Luận văn phương pháp hàm lyapunov giải bài toán ổn định hệ phương trình vi phân có thể

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN THỊ LANH PHƯƠNG PHÁP HÀM LYAPUNOV GIẢI BÀI TOÁN ỔN ĐỊNH HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CÓ TRẺ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán Giải Tích Mã số : 60 46 01 02 Người hướng dẫn khoa học GS. TSKH. Vũ Ngọc Phát Hà Nội, 2014 Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS. TSKH. Vũ Ngọc Phát, người định hướng chọn đề tài tận tình hướng dẫn để hoàn thành luận văn này. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng sau đại học, thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học Sư phạm Hà Nội giúp đỡ suốt trình học tập. Nhân dịp xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè động viên, cố vũ, tạo điều kiện thuận lợi cho trình học tập hoàn thành luận văn. Hà Nội, tháng 11 năm 2014 Tác giả Nguyễn Thị Lanh Lời cam đoan Tôi xin cam đoan, hướng dẫn GS. TSKH. Vũ Ngọc Phát, luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài “Phương pháp hàm Lyapunov giải toán ổn định hệ phương trình vi phân có trễ” hoàn thành nhận thức thân tác giả. Trong trình nghiên cứu thực luận văn, tác giả kế thừa thành tựu nhà khoa học với trân trọng biết ơn. Hà Nội, tháng 11 năm 2014 Tác giả Nguyễn Thị Lanh Danh mục ký hiệu Mục lục Mở đầu Cơ sở toán học Chương 1. 4 1.1. Phương trình vi phân 1.1.1. 1.1.2. Phương trình vi phân thường Phương trình vi phân có trễ Bài toán 1. ổn định . Bài toán1ổn định hệ phương trình vi phân .2 . . Bài toán ỗn định hệ phương trình vi phân có trễ . Một 1. số bổ đề bổ trợ Tính ổn định Chương 2. phương trình vi phân có trễ On định 2. phương trình vi phân tuyến tính có trê Ôn định phương trình vi phân phi tuyến có trễ ọ Kết luận Tài liệu tham khảo Danh mục ký hiệu M trường số thực; R+ tập số thực không âm; Rn không gian Euclide N chiều trường số thực; D lân cận mở Rn; Mnxm(M) không gian ma trận hệ số thực cỡ n X m; CỊA, 6] không gian hàm nhận giá trị thực liên tục đoạn [a, &]; C [a, 6]không gian hàm nhận giá trị thực khả vi liên tục tới cấp đoạn [A, B]\ C = C([A, 6], Rn) không gian hàm nhận giá trị thực liên tục đoạn [a, B ]; A T chuyển vị ma trận A\ I ma trận đơn vị; A(^4) tập tất giá trị riêng A; ma trận ^min(^) phần thực nhỏ giá trị riêng A Mở đầu 1. Lí chọn đề tài Bài toán ổn định hệ phương trình vi phân có nhiều ý nghĩa thực tiễn lý thuyết có nhiều ứng dụng quan trọng giải toán xuất phát từ thực tế, đòi hỏi phải sử dụng lý