm thỏa mãn điều kiện

1.2.1 Bài toán ổn định hệ phương trình vi phân

Xét bài toán Cauchy sau

(1.3 )

x(tQ) = xữ, tQ > 0 ,

trong đó x(t) G Rn

là trạng thái tại thời điểm t của hệ, hàm / : R + X IRn —» M n cho trước.

Ta giả sử với các điều kiện của hàm / hệ (1.3) luôn có nghiệm duy nhất

trên toàn M+ Ta có các khái niệm về sự ổn định của hệ (1.3) như sau

Định nghĩa 1.4 Nghiệm x(t ) của hệ ( 1 3 ) được gọi ỉà ổn định nếu

V e , V t 0 > 0 , 3 Ổ = ô(e,t ữ ) > 0 sao cho với bất kì nghiệm y{t),y(t 0 )

= y 0 thỏa mẫn \\y 0 — a : 0 | | < ổ thì điều sau được thỏa mãn

\ \ y ( t ) - x { t ) \ \ < e , ' i t > t Q

Từ định nghĩa ta thấy rằng, nghiệm x(t) là ổn định nếu mọi nghiệm khác của hệ

từ một khoảng thời gian t ữ nào đó trở đi

Định nghĩa 1.5 Nghiệm x(t ) của hệ ( 1 3 ) được gọi ỉà ổn định tiệm cận nếu

1) nghiệm x(t ) ỉà ổn định;

2) 30 > 0 sao cho Ị|í/o — ^oll < <5 thì

l i m \\y{t) - x{t)\ \ = 0

í-» + ocNhư vậy, nghiệm của hệ (1.3) là ổn định tiệm cận nếu nó ổn định và với nghiệm

y{t) bất kì mà có giá trị ban đầu y ữ gần với giá trị ban đầu x ữ thì khi thời gian t —»•+oo nghiệm y(t) sẽ dần tới nghiệm x(t).

Ta thấy rằng, qua phép biến đổi tuyến tính

X — y I—^ z

T — Ì Q I— Y T,

khi đó hệ (1.3) trở thành

\ x

1 0

i ( r ) = F( T , Z ),

với F(t, 0) = 0, khi đó, với nghiệm x(t) tùy ý của hệ (1.3) sẽ trở thành

nghiệm 0 của hệ (1.4), và như vậy, tính ổn định của một nghiệm x(t) nào đó của hệ(1.3) sẽ được đưa về nghiên cứu tính ổn định của nghiệm 0 của

hệ (1.4) Để đơn giản, ta nói nghiệm 0 của hệ (1.4) ốn định nghĩa là hệ

(1.4) là ổn định Do đó, từ bây giờ, ta sẽ giả thiết hệ (1.3) luôn có nghiệm 0, tức là

f(t, 0) = 0, t e M+ Tới đây, ta có khái niệm ổn định đối với nghiệm

1 như sau

Đ ị n h n g h ĩ a 1 6 Hệ ( L 3 ) được gọi là ổn định nếu V e , V í 0 > 0 ,

3 Ố = ỗ(e,t ữ ) > 0 sao cho với bất kì nghiệm x(t),x(t 0 ) = x ữ thỏa mãn

11 ^ 0 I I < ^ thì điều sau được thỏa mãn

Ta có khái niệm về sự ổn định mũ dưới đây

Đ ị n h n g h ĩ a 1 7 Hệ ( 1 3 ) gọi ỉà ổn định mũ nếu tồn tại M > 0

và ỗ > 0

sao cho với bất kì nghiệm x(t),x(t ữ ) = x 0 của hệ thỏa mãn

{t)\\< Me- a { t ~ t ữ \ V í > t 0

1 1

Định nghĩa này cho thấy rằng, nghiệm 0 của hệ là ổn định tiệm cận và mọi nghiệmbất kì của hệ tiến tới nghiệm 0 nhanh với tốc độ theo hàm mũ

Ta xét một vài ví dụ đơn giản sau

V í d ụ 1 1 Xét bài toán sau trong K ,

trong đó a là hàm số liên tục từ M + vào M

ÍDễ thấy nghiệm của hệ trên xác định bởi

1 2

Các kết quả cơ sở về tính ổn định cũng như các tiêu chuẩn ổn định của hệ phươngtrình vi phân tuyến tính đã được trình bày kĩ trong phần 2 của Щ [3] Ta nhớ lại mộtkết quả về tiêu chuẩn ổn định của hệ tuyến tính sau, (xem [TJ tr 299 -301 hoặc [2] tr.110)

Đặt К là tập tất cả các hàm số a(-) liên tục, tăng nghiêm ngặt từ M+ vào M+ vàthỏa mãn a(0) = 0

Sau đây ta đưa ra định nghĩa hàm Lyapunov và các kết quả về xét tính

ốn định dựa vào hàm Lyapunov cho hệ (1.6)