thuyết công cụ toán học đại số lĩnh vực giải tích, phương trình vi tích phân, giải tích hàm, giải tích đa trị, lý thuyết ma trận, giải tích phổ toán tử, thuật toán số giải phương trình điều khiển giải toán tối ưu . .Vấn đề nghiên cứu tính ổn định phương pháp hàm Lyapunov quan tâm nghiên cứu nhận nhiều kết lý thú sâu sắc. Vì hữu hiệu quan trọng phương pháp hàm Lyapunov giải toán ổn định phương trình vi phân có trễ, chọn đề tài: “Phương pháp hàm Lyapunov giải toán ổn định hệ phương trình vi phân có trễ” để hoàn thành luận văn tốt nghiệp chương trình bậc đào tạo Thạc sĩ Toán học mình. Luận văn cấu trúc thành 02 chương. Chương dành để đưa số kiến thức lý thuyết ổn định hệ phương trình vi phân. Trong chương luận văn, trình bày phương pháp hàm Lyapunov áp dụng vào xét tính ổn định số lớp hệ phương trình vi phân có trễ. 2. Mục đích vi nghiên cứu - Giới thiệu phương pháp hàm Lyapunov ứng dụng giải toán ổn định phương trình vi phân có trễ. 3. Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Tìm hiểu sở lý thuyết, phương pháp hàm Lyapunov giải toán ổn định phương trình vi phân có trễ. - Phương pháp hàm Lyapunov điều kiện cần đủ giải toán ổn định phương trình vi phân có trễ. 4. Phương pháp nghiền cứu - Đọc sách, nghiên cứu tài liệu, tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục đích nghiên cứu. - Lý thuyết phương trình vi phân, lý thuyết ổn định. - Phương pháp đại số tuyến tính, lý thuyết ma trận. 5. Đóng góp đề tài Trình bày cách hệ thống khoa học toán ổn định phương trình vi phân có trễ: Phương pháp kết sở toán ổn định. Chương Cơ sở toán học Trong chương này, trình bày số kiến thức sở chuẩn bị dùng cho phần sau. Trước tiên, giới thiệu số không gian hàm, khái niệm liên quan tới hệ phương trình vi phân thường có trễ, trình bày toán ổn định hệ phương trình vi phân, mục cuối giới thiệu phương pháp hàm Lyapunov công cụ hữu hiệu để xét tính ổn định hệ phương trình vi phân. Nội dung chương lấy từ tài liệu pp, EỊ 0]. 1.1. Phương trình vi phân 1.1.1. Phương trình vi phân thường • Một số không gian hàm a) Không gian IRn Không gian tuyến tính thực Rn với chuẩn Khi Mn không gian Banach, ta trang bị tích vô hướng Mn trở thành không gian Hilbert. b) Không gian Mnxm gồm tất ma trận A = (ữjj), < Ỉ < N, < J < M cỡ N X M, dịj số thực. Chuẩn ma trận A xác định / N 771 \ PII= EẼK-I2 Vi=i J = 1/ / c) Xét không gian C[A, B] gồm tất hàm số giá trị thực xác định liên tục đoạn [a, 6], (—oo < A < B < +oo). Với chuẩn ||:c|| = sup |rc(í)I. [a,6] Khi