1 3

Đ ị n h n g h ĩ a 1 9 Hàm V(t,x) khả vi ỉỉên tục theo (t,x) và V(t, 0 ) =

1, V í > 0 gọi là hàm Lyapunov của hệ ( 1 6 ) nếu các điều kiện sau được thỏa mẫn:

ỉ) V(t,x) là hàm xác định dương theo nghĩa

Ela(-) G K : V{t,x) > o(||x||), V(í,z) <E M+ X Mn;

ỉỉ) Đạo hàm Vf(t,x ) < 0 với mọi nghiệm x(t ) của hệ ( 1 6 ) ;

Nếu hàm V ( t , X ) thỏa mãn thêm hai điều kiện:

1 4

2) Neu he ( 1 6 ) co ham Lyapunov chat thi he do la on dinh tiem can.

ChUng minh. 1) Gia sil trai lai he (1.6) khong on dinh, khi do ton tai cac so €i >0,to > 0 va v<3i mQi <5 > 0 ton tai nghiem x 1 (t) ma x 1 (t0) = x 0 va mot so T > t 0 saocho

llxoll < S =► ||a;i(T)|| > €i.

Lay 5 > 0 du nho sao cho V^O) C D. Theo gia thiet ham V la ham Lyapunov cua henen V(t Q , •) lien tuc va V(t 0 ,0) = 0, do do ta co the chon x 0 e Vj(0) sao cho

o(ei) < a(ll®i(*)ll) < V(T,Xi(T)) < V(t 0 ,x0) < o(ei)

day la dieu vo li Vay he (1.6) la on dinh

2) Giả sử hệ (1.6) có hàm Lyapunov chặt, khi đó ta có

1 5

1 6

Ta có kết quả về sự ổn định mũ như sau

Định lý 1.5 Giả sử tồn tại hàm Vịt, xịt)) thỏa mãn:

i) 3Ai > 0,A2 > 0 : Ai||a;(t)||2 < V(t,x(t)) < A2||a:(í)||2, €

Tương tự như đối với hệ phương trình vi phân thường (1.3) ta cũng có các

khái niệm tương tự về tính ổn định, ổn định tiệm cận, ổn định mũ cho hệ

\ M T - Q ) < 0 & p + M Q ~ l M T < 0.

1 7

Hàm Lyapunov cho hệ phương trình vi phân có trễ (1.8) được định nghĩa tương

nghiệm x(t ) của hệ ( 1 8 ) , trong đó

( p M ^

Bổ đề 1.2 ( B ấ t đ ẳ n g t h ứ c m a t r ậ n C a u c h y ) Cho N ỉà ma

trận đối xứng xác định dương Khi đó ta có

1 8

2.1 Ôn định phương trình vi phân tuyến tính có trễ

Trong mục này, giả sử A, D € Mnxn(IR), h dương xét hệ phương trình sau:

x(t ) = Ax(t ) + Dx(t — h),

(2.1)

Ta có một kết quả về sự ổn định tiệm cận của hệ (2.1) qua định lý sau

Định lý 2.1 Giả sử các ma trận hệ số của hệ phương trình fl2.ip thỏa mãn điều kiện: tồn tại các ma trận đối xứng xác định dương p > 0 , Q

> 0 sao cho

ỊA T P + PA + Q P D \

V D T P - Q ) Khi đó hệ ( 2 1 ) là ổn định tiệm cận.

í

1 9

Hơn nữa, do ||a;(í)||2 < llxíll2 nên ta có

V(t,x t ) < [Amax(P) + ^Amax(Q)].||a:t||2

Hay

Ai||x(í)||2 < v^,^) < A2||a:í||2, (2.3)như vậy điều kiện i) và iii) được thỏa mãn

Để kiểm tra điều kiện ii) và iv) ta lấy đạo hàm của hàm V theo t như sau:

Đặt biến z(t)

ỉ(t )

do ||z(t)||2 > ||x(í)||2 nên ta có

Vf(t,x t ) <-Ằ\\x(t)\\ 2 , V í > 0

Vậy các điều kiện của Định nghĩa |l.9| được

thỏa mãn, do đó theo Định lý1.4 hệ (2.1) là ổn định tiệm cận

Ví dụ 2.1 Xét hệ phương trình vi phân

có trễ dạng:

Xị (t) = —Sxi(t) + X\(t

— 2 ) , t > 0 , X2{t)

= - 5 x 2 {t) + 2 x 2 {t -

2 ) , ở đăy h — 2

Ta thấy các ma trận

Ta chứng tỏ điều kiện (2.2) trong Định lý 2.1

được thỏa mãn Thật vậy,

điều kiện (2.2) tương đương với 3P, Q sao cho

Ấ r P + PA + Q + PDQ~ 1 D T P < 0

Ta có kết quả về sự ổn định tiệm cận của hệ (2.6) qua định lý dưới đây.