C[A,B] không gian Banach thực. d) Xét không gian ơ^a, 6] gồm tất hàm số giá trị thực xác định khả vi liên tục đoạn [a, 6], (—oo < A < B < +oo). Với chuẩn ||a;|| = sup |a;(í)| + sup Ịa:7(í)I. [a,ò] [0,6] Khi C [a, 6] không gian Banach thực. Ta cần nhớ lại khái niệm ma trận xác định dương xác định âm đây. Định nghĩa 1.1. Ma trận M € M n x m ( M ) gọi xác định dương (MX , X) >0, \/X Ỷ 0- Điều kiện tương đương với 3C>0: (Mx,x) > C\\x\\ ,Vx G M n . Ma trận M G M n x m ( M ) gọi xác định ăm (MX , X) 0: (Mx,x) < -C\\x\\ ,Vx € R " . • Xét phương trình vi phân ±{t) = f(t , x(t)), t e I = [t ữ - d,t + đị (1.1 x(t 0) = x , X e Mn,í0 > 0, /(í,x) : I X D —» Rn, D = {x G Mn : ||x — a^oll < a}- Ta nhắc lại định lí tồn nghiệm hệ (1.1) sau. Định lý 1.1. (Picard-Linderloff) Giả sứ hàm f(t,x ) liên tục theo biến t thỏa mẫn điều kiện Lipschitz theo X , tức là, 3L> : ||/(í,£i) - f{t,x 2)|| < Lịịxị - x \\, Vxi,a:2 e D,\/t > 0. Khi hệ ( . ) có nghiệm đoạn [to — d, to + đ\, d > ( t ữ ,x ) e I X D. 1.1.2. Phương trình vi phân có trễ Trong mục ta giả sử H số thực không âm, kí hiệu c = ơ([—H, 0], Rn) = {ÍP : [ — H, 0] —» Rn liên tục} với chuẩn hàm if G c IMI c= sup ||^(í)||. Khỉ hệ ( . ) ổn định tiệm cận. CHỨNG MINH. Ta lấy hàm Lyapunov: í V(t, x t ) = (Px(t),x(t)) + Ị (Qx(s),x(s)}di t—h(t) Ta kiểm tra điều kiện ii) Định lý 1.4 ổn định hệ (2.6) Theo giả thiết P > 0, Q > nên ta có V(t,x t ) > {Px(t),x(t)) > Amin(P)||x(í)||2 < H(T ) < H nên V(t,x t ) < Amax(P)||x(í)||2 + J Amax(Q)||x(s)||2á5 t—h(t) < Amax(P)||x(í)||2 + \ M & X(Q)H(T)\\X T \\ < Amax(-P)||z(í ) | | + K&x(Q)h\\xt\\2 Hơn nữa, ||a;(í)||2 < ||x(í)||2 nên ta có V( T,X T ) < [Amax(P) +/iAmax(Q)].|Ịxí| Hay Ai||rr(í)||2 < V{T,X T ) < A2ll^íII 2, (2.8) điều kiện i) iii) Định nghĩa |l.9| thỏa mãn. Ta kiểm tra điều kiện ii) iv) Định nghĩa 1.9 cách lấy đạo hàm hàm V theo T sau: Do —(1 — H(T )) < —(1 — ố) nên ta có Vf(t, X ị ) < ( PAx(t), x(t ) ) + (Qx(t),x(t)} (PDx(t — h(t)),x(t)} + — ( — h(t)){Qx(t — h(t)),x(t — h(t ) ) < ({A T P + PA + Q)X(T), X(T )) 4- 2(PDX(T — /i(í)), x(í)) — (1 — 5)(Qæ(î — /i(i)), X(T — H(T))}. Đặt Z(T ) = Ị í x {ì) ^ \x{t-h(t))J ta có rp (A T P + PA + Q T Ỳ(t,x(t)) = z (t)[ ^ \ D T P ( -6)QJ PD \ z{t) = {Mz(t),z(t)). Do V f ( t , x t) < ( M z ( t ) , z ( t )) < —AỊỊ^(í)|| . Hơn nữa, II^(í)||2 > ||x(í)||2 ыт = ыт + ы*+ьт\ >ыт nên ta có Vf(t,x t ) < —X\\x(t)\\ ,t > . Vậy điều kiện hàm Lyapunov chặt thỏa mãn, hàm V ( t , X ị ) hàm Lyapunov chặt, theo Định lý 1.4 hệ (2.6) ổn định tiệm cận. □ V í d ụ . . Xét hệ phương trình vi phẫn có trễ biến thiên sau: Xị = — lOrci + 3xi(t — \t — 1) ±2 = - ж + x { t — \ t — 1), h(t) = -t + 1. Щ) = < ỏ < 1. Ma trận A, D tươngVới ứng ỏ = ị hệ ta Q có -t r r+PAtet r L n ọ -, ũ r r < ữ (1W) Ta kiểm tra đưỢc fõõ]) cô nghiệm я > 0, ọ > : p = ị2 ' n- °ì I ( °\ Q = í 1° V l o ; - Thật vậy, ta có: =( 10 ì A °ì _ l о -V 1° V V -4 Và Л4 = f °) \0 f- 10 J\ ° DTP = ũ ì /-20 о \ -t) - [ _4J Ta tính -L^PDQ-WP' ta C6 P£> = ị ~ 20 / 20 -2 < 0. Với ỏ = ị ta có -2 Vậy theo Định lý |2.2| hệ cho ổn định tiệm cận. 2.2. _1 T -1 T ——iPDQ D P = 2PDQ D p = 1- Ôn định phương trình vi phân phi tuyến có trễ Do (2.10) trở thành Ta xét hệ phương trình vi phân phi tuyến có trễ sau: x(t) = Ax(t ) + Dx(t — h) + f(x(t), x(t — h)), t (2 .11 > 0, x{t) = (p{t),te[-h,Q), hàm / : Rn X C —¥ Mn thỏa mãn điều kiện 3A > 0, /3 > 0, V(x, Y ) G r X K" : \\f( x ,y)r , Q > cho bất đẳng thức ma trận tuyến tính ( DTP A T P + PA + aI + Q PD PI-Q p -I) Khi hệ ( . 1 ) ổn định tiệm cận. M = V (2.12 / 36 '04, CHỨNG MINH. Ta chứng minh định lý cách lấy hàm Với ỏ = ị ta Lyapunov có dạng sau: có í V(t,x t ) = (Px(t),x(t)) + Ị (Qx(s),x(s))ds. t—h Theo chứng minh Định lý 2.1 điều kiện iii) Định nghĩa 1.9 thỏa mãn. Ta kiểm tra điều kiện iv) sau. Lấy đạo hàm theo T hàm V ta có: Vf(t, X ị ) = (Px(t), xịt ) ) - ( Qx(t ) , xịt ) ) — ( Qx(t — h ) , x(t — h ) ) = (2PAX(T ), X(T )) + 2(PDX(T — H), X(T )) + 2(PF(X(T),X(T — /i), X{T )) + (Qx(í), x(í)) - (Qx(í - /i), x(í - H)) < ((A T P + PA + Q)x(t ) , x(t)} + {PDx(t — h), x(t ) ) — (Qx(t — /i), x(t — /ỉ,)) + {Pf(x(t),x(t — h),x(t )) + ax T x + Px T h x h - f T {■)/{■) Xh = a?(í — /i), theo điều kiện (2.12) ta có: -F T F + axra; + PXỊX H > 0. ( x Đặt Z(T ) = {t) ^ /(■) ) x(t — h) ta f T Vf{t,x t ) < z (t ) + PA + + Q PA ATP pi-Q p Vf(t,x t) < Z (t)Mz(t) < 0. 27 T p} Z(T ) < -I) Với ỏ = ị ta có Do tồn A > cho v f ạ,x t ) \\x(t)r. Như Ỷ f { t , x t ) < - X \ \ x ( t ) \ \ , t > 0. Vậy điều kiện ii) Định lý 1.4| thỏa mãn, hay hệ (2.11) ổn định tiệm cận. V í d ụ . . Xét hệ phươ ng trình vi phân phi tuyến có trễ □ sau: Xi = (2.14 —3xi + Xị(t — 3) + x\{t ) + xỊ(t — 3) X2 = —LLX + 3x (t - 3) + xị(t) + xị(t - 3), đẫy h = . Ma trận A, D tương ứng hệ (Ị2.14) í- "l vầD= -njvà^l0 3j- ( A l °ì U Hàm —H)) = X (T ) + X (T — H) < l.||a:(í)||2 + 2.