Định lý 2.2 Giả sử các ma trận hệ số của hệ phương trình (Ị2.6Ị) thỏa

mẫn điều kiện: tồn tại các ma trận đối xứng xác định dương p > 0, Q >

0 sao cho

D T P -(1 -Ổ)QJ

V f ( t , x t ) = 2( P x ( t ) , x ( t ) ) + ( Q x ( t ) , x ( t ) ) - (1 - h ( t ) ) { Q x ( t -

h ( t ) ) , x ( t

-2 4

Hơn nữa, do ||a;(í)||2 < ||x(í)||2 nên ta có

V(t,x t ) < [Amax(P) +/iAmax(Q)].|Ịxí|

Hay

Ai||rr(í)||2 < V{t,x t ) < A2ll^íII 2 , (2.8)như vậy điều kiện i) và iii) trong Định nghĩa |l.9| được thỏa mãn

Ta kiểm tra điều kiện ii) và iv) trong Định nghĩa 1.9 bằng cách lấy đạo hàm của hàm V theo t như sau:

Do —(1 — h(t)) < —(1 — ố) nên ta có

Vf(t, X ị ) < ( 2 PAx(t), x(t ) ) + 2 (PDx(t — h(t)),x(t)} +

(Qx(t),x(t)}

(2.9 )

2 5

Vậy các điều kiện về hàm Lyapunov chặt được thỏa mãn, do đó hàm

V ( t , X ị) ở trên là hàm Lyapunov chặt, theo Định lý 1.4 hệ (2.6) là ổn định tiệm

(2.9 )

2 6

P£> =

D T P =

(2.12)(2.11)

2 7

Vậy theo Định lý |2.2| hệ đã cho là ổn định tiệm cận

2.2 Ôn định phương trình vi phân phi tuyến có trễ

Ta xét hệ phương trình vi phân phi tuyến có trễ hằng sau:

Ta có kết quả về sự ổn định tiệm cận của hệ (2.11) qua định lý dưới đây

Định lý 2.3 Giả sử các ma trận hệ số của hệ phương trình ( | 2 1 l Ị )

thỏa

mãn điều kiện: tồn tại các ma trận đối xứng xác định dương p > 0 ,

Q > 0 sao cho bất đẳng thức ma trận tuyến tính

Đặt z(t) = ta có

(2.9 )

2 8

Ta kiểm tra điều kiện iv) như sau

Lấy đạo hàm theo t của hàm V ta có:

Vf(t, X ị ) = 2 (Px(t), xịt ) ) 4 - ( Qx(t ) , xịt ) ) — ( Qx(t — h ) , x(t

— h ) )

= (2PAx(t), x(t)) + 2(PDx(t — h), x(t)) + 2(Pf(x(t),x(t — /i), x{t)) + (Qx(í), x(í)) - (Qx(í - /i), x(í - h))

(2.9 )

2

9

(2.14)

(2.15 )

2 8

Do đó tồn tại A > 0 sao cho

Vậy điều kiện ii) của Định lý 1.4|

được thỏa mãn, hay hệ (2.11) là

ổn địnhtiệm cận

V í d ụ 2 3 Xét hệ

phươ

ng trình

vi phân phi tuyến

có trễ hằng sau:

A =

2 9

p =

Ta kiểm tra điều kiện iv) như sau.

3 0

lý 2.3 được thỏa mãn Thật vậy,

điều kiện (2.13) tương đương với

Tiếp theo ta xét hệ phương trình vi phân phi tuyến có trễ biến thiên sau:

0 < h{t) < h, h{t) < ố < 1 Ví > 0.

trong đó

\\f{x,y)\\ 2 < a\\x\\ 2 + /3\\y\\ 2 , V(x,y) E l "x R n

Ta có kết quả về sự ổn định tiệm cận của hệ (2.16) qua định lý dưới đây

Định lý 2.4 Giả sử các ma trận hệ số của hệ phương trình (Ị2.16D thỏa

mãn điều kiện: tồn tại các ma trận đối xứng xác định dương p > 0, Q >

0 sao cho bất đẳng thức ma trận tuyến tính

Vf{t,xt) < -AỊ|z(í)||2.Vậy điều kiện ii) của Định lý 1.4 được thỏa mãn, hay hệ (2.11) là ổn định tiệm

do đó ta có thể chọn a = 1, Ị3 = 2 Ta kiểm tra điều kiện (2.17) trong Định

lý 2.4 được thỏa mãn Thật vậy, điều kiện (2.17) tương đương với

Kết luận

Luận văn đã trình bày được một số vấn đề sau đây:

1 Trình bày bài toán ổn định của phương trình vi phân thường, hệ phươngtrình vi phân có trễ tuyến tính và phi tuyến, phương pháp hàm Lyapunovcủa hệ phương trình vi phân thường, phương trình vi phân có trễ;

2 Giới thiệu một số tiêu chuẩn cơ sở về tính ổn định của hệ phương trình viphân có trễ hằng và có trễ biến thiên, mỗi lớp phương trình đều có tính toán

ví dụ cụ thể