||x(í — H) ||2, ta chọn A = L,JD = 2. Ta chứng tỏ điều kiện (2.13) Định lý 2.3 thỏa mãn. Thật vậy, điều kiện (2.13) tương đương với A T P + PA + aI + Q + PD{ại - Q)~ D T P + p < Phương trình ma trận (2.15Ị) có nghiệm P > 0, Q > í °\ [o j ^Q^í1 °\ V ữ Ì o pĨ J ' Thật vậy, ta có: ATP = ( Í °ì 0^ /-3 ì \0 -11^ \0 2J ^0 — 22y v iM = A °ì /~3 ^ = (-3 0\ \° 2/ l - L L ) ~ \ -22/ Ta tính PD{PI QY L D T P : ta có PD = /"* °ì \o 2y D T P = í °) í ũ ) = fl o) \° 3/ 1° ) \O QJ PD(ậI-Q)-iDTp= f l 0^ Cuối ta tính Do (ỊỊUỖỊ) trỏ thành Víy theo Định lý| B]hệ ch0 Ià ổn đjnh tiệm c9n Tiếp theo ta xét hệ phương trình vi phân phi tuyến có trễ biến thiên sau: x(t ) = Ax(t ) + Dx(t — h(t )) + X{T) = x(t — h(t))),t > 0, T &Ị—H, 0), (2-16) < H{T ) < H, H{T ) < ố < Ví > 0. \\f{x,y)\\ < a\\x\\ + /3\\y\\ , V(x,y) E l " x R n . Ta có kết ổn định tiệm cận hệ (2.16) qua định lý đây. Định lý 2.4. Giả sử ma trận hệ số hệ phương trình (Ị2.16D thỏa mãn điều kiện: tồn ma trận đối xứng xác định dương p > 0, Q > cho bất đẳng thức ma trận tuyến tính (A T P + PA + aI + Q M DTP \ p PD < ị3I-( - Ô)Q (2.17 -I Khi hệ (12.161) ổn định tiệm CHỨNG MINH. Tương tự định lý ta lấy hàm Lyapunov có dạng sau: í Vịt, X ị ) = (Px(t),x(t)} + Ị (Qx(s),x(s))ds. t—h(t) Theo chứng minh Định lý 2.2 điều kiện iii) Định nghĩa 1.9 thỏa mãn. Lấy đaọ hàm theo T hàm V ta có: Vf(t,x t ) = (Px(t),x(t)} + (Qx(t),x(t)) — ( — h(t)){Qx(t — h(t)), x(t — h(t ) ) ) = ( PAx(t), x(t ) ) - (PAx(t — h(t)),x(t)) + 2(PF(X(T), X(T — X(T )) + (Qæ(î), z(í)) — ( — h(t))(Qx(t — h(t)), x(t — h(t ) ) ) < ( ( A T p + PA + Q)x(t), x(t)} + {PAx(t — h(t)), x(t ) ) — (1 — Ổ){QX(T — H(T)),X(T — /ỉ(í))) + {PF(X(T),X(T — + ax T x + PA ßi \ - f T {■)/{■) p^ - ( - Ố ) Q z{t) < , -ỉ) hay Vf(t,x t ) < Z T < . Do tồn Л > cho *m = 1И*)Н2 +1\ ыт - z(í)) VF{T,XT) < -AỊ|z(í)||2. Như Vậy điều kiện ii) Định lý 1.4 thỏa mãn, hay hệ (2.11) ổn định tiệm cận. □ Ví dụ 2.4. Xét hệ phương trình vi phẫn phi tuyến có trễ biến thiên sau: ±1 = - 6^1 - 4x + 2xi(t - ịt) + x {t - ịt) + xị(t— ịt) ±2 = -13x + 3x (t (2.1 - 11) + xị(t — 11), h(t ) = —t. . 1 Ta thấy h(t) = - = ổ= - < l , v h m X(T — H(T ))) = X (T — H(T )) < l.||a:(í)||2 + 2.||a:(í — H(T))\Ỹ ta chọn A = 1, Ị3 = 2. Ta kiểm tra điều kiện (2.17) Định lý 2.4 thỏa mãn. Thật vậy, điều kiện (2.17) tương đương với Á p + PA + al + Q + PD(Ị3I - ( - ỗ)QỴ l D T P + p < . (2.19) Ma trận A, D tương ứng hệ (Ị2.18D = (~ Vo -13/ "4Ì A vàD=f2 \° Ta kiểm tra hệ (2.19Ị) có nghiệm P > 0, Q > : l ( ì\ p= Vo l ) Khi Q ( °\ vầ0= Vo 2,1 ■ (-6 \Ịi i \ T P \-A -17 ) ’ \-A — y \ 0A l) = (-6 ^ ) Ta tính PD(Ị3I - (1 - Ỏ)Q)~ D T P, ta có P D = ị l) ị l l) _ /2 3N '0 A«V ị o J - DTP = ( Ì A °) í = ( { - (1 - S ) Q ) ~ = r1 = t PD{0I-(1-6)Q)-'D P = =( 16 V 12/ Cuối ta tính P2 Do (Ị2.19Ỉ) trở thành -1 -5 -1 -1 Vậy theo Định lýQhệ cho ổn định tiệm ì < cạn Kết luận Luận văn trình bày số vấn đề sau đây: 1. Trình bày toán ổn định phương trình vi phân thường, hệ phương trình vi phân có trễ tuyến tính phi tuyến, phương pháp hàm Lyapunov hệ phương trình vi phân thường, phương trình vi phân có trễ; 2. Giới thiệu số tiêu chuẩn sở tính ổn định hệ phương trình vi phân có trễ có trễ biến thiên, lớp phương trình có tính toán ví dụ cụ thể. [...]... xác định dương Khi đó ta có \MT -Q) < 0 & p + M Q ~ l M T < 0 ±2X Ấ Y < X 1 NX + Y T N 1 Y, V(æ, Y) e X Mn \MT -Q) < 0 & p + M Q ~ l M T < 0 Chương 2 Tính ổn định phương trình vi phân có trễ Chương này trình bày các tiêu chuẩn ổn định tiệm cận cho các hệ phương trình vi phân tuyến tính có trễ hằng và trễ biến thiên, hệ phương trình vi phân phi tuyến có trễ hằng và biến thiên bằng phương pháp hàm Lyapunov. .. Vậy hệ (1.6) là ổn định tiệm cận Định lí được chứng minh □ Ta có kết quả về sự ổn định mũ như sau Định lý 1.5 Giả sử tồn tại hàm Vịt, xịt)) thỏa mãn: I) 3Ai > 0,A2 > 0 : Ai||a;(t)||2 < V( T,X(T)) < A2||a:(í)||2, R+ € X Mn; tì) 3a > 0 : Vf(t,x(t)) < — 2 với mọi nghiệm x(t ) của hệ (L6) Khỉ đó hệ là ổn định mũ với các chỉ số ổn định Lyapunov a và N — 1.2.2 Bài toán ổn định hệ phương trình vi phân có trễ... Xét hệ phương trình vi phân có trễ x(t) = t> 0 ; x(t) = 0 , 3 ( 5 > 0 , £ c : l l ^ l l < ổ thì với mọi nghiệm x(t,(p) thỏa mãn \\x(t, < ^ ) | | < e , V í G R + 2 ổn định. .. đó hàm 7 ( r ) > 0 liên tục, không giảm thỏa mãn điều kiện R lim / —— = +00 R ^ o J 7(r) i:„ [dr 0 Khi đó hệ ( 1 2 ) có nghiệm duy nhất 1.2 1.2.1 trên M + Bài toán ổn định Bài toán ổn định hệ phương trình vi phân Xét bài toán Cauchy sau x(t) = x(tQ) = xữ, tQ > 0 , t> 0 trong đó x(t) G Rn là trạng thái tại thời điểm t của hệ, hàm / : R+ X IRn —» Mn cho trước Ta giả sử với các điều kiện của hàm / hệ. .. phụ thuộc vào T 0 thì hệ là ổn định đều Hơn nữa, nếu lim I A(S)DS = —oo í-»+ 00 to thì hệ là ổn định tiệm cận Các kết quả cơ sở về tính ổn định cũng như các tiêu chuẩn ổn định của hệ phương trình vi phân tuyến tính đã được trình bày kĩ trong phần 2 của Щ [3] Ta nhớ lại một kết quả về tiêu chuẩn ổn định của hệ tuyến tính sau, (xem [TJ tr 299 -301 hoặc [2] tr 110) Định lý 1.3 Cho hệ tuyến tính x(t ) =... tiệm cận Địnhlý |2.l |hệ đã cho là ổn định Bây giờ taxét hệ phương trình vi có trễ biếnthiên dạng: x(t) — phân Ax(t ) + Dx(t (2 — h(t)),t > 0 , x{t) = (p{t), te[-h, 0), 0 < h{t ) < h, h(t) < ỏ < 1, Vt > 0 Ta có điều kiện: tồn định các ma trậnhệ (2.6) qua định lý dưới đây p > 0, Q mẫn kết quả về sự ổn tại tiệm cận của đối xứng xác định dương > 0 lý 2.2 Giả sử các ma trận hệ số của hệ phương trình (Ị2.6Ị)... bất kì của hệ tiến tới nghiệm 0 nhanh với tốc độ theo hàm mũ Ta xét một vài ví dụ đơn giản sau V í d ụ 1 1 Xét bài toán sau trong K , {x(t ) = ax, t > 0 x(t 0 ) = x 0 , t 0 > 0 Ta thấy rằng, nghiệm của hệ này cho bởi x(t ) = x ữ e a t , t > 0 Bằng các tính toán đơn giản, ta có thể kết luận Hệ là ổn định (cũng tiệm cận và ổn định mũ) nếu A < 0 Nếu A = 0 thì hệ là ổn định Hơn nữa, ta có thể chọn được... í G R + 2 ổn định tiệm cận nếu hệ ( 1 8 ) là ổn định và \\x(t, y ? ) Ị Ị —¥ 0 khi t + o o 3 ổn định mũ nếu mọi nghiệm x(t,íp) thỏa mãn điều kiện: 3M > 0,0! > 0 : ||a;(i,y?)|| < Me_aí||^||, Ví > 0 (1 Hàm Lyapunov cho hệ phương trình vi phân có trễ (1.8) được định nghĩa tương tự như sau: Đ ị n h n g h ĩ a 1 1 1 Hàm V(t, M n gọi là hàm Lyapunov của hệ ( 1 8 ) nếu các điều kiện sau... P£> = ị ~ 20 / 20 -2 0 < 0 Với ỏ = ị ta có 0 -2 Vậy theo Định lý |2.2| hệ đã cho là ổn định tiệm cận 2.2 1 _1 T -1 T ——iPDQ D P = 2PDQ D p = 1- ờ Ôn định phương trình vi phân phi tuyến có trễ Do đó (2.10) trở thành Ta xét hệ phương trình vi phân phi tuyến có trễ hằng sau: x(t) = Ax(t ) + Dx(t — h) + f(x(t), x(t — h)), t (2 11 > 0, x{t) = (p{t),te[-h,Q), trong đó hàm / : Rn X C —¥ Mn thỏa mãn điều kiện.. .Định nghĩa 1.2 CHO T 0 e Rn,(7 > 0 ỉ)à X G CQío — H,TO + cr],Mn), ĐẶT HÀM X T XẤC ĐỊNH BỞI X T (S) := X(T + S), S € [-/ỉ,0],T e [í0,ío + o-] với chuẩn 11^11= sup ||a;(í + s)|| se[—/1,0] Khi đó, hàm X ị thuộc không gian c và gọi là đoạn quỹ đạo trên đoạn [t—h, t] của hàm x(-) Cho hàm / : R+ X c —> Mn Xét phương trình vi phân có trễ dạng tổng quát: x{t) = f{t,x t ) (1.2) Các dạng hệ phương trình vi phân . 1. 1.1. Phương trình vi phân Phương trình vi phân thường 1.1.1. 1.1.2. Phương trình vi phân có trễ Bài toán ổn định Bài toán ổn định hệ phương trình vi phân Bài toán ỗn định hệ phương trình vi phân có. trọng của phương pháp hàm Lyapunov giải bài toán ổn định phương trình vi phân có trễ, tôi đã chọn được đề tài: Phương pháp hàm Lyapunov giải bài toán ổn định hệ phương trình vi phân có trễ”. Lyapunov giải bài toán ổn định phương trình vi phân có trễ. - Phương pháp hàm Lyapunov và các điều kiện cần và đủ giải bài toán ổn định phương trình vi phân có trễ. 4. Phương pháp nghiền cứu - Đọc